Απαντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Απαντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα)"

Λαυρέντιος Κουντουριώτης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 8 Μαΐου 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ααντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα) Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ.4 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 46, 47 Α.4 α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β B. f() = +, R Η f είναι αραγωγίσιμη στο R, ως ρητή, με: f ( ) = = = =

2 ( + ) > f ( + ) + f - + f( ) f() O.E. Αφού: ( ] f συνεχής στο, η f είναι γν. φθίνουσα στο, f < στο, [ ) ( ] f συνεχής στο, + η f είναι γν. αύξουσα στο, + f > στο, + f ( ) [ ) = η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο f < στο, στο =, το f ( ) = f > στο, + B. H f είναι αραγωγίσιμη στο R ως ρητή, με: f ( ) = = ( ) ( ) ( ) = = = ( ) ( + ) 4 4 ( + ) > f Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6

3 + f ( ) f( ) Σ.Κ Σ.Κ Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 Αφού : f ( ) < στο,, η f είναι κοίλη στο, f ( ) > στο,, η f είναι κυρτή στο, f ( ) < στο, +, η f είναι κοίλη στο, + Η C αρουσιάζει δύο σημεία καμής, τα: f Α,f = Α, 4 9 f = = = = = B,f = B, 4 f = f = 4

4 B. Αφού η f ορίζεται και είναι συνεχής στο R, ελέγχω μόνο για ασύμτωτες στο και + : lim f ( ) = lim = lim = + lim f ( ) = lim = lim = Άρα η C έχει οριζόντια ασύμτωτη την ευθεία y = στο και στο + f B.4 Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 4

5 ΘΕΜΑ Γ Γ. e = Θέτω g = e Παρατηρώ g ( ) = e = = Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 + Η g αραγωγίζεται στο με g = e = e = e Παρατηρώ ότι e για κάθε διότι για κάθε, e γνησίως αύξουσα άρα e e e e για κάθε Το "=" ισχύει μόνο για = Οότε g' g ( ) - + g( ) H g είναι στο (,] άρα είναι - οότε το είναι η μοναδική ρίζα στο (,] H g είναι στο [, + ) άρα είναι - οότε το είναι η μοναδική ρίζα στο [, + ) Τελικά το είναι η μοναδικη ρίζα της g =,άρα της e = 5

6 ( Γ) Γ. f ( ) = ( e ) f( ) = e f( ) = g( ) Με g = e του (Γ) ερωτήματος Ό µως έδειξα ότι η g έχει ελάχιστο, το g = Ά ρα, g g = στο R και μηδενίζεται μόνο για =. Οό τε : f = e, για κάθε R. H f συνεχής στο R, οότε αό Συνέεια Θ. Bolzano η f διατηρεί σταθερό ρόσημο σε καθένα αό τα διαστήματα ου η μοναδική ρίζα χωρίζει το R. Ά ρα, έχω τις εξής εριτώσεις: ) f ( ) = e, για < f ( ) = e, για > f( ) = άρα: f = e, R ) f( ) = ( e ), για < f( ) = ( e ), για > f( ) = άρα: f = e + +, R ) f( ) = ( e ), για < f ( ) = e, για > f( ) = e + +, < άρα: f ( ) = e, Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 6

7 4) f = e, για < f( ) = ( e ), για > f( ) = Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 άρα: f Γ. < = + + f = e e, e, f = e = e f = e = e + e = e + e = = + e στο διότι e e = για κάθε To "=" ισχύει μόνο για = για κάθε To "=" ι + άρα e + > για κάθε f συνεχής στο,f > στο άρα η f είναι κυρτή στο Γ.4 σχύει μόνο για = [ ) [ + ) Θεωρ ώ την h = f + f,, + H h είναι αραγωγίσιμη στο, αραγωγισίμων, με:, ως σύνθεση και διαφορά h f f h f f = ( + ) ( + ) = ( + ) H f είναι γν. αύξουσα στο R, οότε: f : γν. αυξ. R [ + ) + f + f f + f h Άρα η h είναι γν. αύξουσα στο, άρα και στο,, οότε h:- 7

8 h: f ημ + f ημ = f + f h ημ = h ημ = = διό τι, ημ για κάθε R και το "=" ισχύει για = ΘΕΜΑ Δ Δ. ( ) ( ) f + f ηµ d = f ηµ d + f ηµ d = f ( ) ηµ d + f ( ) ηµ f ( )( ηµ ) d = f ηµ d + f ηµ f ηµ f συν d = f ( ) ηµ d f ( ) συν + f ( )( συν ) d = f ηµ d f συν + f συν + f ηµ d = f ηµ d + f + f f ηµ d = f + f = = ηµ f Θέ τω g ( ) = με lim g ( ) = ( ) και την g ( ) να ορίζεται κοντά ηµ στο, άρα: f g Όμως η f είναι συνεχής ως αραγωγίσιμη, άρα και συνεχής στο, οότε: f = lim f = lim g ημ = lim g lim ημ = = f Τελικά : = f ( ) = f( + ) f() = Για τα κοντά στο, έχουμε: f( ) f( ) f f( ) = = () ηµ ηµ ηµ Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 8

9 Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 H f είναι αραγωγίσιμη, άρα αραγωγίσιμη και στο, οότε: f f lim = f ( ) ( 4) ημ lim = ( 5) f( ) f( ) f( ) f( ) ( ) ( 4,5 ) ( 4,5 f lim ) f ( ) lim = lim = = = f ( ) = ημ ημ ημ lim Δ. α) ( ) + = + f e f f e, για κάθε f( ) f( ) ( ) Τότε: e f f e e f f f f e + = + + = + f( ) ( ( )) = = f e f f f f e f e f f e () Έστω ότι η f αρουσιάζει ακρότατο στο. Αφού είναι αραγωγίσιμη στο είναι αραγωγίσιμη και στο άρα αο θεώρημα Fermat, θα ισχύει: ( ) f = () Η για = : ( ( )) () f f e f f = e = e e = e = e = δηλαδή () f = ΑΤΟΠΟ, διότι f = Άρα η f δεν αρουσιάζει ακρότατα στο β) f, για κάθε R και f συνεχής στο R, ως αραγωγίσιμη, άρα αό συνέεια του θεωρήματος Bolzano, η f διατηρεί ρόσημο στο R και ειλέον ισχύει: f = >, άρα: f > για κάθε R, οό τε η f είναι γν. αύξουσα στο R. 9

10 Δ. ημ + συν lim f + + Αφού το σύνολο τιμών της f είναι f R =R και f γνησίως αύξουσα θα ισχύει: lim f Οότε : lim = + f = + Άρα lim = lim = + f( ) + f( ) ημ = ημ f f( ) ημ = ημ ημ f f f f f f Αό ( ),( ) ισχύει κριτήριο αρεμβολής, άρα: lim ημ + = f( ) Ομοίως: lim συν 4 + = f( ) + ημ + συν lim = lim ημ + συν f f f + ( ) = ( 4) lim ημ lim συν f( ) + = + f( ) + Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6

11 Δ.4 e f ln d θέτω ln = u = e d = u e du e u Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 ln = u f ( u) f ln e u άρα d = e du f u ( u) du = e [ ] αρκεί να δείξω ότι < f u du < f συνεχής στο, f στο άρα και στο [, ] οότε αό Θ. Μέγιστης Ελάχιστης Τιμής έχει ελάχιστο το f = αό Δ και μέγιστο το f αό Δ άρα f για κάθε,, άρα f για κάθε, όμως το "=" ισχύει μόνο για άρα f δεν είναι αντο = [ ] [ ] = ύ μηδέν στο [, ] οότε f d > () [ ] Ομοίως f στο, όμως το "=" ισχύει μόνο για = άρα f δεν είναι αντού μηδέν στο, οότε ( f ( ) ) d > f ( ) d < d f ( ) d < () (), () < f d < [ ]

Σχετικά έγγραφα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)