Μαθηματικά Μοντέλα Βιολογίας & Φυσιολογίας

Transcript

1 Μαθηματικά Μοντέλα Βιολογίας & Φυσιολογίας ΘΕΩΡΙΑ Γ Εξάμηνο Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής / ΠΑΔΑ Υπ. Καθηγ. Μαρία Καλλέργη, Ph.D. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΑΥΞΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΙΩΣΗ 1

2 Στο προηγούμενο μάθημα Δημιουργήσαμε ένα σχετικά δύσκολο μαθηματικό μοντέλο για την ροή μιας ουσίας μέσα από μεμβράνη ξεκινώντας από αρχή διατήρησης και χρησιμοποιώντας έναν βασικό νόμο γραμμικής μεταβολής. Το μοντέλο αυτό κατέληξε σε μία διαφορική εξίσωση την οποία λύσαμε αναλυτικά ως προς την ροή χρησιμοποιώντας οριακές συνθήκες για τον προσδιορισμό των σταθερών ολοκλήρωσης Επίσης στο προηγούμενο μάθημα Λύσαμε αναλυτικά το μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει την χρονική μεταβολή της συγκέντρωσης μιας παραμέτρου χρησιμοποιώντας αρχικές συνθήκες για τον προσδιορισμό της σταθεράς ολοκλήρωσης 2

3 Η μεγάλη οικογένεια των εκθετικών συναρτήσεων Το δεύτερο μοντέλο που εξετάσαμε στο προηγούμενο μάθημα ανήκει στη μεγάλη οικογένεια των εκθετικών συναρτήσεων που περιγράφουν την αύξηση ή μείωση μιας φυσικής ή βιολογικής ή φυσιολογικής παραμέτρου σαν συνάρτηση του χρόνου Σήμερα θα μελετήσουμε τις διαφορετικές εκδοχές του Εκθετική αύξηση 3

4 Ειδική Περίπτωση: Διπλασιασμός Παράμετρος Ν διπλασιάζεται μετά από χρόνο Τ Πως βρίσκουμε την τιμή της παραμέτρου μετά από n χρόνους διπλασιασμού; Ν(Τ)=2 1 Ν 0 Ν(2Τ)=2 2 Ν 0 Ν(3Τ)=2 3 Ν 0.. N(nT)=2 n N 0 ή 2 = ( ) Εκθετική μείωση 4

5 Ο συντελεστής b για το μοντέλο ενός διαμερίσματος Πως λύνεται το δεύτερο; Μπορεί να έχει: Αναλυτική Υπολογιστική Γραφική 5

6 Παράδειγμα #1 Μελέτη επιβίωσης ασθενών μετά από έμφραγμα του μυοκαρδίου Πως λύνεται το τρίτο; 6

7 Πολλαπλοί τρόποι μείωσης/απέκκρισης Είναι δυνατόν να υπάρχουν διαφορετικές διαδρομές μέσα από τις οποίες να μειωθεί / εξαφανιστεί το y Παράδειγμα: ένα ραδιοφάρμακο αποβάλλεται από τον οργανισμό με διαφορετικούς τρόπους, μέσω των ούρων, του ιδρώτα, κλπ., ενώ ταυτόχρονα μειώνεται η ραδιενέργειά του Σε αυτή την περίπτωση κάθε διαδικασία έχει τη δική της σταθερά b και το ολικό b είναι άθροισμα σταθερών Άρα 7

8 Ειδική Περίπτωση: Υποδιπλασιασμός (Χρόνος Μισής Ζωής) Παράμετρος Ν υποδιπλασιάζεται μετά από χρόνο τ Πως βρίσκουμε την τιμή της παραμέτρου μετά από n χρόνους υποδιπλασιασμού; Ν(τ)=Ν 0 /2 Ν(2τ)=Ν 0 /2 2 Ν(3τ)=Ν 0 /2 3.. N(nτ)=N 0 /2 n ή 2 = ( ) Στις ασκήσεις φαρμακοκινητικής θα δούμε έναν γενικό τρόπο μοντελοποίησης του υποδιπλασιασμού (για κάθε χρονική στιγμή t) Μείωση σε δύο διαμερίσματα Ας πάρουμε το παράδειγμα της κοιλιακής μαρμαρυγής, της πιο συχνής αρρυθμίας σε ασθενείς με καρδιακά προβλήματα Το φάρμακο Lidocaine, που συχνά χρησιμοποιείται για τοπική αναισθησία, χορηγείται και για την θεραπεία της κοιλιακής μαρμαρυγής Για να είναι αποτελεσματικό το φάρμακο στους ασθενείς με αρρυθμία πρέπει να έχει σταθερή συγκέντρωση στο αίμα 1.5 mg/l Η μέγιστη δόση έχει οριστεί στα 3 mg/kg Συγκεντρώσεις πάνω από 6 mg/l θεωρούνται θανατηφόρες 8

9 Ο καθορισμός της δόσης ανά ασθενή Η δόση καθορίζεται από το βάρος του ασθενούς Το φάρμακο χορηγείται συνήθως υποδόρια, μυϊκή, ή ενδοφλέβια ένεση Για να υπολογιστεί σωστά η συγκέντρωση, το μοντέλο ενός διαμερίσματος δεν αρκεί Θεωρούμε δύο διαμερίσματα, ένα για το κυκλοφορικό και ένα για τους ιστούς x(t)=ποσότητα lidocaine στο αίμα y(t)=ποσότητα lidocaine στους ιστούς Η μείωση της συγκέντρωσης στο αίμα και στους ιστούς περιγράφεται από δύο διαφορικές εξισώσεις με συντελεστές που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένο βάρος ασθενούς ή εύρος τιμών Συγκέντρωση Lidocaine ( ).. ( ) ( ) = 0.066x t 0.038y(t) Αρχικές συνθήκες: x(0)=0, y(0)=y 0 9

10 Σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων - Αποδείξτε x t = y e y e. y t = y e y e. Οι λύσεις για τις δύο συγκεντρώσεις επιτρέπουν το καθορισμό της μέγιστης ασφαλούς δόσης y 0 και την δοσολογία του φαρμάκου Μείωση συν ταυτόχρονη χορήγηση (είσοδος) με σταθερό ρυθμό Ας υποθέσουμε ότι ταυτόχρονα με την μείωση της παραμέτρου y από τον οργανισμό με ρυθμό by γίνεται χορήγηση y με ρυθμό a, ανεξάρτητο του y και t Άρα η ΔΕ ενός διαμερίσματος γίνεται = a by Η λύση αυτής είναι y = (1 e ) 10

11 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΑ Οξεία Λεμφοκυτταρική Λευχαιμία Ένα παιδί με ΟΛΛ έχει περίπου λευχαιμικά κύτταρα όταν εμφανίζει τα πρώτα κλινικά συμπτώματα της ασθένειας (α) Εάν η μέση διάμετρος των κυττάρων είναι 8 μm, υπολογίστε την συνολική μάζα των λευχαιμικών κυττάρων (θεωρείστε σφαιρικά κύτταρα με μέση πυκνότητα ίδια με του νερού, δηλαδή 1000 kg/m 3 ) (β) Η θεραπεία της ΟΛΛ απαιτεί τον θάνατο όλων των λευχαιμικών κυττάρων. Γνωρίζουμε ότι ο χρόνος διπλασιασμού των κυττάρων είναι περίπου 5 ημέρες. Αν καταστρέφονταν όλα τα κύτταρα εκτός ενός, μετά από πόσο χρόνο θα εμφανίσει πάλι ο ασθενής συμπτώματα της νόσου; (γ) Ένα πρόγραμμα χημειοθεραπείας μειώνει των αριθμό των κυττάρων σε Για πόσο χρόνο θα υπάρχει καταστολή; Πως θα αλλάξει ο χρόνος αν τα κύτταρα μειώνονταν στο 10 6 ; 11

12 Απαντήσεις (α) 270 g (b) 200 ημέρες (γ) 50 ημέρες και 100 ημέρες αντίστοιχα Μοντέλο διάχυσης ενέσιμου φαρμάκου Προσέγγιση 1 Υγρό φάρμακο χορηγείται με ενδομυϊκή ένεση και διαχέεται αρχικά σε μία σφαιρική περιοχή όγκου V=4/3 πr 3. Η περιοχή έχει καλή αιμάτωση και το φάρμακο διαχέεται στο υπόλοιπο σώμα με ρυθμό ανάλογο της μάζας m που απομένει στην σφαιρική περιοχή ανά μονάδα όγκου Θεωρείστε ότι η σφαιρική περιοχή έχει σταθερή ακτίνα, βρείτε μία ΔΕ για την m(t) και δείξτε ότι η μάζα μειώνεται εκθετικά 12

13 Απάντηση C = = bc = = am Και άρα m = m e Μοντέλο διάχυσης ενέσιμου φαρμάκου Προσέγγιση 2 Η χορήγηση του προηγούμενου υγρού φαρμάκου δημιουργεί μία κύστη. Ο ρυθμός διάχυσης της μάζας του φαρμάκου είναι ανάλογος της πίεσης του υγρού μέσα στην κύστη και του εμβαδού της επιφάνειας της κύστης (4πr 2 ) Υποθέστε ότι καθώς διαχέεται στον περιβάλλοντα ιστό το φάρμακο, η κύστη συρρικνώνεται έτσι ώστε η πίεση στο εσωτερικό της να παραμένει σταθερή Βρείτε μια ΔΕ για τον ρυθμό μείωσης της μάζας του φαρμάκου στην κύστη και δείξτε ότι είναι ανάλογος του m 2/3 13

14 Απάντηση = Ap4πr ρ = Άρα η πρώτη εξίσωση γίνεται = = Bm / 14