f x 0 για κάθε x και f 1

Transcript

1 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh. Το αποτέλεσμα αυτό εγγυάται την ύπαρξη συνεχών μη σταθερών πραγματικών συναρτήσεων ορισμένων επί ενός τ. χ., υπό την προϋπόθεση ότι ο είναι φυσιολογικός. Το Λήμμα του Uysoh έχει σημαντικές συνέπειες όπως είναι το θεώρημα επέκτασης του Tetze και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Θεώρημα 4.8 ( Λήμμα του Uysoh ) Έστω χώρος Hausdoff. Οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι: (α) Ο είναι φυσιολογικός (β) Για κάθε ζεύγος ξένων και κλειστών υποσυνόλων, του, υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : 0, η οποία ονομάζεται συνάρτηση Uysoh, έτσι ώστε f x 0 για κάθε x και f x για κάθε x. Απόδειξη.(β) (α) Έστω και ξένα ( μη κενά ) κλειστά υποσύνολα του. Θεωρούμε μια συνάρτηση Uysoh f για αυτό το ζεύγος. Τότε τα σύνολα, U x : f x 2 και V x : f x, είναι ξένα και ανοικτά τα οποία περιέχουν τα και 2 αντίστοιχα. (α) (β). Για κάθε ρητό αριθμό του διαστήματος 0, θα ορίσουμε ένα ανοικτό σύνολο V ώστε να ισχύουν: () V Vs, αν s και (2) V0, \V. Τα σύνολα V θα ορισθούν με επαγωγή. Έστω, 2,...,,..., μια - αρίθμηση των ρητών του 0, ώστε 0 και 2. Πρώτα θέτουμεv \. Επειδή το σύνολο είναι

2 07 κλειστό, V με το V ανοικτό και ο είναι φυσιολογικός, από την πρόταση 4.6 (β) υπάρχει ανοικτό σύνολο V 0 ώστε V0 V0 V. Ας συμβολίσουμε με, 2, την ακόλουθη συνθήκη, V V, οποτεδήποτε j s και, j. Έπεται τότε από τα παραπάνω ότι η συνθήκη (2) καθώς και η 2 ικανοποιούνται. Έστω 2. Υποθέτουμε ότι τα σύνολα V έχουν οριστεί για και ικανοποιούν την. Το σύνολο,..., περιέχει τα σημεία 0 και 2, και άρα είναι μια διαμέριση του διαστήματος 0,. Έτσι ο ρητός ανήκει σε ένα μοναδικό διάστημα, έστω l, m, αυτής της διαμέρισης. Επειδή, l m, έπεται από την ότιv l V. m Επειδή ο είναι φυσιολογικός έπεται (πάλι) από την πρόταση 4.6 (β) η ύπαρξη ενός V U U V. Θέτουμε V ανοικτού συνόλου U ώστε l m V,..., V, ικανοποιούν την τα σύνολα. Αν και τα δύο ανήκουν στο,..., U και παρατηρούμε ότι. ( Έστω st, δύο διαφορετικά σημεία του,..., τότε από την επαγωγική υπόθεση έχουμε το συμπέρασμα. Υποθέτουμε τώρα ότι ένα από τα δύο έστω το t και το άλλο, δηλαδή το s ανήκει στο,...,. Τότε, είτε s l, επομένως V V V. Έτσι η ικανοποιείται.) m s V s V V l ή s, οπότε m Η επαγωγή μας είναι πλήρης, και έτσι η ακολουθία V,..., V,... που κατασκευάσαμε ικανοποιεί τις () και (2) Η ζητούμενη συνάρτηση f : 0, ορίζεται με τον ακόλουθο τρόπο, f x x V x V f :, αν, αν x\ V Από την (2) έπεται ότι f 0 και f. Η συνέχεια της f αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της κατασκευής μας, δηλαδή την (). Για να αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής, είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι

3 08 οι αντίστροφες εικόνες μέσω της f των διαστημάτων 0, a και, b 0, είναι ανοικτά υποσύνολα του. ( Είναι προφανές ότι f 0,.) Η ανισότητα f x a ισχύει αν και μόνο αν υπάρχει (ρητός) με a επομένως το σύνολο f 0, a V : a f x b b, όπου a και ώστε x V, είναι ανοικτό. Επίσης, η ανισότητα ισχύει αν και μόνο αν υπάρχει ' b ώστε x V ', το οποίο, από την (), σημαίνει ότι υπάρχει b ώστε x V. Επομένως το σύνολο, \ : \ : f b V b V b είναι ομοίως ανοικτό. Η απόδειξη του θεωρήματος είναι πλήρης. Το θεώρημα επέκτασης του Tetze είναι ένας ακόμη χαρακτηρισμός των φυσιολογικών χώρων στην απόδειξη του οποίου το κρίσιμο εργαλείο είναι το Λήμμα του Uysoh. Παραθέτουμε αυτό το αποτέλεσμα χωρίς απόδειξη για την οποία παραπέμπουμε στην βιβλιογραφία. Θεώρημα 4.9 (Επέκτασης του Tetze ) Έστω ένας χώρος Hausdoff. Οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι: (α) Ο είναι φυσιολογικός. (β) Για κάθε κλειστό, κάθε συνεχής συνάρτηση f : R έχει μια συνεχή επέκταση F: R. ( Αν f x c για κάθε x τότε η F μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε F x c για κάθε x.)

4 09 Παρατήρηση ) Αν και τ.χ., και f : συνεχής συνάρτηση, μια συνεχής συνάρτηση F : ώστε F f λέγεται μια συνεχής επέκταση της f. 2) Είναι εύκολο να αποδείξουμε την συνεπαγωγή (β) (α) του θεωρήματος του Tetze : Έστω και κλειστά ξένα ( και μη κενά ) υποσύνολα του. Ορίζουμε μία συνάρτηση f : R θέτοντας 0 f x για κάθε x και f y για κάθε y. Η f είναι τότε συνεχής συνάρτηση στον υπόχωρο υπόθεσή μας επεκτείνεται σε μια συνεχή συνάρτηση F: του ( γιατί; ), η οποία από την R. Έπεται ότι, αν U και V είναι ξένες ανοικτές περιοχές των 0 και στο R τότε οι F U και F V ανοικτά υποσύνολα του, έτσι ώστε F U και F V. είναι ξένα Το αποτέλεσμα αυτό μας λέει ακόμη ότι το Λήμμα του Uysoh μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση του θεωρήματος επέκτασης του Tetze. 3)Στην παρατήρηση 4. δώσαμε μια δεύτερη απόδειξη του θεωρήματος 4.0, το οποίο ισχυρίζεται ότι κάθε μετρικοποιήσιμος χώρος είναι φυσιολογικός. Η παρατήρηση αυτή είναι ουσιαστικά μια απόδειξη του Λήμματος του Uysoh στην περίπτωση που ο είναι μετρικοποιήσιμος. Ορισμός 4.2. Έστω f :,, οικογένεια συναρτήσεων. Η αποτίμηση e αυτής της οικογένειας είναι η συνάρτηση e : που σε κάθε y ορίζεται ως e y f y Παρατηρούμε τα ακόλουθα:. )Κάθε συνάρτηση F : μπορεί να θεωρηθεί ως μια συνάρτηση αποτίμησης μιας κατάλληλης οικογένειας συναρτήσεων. Πράγματι, αρκεί να θέσουμε f of, για κάθε, τότε προφανώς F x f x.

5 0 2) Υποθέτουμε τώρα ότι και,, είναι τοπολογικοί χώροι. Τότε μια συνάρτηση F :, είναι συνεχής αν και μόνο αν οι συναρτήσεις f of είναι συνεχείς για κάθε (πρβλ. πρόταση 2.0 (β) ). Λήμμα 4.22 ( Το Λήμμα της Εμφύτευσης ). Έστω,,, τοπολογικοί χώροι, και για κάθε έστω f : μία συνάρτηση. Έστω ακόμη e: η συνάρτηση αποτίμησης της οικογένειας f : δηλαδή, e y f y (α) Κάθε f είναι συνεχής., για y. Υποθέτουμε ότι: (β) Η οικογένεια f : διαχωρίζει τα σημεία του, δηλαδή αν y, y 2 και y y2, τότε υπάρχει ώστε f y f y 2 (γ) Η οικογένεια f : διαχωρίζει σημεία και κλειστά σύνολα του, δηλαδή αν y και F κλειστό με y F υπάρχει ώστε f y f F. Τότε η απεικόνιση e είναι ένας ομοιομορφισμός του και του υποχώρου e του χώρου. Απόδειξη. Έστω y y2 συνέπεια Άρα η e είναι. στοιχεία του. Τότε υπάρχει j : f j y f j y j 2 2 e y f y f y e y. Κατά Από τις παρατηρήσεις () και (2) μετά τον ορισμό 4.2 έπεται ότι η απεικόνιση e είναι συνεχής. Για να αποδείξουμε ότι η e είναι ένας ομοιομορφισμός μεταξύ και e, είναι αρκετό να δειχθεί ότι αν U είναι ανοικτό στον τότε το eu είναι ανοικτό στον υπόχωρο e του.

6 Έστω λοιπόνu ανοικτό και y U τότε y \ U και \U κλειστό. Από την συνθήκη (γ) της υπόθεσης θα υπάρχει 0 ώστε f y f \ U 0 0. Θέτουμε, V \ f \ U Είναι σαφές ότι e y V και ότι το V είναι βασικό ανοικτό στον ως αντίστροφη εικόνα ανοικτού μέσω προβολής. Παρατηρούμε ότι e yv e eu. Πράγματι έστω x V e για κάποιο z. Έπεται ότι, f z f \ U x f z z \ U z U, άρα x e z eu. 0 0 τότε, που σημαίνει ότι Συνοψίζοντας, δοθέντος y U, βρήκαμε ένα βασικό ανοικτό υποσύνολο V του ώστε e yv e eu. Επομένως το eu είναι ανοικτό στον e και έτσι έχουμε το συμπέρασμα. Παρατήρηση Είναι σαφές ότι αν ο χώρος Y είναι Hausdoff τότε ( επειδή τα πεπερασμένα υποσύνολα του Y είναι κλειστά, πρβλ. παρατήρηση 4.5 ) η συνθήκη (β) του λήμματος της εμφύτευσης μπορεί να παραληφθεί, εφόσον καλύπτεται από την συνθήκη (γ). Πρόκειται να αποδείξουμε τώρα το δεύτερο σημαντικότερο αποτέλεσμα αυτού του κεφαλαίου. Το αποτέλεσμα αυτό μας δίνει συνθήκες κάτω από τις οποίες ένας τοπολογικός χώρος είναι (διαχωρίσιμος και ) μετρικοποιήσιμος και το οποίο αναφέρεται στην βιβλιογραφία ως το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Θεώρημα 4.24 (Μετρικοποίησης του Uysoh ) Κάθε κανονικός χώρος με αριθμήσιμη βάση για την τοπολογία του είναι μετρικοποιήσιμος. Απόδειξη. Είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι ο είναι ομοιομορφικός με ένα υπόχωρο του κύβου του Hlbet 0,. Από το λήμμα της εμφύτευσης και την παρατήρηση 4.23 έπεται ότι για να αποδείξουμε αυτό τον ισχυρισμό, αρκεί να βρούμε μια αριθμήσιμη οικογένεια

7 2 συνεχών συναρτήσεων κλειστά υποσύνολα του. Έστω B : f : 0,, N, με την ιδιότητα να διαχωρίζει σημεία και μια αριθμήσιμη βάση για τον. Για κάθε ζεύγος, m N, ώστε να ισχύει, m, και επειδή ο είναι από το θεώρημα 4.3 φυσιολογικός χώρος, εφαρμόζουμε το Λήμμα του Uysoh και επιλέγουμε μια συνεχή συνάρτηση m, : 0, g, έτσι ώστε g και, m g, m \ m 0. Τότε η αριθμήσιμη οικογένεια συναρτήσεων gm, :, m N ικανοποιεί τις απαιτήσεις μας. Πράγματι, έστω x 0 και U ανοικτό υποσύνολο του με x0 U. Τότε υπάρχει ένα μέλος της βάσης B έστω x m ώστε 0 m U. Επειδή ο είναι κανονικός χώρος υπάρχει N ώστε x 0 m (πρβλ. πρόταση 4.6 (α)). Θεωρούμε την αντίστοιχη συνάρτηση m, g x για κάθε x \ U m, 0 ήταν και το ζητούμενο. Η απόδειξη του θεωρήματος είναι πλήρης. g και παρατηρούμε ότι, g x και m, 0. Έτσι αποδείξαμε ότι g x g \ U 0 που, m 0, m