Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου"

Αθορ Μπουκουβαλαίοι
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος

2 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση της f στο I, όταν F (x) = f (x), x I. Παρατηρήσεις 1) Αν η συνάρτηση F είναι µια αντιπαράγωγος της f στο I, τότε και η F + c, όπου c είναι µια σταθερά, είναι αντιπαράγωγος της f. 2) Αν οι F και G είναι αντιπαράγωγοι της f στο I, τότε ισχύει : F(x) G(x) = c, x I όπου c είναι µια σταθερά. 3) Μια συνάρτηση f έχει αντιπαράγωγο σε ένα διάστηµα αν είναι συνεχής.

3 Ορισµός Εστω f : I R µια συνάρτηση. Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων της f στο I καλείται αόριστο ολοκλήρωµα της f στο I και συµβολίζεται µε f (x)dx. Αν F µια αντιπαράγωγος της f στο I, τότε ισχύει f (x)dx = F(x) + c, c R.

4 Πρόταση Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισµένες στο I και έχουν αόριστα ολοκληρώµατα, τότε και οι συναρτήσεις f + g, cf έχουν αόριστο ολοκλήρωµα στο I και ισχύουν τα εξής : (f + g)dx = fdx + gdx (cf )dx = c fdx.

5 Παρακάτω ϐλέπουµε τα αόριστα ολοκλρώµατα ϐασικών συναρτήσεων, τα οποία χρησιµοποιούνται και για τον υπολογισµό των ορισµένων ολοκληρωµάτων 0dx = c, c R cdx = cx + c, c R x a dx = xa+1 a+1 + c, a R { 1}, e x dx = e x + c, 1 dx = ln x + c, x 0, x a x dx = ax + lna c, a > 0 και a 1, sin(x)dx = cos(x) + c, cos(x)dx = sin(x) + c, 1 cos 2 (x) dx = tan(x) + c 1 dx = cot(x) + c sin 2 (x) 1 dx 1 x = arcsin(x) + c x 2 dx = arccos(x) + c 1 dx = arctan(x) + c 1+x 2 1 dx = arccot(x)+c 1+x 2

6 Ασκηση 1 Να υπολογιστεί το παρακάτω ολοκλήρωµα 1 sin 2 x cos 2 x dx.

7 Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

8 Η λογική στον υπολογισµό τόσο των αόριστων, όσο και των ορισµένων ολοκληρωµάτων που ϑα δούµε στη συνέχεια είναι να ϐρούµε µια αντιπαράγωγο της συνάρτησης που ολοκληρώνεται. εν πρέπει να ξεχνάµε ότι όταν ϑα παραγωγίζουµε την αντιπαράγωγο, που έχουµε ϐρει, ϑα πρέπει να µας δίνει τη συνάρτηση που είναι στο ολοκλήρωµα. Πέρα όµως από τον πίνακα που έχουµε για τα ολοκληρώµατα ϐασικών συναρτήσεων, στον υπολογισµό των ολοκληρωµάτων χρησιµοποιούνται και οι παρακάτω µέθοδοι : 1. Μέθοδος της Αντικατάστασης 2. Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες

9 Μέθοδος της Αντικατάστασης I 1η Περίπτωση Θεωρούµε το ολοκλήρωµα I = f (x)dx. Στην επίλυση µε τη µέθοδο της αντικατάστασης ακολουθούµε τα εξής ϐήµατα : α) Επιλέγουµε µια συνάρτηση g(t) παραγωγίσιµη και αντιστρέψιµη και ϑέτουµε x = g(t).. ϐ) Υπολογίζουµε το διαφορικό της παραπάνω σχέσης, δηλαδή dx = g (t)dt.

10 Μέθοδος της Αντικατάστασης II γ) Αντικαθιστούµε τα παραπάνω στο ολοκλήρωµα I και έχουµε I = G(t)dt. δ) Υπολογίζουµε το παραπάνω ολοκλήρωµα και προκύπτει I = F(t) + c. Στην παραπάνω σχέση αντικαθιστούµε το t από τη σχέση x = g(t) και έτσι έχει υπολογιστεί το αρχικό ολοκλήρωµα. 2η Περίπτωση Εστω ότι έχουµε ένα ολοκλήρωµα της µορφής I 1 = f [φ(x)]φ (x)dx, όπου φ είναι συνεχής στο I και η f είναι συνεχής στο φ(i). Εργαζόµαστε ως εξής :

11 Μέθοδος της Αντικατάστασης III α) ϑέτουµε t = φ(x), ϐ) υπολογίζουµε dt = φ (x)dx, γ) αντικαθιστούµε στο ολοκλήρωµα και υπολογίζουµε. Άρα, το αρχικό µας ολοκλήρωµα έχει µετατραπεί στον υπολογισµό του Ολοκληρώµτος I 1 = f (t)dt = F(t) + c. Οταν ϐγάλουµε το τελικό αποτέλεσµα δεν ξεχνάµε να αντικαταστήσουµε και πάλι το t = φ(x). Ασκηση 2 Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώµατα α) sin(3x + π 2 )dx, β) 1 x ln x dx.

12 Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες I Σε αυτή τη µέθοδο ισχύει το παρακάτω Θεώρηµα Θεώρηµα Αν f, g είναι δυο παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο I και αν η συνάρτηση g f έχει αόριστο ολοκλήρωµα στο I, τότε και η f g έχει αόρστο ολοκλήρωµα στο I και ισχύει ο τύπος f (x)g (x)dx = f (x)g(x) g(x)f (x)dx. Παρατήρηση Σε αυτή την περίπτωση η αντιπαράγωγος έχει τη µορφή F(x) = f (x)g(x).

13 Ασκηση 3 Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώµατα α) x 2 e x dx, β) x cos(x)dx, γ) x ln xdx, δ) e x cos(x)dx.

14 Περιπτώσεις ολοκληρωµάτων που µας ενδιαφέρουν : ϱητών συναρτήσεων τριγωνοµετρικά. Ολα τα παραπάνω υπολογίζονται µε τη ϐοήθεια της παραπάνω ϑεωρίας και από τον πίνακα ολοκληρωµάτων ϐασικών συναρτήσεων.

15 Υπολογισµός αόριστου ολοκληρώµατος ϱητής συνάρτησης Σε αυτή την περίπτωση τα ολοκληρώµατα έχουν τη µορφή P(x) Q(x) dx, όπου P(x) και Q(x) είναι πολυώνυµα. ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις deg P(x) < deg Q(x), deg P(x) Q(x).

16 1η Περίπτωση: deg P(x) < deg Q(x). Ακολουθούµε τα εξής ϐήµατα : 1 o ΒΗΜΑ : Παραγοντοποιούµε τον παρονοµαστή ώστε να έχουµε πρωτοβάθµια και δευτεροβάθµια πολυώνυµα. Εστω Q(x) = (x r 1 ) n (x r 2 ) m (x 2 + βx + γ) k. 2 o ΒΗΜΑ : Θεωρούµε την παρακάτω ισότητα των κλασµάτων P(x) Q(x) = A 1 (x r 1 ) + A 2 (x r 1 ) A n (x r 1 ) n + B 1 (x r 2 ) + B 2 (x r 2 ) B m (x r 2 ) m + C 1x + D 1 (x 2 + βx + γ) + C 2x + D 2 (x 2 + βx + γ) C kx + D k (x 2 + βx + γ) k. 3 o ΒΗΜΑ : Κάνουµε οµώνυµα τα κλάσµατα του δεξιού µέλους της παραπάνω ισότητας.

17 4 o ΒΗΜΑ : Εξισώνουµε τους οµοβάθµιους όρους του P(x) µε το πολυώνυµο που έχει προκύψει στο 3 o ϐήµα. Ετσι, προσδιορίζουµε τα A i, B i, C i, D i. 5 o ΒΗΜΑ : Εποµένως, ο υπολογισµός του αρχικού ολοκληρώµατος ανάγεται στον υπολογισµό των παραπάνω ολοκληρωµάτων όπου τα A i, B i, C i, D i είναι αριθµοί, δηλαδή + P(x) Q(x) dx = + A 1 (x r 1 ) dx + B 1 (x r 2 ) dx + C 1 x + D 1 (x 2 + βx + γ) dx+ A 2 dx (x r 1 ) 2 B 2 dx (x r 2 ) 2 2η Περίπτωση: deg P(x) deg Q(x). C 2 x + D 2 (x 2 + βx + γ) 2 dx+...+ A n (x r 1 ) n dx B m (x r 2 ) m dx C k x + D k (x 2 + βx + γ) k dx.

18 Πρώτα κάνουµε διαίρεση των πολυωνύµων. Άρα το πολυώνυµο του αριθµητή P(x) γράφεται P(x) = π(x)q(x) + u(x), deg u(x) < deg Q(x). Εποµένως, P(x) Q(x) dx = π(x)q(x) + u(x) dx = Q(x) p(x)dx + u(x) Q(x) dx. Στο δεξί µέλος της παραπάνω σχέσης, το πρώτο ολοκλήρωµα είναι ολοκλήρωµα πολυωνυµικής που υπολογίζεται εύκολα, ενώ το δεύτερο ολοκλήρωµα είναι ολοκλήρωµα µιας ϱητής συνάρτησης, όπου το πολυώνυµο του αριθµητή είναι ϐαθµού µικρότερου του πολυωνύµου του παρονοµαστή, οπότε επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία της 1ης περίπτωσης.

19 Ασκηση 4 Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώµατα 4x 2 3x + 5 α) x 3 3x + 2 dx, x 3 β) (x 2 + 2) dx. 2

20 Υπολογισµός αόριστου ολοκληρώµατος τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. I Απαραίτητη προϋπόθεση είναι τα τόξα στις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις να είναι ίδια. Αν όχι χρησιµοποιουµε τις παρακάτω σχέσεις sin mx cos nx = 1 [sin(mx + nx) + sin(mx nx)] 2 cos mx cos nx = 1 [cos(mx + nx) + cos(mx nx)] 2 sin mx sin nx = 1 [cos(mx nx) cos(mx + nx)] 2 Αν έχουµε να υπολογίσουµε ολοκλήρωµα της µορφής sin m x cos n xdx. ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις.

21 Υπολογισµός αόριστου ολοκληρώµατος τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. II Αν m περιττός, τότε ϑέτουµε t = cos x και δουλεύουµε µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. Αν n περιττός, τότε ϑέτουµε t = sin x και δουλεύουµε µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. Αν m, n είναι άρτιοι και οι δυο τότε χρησιµοποιούµε τους τύπους αποτετραγωνισµού, δηλαδή sin 2 x = 1 cos 2x 2 cos 2 x = 1 + cos 2x 2 sin x cos x = sin 2x 2.

22 Ασκηση 5 Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώµατα α) sin 2 (x) cos 3 (x)dx, β) sin(3x) cos(5x)dx.

23 Ασκηση 6 Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώµατα α) β) x 3 4 x 2 dx, 1 x x 2 dx.

Σχετικά έγγραφα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει