Βασικές Έννοιες Πιθανότητας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Βασικές Έννοιες Πιθανότητας"

Transcript

1 Βασικές Έννοιες Πιθανότητας 0 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ, ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ, ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα.. Δειγματοχώρος και Δειγματοσημεία..3 Σύνθετος Δειγματοχώρος...4 Γεγονότα. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ.. Πράξεις Γεγονότων.. Ασυμβίβαστα γεγονότα ή αμοιβαίως αποκλειόμενα..3 Κανόνες Πράξεων Γεγονότων.3 ΧΩΡΟΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ-ΔΥΝΑΜΟΣΥΝΟΛΟ.4. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ.4. Κλασσική Θεωρία.4. Θεωρία Σχετικής Συχνότητας.4.3 Υποκειμενική Θεωρία.5 ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ.6 ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ.6. Ο κανόνας του γινομένου.6. Μεταθέσεις.6.3 Συνδυασμοί.6.4 Μεταθέσεις όταν όλα τα αντικείμενα δεν είναι ίδια.7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ

2 Σε αυτό το κεφάλαιο θα συζητήσουμε τον τύπο των φαινομένων με τον οποίο θα ασχοληθούμε σε αυτό το βιβλίο. Επί πλέον θα αναπτύξουμε μαθηματικά μοντέλα με τα οποία θα περιγράφουμε και διερευνούμε τέτοια φαινόμενα. Γενικά, μπορούμε να διακρίνουμε δύο ειδών μοντέλα τα καθοριστικά και τα στοχαστικά. Τα καθοριστικά μοντέλα περιγράφουν φαινόμενα των οποίων οι συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιούνται καθορίζουν και το αποτέλεσμα της έκβασής τους. Για παράδειγμα, αν τοποθετήσουμε μία μπαταρία σε ένα απλό κύκλωμα, το μαθηματικό μοντέλο το οποίο ενδεχομένως θα περιέγραφε την παρατηρούμενη ροή ρεύματος θα ήταν o νόμος του Ohm I=E/R.. Ο νόμος προβλέπει την τιμή της έντασης του ρεύματος όταν είναι γνωστά η αντίσταση R και η δύναμη της μπαταρίας Ε. Όσες φορές και εάν επαναλάβουμε αυτό το πείραμα, κάθε φορά παρατηρούμε την ίδια ένταση I. Υπάρχουν πολλά φαινόμενα τα οποία περιγράφονται πλήρως από καθοριστικά μοντέλα. Παρόλα αυτά υπάρχουν επίσης πολλά άλλα φαινόμενα τα οποία περιγράφονται από στοχαστικά ή πιθανοτικά μοντέλα. Για παράδειγμα, η ένταση της βροχής που πρόκειται να ακολουθήσει σε ένα τόπο δεν μπορεί να προβλεφθεί ακριβώς. Υπάρχουν καθοριστικά μετεωρολογικά μοντέλα τα οποία περιέχουν τις επικρατούσες συνθήκες όπως βαρομετρική πίεση, διεύθυνση και ένταση ανέμου και άλλες παρατηρούμενες παραμέτρους αλλά προβλέπουν μόνο χαμηλή ή υψηλή ένταση βροχής στον τόπο και όχι την ακριβή της τιμή. Τέτοια φαινόμενα περιγράφονται καλύτερα από στοχαστικά μοντέλα, τα οποία λαμβάνοντας υπόψη τις επικρατούσες συνθήκες προβλέπουν πιθανολογικά τα διάφορα δυνατά αποτελέσματα. Με άλλα λόγια τα στοχαστικά μοντέλα προβλέπουν με κάποια αβεβαιότητα την έκβαση του φαινομένου. Την αβεβαιότητα αυτή μετρά μεθοδολογικά η Θεωρία Πιθανοτήτων. Η στατιστική, σαν μια μέθοδο λήψης απόφασης κάτω από συνθήκη αβεβαιότητας, βασίζεται στην πιθανοθεωρία, αφού πιθανότητα είναι ένα μέτρο της αβεβαιότητας και των ρίσκων που σχετίζονται μ αυτή. Προτού μάθει κανείς στατιστικές διαδικασίες απόφασης απαιτείται μία γνώση της πιθανοθεωρίας. Ένας εύκολος και ξεκάθαρος τρόπος μεταχείρισης της πιθανοθεωρίας απαιτεί μερική γνώση της συνολοθεωρίας. Προκειμένου να μελετήσουμε τα πιθανοκρατικά πρότυπα που επιθυμούμε να αναπτύξουμε, θα ήταν πολύ κατάλληλο αν πρώτα γνωρίζαμε τις βασικές έννοιες από την θεωρία συνόλων.

3 . ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ, ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ, ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικά, η ανάπτυξη της πιθανοθεωρίας στηρίζεται στις τρεις έννοιες του δειγματοχώρου, δειγματοσημεία, και γεγονότα, οι οποίες σχετίζονται με την αβεβαιότητα και το πείραμα τύχης... Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα Η αβεβαιότητα αναφέρεται στην έκβαση ενός φαινομένου υπό εξέλιξη. Εάν ένα φαινόμενο υπό εξέλιξη μπορεί να οδηγήσει σε δύο ή περισσότερα πιθανά αποτελέσματα, το φαινόμενο είναι στοχαστικό και τα αποτέλεσμα λέγεται ότι είναι αβέβαιο. Έτσι, ρίχνοντας ένα ζάρι ή νόμισμα, μετρώντας την διάρκεια μιας μπαταρίας, μετρώντας τον αριθμό αυτοκινήτων πριν συμβεί ένα ατύχημα, ερωτώντας έναν ψηφοφόρο εάν προτιμά ή όχι ένα συγκεκριμένο υποψήφιο, και ούτω κάθ εξής, όλα είναι στοχαστικά φαινόμενα, αφού σε κάθε περίπτωση, η διαδικασία μπορεί να οδηγήσει σε περισσότερα από δύο πιθανά αποτελέσματα. Ορισμός. Στο εξής, ένα στοχαστικό φαινόμενο θα το ονομάζουμε τυχαίο πείραμα αν,. η εξέλιξη του φαινομένου μπορεί να πραγματοποιηθεί όσες φορές επιθυμούμε,. η εξέλιξη του φαινομένου πραγματοποιείται πάντα υπό τις ίδιες συνθήκες, 3. η προ-εκδίκαση του αποτελέσματος μιας συγκεκριμένης εξέλιξης του φαινομένου δεν είναι δυνατή, 4. το σύνολο των αβέβαιων αποτελεσμάτων της εξέλιξης του φαινομένου είναι γνωστό. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι, όταν αναφερόμαστε σε πείραμα τύχης μπορεί να εννοούμε και ένα φυσικό πείραμα το οποίο μπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Ή, μπορεί απλά να διανοηθεί ένα σύνολο από αβέβαια αποτελέσματα, χωρίς να πραγματοποιηθεί καμία ακολουθία από επαναλαμβανόμενες δοκιμές. Για ένα πείραμα τύχης, πραγματικό ή φανταστικό, το μόνο που χρειάζεται είναι να προσδιορισθούν ακριβώς όλα τα πιθανά αποτελέσματα.

4 3.. Δειγματοχώρος και Δειγματοσημεία Ορισμός. Ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία παριστάνουν όλα τα πιθανά αποτελέσματα του πειράματος τύχης ονομάζεται δειγματοχώρος, ο οποίος είναι ένα γενικό universal σύνολο και συμβολίζεται με S. Τα πιθανά αποτελέσματα στον δειγματοχώρο ονομάζονται δειγματοσημεία και συμβολίζoνται με s, ο δε αριθμός δειγματοσημείων σ ένα δειγματοχώρο μπορεί να συμβολιστεί με NS. Στη συνέχεια αναφέρονται τυχαία πειράματα Ε δειγματοχώροι S. και οι αντίστοιχοι Παράδειγμα. E : Ενα τεμάχιο επιλέγεται από ένα κιβώτιο εισερχόμενου εμπορεύματος και ελέγχεται. Το τεμάχιο μπορεί να είναι ελαττωματικό, D, ή μη ελαττωματικό, D. S={D, D }. Παράδειγμα. E : Ρίχνουμε τρία νομίσματα και παρατηρούμε τις ενδείξεις τους. Ο δειγματικός χώρος S του πειράματος αυτού αποτελείται ως γνωστόν από όλα τα δυνατά ενδεχόμενα, S={ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ, ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}. Παράδειγμα.3 E 3 : Ένας εργολάβος ξεκινά ένα μεγάλο χωματουργικό έργο με τρεις μπουλντόζες Α, Α και Α 3. Μετά από ένα χρόνο ελέγχουμε την κατάσταση των τριών μπουλντόζων. Αν Α κ και Α κ είναι τα ενδεχόμενα ότι η Α κ μπουλντόζα παρουσιάζει ή δεν παρουσιάζει βλάβη αντίστοιχα, τότε ο δειγματοχώρος S της κατάστασης των μπουλντόζων είναι S { 3, 3, 3, 3, 3,, 3, } Παράδειγμα.4 E 4 : Ένα φτερό αεροπλάνου συναρμολογείται με ένα μεγάλο αριθμό βιδών Μ. Απαριθμείται ο αριθμός των ελαττωματικών βιδών. S={,, 3,, Μ}. Παράδειγμα.5 E 5 : Κατασκευάζονται ηλεκτρικοί λαμπτήρες μέχρι να παραχθούν 0 ελαττωματικοί. Παρατηρείται ο αριθμός των παραγόμενων λαμπτήρων. S={0,,, }.

5 4 Παράδειγμα.6 E 6 : Μετρούμε την αντοχή έντασης ενός τύπου χαλύβδινης δοκού. S={x x μη αρνητικός πραγματικός αριθμός}. Παράδειγμα.7 E 7 : Ένας θερμογράφος καταγράφει συνεχώς την θερμοκρασία σ όλο το 4- ωρο. Σ ένα συγκεκριμένο τόπο σε ένα ψηλό βουνό κάθε μέρα το πρωί σημειώνεται η ένδειξη του θερμογράφου σε βαθμούς κλίμακας 0 C. S={x m<x<m, όπου m η ελάχιστη δυνατή και M η μέγιστη δυνατή θερμοκρασία στον τόπο αυτόν}. Στο ίδιο παράδειγμα, αν παρατηρούμε για πόσες μέρες μέσα σε ένα χρόνο η θερμοκρασία έπεσε κάτω από τους μηδέν βαθμούς 0 C, ο δειγματοχώρος είναι διαφορετικός, S={0,,, 3, 4,..., 364, 365}. Ένας δειγματοχώρος με μικρό αριθμό δειγματοσημείων ενδέχεται να παρασταθεί ευκολότερα με διαγράμματα δέντρων ή άλλων γραφικών παραστάσεων σε δυδιάστατο ή τριδιάστατο σύστημα αξόνων. Ανεξάρτητα από το πώς περιγράφεται το S, τα στοιχεία του S τα οποία αντιστοιχούν στα αποτελέσματα του τυχαίου πειράματος πρέπει να είναι αμοιβαία αποκλειόμενα και συλλεκτικά εξαντλημένα. Αυτός είναι και ο ορισμός του δειγματοχώρου. Προκειμένου να περιγράψουμε έναν δειγματοχώρο σχετιζόμενο με ένα πείραμα, πρέπει να έχουμε ξεκάθαρη ιδέα από αυτό που μετρούμε ή παρατηρούμε. Σημειώστε επίσης ότι το αποτέλεσμα ενός πειράματος δεν είναι πάντοτε αριθμός, μπορεί να είναι ακολουθία, συνάρτηση ή διάνυσμα. Ακόμη, ένα τυχαίο πείραμα μπορεί να περιγραφεί με περισσότερους από ένα δειγματοχώρο. Για παράδειγμα, στη ρίψη ενός ζαριού μπορεί να έχουμε S={,, 3, 4, 5, 6} ή S ={μονός, ζυγός}. Τέλος, είναι απαραίτητο να συζητηθεί ο αριθμός των δειγματοσημείων σε ένα δειγματοχώρο. Διακρίνονται κυρίως τρεις περιπτώσεις: πεπερασμένος δειγματοχώρος, όταν έχει πεπερασμένο πλήθος σημείων, όπως στα παραδείγματα.,.,.3,.4 και.7 στον δεύτερο δειγματοχώρο του. άπειρος αριθμήσιμος δειγματοχώρος, όταν τα σημεία του μπορούν να αντιστοιχηθούν ένα προς ένα με το σύνολο των φυσικών αριθμών, όπως στο παράδειγμα.5. άπειρος μη αριθμήσιμος δειγματοχώρος, όταν έχει άπειρο πλήθος σημείων αλλά όχι αριθμήσιμο, όπως στα παραδείγματα.6, και.7 στον πρώτο δειγματοχώρο του.

6 5..3 Σύνθετος Δειγματοχώρος Ένα σύνθετο πείραμα E μπορεί να συνίσταται στην εκτέλεση δύο απλών πειραμάτων Ε και Ε με δειγματοχώρους S και S αντίστοιχα. Εκτελούμε τα πειράματα αυτά από μία φορά. Τότε το καρτεσιανό γινόμενο S S μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παραστήσει όλα τα πιθανά αποτελέσματα του σύνθετου πειράματος Ε. Έτσι, ο σύνθετος δειγματοχώρος S=S S περιέχει σαν δειγματοσημεία τα διατεταγμένα σύνολα {s κ,s λ s κ S, s λ S, κ=,,,n, λ=,,,n }. Στα παραδείγματα που ακολουθούν αναφέρονται τέτοιοι σύνθετοι δειγματοχώροι. Παράδειγμα.8 Ένα νόμισμα και ένα ζάρι ρίπτονται μαζί, παρατηρείται η ένδειξη του ζαριού και νομίσματος, βλέπε Σχήμα.. Εδώ μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχουμε ένα σύνθετο πείραμα Ε αποτελούμενο από την εκτέλεση δύο απλούστερων πειραμάτων Ε ={ρίψη νομίσματος} και Ε ={ρίψη ζαριού} με αντίστοιχους δειγματοχώρους S ={ K, Γ}και S ={,, 3, 4, 5, 6}. Με βάση το παραπάνω σκεπτικό, το πείραμα Ε έχει σαν δειγματοχώρο το καρτεσιανό γινόμενο των S και S, Ρίψη νομίσματος Κ ρίψη ζαριού Γ {K,, K,, K,3, K,4, K,5, K,6, Γ,, Γ,, Γ,3, Γ,4, Γ,5, Γ,6} S=S S ={ K, Γ} {,, 3, 4, 5, 6}, Σχήμα.. Σύνθετο πείραμα ρίψης νομίσματος και ζαριού S={K,, Κ,, Κ,3, Κ,4, Κ,5,Κ,6, Γ,, Γ,, Γ,3, Γ,4, Γ,5, Γ,6}.

7 6 Για λόγους συντομίας τα διατεταγμένα υποσύνολα του σύνθετου δειγματοχώρου S γράφονται και χωρίς παρενθέσεις ή κόμματα, όπως S={K, Κ, Κ3, Κ4, Κ5, Κ6, Γ, Γ, Γ3, Γ4, Γ5, Γ6}. Ακόμη, το σύνθετο πείραμα μπορεί να συνίσταται στην εκτέλεση δύο ή περισσότερων πειραμάτων με δειγματοχώρο το καρτεσιανό γινόμενο S S S n. Στην πράξη συναντάμε πολλά σύνθετα πειράματα Ε και καταγράφουμε τον αντίστοιχο δειγματικό τους χώρο S, χωρίς να αναφερθούμε αναλυτικότερα στο καρτεσιανό γινόμενο των απλούστερων δειγματοχώρων, όπως π. χ. στα παραδείγματα που ακολουθούν. Παράδειγμα.9 Ρίχνουμε τρία νομίσματα όπως στο παράδειγμα. και παρατηρούμε τις ενδείξεις τους. Το πείραμα αυτό μπορούμε να το σκεφτούμε και σαν ένα σύνθετο πείραμα τύχης, Ε, το οποίο συνίσταται στην εκτέλεση των απλούστερων πειραμάτων Ε ={ρίψη νομίσματος }, Ε ={ρίψη νομίσματος } και Ε 3 ={ρίψη νομίσματος 3}, με δειγματοχώρους S ={K, Γ}, S ={K, Γ}, και S 3 ={K,Γ} αντίστοιχα. Δηλαδή, ο σύνθετος δειγματοχώρος S είναι το καρτεσιανό γινόμενο, S=S S S 3 ={K, Γ} {K, Γ} {K, Γ}, S={Κ,Κ,Κ,Κ,Κ,Γ,Κ,Γ,Κ,Γ,Κ,Κ, Κ,Γ,Γ, Γ,Κ,Γ, Γ,Γ,Κ Γ,Γ,Γ}, ο οποίος είναι ίδιος με τον δειγματοχώρο του παραδείγματος., όπως το καταγράψαμε εμπειρικά. Παράδειγμα.0 Ρίχνουμε δύο ζάρια μια ζαριά και παρατηρούμε τις ενδείξεις τους. Όλα τα δυνατά ζευγάρια των ενδείξεων είναι 36 και είναι γνωστά, S={,,,,,3,,,,,,,3,, 3,, 3,, 3,3,, 6,, 6,, 6,3, 6,4,6,5, 6,6}. Όμως, κάποιος μπορεί να θεωρήσει ότι Ε και Ε είναι τα απλά πειράματα για τη ρίψη του κάθε ζαριού με δειγματοχώρους S ={,, 3, 4, 5, 6} και S ={,, 3, 4, 5, 6} αντίστοιχα. Έτσι, το πείραμα της ζαριάς, Ε, συνίσταται στην εκτέλεση των Ε και Ε και έχει δειγματοχώρο S το γινόμενο,

8 7 S=S S ={,, 3, 4, 5, 6} {,, 3, 4, 5, 6} S={,,,,,3,,,,,,,3,, 3,, 3,, 3,3,, 6,, 6,, 6,3, 6,4,6,5, 6,6}. Παρατήρηση Στο εξής σε κάθε σύνθετο πείραμα τύχης, ο καθένας μπορεί να καταγράψει τον δειγματικό χώρο με όποιον τρόπο θεωρεί ευκολότερο. Όμως, στις περιπτώσεις όπου είναι πολλά τα δυνατά ενδεχόμενα του σύνθετου δειγματοχώρου S, συνιστάται το καρτεσιανό γινόμενο των απλούστερων δειγματοχώρων S S S 3. Αυτή είναι και η βασικότερη αρχή απαρίθμησης, όπως αναφέρεται στην Συνδυαστική...4 Γεγονότα Μία άλλη βασική έννοια συνδεόμενη με το τυχαίο πείραμα είναι το γεγονός. Συχνά σ ένα δειγματοχώρο δεν μας ενδιαφέρουν μόνο τα δειγματοσημεία αλλά κάποιες ομάδες δειγματοσημείων οι οποίες παριστάνουν κάποια γεγονότα. Ορισμός. Στην ορολογία συνόλων, γεγονός ή ενδεχόμενο είναι ένα υποσύνολο του δειγματοχώρου S. Τα γεγονότα συνηθίζεται να συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα, όπως Α, Β, Γ ή Α, Α, Α 3, κ. τ. λ.. Σύμφωνα με τον ορισμό του γεγονότος, ο δειγματοχώρος S και το κενό σύνολο Ø είναι και αυτά γεγονότα. Παράδειγμα. Τα ακόλουθα είναι μερικά παραδείγματα από γεγονότα. Αναφερόμενοι στα πειράματα των παραπάνω παραδειγμάτων από. μέχρι.8, Α κ είναι ένα γεγονός που προκύπτει από το πείραμα Ε κ, το γεγονός πρώτα περιγράφεται και στη συνέχεια δίνεται το σύνολο των δειγματοσημείων του ή ευνοϊκών δειγματοσημείων του όπως αλλιώς αποκαλούνται: Α : {Το τεμάχιο είναι ελαττωματικό} ή Α ={D}. : {Τουλάχιστον δύο κεφαλές} ή Α = {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ, }. Α 3 : {μία μπουλντόζα έχει βλάβη} ή Α 3 = { 3,, 3 }. 4 : {Το πολύ 5 βίδες είναι ελαττωματικές} ή Α 4 ={,, 3, 4, 5}. 5 : {Όλοι οι λαμπτήρες είναι ελαττωματικοί} ή Α 5 ={0}. 6 : {Η αντοχή είναι μικρότερη ενός θετικού αριθμού α} ή Α 6 ={x 0<x<α}. 7 : {Η θερμοκρασία ξεπερνά τους 8 0 C} ή Α 7 ={x x>8 0 C}. 8 : { ένδειξη του νομίσματος κεφαλή και του ζαριού ζυγός αριθμός} ή 8 ={Κ,, Κ,4, Κ,6}.

9 8 Όπως φαίνεται και στα παραπάνω παραδείγματα τα γεγονότα Α κ ορίζονται είτε με την μέθοδο της περιγραφής είτε με την μέθοδο της αναγραφής. Με την πρώτη περιγράφουμε το γεγονός ενώ με την δεύτερη αναφέρουμε όλα τα ευνοϊκά δειγματοσημεία του. Ένα γεγονός Α οριζόμενο σ ένα δειγματοχώρο S λέγεται ότι είναι απλό γεγονός εάν περιέχει μόνο ένα δειγματοσημείο. Διαφορετικά, το γεγονός Α λέγεται σύνθετο γεγονός ή απλώς γεγονός. Όταν ο δειγματοχώρος S είναι πεπερασμένος ή άπειρος αριθμήσιμος, κάθε υποσύνολό του μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα γεγονός. Παρόλα αυτά, αν το S είναι άπειρο μη αριθμήσιμο, δεν είναι σίγουρο ότι κάθε υποσύνολο μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα γεγονός. Ευτυχώς, τέτοια υποσύνολα συναντιόνται πολύ σπάνια για αυτό στην συνέχεια δεν θα ασχοληθούμε μ αυτά. Όπως οι δειγματόχωροι, έτσι και τα γεγονότα μπορούν να παρασταθούν με γραφικές παραστάσεις όπως για παράδειγμα τα διαγράμματα Venn από το όνομα ενός Άγγλου μαθηματικού του 9 ου αιώνα. Σ αυτά τα διαγράμματα ο S K, K, K,3 S Γ Α Β K,4 K,5 K,6 Γ, Γ, Γ,3 Γ,4 Γ,5 Γ,6 α δειγματοχώρος S και γεγονότα Α, Β,και Γ β Ρίψη νομίσματος και ζαριού,. Α={Κεφαλή και ζυγός αριθμός} δειγματοχώρος S παριστάνεται με ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ενώ τα γεγονότα με κλειστές Σχήμα περιοχές. μέσα Διαγράμματα στο παραλληλόγραμμο, Venn βλέπε Σχήμα.. Τα διαγράμματα αυτά χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τις σχέσεις μεταξύ των γεγονότων Ακόμη, μπορούν να χρησιμοποιηθούν διαγράμματα δέντρων ή άλλων γραφικών παραστάσεων σε δυδιάστατο ή τριδιάστατο σύστημα αξόνων για την παράσταση ενός δειγματοχώρου και των συσχετιζόμενων γεγονότων. Παράδειγμα. Σε μία καταιγίδα ενδιαφέρον παρουσιάζει η έντασή της ω και η διάρκειά της τ. Έτσι, ο δειγματοχώρος περιλαμβάνει άπειρα σημεία S={ω,τω<Ω max, τ<t max }.

10 9 Ένα απλό γεγονός σε μία καταιγίδα είναι η πλημμύρα, δηλαδή, η ποσότητα της βροχόπτωσης ξεπερνά την μέγιστη ποσότητα αποστράγγισης στην περιοχή. Αν το γινόμενο ωτ μετρά την ποσότητα βροχόπτωσης σε μία καταιγίδα ενώ η ω Ω max S Α πλημμύρα ωτ=h Τ max τ Σχήμα.3. Το πείραμα της καταιγίδας και η πλημμύρα δυνατότητα αποστράγγισης είναι h, το γεγονός Α είναι το σύνολο βλέπε Σχήμα.3. Α={ω, τ ωτ>h},. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ.. Πράξεις Γεγονότων Υπάρχουν πολλοί τρόποι με τους οποίους σχετίζονται τα γεγονότα ενός δειγματοχώρου. Συχνά, ενδιαφερόμαστε να περιγράψουμε νέα γεγονότα, συνδυάζοντας άλλα υπάρχοντα γεγονότα. Αφού τα γεγονότα είναι σύνολα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πράξεις συνόλων όπως συμπλήρωμα, ένωση, τομή, διαφορά, κ.τ.λ., για να σχηματίσουμε άλλα γεγονότα που μας ενδιαφέρουν. Συμπλήρωμα: Το συμπληρωματικό ενός γεγονότος Α σε ένα δειγματικό χώρο S είναι το σύνολο των δειγματοσημείων του S τα οποία δεν ανήκουν στο Α. Συμβολίζουμε το συμπληρωματικό του Α με. Περιεκτικότητα: Για δύο γεγονότα Α και Β τα οποία ανήκουν στον ίδιο δειγματικό χώρο S, λέμε ότι το Α περιέχει το Β, αν κάθε δειγματοσημείο του Β ανήκει και στο Α. Συμβολίζουμε ΒΑ. Σε μία εκτέλεση του πειράματος αν

11 0 πραγματοποιείται το Β σίγουρα πραγματοποιείται και Α. Ισότητα: Για δύο γεγονότα Α και Β, τα οποία ανήκουν στον ίδιο δειγματικό χώρο S, ισχύει η ισότητα, Α=Β, αν ΒΑ και ΑΒ. Δηλαδή, κάθε δειγματοσημείο του Α είναι δειγματοσημείο του Β και το αντίστροφο. Τα γεγονότα Α και Β λέγονται και ισοδύναμα, διότι σε μία εκτέλεση του πειράματος είτε πραγματοποιούνται και τα δύο μαζί ή δεν πραγματοποιείται κανένα. Με βάση τον ορισμό της ισότητας ισχύει S,, {} {}, S S,, {}, S. S S S Α Β B α συμπλήρωμα, β περιεκτικότητα ΒΑ γ ισότητα, Α=Β Σχήμα.4. Σχεδιαγράμματα Venn Ένωση: Αν Α και Β είναι δύο γεγονότα του ίδιου δειγματικού χώρου S, ορίζουμε σαν ένωση των Α και Β το γεγονός Γ, το οποίο περιέχει δειγματοσημεία που ανήκουν στο Α ή στο Β ή και στα δυο, και γράφουμε Γ=ΑΒ. Σε μία εκτέλεση του πειράματος τύχης, το γεγονός Γ συμβαίνει εάν και μόνον εάν συμβεί τουλάχιστον ένα από τα δύο γεγονότα Α ή Β, βλέπε Σχήμα.5. Παραδείγματος χάριν, σε ένα εργοτάξιο σχετικά με τα αποθέματα τσιμέντου και άμμου, συμβολίζουμε με Α και Β τα γεγονότα ότι κάποια μέρα παρατηρείται έλλειμμα τσιμέντου και άμμου αντίστοιχα. Το γεγονός ότι κάποια μέρα παρατηρείται έλλειμμα είτε σε τσιμέντο ή σε άμμο ή μπορεί και στα δύο εκφράζεται με την ένωση ΑΒ. Με βάση τον παραπάνω ορισμό ισότητας και συμπλήρωμα ισχύει S S,, {}, S,,

12 όπου στην τελευταία ισότητα η ερμηνεία είναι ότι το συμπλήρωμα του συμπληρώματος του Α είναι το ίδιο το Α. Η ένωση μπορεί να επεκταθεί για τρία ή και περισσότερα γεγονότα, ΑΒΓ. Τομή: Αν Α και Β είναι δύο γεγονότα του ίδιου δειγματικού χώρου S, ορίζουμε σαν τομή των Α και Β το γεγονός Γ το οποίο περιέχει δειγματο σημεία που ανήκουν και στο Α και στο Β, και γράφουμε Γ=ΑΒ. Σε μία εκτέλεση του πειράματος τύχης, το γεγονός Γ συμβαίνει εάν και μόνον εάν συμβούν ταυτόχρονα τα δύο γεγονότα Α και Β, βλέπε Σχήμα.5. Παραδείγματος χάριν, στο παραπάνω εργοτάξιο σχετικά με τα αποθέματα τσιμέντου και άμμου, Το γεγονός ότι κάποια μέρα παρατηρείται έλλειμμα και στα δύο, και σε τσιμέντο και σε άμμο, εκφράζεται με την τομή ΑΒ. Σαν άλλο παράδειγμα, μπορούμε να θεωρήσουμε την βλάβη στην κεντρική γραμμή ηλεκτροδότησης. Αν Α είναι το γεγονός βλάβης σε κάποιο σημείο από την μονάδα παραγωγής μέχρι το 0 ο χιλιόμετρο και Β το γεγονός βλάβης από το 8 ο μέχρι το 5 ο χιλιόμετρο, η τομή ΑΒ παριστάνει την βλάβη από το 8 ο μέχρι το 0 ο χιλιόμετρο. Με βάση τους ορισμούς των παραπάνω πράξεων ισχύει S,, {} {}, {}, S. Τέλος, Η τομή μπορεί να επεκταθεί για τρία ή και περισσότερα γεγονότα, ΑΒΓ. Διαφορά: Αν Α και Β είναι δύο γεγονότα του ίδιου δειγματικού χώρου S, ορίζουμε σαν διαφορά Α-Β το γεγονός Γ το οποίο περιέχει δειγματοσημεία που ανήκουν στο Α και όχι στο Β, και γράφουμε Γ=Α-Β. Σε μία εκτέλεση του πειράματος τύχης, το γεγονός Γ συμβαίνει εάν και μόνον εάν συμβεί το Α και όχι το Β, βλέπε Σχήμα.5. S S S Α Β Α Β Α Α-Β. Β Γ=ΑΒ Γ=ΑΒ Γ=Α-Β. Σχήμα.5. Πράξεις γεγονότων Α, Β.

13 Συνήθως, η διαφορά Α-Β καλείται μόνον Α, διότι περιέχει δειγματοσημεία που ανήκουν μόνον στο σύνολο Α. Επίσης, ένας ισοδύναμος συμβολισμός της διαφοράς είναι η τομή B... Ασυμβίβαστα γεγονότα ή αμοιβαίως αποκλειόμενα Τέλος, από τους παραπάνω κανόνες ενδιαφέρων παρουσιάζει η περίπτωση όπου η τομή δύο γεγονότων δεν περιέχει κανένα δειγματοσημείο. Παραδείγματος χάριν αν Α, Β συμβολίζουν τα γεγονότα ότι κάποιος θα ταξιδέψει από Θεσσαλονίκη για Αθήνα με αεροπλάνο ή αυτοκίνητο, αντίστοιχα, η τομή των δύο γεγονότων είναι το κενό σύνολο, δηλαδή, το αδύνατο γεγονός. Ακόμη άλλο παράδειγμα, αν δύο γεγονότα παριστάνουν ότι ένα αυτοκίνητο σε μία διασταύρωση θα στρίψει αριστερά ή δεξιά, αντίστοιχα, η τομή τους δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί. Ορισμός: Δύο γεγονότα Α και Β οριζόμενα σε ένα δειγματικό χώρο είναι αμοιβαία αποκλειόμενα ή ασυμβίβαστα εάν η πραγματοποίηση του ενός αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου. Αυτό σημαίνει ότι τα δύο γεγονότα δεν έχουν κανένα κοινό δειγματοσημείο, B, άρα δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν μαζί σε μία εκτέλεση του πειράματος. Σε ένα σχεδιάγραμμα Venn εύκολα διακρίνει κανείς τα ασυμβίβαστα γεγονότα, δεν έχουν κανένα κοινό δειγματοσημείο και είναι δύο σύνολα ξένα μεταξύ τους, βλέπε Σχήμα.6 β. Παράδειγμα.3 Ένα μεγάλο αντλιοστάσιο έχει δύο ηλεκτρικές αντλίες Α και Α εν παραλλήλω και μία τρίτη ηλεκτρική αντλία όπως φαίνεται στο Σχήμα.6. Εάν Ν, Ν, Ν 3 είναι ένα δυάνυσμα στον τριδιάστατο χώρο, όπου Ν κ = εάν η Α κ αντλία αποτυγχάνει, και Ν κ =0 σε άλλη περίπτωση, ο δειγματικός χώρος αποτελείται από 8 δειγματοσημεία S={0,0,0, 0,0,, 0,,0,0,0,,,,0,,0,, 0,,,,,}. Το σύστημα λειτουργεί αν αντλεί η Α3 και μία τουλάχιστον από τις Α και Α, συμβολίζουμε το γεγονός αυτό με Β. Ακόμη, το σύστημα αποτυγχάνει αν δεν λειτουργεί η Α3 ή δεν λειτουργούν και οι δύο παράλληλες αντλίες, συμβολίζουμε το γεγονός αυτό με Β,

14 3 Β={0,0,0, 0,,0,,0,0} Β={0,0,,,,0,,0,, 0,,,,,}. Α Α Α3 Αντλιοστάσιο Υδραγω γείο S 0,0, B 0,,,0,,,,,0 0,,0,0,0 0,0,0 B α Σύστημα άντλησης νερού β σχεδιάγραμμα Venn, ΒΒ= Σχήμα.6. Γραφικές παραστάσεις παραδείγματος.3. Τα γεγονότα Β και Β είναι αμοιβαίως αποκλειόμενα, διότι ΒΒ=, ή όπως αλλιώς λέγεται ασυμβίβαστα γιατί δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν και τα δύο μαζί...3 Κανόνες Πράξεων Γεγονότων Αφού τα γεγονότα είναι σύνολα, οι κανόνες ή ιδιότητες των πράξεων στα σύνολα διέπουν και τις πράξεις των γεγονότων. Οι σπουδαιότερες ιδιότητες στις πράξεις γεγονότων είναι οι ακόλουθες, Αντιμεταθετική: Η ένωση και η τομή των γεγονότων είναι αντιμεταθετικές πράξεις, ΑΒ=ΒΑ, ΑΒ=ΒΑ. Προσεταιριστική: Η ένωση και η τομή των γεγονότων είναι προσεταιριστικές πράξεις, ΑΒΓ=ΑΒΓ, ΑΒΓ=ΑΒΓ. Επιμεριστική: Η ένωση και η τομή των γεγονότων είναι επιμεριστικές πράξεις, ΑΒΓ=ΑΓΒΓ, ΑΒ Γ=Α Γ ΒΓ. Η προτεραιότητα για τις πράξεις της ένωσης και τομής είναι όμοια με την

15 4 ιεράρχηση της πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού σε μία αλγεβρική έκφραση. Έτσι, προτεραιότητα έχουν οι πράξεις γεγονότων μέσα στις παρενθέσεις και ακολουθούν οι πράξεις της τομής και ένωσης με την σειρά που αναφέρονται. Παρατήρηση Πρέπει να τονισθεί ότι οι πράξεις αριθμών στην άλγεβρα δεν έχουν καμία σχέση με την ένωση, τομή ή διαφορά γεγονότων, για παράδειγμα, ΑΑ=Α, ενώ στο γινόμενο δύο αριθμών αα=α α, ΑΒΒΓ=ΑΒΒΒΑΓΒΓ=ΑΓΒ, ενώ α+ββ+γ=αβ+αγ+β +βγαγ+β, Α-Β Β=ΑΒ, ενώ α-β+β=α. Η απόδειξη είναι προφανής αν χρησιμοποιήσει κανείς τον ορισμό της ισότητας δύο γεγονότων. Ο νόμος De Morgan μπορεί να επεκταθεί για περισσότερα των δύο γεγονότα, n n n n , η δε απόδειξη θα μπορούσε να γίνει με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Τέλος, αν λάβουμε υπ όψιν ότι, είναι προφανής και η ακόλουθη σχέση, n n Από τις παραπάνω πράξεις και κανόνες εύκολα καταλήγει κανείς στην δυική αρχή, η οποία δηλώνει ότι το συμπλήρωμα ενώσεων και τομών ισούται με τις τομές και ενώσεις των συμπληρωματικών τους, παράδειγμα.. Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ B B B B B B B Παράδειγμα.4 Νόμος De Morgan: Εδώ έχουμε πράξεις τομής και ένωσης μεταξύ γεγονότων και των συμπληρωματικών τους, B B B B η,..

16 5 Στο παράδειγμα.4 το νερό φθάνει στο υδραγωγείο από το αντλιοστάσιο βλέπε Σχήμα.6, α. Συμβολίζουμε με Α, Α, Α 3, τα γεγονότα ότι οι αντίστοιχες αντλίες διακόπτουν την άντληση λόγω βλάβης. Το γεγονός ότι η παροχή νερού στο υδραγωγείο διακόπτεται, Δ, εκφράζεται με τις εξής πράξεις γεγονότων, Δ, 3 δηλαδή, το γεγονός Δ συμβαίνει αν η Α3 διακόπτει την άντληση ή και οι δύο αντλίες Α, Α δεν αντλούν νερό. Το γεγονός ότι το αντλιοστάσιο παρέχει νερό στο υδραγωγείο, Δ, συμβαίνει αν δεν διακόπτει την άντληση η Α3 και τουλάχιστον μία από τις Α και Α. Δηλαδή, η παροχή νερού στο υδραγωγείο εκφράζεται με την ακόλουθη άλγεβρα γεγονότων, Δ. 3 Όμως, μπορούμε να καταλήξουμε στην ίδια άλγεβρα γεγονότων για το Δ, αν πάρουμε το συμπληρωματικό της άλγεβρας γεγονότων του Δ, σύμφωνα με τον νόμο De Morgan, Δ 3 3. Παράδειγμα.5 Για την κατασκευή ενός μεγάλου εργοστασίου διακρίνουμε τρεις φάσεις: πρώτον θεμελίωση, δεύτερον δόμηση, τρίτον ηλεκτρολογική εγκατάσταση. Συμβολίζουμε με Θ, Δ και Η τα γεγονότα καθυστέρησης θεμελίωσης, δόμησης και ηλεκτρικής εγκατάστασης αντίστοιχα. Να εκφραστούν με συμβολισμό συνόλων τα γεγονότα ότι το εργοστάσιο ολοκληρώνεται α χωρίς καθυστέρηση, β με καθυστέρηση μόνον μίας φάσης, γ το πολύ με καθυστέρηση δύο φάσεων. Απάντηση: α Η ένωση των γεγονότων Θ, Δ και Η συμβολίζει το γεγονός της καθυστέρησης του εργοστασίου. Το συμπλήρωμα της ένωσης, προφανώς, συμβολίζει την ολοκλήρωση του έργου άνευ καθυστέρησης, {χωρίς καθυστέρηση}= Θ Δ H β Εδώ, πρέπει να πάρουμε την ένωση των γεγονότων να καθυστερήσει μόνον η θεμελίωση, μόνον η δόμηση, μόνον η ηλεκτρική εγκατάσταση, δηλαδή,

17 6 {καθυστέρηση μόνον μίας φάσης}= Θ Δ Η Δ Θ Η Η Θ Δ, S Θ Δ S Θ Δ S Θ-ΗΔ Δ-ΘΗ ΗΘΔ Θ Δ Η Η Η-ΔΘ Η H Θ Δ α το έργο καθυστερεί β μόνο μία φάση καθυστερεί γ μέχρι δύο φάσεις Σχήμα.7. Διαγράμματα Venn, Παράδειγμα.6. ή εναλλακτικά {καθυστέρηση μόνον μίας φάσης}= H Θ Δ H Θ Δ H Θ Δ, ή {καθυστέρηση μόνον μίας φάσης}= H Θ Δ Θ H Δ Δ H Θ. γ Το γεγονός αυτό σημαίνει όχι και τα τρία γεγονότα μαζί, H Θ Δ..3 ΧΩΡΟΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ-ΔΥΝΑΜΟΣΥΝΟΛΟ Ορισμός: το σύνολο ή η συλλογή από όλα τα δυνατά γεγονότα του δειγματοχώρου S ορίζεται σαν χώρος γεγονότων ή δυναμοσύνολο και συμβολίζεται με S *. Ο χώρος αυτός έχει τις εξής βασικές ιδιότητες: S S * ν S * S * ν S * και S * S *, S *,

18 7 - S *. Αν ένας δειγματοχώρος S περιέχει n δειγματοσημεία, τότε όλα τα στοιχεία του S *,δηλαδή, όλα τα δυνατά γεγονότα του δειγματοχώρου είναι n, ΝS * = n Παράδειγμα.6 Στη ρίψη ενός νομίσματος, ο δειγματοχώρος του πειράματος είναι S={Κ,Γ}. Όλα τα γεγονότα που μπορούν να ορισθούν σε αυτό το πείραμα είναι τα υποσύνολα του S, όπως {Κ}, {Γ}, {Κ,Γ} και Ø. Το δυναμοσύνολο S * περιέχει =4 διαφορετικά υποσύνολα S * ={ { }, {Κ}, {Γ}, {Κ,Γ}}. Ενώ το S περιέχει όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος τύχης, ο χώρος γεγονότων ή δυναμοσύνολο S * περιέχει το S και όλα τα δυνατά υποσύνολα ή γεγονότα που ορίζονται συνδυάζοντας τα αποτελέσματα του πειράματος..4. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι η έκφραση της βεβαιότητας πραγματοποίησής του. Επί πλέον, μία πιθανότητα είναι ένας αριθμός ο οποίος ξεκινά από το μηδέν, για ένα γεγονός το οποίο δεν μπορεί να συμβεί, και φθάνει στο ένα,για ένα γεγονός που είναι σίγουρο ότι θα συμβεί. Αλλά, πώς προσδιορίζουμε τον αριθμό πιθανότητας στα άλλα γεγονότα; Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από την δική μας ερμηνεία της πιθανότητας. Παρόλα που υπάρχουν διάφορες έννοιες και ορισμοί για την πιθανότητα στις διάφορες επιστήμες, όλοι συμφωνούν ότι ο αριθμός πιθανότητας ή η πιθανότητα ενός γεγονότος μπορεί να προσδιορισθεί με την θεωρία κλασσικής πιθανότητας, σχετικής συχνότητας, και υποκειμεν ικής πιθανότητας.. Η Θεωρία κλασσικής πιθανότητας εφαρμόζεται μόνο σε πειράματα τύχης όπου ο δειγματοχώρος S αποτελείται από εξίσου πιθανά δειγματοσημεία. Σε τέτοια πειράματα τύχης, βασική αρχή της κλασσικής θεωρίας είναι ότι κανένα αποτέλεσμα του πειράματος δεν είναι πιθανότερο του άλλου. Με βάση αυτή την αρχή, όλα τα δυνατά αποτελέσματα του S έχουν την ίδια πιθανότητα πραγματοποίησης. Για παράδειγμα, στην ρίψη ενός ζαριού, καμία ένδειξη δεν είναι πιθανότερη της άλλης, και κατά συνέπεια η πιθανότητα εμφάνισης οιοδήποτε αριθμού έως 6 είναι /6. Γενικά, σε ένα πείραμα τύχης με n ισοπίθανα δειγματοσημεία,

19 8 S={s, s,, s n }, η πραγματοποίηση του s i είναι το ίδιο πιθανή με την πραγματοποίηση οιοδήποτε άλλου ενδεχομένου s j. Στην περίπτωση αυτή η κλασσική θεωρία ορίζει σαν πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου s i, s i, το /n. Κατ επέκταση, αν ένα γεγονός Α r του δειγματικού χώρου S περιέχει κ δειγματοσημεία, Α r ={ s r, s r,, s rk }, ως πιθανότητα πραγματοποίησης του ορίζεται ο λόγος κ/n. Η παραπάνω ανάλυση οδηγεί σε ένα απλό και κλασσικό ορισμό της πιθανότητας. Κλασσικός ορισμός της πιθανότητας: Εάν ένα πείραμα τύχης έχει ΝS ισοπίθανα αποτελέσματα, η πιθανότητα πραγματοποίησης ενός γεγονότος Α του S, το οποίο περιέχει ΝΑ δειγματοσημεία, συμβολίζεται με και είναι ο λόγος του ΝΑ προς ΝS, N.. NS Παράδειγμα.7 Στην ρίψη ενός ζαριού, αν Α είναι το γεγονός ότι έχουμε ένδειξη ζυγού αριθμού, Α={,4,6}, και Β είναι το γεγονός ότι η ένδειξη είναι μικρότερη του 5, Β={,,3,4}, οι αντίστοιχες πιθανότητες πραγματοποίησης των Α και Β κατά την ρίψη του ζαριού είναι N 3, N S 6 N B 4 B. N S 6 3 Παράδειγμα.8 Στην ρίψη ενός νομίσματος τρεις φορές, ο δειγματοχώρος του πειράματος τύχης S έχει 8 ισοπίθανα δειγματοσημεία, S={ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ, ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}. Αν Α είναι το γεγονός ότι έχουμε δύο Κεφαλές και ένα Γράμμα, Α={ ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ}, τότε στην ρίψη ενός νομίσματος 3 φορές η πιθανότητα πραγματοποίησης του γεγονότος Α είναι

20 9 N 3. N S 8 Παρατηρήσεις Είναι πολύ σημαντικό να τονίσουμε ότι η κλασσική θεωρία βασίζεται στην υπόθεση ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος τύχης είναι απόλυτα ισοπίθανα και εφαρμόζεται όταν ικανοποιείται πλήρως. Έτσι, δεν δημιουργείται καμία δυσκολία όταν αναφερόμαστε σε ένα μη δολιοευμένο ζάρι, νόμισμα ή αξιόπιστο τροχό ρουλέτας, όπου όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι απόλυτα ισοπίθανα. Στόν πραγματικό κόσμο όμως τα δυνατά αποτελέσματα των πειραμάτων αυτών μπορεί να μην είναι ακριβώς ισοπίθανα. Για αυτό, η υπόθεση του απόλυτα ισοπίθανα θα προκαλέσει κάποια απόκλιση από την πραγματική πιθανότητα. Ακόμη, σε ένα δολιοευμένο ζάρι, νόμισμα ή μη τίμιο τροχό ρουλέτας η κλασσική θεωρία οδηγεί σε λάθος εκτίμηση πιθανότητα. Στις περιπτώσεις αυτές συνιστάται η θεωρία της σχετικής συχνότητας, όπως αναφέρεται στην επόμενη παράγραφο. B Στα παραδείγματα που αναφέρθηκαν μέχρι τώρα εύκολα απαριθμήθηκαν όλα τα δειγματοσημεία του δειγματικού χώρου S και όλοι οι δυνατοί τρόποι ευνοϊκά δειγματοσημεία με τους οποίους συμβαίνει το γεγονός Α. Υπάρχουν όμως περισσότερο σύνθετες περιπτώσεις όπου η απαρίθμηση όλων των δειγματοσημείων του S και Α απαιτεί πιο συστηματικές μεθόδους, όπως αναφέρονται στην παράγραφο της Συνδυαστικής. Στην περίπτωση όπου ο δειγματοχώρος S έχει ισοπίθανα αλλά άπειρα δειγματοσημεία, ο προσδιορισμός της κλασσικής πιθανότητας ενός γεγονότος Α του S ενδέχεται να είναι υπολογιστικά αδύνατος. Διότι, ενδέχεται το σύνολο Α να περιέχει σε μια τέτοια περίπτωση άπειρα δειγματοσημεία και ο λόγος των δύο πληθάριθμων ΝΑ προς ΝS είναι απροσδιόριστος. Παρόλα αυτά, η κλασσική πιθανότητα μπορεί να προσδιορισθεί, αν περιγράψουμε τον δειγματοχώρο S και το γεγονός Α κατά κάποιο τρόπο με πεπερασμένο αριθμό ισοπίθανων ομαδοποιημένων δειγματοσημείων. Παράδειγμα.9 Μία ράβδος μήκους α σπάει τυχαία σε οποιοδήποτε σημείο της. Ποια η πιθανότητα ότι το πρώτο κομμάτι της θα είναι μικρότερο από το δεύτερο; Το πείραμα τύχης συνίσταται στο ότι η ράβδος σπάει ισοπίθανα σε κάποιο σημείο της, ο δε δειγματοχώρος S περιέχει άπειρα ισοπίθανα δειγματοσημεία, ΝS=. Επίσης, το γεγονός Α ότι το πρώτο κομμάτι είναι μικρότερο από το δεύτερο είναι ισοδύναμο με το γεγονός ότι η ράβδος σπάει στο πρώτο ήμισυ. Έτσι, τα δειγματοσημεία που περιέχει το γεγονός Α

Βασικές Έννοιες Πιθανότητας. Πράξεις και Σχέσεις Γεγονότων. Χώρος Γεγονότων Δυναμοσύνολο. Αξιώματα και Θεωρήματα Πιθανότητας

Βασικές Έννοιες Πιθανότητας. Πράξεις και Σχέσεις Γεγονότων. Χώρος Γεγονότων Δυναμοσύνολο. Αξιώματα και Θεωρήματα Πιθανότητας Κεφάλαιο 2 Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες Πράξεις και Σχέσεις Γεγονότων Χώρος Γεγονότων Δυναμοσύνολο Η Έννοια της Πιθανότητας Αξιώματα και Θεωρήματα Πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1 Πειραματικά Μοντέλα Μοντέλα:» Καθοριστικά» (π.χ. ο νόμος του Ohm)» Στοχαστικά ή πιθανοτικά» (π.χ. ένταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Έννοια Τυχαίας Μεταβλητής. Συναρτήσεις Μάζας ή Πυκνότητας Πιθανότητας

Κεφάλαιο 4. Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Έννοια Τυχαίας Μεταβλητής. Συναρτήσεις Μάζας ή Πυκνότητας Πιθανότητας Κεφάλαιο 4 Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας Έννοια Τυχαίας Μεταβλητής Συναρτήσεις Μάζας ή Πυκνότητας Πιθανότητας Αθροιστική Συνάρτηση Πιθανότητας Μικτή Τυχαία Μεταβλητή Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ

και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ 7/10/010 ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΝ ένα αντιείμενο A1 μπορεί να επιλεγεί με k1 αι ένα αντιείμενο A μπορεί να επιλεγεί με k αι η ελογή του ενός απολείει την ταυτόχρονη ελογή του άλλου, ΤΟΤΕ ένα οποιοδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations .7 Διατάξεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν όταν επιλέγονται υποσύνολα που περιέχουν διακεκριμένα στοιχεία από ένα υπερσύνολο διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ δεν ενδιαφέρουν οι θέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ Θεοδόσης ηµητράκος e-mail: dimitheo@aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Ιανουάριος 2014 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Σειρά Θέμα Ι (ΟΛΑ) Θέμα ΙΙ (2 από τα 3) Βαθμός /1 /1 /1 /1 /1 /2,5 /2,5 /2,5 /10 ΘΕΜΑ Ι: Ασχοληθείτε και με τα πέντε ερωτήματα.

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

http://lisari.blogspot.com .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΟΜΙΚΩΝ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ Σ.Τ.Ε.Φ Τ.Ε.Ι. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ 008 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ I. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 26, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Πιθανότητες 2 2. Πείραμα τύχης.......................................... 2.. Πράξεις..........................................

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Page1 ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1.1 Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα i. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: 1. Προσδιορίζουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα