Ολοκλήρωση. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι

Transcript

1 Ολοκλήρωση Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι

2 Το ζητούμενο Είδαμε μεθόδους υπολογισμού για το πώς μεταβάλλονται οι συναρτήσεις στιγμιαία. Αν αθροίσουμε αυτές τις στιγμιαίες μεταβολές θα έχουμε ένα συνολικό αποτέλεσμα για ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα; Μέλημά μας δηλ. είναι: 1. Αν ξέρω την τιμή f(c). Αν ξέρω & την f (x) Πώς θα βρω την f(x)? o Βήμα 1 ο : Βρίσκω όλες τις συναρτήσεις (F): F (x) = f(x) o Βήμα ο : Δημιουργώ τον γενικό τύπο που περιέχει όλες τις συναρτήσεις αυτές (αόριστο ολοκλήρωμα) o Βήμα 3 ο : Από την γνωστή τιμή f(c) στο c, βρίσκω την σωστή συνάρτηση f(x)

3 Ορισμός: Έστω f(x) με ΠΟ(f) F(x) αντιπαράγωγος της f αν: Αντιπαράγωγος της f 1. υπάρχει F (x). F (x) = f(x), για κάθε x ϵ ΠΟ(f) Το σύνολο των αντιπαραγώγων της f = Αόριστο ολοκλήρωμα της f Το αόριστο ολοκλήρωμα της f συμβολίζεται ως: f(x)dx Υπενθυμίσεις: (1) Θ.Μ.Τ.: Αν f(x) στο [α,β] & f στο (α,β) τουλάχιστον 1 c ϵ(α,β): f (c) = (f(β) - f(α)) / (β - α) () Πόρισμα ο του ΘΜΤ: Αν f (x)=g (x), για κάθε x ϵ (α,β) c σταθερά: f(x) = g(x) + c, για κάθε x ϵ (α,β) Από το () αν βρω μία αντιπαράγωγο F οι υπόλοιπες διαφέρουν από την F κατά μία σταθερά, δηλ. f ( x) dx = F( x) + c παράγουσα ή αρχική συνάρτηση Διαβάζεται: «Το αόριστο ολοκλήρωμα της f ως προς x» (c η αυθαίρετη σταθερά) π.χ.: x dx = x + c Η f μπορεί δηλ. να είναι x +1, x +, x -π (όλες αντιπαράγουσες της x)

4 x n+1 Βασικά ολοκληρώματα n+1 n x dx= +c, n Z\{-1} 1 dx=ln x +c x x x e dx=e +c (αν x>0 το = lnx + c) x 1 x α dx= α +c, α>0, α 1 lnα coskx sinxdx= -cosx+c & sinkxdx= - +c k sinkx cosxdx= sinx+c & coskxdx= +c k 1 cos x 1 sin x 0 dx=c 1 dx=x+c k dx=kx+c dx= tanx+c dx= -cotx+c τους τύπους των tan & cot επειδή είναι πιο σύνθετοι θα τους δούμε αργότερα σε άσκηση

5 Παράδειγμα 1 ο : Παραδείγματα sin( x) x 1 1 cos dx= cos( x)dx= sin( x)+c + c = 1 Παρατήρηση: Συχνά η ολοκλήρωση είναι πιο περίπλοκη. Όμως έχουμε πάντα την δυνατότητα επαλήθευσης, αφού μπορούμε να παραγωγίσουμε το ο μέλος αν μας δίνει την ολοκληρωτέα συνάρτηση π.χ.: x 3 x dx= 3 + c 1 dx x dx x +c= x = = + c x cosx sinxdx=- +c Ισχύει ότι : x cosxdx=xsinx+cosx+c? Πράγματι (xsinx+cosx+c)'=sinx+xcosx-sinx=xcosx 1

6 Προβλήματα αρχικής συνθήκης Είναι προβλήματα για τα οποία γνωρίζουμε μία τιμή f(c) για το σημείο c (αρχική τιμή: (c, f(c)) και την f (x) Παράδειγμα: Ποια η καμπύλη με κλίση 3x στο σημείο (x,y) που περνά από το σημείο (1, -1); δηλ. ξέρω την κλίση (=f (x)) & ένα σημείο αρχικό (1, -1) Λύση: (α) f (x)=3x f (x)dx = 3x dx f(x) + c 1 = x 3 + c f(x) = x 3 + c (*) (με c= c - c 1 ) (β) Η f περνά από το (1, f(1)) = (1, -1) άρα από την (*) έχω: -1 = 1 + c c = - Άρα η καμπύλη μου είναι η y = f(x) = x 3 -

7 Παράδειγμα 1 ο : Παράδειγμα ο : Αλγεβρικοί κανόνες ( i) kf(x)dx=k f(x)dx, k R (ii) [f(x) ± g(x)]dx= f(x)dx ± g(x)dx Πριν ψάξω το ολοκλήρωμα απλοποιώ την παράσταση x x x 3 3 (x -x+5)dx= x dx xdx + 5 dx = +c1- +c +5x+c3 = x+5x+c 1 1 3x-1 3x 1 - dx = dx - dx = 3 x dx - x dx = x x x x x c= x -x + c 3 1 όπου c=c 1 +c +c 3

8 (i) sin xdx =? Άσκηση 1-cosx sinx Υπενθύμιση: sin x=(1-cosx)/ sin xdx= dx= dx- cosxdx= x- +c (ii) cos xdx? = cos xdx= 1+cosx x sin x dx=... = + + c 4 Υπενθύμιση: cos x=(1+cosx)/ Υπενθύμιση: Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης : Αν f(u) παραγωγίσιμη στο u=g(x) και αν g(x) παραγωγίσιμη στο x (f g) (x)=f (g(x)) g (x) ή σε μορφή Leibniz: dy/dx=dy/du du/dx = f (u) du

9 Παράδειγμα 1: Παραδείγματα 1+y y dy=? g(x)=u f(g(x))=f(u) Λύση: Αν u=1+y du=ydy Άρα: 1+y y dy= udu = u + c= (1 + y ) + c Παράδειγμα : cos(5θ + 3) dθ =? Λύση: Αν u=5θ+3 du=5θdθ dθ =(1/5) du 1 1 cos(5θ + 3) dθ = cosu du = cosudu = sin u+ c= sin(5θ + 3) + c 5 5

10 Ασκήσεις 1 η : 4t-1dt =? Λύση: αν u=4t-1 du = 4dt dt = du/4 3 3 du 1 1 u 1 Άρα: 4t-1dt = u = udu= + c= (4t 1) + c η 3 : x sin( x ) dx =? Λύση: αν u=x 3 du = 3x dx x dx = (1/3)du Άρα: x sin( x ) dx = sin( u) du = sin( u) du = ( cos u) + c= cos( x ) + c

11 Να βρείτε το ολοκλήρωμα: Λύση: Άσκηση 3 1 ος τρόπος: αν u=x +1 du = 3xdx 3 x dx x + 1 =? ος τρόπος: αν u= u 3 =x +1 3u du = xdx 3 x 1 u 3 3 dx = du = + c = u + c = 1 ( x + 1) + c x + 1 u x +1 3 x 3u u dx = du = 3 udu = 3 + c = ( x + 1) + c 3 x + 1 u