Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1"

Transcript

1 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων :. f (x) = log x (5x + 3) + sin x. f (x) = (x + ) sin x 3. f 3 (x) = 3 sin x + x + Λύση :. Πρέπει 5x + 3 > 0 x > 5/3 και 0 < x. Εποµένως το πεδίο ορισµού είναι D(f ) = (0, ) (, + ).. Πρέπει +sin x 0 ( + sin x)( sin x) 0 sin x που ισχύει sin x για κάθε x R. Επίσης πρέπει sin x x kπ + π, k Z. Εποµένως D(f ) = R { x R : x kπ + π, k Z}. 3. Πρέπει x + 0 ( x)( + x) 0 x, και sin x 0 kπ x kπ + π, k Z. Εποµένως το πεδίο ορισµού είναι D(f 3 ) = [0, ]. ) Αν f(x) = ax + b, a 0, να ϐρεθεί (αν υπάρχει) η αντίστροϕη συνάρτηση f (x). Να ϐρεθούν επίσης τα a, b ώστε f = f. Λύση : Για το πεδίο ορισµού της συνάρτησης έχουµε : D(f) = R. Για κάθε x, x R µε f(x ) = f(x ) έχουµε ax + b = ax + b a(x x ) = 0 x = x. Εποµένως η συνάρτηση είναι -, οπότε και αντιστρέϕεται. f Θέτουµε y = ax + b x = (y b). Άρα ο τύπος της αντίστροϕης συνάρτησης είναι a (x b) µε πεδίο ορισµού D(f ) = R. (x) = a { Για να είναι f = f a =, b = b a a} {(a =, b = 0), (a =, b R} 3) Να υπολογιστούν τα όρια : πρέπει για κάθε x R να έχουµε ax + b = (x b) a

2 . lim x 0 x + 3 x + tan(πx). lim x 4 x + 4 Λύση :. Εχουµε απροσδιοριστία 0 0. Το πεδίο ορισµού είναι D(f) = (0, + ). Θέτουµε y6 = x + x+ οπότε έχουµε 3 = y3 x + y = (y )(y + y + ) 3 x x + + = (y )(y + ) 6. x + + x + 3 x x + + Εποµένως lim x 0 3 = lim x + x 0 6 = 3 x Εχουµε απροσδιοριστία 0 tan(πx). Θέτουµε x = 4+h, οπότε 0 x + 4 tan(πh) = π sin(πh) ( tan x. Εποµένως lim h πh cos(πh) x 4 x + 4 = lim h 0 π. tan( 4π + πh) = h ) π sin(πh) πh cos(πh) = = 4) Να υπολογισθεί το όριο της συνάρτησης 4x. lim x x. lim x 0 tan(5x) tan(3x) Λύση :. Το όριο lim x + 4x x =. Η συνάρτηση lim x + 4x /x = f(x) = tan(5x) tan(3x) = sin(5x) cos(5x) = sin(5x) cos(3x) sin(3x) cos(5x) = 5 sin(5x) 5x lim f(x) = 5 x 0 3 = sin(3x) 3x sin(3x) cos(3x) cos(3x) cos(5x)

3 5) Να αποδείξετε ότι sin x lim x 0 x = cos x lim x 0 x = 0 Λύση : (ϐλέπε και λύση στη σελίδα 04 του ϐιβλίου) sin x lim x 0 x = lim (sin x) x 0 (x) cos x lim x 0 x 6) Να υπολογίσετε (αν υπάρχει) το όριο lim x = lim x 0 cos x = lim x 0 ( sin x) 5x 3 x + 3 = 0 = Λύση : Το όριο lim x + 5x 3x 5 x + 3x = 3

4 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να προσδιοριστούν τα a, b R, ώστε η συνάρτηση { x + 3, αν x f(x) = ax + b, αν x < να είναι παραγωγίσιµη στο x 0 =. Λύση : Αναγκαία συνθήκη ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιµη στο x 0 = είναι να είναι συνεχής στο σηµείο αυτό. Η συνέχεια εξασϕαλίζεται όταν a + b = 5. Απαιτώντας την ισότητα της δεξιάς µε την αριστερή παράγωγο στο x 0 = οδηγούµαστε στην σχέση a = 5 0. Οπότε τελικά ϐρίσκουµε τελικά b = ) Υπολογίστε την πρώτη παράγωγο των συναρτήσεων. y(x) = x x (3 ln x ). y(x) = e sin (x 3 ) 3. y(x) = Λύση : 5 x x +. y (x) = 9 x ln x. y (x) = 3x e sin (x 3) sin(x 3 ) 3. y (x) = 9x 5 x (x + ) 3/ 3) Να υπολογιστεί η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της καµπύλης µε παραµετρικές εξισώσεις x(t) = 3t + t + και y(t) = t 4 + t.

5 Λύση : Βρίσκουµε ότι dy dx = 4t3 + 6t + και d y dx = 48t3 + t (6t + ) 3. 4) Να υπολογιστούν οι παράγωγοι m. m(u) = o u /c όπου m o, c είναι σταθερές.. Να υπολογισθεί ο τύπος της παραγώγου (d n f(x)/dx n ) της συνάρτησης y = /(x + ) Λύση :. dm = du m o u c [ u /c ] 3/. y = (x + ) dy dx d y dx. d n y dx n = (x + ) = ( )( )(x + ) 3 = ( ) n (n)(x + ) n 5). Αν a > 0 και σταθερά. Να υπολογισθεί το k > 0 σαν συνάρτηση του a αν οι συναρτήσεις y = sin(kx) και y = cos(kx) ικανοποιούν την εξίσωση d y + ay = 0 () dx. είξτε ότι y = c sin(kx) + c cos(kx) είναι επίσης λύσεις της εξίσωσης, για κάθε σταθερά c και c. 3. είξτε ότι η συνάρτηση y = sin(kx + ϕ) επίσης ικανοποιεί την εξίσωση για κάθε τιµή της ϕ. 4. είξτε ότι η συνάρτηση y = c sin(kx) + c cos(kx) µπορεί να πάρει τη µορϕή y = sin(kx + ϕ)

6 Λύση :. (sin(kx)) = k cos(kx). Εποµένως (sin(kx)) = (k cos(kx)) = k sin(kx). Οµοίως, διαϕοροποιώντας το συνηµίτονο δύο φορές µε µία αλλαγή προσήµου έ- χουµε (cos(kx)) = k cos(kx) Εποµένως, και sin(kx) + k sin(kx) = 0 cos(kx) + k cos(kx) = 0 Εάν υποθέσουµε k > 0, k = a.. Αυτό προκύπτει από την γραµµικότητα της λειτουργίας της διαϕοροποίησης. Με k = a, προκύπτει (c sin(kx) + c cos(kx)) + k (c sin(kx) + c cos(kx)) () = c (sin(kx)) + c (cos(kx)) + k c sin(kx) + k c cos(kx) (3) = c [(sin(kx)) + k sin(kx)] + c [(cos(kx)) + k cos(kx)] (4) = c 0 + c 0 = 0 (5) 3. Εϕόσον το ϕ είναι σταθερό, d(kx) + ϕ)/dx = k και (sin(kx + ϕ) = k cos(kx + ϕ), (sin(kx + ϕ)) = (k cos(kx + ϕ)) = k sin(kx + ϕ) Εποµένως, αν a = k, (sin(kx + ϕ) + a sin(kx + ϕ) = 0 4. Ο τύπος αθροίσµατος για τις λειτουργίες ηµιτόνου λέει sin(kx + ϕ) = sin(kx) cos(ϕ) + cos(kx) sin(ϕ) Με άλλα λόγια sin(kx + ϕ) = c sin(kx) + c cos(kx) µε c = cos(ϕ) και c = sin(ϕ). 3

7 6) Αν η εϕαπτοµένη της καµπύλης y = ( a x), µε α=σταθερό και x > 0, τέµνει τους άξονες Ox και Oy στα σηµεία Α και Β αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι το άθροισµα (OA) + (OB) είναι σταθερό. Λύση : Η εξίσωση της εϕαπτοµένης της καµπύλης στο τυχαίο σηµείο M(x 0, y 0 ) είναι y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) y ( a ( ) a x 0 ) = (x x 0 ) (6) Για να ϐρούµε το τµήµα ΟΑ ϑέτουµε στην 6 y = 0 και έχουµε : a + a ax 0 x 0 = ( )(x x 0 ) x 0 x 0 x = x 0 a a x0 x0 a = ax0 ( x 0 a) x0 a = ax 0 εποµένως για το τυχαίο σηµείο Μ της καµπύλης είναι (OA) = ax 0. Για να ϐρούµε το τµήµα ΟΒ ϑέτουµε στη σχέση 6 x = 0 και έχουµε : y ( a a x 0 ) = x 0 ( ) x 0 y = a ax 0 + x 0 x 0 + ax 0 = a ax 0 Εποµένως για το τυχαίο σηµείο Μ της καµπύλης είναι (OB) = a ax 0 Άρα (OA) + (OB) = ax 0 + a ax 0 = a = σταθερ. 4

8 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 3 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να υπολογιστούν τα όρια : x +. lim x 0 sin x ( 4. lim x3 x +5 3 ) 8x 3 3x +x 5 x + Λύση :. Εχουµε απροσδιοριστία 0. Αν όµως πολλαπλασιάσουµε επί τη συζυγή παράσταση του αριθµητή, ϑα πάρουµε ότι : lim = lim 0 x + ( x +) x 0 sin x x 0 sin x( x ++) = ( ) x x lim = 0=0 x 0 sin x x ++ ( 4. Εχουµε lim x3 x +5 3 ) 8x 3 3x +x 5 = x + ( ( ) ( 4 x x 4 x + 5x4 x x + x 5 ) ) = x 3 lim x + ( ) [ lim x lim x + x + ( ( 4 x x + 5 ) ( x 4 x + x 5 ) )] =(+ )(0 ) = x 3 ) Να υπολογίσετε την δεύτερη παράγωγο f (x) της συνάρτησης f(x) =x m cos(nx), όπου m, n µη µηδενικοί ϕυσικοί αριθµοί και στην συνέχεια τις τιµές f (0), f (0), f (π), f (π). Λύση : f (x) =mx m cos(nx) nx m sin(nx). Ειδικότερα, για m =έχουµε f (x) = cos(nx) nx sin(nx). f (x) =m(m )x m cos(nx) mnx m sin(nx) n x m cos(nx) Ειδικότερα, για m =έχουµε f (x) = n sin(nx) n x cos(nx) και για m =f (x) =cos(nx) 4xn sin(nx) n x cos(nx).

9 Από τα παραπάνω έχουµε : f (0) = αν m =,ενώανm>f (0) = 0. Επ ίσης f (π) =mπ m ( ) n. f (0) = 0 αν m =, f (0) = αν m =, ενώ ανm > f (0) = 0. Επ ίσης f (π) =( ) n [m(m )π m n π m ]. 3) Σε ορθοκανονικό σύστηµα Oxy ϑεωρούµε σηµείο A στο πρώτο τεταρτηµόριο του µοναδιαίου κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων και τις προβολές αυτού B και Γ στους άξονες των x και y αντίστοιχα. Να ϐρεθεί η ϑέση του A ώστε το εµβαδόν του ορθογωνίου ABOΓ να είναι µέγιστο. Λύση : Το εµβαδόν E του ορθογωνίου ABOΓ ισούται µε E = xy και, καθώς x +y =και x, y µη αρνητικά, παίρνει την µορφή E(x) =x x (δες σχήµα ). Θέλουµε λοιπόν να µεγιστοποιήσουµε την συνάρτηση E(x) = x x στο διάστηµα [0, ]. Η π ρώτη παράγωγος της E(x) στο διάστηµα (0,) είναι E (x) = x = ( x)( + x). x x Εύκολα ϕαίνεται ότι η συνάρτηση έχει ολικό µέγιστο στο σηµείο x = / την τιµή E( /) = /. ηλαδή το ορθογώνιο έχει µέγιστο εµβαδόν όταν γίνεται τετράγωνο. Σχήµα : Το σχήµα της άσκησης 3. 4) Ενα σωµατίδιο κινείται πάνω σε µια οριζόντια γραµµή σύµφωνα µε την εξίσωση x(t) =t 4 0t 3 +36t 56t + Υπολογίστε (α) πότε αυξάνει και πότε ελαττώνει το µέτρο της ταχύτητας, (ϐ) πότε αλλάζει η κατεύθυνση της κίνησης, (γ) η συνολική απόσταση που διανύθηκε τα πρώτα 4sec. Λύση : α) Η ϑέση του σωµατιδίου την χρονική στιγµή t δίνεται από τη συνάρτηση x(t) =t 4 0t 3 +36t 56t +,

10 η ταχύτητα του σωµατιδίου είναι u(t) =x (t) =4t 3 30t +7t 56, και η επιτάχυνση a(t) =u (t) =t 60t +7. Θεωρούµε ως ϑετική ϕορά την προς τα δεξιά κίνηση. Το µέτρο της ταχύτητας αυξάνει όταν η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν το ίδιο πρόση- µο δηλαδή u a και µειώνεται όταν η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν αντίθετο πρόσηµο δηλαδή u a. Η ταχύτητα του µηδενίζεται τις χρονικές στιγµές t =s, 3.5s. Εποµένως η ταχύτητα ελαττώνεται από 0 sec και από 3 3, 5sec ενώ αυξάνεται από 3sec και από 3, 5sec και έπειτα. Σχήµα : Η ταχύτητα σαν συνάρτηση του χρόνου (ϐ) Η κατεύθυνση της κίνησης αλλάζει όταν αλλάζει πρόσηµο η ταχύτητα. κατεύθυνση της κίνησης αλλάζει την χρονική στιγµή t =3, 5sec. Άρα η (γ) Θεωρώντας ότι το κινητό ξεκινάει την κίνησή του την t = 0, εκείνη τη στιγµή ϐρίσκεται στη ϑέση x(0) = µονάδα µήκους και έχει u(0) = 56 µονάδες ταχύτητας. Στη συνέχεια κινείται προς τα αρνητικά του άξονα µέχρι την t =3, 5sec όπου στιγµιαία σταµατάει να κινείται και αλλάζει ϕορά κίνησης. Την t =3, 5sec ϐρίσκεται στη ϑέση x(3, 5) = 3, 6875 µονάδες µήκους. Εκείνη τη στιγµή αλλάζει ϕορά κίνησης και κινείται προς τα ϑετικά. Ετσι την t =4secϐρίσκεται στη ϑέση x(4) = 3 µονάδες µήκους. Άρα συνολικά έχει διανύσει διάστηµα S ol = x(0) + x(3, 5) + x(4) x(3, 5) =+3, ( 3 + 3, 6875) = 33, , 6875 = 35, 375 5) ίνεται η συνάρτηση Να προσδιοριστεί η παράγωγος dy/dx. y = x / (x +) /3 (x ) /3. 3

11 Λύση : dy dx = x(x +)/3 (x ) /3 + x / 3 (x +) /3 (x ) /3 + x / (x +) /3 3 (x ) /3 = = 9x 3+x 6(x ) /3 x(+x) /3 6) Εστω ότι x = t+/t και y = t +/t. Να αποδειχθεί ότι η δεύτερη παράγωγος d y/dx είναι σταθερή και να προσδιοριστεί η παράσταση K = ( x 4 ) d y dx + xdy dx 4y. Λύση : Η δεύτερη παράγωγος υπολογίζεται από τη σχέση d y dx = d ( dy ) dx = dx Άρα d y dx = (t6 3t 4 +3t ) (t ) 3 = d ( dy ) dt dx dt dx = d dt ( dy ) dt dx dt dx dt Άρα η δεύτερη παράγωγος είναι σταθερή. Επίσης dy = ( ) d y ( dx dt dt ( dx ) 3 dt = dy dt dx dx dt ) ( dy dt = t t 3 t Άρα K =(x 4) d y + x dy 4y = ( ) ( ) ( t + dx dx t + t + t 4 t t 3 t ) ( ) d x dt = t4 t 3 t ) 4t 4 t =0 4

12 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 4 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να υπολογιστούν τα όρια : ( x + x. lim x +. lim (x + 3) x 3 Λύση : x x x x + 6x + 9 ). Εχουµε απροσδιοριστία. Η άσκηση λοιπόν λύνεται µε το γνωστό τέχνασ- µα του πολλαπλασιασµού και διαίρεσης της παράστασης µε την συζυγή της, οπότε µε ( απλές πράξεις ϐρίσκουµε : x + x x ) x lim x + + x + lim x + = x = lim x + x x + x + x x =. Εχουµε απροσδιοριστία 0 0. Παρατηρώντας ότι x + 6x + 9 = (x + 3), η συνάρτησή µπορεί να γραϕεί και ως εξής : (x + 3) = (x+3) x x. Υπολογίζουµε τα x +6x+9 x+3 (x + 3) x πλευρικά όρια και ϐρίσκουµε εύκολα ότι lim = (x + 3) x 6, lim x 3 + x + 3 x 3 x Εποµένως αϕού τα πλευρικά όρια είναι διαϕορετικά δεν υπάρχει το Ϲητούµενο όριο. = ) Ενα εργοστάσιο µπορεί να κατασκευάσει x εκατοντάδες λάστιχα τύπου Α και y εκατοντάδες λάστιχα τύπου Β την ηµέρα όπου 0 x 4 και y =. Το κέρδος 40 0x 5 x ανά λάστιχο τύπου Α είναι διπλάσιο από το κέρδος ανά λάστιχο τύπου Β. Ποιος είναι ο ιδανικός αριθµός παραγωγής (x, y) ώστε να µεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος ;

13 Λύση : Εάν το κέρδος ανά λάστιχο τύπου Β είναι p, τότε το κέρδος ανά λάστιχο τύπου Α 0 x είναι p και η συνάρτηση κέρδους γίνεται : P (x) = px + py = p. Τα πιθανά 5 x ακρότατα µηδενίζουν την παράγωγο ή είναι σηµεία στα οποία δεν ορίζεται η παράγωγος ή είναι άκρα του διαστήµατος. Οµως, P (x) = p (x 5 + 5)(x 5 5) (5 x) οπότε πιθανά ακρότατα είναι τα σηµεία είναι τα x = 5 5, x = Αϕού 0 x 4, το µόνο σηµείο που µας ενδιαϕέρει είναι το x = 5 5. Παρατηρούµε ότι η παράγωγος είναι ϑετική για 0 < x < 5 5 (οπότε και η συνάρτηση είναι αύξουσα) και αρνητική για 5 5 < x < 4 (οπότε και η συνάρτηση είναι φθίνουσα). Άρα, στο σηµείο x = 5 5 έχουµε τοπικό µέγιστο µε P (5 5) = 4p(5 5), 0557p. Στα άκρα του διαστήµατος έχουµε P (0) = 8p και P (4) = 8p. Συµπεραίνουµε έτσι ότι το σηµείο (5 5, P (5 5)) είναι ολικό µέγιστο και η Ϲητούµενη λύση είναι x, 76 και y 5, 53 εκατοντάδες λάστιχα. 3) ίδεται το τρίγωνο το οποίο σχηµατίζεται από την τοµή της ευθείας γραµµής y = x/ +, του άξονα των x και του άξονα των y. Βρείτε το εµβαδόν του µεγαλύτερου ορθογωνίου το οποίο δύναται να εγγραϕεί εντός του δοθέντος τριγώνου. Λύση : Αν ονοµάσουµε (x, y) τις συντεταγµένες της κορυϕής του σκιασµένου παραλληλόγραµµου που ϐρίσκεται πάνω στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου (δες σχήµα ), τότε 0 x 4, και είναι φανερό ότι το εµβαδόν του παραλληλογράµµου µπορεί να γραϕεί E = xy. Ξρησιµοποιώντας κατόπιν την σχέση y = x/ + γράϕουµε το εµβαδόν αυτό ως µια συνάρτηση µόνο του x ως εξής : E(x) = x( x + ). Ακολούθως παίρνουµε την παράγωγο της συνάρτησης, αναζητώντας τα ακρότατά της E (x) = x +. Εύκολα ϐρίσκουµε E () = 0, E () = < 0.. Άρα το παραλληλόγραµµο µε το µέγιστο εµβαδόν είναι αυτό που έχει πλευρές µήκους x = και y =, δηλ. E =. Σχήµα : Το σχήµα της άσκησης 3. 4) Στη δοκιµή σύγκρουσης ενός αυτοκινήτου µε εµπόδιο (crashtest), ένα αυτοκίνητο επιταχύνεται από ηρεµία µε m/s για 5 δευτερόλεπτα και µετά επιβραδύνεται µε 4m/s µέχρι που συγκρούεται µε το εµπόδιο. Η ϑέση του αυτοκινήτου δίνεται από τη συνάρτηση

14 { s(t) = t 0 < t < 5 t + At + B t 5 (α) Υποθέτοντας ότι s(t) και s (t) είναι συνεχείς συναρτήσεις τη χρονική στιγµή t = 5, υπολογίστε τα Α και Β. (ϐ) Το εµπόδιο είναι τοποθετηµένο σε απόσταση s = 33 µέτρα. Υπολογίστε την ταχύτητα του αυτοκινήτου όταν συγκρούεται µε το εµπόδιο. Λύση : (α) Επειδή η s(t) είναι συνεχής για t = 5, το αριστερό όριο και το δεξί όριο είναι ίσα. Το αριστερό όριο είναι, lim s(t) = lim t = 5. t 5 t 5 Το δεξί όριο είναι, lim s(t) = lim + At + B) = (5) + A(5) + B = A + B. t 5 + t 5 +( t Αυτό οδηγεί στην εξίσωση, η οποία απλοποιείται σε, Η παράγωγος s (t) ισούται µε, { s (t) = το οποίο ισούται µε, s (t) = 5 = A + B, 5A + B = 75. (t ) 0 t < 5 ( t + At + B) t > 5 { t 0 t < 5 4t + A t > 5 Επειδή η s (t) είναι συνεχής στο t = 5, το αριστερό όριο και το δεξί όριο είναι ίσα. Το αριστερό όριο είναι, Το δεξί όριο είναι, lim s (t) = lim t = (5) = 0. t 5 t 5 lim s (t) = lim t 5 + +( 4t + A) = 4(5) + A = 0 + A. t 5 Αυτό οδηγεί στην εξίσωση, 0 = 0 + A, η οποία απλοποιείται σε, 3

15 A = 30. Αντικαθιστώντας µε A = 30 στην πρώτη εξίσωση έχουµε, το οποίο απλοποιείται σε, Άρα η λύση είναι, 5(30) + B = 75, B = 75 5(30) = = 75. A = 30, B = 75. (ϐ) Για t > 5, η εξίσωση για τη µετατόπιση είναι, s(t) = t + 30t 75. Η στιγµή T όταν το αυτοκίνητο χτυπάει στο εµπόδιο είναι η λύση της εξίσωσης s(t ) = 33, T + 30T 75 = 33. Αϕαιρώντας το 33 από κάθε µέρος της εξίσωσης έχουµε, ιαιρώντας κάθε µέρος µε έχουµε, T + 30T 08 = 0. T 5T + 54 = 0. Το κλάσµα 54 αναλυεται ως 7, 3 8 και 6 9. Στην τελευταία περίπτωση, το άθροισµα των παραγόντων είναι +5. Ετσι οι παράγοντες του πολυώνυµου γράϕονται ως εξής, T 5T + 54 = (T 6)(T 9). Οι δύο πιθανές λύσεις του (T 6)(T 9) = 0 είναι οι T = 6 και T = 9. Από τη στιγµή που το αυτοκίνητο δε γίνεται να συγκρουστεί δύο φορές, συγκρούεται τη στιγµή, Για t > 5, η εξίσωση u(t) = s (t) είναι, Αντικαθιστώντας για t = T = 6 παίρνουµε, T = 6. s (t) = 4t + A = 4t s (6) = 4(6)

16 Εποµένως, τη στιγµή που το αυτοκίνητο συγκρούεται µε το εµπόδιο, η ταχύτητα είναι, 6m/s. 5) Να υπολογισθούν οι παράγωγοι (παρουσιάστε αναλυτικά τις πράξεις) (α) d [ tan θ ] dθ tan θ (ϐ) d dt sin (t) Λύση : (α) Η απλούστερη λύση χρησιµοποιεί τον τύπο της διπλής γωνίας για tan(θ). Επειδή sin(θ) = sin(θ) cos(θ) και cos(θ) = cos(θ) sin(θ), το tan(θ) ισούται µε, tan(θ) = sin(θ) cos(θ) = sin(θ) cos(θ) cos(θ) sin(θ). Ο παράγοντας cos(θ) και στον αριθµητή και στον παρονοµαστή οδηγεί στο, Αυτό οδηγεί στο tan(θ) = Αντικαθιστούµε το θ µε u, Εποµένως, sin(θ)/ cos(θ) (sin(θ)/ cos(θ)) = tan(θ) tan(θ). ( ) d tan(θ) = d dθ tan(θ) dθ tan(θ). d dθ tan(u) du tan(u)d du dθ = sec(u). ( ) d tan(θ) = sec(θ). dθ tan(θ) Ορίζουµε υ = tan(θ) και w = υ/( υ ) και έχουµε, dw dθ = dw dυ dυ dθ dw dυ = ( υ ) ((υ) ( υ ) (υ)( υ ) ) = Επίσης, Σύµϕωνα µε τα προηγούµενα d dθ tan(θ) = sec(θ). ( υ ) (( υ ) υ( υ)) = ( + υ ) ( υ ). dw dθ = ( + υ ) ( υ ) sec(θ) = ( + tan(θ) ) sec(θ). ( tan(θ) ) 5

17 Εϕόσον + tan(θ) ισούται µε sin(θ), αυτό απλοποιείται σε, ( ) d tan(θ) = sec(θ) 4 /( tan(θ) ). dw tan(θ) (ϐ) d sin sin(t) cos(t) (t) = dt sin (t) 6) Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων (α) f(x) = ex e x e x +e x (ϐ) f(x) = + x 34 (γ) f(x) = log 0 (x 3 + 3x) (δ) Να υπολογισθεί η παράγωγος x (y) στο σηµείο y = 0 που ορίζεται από την πεπλεγ- µένη συνάρτηση yx x + x = 0 Λύση : (a) Αν ϑέσουµε u = e x e x, v = e x + e x τότε y = u/v dy dx = ( ) du v dx v udv. dx και καταλήγουµε στη σχέση dy dx = v (v u ) v u = 4 dy dx = 4/(ex e x ) (b) Αν υποθέσουµε ότι u = x 34 και v = + u τότε y = v /. dy dx = dy dv du dv du dx du dx = 34x33, dv du (c) Επειδή x 3 + 3x = x(x + 3) και =, dy dv = v / dy dx = 67x33 / + x 34. log 0 (x(x + 3)) = log 0 (x) + log 0 (x + 3) 6

18 (log 0 (x)) = ln(0)x dy dx = ln(0)x + x ln(0)(x + 3) (d) yx x + x = 0 ye x ln x + x = 0 εϕόσον x x + yx x (x ln x + x ) + x = 0 x = x x yx x ln(x) + yx x + yx x ln(x) + yx x + 0 Από την αρχική εξίσωση έχουµε για y = 0, x = άρα x (0) =. 7

19 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 5 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να υπολογιστούν τα όρια :. lim (x ln x) x +. lim x 0 x e x + e x x sin x Λύση :. Εχουµε απροσδιοριστία. lim (x ln x) = lim x + ( lim x lim ln x ) x + x + x lim x + (ln x) = lim x x + ( 0 x sin x ( 0) 0 x e x + e x. lim x 0 lim x 0 lim x 0 e x e x cos x e x + e x sin x ( 0 0 ) 0 x = 0. ) [ ( x x + = + ( 0) = +, αϕού lim x + = lim x 0 (x e x + e x ) (x sin x) = = lim x 0 ( e x e x ) ( cos x) = = lim x 0 ( e x + e x ) (sin x) = lim x 0 e x e x cos x = ln x )] ( x ) ln x + x + = = = x + α x + α ) Να ϐρεθεί η παράµετρος α έτσι ώστε το όριο lim x 3 x να υπάρχει στο 5x + 6 σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Στη συνέχεια να το υπολογίσετε. ( x ) Λύση : Παρατηρούµε ότι : lim + α x + α = 3 + α 6 + α, lim x x 3 x 3 5x + 6 = 0. Ετσι, αν 3 + α 6 + α 0 το τελικό αποτέλεσµα ϑα ήταν ±. Πρέπει, συνεπώς 3 + α 6 + α = 0 α = 3. Για αυτήν την τιµή του α έχουµε :

20 lim x 3 lim x 3 x + 6 x + 3 ( x + 6 x + 3)( x x + 3) = lim x 3 (x 5x + 6)( x = x + 3) x 5x + 6 (x 3) (x 3)(x )( x x + 3) = 6. 3) Να προσδιοριστούν τα a, b R, ώστε η συνάρτηση ax + b sin(x), αν x < 0 x f(x) = a 4, αν x = x, αν x > 0 bx να είναι συνεχής στο x 0 = 0. Λύση : Για να είναι η f(x) συνεχής στο x 0 = 0 ϑα πρέπει lim f(x) = lim f(x) = f(0) = x 0 x 0 + ax + b sin(x) sin(x) a 4. Επίσης, έχουµε : lim f(x) = lim = lim a + b lim = x 0 x 0 x x 0 ( ) x 0 x a + b, και lim f(x) = lim 4 + x 0 ( 4 + x)( x) = lim x 0 + x 0 + bx 0 x 0 + bx( + = 4 + x) lim x 0 + x bx( x) = 4b. Εποµένως ϑα πρέπει a + b = a 4 b =, 4b = a 4 a = ) Η συνάρτηση f(x) ορίζεται από τη σχέση ( + sin x)/(cos(x)) αν cos(x) 0 f(x) = 0, αν cos(x) = 0 Για π x π. Σχεδιάστε την καµπύλη y = f(x). Λύση : Από τη στιγµή που η εξίσωση y = f(x) είναι περιοδική µε περίοδο π, αρκεί µόνο να κάνουµε την ανάλυση για [0, π]. (i) Οι κάθετες ασύµπτωτες ίσως τοποθετούνται όπου cos x = 0, το οποίο συµβαίνει για x = π, 3π στο [0, π]. Εϕόσον + sin x 0 για x = π, αυτή είναι µία κάθετη ασύµπτωτη. Από την άλλη, + sin x = 0 για x = 3π, εποµένως αυτό το σηµείο χρειάζεται επιπλέον ανάλυση. lim x 3π + sin x cos x = lim x 3π cos x sin x = 0

21 Εποµένως δεν υπάρχει ασύµπτωτη στο x = 3π (ii) Από τη µελέτη της πρώτης παραγώγου έχουµε f (x) = cos x + ( + sin x) sin x cos x όπου η εξίσωση είναι συνεχής. = + sin x cos x = + sin x sin x = sin x. Εποµένως η f είναι µη φθίνουσα και δεν υπάρχουν τοπικά ακρότατα. (iii) Σύµϕωνα µε την f (x) = cos x ( sin x) η οποία αλλάζει πρόσηµο κάθε φορά που cos x = 0 το οποίο συµβαίνει στο x = π και 3π. Ωστόσο, υπάρχει µία κάθετη ασύµπτωτη στο x = π, εποµένως το µόνο σηµείο καµπής παρουσιάζεται όταν x = 3π. Οι συντεταγµένες του σηµείου δίνονται από το ( 3π, 0). Η κλίση στο σηµείο καµπής είναι f ( 3π) = /. (iv) Η συνάρτηση στρέϕει τα κοίλα πάνω όταν cos x > 0 και τα κοίλα κάτω όταν cos x < 0. Για να σχεδιάσουµε τη γραϕική παράσταση, σχεδιάζουµε πρώτα το σηµείο 0 x π, και έπειτα την επεκτείνουµε περιοδικά στο π x π, ϐλ. το παρακάτω σχήµα. 5) ύο ακτίνες L, M (ϐλέπε σχήµα) συναντιόνται σε ένα σηµείο σχηµατίζοντας σταθερή γωνία ϕ. Μία ϱάβδος µε σταθερό µήκος c κινείται µε τη µία άκρη να παραµένει στην ακτίνα L και η άλλη άκρη στην M. Να υπολογισθούν τα a, b, θ σαν συνάρτηση των σταθερών c, ϕ όταν το b γίνεται µέγιστο. Λύση : Ξεκινάµε µε τον κανόνα των συνηµιτόνων : c = a + b ab cos ϕ () Μπορούµε να ϑεωρήσουµε το b ως συνάρτηση του a: Στην πραγµατικότητα υπάρχουν δύο τέτοιες συναρτήσεις, ωστόσο τα µέγιστα που παρουσιάζουν είναι τα ίδια και στο ίδιο 3

22 σηµείο. ιαϕορίζοντας την ως προς το a, παίρνουµε 0 = a + b db db b cos ϕ a da da cos ϕ Για b = b(a), αναζητώντας τα ακρότατα εχουµε db da Συνδέοντας αυτό µε την, παίρνουµε εποµένως το µέγιστο b είναι και ισχύει = 0. Εποµένως 0 = a b cos ϕ a = b cos ϕ c = b (cos ϕ + ) b cos ϕ = b ( sin ϕ) = b sin ϕ b = c sin ϕ a = b cos ϕ = c cot ϕ Επιπλέον πρέπει να ϐρούµε µία σχέση για το θ όταν το b είναι µέγιστο. Ονοµάζουµε A την αντίστοιχη γωνία στην κορυϕή b του τριγώνου abc, έπειτα σύµϕωνα µε το ϑεώρηµα των ηµιτόνων έχουµε b sin A = c sin ϕ Σύµϕωνα µε την αυτό σηµαίνει ότι sin A = και ως εκ τούτου A = π/. Από τη σχέση ϕ + θ + A = π, ϐρίσκουµε ότι θ = π ϕ στην περίπτωση που το b είναι µέγιστο. () 4

23 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 6 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο κατακόρυϕοι στύλοι QP, ST στηρίζονται από δύο δοκούς P RS (ϐλέπε Σχήµα ). Να υπολογισθούν οι γωνίες θ = P RQ, θ = ŜRT για να είναι το µήκος των δοκών ελάχιστο. Σχήµα : Λύση : Αν ορίσουµε P Q = a, ST = b, το QT = d και το RQ = x ϑα έχουµε f(x) = a + x + b + (d x). Η πρώτη παράγωγος f (x) είναι ίση µε µηδέν όταν ( ) ad d x = = a + b + (b/a) στο σηµείο αυτό η δεύτερη παράγωγος είναι ϑετική άρα f(x ) = ελάχιστο. Ενας διαϕορετικός τρόπος λύσης είναι µε τις γωνίες θ = P RQ και θ = ŜRT. ιαπιστώνουµε ότι το ελάχιστο παρουσιάζεται όταν θ = θ = tan [(a + b)/d]. ) Ενας µεταλλικός αγωγός πρέπει να µεταϕερθεί από τον όροϕο µιας πολυκατοικίας στο ισόγειο. Οι διάδροµοι της πολυκατοικίας είναι κάθετοι µεταξύ τους και έχουν πλάτος 8 µέτρα και 6 µέτρα αντίστοιχα. Να υπολογισθεί το µέγιστο µήκος του µεταλλικού αγωγού

24 (στρογγυλέψτε το στο πλησιέστερο ακέραιο) ώστε µπορούµε να το µεταϕέρουµε στο ισόγειο από τον όροϕο της πολυκατοικίας (πρόβληµα 4 σελίδα 30 στο ϐιβλίο T homas etal ϐλέπε Σχήµα στη σελίδα 30). Λύση : Σχήµα : Λύση : Το µήκος της σκάλας ϑα δίνεται από τη σχέση L = AΓ + ΓB L = KΓ cos θ + ΛΓ sin θ L(θ) = 8 cos θ + 6 sin θ L (θ) = 8 sin θ cos θ 6 cos θ sin θ = 8 sin3 θ 6 cos 3 θ cos θ sin θ L (θ) = 0 8 sin 3 θ 6 cos 3 θ = 0 8 sin 3 θ = 6 cos 3 θ tan θ = ( 3 6 θ = arctan ) 3 6 Επειδή 3 6 θ π/4 Άρα για θ = π/4 L = = 4 = m 3) (α) Να περιγράψατε γύρω από µια σϕαίρα ακτίνας R ορθό κώνο, που να έχει τον ελάχιστο όγκο. (ϐ) Να υπολογισθεί η µεγίστη επιϕάνεια ορθογωνίου παραλληλογράµµου που µπορεί να εγγράψει γνωστό ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε µήκος L και πλάτος W (ϐλέπε Σχήµα ). Λύση : (α) Ο περιγεγραµµένος κώνος ϑα έχει, όπως φαίνεται και στο σχήµα, ύψος h = R + a, όπου a = AE > 0 (µεταβλητό).

25 Σχήµα 3: Επίσης επειδή τα τρίγωνα A Γ και AOB είναι όµοια ϑα ισχύει ακτίνα του κώνου. Άρα r = (R+a)R R+a Ο όγκος του κώνου ϑα είναι : V = 3 πr h V (a) = 3 π (R + a)3 R (R + a) V (a) = 3 π 3(R + a) R (R + a) (R + a) 3 R (R + a) (R + a) 4 V (a) = 0 3(R + a) R (R + a) (R + a) 3 R (R + a) = 0 (R + a)(r + a) R [3(R + a) (R + a)] = 0 r = R R+a R+a όπου r η R = a (απορρίπτεται) a = R/ (απορρίπτεται) 3(R + a) (R + a) = 0 a = R (δεκτή) Άρα στο R η συνάρτηση V (a) παρουσιάζει ακρότατο, το οποίο είναι ελάχιστο µιας και V (a) = /3π 6(aR4 +R 5 ) (a+r) 4 > 0 Συµπερασµατικά, ο περιγεγραµµένος κώνος µε τον ελάχιστο όγκο έχει ύψος h = 3R και r = (R+R)R = 3R = (3/)R R+R R (ϐ) Το εγγεγραµµένο παραλληλόγραµµο EZHΘ έχει µήκος L και πλάτος W, ενώ για το παραλληλόγραµµο ABΓ στο οποίο το EZHΘ εγγράϕεται έχουµε : AB = AE + A = W cos θ + L cos θ 4 και Από το σχήµα έχουµε : Γ = Θ + ΘΓ = L cos θ 3 + W cos θ θ + θ 4 = 90 o θ + θ 3 = 90 o θ + θ = 90 o 3

26 Σχήµα 4: Άρα cos θ 4 = sin θ, cos θ 3 = sin θ, sin θ = cos θ, cos θ = sin θ Άρα για τις πλευρές έχουµε : AB = W cos θ + L sin θ Γ = W sin θ + L cos θ Το εµβαδόν του ABΓ ϑα είναι : E = ABΓ = (W cos θ + L sin θ )(W sin θ + L cos θ ) = W cos θ sin θ + LW (cos θ + sin θ ) + L cos θ sin θ E(θ) = (W + L ) cos θ sin θ + LW E (θ) = (W + L )[cos θ sin θ] E (θ) = 0 cos θ sin θ = 0 και αϕού θ[0, π/] cos θ = sin θ θ = π/4. Επίσης E (θ) = (W + L )[ cos θ sin θ cos θ sin θ] < 0 Οπότε το εµβαδόν για την τιµή θ = π/4 γίνεται µέγιστο ίσο µε E = (W + L )/ + LW 4) Εστω f(x) µια γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Η συνάρτηση g(x) = [f(x)] είναι γνησίως αύξουσα ; Αν ναι αποδείξτε το. Αν όχι µπορείτε να ϐρείτε µια απλή συνθήκη που ϑα εξασϕαλίζει ότι η g(x) είναι γνησίως αύξουσα ; Λύση : Αϕού η f(x) είναι γνησίως αύξουσα ϑα ισχύει f (x) > 0. Η πρώτη παράγωγος της g(x) είναι g (x) = f(x)f (x). Είναι φανερό ότι η g (x) δεν είναι πάντα ϑετική εκτός αν f(x) > 0. Για παράδειγµα η f(x) = x είναι γνησίως αύξουσα αλλά η g(x) = x δεν είναι γιατί η f(x) δεν είναι παντού ϑετική. Αντίθετα η f(x) = e x είναι γνησίως αύξουσα και η 4

27 g(x) = e x είναι επίσης γνησίως αύξουσα αϕού η f(x) είναι ϑετική. Εποµένως η συνθήκη f(x) > 0 είναι αρκετή για να µας εξασϕαλίσει ότι η g(x) είναι γνησίως αύξουσα. 5) Θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα παράθυρο η ϐάση του οποίου ϑα έχει το σχήµα παραλληλογράµµου και η κορυϕή του ϑα είναι ένα ηµικύκλιο όπως φαίνεται στο σχήµα 5. Αν η περίµετρος του παραθύρου είναι µέτρα να ϐρεθούν οι διαστάσεις του ώστε να µπαίνει από αυτό όσο το δυνατόν περισσότερο φως. Σχήµα 5: Το σχήµα της άσκησης 5. Λύση : Αν r η ακτίνα του ηµικυκλίου και h το ύψος του παραθύρου (ϐλέπε σχήµα 6), ϑέλουµε να µεγιστοποιήσουµε την επιϕάνεια E = hr + πr / του παραθύρου και ταυτόχρονα να έχουµε = h + r + πr. Εκϕράζουµε το εµβαδό ως συνάρτηση του r, E(r) = r r πr / αϕού από την περίµετρο που παραθύρου ϐρίσκουµε h = 6 r πr/. Για την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο έχουµε E (r) = r(4+π), E (r) = 4 π < 0, οπότε το εµβαδό γίνεται µέγιστο για r =. Σε αυτή την περίπτωση ϐρίσκουµε ότι 4 + π h = 4 + π. 6) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγµατικούς αριθµούς a, b ισχύει sin(a) sin(b) a b. Λύση : Αν a = b τότε η αποδεικτέα σχέση ισχύει ως ισότητα. Υποθέτουµε λοιπόν ότι το a είναι διάϕορο του b και µάλιστα (χωρίς ϐλάβη της γενικότητας) ότι a < b. Η συνάρτηση sin(x) είναι συνεχής και παραγωγίσιµη. Αρα είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [a, b] και παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα (a, b) µε παράγωγο sin (x) = cos(x). Ετσι ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής και συνεπώς υπάρχει ξ στο ανοικτό διάστηµα sin(a) sin(b) sin(a) sin(b) (a, b) έτσι ώστε = cos ξ. Οµως cos ξ, συνεπώς a b a b και τελικά πολλαπλασιάζοντας τα δυο µέλη της τελευταίας ανισότητας µε την ϑετική ποσότητα a b έχουµε ότι sin(a) sin(b) a b. 5

28 Σχήµα 6: Το σχήµα της λύσης της άσκησης 5. 6

29 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 7 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να υπολογισθούν τα όρια των ακολουθιών : ( ) n 7n +. a n = 7n. a n = n/3 cos n n + 3. a n = n n + 3 n n Λύση :. a n = ( + ) n 7n = 7n ( ( + /7 n + /7 n έχουµε lim a n = e/7 e /7 = e/7.. a n = n/3 cos n. n + ) n ) n. Είναι γνωστό ότι a n = lim ( + x n) n = e x, οπότε Η ακολουθία cos n είναι φραγµένη αϕού cos n, και η ακολουθία n/3 n/3 είναι µηδενική αϕού lim = lim n + n + + n n 0. Οπότε, η ακολουθία a n ως γινόµενο µιας µηδενικής επί µία φραγµένη ακολουθία είναι µηδενική, άρα lim a n = 0. n/3 n = lim n+ n /3 = = 3. Εχουµε απροσδιοριστία. Οµως, αν πολλαπλασιάσουµε και διαιρέσουµε επί την συζυγή παράσταση ϑα έχουµε : lim a n = lim n ( n + 3 n)( n n) ( n n) 3 3 lim n = lim n n n n ( / ) = + 3 = +. n =

30 ) Να εξετασθούν ως προς τη σύγκλιση οι παρακάτω σειρές :.. 3. n= n= n= e n n ( ) n n + 5 n 0 0 n Λύση :. Η σειρά δεν συγκλίνει, διότι αν εϕαρµόσουµε το κριτήριο λόγου ϑα έχουµε : lim lim en+ n e n (n + ) = e lim n (n + ) = e >.. Η σειρά αυτή είναι εναλλάσσουσα. Θα εϕαρµόσουµε το κριτήριο του Λειβνιτζ. Για την ακολουθία a n = έχουµε ότι : α) Εχει ϑετικούς όρους,β) Είναι φθίνουσα, n + 5 αϕού a n+ < a n γ) Συγκλίνει στο 0, αϕού lim n + 5 = 0. Συνεπώς η σειρά µας συγκλίνει. 3. Θα εϕαρµόσουµε το κριτήριο της ϱίζας για την ακολουθία a n = n0 0 n. lim n a n = 0 (lim n n) 0 = 0 ()0 = <. Συνεπώς, η σειρά συγκλίνει. 0 a n+ a n = 3). Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα Taylor της f(x) = e x κέντρου 0 υπολογίστε το όριο e x x lim x 0 + x e x.. Να αναπτυχθεί σε σειρά Taylor κέντρου 0 η συνάρτηση f(x) = e x. Λύση :

31 . Το ανάπτυγµα Taylor της f(x) = e x είναι : e x x n = = + x + x n!! + x3 3! ( n=0 ) e x x + x + x + x x! 3! Συνεπώς lim = lim x 0 + x e x x 0 + x ( + x + x + x ) = (! 3! x + x3 +...! 3! lim x 0 + x ( + x + x + x ) = lim x + x +...)! 3! x 0! 3! + x ( + x + x + x ) =.! 3!. Χρησιµοποιώντας και πάλι το ανάπτυγµα Taylor της εκθετικής συνάρτησης έχουµε : ( x ) n f(x) = e x = = ( ) n n n! n! xn n+ n = ( ) n! xn. n=0 4) Να υπολογισθεί η παραµετρική εξίσωση για το σύνολο των σηµείων P (ϐλέπε Σχ. ) που υπολογίζονται από τη συνθήκη OP = AB. Να σχεδιαστεί η καµπύλη. n=0 n= Σχήµα : Η καµπύλη του ιοκλή Λύση : Ονοµάζουµε P (X, Y ), B(a, y ) και A(x, y ). Ολα τα σηµεία ϐρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία που σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα των x, άρα ισχύει : tan θ = y P y 0 x P x 0 = y A y 0 x A x 0 = y B y 0 x B x 0 Συγκεκριµένα : y A y 0 = y B y 0 y = y x A x 0 x B x 0 x a y = ay () x Επειδή OP = AB, ισχύει ότι : x OP cos θ = x AB cos θ x P x O = x B x A X = a x () 3

32 Για τον ίδιο λόγο ισχύει ότι : y OP sin θ = y AB sin θ y P y 0 = y B y A Y = y y Οµως το σηµείο A(x, y ) ανήκει σε κύκλο, άρα ισχύει : Άρα η 3 γίνεται : Y = ay y x x (3) (x a) + y = a x ax + y = 0 y = ± x + ax Y = ± x + ax (a x ) x Y = ± a x (a x ) Y = ± x Άρα από και 4 η παραµετρική εξίσωση της καµπύλης είναι : ( x + a) 3 x (4) X = a t ( t + a) 3 Y = ± t Για τη µελέτη της συνάρτησης ϑα χρησιµοποιήσουµε Y > 0, αϕού η συνάρτηση είναι συµµετρική ως προς τον x x. dy dy dx = dt dx dt = ta+6t a t t t = 6t(a t) + a t t t Η παράγωγος αυτή είναι µονίµως ϑετική επειδή t = x > 0 και επειδή a t = a x = x B x A > 0. Άρα η Y (X) είναι γνησίως αύξουσα. Ελέγχουµε την πιθανότητα ύπαρξης ασύµπτωτης στο x = a. Στο lim x a [Y (X)] ϑέτουµε όπου x το t. Για x a, t 0 +. Άρα : ( t + a) 3 lim t 0 +[Y (t)] = lim = + t 0 + t Εποµένως η Y (X) έχει ως ασύµπτωτη την x = a. Αποτέλεσµα αυτού είναι η συνάρτηση να στρέϕει τα κοίλα άνω. Η γραϕική παράσταση της συνάρτησης είναι : 4

33 5) ίνεται η συνάρτηση Bessel µε γενική έκϕραση J (x) = [( ) 3 x x cos x + 3 sin x ]. x Με την προϋπόθεση ότι x, να αποδείξετε ότι, σε πρώτη προσέγγιση, η συνάρτηση Bessel παίρνει την µορϕή J (x) 3/x 3. Λύση : Αναπτύσσουµε το συνηµίτονο και το ηµίτονο σε σειρά J (x) [( ) ) 3 ( x x x! + x4 + 3 )] (x x3 4! x 3! + x5 3 5! x. 3 6) (α) Βρείτε τις ασύµπτωτες της υπερβολής x a y b = όπου ( x a, a b > 0, (ϐ)να σχεδιαστεί η καµπύλη r = 3( + cos θ) (γ) Η µεταβολή του µήκους µιάς καµπύλης δίδεται από την σχέση ds = dx + dy. Να υπολογισθεί το ds/dθ των καµπύλών r = + cos θ (αστροειδής) και r = e θ/4 (λογαριθµηκή σπείρα) 5

34 Λύση : (α) Λύνουµε ως προς y: ( ) y b = x x a y = b x a y = ±b a Ας εξετάσουµε την περίπτωση όπου y 0: y(x) = b x a a = b a x a x Οταν x ο παράγοντας a τείνει στο, που σηµαίνει ότι η y(x) τείνει α- x συµπτωτικά στο b x. Μια πιο αυστηρή απόδειξη είναι να ϑεωρήσουµε τη διαϕορά : a d(x) = y(x) b a x = b a ( x a x) = b x a x a x a + x = ab x a + x Οπότε : lim d(x) = 0 x Απ όπου προκύπτει, όπως πριν, ότι για x είναι y(x) b x. Οµοίως για x a είναι y(x) b a x. Λόγω συµµετρίας της υπερβολής, οι ασύµπτωτες ευθείες για την περίπτωση y 0 είναι οι ίδιες µε προηγουµένως. Στο παρακάτω διάγραµµα φαίνεται µια εϕαρµογή για την περίπτωση a = 5, b =. 6

35 (ϐ) Η καµπύλη r = 3( + cos θ) εκϕράζεται σε πολικές συντεταγµένες και η γραϕική της παράσταση είναι το καρδιοειδές. Για να ϐρω ποια µορϕή έχει ακριβώς ϑα κάνω έναν πίνακα τιµών θ r = 3( + cos θ) 0 9 π/6 8, π/3 6 π/ 3 π/3 0 5π/6, π 3 7π/6, 4π/3 0 3π/ 3 5π/3 6 π/6 8, π 9 Σύµϕωνα µε τα παραπάνω η γραϕική παράσταση που προκύπτει είναι 7

36 (γ) ίνεται από την άσκηση ότι : ds = dx + dy Εάν περάσουµε σε ένα σύστηµα πολικών συντεταγµένων τότε η συνάρτηση y = f(x) ορίζεται παραµετρικά από τις x = r(θ) cos θ και y = r(θ) sin θ: Οπότε έχουµε : dx = d(r(θ) cos θ) = (r (θ) cos θ r(θ) sin θ)dθ dy = d(r(θ) sin θ) = (r (θ) sin θ + r(θ) cos θ)dθ ds = dx + dy = (r (θ) cos θ rr sin θ cos θ + r (θ) sin θ)dθ +(r (θ) sin θ + rr sin θ cos θ + r (θ) cos θ)dθ = (r (cos θ + sin θ) + r (sin θ + cos θ))dθ = (r + r )dθ Άρα Για r(θ) = + cos θ, έχουµε : ds dθ = r (θ) + r (θ) ds dθ = ( + cos θ) + ( sin θ) = + cos θ + cos θ + sin θ = ( + cos θ) Για r(θ) = e θ/4, έχουµε : ( ) ds dθ = e θ/ + 4 eθ/4 = e θ/ + 6 eθ/ = 7 4 eθ/4 8

37 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 8 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να εξετασθούν ως προς τη σύγκλιση οι παρακάτω σειρές :.. 3. n= n= n= cos (πα) n α R n + n n n 4 + Λύση :. Επειδή cos (πα) n και η γεωµετρική σειρά n ϑείσα σειρά συγκλίνει. n= συγκλίνει, έπεται ότι η δο- n. Επειδή n + n n + n = n, έχουµε ότι n + n n. Οµως η σειρά n =, και η τελευταία σειρά δεν συγκλίνει (µη µηδενικό πολλαπλάσιο αρµονικής σειράς), οπότε από την προηγούµενη ανισότητα έχουµε ότι η σειρά n= n n= δεν συγκλίνει. n + n n= n 3. Επειδή n 4 + n n = 4 και η σειρά n και η αρχική σειρά συγκλίνει. n= n = n= συγκλίνει, έχουµε ότι n

38 ) Για ποιες τιµές του x R συγκλίνει η σειρά n3 n x n ; Λύση : Για την δυναµοσειρά n3 n x n ϐρίσκουµε την ακτίνα σύγκλισης χρησιµοποιώντας n= το κριτήριο λόγου : Επειδή (n + )3 n+ x n+ n3 n x n = n + 3 x 3 x, έχουµε ότι η σειρά n n συγκλίνει για 3 x < δηλαδή για /3 < x < /3 και αποκλίνει για x >. Για την 3 σύγκλιση στα άκρα αντικαθιστούµε τις συγκεκριµένες τιµές : για x = /3 η σειρά γίνεται n3 n 3 = n n που προϕανώς δεν συγκλίνει καθώς ο γενικός όρος δεν συγκλίνει στο n= n= µηδέν. Παρόµοια για x = /3 η σειρά γίνεται n= ( ) n n, που προϕανώς δεν συγκλίνει. n= Αρα η σειρά συγκλινει µόνο για τις τιµές /3 < x < /3. 3) Εστω ότι για µία συνάρτηση y = f(x) δίνεται ότι : f() =, f () =, f () =, f () = 3 4,... f (n) () = n! n. Να γραϕεί η σειρά Taylor της συνάρτησης αυτής γύρω από το x =. Για ποιές τιµές του x συγκλίνει αυτή η σειρά ; Ποιά είναι η τιµή της f στο µηδέν ; f (n) (a) Λύση : Χρησιµοποιώντας τον γενικό τύπο f(x) = (x a) n στην ϑέση a =, n! n=0 έχουµε : f(x) = f() (x ) 0 + f () (x ) + f () (x ) + f () (x ) !!! 3! f (n) () (x a) n +... = n! (x )0 + /! (x ) + /! (x ) + 3/4 3! (x ) n!/ n + n! + (x a) n +... = n n! n! (x a)n = (x n )n. n=0 n=0 Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της ϱίζας µπορούµε να προσδιορίσουµε το διάστηµα σύγκλισης της σειράς αυτής. Συγκεκριµένα, για να συγκλίνει η σειρά αρκεί να ισχύει ότι : ( ) ( ) n n lim (x )n n < lim x < x < < x < n 3. ( ) n Εκτός του διαστήµατος (, 3) η σειρά δεν συγκλίνει, αϕού τότε lim (x )n n >, όπως δεν συγκλίνει και στα άκρα του διαστήµατος αϕού για x = 3 η σειρά γίνεται n=0, ενώ για x =, n=0 ( )n. Τέλος, δεδοµένου ότι το σηµείο x = 0 περιλαµβάνεται στο διάστηµα σύγκλισης της +

39 + σειράς, η Ϲητούµενη τιµή f(0) υπολογίζεται ως εξής : f(0) = n (0 )n = n=0 ( ) = 3. + n=0 ( ) n = 4)Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα xe x dx, x sin xdx, ln xdx, x ln xdx, x arctan xdx. Λύση :. xe x dx = x(e x ) dx = (κατά παράγοντες ολοκλήρωση) xe x e x dx = xe x e x + c. x sin xdx = x( cos x) dx = x cos x + cos xdx = x cos x + sin x + c 3. ln xdx = x ln xdx = x ln x x x dx = x ln x x + c 4. x ln xdx = ( x ) ln xdx = x ln x x x dx = x 5. x arctan xdx = ( x 3 3 x 3 3 arctan x 3 Εχουµε x 3 x + dx x 3 x + x 3 x x x x ln x + c 4 ) arctan xdx = x 3 arctan x x 3 (arctan 3 3 x) dx = Άρα σύµϕωνα µε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης έχουµε ότι x 3 = x(x + ) x 3

40 Άρα x 3 3 arctan x ( x 3 x arctan xdx = x3 3 arctan x x(x + ) x dx = 3 x + ) dx = x3 3 arctan x xdx + x 3 3 x + dx = x 3 x arctan x ln(x + ) + c x x + 5)Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα dx x + x, 3 + x dx, Λύση :. I = dx x+ x e x e x e x + dx, x x dx, x dx. ϑέτω u = x x = u µε dx = udu. Άρα έχω I = u du = du = ln u + = ln( x + ) + c u +u u x dx = ( + x) /3 dx = 3 4 ( + x)4/3 + c 3. x ( ) x dx = x(x ) / dx = x (x )3/ dx = 3 3 x(x )3/ (x ) 3/ dx = 3 3 x(x )3/ 3 5 (x )5/ = 3 x(x )3/ 4 5 (x )5/ + c 4. e x e x e x + dx = e x (e x ) dx = e x + c 5. I = x dx Θέτω x = sin u άρα dx = cos udu. Οπότε I = cos u sin u du = cos u cos u du = ± cos udu = ± ( +cos udu = ± u + sin u) du = ± ( u + sin u) ( + c = ± 4 arcsin x + sin u cos u) = ± (arcsin x + x x ) 4

41 6)Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα dx (x ) (x ), dx x + x, 3 dx x + x +. Λύση :. I = dx (x ) (x ) = (x ) (x ) A + x B + C (x ) x = A(x )(x ) + B(x ) + C(x ) = Ax 3Ax + A + Bx B + Cx Cx + C = (A + C)x + ( 3A + B C)x + A B + C A + C = 0 { 3A + C B = 0 A = B = A B + C = C = Οπότε I = ( ) + dx = x (x ) x ln x + + ln x + c x. I = dx x 3 +x = = A + Bx+C x 3 +x x(x +) x x + = A(x + ) + Bx + Cx = (A + B)x + Cx + A A = B = C = 0 άρα I = ( ) x x x + dx = ln x (x + ) dx 3. = dx = dx = x +x+ x + x (x+ ) [ dx (x+ ) ] = ( Οπότε ϑέτω u = 3 x + Εποµένως I = dx ( 3 (x+ ) ) + ) x = 3 u µε dx = 3 du du = 3 arctan u = 3 arctan u ( ( 3 x + ) ) + c 5

42 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 9 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να ϐρεθεί αναδροµικός τύπος, ως προς n, για το ορισµένο ολοκλήρωµα I n = e (ln x)n dx, n N, και στη συνέχεια να υπολογιστεί το I 3. Λύση : Χρησιµοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση έχουµε για n : I n = e e x (ln x) n dx = [x(ln x) n ] x=e x= xn(ln x) n x dx = e ni n. e (ln x) n dx = Αρα ο αναδροµικός τύπος είναι I n = e ni n και ισχύει για n µε I 0 = e dx = e. Εποµένως έχουµε I = e I 0 = e (e ) =, I = e I = e, I 3 = e 3I = e 3(e ) = 6 e. ) Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα :.. 3. ln(tan x) sin x dx xe x ( + x) dx x dx x Λύση : ln(tan x). sin x dx = cot x ln(tan x) +. cos x (cot x) ln(tan x)dx = cot x ln(tan x)+ sin x sin dx = cot x ln(tan x) cot x + c. x xe x ( + x) ( + x) dx = e x e x dx = ( + x) + x dx e x ( + x) dx = ] e x e x ex dx = dx + + x + x e x ex dx = + x + x. [ + x cos x sin x cos x dx = e x + x dx +

43 3. Θέτουµε : t = x x = t dx = tdt. Εποµένως έχουµε : t t tdt = e t ln dt = ln et ln + c = ln t + c. x x dx = 3) Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα :. I =. I = x (x + 9) dx x x + 3dx Λύση : x. Υπολογίζουµε αρχικά το αντίστοιχο αόριστο ολοκήρωµα : I = (x + 9) dx = ( ) x x (x + 9) dx = x x dx = x + 9 (x + 9) + dx x + 9 = x (x + 9) + dx x ( x ) [ ( 8 x = 3) + (x + 9) + 6 arctan +c. Εποµένως έχουµε I = ] 6 arctan() [0 + 6 ] arctan(0) = π 4.. Υπολογίζουµε αρχικά το αντίστοιχο αόριστο ολοκήρωµα : x x + 3dx = (x + 3) x x + 3dx 3 + 3dx = (x + 3) 3/ dx 3 (x + 3) / dx = 5 (x + 3)5/ (x + 3) 3/ + c. Εποµένως έχουµε I = 5 95/ 9 3/ = ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα. sec xdx. sin(7x) cos(3x)dx 3. tan x sec xdx

44 Λύση : (α) [ ] sec x + tan x sec xdx = sec x dx sec x + tan x [ ] sec x + sec x tan x = dx sec x + tan x u = sec x + tan x du = (sec x tan x + sec x)dx = du = ln u + c u = ln sec x + tan x + c (ϐ) sin(7x) cos(3x)dx = (sin(4x) + sin(0x))dx = 8 cos(4x) 0 cos(0x) + c (γ) tan x sec xdx = (sec x ) sec xdx = sec xdx sec xdx από την αναδροµική σχέση sec n xdx = n secn x tan x + n n sec n xdx 3

45 άρα sec 3 xdx sec xdx = = sec x tan x + sec xdx sec xdx = sec x tan x sec xdx = sec x tan x ln sec x + tan x + c 5) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα dx 5 4x x Λύση : Η παράσταση I = dx 5 4x x 5 4x x = 7 ( (x + )) ( ) (x + ) = 7 7 άρα I = 7 ( (x+) 7 ) dx u = (x + ) 7 du = 7 dx I = ( ) du = arcsin u + c = (x + ) arcsin + c u 7 6) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα 4

46 0 dx x + Λύση : I = dx x + αν ϑέσουµε x = tan θ + tan θ = sec θ + x = sec θ, π θ π dx = sec θ dx sec = θdθ = sec θdθ + x sec θ = ln sec θ + tan θ + c = = ln + x + x + c 0 dx [ln = ] + x + x = ln( + ) + x 0 5

47 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 0 Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) είξτε ότι το ολοκλήρωµα dx, p R συγκλίνει αν και µόνο αν p <. (x ) p Λύση : Το πεδίο ορισµού της είναι το R {} αν p > 0 και όλο το R αν p 0. (x ) p Επίσης έχουµε I = dx = lim dx. Υπολογίζουµε το αόριστο (x ) p a + a (x ) p { ln x αν p =, ολοκλήρωµα (x ) dx = p (x ) p+. Στη συνέχεια υπολογίζουµε το αν p. p+ ορισµένο ολοκλήρωµα για. p = : I = lim a + [ln x ] a. p : I = lim a + (a ) p+ lim a + p + = ln lim ln a = 0 ( ) = + a + ] [ p+ [ (x ) p+ = lim p + a a { + + αν p >, = αν p <. p p + ] (a ) p+ p + = p + Συνεπώς το ολοκλήρωµα συγκλίνει µόνο για τις τιµές του p που είναι µικρότερες της µονάδας. ) Για κάθε φυσικό αριθµό n, ϑεωρούµε την επιϕάνεια µε εµβαδό E n κάτω από την γραϕική παράσταση της f(x) =, πάνω από τον άξονα των x και µεταξύ των ευθειών x x = n και x = n +.. Να δείξετε ότι ισχύει n + E n n.. Αϕού υπολογίσετε το E n, δείξτε ότι ln(n + ) Λύση : n k= k ln(n + ) + n n +.

48 . Το εµβαδόν του εγγεγραµµένου ορθογωνίου (δες σχήµα ) ισούται προς του περιγεγραµµένου n. Εποµένως n + E n n. n + και Σχήµα : Το σχήµα της άσκησης.. Υπολογίζουµε E n = ανισότητες : ln ln ln 3 ln 3 n+ n dx x = ln(n + ) ln(n), οπότε έχουµε διαδοχικά τις. ln(n + ) ln n n+ n και ϑεωρώντας το άθροισµα κατά µέλη έχουµε την διπλή ανισότητα n+ k= k από την οποία έχουµε (δεξιά ανισότητα) και (αριστερή ανισότητα) n+ k= k ln(n + ) n k= ln(n + ) ln n ln(n + ) k + n + n k= ln(n + ) n Οι () και () δίνουν την Ϲητούµενη διπλή ανισότητα. k= k, k, () k= k ln(n + ) + n +. ()

49 3) Να ϐρεθεί το εµβαδόν της φραγµένης περιοχής που ορίζεται από τις γραϕικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = x και g(x) = x(4 x). Στη συνέχεια να προσδιορισθεί η τιµή του a ώστε η ευθεία x = a να χωρίζει την περιοχή αυτή σε δύο ισεµβαδικά τµήµατα. Λύση : Οι γραϕικές παραστάσεις των συναρτήσεων που δίνονται τέµνονται στα σηµεία που αντιστοιχούν στις τιµές x = 0 και x = αϕού : f(x) = g(x) x = x(4 x) x 4x = 0 x(x ) = 0 x = 0, x =. Επίσης f(x) < g(x) x(x ) < 0 x [0, ], οπότε η γραϕική παράσταση της f(x) είναι κάτω από αυτήν της g(x) στο διάστηµα [0, ] ενώ η f(x) είναι µεγαλύτερη στα διαστήµατα (, 0) και (, + ), όπως φαίνεται και στο σχήµα. Από την µονοτονία και τα όρια των συναρτήσεων καθώς το x τείνει στο + ή, η φραγµένη περιοχή αντιστοιχεί για x στο διάστηµα [0, ]. Το Ϲητούµενο εµβαδόν εποµένως ϑα είναι : [ x ] 3 x3 = (g(x) f(x))dx = 0 (4x x )dx = Αν x = a είναι η ευθεία που χωρίζει την περιοχή σε δύο ισεµβαδικά τµήµατα, ϑα πρέπει το πρώτο τµήµα να έχει εµβαδό ίσο µε το µισό του συνολικού : (g(x) f(x))dx = [ x ] a 3 x3 = a3 3a + = 0 (a )(a a ) = 0 a =, αϕού το a είναι πραγµατικός αριθµός. a Σχήµα : Το σχήµα της άσκησης 3. 4) Να ευρεθεί το εµβαδόν της επιϕάνειας που περικλείεται από τις καµπύλες y = 4x, x = 4y. Λύση : E = 4 0 ( x x 4 )dx =

50 Σχήµα 3: Η επιϕάνεια που πρέπει να υπολογίσουµε. 5) Να υπολογισθεί το εµβαδόν της επιϕάνειας στο εσωτερικό της καµπύλης r = 5 3 cos θ, θ [0, π]. Λύση : Η γραϕική παράσταση της καµπύλης είναι (ϐλέπε Σχ. 4) Σχήµα 4: Η επιϕάνεια της άσκησης 5. [ E = π 0 ] (5 3 cos θ) dθ = 59π. 6) Να υπολογισθεί το εµβαδόν της επιϕάνειας που περικλείεται από τις καµπύλες y = x 3 4

51 και y = ax, a > 0. Λύση : x 3 = ax, x = ± a ή x = 0. Υπάρχουν δύο κοµµάτια ( a < x < 0, 0 < x < a) που για λόγους συµµετρίας είναι ίσα a 0 (ax x 3 )dx = a. Σχήµα 5: Η επιϕάνεια της άσκησης 6. 5

52 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Υπολογίστε το µήκος της καµπύλης y = ln(sec x) για 0 x π/4. π ( ) π 4 dy 4 π Λύση : L = + dx = + tan 4 xdx = sec xdx = 0 dx 0 0 π π 4 4 sec x + tanx π 4 sec xdx = sec x dx = ln sec x + tanx 0 = ln( + ). sec x + tanx 0 0 π 4 0 sec x dx = ) Υπολογίστε το εµβαδό που περικλείεται από τον οριζόντιο άξονα και την καµπύλη µε παραµετρική εξίσωση x = 6(θ sin θ), y = 6( cos θ) (κυκλοειδής) για 0 θ π. π Λύση : E = y(θ) dx(θ) π π ( 3 0 dθ dθ = 36( cos θ) dθ = cos θ + ) cos(θ) dθ = 08π. 3) Υπολογίστε το εµβαδό της περιοχής που ϐρίσκεται εντός και των δυο καµπυλών µε εξισώσεις r = 3 + sin θ και r =. Λύση : Το Ϲητούµενο εµβαδόν A φαίνεται στο σχήµα και µπορεί να υπολογιστεί ως η διαϕορά του εµβαδού του κύκλου r = και του εµβαδού εκτός της καµπύλης r = 3+ sin θ και εντός του κύκλου (σχήµα ). Το τελευταίο εµβαδόν E είναι E = π 6 7π 6 [ ( (3 + sin θ) )] dθ = 3 7π 3, οπότε το Ϲητούµενο εµβαδό A είναι A = π E = 9π 3 3.

53 Σχήµα : Το Ϲητούµενο εµβαδόν της άσκησης 3. Σχήµα : Το εµβαδόν εκτός της καµπύλης r = 3 + sin θ και εντός του κύκλου r = 4) Υπολογίστε τον όγκο του στερεού που προκύπτει µε περιστροϕή γύρω από τον άξονα x στην περιοχή του πρώτου τεταρτηµόριου του επιπέδου xy που οριοθετείται από τους άξονες και την καµπύλη x 4 + r y = r 4. Λύση : Η καµπύλη τέµνει τον άξονα y όταν r y = r 4, δηλαδή y = r. Η καµπύλη τέµνει τον άξονα x όταν x 4 = r 4, δηλαδή x = r. Άρα τα τελικά σηµεία της καµπύλης είναι τα (0, r) και (r, 0). Εποµένως ο όγκος του στερεού είναι, Εϕόσον y = r x4, ο όγκος είναι, r V = x=r x=0 Αυτό αποτιµάται σε πr 3 5 πr3 = 4 5 πr3. x=r x=0 πy dx. πr πx4 r dx = (πr x πx5 5r 5) Υπολογίστε το εµβαδόν της επιϕάνειας περιστροϕής που προκύπτει µε περιστροϕή r 0.

54 γύρω από τον άξονα y του τµήµατος r = a cos(θ) στο πρώτο τεταρτηµόριο, δηλαδή στο 0 θ π 4. Λύση : Η πολική εξίσωση για το µήκος τόξου είναι ds = dr + r dθ, η οποία είναι ισοδύναµη µε r ds = r dr + r 4 dθ. Με έµµεση διαϕοροποίηση έχουµε, Εποµένως, rdr = 4a sin(θ)dθ, r dr = 4a sin (θ)dθ. r ds = r dr + r 4 dθ = 4a 4 sin (θ)dθ + 4a 4 cos (θ)dθ = 4a 4 dθ. Άρα ds = a r dθ. Το εµβαδόν της επιϕάνειας περιστροϕής δίνεται ως, πxds = θ= π 4 θ=0 Εποµένως το εµβαδόν της επιϕάνειας είναι 4π a. π πr cos(θ) a r dθ = 4 4πa cos(θ)dθ = 4πa sin(θ) π ) Υπολογίστε το εµβαδόν της περιοχής στο πρώτο και τέταρτο τεταρτηµόριο που περιέχεται εντός του κύκλου µε πολική εξίσωση r = a cos(θ) και εκτός του κύκλου µε πολική εξίσωση r = a. Λύση : Θέτοντας a cos(θ) ίσο µε a, τα σηµεία τοµής εµϕανίζονται όταν cos(θ) =, δηλαδή θ = π 3 και θ = + π 3. Η περιοχή ανάµεσα στα δύο γραϕήµατα είναι π θ π 3 3. Η εξωτερική καµπύλη είναι r o = a cos(θ) και η εσωτερική καµπύλη r i = a. Ο τύπος για το εµβαδόν ανάµεσα στις δύο καµπύλες είναι Area = (r o ri )dθ. Στην περίπτωση αυτή, το εµβαδόν είναι, π 3 π 3 (4a cos (θ) a )dθ = a π 3 0 (4 cos (θ) )dθ. Για να το υπολογίσουµε, χρησιµοποιούµε τον τύπο cos (θ) = ( + cos(θ)). Το ολοκλήρωµα γίνεται, π a 3 ( + cos(θ) )dθ = a (θ + sin(θ) π Εποµένως το εµβαδόν είναι a ( π ), δηλαδή π a. 3

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Η καµπύλη y = /x µε x >, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. είξτε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους.

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους. Άσκηση. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους. α) y, β) y, γ) y, δ) y, ε) y ( ) Να προσδιοριστούν γραφικά και µε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du.

2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 8: Τεχνικές ολοκλήρωσης Α Οµάδα. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα : + + d, + + ( + 3)( ) d, 3 + 3 + 3 + + + d. Υπόδειξη. (α) Γράφουµε + + d

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση

2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση --8 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση η Υπολογίστε τα κάτωθι όρια: cos α) β) γ) δ) ε) sin 5 α) Εφαρμόζουμε τον κανόνα L Hospital μια φορά (απροσδιοριστία της μορφής /)

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos http://lar.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου

Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου 1 ιαφορικός Λογισµός Θέµα 1. ίνεται η συνάρτηση = ln(x 1)+1. α ) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της f. ϐ ) Να ϐρεθεί η f και το πεδίο ορισµού της. γ ) Να µελετηθεί η f

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης (Λύσεις Άσκηση 1: Μία έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξονα 5m και µικρό 3m έχει κέντρο την αρχή των αξόνων. Να υπολογισθούν τα ακρότατα στην

Διαβάστε περισσότερα

x sin 3x 3 sin 3x dx = 3 + C = ln x = x2 ln x d 2 2 ln x 1 x 2 x2 x2 e x sin x dx) e 3x 2x dx = ( 1 3 )x2 e 3x x 2 e 3x 3 2x 3 8x 2 + 9x + 1 4x + 4

x sin 3x 3 sin 3x dx = 3 + C = ln x = x2 ln x d 2 2 ln x 1 x 2 x2 x2 e x sin x dx) e 3x 2x dx = ( 1 3 )x2 e 3x x 2 e 3x 3 2x 3 8x 2 + 9x + 1 4x + 4 ΦΥΕ4, 9- - η Εργασία Παράδοση 8.. Πρόβληµα. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα (i cos d, (ii ln d, (iii e sin d, (iv e d (i cos d = = ( sin ( sin sin d = ( ( ( cos + C = ( ( sin + sin ( sin d ( cos +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

8 Ακρότατα και µονοτονία

8 Ακρότατα και µονοτονία 8 Ακρότατα και µονοτονία Πρόταση 8.1. Εστω ότι η y = f (x) είναι συνεχής σε κάποιο διάστηµα I και έχει παράγωγο σε κάθε εσωτερικό σηµείο του I. 1. Η y = f (x) είναι σταθερή στο I αν και µόνο να είναι f

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 18 Φεβρουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1] ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

5 Παράγωγος συνάρτησης

5 Παράγωγος συνάρτησης 5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 9 Νοεµβρίου 6. α. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = i + j k και b = 6 i j + k. β. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα a, b, c είναι ορθογώνια και µοναδιαία. a = ( i

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εξετάσεις (Λύσεις)

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εξετάσεις (Λύσεις) ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εξετάσεις - 2-24 (Λύσεις) ) Βλήµα εκτοξεύεται κάθετα στην επιφάνεια του πλανήτη Άρη και αντίστοιχα σε αυτή του πλανήτη Αφροδίτη. Το ύψος που διανύει το ϐλήµα, s, σχετίζεται µε τον χρόνο,

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός λογισµός. y(x + Δx) y(x) dy dx = lim Δy

Διαφορικός λογισµός. y(x + Δx) y(x) dy dx = lim Δy Διαφορικός λογισµός ΦΥΣ 111 - Διαλ.5 1 Έστω y = f(x) µια συναρτησιακή σχέση της µεταβλητής y ως προς την µεταβλητή x: y = f(x) = αx 3 + bx 2 + cx + H παράγωγος του y ως προς το x ορίζεται ως το όριο των

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανό Σύστηµα y. y A. x A

Καρτεσιανό Σύστηµα y. y A. x A Στη γενική περίπτωση µπορούµε να ορίσουµε άπειρα συστήµατα συντεταγ- µένων τα οποία να µας επιτρέπουν να προσδιορίσουµε τη θέση ενός σηµείου. Στη Φυσική χρησιµοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k

Διαβάστε περισσότερα