Βασικές Έννοιες Πιθανότητας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Βασικές Έννοιες Πιθανότητας"

Transcript

1 Βασικές Έννοιες Πιθανότητας 0 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ, ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ, ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα.. Δειγματοχώρος και Δειγματοσημεία..3 Σύνθετος Δειγματοχώρος...4 Γεγονότα. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ.. Πράξεις Γεγονότων.. Ασυμβίβαστα γεγονότα ή αμοιβαίως αποκλειόμενα..3 Κανόνες Πράξεων Γεγονότων.3 ΧΩΡΟΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ-ΔΥΝΑΜΟΣΥΝΟΛΟ.4. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ.4. Κλασσική Θεωρία.4. Θεωρία Σχετικής Συχνότητας.4.3 Υποκειμενική Θεωρία.5 ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ.6 ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ.6. Ο κανόνας του γινομένου.6. Μεταθέσεις.6.3 Συνδυασμοί.6.4 Μεταθέσεις όταν όλα τα αντικείμενα δεν είναι ίδια.7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ

2 Σε αυτό το κεφάλαιο θα συζητήσουμε τον τύπο των φαινομένων με τον οποίο θα ασχοληθούμε σε αυτό το βιβλίο. Επί πλέον θα αναπτύξουμε μαθηματικά μοντέλα με τα οποία θα περιγράφουμε και διερευνούμε τέτοια φαινόμενα. Γενικά, μπορούμε να διακρίνουμε δύο ειδών μοντέλα τα καθοριστικά και τα στοχαστικά. Τα καθοριστικά μοντέλα περιγράφουν φαινόμενα των οποίων οι συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιούνται καθορίζουν και το αποτέλεσμα της έκβασής τους. Για παράδειγμα, αν τοποθετήσουμε μία μπαταρία σε ένα απλό κύκλωμα, το μαθηματικό μοντέλο το οποίο ενδεχομένως θα περιέγραφε την παρατηρούμενη ροή ρεύματος θα ήταν o νόμος του Ohm I=E/R.. Ο νόμος προβλέπει την τιμή της έντασης του ρεύματος όταν είναι γνωστά η αντίσταση R και η δύναμη της μπαταρίας Ε. Όσες φορές και εάν επαναλάβουμε αυτό το πείραμα, κάθε φορά παρατηρούμε την ίδια ένταση I. Υπάρχουν πολλά φαινόμενα τα οποία περιγράφονται πλήρως από καθοριστικά μοντέλα. Παρόλα αυτά υπάρχουν επίσης πολλά άλλα φαινόμενα τα οποία περιγράφονται από στοχαστικά ή πιθανοτικά μοντέλα. Για παράδειγμα, η ένταση της βροχής που πρόκειται να ακολουθήσει σε ένα τόπο δεν μπορεί να προβλεφθεί ακριβώς. Υπάρχουν καθοριστικά μετεωρολογικά μοντέλα τα οποία περιέχουν τις επικρατούσες συνθήκες όπως βαρομετρική πίεση, διεύθυνση και ένταση ανέμου και άλλες παρατηρούμενες παραμέτρους αλλά προβλέπουν μόνο χαμηλή ή υψηλή ένταση βροχής στον τόπο και όχι την ακριβή της τιμή. Τέτοια φαινόμενα περιγράφονται καλύτερα από στοχαστικά μοντέλα, τα οποία λαμβάνοντας υπόψη τις επικρατούσες συνθήκες προβλέπουν πιθανολογικά τα διάφορα δυνατά αποτελέσματα. Με άλλα λόγια τα στοχαστικά μοντέλα προβλέπουν με κάποια αβεβαιότητα την έκβαση του φαινομένου. Την αβεβαιότητα αυτή μετρά μεθοδολογικά η Θεωρία Πιθανοτήτων. Η στατιστική, σαν μια μέθοδο λήψης απόφασης κάτω από συνθήκη αβεβαιότητας, βασίζεται στην πιθανοθεωρία, αφού πιθανότητα είναι ένα μέτρο της αβεβαιότητας και των ρίσκων που σχετίζονται μ αυτή. Προτού μάθει κανείς στατιστικές διαδικασίες απόφασης απαιτείται μία γνώση της πιθανοθεωρίας. Ένας εύκολος και ξεκάθαρος τρόπος μεταχείρισης της πιθανοθεωρίας απαιτεί μερική γνώση της συνολοθεωρίας. Προκειμένου να μελετήσουμε τα πιθανοκρατικά πρότυπα που επιθυμούμε να αναπτύξουμε, θα ήταν πολύ κατάλληλο αν πρώτα γνωρίζαμε τις βασικές έννοιες από την θεωρία συνόλων.

3 . ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ, ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ, ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικά, η ανάπτυξη της πιθανοθεωρίας στηρίζεται στις τρεις έννοιες του δειγματοχώρου, δειγματοσημεία, και γεγονότα, οι οποίες σχετίζονται με την αβεβαιότητα και το πείραμα τύχης... Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα Η αβεβαιότητα αναφέρεται στην έκβαση ενός φαινομένου υπό εξέλιξη. Εάν ένα φαινόμενο υπό εξέλιξη μπορεί να οδηγήσει σε δύο ή περισσότερα πιθανά αποτελέσματα, το φαινόμενο είναι στοχαστικό και τα αποτέλεσμα λέγεται ότι είναι αβέβαιο. Έτσι, ρίχνοντας ένα ζάρι ή νόμισμα, μετρώντας την διάρκεια μιας μπαταρίας, μετρώντας τον αριθμό αυτοκινήτων πριν συμβεί ένα ατύχημα, ερωτώντας έναν ψηφοφόρο εάν προτιμά ή όχι ένα συγκεκριμένο υποψήφιο, και ούτω κάθ εξής, όλα είναι στοχαστικά φαινόμενα, αφού σε κάθε περίπτωση, η διαδικασία μπορεί να οδηγήσει σε περισσότερα από δύο πιθανά αποτελέσματα. Ορισμός. Στο εξής, ένα στοχαστικό φαινόμενο θα το ονομάζουμε τυχαίο πείραμα αν,. η εξέλιξη του φαινομένου μπορεί να πραγματοποιηθεί όσες φορές επιθυμούμε,. η εξέλιξη του φαινομένου πραγματοποιείται πάντα υπό τις ίδιες συνθήκες, 3. η προ-εκδίκαση του αποτελέσματος μιας συγκεκριμένης εξέλιξης του φαινομένου δεν είναι δυνατή, 4. το σύνολο των αβέβαιων αποτελεσμάτων της εξέλιξης του φαινομένου είναι γνωστό. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι, όταν αναφερόμαστε σε πείραμα τύχης μπορεί να εννοούμε και ένα φυσικό πείραμα το οποίο μπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Ή, μπορεί απλά να διανοηθεί ένα σύνολο από αβέβαια αποτελέσματα, χωρίς να πραγματοποιηθεί καμία ακολουθία από επαναλαμβανόμενες δοκιμές. Για ένα πείραμα τύχης, πραγματικό ή φανταστικό, το μόνο που χρειάζεται είναι να προσδιορισθούν ακριβώς όλα τα πιθανά αποτελέσματα.

4 3.. Δειγματοχώρος και Δειγματοσημεία Ορισμός. Ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία παριστάνουν όλα τα πιθανά αποτελέσματα του πειράματος τύχης ονομάζεται δειγματοχώρος, ο οποίος είναι ένα γενικό universal σύνολο και συμβολίζεται με S. Τα πιθανά αποτελέσματα στον δειγματοχώρο ονομάζονται δειγματοσημεία και συμβολίζoνται με s, ο δε αριθμός δειγματοσημείων σ ένα δειγματοχώρο μπορεί να συμβολιστεί με NS. Στη συνέχεια αναφέρονται τυχαία πειράματα Ε δειγματοχώροι S. και οι αντίστοιχοι Παράδειγμα. E : Ενα τεμάχιο επιλέγεται από ένα κιβώτιο εισερχόμενου εμπορεύματος και ελέγχεται. Το τεμάχιο μπορεί να είναι ελαττωματικό, D, ή μη ελαττωματικό, D. S={D, D }. Παράδειγμα. E : Ρίχνουμε τρία νομίσματα και παρατηρούμε τις ενδείξεις τους. Ο δειγματικός χώρος S του πειράματος αυτού αποτελείται ως γνωστόν από όλα τα δυνατά ενδεχόμενα, S={ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ, ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}. Παράδειγμα.3 E 3 : Ένας εργολάβος ξεκινά ένα μεγάλο χωματουργικό έργο με τρεις μπουλντόζες Α, Α και Α 3. Μετά από ένα χρόνο ελέγχουμε την κατάσταση των τριών μπουλντόζων. Αν Α κ και Α κ είναι τα ενδεχόμενα ότι η Α κ μπουλντόζα παρουσιάζει ή δεν παρουσιάζει βλάβη αντίστοιχα, τότε ο δειγματοχώρος S της κατάστασης των μπουλντόζων είναι S { 3, 3, 3, 3, 3,, 3, } Παράδειγμα.4 E 4 : Ένα φτερό αεροπλάνου συναρμολογείται με ένα μεγάλο αριθμό βιδών Μ. Απαριθμείται ο αριθμός των ελαττωματικών βιδών. S={,, 3,, Μ}. Παράδειγμα.5 E 5 : Κατασκευάζονται ηλεκτρικοί λαμπτήρες μέχρι να παραχθούν 0 ελαττωματικοί. Παρατηρείται ο αριθμός των παραγόμενων λαμπτήρων. S={0,,, }.

5 4 Παράδειγμα.6 E 6 : Μετρούμε την αντοχή έντασης ενός τύπου χαλύβδινης δοκού. S={x x μη αρνητικός πραγματικός αριθμός}. Παράδειγμα.7 E 7 : Ένας θερμογράφος καταγράφει συνεχώς την θερμοκρασία σ όλο το 4- ωρο. Σ ένα συγκεκριμένο τόπο σε ένα ψηλό βουνό κάθε μέρα το πρωί σημειώνεται η ένδειξη του θερμογράφου σε βαθμούς κλίμακας 0 C. S={x m<x<m, όπου m η ελάχιστη δυνατή και M η μέγιστη δυνατή θερμοκρασία στον τόπο αυτόν}. Στο ίδιο παράδειγμα, αν παρατηρούμε για πόσες μέρες μέσα σε ένα χρόνο η θερμοκρασία έπεσε κάτω από τους μηδέν βαθμούς 0 C, ο δειγματοχώρος είναι διαφορετικός, S={0,,, 3, 4,..., 364, 365}. Ένας δειγματοχώρος με μικρό αριθμό δειγματοσημείων ενδέχεται να παρασταθεί ευκολότερα με διαγράμματα δέντρων ή άλλων γραφικών παραστάσεων σε δυδιάστατο ή τριδιάστατο σύστημα αξόνων. Ανεξάρτητα από το πώς περιγράφεται το S, τα στοιχεία του S τα οποία αντιστοιχούν στα αποτελέσματα του τυχαίου πειράματος πρέπει να είναι αμοιβαία αποκλειόμενα και συλλεκτικά εξαντλημένα. Αυτός είναι και ο ορισμός του δειγματοχώρου. Προκειμένου να περιγράψουμε έναν δειγματοχώρο σχετιζόμενο με ένα πείραμα, πρέπει να έχουμε ξεκάθαρη ιδέα από αυτό που μετρούμε ή παρατηρούμε. Σημειώστε επίσης ότι το αποτέλεσμα ενός πειράματος δεν είναι πάντοτε αριθμός, μπορεί να είναι ακολουθία, συνάρτηση ή διάνυσμα. Ακόμη, ένα τυχαίο πείραμα μπορεί να περιγραφεί με περισσότερους από ένα δειγματοχώρο. Για παράδειγμα, στη ρίψη ενός ζαριού μπορεί να έχουμε S={,, 3, 4, 5, 6} ή S ={μονός, ζυγός}. Τέλος, είναι απαραίτητο να συζητηθεί ο αριθμός των δειγματοσημείων σε ένα δειγματοχώρο. Διακρίνονται κυρίως τρεις περιπτώσεις: πεπερασμένος δειγματοχώρος, όταν έχει πεπερασμένο πλήθος σημείων, όπως στα παραδείγματα.,.,.3,.4 και.7 στον δεύτερο δειγματοχώρο του. άπειρος αριθμήσιμος δειγματοχώρος, όταν τα σημεία του μπορούν να αντιστοιχηθούν ένα προς ένα με το σύνολο των φυσικών αριθμών, όπως στο παράδειγμα.5. άπειρος μη αριθμήσιμος δειγματοχώρος, όταν έχει άπειρο πλήθος σημείων αλλά όχι αριθμήσιμο, όπως στα παραδείγματα.6, και.7 στον πρώτο δειγματοχώρο του.

6 5..3 Σύνθετος Δειγματοχώρος Ένα σύνθετο πείραμα E μπορεί να συνίσταται στην εκτέλεση δύο απλών πειραμάτων Ε και Ε με δειγματοχώρους S και S αντίστοιχα. Εκτελούμε τα πειράματα αυτά από μία φορά. Τότε το καρτεσιανό γινόμενο S S μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παραστήσει όλα τα πιθανά αποτελέσματα του σύνθετου πειράματος Ε. Έτσι, ο σύνθετος δειγματοχώρος S=S S περιέχει σαν δειγματοσημεία τα διατεταγμένα σύνολα {s κ,s λ s κ S, s λ S, κ=,,,n, λ=,,,n }. Στα παραδείγματα που ακολουθούν αναφέρονται τέτοιοι σύνθετοι δειγματοχώροι. Παράδειγμα.8 Ένα νόμισμα και ένα ζάρι ρίπτονται μαζί, παρατηρείται η ένδειξη του ζαριού και νομίσματος, βλέπε Σχήμα.. Εδώ μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχουμε ένα σύνθετο πείραμα Ε αποτελούμενο από την εκτέλεση δύο απλούστερων πειραμάτων Ε ={ρίψη νομίσματος} και Ε ={ρίψη ζαριού} με αντίστοιχους δειγματοχώρους S ={ K, Γ}και S ={,, 3, 4, 5, 6}. Με βάση το παραπάνω σκεπτικό, το πείραμα Ε έχει σαν δειγματοχώρο το καρτεσιανό γινόμενο των S και S, Ρίψη νομίσματος Κ ρίψη ζαριού Γ {K,, K,, K,3, K,4, K,5, K,6, Γ,, Γ,, Γ,3, Γ,4, Γ,5, Γ,6} S=S S ={ K, Γ} {,, 3, 4, 5, 6}, Σχήμα.. Σύνθετο πείραμα ρίψης νομίσματος και ζαριού S={K,, Κ,, Κ,3, Κ,4, Κ,5,Κ,6, Γ,, Γ,, Γ,3, Γ,4, Γ,5, Γ,6}.

7 6 Για λόγους συντομίας τα διατεταγμένα υποσύνολα του σύνθετου δειγματοχώρου S γράφονται και χωρίς παρενθέσεις ή κόμματα, όπως S={K, Κ, Κ3, Κ4, Κ5, Κ6, Γ, Γ, Γ3, Γ4, Γ5, Γ6}. Ακόμη, το σύνθετο πείραμα μπορεί να συνίσταται στην εκτέλεση δύο ή περισσότερων πειραμάτων με δειγματοχώρο το καρτεσιανό γινόμενο S S S n. Στην πράξη συναντάμε πολλά σύνθετα πειράματα Ε και καταγράφουμε τον αντίστοιχο δειγματικό τους χώρο S, χωρίς να αναφερθούμε αναλυτικότερα στο καρτεσιανό γινόμενο των απλούστερων δειγματοχώρων, όπως π. χ. στα παραδείγματα που ακολουθούν. Παράδειγμα.9 Ρίχνουμε τρία νομίσματα όπως στο παράδειγμα. και παρατηρούμε τις ενδείξεις τους. Το πείραμα αυτό μπορούμε να το σκεφτούμε και σαν ένα σύνθετο πείραμα τύχης, Ε, το οποίο συνίσταται στην εκτέλεση των απλούστερων πειραμάτων Ε ={ρίψη νομίσματος }, Ε ={ρίψη νομίσματος } και Ε 3 ={ρίψη νομίσματος 3}, με δειγματοχώρους S ={K, Γ}, S ={K, Γ}, και S 3 ={K,Γ} αντίστοιχα. Δηλαδή, ο σύνθετος δειγματοχώρος S είναι το καρτεσιανό γινόμενο, S=S S S 3 ={K, Γ} {K, Γ} {K, Γ}, S={Κ,Κ,Κ,Κ,Κ,Γ,Κ,Γ,Κ,Γ,Κ,Κ, Κ,Γ,Γ, Γ,Κ,Γ, Γ,Γ,Κ Γ,Γ,Γ}, ο οποίος είναι ίδιος με τον δειγματοχώρο του παραδείγματος., όπως το καταγράψαμε εμπειρικά. Παράδειγμα.0 Ρίχνουμε δύο ζάρια μια ζαριά και παρατηρούμε τις ενδείξεις τους. Όλα τα δυνατά ζευγάρια των ενδείξεων είναι 36 και είναι γνωστά, S={,,,,,3,,,,,,,3,, 3,, 3,, 3,3,, 6,, 6,, 6,3, 6,4,6,5, 6,6}. Όμως, κάποιος μπορεί να θεωρήσει ότι Ε και Ε είναι τα απλά πειράματα για τη ρίψη του κάθε ζαριού με δειγματοχώρους S ={,, 3, 4, 5, 6} και S ={,, 3, 4, 5, 6} αντίστοιχα. Έτσι, το πείραμα της ζαριάς, Ε, συνίσταται στην εκτέλεση των Ε και Ε και έχει δειγματοχώρο S το γινόμενο,

8 7 S=S S ={,, 3, 4, 5, 6} {,, 3, 4, 5, 6} S={,,,,,3,,,,,,,3,, 3,, 3,, 3,3,, 6,, 6,, 6,3, 6,4,6,5, 6,6}. Παρατήρηση Στο εξής σε κάθε σύνθετο πείραμα τύχης, ο καθένας μπορεί να καταγράψει τον δειγματικό χώρο με όποιον τρόπο θεωρεί ευκολότερο. Όμως, στις περιπτώσεις όπου είναι πολλά τα δυνατά ενδεχόμενα του σύνθετου δειγματοχώρου S, συνιστάται το καρτεσιανό γινόμενο των απλούστερων δειγματοχώρων S S S 3. Αυτή είναι και η βασικότερη αρχή απαρίθμησης, όπως αναφέρεται στην Συνδυαστική...4 Γεγονότα Μία άλλη βασική έννοια συνδεόμενη με το τυχαίο πείραμα είναι το γεγονός. Συχνά σ ένα δειγματοχώρο δεν μας ενδιαφέρουν μόνο τα δειγματοσημεία αλλά κάποιες ομάδες δειγματοσημείων οι οποίες παριστάνουν κάποια γεγονότα. Ορισμός. Στην ορολογία συνόλων, γεγονός ή ενδεχόμενο είναι ένα υποσύνολο του δειγματοχώρου S. Τα γεγονότα συνηθίζεται να συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα, όπως Α, Β, Γ ή Α, Α, Α 3, κ. τ. λ.. Σύμφωνα με τον ορισμό του γεγονότος, ο δειγματοχώρος S και το κενό σύνολο Ø είναι και αυτά γεγονότα. Παράδειγμα. Τα ακόλουθα είναι μερικά παραδείγματα από γεγονότα. Αναφερόμενοι στα πειράματα των παραπάνω παραδειγμάτων από. μέχρι.8, Α κ είναι ένα γεγονός που προκύπτει από το πείραμα Ε κ, το γεγονός πρώτα περιγράφεται και στη συνέχεια δίνεται το σύνολο των δειγματοσημείων του ή ευνοϊκών δειγματοσημείων του όπως αλλιώς αποκαλούνται: Α : {Το τεμάχιο είναι ελαττωματικό} ή Α ={D}. : {Τουλάχιστον δύο κεφαλές} ή Α = {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ, }. Α 3 : {μία μπουλντόζα έχει βλάβη} ή Α 3 = { 3,, 3 }. 4 : {Το πολύ 5 βίδες είναι ελαττωματικές} ή Α 4 ={,, 3, 4, 5}. 5 : {Όλοι οι λαμπτήρες είναι ελαττωματικοί} ή Α 5 ={0}. 6 : {Η αντοχή είναι μικρότερη ενός θετικού αριθμού α} ή Α 6 ={x 0<x<α}. 7 : {Η θερμοκρασία ξεπερνά τους 8 0 C} ή Α 7 ={x x>8 0 C}. 8 : { ένδειξη του νομίσματος κεφαλή και του ζαριού ζυγός αριθμός} ή 8 ={Κ,, Κ,4, Κ,6}.

9 8 Όπως φαίνεται και στα παραπάνω παραδείγματα τα γεγονότα Α κ ορίζονται είτε με την μέθοδο της περιγραφής είτε με την μέθοδο της αναγραφής. Με την πρώτη περιγράφουμε το γεγονός ενώ με την δεύτερη αναφέρουμε όλα τα ευνοϊκά δειγματοσημεία του. Ένα γεγονός Α οριζόμενο σ ένα δειγματοχώρο S λέγεται ότι είναι απλό γεγονός εάν περιέχει μόνο ένα δειγματοσημείο. Διαφορετικά, το γεγονός Α λέγεται σύνθετο γεγονός ή απλώς γεγονός. Όταν ο δειγματοχώρος S είναι πεπερασμένος ή άπειρος αριθμήσιμος, κάθε υποσύνολό του μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα γεγονός. Παρόλα αυτά, αν το S είναι άπειρο μη αριθμήσιμο, δεν είναι σίγουρο ότι κάθε υποσύνολο μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα γεγονός. Ευτυχώς, τέτοια υποσύνολα συναντιόνται πολύ σπάνια για αυτό στην συνέχεια δεν θα ασχοληθούμε μ αυτά. Όπως οι δειγματόχωροι, έτσι και τα γεγονότα μπορούν να παρασταθούν με γραφικές παραστάσεις όπως για παράδειγμα τα διαγράμματα Venn από το όνομα ενός Άγγλου μαθηματικού του 9 ου αιώνα. Σ αυτά τα διαγράμματα ο S K, K, K,3 S Γ Α Β K,4 K,5 K,6 Γ, Γ, Γ,3 Γ,4 Γ,5 Γ,6 α δειγματοχώρος S και γεγονότα Α, Β,και Γ β Ρίψη νομίσματος και ζαριού,. Α={Κεφαλή και ζυγός αριθμός} δειγματοχώρος S παριστάνεται με ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ενώ τα γεγονότα με κλειστές Σχήμα περιοχές. μέσα Διαγράμματα στο παραλληλόγραμμο, Venn βλέπε Σχήμα.. Τα διαγράμματα αυτά χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τις σχέσεις μεταξύ των γεγονότων Ακόμη, μπορούν να χρησιμοποιηθούν διαγράμματα δέντρων ή άλλων γραφικών παραστάσεων σε δυδιάστατο ή τριδιάστατο σύστημα αξόνων για την παράσταση ενός δειγματοχώρου και των συσχετιζόμενων γεγονότων. Παράδειγμα. Σε μία καταιγίδα ενδιαφέρον παρουσιάζει η έντασή της ω και η διάρκειά της τ. Έτσι, ο δειγματοχώρος περιλαμβάνει άπειρα σημεία S={ω,τω<Ω max, τ<t max }.

10 9 Ένα απλό γεγονός σε μία καταιγίδα είναι η πλημμύρα, δηλαδή, η ποσότητα της βροχόπτωσης ξεπερνά την μέγιστη ποσότητα αποστράγγισης στην περιοχή. Αν το γινόμενο ωτ μετρά την ποσότητα βροχόπτωσης σε μία καταιγίδα ενώ η ω Ω max S Α πλημμύρα ωτ=h Τ max τ Σχήμα.3. Το πείραμα της καταιγίδας και η πλημμύρα δυνατότητα αποστράγγισης είναι h, το γεγονός Α είναι το σύνολο βλέπε Σχήμα.3. Α={ω, τ ωτ>h},. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ.. Πράξεις Γεγονότων Υπάρχουν πολλοί τρόποι με τους οποίους σχετίζονται τα γεγονότα ενός δειγματοχώρου. Συχνά, ενδιαφερόμαστε να περιγράψουμε νέα γεγονότα, συνδυάζοντας άλλα υπάρχοντα γεγονότα. Αφού τα γεγονότα είναι σύνολα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πράξεις συνόλων όπως συμπλήρωμα, ένωση, τομή, διαφορά, κ.τ.λ., για να σχηματίσουμε άλλα γεγονότα που μας ενδιαφέρουν. Συμπλήρωμα: Το συμπληρωματικό ενός γεγονότος Α σε ένα δειγματικό χώρο S είναι το σύνολο των δειγματοσημείων του S τα οποία δεν ανήκουν στο Α. Συμβολίζουμε το συμπληρωματικό του Α με. Περιεκτικότητα: Για δύο γεγονότα Α και Β τα οποία ανήκουν στον ίδιο δειγματικό χώρο S, λέμε ότι το Α περιέχει το Β, αν κάθε δειγματοσημείο του Β ανήκει και στο Α. Συμβολίζουμε ΒΑ. Σε μία εκτέλεση του πειράματος αν

11 0 πραγματοποιείται το Β σίγουρα πραγματοποιείται και Α. Ισότητα: Για δύο γεγονότα Α και Β, τα οποία ανήκουν στον ίδιο δειγματικό χώρο S, ισχύει η ισότητα, Α=Β, αν ΒΑ και ΑΒ. Δηλαδή, κάθε δειγματοσημείο του Α είναι δειγματοσημείο του Β και το αντίστροφο. Τα γεγονότα Α και Β λέγονται και ισοδύναμα, διότι σε μία εκτέλεση του πειράματος είτε πραγματοποιούνται και τα δύο μαζί ή δεν πραγματοποιείται κανένα. Με βάση τον ορισμό της ισότητας ισχύει S,, {} {}, S S,, {}, S. S S S Α Β B α συμπλήρωμα, β περιεκτικότητα ΒΑ γ ισότητα, Α=Β Σχήμα.4. Σχεδιαγράμματα Venn Ένωση: Αν Α και Β είναι δύο γεγονότα του ίδιου δειγματικού χώρου S, ορίζουμε σαν ένωση των Α και Β το γεγονός Γ, το οποίο περιέχει δειγματοσημεία που ανήκουν στο Α ή στο Β ή και στα δυο, και γράφουμε Γ=ΑΒ. Σε μία εκτέλεση του πειράματος τύχης, το γεγονός Γ συμβαίνει εάν και μόνον εάν συμβεί τουλάχιστον ένα από τα δύο γεγονότα Α ή Β, βλέπε Σχήμα.5. Παραδείγματος χάριν, σε ένα εργοτάξιο σχετικά με τα αποθέματα τσιμέντου και άμμου, συμβολίζουμε με Α και Β τα γεγονότα ότι κάποια μέρα παρατηρείται έλλειμμα τσιμέντου και άμμου αντίστοιχα. Το γεγονός ότι κάποια μέρα παρατηρείται έλλειμμα είτε σε τσιμέντο ή σε άμμο ή μπορεί και στα δύο εκφράζεται με την ένωση ΑΒ. Με βάση τον παραπάνω ορισμό ισότητας και συμπλήρωμα ισχύει S S,, {}, S,,

12 όπου στην τελευταία ισότητα η ερμηνεία είναι ότι το συμπλήρωμα του συμπληρώματος του Α είναι το ίδιο το Α. Η ένωση μπορεί να επεκταθεί για τρία ή και περισσότερα γεγονότα, ΑΒΓ. Τομή: Αν Α και Β είναι δύο γεγονότα του ίδιου δειγματικού χώρου S, ορίζουμε σαν τομή των Α και Β το γεγονός Γ το οποίο περιέχει δειγματο σημεία που ανήκουν και στο Α και στο Β, και γράφουμε Γ=ΑΒ. Σε μία εκτέλεση του πειράματος τύχης, το γεγονός Γ συμβαίνει εάν και μόνον εάν συμβούν ταυτόχρονα τα δύο γεγονότα Α και Β, βλέπε Σχήμα.5. Παραδείγματος χάριν, στο παραπάνω εργοτάξιο σχετικά με τα αποθέματα τσιμέντου και άμμου, Το γεγονός ότι κάποια μέρα παρατηρείται έλλειμμα και στα δύο, και σε τσιμέντο και σε άμμο, εκφράζεται με την τομή ΑΒ. Σαν άλλο παράδειγμα, μπορούμε να θεωρήσουμε την βλάβη στην κεντρική γραμμή ηλεκτροδότησης. Αν Α είναι το γεγονός βλάβης σε κάποιο σημείο από την μονάδα παραγωγής μέχρι το 0 ο χιλιόμετρο και Β το γεγονός βλάβης από το 8 ο μέχρι το 5 ο χιλιόμετρο, η τομή ΑΒ παριστάνει την βλάβη από το 8 ο μέχρι το 0 ο χιλιόμετρο. Με βάση τους ορισμούς των παραπάνω πράξεων ισχύει S,, {} {}, {}, S. Τέλος, Η τομή μπορεί να επεκταθεί για τρία ή και περισσότερα γεγονότα, ΑΒΓ. Διαφορά: Αν Α και Β είναι δύο γεγονότα του ίδιου δειγματικού χώρου S, ορίζουμε σαν διαφορά Α-Β το γεγονός Γ το οποίο περιέχει δειγματοσημεία που ανήκουν στο Α και όχι στο Β, και γράφουμε Γ=Α-Β. Σε μία εκτέλεση του πειράματος τύχης, το γεγονός Γ συμβαίνει εάν και μόνον εάν συμβεί το Α και όχι το Β, βλέπε Σχήμα.5. S S S Α Β Α Β Α Α-Β. Β Γ=ΑΒ Γ=ΑΒ Γ=Α-Β. Σχήμα.5. Πράξεις γεγονότων Α, Β.

13 Συνήθως, η διαφορά Α-Β καλείται μόνον Α, διότι περιέχει δειγματοσημεία που ανήκουν μόνον στο σύνολο Α. Επίσης, ένας ισοδύναμος συμβολισμός της διαφοράς είναι η τομή B... Ασυμβίβαστα γεγονότα ή αμοιβαίως αποκλειόμενα Τέλος, από τους παραπάνω κανόνες ενδιαφέρων παρουσιάζει η περίπτωση όπου η τομή δύο γεγονότων δεν περιέχει κανένα δειγματοσημείο. Παραδείγματος χάριν αν Α, Β συμβολίζουν τα γεγονότα ότι κάποιος θα ταξιδέψει από Θεσσαλονίκη για Αθήνα με αεροπλάνο ή αυτοκίνητο, αντίστοιχα, η τομή των δύο γεγονότων είναι το κενό σύνολο, δηλαδή, το αδύνατο γεγονός. Ακόμη άλλο παράδειγμα, αν δύο γεγονότα παριστάνουν ότι ένα αυτοκίνητο σε μία διασταύρωση θα στρίψει αριστερά ή δεξιά, αντίστοιχα, η τομή τους δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί. Ορισμός: Δύο γεγονότα Α και Β οριζόμενα σε ένα δειγματικό χώρο είναι αμοιβαία αποκλειόμενα ή ασυμβίβαστα εάν η πραγματοποίηση του ενός αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου. Αυτό σημαίνει ότι τα δύο γεγονότα δεν έχουν κανένα κοινό δειγματοσημείο, B, άρα δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν μαζί σε μία εκτέλεση του πειράματος. Σε ένα σχεδιάγραμμα Venn εύκολα διακρίνει κανείς τα ασυμβίβαστα γεγονότα, δεν έχουν κανένα κοινό δειγματοσημείο και είναι δύο σύνολα ξένα μεταξύ τους, βλέπε Σχήμα.6 β. Παράδειγμα.3 Ένα μεγάλο αντλιοστάσιο έχει δύο ηλεκτρικές αντλίες Α και Α εν παραλλήλω και μία τρίτη ηλεκτρική αντλία όπως φαίνεται στο Σχήμα.6. Εάν Ν, Ν, Ν 3 είναι ένα δυάνυσμα στον τριδιάστατο χώρο, όπου Ν κ = εάν η Α κ αντλία αποτυγχάνει, και Ν κ =0 σε άλλη περίπτωση, ο δειγματικός χώρος αποτελείται από 8 δειγματοσημεία S={0,0,0, 0,0,, 0,,0,0,0,,,,0,,0,, 0,,,,,}. Το σύστημα λειτουργεί αν αντλεί η Α3 και μία τουλάχιστον από τις Α και Α, συμβολίζουμε το γεγονός αυτό με Β. Ακόμη, το σύστημα αποτυγχάνει αν δεν λειτουργεί η Α3 ή δεν λειτουργούν και οι δύο παράλληλες αντλίες, συμβολίζουμε το γεγονός αυτό με Β,

14 3 Β={0,0,0, 0,,0,,0,0} Β={0,0,,,,0,,0,, 0,,,,,}. Α Α Α3 Αντλιοστάσιο Υδραγω γείο S 0,0, B 0,,,0,,,,,0 0,,0,0,0 0,0,0 B α Σύστημα άντλησης νερού β σχεδιάγραμμα Venn, ΒΒ= Σχήμα.6. Γραφικές παραστάσεις παραδείγματος.3. Τα γεγονότα Β και Β είναι αμοιβαίως αποκλειόμενα, διότι ΒΒ=, ή όπως αλλιώς λέγεται ασυμβίβαστα γιατί δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν και τα δύο μαζί...3 Κανόνες Πράξεων Γεγονότων Αφού τα γεγονότα είναι σύνολα, οι κανόνες ή ιδιότητες των πράξεων στα σύνολα διέπουν και τις πράξεις των γεγονότων. Οι σπουδαιότερες ιδιότητες στις πράξεις γεγονότων είναι οι ακόλουθες, Αντιμεταθετική: Η ένωση και η τομή των γεγονότων είναι αντιμεταθετικές πράξεις, ΑΒ=ΒΑ, ΑΒ=ΒΑ. Προσεταιριστική: Η ένωση και η τομή των γεγονότων είναι προσεταιριστικές πράξεις, ΑΒΓ=ΑΒΓ, ΑΒΓ=ΑΒΓ. Επιμεριστική: Η ένωση και η τομή των γεγονότων είναι επιμεριστικές πράξεις, ΑΒΓ=ΑΓΒΓ, ΑΒ Γ=Α Γ ΒΓ. Η προτεραιότητα για τις πράξεις της ένωσης και τομής είναι όμοια με την

15 4 ιεράρχηση της πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού σε μία αλγεβρική έκφραση. Έτσι, προτεραιότητα έχουν οι πράξεις γεγονότων μέσα στις παρενθέσεις και ακολουθούν οι πράξεις της τομής και ένωσης με την σειρά που αναφέρονται. Παρατήρηση Πρέπει να τονισθεί ότι οι πράξεις αριθμών στην άλγεβρα δεν έχουν καμία σχέση με την ένωση, τομή ή διαφορά γεγονότων, για παράδειγμα, ΑΑ=Α, ενώ στο γινόμενο δύο αριθμών αα=α α, ΑΒΒΓ=ΑΒΒΒΑΓΒΓ=ΑΓΒ, ενώ α+ββ+γ=αβ+αγ+β +βγαγ+β, Α-Β Β=ΑΒ, ενώ α-β+β=α. Η απόδειξη είναι προφανής αν χρησιμοποιήσει κανείς τον ορισμό της ισότητας δύο γεγονότων. Ο νόμος De Morgan μπορεί να επεκταθεί για περισσότερα των δύο γεγονότα, n n n n , η δε απόδειξη θα μπορούσε να γίνει με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Τέλος, αν λάβουμε υπ όψιν ότι, είναι προφανής και η ακόλουθη σχέση, n n Από τις παραπάνω πράξεις και κανόνες εύκολα καταλήγει κανείς στην δυική αρχή, η οποία δηλώνει ότι το συμπλήρωμα ενώσεων και τομών ισούται με τις τομές και ενώσεις των συμπληρωματικών τους, παράδειγμα.. Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ B B B B B B B Παράδειγμα.4 Νόμος De Morgan: Εδώ έχουμε πράξεις τομής και ένωσης μεταξύ γεγονότων και των συμπληρωματικών τους, B B B B η,..

16 5 Στο παράδειγμα.4 το νερό φθάνει στο υδραγωγείο από το αντλιοστάσιο βλέπε Σχήμα.6, α. Συμβολίζουμε με Α, Α, Α 3, τα γεγονότα ότι οι αντίστοιχες αντλίες διακόπτουν την άντληση λόγω βλάβης. Το γεγονός ότι η παροχή νερού στο υδραγωγείο διακόπτεται, Δ, εκφράζεται με τις εξής πράξεις γεγονότων, Δ, 3 δηλαδή, το γεγονός Δ συμβαίνει αν η Α3 διακόπτει την άντληση ή και οι δύο αντλίες Α, Α δεν αντλούν νερό. Το γεγονός ότι το αντλιοστάσιο παρέχει νερό στο υδραγωγείο, Δ, συμβαίνει αν δεν διακόπτει την άντληση η Α3 και τουλάχιστον μία από τις Α και Α. Δηλαδή, η παροχή νερού στο υδραγωγείο εκφράζεται με την ακόλουθη άλγεβρα γεγονότων, Δ. 3 Όμως, μπορούμε να καταλήξουμε στην ίδια άλγεβρα γεγονότων για το Δ, αν πάρουμε το συμπληρωματικό της άλγεβρας γεγονότων του Δ, σύμφωνα με τον νόμο De Morgan, Δ 3 3. Παράδειγμα.5 Για την κατασκευή ενός μεγάλου εργοστασίου διακρίνουμε τρεις φάσεις: πρώτον θεμελίωση, δεύτερον δόμηση, τρίτον ηλεκτρολογική εγκατάσταση. Συμβολίζουμε με Θ, Δ και Η τα γεγονότα καθυστέρησης θεμελίωσης, δόμησης και ηλεκτρικής εγκατάστασης αντίστοιχα. Να εκφραστούν με συμβολισμό συνόλων τα γεγονότα ότι το εργοστάσιο ολοκληρώνεται α χωρίς καθυστέρηση, β με καθυστέρηση μόνον μίας φάσης, γ το πολύ με καθυστέρηση δύο φάσεων. Απάντηση: α Η ένωση των γεγονότων Θ, Δ και Η συμβολίζει το γεγονός της καθυστέρησης του εργοστασίου. Το συμπλήρωμα της ένωσης, προφανώς, συμβολίζει την ολοκλήρωση του έργου άνευ καθυστέρησης, {χωρίς καθυστέρηση}= Θ Δ H β Εδώ, πρέπει να πάρουμε την ένωση των γεγονότων να καθυστερήσει μόνον η θεμελίωση, μόνον η δόμηση, μόνον η ηλεκτρική εγκατάσταση, δηλαδή,

17 6 {καθυστέρηση μόνον μίας φάσης}= Θ Δ Η Δ Θ Η Η Θ Δ, S Θ Δ S Θ Δ S Θ-ΗΔ Δ-ΘΗ ΗΘΔ Θ Δ Η Η Η-ΔΘ Η H Θ Δ α το έργο καθυστερεί β μόνο μία φάση καθυστερεί γ μέχρι δύο φάσεις Σχήμα.7. Διαγράμματα Venn, Παράδειγμα.6. ή εναλλακτικά {καθυστέρηση μόνον μίας φάσης}= H Θ Δ H Θ Δ H Θ Δ, ή {καθυστέρηση μόνον μίας φάσης}= H Θ Δ Θ H Δ Δ H Θ. γ Το γεγονός αυτό σημαίνει όχι και τα τρία γεγονότα μαζί, H Θ Δ..3 ΧΩΡΟΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ-ΔΥΝΑΜΟΣΥΝΟΛΟ Ορισμός: το σύνολο ή η συλλογή από όλα τα δυνατά γεγονότα του δειγματοχώρου S ορίζεται σαν χώρος γεγονότων ή δυναμοσύνολο και συμβολίζεται με S *. Ο χώρος αυτός έχει τις εξής βασικές ιδιότητες: S S * ν S * S * ν S * και S * S *, S *,

18 7 - S *. Αν ένας δειγματοχώρος S περιέχει n δειγματοσημεία, τότε όλα τα στοιχεία του S *,δηλαδή, όλα τα δυνατά γεγονότα του δειγματοχώρου είναι n, ΝS * = n Παράδειγμα.6 Στη ρίψη ενός νομίσματος, ο δειγματοχώρος του πειράματος είναι S={Κ,Γ}. Όλα τα γεγονότα που μπορούν να ορισθούν σε αυτό το πείραμα είναι τα υποσύνολα του S, όπως {Κ}, {Γ}, {Κ,Γ} και Ø. Το δυναμοσύνολο S * περιέχει =4 διαφορετικά υποσύνολα S * ={ { }, {Κ}, {Γ}, {Κ,Γ}}. Ενώ το S περιέχει όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος τύχης, ο χώρος γεγονότων ή δυναμοσύνολο S * περιέχει το S και όλα τα δυνατά υποσύνολα ή γεγονότα που ορίζονται συνδυάζοντας τα αποτελέσματα του πειράματος..4. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι η έκφραση της βεβαιότητας πραγματοποίησής του. Επί πλέον, μία πιθανότητα είναι ένας αριθμός ο οποίος ξεκινά από το μηδέν, για ένα γεγονός το οποίο δεν μπορεί να συμβεί, και φθάνει στο ένα,για ένα γεγονός που είναι σίγουρο ότι θα συμβεί. Αλλά, πώς προσδιορίζουμε τον αριθμό πιθανότητας στα άλλα γεγονότα; Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από την δική μας ερμηνεία της πιθανότητας. Παρόλα που υπάρχουν διάφορες έννοιες και ορισμοί για την πιθανότητα στις διάφορες επιστήμες, όλοι συμφωνούν ότι ο αριθμός πιθανότητας ή η πιθανότητα ενός γεγονότος μπορεί να προσδιορισθεί με την θεωρία κλασσικής πιθανότητας, σχετικής συχνότητας, και υποκειμεν ικής πιθανότητας.. Η Θεωρία κλασσικής πιθανότητας εφαρμόζεται μόνο σε πειράματα τύχης όπου ο δειγματοχώρος S αποτελείται από εξίσου πιθανά δειγματοσημεία. Σε τέτοια πειράματα τύχης, βασική αρχή της κλασσικής θεωρίας είναι ότι κανένα αποτέλεσμα του πειράματος δεν είναι πιθανότερο του άλλου. Με βάση αυτή την αρχή, όλα τα δυνατά αποτελέσματα του S έχουν την ίδια πιθανότητα πραγματοποίησης. Για παράδειγμα, στην ρίψη ενός ζαριού, καμία ένδειξη δεν είναι πιθανότερη της άλλης, και κατά συνέπεια η πιθανότητα εμφάνισης οιοδήποτε αριθμού έως 6 είναι /6. Γενικά, σε ένα πείραμα τύχης με n ισοπίθανα δειγματοσημεία,

19 8 S={s, s,, s n }, η πραγματοποίηση του s i είναι το ίδιο πιθανή με την πραγματοποίηση οιοδήποτε άλλου ενδεχομένου s j. Στην περίπτωση αυτή η κλασσική θεωρία ορίζει σαν πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου s i, s i, το /n. Κατ επέκταση, αν ένα γεγονός Α r του δειγματικού χώρου S περιέχει κ δειγματοσημεία, Α r ={ s r, s r,, s rk }, ως πιθανότητα πραγματοποίησης του ορίζεται ο λόγος κ/n. Η παραπάνω ανάλυση οδηγεί σε ένα απλό και κλασσικό ορισμό της πιθανότητας. Κλασσικός ορισμός της πιθανότητας: Εάν ένα πείραμα τύχης έχει ΝS ισοπίθανα αποτελέσματα, η πιθανότητα πραγματοποίησης ενός γεγονότος Α του S, το οποίο περιέχει ΝΑ δειγματοσημεία, συμβολίζεται με και είναι ο λόγος του ΝΑ προς ΝS, N.. NS Παράδειγμα.7 Στην ρίψη ενός ζαριού, αν Α είναι το γεγονός ότι έχουμε ένδειξη ζυγού αριθμού, Α={,4,6}, και Β είναι το γεγονός ότι η ένδειξη είναι μικρότερη του 5, Β={,,3,4}, οι αντίστοιχες πιθανότητες πραγματοποίησης των Α και Β κατά την ρίψη του ζαριού είναι N 3, N S 6 N B 4 B. N S 6 3 Παράδειγμα.8 Στην ρίψη ενός νομίσματος τρεις φορές, ο δειγματοχώρος του πειράματος τύχης S έχει 8 ισοπίθανα δειγματοσημεία, S={ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ, ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}. Αν Α είναι το γεγονός ότι έχουμε δύο Κεφαλές και ένα Γράμμα, Α={ ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ}, τότε στην ρίψη ενός νομίσματος 3 φορές η πιθανότητα πραγματοποίησης του γεγονότος Α είναι

20 9 N 3. N S 8 Παρατηρήσεις Είναι πολύ σημαντικό να τονίσουμε ότι η κλασσική θεωρία βασίζεται στην υπόθεση ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος τύχης είναι απόλυτα ισοπίθανα και εφαρμόζεται όταν ικανοποιείται πλήρως. Έτσι, δεν δημιουργείται καμία δυσκολία όταν αναφερόμαστε σε ένα μη δολιοευμένο ζάρι, νόμισμα ή αξιόπιστο τροχό ρουλέτας, όπου όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι απόλυτα ισοπίθανα. Στόν πραγματικό κόσμο όμως τα δυνατά αποτελέσματα των πειραμάτων αυτών μπορεί να μην είναι ακριβώς ισοπίθανα. Για αυτό, η υπόθεση του απόλυτα ισοπίθανα θα προκαλέσει κάποια απόκλιση από την πραγματική πιθανότητα. Ακόμη, σε ένα δολιοευμένο ζάρι, νόμισμα ή μη τίμιο τροχό ρουλέτας η κλασσική θεωρία οδηγεί σε λάθος εκτίμηση πιθανότητα. Στις περιπτώσεις αυτές συνιστάται η θεωρία της σχετικής συχνότητας, όπως αναφέρεται στην επόμενη παράγραφο. B Στα παραδείγματα που αναφέρθηκαν μέχρι τώρα εύκολα απαριθμήθηκαν όλα τα δειγματοσημεία του δειγματικού χώρου S και όλοι οι δυνατοί τρόποι ευνοϊκά δειγματοσημεία με τους οποίους συμβαίνει το γεγονός Α. Υπάρχουν όμως περισσότερο σύνθετες περιπτώσεις όπου η απαρίθμηση όλων των δειγματοσημείων του S και Α απαιτεί πιο συστηματικές μεθόδους, όπως αναφέρονται στην παράγραφο της Συνδυαστικής. Στην περίπτωση όπου ο δειγματοχώρος S έχει ισοπίθανα αλλά άπειρα δειγματοσημεία, ο προσδιορισμός της κλασσικής πιθανότητας ενός γεγονότος Α του S ενδέχεται να είναι υπολογιστικά αδύνατος. Διότι, ενδέχεται το σύνολο Α να περιέχει σε μια τέτοια περίπτωση άπειρα δειγματοσημεία και ο λόγος των δύο πληθάριθμων ΝΑ προς ΝS είναι απροσδιόριστος. Παρόλα αυτά, η κλασσική πιθανότητα μπορεί να προσδιορισθεί, αν περιγράψουμε τον δειγματοχώρο S και το γεγονός Α κατά κάποιο τρόπο με πεπερασμένο αριθμό ισοπίθανων ομαδοποιημένων δειγματοσημείων. Παράδειγμα.9 Μία ράβδος μήκους α σπάει τυχαία σε οποιοδήποτε σημείο της. Ποια η πιθανότητα ότι το πρώτο κομμάτι της θα είναι μικρότερο από το δεύτερο; Το πείραμα τύχης συνίσταται στο ότι η ράβδος σπάει ισοπίθανα σε κάποιο σημείο της, ο δε δειγματοχώρος S περιέχει άπειρα ισοπίθανα δειγματοσημεία, ΝS=. Επίσης, το γεγονός Α ότι το πρώτο κομμάτι είναι μικρότερο από το δεύτερο είναι ισοδύναμο με το γεγονός ότι η ράβδος σπάει στο πρώτο ήμισυ. Έτσι, τα δειγματοσημεία που περιέχει το γεγονός Α

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ

και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ 7/10/010 ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΝ ένα αντιείμενο A1 μπορεί να επιλεγεί με k1 αι ένα αντιείμενο A μπορεί να επιλεγεί με k αι η ελογή του ενός απολείει την ταυτόχρονη ελογή του άλλου, ΤΟΤΕ ένα οποιοδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΟΜΙΚΩΝ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ Σ.Τ.Ε.Φ Τ.Ε.Ι. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ 008 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ I. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πιθανότητες και Στατιστική ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων εσμευμένη πιθανότητα Ολική πιθανότητα Κανόνας του Bayes Υποκειμενική πιθανότητα Πιθανότητες και βακτηριουρία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1.1 Απαρίθμηση και καταγραφή 1.2 Η αρχή του αθροίσματος 1.3 Η πολλαπλασιαστική αρχή 1.4 Άλλοι κανόνες απαρίθμησης 1.5 Πιθανότητες σε πεπερασμένους δειγματικούς χώρους 1.6 Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 1 1.1 ΕΙΓΜΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΩΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β);

Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β); Μια παρέα αποτελούμενη από 10 άντρες και 5 γυναίκες, με τυχαίο τρόπο χωρίζονται σε ομάδες 3 ατόμων. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε κάθε ομάδα θα υπάρχει ένας τουλάχιστον άνδρας. Απάντηση: Έστω το γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Λογικές πύλες Περιεχόμενα 1 Λογικές πύλες

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα