Ι ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΠΟΛΥΩΜΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΜΦΥΤΕΥΣΙΜΕΣ ΣΕ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗ ΑΛΥΣΙ Α

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 7 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής 4) σελ Ι ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΠΟΛΥΩΜΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΜΦΥΤΕΥΣΙΜΕΣ ΣΕ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗ ΑΛΥΣΙ Α Σ Μπερσίµης Λ Αντζουλάκος και Μ Β Κούτρας Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης Πανεπιστήµιο Πειραιώς ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία ορίζεται η έννοια της «ιδιάστατης Μεταβλητής Πολυωνυµικού Τύπου Εµφυτεύσιµης σε Μαρκοβιανή Αλυσίδα» BMVP) Η τυχαία µεταβλητή τύπου BMVP αποτελεί τη διδιάστατη γενίκευση της τυχαίας µεταβλητής τύπου MVP zoulakos e al 3a)) Για τις µεταβλητές τύπου BMVP βρίσκονται αναδροµικές σχέσεις για τον υπολογισµό της συνάρτησης πιθανότητας γεννήτριες πιθανοτήτων καθώς και τύποι για τον υπολογισµό µέσων τιµών και διακυµάνσεων Η συγκεκριµένη τυχαία µεταβλητή βρίσκει εφαρµογές ως κατάλληλο στοχαστικό µοντέλο για τη µελέτη προβληµάτων βιοµηχανικού ελέγχου ποιότητας Η έρευνα υποστηρίχθηκε από την Γενική Γραµµατεία Έρευνας και Τεχνολογίας ΠΕΝΕ 35

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην εργασία των Fu ad Kouras 994) παρουσιάστηκε µια νέα µέθοδος µελέτης του αριθµού σχηµατισµών καθορισµένου µήκους πχ ροών επιτυχιών µήκους k) σε µια ακολουθία δίτιµων τυχαίων µεταβλητών Με τη µέθοδο αυτή η µελέτη της απαριθµήτριας τυχαίας µεταβλητής επιτεύχθηκε µε την εµφύτευσή της σε µια Μαρκοβιανή αλυσίδα η οποία εκµεταλεύεται την ακολουθιακή φύση του σχηµατισµού που εξετάζεται Στην εργασία των Kouras ad lexadrou 995) εισήχθη µια παραλλαγή αυτής της µεθόδου µέσω του ορισµού της «Μεταβλητής ιωνυµικού Τύπου Εµφυτεύσιµης σε Μαρκοβιανή Αλυσίδα» MVB) Η προσέγγιση αυτή επέτρεψε τον ταχύτερο αριθµητικό υπολογισµό της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής και την εξαγωγή εύχρηστων κλειστών τύπων για υπολογισµό της γεννήτριάς της µονής και διπλής) Στην εργασία των zoulakos e al 3a) εισήχθη η έννοια της «Μεταβλητής Πολυωνυµικού Τύπου Εµφυτεύσιµης σε Μαρκοβιανή Αλυσίδα» MVP) η οποία αποτελεί γενίκευση της MVB Η MVP έδωσε λύση σε πολύπλοκα προβλήµατα τα οποία σχετίζονται µε την εύρεση της κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής η οποία αναφέρεται στον αριθµό το άθροισµα κα των ροών προκαθορισµένου µήκους σε ακολουθίες ανεξάρτητων δοκιµών Beroulli Στην εργασία των zoulakos e al 3b) µελετήθηκαν προβλήµατα χρόνου αναµονής που περιγράφονται από τυχαίες µεταβλητές τύπου MVP Στην παρούσα εργασία ορίζεται η έννοια της «ιδιάστατης Μεταβλητής Πολυωνυµικού Τύπου Εµφυτεύσιµης σε Μαρκοβιανή Αλυσίδα» BMVP) Η τυχαία µεταβλητή τύπου BMVP αποτελεί τη διδιάστατη γενίκευση της τυχαίας µεταβλητής τύπου MVP Για τις µεταβλητές τύπου BMVP βρίσκονται αναδροµικές σχέσεις για τον υπολογισµό της συνάρτησης πιθανότητας γεννήτριες πιθανοτήτων καθώς και τύποι για τον υπολογισµό µέσων τιµών και διακυµάνσεων Η συγκεκριµένη µεταβλητή βρίσκει εφαρµογές ως κατάλληλο στοχαστικό µοντέλο για τη µελέτη προβληµάτων βιοµηχανικού ελέγχου ποιότητας 36

3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΜΦΥΤΕΥΣΙΜΕΣ ΣΕ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗ ΑΛΥΣΙ Α Όπως προαναφέρθηκε οι Fu ad Kouras 994) παρουσίασαν µια νέα µέθοδο για τη µελέτη τυχαίων µεταβλητών που απαριθµούν σχηµατισµούς καθορισµένου µήκους πχ ροών επιτυχιών µήκους k) σε ακολουθίες δοκιµών Beroulli Η µέθοδος αυτή αναφέρεται ως «µέθοδος Μαρκοβιανής εµφύτευσης» και συνίσταται στη µελέτη της τυχαίας µεταβλητής διαµέσου µιας εµφύτευσής της σε µια κατάλληλα ορισµένη Μαρκοβιανή αλυσίδα Ορισµός : Μια θετική ακέραια τυχαία µεταβλητή µε σύνολο τιµών l } N l ax{ x : P x) > } ) θα λέγεται «εµφυτεύσιµη { σε Μαρκοβιανή αλυσίδα» αν Υπάρχει µια Μαρκοβιανή αλυσίδα διακριτού χρόνου { Y : } ορισµένη στο χώρο καταστάσεων Ω a a } { Υπάρχει µια διαµέριση { C x x } του Ω τέτοια ώστε για κάθε x l } να ισχύει P x) P Y C ) { x Ο Ορισµός οφείλεται στους Fu ad Kouras 994) Με τη χρήση του επόµενου θεωρήµατος είναι δυνατός ο υπολογισµός της συνάρτησης πιθανότητας της Θεώρηµα : Αν η τυχαία µεταβλητή λυσίδα { Y : } ορισµένη στο χώρο καταστάσεων Ω τότε είναι εµφυτεύσιµη σε Μαρκοβιανή α- a P x) π Λ er r: a r C x όπου π P Y a ) P Y )) είναι το διάνυσµα των αρχικών πιθανοτήτων της αλυσίδας Λ ο πίνακας των πιθανοτήτων µετάβασης πρώτης τάξης της αλυσίδας και e r το µοναδιαίο διάνυσµα γραµµή µε όλες τις συνιστώσες ίσες µε εκτός της συνιστώσας r που είναι ίση µε ) Με τη χρήση του Θεωρήµατος προκύπτει το πρόβληµα του αριθµητικού υ- πολογισµού της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητή στην περίπτωση που το µήκος µιας ακολουθίας είναι µεγάλο Το πρόβληµα αυτό λύθηκε µε 37

4 τον ορισµό και τη µελέτη της «µεταβλητής διωνυµικού τύπου εµφυτεύσιµης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα» MVB) από τους Kouras ad lexadrou 995) Ορισµός : Μια θετική ακέραια τυχαία µεταβλητή θα λέγεται «µεταβλητή διωνυµικού τύπου εµφυτεύσιµη σε Μαρκοβιανή αλυσίδα» MVB) αν Η εµφυτεύεται σε Μαρκοβιανή αλυσίδα σύµφωνα µε τον Ορισµό και επιπλέον Cx { cx cx cx s } x Ισχύει ότι P Y c Y c ) για κάθε y xx yj xi Για κάθε MVB ορίζουµε τους πίνακες µετάβασης διαστάσεων s s P Y c Y c )) B P Y c Y c )) xj xi x j xi Οι Kouras ad lexadrou 995) έδωσαν εύχρηστους τύπους συναρτήσει των πινάκων και B για τον υπολογισµό της συνάρτησης πιθανότητας της µέσης τιµής της µονής και της διπλής γεννήτριας της τυχαίας µεταβλητής Στην εργασία των zoulakos e al 3a) ορίστηκε η έννοια «µεταβλητής πολυωνυµικού τύπου εµφυτεύσιµης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα» MVP) σύµφωνα µε τον ακόλουθο ορισµό Ορισµός 3: Μια θετική ακέραια τυχαία µεταβλητή θα λέγεται «µεταβλητή πολυωνυµικού τύπου εµφυτεύσιµη σε Μαρκοβιανή αλυσίδα» MVP) αν Η εµφυτεύεται σε Μαρκοβιανή αλυσίδα σύµφωνα µε τον Ορισµό και επιπλέον Cx { cx cx cx s } x Ισχύει P Y c Y c ) για κάθε y xx x yj xi Η µελέτη µιας τυχαίας µεταβλητής τύπου MVP επιτυγχάνεται µέσω των πινάκων πιθανοτήτων µετάβασης διαστάσεων s s µε j j { s } ) i x) P Y cx i j Y cx j )) i x Αξίζει να σηµειωθεί ότι οι µεταβλητές διωνυµικού τύπου προκύπτουν ως ειδική περίπτωση των µεταβλητών πολωνυµικού τύπου για 38

5 3 Ι ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΜΦΥΤΕΥΣΙΜΕΣ ΣΕ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗ ΑΛΥΣΙ Α Στην παρούσα εργασία ορίζεται η έννοια της «διδιάστατης µεταβλητής πολυωνυµικού τύπου εµφυτεύσιµης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα» ΒMVP) ) ) Ορισµός 4: Μια θετική ακέραια διδιάστατη τυχαία µεταβλητή ) ορι- σµένη στο { l } { } µε N θα λέγεται «διδιάστατη µετα- l βλητή πολυωνυµικού τύπου εµφυτεύσιµη σε Μαρκοβιανή αλυσίδα» BMVP) αν Υπάρχει µια Μαρκοβιανή αλυσίδα διακριτού χρόνου { Y : } ορισµένη στο χώρο καταστάσεων Ω Cx x Cx x { cx x cx x cx x s } x x Υπάρχουν δύο θετικοί αριθµοί τέτοιοι ώστε για P Y C Y C ) x x y y για κάθε x x ) { y u y ) y y v)} u v ) ) Ισχύει ότι P x x ) P Y C ) x x x x Για την µελέτη µιας ΒMVP χρειαζόµαστε το διάνυσµα των αρχικών πιθανοτήτων π x ) ) )) x P Y c x x P Y c P Y c x x x x s x x τους «εσωτερικούς» πίνακες µετάβασης x x ) P Y c x x j Y c )) ' x x j s s και τους «εξωτερικούς» πίνακες µετάβασης ) i x x ) P Y cx ' Y c ) i i x j x x j ) i x x ) P Y cx ' Y c ) i x i j x x j Εισάγοντας τα διανύσµατα πιθανότητας f x x ) P Y cx ) ) )) x P Y c P Y c x x x x s x x ) ) προκύπτει ότι P x x ) P Y C ) f x x ) x x Στο Θεώρηµα δίνεται µια αναδροµική σχέση για τον υπολογισµό των δια- 39

6 νυσµάτων f x x ) ενώ η µονή και η διπλή γεννήτρια συνάρτησή τους παρουσιάζεται στα Θεωρήµατα 3 και 4 αντίστοιχα Θεώρηµα : Η ακολουθία των διανυσµάτων f x x ) ικανοποιεί το αναδροµικό σχήµα f x x ) f x x f ) x x x x i) ) ) i x x f x i) i x ) x x ) i x i x ) ) ) Θεώρηµα 3: Αν x x ) i x x ) i i και ) ) i x x ) i i x για κάθε x ) τότε η διανυσµατική) γεννήτρια συνάρτηση των διανυσµάτων f x x ) δίνεται από τον τύπο φ όπου x x ) i z z x x z r z z z ) ) f ) φ r i z x x r φ z z ) f x x ) z x z x x x ) r i z ) ) Θεώρηµα 4: Αν x x ) i x x ) i i και ) ) i x x ) i i x για κάθε x ) και τότε η διπλή διανυσµατική) γεννήτρια συνάρτηση των διανυσµάτων f x x ) δίνεται από τον τύπο Φ z z ; ) ) ) i w φ z z w π I w i z i z ) i Στο Θεώρηµα 5 δίνουµε σχέσεις για τον υπολογισµό των ποσοτήτων j) ) ) E ) και E ) ) ) Θεώρηµα 5: Αν x x ) i x x ) i i και ) ) i x x ) i i για κάθε x ) και τότε x 33

7 όπου η E j) r ) B D j r E ) ) π j ) r π r i r i r i B DB D B D B D r ) ) B i i ) D i i ) D i i Ως εφαρµογή µιας BMVP τυχαίας µεταβλητής θεωρούµε την περίπτωση που ) δηλώνει τον αριθµό των µη επικαλυπτόµενων ροών αποτυχιών µήκους k και η ) απαριθµεί το συνολικό αριθµό των επιτυχιών που εµφανίζονται σε ροές επιτυχιών µήκους τουλάχιστον r σε µια ακολουθία ανεξάρτητων δοκιµών Beroulli µε πιθανότητα επιτυχίας p Στα Σχήµατα και δίνονται οι γραφικές ) ) παραστάσεις της συνάρτησης πιθανότητας της ) για 4 k και r µε p 5 και p 5 αντίστοιχα ) ) ) ) Σχήµα : σπ της ) Σχήµα : σπ της ) Αξίζει να αναφέρουµε ότι στο διαδοχικό- k -από-τα- : F σύστηµα και για r η τυχαία µεταβλητή ) δοθέντος ότι δηλώνει τον αριθµό των ) µη αποµονωµένων καλών εξαρτηµάτων του συστήµατος δοθέντος ότι το σύστηµα 33

8 λειτουργεί Για µια αναλυτικότερη µελέτη της τυχαίας µεταβλητής BMVP και για την απόδειξη των θεωρηµάτων) ο αναγνώστης παραπέµπεται στην εργασία των zoulakos e al 4) BSTRCT I his aricle we defie he bivariae exesio of he Markov chai ebeddable variable of Polyoial Type BMVP) iroduced by zoulakos e al 3a 3b) The ivesigaio of he rado variable of ieres is accoplished by exploiig a appropriae geeralizaio of he Markov chai ebeddig echique Specifically we ivesigae he characerisics of BMVP disribuio ad we give forulae for calculaig he probabiliy fucio he probabiliy geeraig fucio as well as forulae for calculaig he ea ad he variace of he rado variable of ieres ΑΝΑΦΟΡΕΣ zoulakos D L Bersiis S & Kouras M V 3a) O he Disribuio of he Toal Nuber of Ru Leghs als of he Isiue of Saisical Maheaics zoulakos D L Bersiis S & Kouras M V 3b) Waiig Ties ssociaed wih he Toal Nuber of Ru Leghs i Maheaical ad Saisical Mehods i Reliabiliy Edied by B Lidqvis & K Doksu World Scieific zoulakos D L Bersiis S & Kouras M V 4) Mulivariae Markov Chai Ebeddable Variables of Polyoial Type Paper Subied Fu J C & Kouras M V 994): Disribuio heory of rus: a Markov chai approach Joural of he erica Saisical ssociaio Kouras M V & lexadrou V 995): Rus scas ad ur odel disribuios: uified Markov chai approach als of he Isiue of Saisical Maheaics