ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή."

Transcript

1 1 ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.1. Εισαγωγή. Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών. Σε πολλά προβλήματα των Πειραματικών και Εφαρμοσμένων Επιστημών αλλά και σε προβλήματα Καθαρών Μαθηματικών, στα οποία άγνωστη είναι μια συνάρτηση y = y(x), καταλήγουμε από τα δεδομένα σε μια εξίσωση στην οποία εμφανίζονται παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης Παράδειγμα. Δοχείο, το οποίο περιέχει υγρό θερμοκρασίας 100 ο C, τοποθετείται σε δωμάτιο με σταθερή θερμοκρασία 20 ο C. Η ταχύτητα ψύξης είναι οποιαδήποτε στιγμή ανάλογη της διαφοράς των θερμοκρασιών υγρού και δωματίου ( Νόμος του Νεύτωνα). Αν η θερμοκρασία του υγρού μετά από 5 min. είναι 60 ο C πόση θα είναι μετά από 10 min ; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό, παρατηρούμε ότι η θερμοκρασία θ του υγρού είναι, μετά την τοποθέτησή του στο δωμάτιο, συνάρτηση θ = θ(t) του χρόνου t. Η ταχύτητα μεταβολής της θερμοκρασίας δίνεται από την παράγωγο dθ και άρα η ταχύτητα ψύξης δίνεται από την ποσότητα dθ dt dt. Επειδή η ταχύτητα ψύξης είναι κάθε χρονική στιγμή ανάλογη της διαφοράς των θερμοκρασιών, έχουμε την εξίσωση dθ = α(θ 20), (1) dt όπου α R είναι σταθερή. Από την εξίσωση (1), στην οποία εμφανίζεται η άγνωστη συνάρτηση θ = θ(t) και η παράγωγός της dθ είμαστε υποχρεωμένοι να βρούμε τη συνάρτηση θ = θ(t). dt Παράδειγμα. Σώμα με μάζα m gr. είναι συνδεδεμένο με το άκρο ενός κατακόρυφου ελτηρίου και το όλο σύστημα περιβάλλεται από μέσο του οποίου η αντίσταση είναι ανάλογη της ταχύτητας του σώματος. Απομακρύνουμε κατακόρφα το σώμα από τη θέση ισορροπίας του (Σχ. 1) και το αφήνουμε ελεύθερο. Να περιγραφεί η κίνηση του συστήματος. Ο x Σχ. 1. Από τη στιγμή που το σώμα αφήνεται ελεύθερο, το ελατήριο τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας και το όλο σύστημα αρχίζει να ταλαντεύεται. Η κίνηση του συστήματος περιγράφεται πλήρως από τη συνάρτηση x = x(t), όπου t είναι ο χρόνος. Οι δυνάμεις που καθορίζουν την κίνηση x

2 2 του συστήματος είναι δύο ( το βάρος του σώματος εξουδετερώνεται, κάθε χρονική στιγμή, από το ελατήριο ): (i) H δύναμη του ελατηρίου, η οποία τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας. Η δύναμη αυτή έχει αλγεβρική τιμή αντίθετη της απομάκρυνσης x και μέτρο ανάλογο της απομάκρυνσης, δηλ. είναι η δύναμη F 1 = βx, όπου β R, β > 0. (ii) H δύναμη αντίστασης του μέσου, η οποία έχει αλγεβρική τιμή αντίθετη της ταχύτητας d t του σώματος και μέτρο ανάλογο του μέτρου της ταχύτητας, δηλ. είναι η δύναμη F 2 = α dx, όπου α R, α > 0. dt Η ολική δύναμη F = F 1 + F 2 προσδίδει επιτάχυνση γ = d 2 x d t 2 στο σώμα και ο νόμος του Νεύτωνα F = m γ, που ισχύει κάθε χρονική στιγμή t, δίνει την εξίσωση η οποία γράφεται β x a = m d 2 x, d t d t 2 m d2 x + α + βx = 0. (2) d t 2 d t Από την εξίσωση (2), στην οποία εμφανίζονται η άγνωστη συνάρτηση x = x(t) και οι παράγωγοί της d t και d 2 x, είμαστε υποχρεωμένοι να βρούμε τη συνάρτηση x. d t Παράδειγμα. Να βρεθεί καμπύλη k του επιπέδου Oxy της οποίας η κλίση της εφαπτομένης στο τυχαίο σημείο της P(x, y) είναι ίση με το διπλάσιο του γινομένου των συντεταγμένων του P. Όπως γνωρίζουμε, μια καμπύλη k του επιπέδου Oxy καθορίζεται στην Αναλυτική Γεωμετρία από την εξίσωσή της. Άρα άγνωστη, στο πρόβλημά μας αυτό, είναι η εξίσωση F(x, y) = 0 της καμπύλης k ή, ισοδύναμα, η συνάρτηση y = y(x) που ορίζεται από την εξίσωση της k. Επειδή η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης k στο τυχαίο σημείο της P(x, y) δίνεται από την παράγωγο συνάρτησης y = y(x), έχουμε την εξίσωση της = 2xy. (3) Από την εξίσωση (3), στην οποία εμφανίζεται η ανεξάρτητη μεταβλητή x, η άγνωστη συνάρτηση y και η παράγωγός της, είμαστε υποχρεωμένοι να βρούμε τη συνάρτηση y = y(x) Ορισμός. Μια εξίσωση στην οποία άγνωστη είναι μια συνάρτηση y = y(x) και στην οποία εμφανίζονται κάποιες παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης ( δηλ. μία ή και περισσότερες από τις συναρτήσεις y, y,, y (ν) ) λέγεται ( συνήθης ) διαφορική εξίσωση.

3 Παρατήρηση. Η γενική μορφή μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η F(x, y, y, y,, y (ν) ) = 0, (4) όπου ν N και όπου F δηλώνει μια σχέση μεταξύ των μεταβλητών x, y, y, y,, y (ν) Παρατήρηση. Σε μια διαφορική εξίσωση εκτός από τις παραγώγους της άγνωστης συνάρτησης y = y(x), οι οποίες είναι βέβαια σε πεπερασμένο πλήθος, είναι δυνατό να εμφανί-ζεται και η ανεξάρτητη μεταβλητή x ή και η άγνωστη συνάρτηση y ή και οι δύο, αλλά αυτό δεν είναι αναγκαίο. Το αναγκαίο είναι να εμφανίζεται κάποια παράγωγος της άγνωστης συνάρτη-σης Παρατήρηση. Δεν θεωρούνται διαφορικές εξισώσεις οι ισότητες οι οποίες είναι ταυτότητες ως προς την άγνωστη συνάρτηση, όπως π.χ. η (x y) = y + x y Παρατήρηση. Επίσης δεν θεωρούνται διαφορικές εξισώσεις οι ισότητες εκείνες στις οποίες εμφάνιση των παραγώγων είναι εικονική, όπως π.χ. η y 2 + y = 2y + y Παρατήρηση. Σε ότι ακολουθεί, αντί συνήθης διαφορική εξίσωση θα γράφουμε, για συντομία, Δ.Ε Παράδειγμα. Οι εξισώσεις (1), (2), (3) των Παραδειγμάτων 1.1.1, και 1.1.3, όπως και οι εξισώσεις y + 2 y = 2e x, d 3 y dx 3 = 4, x3 d 3 y + 2 dx 3 x2 d 2 y + 4 x + 7y = 0, dx 2 y y 4y = x, y (5) y (4) = ημ x, + y 2 = συν(2x) είναι όλες Δ.Ε ( διαφορικές εξισώσεις ) Ορισμός. Μια συνάρτηση y = f(x), η οποία είναι ορισμένη και η οποία παραγωγίζεται ν τουλάχιστον φορές σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Ι, λέγεται λύση ή ολοκλήρωμα της Δ.Ε. αν μετά την αντικατάσταση των y, y, y,, y (ν) με τα F(x, y, y, y,, y (ν) ) = 0, (4) f(x), f (x), f (x), f (ν) (x) στην (4) αυτή γίνεται ταυτότητα ως προς x, δηλ. αν F[x, f(x), f (x), f (x),, f (ν) (x)] = 0, x I Παράδειγμα. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f(x) = x + 3 e x, x R,

4 4 είναι λύση της Δ.Ε. + y = x + 1. (5) Έχουμε df dx = (x + 3e x ) = 1 3 e x και df + f(x) = 1 3 e x + x + 3 e x = x + 1, x R. Επομένως η συνάρτηση y = f(x) είναι λύση της Δ.Ε. (5) Παράδειγμα. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση είναι λύση της Δ.Ε. f(x) = e x + 2 x x + 8, x R, y 3 y + 2 y = 4 x 2. (6) Έχουμε f (x) = ( e x + 2 x x + 8) = e x + 4 x + 6, f (x) = e x + 4 και f (x) 3 f (x) + 2 f(x) = = e x + 4 3(e x + 4 x + 6 ) + 2(e x + 2 x x + 8 ) = = e x e x 12 x e x + 4 x x + 16 = 4 x Επειδή υπάρχει τιμή του x R, π.χ. η x = 0, τέτοια ώστε να είναι 4 x x 2, η συνάρτηση y = f(x) δεν είναι λύση της Δ.Ε. (6) Ορισμός. Η λύση μιας Δ.Ε. είναι σε πολλές περιπτώσεις πλεγμένη συνάρτηση. Η πλεγμένη συνάρτηση y = y(x) που ορίζεται από την ισότητα F(x, y) = 0 (7) λέγεται λύση ή ολοκλήρωμα της Δ.Ε. (4), αν παραγωγίζεται ν τουλάχιστον φορές και μετά την έκφραση των y, y,, y (ν) με τα x και y και την αντικατάσταση των εκφράσεων αυτών στην (4), αυτή επαληθεύεται από όλα τα x και y τα οποία ικανοποιούν την (7) Παράδειγμα. Να εξεταστεί αν η πλεγμένη συνάρτηση y = y(x) που ορίζεται από την ισότητα είναι λύση της Δ.Ε. x + e x 2 y = 2 + e y (8) ( x + e x 2y) = 1 + ex. (9) Για να βρούμε την παράγωγο της πλεγμένης συνάρτησης y = y(x) που ορίζεται από την ισότητα (8), παραγωγίζουμε τα μέλη της (8) ως προς x και θεωρούμε το y συνάρτηση του x. Έτσι, έχουμε

5 5 1 + e x 2 = ey ή = 1 + ex 2 + e y. Επομένως ( x + e x 2 y) = ( x + ex 2 y) 1 + ex 2 + e (8) y = 1 (2 + e y ) 1 + ex 2 + e y = 1 + ex, για όλα τα x, y που επαληθεύουν την (8) και άρα η πλεγμένη συνάρτηση y = y(x) που ορίζεται από την ισότητα (8) είναι λύση της Δ.Ε. (9) Παράδειγμα. Να εξεταστεί αν η πλεγμένη συνάρτηση y = y(x) που ορίζεται από την ισότητα 5 x 2 y 2 2 x 3 y 2 = 1, 0 < x < 5 2 (10) είναι λύση της Δ.Ε. x y + y = x 3 y 3. (11) Παραγωγίζουμε τα μέλη της (10) ως προς x και θεωρούμε το y συνάρτηση του x. Έτσι έχουμε Επομένως 10 xy 2 10 x 2 y y 6 x 2 y 2 4 x 3 y y = 0 ή y = 10 x y2 6 x 2 y 2 4 x 3 y 10 x 2 y = 5 x y2 3x 2 y 2 2 x 3 y 5 x 2 y. x y + y = x(5 x y2 3 x 2 y 2 ) + y = 5 x2 y 2 3 x 3 y x 3 y 2 5 x 2 y 2 = 2 x 3 y 5 x 2 y 2 x 3 y 5 x 2 y x 3 y 2 2 x 3 y 5 x 2 y = = x 3 y 3 = x 3 y 3 (10) = x 3 y 3 = x 3 y 3, (2 x 3 y 5 x 2 y)y 5 x 2 y 2 2 x 3 y 2 1 για όλα τα x, y που επαληθεύουν τη (10) και άρα η πλεγμένη συνάρτηση y = y(x) που ορίζεται από την ισότητα (1) είναι λύση της Δ.Ε. (11) Ορισμός. Μια Δ.Ε. λέγεται διαφορική εξίσωση ν τάξης (ν N ), αν η μεγαλύτερη τάξη των παραγώγων που εμφανίζεται σ αυτήν είναι ν, δηλ. αν σ αυτήν εμφανίζεται η ν-οστή παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης και δεν εμφανίζεται παράγωγος μεγαλύτερης τάξης Παράδειγμα. Οι Δ.Ε. (α) 2 y = x (β) d2 y y + (d dx 2 )3 = 0 (γ) y (5) + 2 y (4) y (3) + y (2) 2 y y = ημ(2 x) + 3 συν(2 x) (8) 1 = Ισούται εξαιτίας της (8).

6 6 είναι, αντίστοιχα, πρώτης, δεύτερης και πέμπτης τάξης Παρατήρηση. Μια Δ.Ε. πρώτης τάξης F(x, y, y ) = 0 (12) επιδέχεται γεωμετρική ερμηνεία ανάλογη με εκείνην του Παραδείγματος Πιο συγκεκριμένα, στη Δ.Ε. (12) καταλήγουμε όταν ζητούμε την καμπύλη k του επιπέδου Oxy που έχει την ιδιότητα : Ο συντελεστής διεύθυνσης λ = y, της εφαπτομένης της καμπύλης k στο τυχαίο σημείο της P(x, y), συνδέεται με τις συντεταγμένες του Ρ με τη συγκεκριμένη σχέση F. Οι λύσεις της Δ.Ε. (12) δίνουν όλες τις καμπύλες του επιπέδου που έχουν την παραπάνω ιδιότητα Παρατήρηση. Το κύριο πρόβλημα της Θεωρίας των Δ.Ε. είναι η εύρεση όλων των λύσεων μιας δοσμένης Δ.Ε. Το πρόβλημα αυτό δεν λύθηκε μέχρι σήμερα στη γενική του μορφή, αλλά μόνο σε ορισμένες απλές περιπτώσεις με μερικές από τις οποίες θα ασχοληθούμε κι εμείς στα επόμενα Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση 1. Να εξεταστεί αν κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι λύση της Δ.Ε. που γράφεται απέναντι : (i) f(x) = c 1 e 3 x + c 2 x e 3 x : y 6y + 9y = 0 (ii) g(x) = a συν(2 x) + β ημ(2 x) : y + 4y = 0 (iii) h(x) = e x (α συν x + β ημ x) : y + 2y + 2y = 0. Λύση. (i) f (x) = c 1 3 e 3 x + c 2 (1 e 3 x + x 3 e 3 x ) = 3 c 1 e 3 x + c 2 e 3 x + 3 c 2 x e 3 x, και f (x) = 3 c 1 e 3 x 3 + c 2 e 3 x c 2 (1 e 3 x + x 3 e 3 x ) = = 9 c 1 e 3 x + 6 c 2 e 3 x + 9 c 2 x e 3 x f (x) 6 f (x) + 9 f(x) = = 9 c 1 e 3 x + 6 c 2 e 3 x +9 c 2 x e 3 x 6(3 c 1 e 3 x + c 2 e 3 x + 3 c 2 x e 3x ) + 9 (c 1 e 3 x + c 2 x e 3 x ) = = (9 c 1 +6 c 2 18 c 1 6 c c 1 )e 3 x + (9 c 2 18 c 2 +9 c 2 ) x e 3x = = 0 e 3 x + 0 x e 3 x = 0, x R. Επομένως η συνάρτηση f(x) είναι λύση της Δ.Ε. y 6 y + 9y = 0. (ii) g (x) = a[ 2 ημ(2 x)] + β[2 συν(2 x)] = 2 a ημ(2 x) + 2 β συν(2 x), g (x) = 4 a συν(2 x) 4 β ημ(2 x) = 4 y

7 7 και g (x) + 4g(x) = 4y + 4y = 0, x R. Επομένως η συνάρτηση g(x) είναι λύση της Δ.Ε. y + 4 y = 0. (iii) h(x) = e x (α συν x + β ημ x) h (x) = e x h(x) = α συν x + β ημ x (1) [e x h(x)] = ( α συν x + β ημ x ) e x h(x) + e x h (x) = a ημ x + β συν x (2) Από την ισότητα (2) παίρνουμε, διαδοχικά, [e x h(x) + e x h (x)] = ( α ημ x + β συν x ), [e x h(x) + 2e x h (x) + e x h (x)] = a συν x β ημ x, e x [h (x) + 2 h (x) + h(x)] = ( a συν x + β ημ x) ή, εξαιτίας της (1), e x [h (x) + 2 h (x) + h(x)] = e x h(x), e x [h (x) + 2 h (x) + 2h(x)] = 0, x R και εξαιτίας του ότι είναι e x 0, για κάθε x, έχουμε h (x) + 2 h (x) + 2h(x) = 0, x R. Επομένως η συνάρτηση h(x) είναι λύση της Δ.Ε. y + 2 y + 2 y = 0. Άσκηση 2. Να εξεταστεί αν κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι λύση της Δ.Ε. που γράφεται απέναντι : (i) f(x) = 2 e 3 x 5 e 5 x : d 2 y y = 0. (ii) g(x) = (x 3 3 x + a)e : 2 x2 (iii) h(x) = 2 + a e : Λύση. + 3 y = 3 x2 e 3 x. + 4 x y = 8 x. (i) f (x) = (2 e 3 x ) (5 e 5 x ) = 6 e 3 x 25 e 5 x, f (x) = 18 e 3 x 125 e 5 x και f (x) 7f (x) + 12 f(x) = = 18 e 3 x 125 e 5 x 7[6 e 3 x 25 e 5 x ] + 12[2 e 3 x 5 e 5 x ] = = ( ) e 3 x + ( )e 5 x = 0 e 3 x 10 e 5 x = 10 e 5 x. Επειδή υπάρχει τιμή του x R, π.χ. η x = 0, τέτοια ώστε να είναι [f (x) 7f (x) + 12 f(x)] x = 0 = 10 e 0 = 10 0

8 8 η συνάρτηση f(x) δεν είναι λύση της Δ.Ε. y 7y + 12y = 0. (iii) g (x) = (x 3 + a) + (x 3 + a)(e 3 x ) = 3 x 2 e 3 x 3(x 3 + a)e 3 x και g (x) +3 g(x) = 3 x 2 e 3 x 3(x 3 + a)e 3 x + 3[(x 3 + a)e 3 x ] = 3 x 2 e 3 x. Επομένως για κάθε α R η συνάρτηση g(x) είναι λύση της Δ.Ε. y + 3 y = 3 x 2 e 3 x. (iv) h (x) = 2 + (a e 2 x 2 ) = 0 + a e 2 x2 ( 2 x 2 ) = 4 a x e 2 x 2 και h (x) + 4 x h(x) = 4 a x e 2 x2 + 4 x (2 + a e a x ) = 8 x, x R. Επομένως για κάθε α R η συνάρτηση h(x) είναι λύση της Δ.Ε. + 4xy = 8 x. Άσκηση 3. Να εξεταστεί αν κάθε μία από τις πλεγμένες συναρτήσεις y = y(x) που ορίζονται από τις παρακάτω ισότητες είναι λύση της Δ.Ε. που γράφεται απέναντι : Λύση (i) x 3 + 3xy 2 = 1, 0 < x < 1 : 2 xyy + x 2 + y 2 = 0. (ii) y 2 = a x x lnx, x > 0 : 2 xyy y 2 + x = 0, όπου α R. (i) Παραγωγίζουμε τα μέλη της ισότητας x x y 2 = 1 ως προς x και θεωρούμε το y συνάρ-τηση του x. Έτσι έχουμε Επομένως 3 x 2 + 3(1 y 2 + x 2y y ) = 0 ή y = 3 x y 2 2 x y y + x 2 + y 2 = 2 x y ( x 2 + y 2 6 x y = x 2 + y 2 2 x y. 2 x y ) + x2 + y 2 = x 2 y 2 + x 2 + y 2 = 0, για κάθε x (0,1) και άρα η πλεγμένη συνάρτηση y = y(x) που ορίζεται από την ισότητα x x y 2 = 1 είναι λύση της Δ.Ε. 2 x y y + x 2 + y 2 = 0. (ii) Παραγωγίζουμε τα μέλη της ισότητας y 2 = ax xlnx ως προς x και θεωρούμε το y συνάρτηση του x. Έτσι έχουμε 2 y = α lnx x 1 x ή 2yy = α lnx 1 ή y = 1 2y (α lnx 1) και επομένως 2xyy y 2 + x = 2xy 1 (α lnx 1) 2y y2 + x =

9 9 = ax xlnx x y 2 + x = y 2 x y 2 + x = 0, για όλα τα x, y που επαληθεύουν την ισότητα y 2 = a x x ln x. Επομένως, η πλεγμένη συνάρ-τηση y = y(x) που ορίζεται από την ισότητα y 2 = a x x ln x είναι λύση της Δ.Ε. 2 x y y y 2 + x = 0. Άσκηση 4. Να εξεταστεί αν υπάρχει τιμή του ν N τέτοια ώστε η συνάρτηση f(x) = e ν x να είναι λύση της Δ.Ε. Λύση y 3 y 4 y + 12 y = 0. Έχουμε f (x) = νe ν x, f (x) = ν 2 e ν x, f (x) = ν 3 e ν x και άρα f (x) 3 f (x) 4 f (x) + 12 f(x) = 0, x R ν 3 e ν x 3 ν 2 e ν x 4 νe ν x + 12 e ν x = 0, x R (ν 3 3ν 2 4ν +12) e νx = 0, x R ν 3 3 ν 2 4 ν + 12= 0. Αλλά ν 3 3ν 2 4ν+12 = ν 2 (ν 3) 4(ν 3) = (ν 3)(ν 2 4) = = (ν 3)(ν 2)(ν + 2) = 0 ν = 2 ή ν = 2 ή ν = 3 και από τις τιμές αυτές του ν δεκτές είναι μόνο οι ν 1 = 2 N και ν 2 = 3 N. Επομένως υπάρχουν δύο τέτοιες τιμές του ν, οι ν 1 = 2 και ν 2 = 3. Άσκηση 5. Να βρεθεί για ποιες τιμές του ν N η συνάρτηση y = 2 x ν, x 0 είναι λύση της Δ.Ε. 2 x 2 y 3 x y 3 y = 0. Λύση. Έχουμε y = 2ν x ν 1, y = 2 ν(ν 1)x ν 2 και 2 x 2 y 3 x y 3 y = 2 x 2 2 ν (ν 1)x ν 2 3 x 2 ν x ν x ν = = [4 ν(ν 1)x ν 6 ν x ν 6 x ν ] = (4 ν 2 4 ν 6 ν 6)x ν = = (4 ν 2 10 ν 6)x ν = 4(ν 3)(ν )xν. Επομένως 2 x 2 y 3 x y 3y = 0, x 0

10 10 4(ν 3)(ν )xν = 0, x 0 4(ν 3) (ν ) = 0 ν = 3 ή ν = 1 2. Από τις τιμές αυτές του ν δεκτή είναι μόνο η ν 1 = 3 N, αφού ν 2 = 1 2 N Γενική, μερική και ιδιάζουσα λύση Δ.Ε. Πρόβλημα αρχικών και πρόβλημα συνοριακών τιμών. Το αντίστροφο του κυρίου προβλήματος Παρατήρηση. Η πιο απλή μορφή Δ.Ε. είναι η = φ(x), (1) όπου φ(x) είναι γνωστή συνάρτηση. Στη Δ.Ε. (1) δίνεται η παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης και ζητείται η συνάρτηση Πρόταση. Η λύση της Δ.Ε. (1) δίνεται από τον τύπο όπου c είναι αυθαίρετο στοιχείο του R. y = φ(x)dx + c, (2) Απόδειξη. Σύμφωνα με το βασικό Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, για κάθε συνάρτηση y = y(x) της οποίας η παράγωγος (στο διάστημα αυτό) είναι συνεχής σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Ι έχουμε y(x) = ( ) dx + c, (3) όπου c είναι η αυθαίρετη σταθερή της ολοκλήρωσης. Ο ζητούμενος τύπος (2) προκύπτει από τον (3) αν θέσουμε σ αυτόν όπου την ίση με αυτήν συνάρτηση φ(x) Παρατήρηση. Η Δ.Ε. (1) δεν έχει μια μόνο λύση αλλά άπειρες, που αντιστοιχούν στις διάφορες τιμές της αυθαίρετης σταθερής c Παρατήρηση. Το σύνολο των λύσεων της Δ.Ε. (1) είναι ένα μονοπαραμετρικό σύνολο συναρτήσεων αφού τα διάφορα στοιχεία του αντιστοιχούν στις τιμές που παίρνει μια παράμετρος (η c R ) Παρατήρηση. Θεωρούμε μια εξίσωση της μορφής f(x, y, a) = 0, (4) όπου α R είναι μεταβλητή παράμετρος. Για μια ορισμένη τιμή του α η εξίσωση (4) ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο Oxy. Το σύνολο όλων των καμπύλων του επιπέδου, που ορίζονται από την (4) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α, λέγεται στην Αναλυτική Γεωμετρία μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων και η εξίσωση (4) λέγεται εξίσωση της οικογένειας.

11 Παρατήρηση. Με την έννοια της Παρατήρησης 1.3.5, οι λύσεις της Δ.Ε. (1) αποτελούν μονοπαραμετρική οικογένεια 2 καμπύλων του επιπέδου Oxy με εξίσωση την (4) Παρατήρηση. Σύμφωνα με την Πρόταση η λύση της Δ.Ε. (1) βρίσκεται με μια ολοκλήρωση των μελών της και εξαρτάται από μία αυθαίρετη σταθερή Παράδειγμα. Η Δ.Ε. = 4 x έχει λύση y = 4 x + c = 2 x 2 + c. H εξίσωση y = 2x 2 + c είναι η εξίσωση της οικογένειας των παρα- βολών του Σχ. 2. Οι διάφορες καμπύλες της c = 2 y c = 1 2 c = 0 1 c = 1 O x c = Σχ. 2 οικογένειας αυτής είναι οι διάφορες θέσεις που παίρνει μία από τις παραβολές όταν κινείται σαν στερεό σύστημα παράλληλα προς τον άξονα y Οy Πρόταση. Η λύση της Δ.Ε. ν τάξης δίνεται από τον τύπο d ν y ν = φ(x), ν N, ν > 1 (5) ν ολοκληρώσεις y = [ [ [φ(x)] ] ] + c 1 x ν 1 + c 2 x ν c ν 1 x + c ν, όπου c 1, c 2,, c ν είναι αυθαίρετα στοιχεία του R. Απόδειξη. Αν στον τύπο (3) θέσουμε όπου y τη συνάρτηση dν 1 y, τότε παίρνουμε την ισότητα ν 1 d ν 1 (5) y = ( dν y ν 1 ν) + c 1 = Με νέα εφαρμογή του τύπου (3) παίρνουμε Μετά από ν τέτοια βήματα φθάνουμε στον τύπο φ(x) + c 1. d ν 2 y ν 2 = [ φ(x) + c 1 ] + c 2. 2 Οι λέξεις οικογένεια και σύνολο είναι συνώνυμες στα Μαθηματικά.

12 12 ν ολοκληρώσεις y = [ [ x ν 1 [φ(x)] ] ] + c + c 1 (ν 1)! 2 x ν c (ν 2)! ν 1x + c ν. (7) Τέλος, αν στον τύπο (7) θέσουμε τότε παίρνουμε τον τύπο (6). c 1 = c c (ν 1)! 1, 2 = c (ν 2)! 2,, c ν 1 = c ν 1, c ν = c ν, Παρατήρηση. Το σύνολο των λύσεων της Δ.Ε. (5) είναι ένα ν παραμετρικό σύνολο συναρτήσεων ή, με άλλα λόγια, οι λύσεις της Δ.Ε. (5) αποτελούν μια ν παραμετρική οικογένεια καμπύλων του επιπέδου Παρατήρηση. Σύμφωνα με την Πρόταση 1.2.9, η λύση της Δ.Ε. (5) βρίσκεται με ν διαδοχικές ολοκληρώσεις των μελών της και εξαρτάται από ν ακριβώς αυθαίρετες σταθερές Παρατήρηση. Αν το c είναι αυθαίρετο στοιχείο του R και το α 0 είναι ένα συγκεκριμένο στοιχείο του R, τότε και τα είναι αυθαίρετα στοιχεία του R Παράδειγμα. Να λυθεί η Δ.Ε. Λύση c 1 = c + a, c 2 = c a, c 3 = a c, c 4 = a c d 2 y 2 = e 2 x. Αυτή είναι μια Δ.Ε. της μορφής (5). Επειδή ν = 2 η λύση της βρίσκεται με δυο διαδοχικές ολοκληρώσεις των μελών της. Με την πρώτη ολοκλήρωση των μελών της έχουμε και με τη δεύτερη ολοκλήρωση βρίσκουμε = e 2x + c 1 = 1 2 e 2 x + c 1 y = ( 1 2 e 2x + c 1 ) + c 2 = 1 2 e 2 x + c 1 x + c 2 ή y = 1 4 e 2 x c 1 x + c Ορισμός. Κάθε λύση μιας Δ.Ε. ν οστής τάξης F(x, y, y, y,, y (ν) ) = 0 (8) η οποία εξαρτάται από ν ακριβώς αυθαίρετες σταθερές και η οποία δίνεται σε (λυμέ-νη) μορφή

13 13 y = f(x, c 1, c 2,, c ν ) (9) ή σε πλεγμένη μορφή λέγεται γενική λύση ή γενικό ολοκλήρωμα της Δ.Ε. (8). g(x, y, c 1, c 2,, c ν ) = 0 (10) Παρατήρηση. Από γεωμετρική άποψη, μια γενική λύση της Δ.Ε. (8) είναι η εξίσωση μιας ν παραμετρικής οικογένειας καμπύλων του επιπέδου Oxy. Οι διάφορες καμπύλες της οικογένειας αντιστοιχούν στις διάφορες τιμές των αυθαιρέτων σταθερών c 1, c 2,, c ν Ορισμός. Κάθε λύση της Δ.Ε. (8) που προκύπτει από μια γενική της λύση, αν δοθούν συγκεκριμένες τιμές σε όλες τις αυθαίρετες σταθερές, λέγεται μερική λύση ή ολοκληρωτική καμπύλη της Δ.Ε. (8) Ορισμός. Μια λύση της Δ.Ε. (8), η οποία δεν εξαρτάται από αυθαίρετες σταθερές και η οποία δεν προκύπτει από κάποια γενική της λύση (εφόσον βέβαια υπάρχει) λέγεται ιδιάζουσα λύση της Ορισμός. Για να εκλέξουμε μια μερική λύση της Δ.Ε. (8), δηλ. για να υπολογίσουμε τις τιμές των ν αυθαιρέτων σταθερών που αντιστοιχούν σ αυτήν, πρέπει να μας δοθούν ν ανεξάρτητες μεταξύ τους συνθήκες που ικανοποιεί η ζητούμενη μερική λύση. Οι συνθήκες αυτές έχουν συνήθως τη μορφή y(a) = β 0, y (α) = β 1, y (α) = β 2,, y (ν 1) (α) = β ν 1, (9) δηλ. υποχρεώνουν τις συναρτήσεις y, y, y,, y (ν 1) να πάρουν καθορισμένες τιμές β 0, β 1, β 2,, β ν 1 για καθορισμένη τιμή x = a της ανεξάρτητης μεταβλητής και λέγονται αρχικές συνθήκες της Δ.Ε. Το πρόβλημα της εύρεσης μιας μερικής λύσης που ικανοποιεί αρχικές συνθήκες λέγεται πρόβλημα αρχικών τιμών Ορισμός. Υποθέτουμε ότι ζητούμε μια μερική λύση y = y(x) της Δ.Ε. (8) ορισμένη στο κλειστό διάστημα Ι = [α, β]. Αν οι συνθήκες που ικανοποιεί η ζητούμενη μερική λύση υποχρεώνουν κάποιες από τις συναρτήσεις y, y, y,, y (ν 1), όπου ν > 1, να πάρουν καθορισμένες τιμές στο ένα άκρο x = a του Ι και τις υπόλοιπες να πάρουν καθορισμένες τιμές στο άλλο άκρο x = β του Ι, τότε οι συνθήκες αυτές λέγονται συνοριακές συνθήκες. Το πρόβλημα της εύρεσης μιας μερικής λύσης που ικανοποιεί συνοριακές συνθήκες λέγεται πρόβλημα συνοριακών τιμών Παράδειγμα. ( Πρόβλημα αρχικών τιμών ) Να βρεθεί η μερική λύση της Δ.Ε. η οποία επαληθεύει τη συνθήκη y(1) = 2. y = x 2 x + 2, (10)

14 14 ( Ισοδύναμη διατύπωση. Να βρεθεί η ολοκληρωτική καμπύλη της Δ.Ε. (10) η οποία περνά από το σημείο Ρ(1,2) του επιπέδου Oxy.) Λύση Μια γενική λύση της Δ.Ε. (10) είναι η δηλ, η y = (x 2 x + 2) = 1 3 x3 1 2 x2 + 2 x + c, y = 1 3 x3 1 2 x2 + 2 x + c. (11) Υπολογίζουμε τώρα την τιμή της αυθαίρετης σταθερής c έτσι ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη y(1) = 2. Για το σκοπό αυτό, θέτουμε x = 1, y = 2 στην (11) και έχουμε Άρα η ζητούμενη μερική λύση είναι η συνάρτηση 2 = c ή c = 1 6. y = 1 3 x3 1 2 x2 + 2 x Παράδειγμα. (Πρόβλημα συνοριακών τιμών) Να βρεθεί η μερική λύση της Δ.Ε. η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες V(a) = V 1 και V(β) = 0. d d r (r2 d V d r ) = 0, (12) ( V = V(r) είναι το δυναμικό σε απόσταση r, α r β, από το κοινό κέντρο δύο σφαιρικών αγωγών με ακτίνες α και β και δυναμικά V 1 και 0, αντίστοιχα.) Λύση. Βρίσκουμε πρώτα μια γενική λύση της Δ.Ε. (12). Με μια ολοκλήρωση (ως προς r) των μελών της (12) έχουμε Με νέα ολοκλήρωση των μελών της (13) έχουμε 2 d V r = 0 d r + c 2 d V d r 1 ή r = c d r 1 ή d V d r = c 1 r 2. (13) V = c 1 r 2 d r + c 2 = c 1 r + c 2 ή V = c 1 r + c 2. (14)

15 15 Η συνάρτηση V = V(r) που ορίζεται από τη (14) είναι γενική λύση της Δ.Ε.(12). Υπολογίζουμε τώρα τις αυθαίρετες σταθερές c 1 και c 2 έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες που δίνονται. Για το σκοπό αυτό, θέτουμε r = a, V = V 1 στη (14) και έχουμε Θέτουμε ακόμη r = β, V = 0 στη (14) και έχουμε Λύνοντας το ως προς c 1 και c 2 σύστημα των (15) και (16) βρίσκουμε V = c 1 α + c 2. (15) 0 = c 1 β + c 2. (16) c 1 = V 1α β α β, c 2 = V 1a a β. Τέλος, αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές των c 1 και c 2 στη (14) και έχουμε τη ζητούμενη μερική λύση V(r) = V 1α β α β 1 r + V 1a a β Ορισμός. Μια συνάρτηση ν + 1 μεταβλητών z = f(x, y 1, y 2,, y ν ), ορισμένη σε μια περιοχή D του χώρου R ν+1, λέμε ότι ικανοποιεί (ως προς x) τη συνθήκη του Lipschitz στην περιοχή D αν Μ > 0 f(x, y 1, y 2,, y ν ) f(x, y 1 0, y 2 0,, y ν 0 ) Μ( y 1 y y 2 y y ν y ν 0 ), για όλα τα σημεία (x, y 1, y 2,, y ν ) και (x, y 1 0, y 2 0,, y ν 0 ) της περιοχής D Θεώρημα (Ύπαρξης λύσης ) Θεωρούμε μια Δ.Ε. ν τάξης της μορφής d ν y ν = f(x, y, y, y,, y(ν 1) ), (17) όπου f είναι μια συνάρτηση ν + 1 μεταβλητών ορισμένη σε μια περιοχή D του χώρου R ν+1. Αν η f είναι συνεχής και ικανοποιεί τη συνθήκη του Lipschitz στην περιοχή D και αν (α, β 0, β 1,, β ν 1 ) είναι ένα εσωτερικό σημείο της D, τότε υπάρχει μία, και μόνο μία, λύση y = σ(x) της Δ.Ε. (17), ορισμένη σε μια περιοχή (α δ, α + δ) του σημείου α, που ικανοποιεί τις αρχικές συν-θήκες σ(α) = β 0, σ (α) = β 1, σ (α) = β 2,, σ (ν 1) (α) = β ν Παρατήρηση. Όπως είπαμε στην ( ), το κύριο πρόβλημα της Θεωρίας των Δ.Ε. είναι η εύρεση όλων των λύσεων μιας δοσμένης Δ.Ε.

16 16 Το πρόβλημα κατά το οποίο μας δίνεται μια συνάρτηση3 y = f(x, c 1, c 2,, c ν ), (18) όπου ν N και c 1, c 2,, c ν είναι αυθαίρετες σταθερές και ζητείται μια Δ.Ε. η οποία να έχει γενική λύση τη συνάρτηση (18), λέγεται αντίστροφο του κυρίου προβλήματος Παρατήρηση. Για να επιλύσουμε το αντίστροφο του κυρίου προβλήματος ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Παραγωγίζουμε ν φορές τα μέλη της (18) ως προς x, θεωρώντας τα c 1, c 2,, c ν σταθερά. Έτσι βρίσκουμε τις ν σε πλήθος εξισώσεις { y = f (x, c 1, c 2,, c ν ) y = f (x, c 1, c 2,, c ν. (19) y (ν) = f (ν) (x, c 1, c 2,, c ν ) Κατόπιν απαλείφουμε τα c 1, c 2,, c ν από τις ν +1 εξισώσεις (18) και (19), δηλ. βρίσκουμε μια εξίσωση που προκύπτει από τις (18) και (19) και στην οποία δεν εμφανίζονται τα c 1, c 2,, c ν. Η εξίσωση την οποία βρίσκουμε με την απαλοιφή αυτή, είναι η ζητούμενη. F(x, y, y, y,, y (ν) ) = 0, (20) Ορισμός. Η Δ.Ε. (20) λέγεται Δ.Ε. της ν παραμετρικής οικογένειας καμπύλων του επιπέδου Oxy που ορίζεται από την (18) Παρατήρηση. Από τις ( ) και ( ) προκύπτει ότι: Αν η Δ.Ε. (20) είναι η Δ.Ε. της ν παραμετρικής οικογένειας καμπύλων του επιπέδου (18), τότε η συνάρτηση (18) είναι γενική λύση της Δ.Ε. (20) Παράδειγμα. Να βρεθεί η Δ.Ε. της διπαραμετρικής οικογένειας παραβολών του επιπέδου Oxy. y = 2 a x + bx 2 (21) Λύση. Επειδή η οικογένεια (21) είναι διπαραμετρική, παραγωγίζουμε δυο φορές τα μέλη της (21) ως προς x, θεωρώντας τις παραμέτρους a και b σταθερές. Έτσι έχουμε y = 2 α + 2 b x, (22) y = 2 b. (23) 3 Υποτίθεται ότι η συνάρτηση αυτή ορίζεται και παραγωγίζεται ν τουλάχιστον φορές σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Ι.

17 17 Απαλείφουμε τώρα τις παραμέτρους a και b από τις εξισώσεις (21), (22), (23). Θέτουμε την τιμή του 2b από την (23) στην (22) και έχουμε την εξίσωση y = 2α + x y ή 2a = y x y. Τέλος, θέτοντας b = 1 2 y και 2 a = y x y στην (21) παίρνουμε την εξίσωση y = (y x y ) x y x 2, η οποία γράφεται x 2 y 2 xy + 2 y = 0 και είναι η ζητούμενη Δ.Ε. της οικογένειας (21). Άσκηση 1. Να λυθούν οι Δ.Ε : 1.4. Λυμένες Ασκήσεις (α) = ημ x (β) d t t2 + 2 = 0. Λύση. (α) Σύμφωνα με τον τύπο (2) έχουμε, y = ημ x + c = συν x + c, δηλ. y = συν x + c. H συνάρτηση αυτή είναι γενική λύση της Δ.Ε. που δόθηκε. (β) Άγνωστη συνάρτηση είναι η x = x(t). H Δ.E. (β) γράφεται d t = t2 2 και σύμφωνα με τον τύπο (2) έχουμε x = (t 2 2)d t + c, δηλ. x = t3 3 2 t + c. Η τελευταία συνάρτηση είναι γενική λύση της Δ.Ε. (β). Να λυθούν οι Δ.Ε : Άσκηση 2. (α) d 2 y d t 2 = 5 (β) d 3 y 3 = ex. Λύση.(α) Άγνωστη συνάρτηση είναι η y = y(t). Σύμφωνα με την Πρόταση 1.2.9, μια γενική λύ- ση της Δ.Ε. (α) βρίσκεται με δυο ολοκληρώσεις των μελών της. Με την πρώτη ολοκλήρωση των μελών της έχουμε

18 18 d t = 5dt + c 1 ή d t = 5t + c 1 και με τη δεύτερη ολοκλήρωση παίρνουμε y = (5 t + c 1 )d t + c 2 ή y = 5 2 t2 + c 1 t + c 2. (β) Άγνωστη συνάρτηση είναι η y = y(x). Ολοκληρώνουμε τρεις φορές τα μέλη της (β) και έχουμε : 1 η ολοκλήρωση d 2 y 2 = ex + c 1 ή d 2 y 2 = ex + c 1. 2 η ολοκλήρωση = (e x + c 1 ) + c 2 ή = ex + c 1 x + c 2. 3 η ολοκλήρωση y = (e x + c 1 x + c 2 ) + c 3 ή y = e x x + c c 2 2 x + c 3. Τέλος, επειδή όταν η c 1 είναι αυθαίρετη σταθερή, τότε και η c 1 = 1 c 2 1 είναι αυθαίρετη σταθερή, η παραπάνω γενική λύση γράφεται y = e x + c 1 x 2 + c 2 x + c 3. Άσκηση 3. Να λυθούν οι Δ.Ε : (α) d 4 y 4 = συν (x 2 ). (β) d 5 x d t 5 = et + e t. Λύση. (α) Ολοκληρώνουμε τέσσερεις φορές τα μέλη της (α). 1 η ολοκλήρωση 2 η ολοκλήρωση : 3 η ολοκλήρωση : d 3 y 3 = συν (x 2 ) dx + c 1 = 2ημ ( x 2 ) + c 1. d 2 y 2 = [2 ημ (x 2 ) + c 1 ] dx + c 2 = 2 2 συν ( x 2 ) + c 1 x + c 2. = [ 22 συν ( x 2 ) + c 1 x + c 2 ] dx + c 3 = = 2 3 ημ ( x 2 )+c 1 x2 2 + c 2 x + c 3. 4 η ολοκλήρωση : y = [ 2 3 ημ ( x 2 ) + c 1 x2 = 2 4 συν ( x 2 ) + c x3 + c c 2 x + c 3 ] dx + c 4 = 2 x2 + c 3 x + c 4 ή y = 2 4 συν ( x 2 ) + c 1x 3 + c 2 x 2 + c 3 x + c 4.

19 19 (β) Μετά από πέντε διαδοχικές ολοκληρώσεις η συνάρτηση e t + e t γίνεται e t e t και άρα x = e t e t + c 1 t 4 + c 2 t 3 +c 3 t 2 + c 4 t + c 5. Άσκηση 4. Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών d 2 y 2 = x (1 x 2 ) 3 2, y(0) = 1, y (0) = 4. Λύση. Βρίσκουμε πρώτα μια γενική λύση της Δ.Ε. που δόθηκε. Έχουμε = x (1 x 2 ) 3 2 dx = (1 x 2 ) 3 2 xdx + c 1 = 1 2 (1 x 2 ) 3 2d(1 x 2 ) + c 1 = = 1 2 (1 x 2 ) c 1 = x + c 2 1 και 1 y = ( + c 1 x 1) dx + c 2 2 = + c 1 x 1x + c 2 2 ή Να λυθεί το πρόβλημα των συνοριακών τιμών d 2 y y = τοξημ x + c 1 x + c 2. 2 x Άσκηση 5. =, y(0) = π, y (1) = 1. 2 (1+ x 2 ) 2 4 Λύση. Βρίσκουμε πρώτα μια γενική λύση της Δ.Ε. που δόθηκε. Έχουμε 2 x = [ (1+ x 2 ) 2] dx + c 1= (1 + x 2 ) 2 d(1 + x 2 ) + c 1 = = (1 + x2 ) c 1 = x 2 + c 1 και y = ( 1 1+ x 2 + c 1) dx + c 2 = dx 1+ x 2 + c 1x + c 2 ή y = τοξεφ x + c 1 x + c 2. (1)

20 20 Υπολογίζουμε τώρα τις αυθαίρετες σταθερές c 1, c 2 έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες που δίνονται. Θέτουμε στην (1) x = 0, y = π 4 και έχουμε π 4 = τοξεφ 0 + c c 2 ή c 2 = π 4. Θέτουμε x = 1, y = π στην ισότητα y = 1 + c 4 1+x 2 1 και έχουμε 1 = 1 + c 2 1 ή c 1 = 1. 2 Επομένως η ζητούμενη μερική λύση είναι η συνάρτηση y = τοξεφ x x π 4. Άσκηση 6. Να βρεθεί η Δ.Ε. της οικογένειας καμπύλων του επιπέδου Oxy όπου β R είναι αυθαίρετη σταθερή. y = e x + βe 2 x, (1) Λύση. Η οικογένεια καμπύλων που δόθηκε είναι μονοπαραμετρική. Παραγωγίζουμε μια φορά τα μέλη της ισότητας (1) ως προς x και έχουμε y = e x + 2 βe 2 x. (2) Για να απαλείψουμε το β από τις (1) και (2), πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) επί 2 και προσθέτουμε κατά μέλη την εξίσωση που προκύπτει με τη (2). Έτσι έχουμε H εξίσωση (3) είναι η ζητούμενη Δ.Ε. y 2y = e x 2 β e 2 x 2(e x + β e 2 x ) ή y 2 y = 3 e x. (3) Άσκηση 7. Να βρεθεί η Δ.Ε. της οικογένειας καμπύλων του επιπέδου Oxy y = c 1 e x + c 2 e x. (1) Λύση. Η οικογένεια καμπύλων (1) είναι διπαραμετρική. Παραγωγίζουμε δυο φορές τα μέλη της ισότητας (1) ως προς x και έχουμε y = c 1 e x + c 2 e x και y = c 1 e x + c 2 e x. (2) Απαλείφουμε τώρα τις αυθαίρετες σταθερές c 1 και c 2 από τις (1) και (2). Για το σκοπό αυτό αφαιρούμε κατά μέλη τη δεύτερη από τις (2) και την (1) κατά μέλη και έχουμε y y = c 1 e x + c 2 e x ( c 1 e x + c 2 e x ) ή y y = 0.

21 21 Η τελευταία εξίσωση είναι η ζητούμενη Δ.Ε. Να βρεθεί η Δ.Ε. της οικογένειας καμπύλων όπου c 1, c 2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Άσκηση 8. y = c 1 e x + c 2 xe x + ημx, (1) Λύση. Η οικογένεια καμπύλων (1) είναι διπαραμετρική. Παραγωγίζουμε δυο φορές τα μέλη της ισότητας (1) ως προς x και έχουμε y = c 1 e x + c 2 e x + c 2 x e x + συν x (2) y = c 1 e x + 2 c 2 e x + c 2 x e x ημ x (3) Για να απαλείψουμε τα c 1, c 2 από τις (1), (2) και (3) αφαιρούμε τις (2) και (1) κατά μέλη, κατόπιν τις (3) και (2) κατά μέλη και έχουμε, αντίστοιχα, y y = c 2 e x + συνx ημx, (4) y y = c 2 e x ημx συνx. (5) Τέλος, αφαιρούμε τις (5) και (4) κατά μέλη και έχουμε τη ζητούμενη Δ.Ε. y y ( y y) = ημx συνx (συνx ημx) ή Να βρεθεί η Δ.Ε. της οικογένειας καμπύλων όπου a, b είναι αυθαίρετες σταθερές. Λύση y 2y + y = 2συνx. Άσκηση 9. Παραγωγίζουμε δυο φορές τα μέλη της ισότητας (1) ως προς x και έχουμε y = a x 2 + b x, (1) y = 2 a x b 2 b x 2 (2) και y = 2 a + (3) x 3 Για να απαλείψουμε τα a και b από τις (1), (2) και (3), πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (3) επί x 2, τα μέλη της (1) επί 2 και προσθέτουμε κατά μέλη τις ισότητες που προκύπτουν. Έτσι έχουμε την εξίσωση η οποία είναι η ζητούμενη Δ.Ε. x 2 y 2y = 0,

22 22 Άσκηση 10. Να βρεθεί η Δ.Ε. της οικογένειας των παραλλήλων προς την ευθεία y = 2 x ευθειών του επιπέδου Oxy. Λύση. Η εξίσωση της οικογένειας των παραλλήλων προς την ευθεία y = 2 x ευθειών του επιπέδου ταυτίζεται με την εξίσωση της τυχαίας ευθείας της οικογένειας, δηλ. είναι η y = 2 x + c, (1) όπου c R είναι μεταβλητή παράμετρος (αυθαίρετη σταθερή). Επειδή η οικογένεια καμπύλων (1) είναι μονοπαραμετρική, παραγωγίζουμε μια φορά τα μέλη της (1) ως προς x. Έτσι έχουμε την ισότητα y = 2. (2) Στην ισότητα (2) έγινε ήδη η απαλοιφή της αυθαίρετης σταθερής c, δηλ. αυτή είναι η εξίσωση που προκύπτει με απαλοιφή της c από τις (1) και (2). Με άλλα λόγια, η εξίσωση (2) είναι η Δ.Ε. της οικογένειας καμπύλων (1). Άσκηση 11. Να βρεθεί η Δ.Ε. της επίπεδης δέσμης ευθειών με κέντρο το σημείο Α(2, 3). Λύση. Η εξίσωση της επίπεδης δέσμης ευθειών με κέντρο το σημείο Α(2, 3) είναι η y + 3 = λ(x 2), (1) όπου λ R, είναι μεταβλητή παράμετρος. Επειδή η εξίσωση (1) είναι μονοπαραμετρική, παραγωγίζουμε μια φορά τα μέλη της (1) ως προς x και έχουμε y = λ. (2) Η απαλοιφή της παραμέτρου λ από τις (1) και (2) δίνει την εξίσωση y + 3 = y (x 2), η οποία είναι η ζητούμενη Δ.Ε. Άσκηση 12. Να βρεθεί η Δ.Ε. της οικογένειας των κύκλων του επιπέδου Oxy που εφάπτονται του άξονα y Oy στο σημείο του Ο. Λύση. Ο τυχαίος κύκλος του επιπέδου που εφάπτεται του άξονα y Oy στο σημείο Ο, έχει κέντρο του ένα σημείο Κ(α, 0) του άξονα x Ox και ακτίνα r = a, δηλ. έχει εξίσωση (x a) 2 + y 2 = a 2. H εξίσωση αυτή γράφεται x 2 2 a x + a 2 + y 2 = a 2 ή x 2 2 a x + y 2 = 0 (1)

23 23 και είναι η εξίσωση της οικογένειας των κύκλων ου δόθηκε. Επειδή η οικογένεια (1) είναι μονοπαραμετρική, παραγωγίζουμε μια φορά τα μέλη της (1) ως προς x θεωρούμε το y συνάρτηση του x και κρατούμε το α σταθερό. Έτσι έχουμε 2 x 2 a + 2 y y = 0 ή x a + y y = 0. Θέτοντας την τιμή του α (= x + y y ) από την τελευταία εξίσωση στην (1), έχουμε την εξίσωση x 2 2(x + y y )x + y 2 = 0, η οποία γράφεται Η τελευταία Δ.Ε. είναι η ζητούμενη. x 2 2 x 2 2 x y y + y 2 = 0 ή 2 x y y + x 2 y 2 = 0. Άσκηση 13. Να βρεθεί η Δ.Ε. της οικογένειας των κύκλων του επιπέδου Oxy που έχουν το κέντρο τους πάνω στον άξονα x Ox. Λύση. Η εξίσωση της οικογένειας αυτής των κύκλων είναι η (x a) 2 + y 2 = b 2, (1) όπου α, b R είναι μεταβλητές παράμετροι. Επειδή η οικογένεια (1) είναι διπαραμετρική, παραγωγίζουμε δυο φορές τα μέλη της (1) ως προς x. Με την πρώτη παραγώγιση έχουμε και με τη δεύτερη 2(x a) + 2yy = 0 ή x α + yy = ( y ) 2 + yy = 0. (2) Στην ισότητα (2) οι παράμετροι α, b έχουν απαλειφθεί και άρα αυτή είναι η ζητούμενη Δ.Ε. της οικογένειας των κύκλων (1). Άσκηση 14. Να βρεθεί η Δ.Ε. της οικογένειας των ευθειών του επιπέδου Oxy που απέχουν 2 cm από την αρχή Ο(0,0) του συστήματος συντεταγμένων. Λύση. Η τυχαία ευθεία της οικογένειας είναι εφαπτομένη του κύκλου k x 2 + y 2 = 4 και άρα αν P(α, b) είναι το σημείο επαφής της, τότε η εξίσωσή της είναι η a x + b y = 4 (1) και ισχύει η a 2 + b 2 = 4, (2) αφού το Ρ είναι σημείο του κύκλου k. Παραγωγίζουμε τα μέλη της (1) ως προς x και έχουμε a + by = 0. (3) Τέλος, απαλείφουμε τα α, b από τις εξισώσεις (1), (2) και (3). Θέτοντας την τιμή του α από την (3) στην (1) έχουμε

24 24 x( by ) + by = 4 ή b = 4 y x y, άρα έχουμε και α = 4y. Αντικαθιστώντας τις τιμές y x y αυτές των α, b στη (2) παίρνουμε την εξίσωση ( y x y )2 + ( y x y )2 = 4, η οποία γράφεται και είναι η ζητούμενη Δ.Ε. 4 y (y x y ) 2 = 4[ (y ) ] Άσκηση 15. Να βρεθεί η Δ.Ε. της οικογένειας των κύκλων του επιπέδου Oxy. Λύση. Η εξίσωση της οικογένειας των κύκλων του επιπέδου είναι η x 2 + y 2 + A x + B y + Γ = 0, (1) όπου Α, Β, Γ R είναι μεταβλητές παράμετροι. Παραγωγίζουμε τρεις φορές τα μέλη της (1) ως προς x και θεωρούμε το y συνάρτηση του x. Έτσι έχουμε 2 x + 2 y y + A + B y = 0, (2) 2 + 2(y ) 2 +2 y y + Β y = 0, (3) 6 y y + 2 y y + By = 0. (4) Πολλαπλασιάζουμε επί y τα μέλη της (4), επί y τα μέλη της (3) και προσθέτουμε κατά μέλη τις ισότητες που προκύπτουν. Έτσι έχουμε την εξίσωση (6 y y + 2 y y ) y [2 + 2(y ) y y ]y = 0, η οποία γράφεται 6 y (y ) 2 2[1 + (y ) 2 ]y = 0 ή 3 y (y ) 2 [1 + (y ) 2 ]y = 0 και είναι η ζητούμενη Δ.Ε Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης χωριζόμενων μεταβλητών Παρατήρηση. Θεωρούμε μια Δ.Ε. της μορφής 4 = f(x) h(y), (1) της οποίας το β μέλος είναι γινόμενο μιας συνάρτησης του x και μιας συνάρτησης του y. Όπως γνωρίζουμε από το Διαφορικό Λογισμό, το είναι μεν το σύμβολο της παραγώγου y x, δηλ. είναι y x, αλλά μπορεί να θεωρηθεί και σαν πηλίκο (κλάσμα) των δύο διαφορικών dy και dx. Έτσι η Δ.Ε. (1) γράφεται dy = f(x) h(y) dx ή 1 h( y) dy = f(x)dx, δηλ. παίρνει τη μορφή

25 25 g(y)dy = f(x)dx. (2) Στη Δ.Ε. (2) λέμε ότι οι μεταβλητές (εξαρτημένη και ανεξάρτητη) έχουν διαχωριστεί, δηλ. στο ένα μέλος εμφανίζεται μόνο η y και στο άλλο μόνο η x Ορισμός. Κάθε Δ.Ε. πρώτης τάξης η οποία έχει ή μπορεί με αλγεβρικούς μετασχηματιμούς να πάρει τη μορφή (2) λέγεται Δ.Ε. χωριζόμενων μεταβλητών Πρόταση. Η επίλυση της Δ.Ε. (2) επιτυγχάνεται με ολοκλήρωση των μελών της, δηλ. μια γενική της λύση δίνεται από τον τύπο όπου c R είναι η αυθαίρετη σταθερή της ολοκλήρωσης. g(y)dy = f(x)dx + c, (3) Παρατήρηση. Στον τύπο (3) έχουμε γράψει προκαταβολικά την αυθαίρετη σταθερή της ολοκλήρωσης c. Έτσι κατά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων g(y)dy και f(x)dx + c δεν ξαναγράφουμε αυθαίρετες σταθερές Παρατήρηση. Μετά τον υπολογισμό των παραπάνω ολοκληρωμάτων είμαστε υποχρεωμένοι να λύσουμε ως προς y την ισότητα που προκύπτει, εφόσον βέβαια αυτό είναι δυνατό. Αν η ισότητα που προκύπτει δεν λύνεται ως προς y, τότε έχουμε τη γενική λύση της Δ.Ε. (2) στη μορφή πλεγμένης συνάρτησης Παρατήρηση. Αν κάποιο από τα ολοκληρώματα στα δυο μέλη του τύπου (3) δεν υπο-λογίζεται με τις γνωστές στοιχειώδεις συναρτήσεις, τότε αναζητούμε προσεγγιστικές λύσεις της Δ.Ε. (2) Παρατήρηση. Η διαδικασία χωρισμού των μεταβλητών συχνά περιλαμβάνει διαίρεση με μια παράσταση της μορφής F(x) G(y). Τότε, υποθέτουμε σιωπηρά ότι είναι F(x) 0 και G(y) 0. Αν άγνωστη συνάρτηση είναι η y = y(x), τότε εξαιτίας της υπόθεσης G(y) 0 είναι δυνατό να χάσαμε λύσεις. Για το λόγο αυτό πρέπει μετά την εύρεση της γενικής λύσης, να λύσουμε την εξίσωση G(y) = 0 και να βρούμε ποιες από τις σταθερές συναρτήσεις y = y 0, όπου G(y 0 ) = 0, είναι λύσεις της αρχικής Δ.Ε. που χάθηκαν κατά τη διαδικασία χωρισμού των μεταβλητών Παράδειγμα. Να λυθεί η Δ.Ε. Λύση. Αυτή γράφεται = y2 1 + x 2. (4) dy y 2 = dx 1 + x 2, άρα είναι Δ.Ε. χωριζόμενων μεταβλητών και μια γενική της λύση δίνεται από τον τύπο dy y 2 = dx 1 + x 2 + c.

26 26 Επειδή dy y 2 = y 2 dy = y = 1 y dx και 1+x 2 = τοξεφ x, από την ισότητα (5) έχουμε 1 = τοξεφ x + c ή y 1 y =. (6) c + τοξεφ x Παρατηρούμε τώρα ότι για να διαχωρίσουμε τις μεταβλητές διαιρέσαμε τα μέλη της Δ.Ε. (4) με y 2 και ότι η εξίσωση y 2 = 0 έχει μια μόνο ρίζα y = 0. Όπως είναι φανερό, η σταθερή συνάρτηση y = 0 είναι λύση της Δ.Ε. (4). Η λύση αυτή δεν περιλαμβάνεται στην (6), δηλ. δεν προκύπτει από τον τύπο (6) για κάποια τιμή της παραμέτρου c. Επομένως η σταθερή συνάρτηση y = 0 είναι ιδιάζουσα λύση της Δ.Ε. (4), η οποία χάθηκε κατά τη διαδικασία χωρισμού των μεταβλητών Παράδειγμα. Να λυθεί η Δ.Ε. Λύση. Αυτή γράφεται (x 3)y 5 dx x 4 (y 2 4)dy = 0. (7) (x 3)y 5 dx = x 4 (y 2 4)dy ή y 2 4 y 5 x 3 dy = dx x 4 και άρα είναι Δ.Ε. χωριζόμενων μεταβλητών και μια γενική της λύση δίνεται από τον τύπο Επειδή y2 4 y 5 dy = x 3 dx + c. (8) 4 x y2 4 dy = (y 3 4y 5 )dy = y 2 4 y 4 = y y 2 y 4 και από τη ισότητα (8) έχουμε x 3 dx = (x 3 3x 4 )dx = x 2 3 x 3 = 1 + 1, x x 2 x y y 4 = x 2 x 3 + c. (9) Η πλεγμένη συνάρτηση y = y(x) που ορίζεται από την (9) είναι γενική λύση της Δ.Ε. (7). Για να διαχωρίσουμε τις μεταβλητές διαιρέσαμε τα μέλη της Δ.Ε. (7) με y 5. Η εξίσωση y 5 = 0 έχει μια μόνο ρίζα y 1 = 0. Εύκολα τώρα διαπιστώνουμε ότι η σταθερή συνάρτηση y = 0 είναι λύση της Δ.Ε. (7) και ότι δεν περιλαμβάνεται στην (9). Άρα η σταθερή συνάρτηση y = 0 είναι ιδιάζουσα λύση της Δ.Ε. (7), η οποία χάθηκε κατά τη διαδικασία χωρισμού των μεταβλητών.

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Περιεχόμενα Γράφημα της συνάρτησης f( ), αν p < 0 F( ) = f( ), αν 0 p και F( + p) = F( ), R (δηλ της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( ), 0 p στο R ) Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 15 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία: Δευτέρα,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης. Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος. Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης. Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος. Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ρέθυμνο 0 Φεβρουαρίου 05 Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ρεθύμνου A. Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωτικός Λογισμός

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα o Ιδιότητες Αόριστου Ολοκληρώματος o Βασικά Αόριστα ολοκληρώματα o Τεχνικές Ολοκλήρωσης o Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Εφαρμογές Ολοκληρώματος

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και ισχύει ότι f(α) f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 7. Πρόλογος

Περιεχόμενα 7. Πρόλογος Περιεχόμενα 7 Πρόλογος Πολλά προβλήματα των Φυσικών και γενικότερα των Τεχνικών Επιστημών είναι προβλήματα συμμεταβολής διαφόρων μεγεθών. Η μελέτη αυτών των προβλημάτων αποβλέπει στον προσδιορισμό των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Εισαγωγικές έννοιες και ταξινόμηση Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, που κρατάς στα χέρια σου προέκυψε τελικά μέσα από την εμπειρία και διδακτική διαδικασία πολλών χρόνων στον Εκπαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αποτέλεσμα συγγραφής πολλών καθηγητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα, γνωστά και ως συστήματα διαφορικών εξισώσεων, περιγράφουν φαινόμενα που μεταβάλλονται συνεχώς στο χρόνο.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 12 Γενική μερική και ιδιάζουσα λύση ΔΕ Πρόβλημα αρχικών και πρόβλημα συνοριακών τιμών Το αντίστροφο του κυρίου προβλήματος 121 Παρατήρηση Η πιο απλή μορφή ΔΕ

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 28 Δεκεμβρίου 211 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Ορισμοί.........................................

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ένα σημαντικό πρόβλημα της Ανάλυσης

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ένα σημαντικό πρόβλημα της Ανάλυσης ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ένα σημαντικό πρόβλημα της Ανάλυσης ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 2016-2017 Ομάδα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Προβλημάτων Τζελέπης Αλκιβιάδης Μανιατοπούλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ηράκλειο 7-8 Μαρτίου 014 ΠΕΚ A. Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης Έστω μία ρητή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (//04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ). (α + β) = α +αβ + β ). (α β) = α αβ + β. 3). (α + β) 3 = α 3 + 3α β +3αβ + β 3 ). (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3. 5). α β = (α β)(α + β) 6). α + β = (α + β) αβ. 6). α 3 β 3

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειρµαµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 9 εκεµβρίου 203 Μη Πεπερασµένο Οριο Συναρτησεων στο x 0. Το Μη-πεπερασµένο Το Απειρο Ορισµός.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του. f(x h) f(x )

Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του. f(x h) f(x ) Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του Π.Ο της μόνον και μόνον όταν υπάρχει το lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 πραγματικός αριθμός. και είναι Η παραγωγισιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες Μικρό σώμα μάζας m κινείται μέσα σε βαρυτικό πεδίο με σταθερά g και επιπλέον κάτω από την επίδραση μιας δύναμης με συνιστώσες F x = 2κm και F y = 12λmt 2 όπου κ και λ είναι θετικές σταθερές σε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β π Για κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα