f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

Transcript

1 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οοίο ισχύει η αραάνω σχέση καλείται αρχική ερίοδος της f. Παράδειγμα Οι συναρτήσεις six, cosx είναι εριοδικές με ερίοδο, ενώ οι συναρτήσεις si λx,cosλx με λ> είναι εριοδικές με ερίοδο λ. Παρατήρηση. (γράφημα εριοδικής συνάρτησης) Αν μια συνάρτηση f είναι εριοδική με ερίοδο λ, τότε το γράφημα της f σ ένα οοιοδήοτε διάστημα [α+λ, α+(+)λ], ροκύτει αό το γράφημα της στο διάστημα [α, α+λ] με αράλληλη μετατόιση ρος τον άξονα των x, κατά λ μονάδες μήκους (εαναλαμβάνεται δηλαδή το ίδιο γράφημα). Π.χ. ένα γράφημα εριοδικής συνάρτησης είναι και το αρακάτω Αν η f ορίζεται στο διάστημα ( λ, λ) και εκτός του ( λ, λ) T λ, οι αριθμοί είναι εριοδική με ερίοδο ao λ f( x) dx λ λ a λ x f( x)cos λ dx με,,3,... λ λ λ x β f ( x)si d λ x με,,3,... λ λ καλούνται συντελεστές Fourier της συνάρτησης f. 9

2 Η σειρά συναρτήσεων καλείται σειρά Fourier της συνάρτησης f. ( a cos x+ β si x) Παρατήρηση.. Αν η f(x) είναι άρτια (δηλαδή f ( x) f( x), το γράφημα είναι συμμετρικό ως ρος τον άξονα των y) θα έχουμε β N. Αν η f(x) είναι εριττή (δηλαδή f ( x) f( x), το γράφημα είναι συμμετρικό ως ρος την αρχή των αξόνων) θα έχουμε a N 3. Αν λ δηλαδή η f ορίζεται στο διάστημα (, ) τότε οι αραάνω τύοι γίνονται : ao f( x) dx, a f( x)cosx dx, β f ( x)six dx Ανάλογα αν η f(x) ορίζεται στο διάστημα (, ) και έξω αό αυτό εεκτείνεται εριοδικά, τότε οι αραάνω τύοι γίνονται: ao f( x) dx, a ( x)cosx f dx, β f ( x)six dx Εφαρμογές Να ανατυχθούν σε σειρά Fourier, κάθε μία αό τις αρακάτω συναρτήσεις (να γίνει και η γραφική τους αράσταση ρώτα). f ( x) x x [, ). f ( x) x x [, ) 3. f ( x) x x [, ) 4. f ( x) six x 9

3 Λύση. f ( x) x x [, ) Η f(x) είναι άρτια (το γράφημα είναι συμμετρικό ως ρος τον άξονα των y) β Υολογισμός a άσκηση αυτοαξιολόγησης σελίδας 9 βιβλίου. f ( x ) x x [, ) Η f(x) είναι εριττή (το γράφημα είναι συμμετρικό ως ρος την αρχή των αξόνων) a Υολογισμός βιβλίου β αράδειγμα σελίδας f ( x) x x [, ) Εδώ a o x 4 xdx 4 ' a x cos xdx (αραγοντική ολοκλήρωση) xsi x si xdx (;) o Ακόμα xcosx β xsi xdx * si x + cosx x x *( xsixdx x - dx- cosx+ cosxdx- cosx+ six+c) cos cos si si () 9

4 Άρα f(x) β six (-) six- six 4. f ( x) six x < & f(x+)f(x), x Η f(x) είναι άρτια (το γράφημα συμμετρικό ως ρος τον άξονα των y) β και έτσι έχουμε: άρα a o Ακόμα sixdx sixdx+ sixdx λ ( ) sixdx -cosx a si x cos xdx si x cos xdx * ( si( ) x si( ) x) dx ( si( + ) x+ si( ) x) dx cos( + ) x cos( ) x cos( + ) x cos( ) x + o o ( ) ( ) - αν άρτιος + ( -) + αν εριττός Γιατί αν εριττ ός άρτιος + ( ) Άρα τελικά 4 4 si x cos x cos 4 x cos + x cos( + ) cos *Ισχύει si a cos β ( si( a+ β) + si( a β) ) 93

5 Θεωρία (Σύγκλιση και άθροισμα της σειράς Fourier) Μιά συνάρτηση f :[α,β] καλείται τμηματικά λεία, αν υάρχει εερασμένη διαμέριση του [α,β] τέτοια ώστε α α <α <α <...<α β α) η αράγωγος της f υάρχει και είναι συνεχής σε κάθε υοδιάστημα [α k, α k+]. β) υάρχουν τα λευρικά όρια της αραγώγου f(α +), f(α -) k,,...,-. k k Θεώρημα. (Dirichlet) Αν f είναι μιά εριοδική συνάρτηση με ερίοδο λ. Αν η f είναι τμηματικά λεία στο διάστημα [α, α+λ], τότε η σειρά Fourier της συγκλίνει σε κάθε x στην τιμή ( cos + β si x ) a x f(x+)+f(x-) Ειδικότερα, αν η f είναι συνεχής στο σημείο x τότε η σειρά Fourier της συγκλίνει στη τιμή f(x). Παρατήρηση 3.. Όταν η σειρά Fourier της συνάρτησης f στο σημείο x συγκλίνει και έχει άθροισμα την, τότε γράφουμε: f(x) ( β ) f ( x) a cosx + six. Όταν η σειρά Fourier της συνάρτησης f στο σημείο x συγκλίνει στην τιμή f(x) σε κάθε σημείο του διαστήματος, τότε λέμε ότι η συνάρτηση ανατύσεται σε σερά Fourier. 94

6 Εφαρμογές. Να ανατυχθεί σε σειρά Fourier η εριοδική συνάρτηση f: Λύση x < f(x) & f(x+)f(x) x x x < Στη συνέχεια να βρεθεί η τιμή του ανατύγματος στα σημεία ότι: Η γραφική αράσταση της συνάρτησης δίνεται αρακάτω x,x και να δειχθεί Εδώ λ. Άρα: o dx+ (-x)dx a Ακόμα: - six x x a cosxdx+ (-x)cosxdx - six+ cosx - - εριττός - ( cos- ) ( -( -) ) άρτιος Ακόμα cos(x) x x β si(x)dx+ (-x)si(x)dx cos(x)+ si(x) - - εριττός cos( ) 3 - [ cos(-) ] - cos() + άρτιος Άρα η σειρά Fourier της εριοδικής συνάρτησης f είναι η 95

7 cos(x)+ cos(3x)+ cos(5x) si(x)+ si(x)- si(3x)+ si(4x) Εειδή η συνάρτηση f είναι τμηματικά λεία στα διαστήματα (-, ) και (,) έχουμε: f(x) cos(x)+ cos(3x)+ cos(5x) si(x)+ si(x)- si(3x) (*) για κάθε x (,) (,). Το σημείο x είναι σημείο ασυνεχείας της συνάρτησης. Στο σημείο αυτό δεν ισχύει ο τύος (*), αλλά η σειρά του αριστερού μέλους της (*) συγκλίνει στην τιμή + f(+)+f(-) 4 Δηλαδή έχουμε: ( ) (θέτοντας x στο δεξί μέλος της (*)), αό όου ( ) Το σημείο x είναι σημείο ασυνεχείας της συνάρτησης. Στο σημείο αυτό η σειρά του αριστερού μέλους της (*) συγκλίνει στην τιμή + f(+)+f(-) 4 Δηλαδή έχουμε: (...) Δίνεται η συνάρτηση f: x < f(x) x + x < & f(x+ )f(x) x x x < 96

8 Να εαναροσδιοριστεί η f στα σημεία x-, x, x 3 έτσι ώστε η σειρά Fourier της f να αριστάνει την f στο. Λύση Η συνάρτηση f είναι τμηματικά λεία στο διάστημα [-,] και συνεχής στα σημεία x (,) (, ) (, ). Άρα η σειρά Fourier της f (σύμφωνα με το Θεώρημα του Dirichlet) συγκλίνει στην f(x) για κάθε x (,) (, ) (, ). Τα σημεία x-, x, x 3 είναι σημεία ασυνέχειας της f, εομένως στα σημεία αυτά η συνάρτηση ρέει να εαναροσδιοριστεί χρησιμοοιώντας τις ισότητες: f(-+)+f(--) + f(-) f(+)+f(-) + f() f( +)+f( -) f( ) 4 για να αριστάνει η σειρά Fourier της f τη συνάρτηση f για κάθε x [-,) (άρα και για κάθε x ). 3. α) Να υολογισθεί η σειρά Fourier της εριοδικής συνάρτησης f(x), με ερίοδο, της οοίας ο εριορισμός στο διάστημα (-, ) δίνεται αό τον ακόλουθο τύο: f(x) x+, x [-,) -x+, x, [ ] β) Με τη βοήθεια της σειράς Fourier να υολογισθεί το άθροισμα : ( ) Λύση (α) Στο αρακάτω σχήμα αεικονίζεται η γραφική αράσταση της f(x) στο [-, ], 97

9 Η f είναι άρτια. Πράγματι, για x > έχουμε x < και f ( x) ( x) + x+ f( x), ενώ για x < είναι x > και f ( x) ( x) + f( x). Συνεώς στο ανάτυγμα Fourier της f θα έχουμε β,,,... δηλ. f (x) α cos(x), όου α f (x) dx (x + )dx + ( x + )dx x ( + x x + ( + x ενώ για,,, έχουμε α f (x) cos(x)dx + + (x )cos(x)dx ( x + )cos(x)dx si(x) Έστω I (x) (x + )cos(x)dx (x + ) ( ) dx si(x) si(x) si(x) cos(x) (x + ) dx (x + ) + + c. Τότε I (x + )cos(x)dx (I(x) I() I( ) ( ) ( ). Για το δεύτερο ολοκλήρωμα 98

10 J ( x + )cos(x)dx θέτω Συνεώς ( x + )cos( x)dx, t x και dt dx. Τότε για x, έχουμε αντίστοιχα t,. J (t + )cos(t)dt + (t + )cos(t)dt ( ) I [ Η ισότητα των Ι και J οφείλεται στο γεγονός ότι η f είναι άρτια και η γραφική της αράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον y y.]. ( ) Έτσι, α,,,... Παρατηρούμε ότι οι όροι άρτιας τάξης της ακολουθίας αυτής μηδενίζονται, δηλ. για κάθε k ( ) k,,3,..., α k, ενώ ειβιώνουν οι υόλοιοι όροι (k) k ( ) 4 α k, k,,... (k ) (k ) ( ) 4 Άρα f (x) cos(x) cos[ (k )x. ] (γιατί;) (k ) k (β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [-.) και στο (,] σαν ολυωνυμική, ενώ είναι συνεχής στο σημείο x, αφού lim f (x) lim f (x) f (). x + x Έτσι, είναι συνεχής στο [-,] και ειλέον f ( ) f ( ). Συνεώς, η εριοδική της εέκταση στο η αντίστοιχη σειρά θα συγκλίνει στην τιμή ερώτημα, η συνέχεια της f στο σημείο θα είναι συνεχής σε κάθε σημείο. Για κάθε f (x). (βλ. σελ. 94). Για το συγκεκριμένο x εξασφαλίζει ότι x f ( ) k 4 (k ) cos [(k ) ] 4 ή ( ) (k ) k ή k (k ) 8. 99

11 Στα σχήματα ου ακολουθούν αεικονίζεται η f μαζί με την σειρά, αν διατηρήσουμε τους,,3,4 ρώτους όρους, αντίστοιχα cosx cosx+ cos3x 9

12 cosx+ cos3x+ cos5x cosx+ cos3x+ cos5x+ cos7x Να ανατυχθεί σε σειρά Fourier η εριοδική συνάρτηση f: x < f(x) & f(x+)f(x) x x x < Να οριστεί η τιμή της f στο σημείο x- έτσι ώστε το ανάτυγμα να ισχύει για κάθε x [,) και στη συνέχεια να δειχθεί ότι: (α)

13 + (β) (-) (γ) Λύση ( Η γραφική αράσταση της συνάρτησης δίνεται αρακάτω ) Εδώ λ. Άρα: Ακόμα: 3 x a o f(x)dx x dx x 3 - a f(x)cos(x)dx x cos(x)dx... si(x)+ xcos(x)- si(x) ( ) cos() - Είσης x 3 - β f(x)cos(x)dx x si(x)dx... - cos(x)+ x si(x)+ cos(x) - cos()+ cos() (-) + 3 (-) εριττός 3 - άρτιος Άρα η σειρά Fourier της εριοδικής συνάρτησης f είναι η

14 cosx+ cos()- cos(3x)+... +(- )si(x)+( - )si(3x)+( - )si(5x) si(x)+ si(4x)+ si(6x) Άρα : f(x) + -cosx+ cos(x)- cos(3x)+... +(- )si(x)+( - )si(3x)+( - )si(5x) si(x)+ si(4x)+ si(6x)+... (**) 4 6 για κάθε x (-,), εειδή η f είναι τμηματικά λεία και συνεχής στο διάστημα αυτό. Το σημείο x είναι σημείο συνεχείας της συνάρτησης (άρα στο σημείο ισχύει ο τύος της (**)). Θέτοντας λοιόν x στην (**) έχουμε + ( ) ούναι η (β). Για να ισχύει ο τύος της (**) και στο σημείο x- (σημείο ασυνέχειας της συνάρτησης f), ρέει να ορίσουμε την τιμή της f στο σημείο αυτό αό την ισότητα f(-+)+f(--) + f(-) (***) (τιμή στην οοία συγκλίνει, λόγω της ασυνέχειας, το δεξί μέλος της (**)). Χρησιμοοιώντας την (***) και θέτοντας x- στην (**), έχουμε:

15 ούναι η (α). Τέλος, ροσθέτοντας τις (α) και (β) έχουμε: (-) ούναι η (γ). 5. Μια συνάρτηση f ικανοοιεί τις συνθήκες f ( x) f (x) και f (x + ) f (x). Να δείξετε ότι οι μόνοι μη μηδενιζόμενοι συντελεστές Fourier είναι οι συντελεστές των όρων cos( + )x για,,,... Λύση Αφού η f είναι άρτια, όλοι οι συντελεστές των si(x) μηδενίζονται και η συνάρτηση ειδέχεται το ανάτυγμα Fourier όου a f ( x) cos( x) dx f ( x) α cos( x ) f ( x) cos( x) dx + f ( x) cos( x) dx Αν t x, τότε f ( x) cos( x) dx f ( t + ) cos( + t) dt f ( t)[cos( ) cos( t) si( )si( t)] dt ( ) f ( t) cos( t) dt Συνεώς a ( ( ) ) ) f ( x) cos( x dx,,,, Άρα α k, k,,,,ενώ α k + f ( x) cos((k + ) x) dx, k,,, 4