ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Μενύχτα Δήμητρα, Α.Μ. 333

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Μενύχτα Δήμητρα, Α.Μ. 333 ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Ευφροσύνη Μακρή Πάτρα, Φεβρουάριος 216

2

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Μενύχτα Δήμητρα, Α.Μ. 333 ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Ευφροσύνη Μακρή Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 22 η Φεβρουαρίου 216 Ευφροσύνη Μακρή Βιολέττα Πιπερίγκου Νικόλαος Τσάντας Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Πανεπιστήμιο Πατρών Επίκουρος Καθηγήτρια Πανεπιστήμιο Πατρών Καθηγητής Πανεπιστήμιο Πατρών Πάτρα, Φεβρουάριος 216

4

5 . Μενύχτα Δήμητρα Πτυχιούχος Μαθηματικός Πανεπιστημίο Κρήτης Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Δήμητρα Μενύχτα Copyright Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, η αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν επίσημες θέσεις του Πανεπιστημίου Πατρών. 5

6 6

7 Ευχαριστίες Η παρούσα εργασία αποτελεί διπλωματική εργασία στα πλαίσια του μεταπτυχιακού προγράμματος «Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων» του τμήματος Μαθηματικού. Πριν την παρουσίαση των αποτελεσμάτων της παρούσας διπλωματικής εργασίας, αισθάνομαι την υποχρέωση να ευχαριστήσω ορισμένους ανθρώπους που έπαιξαν πολύ σημαντικό ρόλο στην πραγματοποίηση της. Αρχικά, θα ήθελα να ευχαριστήσω την επιβλέπουσα καθηγήτρια της διπλωματκής εργασίας, Αναπληρώτρια καθηγήτρια Ευφροσύνη Μακρή για την πολύτιμη καθοδήγηση της και εμπιστοσύνη και εκτίμηση που μου έδειξε. Τις ευχαριστίες μου εκφράζω και στους καθηγητές Βιολέτα Πιπερίγκου και Νικόλαο Τσάντα που δέχτηκαν να είναι μέλη της τριμελούς επιτροπής αξιολόγησης της μεταπτυχιακής εργασίας. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου, που με υπομονή και κουράγιο πρόσφεραν την απαραίτητη ηθική συμπαράσταση για την ολοκλήρωση της μεταπτυχιακής μου εργασίας. 7

8 8

9 Περίληψη Θεωρούμε μια ακολουθία αποτελεσμάτων δυαδικών πειραμάτων διατεταγμένων σε γραμμή. Συγκεκριμένα, η ακολουθία αποτελείται από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Bernoulli,,,,, ( ), κάθε μια από τις οποίες έχει δύο δυνατά αποτελέσματα, επιτυχία ( ή 1) ή αποτυχία ( ή ). Ροή επιτυχιών είναι μια ακολουθία από συνεχόμενες επιτυχίες των οποίων προηγείται και έπεται μια αποτυχία ή τίποτε, στην περίπτωση που η ροή είναι στην αρχή ή στο τέλος της ακολουθίας. Η παρούσα εργασία αποσκοπεί στην παρουσίαση αποτελεσμάτων που αφορούν στη μελέτη της τυχαίας μεταβλητής, που παριστάνει τον χρόνο αναμονής (αριθμό δυαδικών πειραμάτων) για την πρώτη εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους. Αρχικά, αναπτύσσονται μέθοδοι που έχουν χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της συνάρτησης πιθανότητας της μελετούμενης τυχαίας μεταβλητής, μέσω συνδυαστικών μεθόδων, με εκφράσεις μέσω αθροισμάτων διωνυμικών και πολυωνυμικών συντελεστών και αναδρομικών σχέσεων. Σημαντική είναι η συνεισφορά της τυχαίας μεταβλητής,, που παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους σε δυαδικά πειράματα. Μελετάται η πιθανογεννήτρια συνάρτηση και παρουσιάζονται εκφράσεις για τη ροπογεννήτρια, τη μέση τιμή και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής. Στη συνέχεια, μελετάται η τυχαία μεταβλητή,, η οποία παριστάνει τον χρόνο αναμονής έως ότου εμφανιστούν ροές επιτυχιών μήκους. Ακριβείς εκφράσεις αποδεικνύονται για τον προσδιορισμό της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής,. Η συνάρτηση πιθανότητας της, προσδιορίζεται επίσης, για ακολουθία που προκύπτει από το σχήμα δειγματοληψίας Polya Eggenberger. Επίσης, μελετάται η κατανομή του χρόνου αναμονής για την πρώτη ( ή οστή) εμφάνιση ροής επιτυχιών με τη μέθοδο εμβάπτισης μιας τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα, για ανεξάρτητες (όχι κατ ανάγκη ισόνομες) δοκιμές Bernoulli. Η μελέτη επεκτείνεται, προκειμένου να δοθούν εκφράσεις για την κατανομή και τη πιθανογεννήτρια του χρόνου αναμονής, στην περίπτωση ομογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας. Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιείται για την μελέτη ενός συνεχόμενου απότα: συστήματος αποτυχίας. Συγκεκριμένα, ενός συστήματος, το οποίο αποτυγχάνει αν και μόνο αν εμφανιστούν τουλάχιστον συνεχόμενες αποτυχίες. Τέλος, γίνεται σύνδεση της αξιοπιστίας συνεχόμενων απότα συστημάτων 9

10 αποτυχίας με τις, και,. Αριθμητικά αποτελέσματα διευκρινίζουν περαιτέρω την εφαρμογή των μεθόδων. Λέξεις-Κλειδιά: Δοκιμές Bernoulli, ροές επιτυχιών μήκους, χρόνος αναμονής, Μαρκοβιανή αλυσίδα 1

11 Waiting time for the occurrence of success runs in binary sequences Abstract Consider a sequence of two state (success failure) trials with outcomes arranged on a line. Specifically, the sequence of trials,,,,,, are considered independent and identically distributed with two possible outcomes, either a success (S or 1) or a failure (F or ). A success run is a sequence of consecutive successes preceded and followed by a failure or by nothing, in case that the run is at the beginning or at the end of the sequence. This work is focused on the study of the random variable, which represents the waiting time (number of binary trials) until a sequence of consecutive successes are observed for the first time. Methods that have been used to obtain the distribution of the random variable are developed, i.e. combinatorial analysis, giving expressions via sums of binomial and multinomial coefficients and recursive schemes. The study of the random variables, and, representing the number of success runs of length k and the length of the longest success run in a sequence of binary trials, respectively, is also important for this study. Then the probability generating function, the mean, the variance and the moments of are derived. Next we concentrate on the study of the random variable,, which represents the waiting time till appearance of the rth success run of length. Exact formulae are proved for the determination of the distribution of,. The probability mass function of, is also determined for sequences with outcomes from a Polya Eggenberger sampling scheme. The distribution of the waiting time for the first (or rth) occurrence of a success run via the Markov chain imbedding technique, for independent and identically (or non identically) Bernoulli trials is studied. Also, formulae for the distribution, probability generating function and moments of the waiting time are presented, in the case of a homogeneous Markov chain. The distribution of is used to study a consecutive outof: system; i.e. a system that fails if and only if or more consecutive failures appear among its components. The distribution of, and, are used to study the reliability of consecutive outof: systems, i.e. a system that fails if and only if at least 11

12 failure runs of length at least appears in the sequence of the components. Numerical results illustrate further the application of the methods. Key Words: Bernoulli trials, success runs of length, waiting time, Markov chain 12

13 Πίνακας Περιεχομένων 1 Εισαγωγή Χρόνος αναμονής για την πρώτη εμφάνιση ροής επιτυχιών Εισαγωγικές έννοιες Αθροιστική συνάρτηση κατανομής της μεταβλητής T k Η κατανομή της T k μέσω συνδυαστικών μεθόδων Πιθανογεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής T k Ροπογεννήτρια, Μέση τιμή και Διασπορά της τυχαίας μεταβλητής T k Χρόνος αναμονής σε ανεξάρτητες, όχι κατ ανάγκη ισόνομες δοκιμές Bernoulli Χρόνος αναμονής για την r-οστή εμφάνιση ροής επιτυχιών Η κατανομή της T r,k Η κατανομή της Wr,k Σχήμα δειγματοληψίας Polya Eggenberger Μέθοδος Εμβάπτισης Εμβάπτιση τυχαίας μεταβλητής σε πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα Εύρεση της κατανομής της μεταβλητής Nn,k Εύρεση της κατανομής του χρόνου αναμονής Χρόνος αναμονής για ακολουθία εξαρτημένων δοκιμών Χρόνος αναμονής για ακολουθία εξαρτημένων δοκιμών 2 ης τάξης Εφαρμογές στην αξιοπιστία συστημάτων Εισαγωγικές έννοιες Συνεχόμενα k-από-τα-n:f συστήματα m-συνεχόμενα-k-από-τα-n:f συστήματα... 1 Αναφορές Παράρτημα

14 14

15 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Εισαγωγή Ένα μεγάλο μέρος της θεωρίας των ροών έχει αναπτυχθεί για ακολουθίες ανεξάρτητων και ισόνομων δυαδικών πειραμάτων. Με τον όρο δυαδικό πείραμα (δοκιμή Bernoulli), αναφερόμαστε σε ένα τυχαίο πείραμα με δύο δυνατά αποτελέσματα. Το αποτέλεσμα κάθε πειράματος είναι επιτυχία ( ή 1) ή αποτυχία ( ή ). Ας θεωρήσουμε την τυχαία μεταβλητή με πεδίο τιμών,1 και συνάρτηση πιθανότητας 1,, 1, 1. Η τυχαία μεταβλητή καλείται τυχαία μεταβλητή Bernoulli. Στη συνέχεια, θεωρούμε τη τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων έως την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας, σε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli, με σταθερή πιθανότητα επιτυχίας. Τότε, η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής καλείται Γεωμετρική κατανομή με συνάρτηση πιθανότητας, 1, 1,2,. Αν είναι η τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τον αριθμό των πειραμάτων Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας, έως την οστή εμφάνιση επιτυχίας, τότε η κατανομή της καλείται Αρνητική Διωνυμική κατανομή, με συνάρτηση πιθανότητας,, 1,, 1. Έστω,,,,, είναι μια ακολουθία δυαδικών πειραμάτων διατεταγμένων σε γραμμή, με πιθανότητα επιτυχίας 1 και πιθανότητα αποτυχίας 1, 1,2,. Ροή επιτυχιών είναι μια ακολουθία από συνεχόμενες επιτυχίες των οποίων προηγείται και έπεται μια αποτυχία ή τίποτε, στην περίπτωση που η ροή είναι στην αρχή ή στο τέλος της ακολουθίας. Μήκος μιας ροής επιτυχιών είναι ο αριθμός των επιτυχιών που περιλαμβάνονται στη ροή. 15

16 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ Η μελέτη των τυχαίων μεταβλητών που σχετίζονται με ροές ήταν ιδιαίτερα αποτελεσματική σε πολλά επιστημονικά πεδία. Από το 194 αποτέλεσαν τη βάση για την δημιουργία ελέγχων υποθέσεων από τους Wald and Wolfowitz (194). Στις μέρες μας πέρα από τη Στατιστική, βρίσκει εφαρμογές και σε άλλες επιστημονικές περιοχές όπως στη Βιολογία (ακολουθίες DNA), στην Οικολογία και στην Αξιοπιστία μηχανικών συστημάτων. Η παρούσα εργασία αποσκοπεί στην παρουσίαση αποτελεσμάτων που αφορούν στη μελέτη της τυχαίας μεταβλητής, που παριστάνει τον χρόνο αναμονής (αριθμό δυαδικών πειραμάτων) για την πρώτη εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους. Αναπτύσσονται μέθοδοι που έχουν χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της κατανομής της μελετούμενης τυχαίας μεταβλητής. Μελετάται, επίσης, η τυχαία μεταβλητή, που παριστάνει τον χρόνο αναμονής έως ότου εμφανιστούν ροές επιτυχιών μήκους. Σημαντική είναι η συνεισφορά της μελέτης των τυχαίων μεταβλητών,,, και που παριστάνουν τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους, τον αριθμό ροών επιτυχιών μήκους τουλάχιστον και το μέγιστο μήκος ροής επιτυχιών σε δυαδικά πειράματα. Παράδειγμα Ας δώσουμε ένα παράδειγμα για την κατανόηση των τυχαίων μεταβλητών που θα χρησιμοποιηθούν. Ας θεωρήσουμε μια ακολουθία αποτελούμενη από 2 δοκιμές Bernoulli, SFSSSFFSSFSSSSSFFSFS Τότε έχουμε, Για 2,, 4,, 3, 4,, 4,, 9,, 12,, 14 Για 3,, 2,, 2, 5,, 5,, 13 Για 4,, 1,, 1, 14,, 14 Στη δοσμένη ακολουθία δοκιμών Bernoulli, το μέγιστο μήκος ροής επιτυχιών είναι 5. Στην παρούσα εργασία, παρουσιάζονται αποτελέσματα εργασιών που αφορούν στην μελέτη της τυχαίας μεταβλητής του χρόνου αναμονής. Στο δεύτερο κεφάλαιο, προσδιορίζεται η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής και αναπτύσσονται οι μέθοδοι που έχουν χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της συνάρτησης πιθανότητας της μεταβλητής, μέσω συνδυαστικών μεθόδων. Μελετάται η πιθανογεννήτρια 16

17 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ συνάρτηση και παρουσιάζονται εκφράσεις για τη ροπογεννήτρια, τη μέση τιμή και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής. Στο τρίτο κεφάλαιο, μελετάται η τυχαία μεταβλητή, και ακριβείς εκφράσεις αποδεικνύονται για τον προσδιορισμό της κατανομής της. Η συνάρτηση πιθανότητας της, προσδιορίζεται επίσης, μέσω συνδυαστικών μεθόδων, με εκφράσεις μέσω αθροισμάτων, διωνυμικών και πολυωνυμικών συντελεστών και αναδρομικών σχέσεων. Επίσης, δίνεται έμφαση στο προσδιορισμό της συνάρτησης πιθανότητας της, για ακολουθία που προκύπτει από το σχήμα δειγματοληψίας Polya Eggenberger. Στο τέταρτο κεφάλαιο, αναλύεται η μέθοδος εμβάπτισης μιας τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα, για ανεξάρτητες (όχι κατ ανάγκη ισόνομες) δοκιμές Bernoulli. Η μέθοδος εμβάπτισης της τυχαίας μεταβλητής, σε Μαρκοβιανή αλυσίδα θα χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της κατανομής του χρόνου αναμονής είτε για την πρώτη εμφάνιση ροής επιτυχιών, είτε για την οστή εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους. Η μελέτη επεκτείνεται, προκειμένου να δοθούν εκφράσεις για την κατανομή και τη πιθανογεννήτρια του χρόνου αναμονής, στην περίπτωση ομογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας. Για την ειδική περίπτωση της εμβάπτισης της τυχαίας μεταβλητής ορισμένης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα δεύτερης τάξης, δίνονται γραφήματα για εξαγωγή συμπερασμάτων. Τέλος, η κατανομή της μεταβλητής χρησιμοποιείται για την μελέτη της αξιοπιστίας των συνεχόμενων απότα: συστημάτων αποτυχίας. Πιο συγκεκριμένα, η αξιοπιστία τέτοιων συστημάτων συνδέεται με τις κατανομές των τυχαίων μεταβλητών,, και. Τέλος, γίνεται σύνδεση της αξιοπιστίας συνεχόμενων απότα συστημάτων αποτυχίας με τις, και,. Έτσι, παρουσιάζονται εκφράσεις για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας αυτών των συστημάτων. 17

18 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 2 Χρόνος αναμονής για την πρώτη εμφάνιση ροής επιτυχιών 2.1 Εισαγωγικές έννοιες Ένα μεγάλο μέρος της θεωρίας των χρόνων αναμονής έχει αναπτυχθεί για ακολουθίες ανεξάρτητων δοκιμών Bernoulli. Θεωρούμε,,,,, μια ακολουθία ανεξάρτητων δυαδικών δοκιμών Bernoulli, κάθε μία από τις οποίες μπορεί να έχει δύο δυνατά αποτελέσματα, μια επιτυχία ή 1 ή αποτυχία ή. Συμβολίζουμε με τη τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τον χρόνο αναμονής (αριθμό δυαδικών πειραμάτων) για την πρώτη εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους. Η τυχαία μεταβλητή μπορεί να εκφραστεί με τους ακόλουθους τρόπους: : 1 : 1 :. Στο ακόλουθο παράδειγμα δίνονται 25 αποτελέσματα μιας ακολουθίας: Ο χρόνος αναμονής για την πρώτη εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους 2 είναι 4, ενώ ο χρόνος αναμονής για την πρώτη εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους 3 είναι 18

19 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 5, μήκους 4 είναι 11, μήκους 6 είναι 22, μήκους 7 είναι Αθροιστική συνάρτηση κατανομής της μεταβλητής Tk Ας θεωρήσουμε,,, μια ακολουθία από ανεξάρτητα και ισόνομες δυαδικά πειράματα Bernoulli, με πιθανότητα επιτυχίας 1 και πιθανότητα αποτυχίας 1. Σε αυτή την περίπτωση, η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής, δηλαδή ο χρόνος αναμονής έως την εμφάνιση συνεχόμενων επιτυχιών για πρώτη φορά, καλείται γεωμετρική κατανομή τάξης. Για την εύρεση της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής της τυχαίας μεταβλητής, θα βασιστούμε στη τυχαία μεταβλητή, η οποία παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους σε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli. Πιο συγκεκριμένα, αν σε μια ακολουθία από πειράματα στα οποία ο χρόνος αναμονής για την εμφάνιση συνεχόμενων επιτυχιών δεν ξεπερνά σε μήκος την τιμή, τότε υποχρεωτικά ο αριθμός των ροών επιτυχιών μήκους θα είναι τουλάχιστον 1, δηλαδή, 1). Επομένως ισχύει η ισότητα,, 11, 11,. Κατά συνέπεια, ισχύει η ισότητα, 1,. Οι Philippou και Makri (1986) καθώς και ο Hirano (1986) ανεξάρτητα, έδωσαν τον ακριβή τύπο για την κατανομή της μεταβλητής,. Θεώρημα 2.1 Αν, είναι τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους σε ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 1, τότε,,,,,,,,,,, 1, 2,,, 1 19

20 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ όπου το εσωτερικό άθροισμα ορίζεται πάνω στους μη αρνητικούς ακεραίους,,, με 2 και 1. Παρατηρήσεις 1. Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής, συμβολίζεται, και ονομάζεται διωνυμική κατανομή τάξης με διάνυσμα παραμέτρων,. 2. Αν 1, προκύπτει η γνωστή διωνυμική κατανομή,,. Χρησιμοποιώντας την ακολουθία Fibonacci τάξης, οι Philippou, Georghiou και Philippou 1985 απέδειξαν μια μαθηματική έκφραση για τον υπολογισμό της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής της τυχαίας μεταβλητής. Ορισμός 2.1 Η ακολουθία των πολυωνύμων καλείται ακολουθία πολυωνύμων Fibonacci τάξης αν,, 1 για 1. Τότε,, 2 1,, 2. Αρχικά, ας αναφερθούμε στο ακόλουθο Λήμμα, που είναι χρήσιμο για την απόδειξη που έδωσαν οι Philippou, Georghiou και Philippou Λήμμα 2.1 Έστω είναι μια ακολουθία Fibonacci πολυωνυμικού τύπου τάξης 1. Τότε η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής μπορεί να εκφραστεί ως,. Λήμμα 2.2 Αν είναι μια ακολουθία Fibonacci πολυωνυμικού τύπου τάξης,, 1, 2,, τότε α,,,,,, 2

21 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ β 1 1,. 1 Θεώρημα 2.2 Έστω η τυχαία μεταβλητή, τότε η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της είναι 1,,,,,, όπου η άθροιση γίνεται στους μη αρνητικούς ακεραίους,,,, έτσι ώστε να ισχύει 2 1. Απόδειξη Εχουμε, από το Λήμμα 2.1, ,, από τα Λήμματα 2.1 και 2.2, με.,,,, 2.3 Η κατανομή της Tk μέσω συνδυαστικών μεθόδων Στη συνέχεια θα δώσουμε ακριβείς τύπους της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής μέσω αθροισμάτων διωνυμικών και πολυωνυμικών συντελεστών και αναδρομικών σχέσεων. 21

22 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ Χρησιμοποιώντας την ακολουθία Fibonacci τάξης, οι Philippou και Muwafi 1982 απέδειξαν μια μαθηματική έκφραση για τον άμεσο υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής. Παρακάτω, θα παραχθεί ένας απλός τύπος για τον υπολογισμό της πιθανότητας,. Οι Philippou και Muwafi (1982), θεωρώντας την ακολουθία Fibonacci τάξης, παρήγαγαν μία επέκταση της συναρτήσει των πολυωνυμικών συντελεστών. Ορισμός 2.2 Η ακολουθία καλείται ακολουθία Fibonacci τάξης αν, 1 και η τιμή της δίνεται από τον τύπο:, 2, 1. 2 Για την εξαγωγή ενός σημαντικού Θεωρήματος θα προβούμε στα επόμενα δύο Λήμματα. Λήμμα 2.3 Έστω μια ακολουθία Fibonacci τάξης. Ας θεωρήσουμε την ακολουθία, η οποία ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση: 1,, 1 2 2, 2, 1. 3 Τότε,,. Απόδειξη Από τις 2 και 3 προκύπτει ότι, 1, 1. 4 Για 2, 2. Τότε, 22

23 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ, διότι,, 2 ( από τη 2 ). Με τη χρήση της επαγωγής, υποθέτουμε ότι, 1, 5 Αν 1,. 2, από 3, 6 2, από 4 και 5,, από 2. Με τη χρήση του παραπάνω Λήμματος, θα δείξουμε το ακόλουθο Λήμμα. Λήμμα 2.4 Έστω η ακολουθία Fibonacci τάξης. Ας συμβολίσουμε με τον αριθμό των διατάξεων των αποτελεσμάτων ( επιτυχίες ή αποτυχίες ), έτσι ώστε οι τελευταίες δοκιμές να είναι όλες επιτυχίες, ενώ πριν από αυτές, δεν υπάρχουν συνεχόμενες επιτυχίες. Τότε,. Απόδειξη Για κάθε, ας συμβολίσουμε με, και τους αριθμούς, τέτοιους ώστε: : ο αριθμός των διατάξεων των αποτελεσμάτων, έτσι ώστε να εμφανιστεί αποτυχία στην οστή δοκιμή, ενώ πριν από αυτή, δεν υπάρχουν συνεχόμενες επιτυχίες 1, με

24 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ : ο αριθμός των διατάξεων των αποτελεσμάτων, έτσι ώστε να εμφανιστεί επιτυχία στην οστή δοκιμή, ενώ πριν από αυτή, δεν υπάρχουν συνεχόμενες επιτυχίες 1, με. 8 : ο αριθμός των διατάξεων των αποτελεσμάτων, έτσι ώστε να μην υπάρχουν συνεχόμενες επιτυχίες 1, με 1. 9 Από τις 7 9, μπορούμε να εξάγουμε τα εξής: Είναι προφανές ότι,. Επίσης, σε μια ακολουθία 1 δυαδικών πειραμάτων, αν η 1 δοκιμή είναι αποτυχία, τότε θα έχουμε είτε επιτυχία είτε αποτυχία στην οστή δοκιμή. Επομένως,,. 1 Αντίστοιχα, σε μια ακολουθία 1 δυαδικών πειραμάτων, αν η 1 δοκιμή είναι επιτυχία, τότε, 2, Το αποτέλεσμα της 11 είναι προφανές για 2. Για 1, αν από τον αριθμό αφαιρέσουμε τον αριθμό των τοποθετήσεων μεταξύ των των οποίων οι τελευταίες 1 δοκιμές είναι όλες επιτυχίες. Ο αριθμός εκφράζει τον αριθμό των ακολουθιών, στις οποίες δεν εμφανίζεται ροή επιτυχιών μήκους πριν την 1 δοκιμή, στην οποία σημειώνεται αποτυχία. Στη συνέχεια, προσθέτοντας τις 1 και 11 παίρνουμε την ακόλουθη σχέση: 2, 2, 1. 2 Επιπλέον, από τον ορισμό του προκύπτει,, με 1. 24

25 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Σύμφωνα με τις δύο τελευταίες σχέσεις, έχουμε 1,, 1 2, 2 2, 1, και εφόσον ο αριθμός ικανοποιεί τη σχέση 3 λόγω του Λήμματος 2.3, προκύπτει το ζητούμενο. Στο επόμενο Θεώρημα αποδεικνύεται ένας τύπος για την ακολουθία Fibonacci, όπως δόθηκε από τους Philippou και Muwafi (1982). Θεώρημα 2.3 Ας θεωρήσουμε ως την ακολουθία Fibonacci τάξης. Τότε,,,,,,,,, όπου το άθροισμα όλων των μη αρνητικών ακεραίων ικανοποιούν τη σχέση 2. Απόδειξη Από το Λήμμα 2.4, προκύπτει ότι,. 12 Μια διάταξη των στοιχείων, με κάθε έναν όρο να είναι επιτυχία ή αποτυχία, είναι μια από τα αν και μόνο αν από τα στοιχεία είναι, από τα στοιχεία είναι,, από τα στοιχεία είναι, 1 με 2. Ολοκληρώνοντας την απόδειξη, θεωρούμε ότι ο αριθμός των διατάξεων των στοιχείων, 1,2,,, είναι,,,, για σταθερές μη αρνητικές ακέραιες τιμές,,,. Oι μη αρνητικοί ακέραιοι,,, μπορούν να ποικίλουν, υπό την προυπόθεση ότι 2. Τότε, προκύπτει ότι,,,,,,,, 13 25

26 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ για σταθερές μη αρνητικές ακέραιες τιμές,,,, με 2. Οι σχέσεις 12 και 13 αποδεικνύουν το Θεώρημα. Παράδειγμα Για να γίνει κατανοητή η παραπάνω μέθοδος, θεωρούμε μια ακολουθία αποτελούμενη από 3 δοκιμές: Η παραπάνω ακολουθία μπορεί να μετατραπεί στην ακόλουθη: με,,,, εφόσον η συνθήκη ικανοποιείται. Πιο συγκεκριμένα, έχουμε 5, 3, 2, 2 και 1 με Όσον αφορά τα αποτελέσματα, ο δείκτης, 1,2,, δηλώνει τον αριθμό των δοκιμών που περιλαμβάνει το αντίστοιχο στοιχείο. Πιο συγκεκριμένα, όλες οι δυνατές διατάξεις που μπορούν να προκύψουν δίνονται από τη σχέση,,, , 3, 2, 2, 1!!!!!! Οι Philippou και Muwafi (1982), έδωσαν ακριβή τύπο για την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής, μέσω πολυωνυμικών συντελεστών. Έτσι, έδωσαν το ακόλουθο Θεώρημα. Θεώρημα 2.4 Αν συμβολίσουμε με τον αριθμό των δοκιμών έως την πρώτη εμφάνιση των συνεχόμενων επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 1, τότε,, 1,,,, όπου η άθροιση γίνεται στους μη αρνητικούς ακεραίους,,,, έτσι ώστε να ισχύει 2. Απόδειξη Χρησιμοποιώντας τα σύμβολα και τους μη αρνητικούς αριθμούς, 1,,, με τον ακόλουθο τρόπο : και έχουμε από τα στοιχεία 26

27 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ : και έχουμε από τα στοιχεία : και έχουμε από τα στοιχεία 1 : ο αριθμός των συνεχόμενων επιτυχιών που βρίσκονται στο τέλος της ακολουθίας, 1,2,, όπου,, είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί, έτσι ώστε να ικανοποιείται ο περιορισμός 2. Παρατηρούμε ότι ένα τυπικό στοιχείο του γεγονότος είναι μια διάταξη της μορφής, η οποία περιλαμβάνει από τα, από τα,, από τα, όπως αυτά έχουν οριστεί και,,, είναι μη αρνητικοί ακέραιοι. Το πλήθος των παραπάνω διατάξεων είναι,,. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες και ισόνομες με πιθανότητα επιτυχίας, η πιθανότητα μιας διάταξης δίνεται από ,, έτσι ώστε να ικανοποιείται η σχέση 2. 27

28 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ Έτσι, ά 1,, 1,. Έτσι, αθροίζοντας πάνω στις δυνατές τιμές των ακεραίων,,, προκύπτει ότι,, 1,,,, όπου η άθροιση γίνεται στους μη αρνητικούς ακεραίους για τους οποίους ισχύει 2. Η παραπάνω σχέση είναι ισοδύναμη με το ζητούμενο. Παρατηρήσεις 1. Η κατανομή της μεταβλητής συμβολίζεται με, και ονομάζεται γεωμετρική κατανομή τάξης, με παράμετρο. 2. Στην περίπτωση όπου 1, παίρνουμε την γνωστή γεωμετρική κατανομή,,. Πράγματι, για 1, το γεγονός παριστάνει τον αριθμό των επαναλήψεων έως την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας, σε μια ακολουθία δυαδικών πειραμάτων Bernoulli. Έτσι, 1 1 1, 1, 2,. Παράδειγμα Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα ο αριθμός των απαιτούμενων πειραμάτων Bernoulli μέχρι να εμφανιστούν 3 συνεχόμενες επιτυχίες να είναι 14. Δηλαδή, 14,,,,. 28

29 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Αρχικά, θα επιλύσουμε την διοφαντική εξίσωση , υπολογίζοντας όλες τις δυνατές τιμές των που την ικανοποιούν , 1, 3 41, 4, , 2, 2 Έτσι, για, 15 1, 5, 23 2,, , 3, , 1, , 4, 421 4, 2, ,, , 3, 611 6, 1, , 2, 81 8,, , 1, 11 11,, ,3761. Στη συνέχεια, οι Philippou και Makri (1985) εξήγαγαν μια επιπλέον έκφραση για την τυχαία μεταβλητή, αρκετά χρήσιμη, σε μαθηματικούς υπολογισμούς. Το ακόλουθο Λήμμα είναι χρήσιμο για την απόδειξη του Θεωρήματος που δίνεται ακολούθως. Λήμμα 2.5 Έστω μια ακολουθία Fibonacci πολυωνυμικού τύπου τάξης 1. Τότε 29

30 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ α, 1, και 1, 2 1, β,,,,,. Θεώρημα 2.5 Αν ο χρόνος αναμονής για την εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους για πρώτη φορά, τότε,,, 1 2, 1 1, 2 1. Απόδειξη Από το Θεώρημα 2.4, έχουμε 1,,, 1 και 1 που είναι ισοδύναμη με,, 1,, από το Θεώρημα 2.2, 1 1, δηλαδή Εφαρμόζοντας τη διαφορά 1 στη παραπάνω σχέση, προκύπτει μια αναδρομική σχέση, χρήσιμη σε μαθηματικούς υπολογισμούς, για την συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής. Πιο συγκεκριμένα, έχουμε

31 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1 1, 21. Συνεπώς, καταλήγουμε στο ζητούμενο Στη συνέχεια, 1 1, 21.,, από το Λήμμα 2.5 β, 1, 1 2, από το λήμμα 2.5 α,, 1 2. Τέλος,,. Παράδειγμα 1 Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα ο απαιτούμενος αριθμός πειραμάτων μέχρι την εμφάνιση της πρώτης ροής επιτυχιών μήκους 3 να είναι 8, με. Σύμφωνα με το Θεώρημα 2.5, έχουμε Αντικάθιστώντας τις πιθανότητες με τις αντίστοιχες τιμές που προκύπτουν από το Θεώρημα 2.5, έχουμε Παράδειγμα 2 Να υπολογιστεί η πιθανότητα εμφάνισης 3 συνεχόμενων επιτυχιών σε 14 πειράματα, με πιθανότητα.9 και

32 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ Εφόσον 14 και 3, η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής είναι η ακόλουθη: 14 =

33 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Αντικάθιστώντας τις πιθανότητες με τις αντίστοιχες τιμές που προκύπτουν από το Θεώρημα 2.5, έχουμε Τότε, για.9 και Οι Barry και Lo Bello (1993), έδωσαν ένα τύπο για τη συνάρτηση πιθανότητας της, που βασίζεται στο Θεώρημα των Philippou και Muwafi (1982), στο οποίο έχουμε ήδη αναφερθεί. Θεώρημα 2.6 Έστω η τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τον χρόνο αναμονής για την πρώτη εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους, σε ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli με πιθανότητα 1, τότε:,, 1 2 1, 2. Για 2, οι όροι ικανοποιούν μια γραμμική αναδρομική σχέση τάξης με βοηθητική εξίσωση. Απόδειξη Εφόσον αναμένουμε να εμφανιστούν συνεχόμενες επιτυχίες, όταν ο χρόνος βρίσκεται στο διάστημα, η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να βρίσκεται μέσα σε αυτό το διάστημα είναι μηδενική. Αν, δηλαδή οι πρώτες στο πλήθος δοκιμές είναι επιτυχίες, τότε ο χρόνος αναμονής ισούται με τον αριθμό των συνεχόμενων επιτυχιών και έχουμε. Αν 121, η ακολουθία των συνεχόμενων επιτυχιών που συναντάμε για πρώτη φορά λήγει στη οστή δοκιμή. Πρόκειται για μια ακολουθία, στην οποία οι 33

34 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ συνεχόμενες επιτυχίες έπονται από μια αποτυχία (), η οποία με τη σειρά της έπεται από οποιαδήποτε ακολουθία 1 αποτελεσμάτων. Έτσι, προκύπτει ότι,1 21. Έστω 2. Θεωρούμε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli, όπου η πρώτη ροή συνεχόμενων επιτυχιών σημειώνεται στο οστό πείραμα. Για την πραγματοποίηση αυτού του γεγονότος, η πρώτη αποτυχία θα εμφανιστεί στην ή πριν την - οστή δοκιμή και είναι δυνατό να εμφανιστεί σε οποιαδήποτε από τις πρώτες δοκιμές. Για 1, συμβολίζουμε με το γεγονός στο οποίο η πρώτη ροή επιτυχιών μήκους εμφανίζεται στο οστό πείραμα και η πρώτη αποτυχία εμφανίζεται στο οστό πείραμα. Από το άθροισμα των πιθανοτήτων των, μπορεί να εκφραστεί η συνάρτηση πιθανότητας. Η πιθανότητα του γεγονότος είναι. Συγκεκριμένα, 1 επιτυχίες προηγούνται της πρώτης αποτυχίας, η οποία με τη σειρά της προηγείται από οποιαδήποτε ακολουθία αποτελεσμάτων, ενώ η πρώτη ροή επιτυχιών μήκους εμφανίζεται στο οστό πείραμα. Τότε, 1 2 3,. Παράδειγμα Έστω 8 και 3, θα υπολογίσουμε την συναρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής, με την χρήση της μεθόδου που ορίστηκε παραπάνω

35 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Από το Θεώρημα 2.6, η συνάρτηση πιθανότητας είναι και για.1,.9, έχουμε Πιθανογεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής Tk Στη συνέχεια, θα δώσουμε την πιθανογεννήτρια συνάρτηση της γεωμετρικής κατανομής τάξης. Προτού αναφερθούμε στο Θεώρημα που δόθηκε από τους Philippou, Georghiou και Philippou (1983), για την πιθανογεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής, θα ορίσουμε το πολυωνυμικό Θεώρημα, όπως ορίστηκε από τον Koutras (21). Θεώρημα 2.7 (Πολυωνυμικό Θεώρημα). Έστω, θετικοί ακέραιοι και,,, πραγματικοί αριθμοί. Τότε το ανάπτυγμα της οστής δύναμης του αθροίσματος δίνεται από τον τύπο,,,, όπου η άθροιση γίνεται για όλες τις άδες,, μη αρνητικών ακέραιων οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση. Απόδειξη Αρχικά, γράφουμε τη δύναμη στη μορφή 35

36 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ Ο γενικός όρος του αθροίσματος που προκύπτει μετά την εκτέλεση των πράξεων, θα δημιουργείται επιλέγοντας ένα από τα σύμβολα,,, από κάθε παρένθεση και πολλαπλασιάζοντας τα. Έτσι, θα πάρουμε όρους της μορφής όπου. Για να βρούμε τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε τέτοιους (όμοιους) όρους, έτσι ώστε να δημιουργηθεί το γινόμενο, θα πρέπει να επιλέξουμε από τις διαθέσιμες παρενθέσεις από όπου θα πάρουμε το σύμβολο, με διαφορετικούς τρόπους από τις παρενθέσεις που δεν χρησιμοποιήθηκαν στο προηγούμενο βήμα, να επιλέξουμε παρενθέσεις από όπου θα πάρουμε το σύμβολο, με διαφορετικούς τρόπους από τις παρενθέσεις που δεν χρησιμοποιήθηκαν σε όλα τα προηγούμενα βήματα, να επιλέξουμεγια παρενθέσεις από όπου θα πάρουμε το σύμβολο, με διαφορετικούς τρόπους Επομένως, σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή, οι συνολικοί τρόποι επιλογής που οδηγούν στο μονώνυμο είναι:!!!!!!!!!!!!!,,. Συνεπώς, το ανάπτυγμα της δύναμης αποτελείται από ένα άθροισμα όρων της μορφής 36

37 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ,,, όπου,, είναι μη αρνητικοί ακέραιοι που ικανοποιούν τη σχέση. Στη συνέχεια, δίνουμε την έκφραση για την πιθανογεννήτρια συνάρτηση της, η οποία οφείλεται στους Philippou, Georghiou και Philippou (1983) και δίνεται από το ακόλουθο Θεώρημα. Θεώρημα 2.8 Έστω ο χρόνος αναμονής για την πρώτη εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους. Αν συμβολίσουμε με τη πιθανογεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής, τότε 1 1, 1. Απόδειξη Από τον ορισμό της πιθανογεννήτριας συνάρτησης έχουμε:,,,, (από το Θεώρημα 2.4),,,,,,,, (θέτοντας 1 και 1 ),,,, 37

38 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ,,,,, ( από το πολυωνυμικό Θεώρημα ) , 2.5 Ροπογεννήτρια, Μέση τιμή και Διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Tk Αργότερα, οι Barry και Lo Bello (1993), εισήγαγαν έναν τύπο για την ροπογεννήτρια συνάρτηση του χρόνου αναμονής. Το ακόλουθο Λήμμα θα αποτελέσει χρήσιμο εργαλείο για την απόδειξη του επόμενου Θεωρήματος. Λήμμα 2.6 Οι ρίζες της βοηθητικής εξίσωσης είναι διακριτές και έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη από 1. Έχοντας εκφράσει τις έννοιες στις οποίες αναφερθήκαμε παραπάνω, θα διατυπώσουμε ένα Θεώρημα, όπως δόθηκε από τους Barry και Lo Bello (1993), για την ροπογεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής. Θεώρημα 2.9 Η ροπογεννητρια συνάρτηση της μεταβλητής ορίζεται σε ένα ανοικτό διάστημα που περιέχει το και δίνεται από , 1. Απόδειξη Έστω,,, οι διακριτές ρίζες της πολυωνυμικής εξίσωσης, τότε υπάρχουν σταθερές,,, έτσι ώστε 38

39 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ, αν. Αξίζει να αναφέρουμε ότι η σειρά συγκλίνει στο αν 1 που είναι ισοδύναμο με. Αν,,,,τότε η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής δίνεται από και παίρνει τιμές του συνόλου,. Μπορούμε να υπολογίσουμε την ροπογεννήτρια συνάρτηση, αντικαθιστώντας στην πιθανογεννήτρια συνάρτηση την τιμή με την τιμή, στο Θεώρημα 2.8. Διαφορετικά, σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, έχουμε 12, 1 με,,. Τότε

40 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ 1 2. Έτσι, κάνοντας κατάλληλες πράξεις προκύπτει ότι Στη συνέχεια, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη ροπογεννήτρια συνάρτηση για τον υπολογισμό της μέσης τιμής και της διασποράς της τυχαίας μεταβλητής. Οι ροπές γύρω από το μηδέν καθώς και οι παραγοντικές ροπές της γεωμετρικής κατανομής τάξης είναι,,, 1,, οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες ισότητες 1 1 1, 1, 1 1, 1. 1 Συγκεκριμένα, αν 1 και 2, οι ροπές πρώτης και δεύτερης τάξης, αντίστοιχα, είναι

41 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ομοίως, στην περίπτωση όπου 2, έχουμε Επίσης, από τις και εξάγεται ο τύπος της διασποράς της τυχαίας μεταβλητής, δηλαδή Παράδειγμα Στην περίπτωση που, η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής είναι , ενώ η διασπορά της είναι 41

42 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ Χρόνος αναμονής σε ανεξάρτητες, όχι κατ ανάγκη ισόνομες δοκιμές Bernoulli Τα παραπάνω μπορούν να γενικευτούν σε ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli, όχι κατ ανάγκη ισόνομες. Θεωρούμε, 1 μια ακολουθία δυαδικών ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με πιθανότητα επιτυχίας 1, 1,2, και πιθανότητα αποτυχίας 1 1,1,2,. Η μεταβλητή παριστάνει τον αριθμό των δυαδικών πειραμάτων μέχρι την εμφάνιση της πρώτης ροής επιτυχιών μήκους, στην υπακολουθία,,. Λήμμα 2.7 Αν είναι ο αριθμός των δυαδικών πειραμάτων για την εμφάνιση της πρώτης ροής επιτυχιών μήκους, στην υπακολουθία,,, τότε η συνάρτηση πιθανότητας της δίνεται από την ακόλουθη αναδρομική σχέση, 1, με αρχικές συνθήκες, και Απόδειξη Είναι προφανές ότι Στη συνέχεια, ορίζουμε τα ενδεχόμενα 42

43 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ, {η πρώτη αποτυχία στην ακολουθία,,, εμφανίζεται στο οστό πείραμα},, 1, 2,,. Τότε, για 1, έχουμε,, 1,, 1, λόγω ανεξαρτησίας των πειραμάτων. Κατά συνέπεια, προκύπτει ότι και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Θεώρημα 2.1 Αν είναι ο αριθμός των δυαδικών πειραμάτων μέχρι την εμφάνιση συνεχόμενων επιτυχιών, στην ακολουθία,,, με 1 και 1, 1,2,, τότε η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής δίνεται από, 1, με αρχικές συνθήκες, και 43

44 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ. Απόδειξη Θέτοντας στο Λήμμα 2.7, προκύπτει το αποτέλεσμα του Θεωρήματος, αφού είναι προφανές ότι. Αν θέσουμε,1,2,, στο Θεώρημα 2.9, παίρνουμε μια αναδρομική σχέση της συνάρτησης πιθανότητας της, για μια ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομων πειραμάτων Bernoulli. Πόρισμα 2.1 Αν είναι ο αριθμός των πειραμάτων Bernoulli έως ότου εμφανιστούν συνεχόμενες επιτυχίες, η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής είναι, 2, με αρχικές συνθήκες και 1. Παράδειγμα 1 Να υπολογιστεί η συνάρτηση πιθανότητας του χρόνου αναμονής έως ότου εμφανιστούν 3 συνεχόμενες επιτυχίες σε 8 δοκιμές Bernoulli, όχι κατ ανάγκη ισόνομες. Σύμφωνα με την προαναφερθείσα θεωρία, η συνάρτηση πιθανότητας είναι Για τον υπολογισμό της παραπάνω πιθανότητας, 44

45 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ αν 5, έχουμε 3 αν 4, έχουμε αν 3, έχουμε αν 2, έχουμε

46 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ αν 1, έχουμε Έχοντας υπολογίσει τις πιθανότητες που είναι χρήσιμες για τον υπολογισμό της 8 έχουμε 8. Με αντικατάσταση στην παραπάνω σχέση, για, 1 έχουμε, 1,,8, 46

47 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

48 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3 Χρόνος αναμονής για την r-οστή εμφάνιση ροής επιτυχιών 3.1 Η κατανομή της Tr,k Οι Philippou, Georghiou και Philippou (1983), μέσω της πιθανογεννήτριας συνάρτησης, όρισαν την συνάρτηση πιθανότητας του αθροίσματος,, ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή τάξης. Πιο συγκεκριμένα, η τυχαία μεταβλητή, παριστάνει τον χρόνο αναμονής για την οστή εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους, σε μια ακολουθία δυαδικών δοκιμών. Θεώρημα 3.1 Έστω,, ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που κατανέμονται σύμφωνα με την ; και,. Τότε, 1,,,1,,,, όπου το άθροισμα ορίζεται πάνω σε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους,,, οι οποίοι ικανοποιούν τον περιορισμό 2. Απόδειξη Παρατηρούμε ότι,, 1 1 ( από τον ορισμό της, και λόγω της ανεξαρτησίας των,, ) 48

49 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ (από τη σχέση 1 1 ) 1 (από το πoλυωνυμικό θεώρημα),,,,... 1,,,1,,... 1,,,1,, θέτοντας 1 και 1,... 1,,,1,,. 49

50 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ Έτσι, προκύπτει ότι,... 1,,,1 Παρατηρήσεις,,,. 1. Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής, καλείται αρνητική διωνυμική τάξης με διάνυσμα παραμέτρων, και συμβολίζεται με ;,. 2. Στην περίπτωση όπου 1, παίρνουμε την γνωστή αρνητική διωνυμική ;, ;,. Παράδειγμα Έστω 2 και 3, θα υπολογίσουμε την πιθανότητα ο αριθμός των δοκιμών Bernoulli μέχρι την εμφάνιση 2 ροών επιτυχιών μήκους 3 να είναι 12. Σύμφωνα με το προγούμενο Θεώρημα, η συγκεκριμένη πιθανότητα δίνεται από:, 12 21,,,21,, όπου το άθροισμα ορίζεται πάνω στους μη αρνητικούς ακεραίους,,, οι οποίοι ικανοποιούυν τον περιορισμό Αρχικά, θα επιλύσουμε την διοφαντική εξίσωση 2 3 6, υπολογίζοντας όλες τις δυνατές τιμές των, 1, 2, 3 που την ικανοποιούν Οι δυνατές τιμές των είναι , 12 21,, 2, 1 31, 3,, 1 5

51 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ , 1, 1, , 2,, ,, 1, , 1,, ,,, 1 3,, 2, 1 4, 3,, 1 4 1, 1, 1, 1 5 2, 2,, 1 5 3,, 1, 1 6 4, 1,, 1 7 6,,, Ως εκ τούτου, για, προκύπτει, Στο Θεώρημα των Philippou, Georghiou και Philippou (1983) αναφέρθηκε ο Godbole 199. Συγκεκριμένα, ο τελευταίος δημιούργησε έναν εναλλακτικό τύπο για την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής,, μέσω διωνυμικών συντελεστών. Με χρήση συνδυαστικής μεθόδου, επίσης ο Godbole (199) κατάφερε να δημιουργήσει μια έκφραση για την συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής, που ακολουθεί την αρνητική διωνυμική κατανομή τάξης. Προτού αναφερθούμε σε έναν επιπλέον τύπο για τον υπολογισμό της,, ας δώσουμε προσοχή στη μέθοδο που εφάρμοσε ο Godbole (199), για τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής, στα Λήμματα που ακολουθούν. Ο Godbole 199 όρισε άνω και κάτω φράγματα για τον αριθμό των αποτυχιών, δεδομένου ότι,, μέσω του επόμενου Λήμματος. 51

52 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ Λήμμα 3.1 Έστω ο αριθμός των αποτυχιών σε μια ακολουθία από δοκιμές Bernoulli και,, τότε ισχύει η σχέση /. Συγκεκριμένα,,, αν και μόνο αν /, όπου είναι το ακέραιο μέρος του. Λήμμα 3.2 Έστω,, και οι τυχαίες μεταβλητές που εκφράζουν, αντιστοίχως,τον αριθμό των επιτυχιών, τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους και το μήκος της μεγαλύτερης ροής επιτυχιών και έστω το αποτέλεσμα της οστής δοκιμής. Τότε, 1,, / όπου και, 1,,. Απόδειξη Σύμφωνα με το Λήμμα 3.1, η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής, μπορεί να δοθεί από την ακόλουθη σχέση,,,, /,,,, / από το Θεώρημα 2.1, όπου το εσωτερικό άθροισμα είναι πάνω σε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους που ικανοποιούν τις και. Τότε,,,,,, / / /,,,,,,,. 52

53 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Σύμφωνα με τους Philippou και Makri (1986), έχουμε,,, 1,,. Η παραπάνω σχέση μπορεί να γίνει κατανοητή αν λάβουμε υπόψη ότι σε μια ακολουθία των δοκιμών, το μήκος της μεγαλύτερης ροής επιτυχιών δεν μπορεί να ξεπεράσει την τιμή 1, ο αριθμός των επιτυχιών ισούται με και εφόσον δεν επιτρέπεται η ακολουθία να λήγει σε επιτυχία, προκύπτει ότι έχουμε. Λήμμα 3.3 Έστω, και οι τυχαίες μεταβλητές στις οποίες έχουμε αναφερθεί και έστω,, εκφράζει το γεγονός 1,,, τότε για κάθε έχουμε,, 1 / 1 1 Απόδειξη Αν κάθε στοιχείο του παραπάνω γεγονόντος είναι μια ακολουθία SSS SSF που αποτελείται από επιτυχίες 1 πριν την οστή αποτυχία 1. Τότε έχουμε,,,,,. 1 1, όπου,, και όπως ορίστηκαν παραπάνω. Πιο συγκεκριμένα, για το γεγονός έχουμε: i. : ο αριθμός των επιτυχιών σε δοκιμές Bernoulli είναι ii. : το αποτέλεσμα της δοκιμής είναι αποτυχία iii. : ο αριθμός των επιτυχιών πριν από κάθε αποτυχία να είναι μεγαλύτερος ή ίσος του. Ας θεωρήσουμε ότι υπάρχουν κάλπες, μια για κάθε. Ο αριθμός των καλπών ισούται με τον αριθμό των αποτυχιών στην ακολουθία, στις οποίες πρέπει να τοποθετηθούν οι 53

54 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ επιτυχίες. Αφαιρώντας τον αριθμό των αποτυχιών, θα διανείμουμε τα όμοια σφαιρίδια, έτσι ώστε κάθε μια από τις διακεκριμένες κάλπες (,,, ), να περιέχει τουλάχιστον σφαιρίδια. Επιπλέον, έστω ότι έχουμε κάλπες,,,, από τις οποίες κάθε μια περιέχει τουλάχιστουν σφαιρίδια. Έχοντας ικανοποιήσει τον περιορισμό, τοποθετώντας τον ελάχιστο αριθμό σφαιριδίων που μπορεί να έχει κάθε μια κάλπη, τα σφαιρίδια που έχουν απομείνει, πρέπει να τοποθετηθούν στις κάλπες με οποιονδήποτε τρόπο. Αυτό μπορεί να συμβεί με τρόπους. 1 Χρησιμοποιώντας της αρχή «εγκλεισμού-αποκλεισμού» 1 έχουμε,, , όπου είναι οι τρόποι με τους οποίους τοποθετούμε τις αποτυχίες και 1 είναι 1 οι τρόποι για να τοποθετήσουμε τις επιτυχίες που απέμειναν. Στο παραπάνω άθροισμα οι τιμές των μπορούν να περιοριστούν ως εξής: /. Ο Godbole 199, ακολούθησε την παραπάνω μέθοδο για τον υπολογισμό της πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής,, η οποία δίνεται στο Θεώρημα που ακολουθεί. Θεώρημα 3.2 Αν, είναι η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον χρόνο αναμονής έως την εμφάνιση της οστής ροής επιτυχιών μήκους, τότε 54

55 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ / /, , 1, 2,, και,,, όπου οι τιμές του ποικίλουν και ικανοποιούν τις και, 1,2,, και είναι μη αρνητικοί ακέραιοι. Απόδειξη Εφαρμόζοντας την μέθοδο για τον υπολογισμό της πιθανότητας,, έχουμε,,, / (όπου είναι ο αριθμός των επιτυχιών σε μια ακολουθία πειραμάτων Bernoulli) 1,,,,1 / 1,,,,1 / 1 1,,, / / / από το Λήμμα 3.3, όπου,,, είναι μη αρνητικοί ακέραιοι. Αν, είναι προφανές ότι η συνάρτηση πιθανότητας ισούται με., x 1, 2,, 55

56 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ Παρατήρηση Θέτοντας 1 στη παραπάνω σχέση, προκύπτει ένας διαφορετικός τύπος για την. Έτσι, αν θέσουμε 1 1, προκύπτει ότι 1 / / 1 1 1,. 3.2 Η κατανομή της Wr,k Αργότερα, ο Muselli 1996, παρουσίασε έναν τύπο για τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής,, η οποία παριστάνει τον χρόνο αναμονής μέχρι την οστή εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους τουλάχιστον. Για την απόδειξη, χρησιμοποίησε την τυχαία μεταβλητή,, η οποία εκφράζει τον αριθμό ροών επιτυχιών μήκους τουλάχιστον σε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli, όπου η κάθε μια έχει πιθανότητα επιτυχίας, 1 και πιθανότητα αποτυχίας 1. Στο ακόλουθο Θεώρημα εισάγεται μια έκφραση για την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής,. Θεώρημα 3.3 Αν, είναι ο αριθμός των ροών επιτυχιών μήκους τουλάχιστον, σε δοκιμές Bernoulli, τότε, 1 1, όπου, και είναι θετικοί ακέραιοι. Με τη χρήση του Θεωρήματος 3.3, ο Muselli 1996 παρήγαγε έναν τύπο για τον υπολογισμό της πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής,, μέσω αθροισμάτων διωνυμικών συντελεστών. Θεώρημα 3.4 Αν, είναι η τυχαία μεταβλητή, όπως ορίστηκε παραπάνω, τότε έχουμε:, 1 1, 14 56

57 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ όπου, και είναι θετικοί ακέραιοι. Απόδειξη Θέτοντας στο τύπο του Θεωρήματος 3.3 έχουμε, Στη συνέχεια, από την ιδιότητα του τριγώνου Pascal, έχουμε , 16 εφαρμοζοντας τη σχέση (Feller, 1968, p. 63): 1 57

58 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ η οποία ισχύει για, μη αρνητικούς ακεραίους και κάθε πραγματικό αριθμό. Αντικαθιστώντας την (16) στην (15), προκύπτει η ζητούμενη σχέση., Λαμβάνοντας υπόψη τα Θεωρήματα 3.3 και 3.4, μπορούμε να πάρουμε μια έκφραση για άλλες ενδιαφέρουσες κατανομές. Πιο συγκεκριμένα, η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής,, η οποία παριστάνει τον αριθμό των δοκιμών Bernoulli μέχρι την εμφάνιση ροών επιτυχιών μήκους τουλάχιστον, δίνεται στο ακόλουθο Θεώρημα. Θεώρημα 3.5 Αν η, είναι ο χρόνος αναμονής για την οστή εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους τουλάχιστον, τότε η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής είναι, Απόδειξη Από τον ορισμό της τυχαίας μεταβλητής,, κάθε ακολουθία ανεξάρτητων δοκιμών Bernoulli που ανήκει στο ενδεχόμενο, πρέπει να λήγει σε συνεχόμενες επιτυχίες, οι οποίες έπονται μιας αποτυχίας. Τότε,, 1 και από την (14) για, 1 έχουμε, Αντικαθιστώντας το με 1, καταλήγουμε στην έκφραση 58

59 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ, Παρατηρήσεις Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής, καλείται αρνητική διωνυμική τάξης. Για 1, παίρνουμε τη συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής, η οποία ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή τάξης. Τότε, Παράδειγμα Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα να χρειαστούν 3 δοκιμές Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας για να εμφανιστούν 3 ροές επιτυχιών μήκους τουλάχιστον 4, σύμφωνα με την προαναφερθείσα θεωρία., για 3, έχουμε: για 4, έχουμε:

60 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ για 5, έχουμε: για 6, έχουμε: Έτσι, η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής, είναι, Για, έχουμε,, Σχήμα δειγματοληψίας Polya Eggenberger Θεωρούμε το ακόλουθο σχήμα δειγματοληψίας Polya Eggenberger. Επιλέγουμε τυχαία ένα σφαιρίδιο από μία κάλπη που περιέχει λευκά (επιτυχίες) και μαύρα (αποτυχίες) σφαιρίδια, καταγράφουμε το χρώμα του και το επιστρέφουμε στη κάλπη μαζί με επιπλέον σφαιρίδια του ίδιου χρώματος με αυτό που επιλέξαμε. Έτσι, δημιουργείται μια δυαδική ακολουθία ως εξής: 1, αν η i οστή επιλογή είναι άσπρο σφαιρίδιο, αν η i οστή επιλογή είναι μαύρο σφαιρίδιο, 1,2,. 6

61 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Στην περίπτωση που η ακολουθία αποτελείται από επιτυχίες και δεν περιέχει καμία αποτυχία, η πιθανότητα της αντίστοιχης ακολουθίας θα είναι Αν 1, η πιθανότητα μιας τέτοιας ακολουθίας που περιλαμβάνει αποτυχίες και επιτυχίες είναι, y αποτυχίες και n y επιτυχίες n y 1 j ( w n 1 j js) y 1 j ( w b ( b js) js). Έτσι, η πιθανότητα εμφάνισης οποιασδήποτε ακολουθίας των αποτυχιών και επιτυχιών σε επαναλήψεις ενός σχήματος δειγματοληψίας Polya - Eggenberger είναι, n y 1 j n 1 j ( w n 1 j js) y 1 j ( w b w js w b js ( b js) js),,,. Παρατήρηση Στην περίπτωση που, έχουμε ανεξάρτητες και ισόνομες δοκιμές Bernoulli. Τότε, η πιθανότητα μιας ακολουθίας που περιλαμβάνει αποτυχίες και επιτυχίες είναι,, όπου και. 61

62 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ Οι Makri, Philippou και Psillakis (27), εξήγαγαν έναν τύπο για την τυχαία μεταβλητή,,,, η οποία εκφράζει τον αριθμό των πειραμάτων, έως την οστή εμφάνιση επικαλυπτόμενης ροής επιτυχιών μήκους, σύμφωνα με τη δειγματοληπτική μέθοδο Polya Eggenberger. Αν και, έχουμε ανεξάρτητες και ισόνομες δοκιμές και η τυχαία μεταβλητή θα είναι,,,,, δηλαδή ταυτίζεται με την αρνητική διωνυμική κατανομή τάξης. Το ακόλουθο Λήμμα θα αποτελέσει σημαντικό εργαλείο για τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας της,,,. Λήμμα 3.4 Έστω ;, ; 1, 1 παριστάνει τον αριθμό των διανομών μη διακεκριμένων σφαιριδίων σε διακεκριμένα κελιά, από τα οποία έχουν χωρητικότητα 1 και τα υπόλοιπα έχουν χωρητικότητα 1. Τότε ;, ; 1, 1 / / 1 1, 1 όπου είναι ο μέγιστος ακέραιος που είναι μικρότερος ή ίσος του, δηλαδή το ακέραιο μέρος του. Αντικαθιστώντας στο Λήμμα 3.4, την τιμή με προκύπτει το ακόλουθο Πόρισμα. Πόρισμα 3.1 Αν ;, ; 1, 1 είναι όπως ορίστηκε στο Λήμμα 3.4, τότε ;, ; 1, 1 είναι ο αριθμός των διανομών των μη διακεκριμένων σφαιριδίων σε διακεκριμένα κελιά, καθένα από τα οποία έχει χωρητικότητα 1, έτσι ;, ; 1, 1,, Θεώρημα 3.6 Αν,,, είναι η τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τον αριθμό των δοκιμών σύμφωνα με τη δειγματοληπτική μέθοδο Polya Eggenberger, έως την οστή εμφάνιση μιας επικαλυπτόμενης ροής επιτυχιών μήκους 1,1, τότε, (α),,,,, (β) Για 1,,,,,, 1 ;,;1,1, 62

63 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ όπου 1 1, Απόδειξη Για, το μέρος (α) είναι προφανές. Για 1,, έστω ο συνολικός αριθμός των αποτυχιών στις επαναλήψεις. Ένα τυπικό στοιχείο του γεγονόντος,,,, είναι μια ακολουθία που αποτελείται από αποτυχίες και επιτυχίες με πιθανότητα,. Αν,, παριστάνει τον αριθμό των στοιχείων του,,,,, τότε,,,,,,,. Ας θεωρήσουμε ότι οι αποτυχίες δημιουργούν 1 κελιά,,. Πρόκειται για ένα μοντέλο τοποθέτησης μη διακεκριμένων σφαιριδίων (επιτυχιών) σε 1 διακεκριμένα κελιά υπό τους περιορισμούς του προβλήματος. Οι επικαλυπτόμενες ροές επιτυχιών μήκους εμφανίζονται στο τελευταίο κελί, καθώς και σε καθορισμένα κελιά ανάμεσα στα,, κελιά,, 1,, 1,. Προφανώς, τα κελιά μπορούν να επιλεγούν από τα κελιά με τρόπους. Για κάθε καθορισμένη επιλογή,, των δεικτών από τους δείκτες, συνεχόμενες επιτυχίες τοποθετούνται σε καθένα από τα 1 κελιά με έναν τρόπο. Στη συνέχεια, οι 1 ροές των συνεχόμενων επιτυχιών που απέμειναν τοποθετούνται σε 1 κελιά,,, χωρίς κανέναν περιορισμό με 1 διαφορετικούς τρόπους. Ο αριθμός των σφαιριδίων (επιτυχιών) που δεν έχουν τοποθετηθεί σε κάποιο από τα 1 κελιά είναι 1 1. Ως εκ τούτου, ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους οι επιτυχίες μπορούν να τοποθετηθούν στα κελιά,, υπό τον περιορισμό ότι η χωρητικότητα καθενός από τα,, περιορίζεται σε 1 επιτυχίες, ενώ η χωρητικότητα των υπόλοιπων κελιών είναι το πολύ 1 επιτυχίες, είναι ;,;1,1, από το Λήμμα 3.4. Τότε, έχουμε 63

64 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ,, 1 ;,;1,1. Θεωρώντας ότι, προκύπτει το αποτέλεσμα. Παρατηρήσεις Η κατανομή της,,, καλείται αντίστροφη κατανομή Polya τάξης στην επικαλυπτόμενη περίπτωση και συμβολίζεται με,,,,. Για, και, προκύπτει η αρνητική διωνυμική κατανομή τάξης στην επικαλυπτόμενη περίπτωση και συμβολίζεται με, ;,. Το Θεώρημα 3.6 μας επιτρέπει την εξαγωγή του τύπου για την συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής, η οποία ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή τάξης. Παράδειγμα Θεωρούμε μια ακολουθία δοκιμών Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας 1. Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα εμφάνισης μιας ροής συνεχόμενων επιτυχιών μήκους 3, κατά την 8 η δοκιμή Bernoulli. Λαμβάνοντας υπόψην ότι και, η ζητούμενη πιθανότητα δίνεται από την σχέση 17, όπου 1 12, , Ως εκ τούτου, έχουμε,,, 8 5;,;31,31 για 2, έχουμε:

65 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΓΙΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ για 3, έχουμε: για 4, έχουμε:

66 ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΕΝΥΧΤΑ για 5, έχουμε: