BIOREAKCIJSKA TEHNIKA II Interna skripta Autor: Dr. sc. Ana Vrsalović Presečki, doc.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BIOREAKCIJSKA TEHNIKA II Interna skripta Autor: Dr. sc. Ana Vrsalović Presečki, doc."

Transcript

1 Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za reakcijsko inženjerstvo i katalizu BIOREAKCIJSKA TEHNIKA II Interna skripta Autor: Dr. sc. Ana Vrsalović Presečki, doc. Svibanj, 2013

2 Zahvaljujem se prof dr.sc. Đurđi Vasić-Rački na poticaju, potpori i korisnim savjetima koji su oblikovali konačan izgled ove skripte. Molila bih studente, ukoliko naiđu na pogeške u ovoj skripti da mi se jave na mail avrsalov@fkit.hr.

3 SADRŽAJ 1. BIOPROCESI UPOTREBA CIJELIH STANICA U BIOPROCESIMA PRODUKTI DOBIVENI KORIŠTENJEM CIJELIH STANICA MIKROORGANIZAMA UZGOJ MIKROORGANIZAMA Uvjeti za rast mikroorganizama Krivulja rasta mikroorganizma METABOLIZAM STANICE Regulacija biosinteze primarnih i sekundarnih metabolita KINETIKA RASTA MIKROORGANIZMA MONOD-OV MODEL MIKROBNOG RASTA UTJECAJ PRODUKTA NA BRZINU RASTA MIKROORGANIZMA MONODOV MODEL RASTA UZ INHIBICIJU SUPSTRATOM RAST U PRISUSTVU VIŠE IZVORA UGLJIKA KINETIKA POTROŠNJE SUPSTRATA KINETIKA NASTAJANJA PRODUKTA KONTINUIRANI UZGOJ MIKROORGANIZAMA Bilanca tvari u kemostatu Kontinuirani uzgoj mikroorganizama s povratnim tokom biomase Kontinuirani uzgoj mikroorganizama u bioreaktorima povezanim u seriju Produkti mikrobnog metabolizma u kontinuiranom procesu OCJENA USPJEŠNOSTI MIKROBNIH PROCESA Prinos produkta Koeficijent ili stupanj konverzije osnovnog supstrata Produktivnost BIOREAKTORI RAZLIKA KEMIJSKIH REAKTORA I BIOREAKTORA IZBOR BIOREAKTORA Utjecaj prirode proizvodnog mikroorganizma Utjecaj osobina hranjive podloge Utjecaj parametara procesa OBLICI BIOREAKTORA Bioreaktori s mehaničkim miješanjem Bioreaktori sa cirkulacijom i miješanjem pomoću pumpe Bioreaktori u kojim se podloga miješa sa zrakom AERACIJA U BIOREAKTORMA Mjerenje koncentracije otopljenog kisika Međufazni prijenos mase kisika Osnovne teorije međufaznog prijenosa mase kisika Metode određivanja ukupnog volumnog koeficijenta prijenosa kisika TEHNIKE IZVOĐENJA BIOPROCESA PRAĆENJE BIOPROCESA Mjerni instrumenti Mjerenja u biotehnologiji PROCESI IZOLACIJE I SEPARACIJE BIOPRODUKATA PROCESI PRI IZDVAJANJU MIKROBNIH STANICA Koagulacija i flokulacija Filtracija Centrifugiranje POSTUPCI IZDVAJANJA PRODUKATA IZ BIOMASE Fizičke metode Kemijske metode Biološke metode KONCENTRIRANJE I PROČIŠĆAVANJE PRODUKATA Ekstrakcija... 70

4 Membranski procesi Taloženje Adsorpcija Kromatografija SUŠENJE Sustavi za sušenje suspenzija i otopina Sublimacijske sušnice - liofilizacija MIKROBNI PROCESI SA IZOLACIJOM PRODUKTA IN SITU Vakuum fermentacija Ekstraktivna fermentacija Fermentacija sa procesom adsorpcije "in situ" LITERATURA POPIS SIMBOLA... 92

5 1. Bioprocesi 1. BIOPROCESI Mikroorganizmi su prepoznati i iskorištavani već odavnina. Još su Babilonci i Sumerani koristili kvasac za pripravu alkohola. Sredinom devetnaestog stoljeća Louis Pasteur je shvatio ulogu mikroorganizama u fermentiranju hrane, vinu, alkoholu, pićima, siru, mlijeku, jogurtu, te drugim produktima. Identificirao je mnoge mikrobiološke procese, te je otkrio principe fermentacije što uključuje da mikrobi trebaju supstrat za proizvodnju primarnih i sekundarnih metabolita kao i krajnih produkata. U novije doba proširena primjena bioprocesa je stvorila priliku za inženjere da prošire polje biotehnologije. Tako se danas većina bioloških i farmaceutskih produkata proizvodi u dobro opisanim industrijskim procesima. Na primjer bakterije mogu proizvesti većinu aminokiselina koje se upotrebljavaju u hrani ili medicini. Bioproces je glavni dio biotehnološkog proizvodnog postupka u kojem se sirovine djelovanjem biokatalizatora kemijski transformiraju u produkt. Biokatalizatori se mogu koristiti kao izolirani i pročišćeni ili u obliku cijelih stanica. Bioproces se u industrijskoj proizvodnji provodi na dva načina: 1) pojedinačni bioproces sa enzimima kao katalizatorima i 2) bioproces u složenim sistemima sa mikroorganizmima Kod enzimske katalize supstrat se najčešće transformira u produkt bez sporednih produkata, jer je katalizator strogo specifičan. Proces se najčešće odvija u jednom ili dva reakcijska stupnja, te se dobiva produkt koji je strukturno sličan supstrat. Ovi procesi se nazivaju i biotransformacije. Kod katalize s mikroorganizmima bioproces se najčešće sastoji od više uzastopnih biotransformacija, te se tada radi o biosintezi. U ovom slučaju pored glavnog, nastaju i sporedni produkti, jer su stanice složeni sustavi u kojima se nalazi veliki broj biokatalizatora. S inženjerskog aspekta, prostor u kojem se odvija bioproces može se gledati kao reaktor, koji se, kako je proces kataliziran biološkim katalizatorima, naziva bioreaktor. Enzimski kataliziran bioproces u bioreaktoru je analogan kemijski kataliziranom procesu u kemijskom reaktoru, s tim što je prvi strogo selektivan i daje jedan produkt, zbog čega je njegova industrijska realizacija jednostavnija (npr. nema separacije željenog produkta od sporednih itd.). Bioproces u stanicama, zbog mnogobrojnih reakcija u metabolizmu stanice, znatno je složeniji od enzimski kataliziranog bioprocesa. Većina izoliranih enzima koji se upotrebljavaju u industrijskim mjerilima su izvanstanični produkti mikroorganizama. To je zbog toga što ih je lako izolirati iz fermentacijske komine, te što su otporniji na promjene uvjeta u okolišu od unutarstaničnih enzima. No, 90 % enzima koje stanice proizvode su unutarstanični. Njihovo ekonomsko iskorištavanje, unatoč činjenici da imaju veliki biokatalitički potencijal, limitirano je visokom cijenom njihove izolacije. Naime, potrebno je upotrijebiti vrlo precizne i skupe metode da se enzimi izoliraju iz stanice neoštećeni. Također, u usporedbi sa izvanstaničnim enzimima oni su značajno nestabilniji, te je njihova koncentracija unutar stanice relativno mala. Ovi problemi se mogu prevladati upotrebom cijelih stanica kao izvorom intracelularnih (unutarstaničnih) enzima. Naime, osim što se upotrebom cijelih stanica izbjegava dug i skup proces pročišćavanja, enzim se čuva u svom prirodnom okruženju čime se smanjuje mogućnost njegove inaktivacije UPOTREBA CIJELIH STANICA U BIOPROCESIMA Cijele stanice mogu služiti kao nosilac biokatalizatora, posebno u reakcijama u kojim je nužna upotreba više enzima (npr. proizvodnja sekundarnih metabolita kao penicilina ili cefalosporina). Tu se radi o tzv. fermentacijskim procesima (biosintezi), a ne o 1

6 1. Bioprocesi biotransformacijama. Nedostatak upotrebe cijelih stanica je difuzija supstrata i produkata kroz staničnu membranu, te neželjene sporedne reakcije zbog prisutnosti drugih enzima u stanici. Jedan od načina uklanjanja problema s difuzijom je upotreba permeabiliziranih stanica. Stanice se mogu permeabilizirati upotrebom fizikalnih (zaleđivanjem i otapanjem), kemijskih (organska otapala i detergenti) i enzimatskih (lizozim, papain) metoda. Najčešće se upotrebljava kemijska tehnika pri kojoj se koriste organska otapala kao što su toluen, kloroform, etanol i butanol ili detergenti koji mogu biti ionski (CTAB, SDS) i neionski (natrijev deoksilat, digitonin, TRITON X-100, Tween 80). Kemijskim tretiranjem se stvaraju malene pore, koje nastaju uklanjanjem pojedinih lipida iz stanične membrane. Na taj se način omogućava slobodan prolaz produktima i supstratima male molekulske mase, dok makromolekule kao enzimi ostaju unutar stanice. Iz permeabilizirane stanice se tako uklanjaju male molekule kao koenzimi i metalni ioni, koji su nužni za katalitičko djelovanje većine enzima, što umanjuje mogućnost neželjenih sporednih reakcija. Na primjer stanica kvasca koja sadrži intracelularnu β-galaktozidazu konvertira laktozu u etanol i CO 2, dok ista, ali permeabilizirana stanica konvertira laktozu samo u glukozu i galaktozu zbog nedostatka koenzima. Djelovanje sporednih reakcija zbog prisutnosti drugih enzima u stanici može se umanjiti inaktivacijom tih enzima fizikalnim (grijanje) ili kemijskim tretiranjem (uvođenjem inhibitora karakterističnog za pojedini enzim). Neki od primjera primjene permeabiliziranih stanica u industriji su proizvodnja L-aspartatne kiseline uz aspartazu iz Escherichia coli, te proizvodnja L-jabučne kiseline fumarazom iz Brevibacterium flavus PRODUKTI DOBIVENI KORIŠTENJEM CIJELIH STANICA MIKROORGANIZAMA Biotehnologija sudjeluje u svim bitnim segmentima materijalne proizvodnje koji su od egzistencijalnog značaja za čovjeka. To uključuje proizvodnju hrane, lijekova kemikalija, energenata itd. Specijalizirana područja biotehnologije našla su primjenu u medicini, agronomiji, elektronici, metalurgiji, zaštiti životne sredine, remedijaciji zagađenog zemljišta itd. Korištenjem cijelih stanica mikroorganizama možemo dobiti produkte koje prema procesu dobivanja dijelimo na: 1) Mikrobnu biomasu 2) Primarne, sekundarne metabolite i enzime 3) Produkte pripravljene biotransformacijama iz različitih kemikalija Mikrobna biomasa Primjeri ove vrste produkata koji se uglavnom koriste u prehrambenoj tehnologiji su: pekarski kvasac, starter kulture, bioinsekticidi (spore Bacillus thuriniensis), kulture stanica i tkiva biljaka i životinja Primarni, sekundarni metaboliti i enzimi Industrijski se cijele stanice u fermentacijskim procesima primjenjuju u proizvodnji lijekova i njihovih intermedijera, vitamina, aminokiselina, aditiva za prehrambenu industriju, te insekticida. Tako se u fermentacijskim procesima mogu dobiti slijedeće tvari: - antibiotici: bacitracin, kloramfenikol, cikloserin, eritromicin, gramicidin, kanamicin, neomicin, nistatin, oleandomicin, penicilin, streptomicin, tetraciklin, tirotricin - organske kiseline: limunska, jabučna, itakonska, mliječna, octena, glukonska. - aminokiseline: L-glutaminska, L-lizin, L-metionin, L-triptofan, L-histidin - vitamini i faktori za rast: riboflavin (B 2 ), ciankobalamin (B 12 ), giberelinska kiselina 2

7 1. Bioprocesi - enzimi: amilaze, katalaza, celulaze, kolagenaza, glukoza oksidaza, lipaza, pektinaza, proteaza - organska otapala: etanol, aceton, butanol, butandiol, dihidroksiaceton, glicerol - goriva: etanol, metan - polimeri: dekstrani, pululani - ostali produkti: nukleotidi i nukleozidi, alkaloidi, vakcine insekticidi Tablica 1.1. Primjena cijelih stanica u industrijskim procesima Grupa Produkt Supstrat Mikroorganizam Enzim Kompanija Lijekovi i njihovi intermedijeri (S)-2-Kloropropionska kiselina L-DOPA (R,S)-2- Kloropropionska kiselina Polikatehol, + piruvat, NH 4 L-Pipekolna kiselina L-Lizin Rekombinantna E. coli CDP-kolin Glutation Orotinska kiselina, kolin klorid Glutamska kiselina, cistein, glicin Pseudomonas sp. dehalogenaza Avecia Erwinia herbicola Tirozin fenol liaza Ajinomoto Corynebacterium ammoniagenses Rekombinantna E. coli Hidroksiprolin Prolin Rekombinantna E. coli Kiralni alkoholi Ketoni Rekombinantna E. coli 5-Hidroksipirazinkarboksilna kiselina (S)-Piperazin-2- karboksilna kiselina Lizin aminotransferaza (iz Flavobacterium lutescenns) Pirolin -5- karboksilat reduktaza (iz E. coli) Višestupnjevita uz generiranje ATP γ-glutamilcistein sintetaza, glutation sintetaza (iz E. coli) uz generiranje ATP Prolin hidroksilaza (iz Streptomyces sp.) Oksidoreduktaze (iz različitih izvora) Mercian Kyowa Hakko Kyowa Hakko Kyowa Hakko Kaneka 2-Cijanopirazin Agrobacterium sp. Nitrilaza, hidroksilaza Lonza (R,S)-Piperazin-2- Klebisella terrigena Amidaza Lonza karboksilna kiselina 4-[6-Hidroksipiridin- (S)-Nikotin Pseudomonas sp. Višestupnjevita Lonza 3-il]-4-oksobutirat Natrij pravastatin Kompaktin Streptomyces Cytochrome P450 Sankyo carbophilus (2R,5R)-Heksandiol (2,5)-Heksandion Lactobacillus kefir Alkohol JFC dehidrogenaza Vitamini Pantotenat - intermedijer DL-Pantoil lakton Fusarium oxysporum Lactonase Daiichi Fine Chemical Askorbat-2-fosfat Askorbinska Sphingomonas Fosfokinaze Kyowa Hakko kiselina trueperi Nikotinamid 3-Cijanopiridin Rhodococcus Nitril hidrataza Lonza rhodochrous J1 Amino L-Amino kiseline DL-Hidantoini Rekombinantna E. L-hidantoiaza i Degussa kiseline coli L-carbamoilaza Aditivi-okus 5'-GMP XMP Rekombinantna E. coli XMP aminaza (GMP sintaza iz E. Kyowa Hakko Insekticidi Guanozin, pirofosfat Rekombinantna E. coli 5'-IMP Inozin Rekombinantna E. coli Inozin, pirofosfat Rekombinantna E. coli 6-Hidroksinikotinska kiselina Niacin Achromobacter xylosoxidans coli) AP/PTaza (iz Escherichia blattae) Guanozin/inozin kinaza (iz E. coli) AP/PTaza (iz Escherichia blattae) Niacin hidroksilaza Ajinomoto Kyowa Hakko Ajinomoto Lonza 3

8 1. Bioprocesi Produkti pripravljeni biotransformacijom iz različitih kemikalija Kao što je već navedeno cijele stanice se mogu upotrebljavati u nerastućoj fazi kao nosilac biokatalizatora, te na taj način proizvoditi određeni produkt iz odgovarajućeg supstrat. Primjeri primjene cijelih stanica u industrijskim procesima dati su tablici UZGOJ MIKROORGANIZAMA Mikrobne procese često opisujemo kao procese u kojima sudjeluju tri faze: plin (zrak), tekućina (hranjiva podloga) i čvrsta tvar (mikroorganizam) Međutim to ipak nije tako jednostavno ako znamo da su ti procesi bazirani na biokatalitičkim reakcijama koje kataliziraju enzimi, što ih mikroorganizmi sintetiziraju i razgrađuju u toku svog životnog ciklusa. To su izrazito nestacionarne biokataltičke reakcije jer proces nastajanja produkta mikrobnog metabolizma ovisi prije svega o uvjetima rasta mikroorganizma. Uvjeti za rast i sintezu enzima ne moraju biti i nisu uvijek jednaki uvjetima za biokatalitičku konverziju supstrata u željeni produkt. Zato se često mikrobni procesi provode u dvije vremenski odijeljene faze. U prvoj fazi se osiguravaju optimalni uvjeti za rast mikroorganizama i biosintezu potrebnih enzima. U drugoj fazi se koristi biomasa (cijele stanice) ili enzim za biokatalitičku reakciju. Tok mikrobnog procesa ovisi o tipu procesa vrsti mikroorganizma ili enzima, fizikalnim i kemijskim svojstvima supstrata. Uzgoj mikroorganizma započinje inokulacijom (nacjepljivanjem) hranjive podloge s odabranom mikrobnom kulturom. Inokulum je inicijalna količina aktivnih mikrobnih stanica koje se relativno brzo umnožavaju u hranjivom supstratu s ciljem da: - Tijekom rasta transformiraju osnovni supstrat (izvor ugljika) u željeni produkt (biomasu ili neki drugi metabolit) - U stacionarnoj fazi rasta daju željeni produkt kao rezultat biosinteze nekog sastojka hranjive podloge FAZE PROCESA OPERACIJE Sirovina Pripremna faza Priprava hranjive podloge Priprava inokuluma Sterilizacija Bioreakcija Pročišćavanje produkta Produkt Proizvodnja biomase Biosinteza metabolita Filtracija Centrifugiranje Sedimentacija Flokulacija Razbijanje stanične stijenke Ekstrakcija Ultrafiltracija taloženje Kristalizacija Kromatografija Sušene Pakiranje Slika 1.1. Postupci u procesu uzgoja mikroorganizama i biosinteze. U oba slučaja je brzina nastajanja produkta funkcija koncentracije i biokemijske aktivnosti biokatalizatora u mikrobnoj stanici 4

9 1. Bioprocesi Uzgoj mikroorganizama i proizvodnja produkata tijekom fermentacije spada u relativno zahtjevnije postupke u biotehnologiji. Sam proces se obično sastoji od tri dijela (Slika 1.1.). Pripremna faza uključuje pripravu hranjive podloge, pripravu biološkog katalizatora (inokuluma), sterilizaciju hranjive podloge, bioreaktora, te dodataka u bioreaktor. Nakon faze pripreme slijedi faza u kojoj se odvija bioreakcija. Cilj ove faze je konverzija supstrata u biomasu ili biokemijske produkte. Navedeno se odvija djelovanje cijelih stanica (živih ili neživih) ili pročišćenih enzima. Ova faza se odvija u bioreaktoru. Materijali proizvedeni u bioreaktoru se obično moraju dalje pročišćavati kako bi se dobili u upotrebljivom obliku. Procesi pročišćavanja odnosno izolacije produkta su uglavnom fizički separacijski procesi. U ove ubrajamo procese kruto-kapljevina (centrifugiranje, filtracija, sedimentacija, flotacija, razbijanje stanica, taloženje, kristalizacija, adsorpcija, separacija kromatografijom, membranska separacija, ekstrakcija kapljevina-kapljevina, destilacija, pervaporacija i sušenje. Pročišćeni produkt može biti u različitim fizičkim oblicima (tekući, prašak, kristalinični, emulzija), te stoga mogu biti potrebni dodatni koraci kako bi se produkt stabilizirao i oblikovao Uvjeti za rast mikroorganizama Mikroorganizmi mogu rasti u umjetno stvorenim uvjetima, na ili u specifičnim hranjivim supstratima, koji su slični ili se razlikuju od onih u prirodi. Da li će i kako će neki mikroorganizam rasti u umjetnoj sredini, ovisi o djelovanju te sredine na mikroorganizme. Bitne značajke o kojima ovisi rast mikroorganizama su: sastav hranjiva podloge, koncentracija kisika, ph i temperatura Hranjiva podloga se još naziva komina za uzgoj mikroorganizma, odnosno proizvodnju određenog mikrobnog metabolita. Hranjiva podloga se sastoji od vode, izvora organske tvari, mineralnih soli (K +, Mg 2+, Fe 3+, Zn 2+,Na +, Mn 2+, Cl -, CO elementi u tragovima), pomoćni faktori rasta (vitamini, aminokiseline, purini, pirimidini), prekursori. Voda čini % težine mikroorganizma. Gotovo sve kemijske reakcije u živoj stanici odvijaju se u vodenoj otopini. Voda služi i kao reaktant u mnogim kemijskim reakcijama. Ona isto tako omogućava suspendiranje mikroorganizama u otopini hranjivih sastojaka, a pogodan je medij za regulaciju temperature jer omogućava brzi prijenos topline Svi mikroorganizmi trebaju za rast one tvari koje su i same stanični sastojci (elementarni sastav suhe tvari mikrobnih stanica). Te tvari moraju biti otopljene, suspendirane ili emulgirane u vodi bilo u elementarnom ili kompleksnom obliku. Mikroorganizmi koriste različite ugljikove spojeve kao izvor ugljika i kao izvor energije. Kako bi se zadovoljila dvostruka potreba za ugljikom tj. kao sastojkom stanice i izvora energije, hranjiva podloga mora sadržavati više ugljika od onoga što proizlazi iz bilance ugljika u stanici. Izvor ugljika je određen za svaki pojedini organizam. Da određeni mikroorganizam može metabolizirati pojedini izvor ugljika mora imati transportni mehanizam koji će spoj propustiti unutar stanice, te mora imati enzim u stanici koji će razgraditi isti taj spoj. Mineralne soli su potrebne za rast svih mikroorganizama. One djeluju kao aktivatori, ali i stabilizatori pojedinih enzima. Pomoćni faktori rasta se dodaju jer neki mikroorganizmi izgube ili nisu nikad ni imali sposobnost sinteze dovoljnih količina svih organskih spojeva (aminokiselina, purinskih i piridimskih nukleotida, vitamina) potrebnih za sintezu staničnih sastojaka. Mikroorganizmi koji trebaju određene faktore rasta nazivaju se auksotrofni, za razliku od prototrofnih mikroorganizama tj. onih koji ne trebaju faktore rasta jer ih mogu sami sintetizirati. Prekursori su tvari koje mikroorganizmi ne koriste za rast, već ih ugrađuju u produkte sekundarnog metabolizma. Prema potrebi za kisikom mikroorganizme dijelimo na obligatne aerobe koji zahtijevaju kisik za svoj rast i obligatne anaerobe koji rastu jedino u odsutnosti kisika. Između ove dvije 5

10 1. Bioprocesi skupine postoji mnogo mikroorganizama koji dobro rastu u odsutnosti ili prisutnosti kisika (fakultativni anaerobi ili aerobi). Tijekom mikrobnog rasta ph se mijenja jer se iz hranjive podloge nejednako troše pojedini kationi i anioni, a nastaje čitav niz organskih kiselina (mliječna, octena, pirogrožđana itd.). Zbog toga hranjive podloge moraju biti dobro puferirane ili se ph održava konstantnim pomoću kontrolnog i regulacijskog sistema u bioreaktoru. Bakterije obično traže ph podloge blizu neutralnog. Većina kvasaca raste najbolje u kiselim sredinama pri ph 3-6, a neke plijesni vole još kiseliji medij. S izuzetkom pojedinačnih iznimaka većina mikroorganizama raste u temperaturnom rasponu između 20 C i 30 C. Oni koji imaju maksimalnu brzinu rasta ispod 20 C su psihrofilni, između 30 C i 35 C su mezofilni, a oni iznad 50 C su termofilni (Slika 1.2.). Specifična brzina rasta μ/μ max psihrofili mezofili termofili Temperatura, C Slika 1.2. Ovisnost rasta o temperaturi za psihrofilne, mezofilne i termofilne mikroorganizme Krivulja rasta mikroorganizma Rast i razvoj mikroorganizama u uvjetima šaržnog uzgoja odvija se u nekoliko faza. Uobičajeno, promjena broja živih stanica mikroorganizma s vremenom, može se prikazati slikom 1.3. Mikroorganizmi se ne počnu odmah razmnožavati kada se nacijepe na hranjivu podlogu jer je potrebno određeno vrijeme da se stanice priviknu na okolinu koja može biti ili je drugačija od one iz koje su stanice prenesene. Pri tome stanice povećavanju svoj volumen, sintetiziraju enzime i intermedijere potrebne za rast i razmnožavanje. To prividno mirovanje nazivamo fazom indukcije koja traje tako dugo dok ne nastane dovoljna količina spomenutih tvari. Ako su stanice mlade, a okolina povoljna ova će faza biti vrlo kratka, a ponekad može potpuno izostati. Kod starih stanica i nepovoljne okoline biti će obrnuto. Kako u inokulumu ima veliki broj stanica očito je da one ne mogu biti jednako stare (nisu rasle sinkronizirano), pa je i njihova fiziološka aktivnost različita. Zato se bez obzira na pogodnost uvjeta okoline sve stanice neće početi istovremeno razmnožavati. U pravilu potrebno je neko vrijeme da se sve stanice počnu dijeliti. Taj vremenski razmak se naziva faza postepenog ili ubrzanog rasta. Kod veoma aktivnih kultura ta faza traje vrlo kratko i eksperimentalno ju je teško odrediti jer se broj novonastalih mladih stanica povećava sa vremenom u geometrijskoj progresiji. Zbog toga se na ovu fazu odmah nadovezuje faza eksponencijalnog rasta ili log faza. To je faza najbržeg razmnožavanja mikroorganizama i proizvodnje metabolita vezanih uz rast koji nastaju kao rezultat kompleksnih oksido-redukcija (npr. etanol, octena i mliječna kiselina). 6

11 1. Bioprocesi Broj stanica se udvostručava stalnom brzinom dok postoji dovoljno hrane, a koncentracija otrovnih produkata metabolizma ne poraste do vrijednosti koje usporavaju ili onemogućavaju rast. Tijekom stacionarne faze stanice poprimaju maksimalnu veličinu i volumen populacije je najveći. Ova faza nastupa kada koncentracija neke od komponenata neophodnih za rast ili koncentracija nekog katalitičkog otrova dostiže takvu razinu koja više ne može podržati maksimalnu brzinu rasta. Faza odumiranja stanica može imati različito vrijeme trajanja, koje je ovisno o uvjetima provedbe mikrobnog procesa i vrsti mikroorganizama. Ova faza počinje kada pojedine stanice liziraju (dolazi do pucanja stanične stjenke), pa unutarstanične komponente iz takvih stanica (šećeri, aminokiseline, vitamini) služe za održavanje životnih funkcija preostalih stanica. 10 biomasa supstrat BIOMASA, SUPSTRAT faza indukcije eksponencijalna faza stacionarna faza faza odumiranja stanica Slika 1.3. Krivulja rasta mikroorganizama VRIJEME Svaka od ovih faza značajna je za mikrobiološki proces koji se proučava ili vodi pa je poznavanje zakonitosti zbivanja u svakoj pojedinoj fazi od izuzetne važnosti. Tako je, primjerice, osnova dobrog oblikovanja procesa smanjiti vrijeme trajanja faze indukcije i što više produžiti vrijeme trajanja eksponencijalnog rasta METABOLIZAM STANICE Biološke stanice djeluju kao složeni kemijski reaktori u kojima se odvija veliki broj kemijskih reakcija kataliziranih enzimima. Ove reakcije omogućavaju razvoj i razmnožavanje stanica i nazivaju se reakcije metabolizma. Reakcije metabolizma dijele se na: reakcije katabolizma u kojima se obavlja razgradnja organskih spojeva sa ciljem dobivanja energije i spojeva male molekulske mase (primarni metaboliti), koji služe kao početne tvari za sintezu sastojaka stanične biomase, i reakcije anabolizma u kojima se, uz trošenje energije, obavlja biosinteza sastojaka mikrobne biomase i sinteza sekundarnih metabolita. Imajući u vidu da u sastav stanica ulazi veliki broj različitih spojeva, kao i činjenicu da ih stanica može skoro sve sintetizirati iz malog broja jednostavnih spojeva, može se zaključiti da su anaboličke reakcije daleko brojnije i složenije. Sve reakcije koje su vezane za rast stanice, i kataboličke i anaboličke dio su takozvanog primarnog metabolizma stanice Na ovim reakcijama bazirana je industrijska proizvodnja 7

12 1. Bioprocesi stanične biomase koja se direktno koristi za potrebe čovjeka (na primjer, pekarski kvasac) ili se koristi kao izvor proteina jednostaničnih mikroorganizama. Stanice na prijelazu iz eksponencijalne u stacionarnu fazu rasta često počinju sintetizirati i izlučivati u okolinu spojeve u relativno visokim koncentracijama koja nemaju vidljivu ulogu u rastu stanice. Sinteza ovih spojeva se zove sekundarni metabolizam, a nastali spojevi zovu se sekundarni metaboliti. Veći dio biotehnološke proizvodnje baziran je na proizvodnji sekundarnih metabolita. Regulacija metabolizma od životnog je značaja za stanice bioloških vrsta, ali i za biotehnološku proizvodnju. Poremećaj metabolizma izazvan vanjskim utjecajem može imati pozitivan ili negativan utjecaj na razvoj i razmnožavanje stanica. Usmjeravanje staničnog metabolizma, uz očuvanje životnih funkcija, koristi se u biotehnologiji za proizvodnju primarnih (aminokiseline, organske kiseline, etanol, aceton i butanol, vitamini B2 i B12 itd.) i sekundarnih (aminošećeri, kinoni, epoksidi, ergotalkaloidi, glutaridi, laktami, naftaleni, peptidi, polieni, terpeni, tetraciklini itd.) metabolita. S aspekta biotehnološke proizvodnje, namjerno izazvane pozitivne mutacije i genetske transformacije imaju, između ostalog, za cilj metabolizam stanica usmjeriti ka povećanoj produkciji metabolita koji predstavljaju korisne produkte. Pomoću dva osnovna sistema regulacije kontrolira se sinteza primarnih metabolita koji su zasnovani na aktivnosti induktivnih enzima. To su: 1) kontrola enzimske aktivnosti (povratna inhibicija) 2) kontrola sinteze enzima (povratna represija). Kontrola enzimske aktivnosti (povratna inhibicija) Krajnji metabolit metaboličkog puta E inhibira aktivnost enzima koji katalizira jednu od reakcija tog puta, obično prvu (A B). Kada krajnji metabolit dostigne kritičnu koncentraciju, on se veže za enzim na alosteričkom mjestu, čime se onemogućava vezivanje supstrata za enzim i metabolički put se prekida. Ovo vezivanje je reverzibilno i kada koncentracija krajnjeg metabolita opadne, enzim se ponovo oslobađa i omogućava nastavak reakcije metaboličkog puta. A B C D E Kontrola sinteze enzima (povratna represija) Kontrola metabolizma se ostvaruje na nivou gena. U ovom slučaju, krajnji produkt metaboličkog puta E sprječava sintezu jednog ili više enzima koji katalizira reakcije tog metaboličkog puta. Sprječavanje sinteze enzima ostvaruje se tako što se krajnji produkt metabolizma kombinira sa genomom koji je odgovoran za sintezu enzima. A B C D E Kontrola složenijih, razgranatih biosintetskih putova u kojima nastaje više produkata, znatno je složenija. U principu svi krajnji produkti tog puta nisu iste važnosti za stanicu. Zbog toga inhibicija jednostavnom povratnom vezom ili povratnom represijom od strane samo jednog manje bitnog krajnjeg produkta nastalog u suvišku, dovela bi stanicu u situaciju da prestane sinteza i za nju bitnih krajnjih produkta, što bi imalo za posljedicu zaustavljanje njenog rasta. Za sprječavanje takvog slučaja stanica raspolaže sa više mehanizama regulacije: 1) Regulacija izoenzimima 2) Usklađena regulacija 8

13 1. Bioprocesi 3) Kumulativna regulacija Regulacija izoenzimima. Izoenzimi kataliziraju istu reakciju A B u metaboličkom nizu ali su kontrolirani drugim krajnjim produktom. Prema slici zajednička reakcija je A B i nju kataliziraju tri izoenzima koje pojedinačno inhibiraju krajnji produkti G, H i E. D E A B C F G Usklađena regulacija. U ovom slučaju metabolički put je reguliran samo jednim enzimom. Međutim, za inhibiciju tog enzima, potrebno je da u suvišku bude više od jednog krajnjeg produkta, koji zajedno provode regulaciju. H D E A B C F G H Kumulativna regulacija. Kod ove regulacije svaki krajnji produkt parcijalno inhibira metabolički put ako je u suvišku. Za potpunu inhibiciju potrebno je kumulativno djelovanje više krajnjih produkta. D E A B C F G H Regulacija biosinteze primarnih i sekundarnih metabolita Osnovne razlike primarnog i sekundarnog metabolizma prikazane su u tablici 1.2. Sekundarni metaboliti najčešće nisu bitni za rast i razmnožavanje stanica, iako imaju funkciju u njenom preživljavanju. Za razliku od primarnog metabolizma, gdje su greške (mutacije) u biosintetskoj osnovi najčešće smrtonosne za stanicu, gubitak sposobnosti sinteze sekundarnih metabolita nije životno bitan. Značajno za sekundarni metabolizam je da se on najčešće događa pri nižoj specifičnoj brzini rasta stanice, odnosno u stacionarnoj fazi. Za sekundarni metabolizam polazni spojevi su isti kao i za primarni metabolizam. To znači da su ova dva metabolizma usko povezana i da je sekundarni metabolizam reguliran na isti način kao i primarni. Klasičan primjer je biosinteza peptidnih antibiotika (bacitracin, geramicin S) kao sekundarnih metabolita koje sintetiziraju bakterije iz roda Bacillus. Kako su za njihovu 9

14 1. Bioprocesi biosintezu potrebne aminokiseline koje su produkti primarnog metabolizma, narušavanje kontrole njihove biosinteze u primarnom metabolizmu može imati za posljedicu povećanu biosintezu antibiotika. Drugi primjer je kod biosinteze penicilina pomoću pljesni Penicillium chrysogenum u koju su uključeni cistein, valin i α-aminoadipinska kiselina koji su produkti primarnog metabolizma. Poremećaj regulacije njihove biosinteze značajno utječe na sintezu penicilina. Tablica 1.2. Karakteristike primarnog i sekundarnog metabolizma Primarni metabolizam Prisutan kod svih mikroorganizama Značajan za rast mikroorganizama Biosinteza u različitim uvjetima rasta Prisutan tokom cijelog ciklusa rasta Fiziološka uloga poznata Dobiva se jedan određeni produkt Produkti su u principu jednostavne kemijske strukture Generalni način rješavanja proizvodnih (bioloških) problema Sekundarni metabolizam Specifičan za mikrobiološku vrstu Nije neophodan za rast mikroorganizama Biosinteza zavisi o uvjetima rasta Nastaje u kasnijoj fazi rasta (obično u stacionarnoj) Fiziološka uloga najčešće nepoznata Nastaje više sličnih produkata Produkti su u principu složene kemijske strukture Specifično rješavanje proizvodnih (bioloških) problema Postoji i niz drugih načina regulacije biosinteze sekundarnih metabolita. Najznačajniji su: indukcija enzima koji sudjeluju u biosintezi, regulacija povratnom spregom krajnjeg produkta sekundarnog metabolizma (njegovo kontinuirano separiranje), te katabolička regulacija supstrata koji se troši brzo u metabolizmu (zamjena inhibirajućeg supstrata neinhibirajućim, na primjer, glukoze fruktozom ili amonij iona drugim izvorom dušika). Za proizvodnju primarnih metabolita korisni su tzv. auksotrofni mutanti koji su izgubili sposobnost biosinteze nekog enzima. a b c d A B C D E Slika 1.4. Hiperprodukcija međuprodukta C pomoću auksotrofnog mutanta Prekomjerna proizvodnja metabolita kod mikroorganizama izbjegnuta je regulacijskim mehanizmima jer bi to predstavljalo beskoristan proces koji smanjuje sposobnost mikroorganizama da prežive u prirodi. Međutim neki mikroorganizmi s narušenom regulacijom mogu u određenim uvjetima preživjeti. Takvi mutanti dobiveni su kao rezultat programirane selekcije i usmjeravanja metabolizma u cilju dobivanja određenog produkta. Primjer za ovo je pokazan regulacijom prikazanom na slici 1.4. Enzim odgovoran za put iz C u D je izrezan i stanica za rast zahtijeva spoj E. Ako se ovaj spoj dodaje u hranjivu podlogu u maloj količini koja neće izazvati regulaciju inhibicijom ili represijom enzima doći će do povećane biosinteze spoja C. Na primjer, mutant takvih karakteristika dobiven je kod 10

15 1. Bioprocesi bakterije Bacillus subtilis. On je zavisan od arginina i njegovim dodavanjem u podlogu mutant biosintetizira L-citrulin. Prekursori. Prekursori su spojevi koja se mogu uključiti u metabolički put biosinteze krajnjeg metabolita koji je željeni produkt. Kako ne djeluju inhibirajuće, dodatkom prekursora u hranjivu podlogu moguće je izazvati povećanu produkciju metabolita i kod normalnih sojeva. Poznati prekursor za sintezu benzilpenicilna je feniloctena kiselina, a za vitamin B12, 5,6- dimetilbenzimidazol. 11

16 2. Kinetika rasta mikroorganizma 2. KINETIKA RASTA MIKROORGANIZMA U bioprocesima, u kojima su biokatalizatori žive stanice mikroorganizama, odigravaju se istovremeno i međusobno povezano rast, razmnožavanje, trošenje supstrata i sinteza primarnih i sekundarnih metabolita. Kinetika ovih procesa uključuje brzine rasta stanica mikroorganizama, potrošnju limitirajućeg supstrata iz hranjive podloge i sintezu metabolita, kao i utjecaj okolišnih uvjeta na kinetiku bioprocesa. Mikrobiološki procesi ovise o dva međusobno povezana faktora: mikroorganizmu okolišnim uvjetima u kojima se odvijaju procesi Mikrobiološki proces počinje inokulacijom hranjive podloge koja se nalazi u bioreaktoru. Komponente hranjive podloge (nutrienti, supstrati) se transportiraju iz okoliša u stanicu, a različiti produkti metabolizma, kao i višak energije iz stanice u okolinu. Nakon adaptacije inicijalne količine čiste kulture mikroorganizma (inokuluma), dolazi do rasta i razmnožavanja stanica i konverzije supstrata iz hranjive podloge u: biomasu, zbog povećanja količine mikroorganizma i željeni produkt, tj. primarni ili sekundarni metabolit. Brzina nastajanja biomase i produkta je funkcija koncentracije i biokemijske aktivnosti stanice mikroorganizma. Za uspješno izvođenje mikrobioloških procesa potrebno je poznavanje brzine rasta mikroorganizma pri određenim uvjetima Potrebno je poznavati uvjete za rast pojedinog mikroorganizma, kao i uvjete potrebne za proizvodnju stanica sa odgovarajućim fiziološkim sastavom nužnim za odvijanje željenog procesa. Za osnovne kinetičke podatke o bioprocesu nužno je mjeriti koncentraciju biomase, te koncentraciju supstrata. Također ako se tijekom proizvodnje dobiva i metabolit, koji je željeni produkt, tada se u kinetička razmatranja uključuje brzina nastajanja produkta. Najbrži rast se odvija u eksponencijalnoj fazi rasta u kojoj se broj stanica udvostručava stalnom brzinom, dok postoji dovoljna količina supstrata (izvora ugljika), a koncentracije toksičnih produkata metabolizma ne narastu do vrijednosti koje usporavaju ili onemogućavaju rast. Modeli mikrobiološkog rasta ovisno o načinu na koji opisuju zbivanja između stanica i okoline mogu se podijeliti u strukturne i nestrukturne modele. Strukturni modeli tretiraju stanicu kao složeni sustav i temelje se na opisu stvarne biološke slike zbivanja u stanici mikroorganizma. Oni uzimaju u obzir fiziološke promjene koje se odvijaju u stanicama. Nestrukturni modeli definiraju rast biomase kao funkciju makroskopskih varijabli - koncentracije i broja stanica, te promatraju stanicu kao crnu kutiju i ne uzimaju u obzir fiziološke promjene koje se događaju u stanici mikroorganizma. Oni se mogu primijeniti samo pri idealnim uvjetima ili u ranoj logaritamskoj fazi rasta. U praksi se koriste uglavnom pojednostavljeni modeli, koji približno realno opisuju mikrobiološke procese. Mikrobni rast je obično definiran vremenom potrebnim za udvostručavanje mikrobne biomase ili broja stanica. To vrijeme se naziva generacijsko vrijeme. Vrijeme udvostručavanja biomase može se razlikovati od vremena udvostručavanja broja stanica jer se biomasa može povećati bez povećanja broja stanica Ako se u nekoj hranjivoj podlozi vrijeme udvostručenja mase ili broja stanica ne mijenja s vremenom trajanja uzgoja, onda organizam raste eksponencijalnom brzinom i može se opisati izrazima 2.1. i 2.2. dx dt dn dt =μ X (2.1.) =μ N (2.2.) n gdje je: 12

17 2. Kinetika rasta mikroorganizma X- masena koncentracija stanica N brojčana koncentracija stanica μ - specifična brzina rasta na bazi mase stanice μ n - specifična brzina rasta na bazi broja stanica Specifičnu brzinu rasta možemo izračunati ako pretpostavimo da je vrijeme udvostručavanja stanica jednako tj.: t t t t t g g g g g N 2N 4N 8N 16N 32N... 0 tg 1 tg 2 tg 3 tg 4 tg n 2 N 2 N 2 N 2 N 2 N... 2 N a n predstavlja broj dioba i može se izračunati iz omjera ukupnog vremena i generacijskog vremena (jedn. 2.3.): t vrijeme n = = (2.3.) t generacijsko vrijeme g Na osnovu gore navedenih postavki može se izračunati broj stanica u određenom trenutku eksponencijalne faze (jedn. 2.4.) N N 2 N 2 t/t n g t = 0 = 0 (2.4.) U izrazu 2.4. N t je broj stanica u određenom vremenu t, a N 0 početni broj stanica. Logaritmiranjem i raščlanjivanjem izraza 2.4. dobiju se jednadžbe 2.5. i 2.6. N t = ln2 ln N t t 0 g (2.5.) lnn t 0639, = t+ lnn 0 (2.6) t g 0, 639 Uvrštavanjem, μ=, u jednadžbu 2.6. dobije se izraz 2.7. t g lnn t =μ t+ lnn0 (2.7.) μ predstavlja specifičnu brzinu rasta. Specifična brzina rasta je stalni parametar rasta svakog mikroorganizma na podlozi stalnog sastava i pri konstantnim uvjetima. Njezina vrijednost ovisi o nasljednim svojstvima mikroorganizma, vrsti i koncentraciji izvora ugljika, dušika, fosfora, kisika, tvarima rasta i početnoj koncentraciji mikroorganizma u podlozi. Masa mikrobnih stanica se u pravilu lakše određuje nego broj stanica te se jednadžba 2.7. obično piše u obliku: lnx =μ t+ lnx (2.8.) t 0 13

18 2. Kinetika rasta mikroorganizma 2.1. MONOD-OV MODEL MIKROBNOG RASTA Specifična brzina rasta je kao i brzina kemijske reakcije funkcija koncentracije reaktanata (supstrata). Reaktanti su u ovom slučaju bitni sastojci hranjive podloge ili supstrati za rast. Obično je samo jedan supstrat limitirajući i to izvor ugljika jer se hranjiva podloga sastavlja tako do ostali sastojci budu u suvišku. Kada se taj supstrat potroši prestaje eksponencijalna faza rasta. Ovisnost između brzine rasta i koncentracije limitirajućeg supstrata za rast (slika 2.1.) zapazio je Monod i opisao izrazom 2.9. μ=μ max S K + S S (2.9.) gdje je: μ max - maksimalna specifična brzina rasta S koncentracija supstrata K s - konstanta zasićenja jednaka koncentraciji supstrata kada je μ =0,5 μ max Specifična brzina rasta, μ 0,5μ max μ max K S Koncentracija supstrata, S Slika 2.1. Monod-ov model mikrobnog rasta Tipične vrijednosti K s su uglavnom jako male. Za izvor ugljika iznose ovisno o mikroorganizmu. Kada je S >10 x K s, brzina rasta je jednaka maksimalnoj brzini rasta(μ = μ max ). Specifična brzina postaje ovisna o koncentraciji supstrata kada je S < 10 x K s. Zbog niske K s vrijednosti specifična brzina rasta je konstantna u eksponencijalnoj fazi rasta 2.2. UTJECAJ PRODUKTA NA BRZINU RASTA MIKROORGANIZMA Brzina rasta je ovisna i o koncentraciji produkta metabolizma koji može inhibirati rast (npr. etanol, octena kiselina, mliječna kiselina). Ovisnost između brzine rasta i koncentracije produkta koji ograničava rast zapazio je Jerusalimski i opisao izrazom μ=μ max KP K + P P (2.10) gdje je: P - koncentracija produkta koji inhibira rast mikroorganizma, K P - konstanta zasićenja produkta koncentracija produkta kada je μ =0,5 μ max. U ovom slučaju je μ m = μ kad je P = 0. 14

19 2. Kinetika rasta mikroorganizma Specifična brzina rasta, μ 0,5μ max μ max K S Koncentracija produkta, P Slika 2.2. Ovisnost specifične brzine rasta o koncentraciji produkta koji inhibira rast Ovisnost specifične brzine rasta o koncentraciji produkta je prikazana na slici 2.2. Ovisnost brzine rasta o koncentraciji supstrata i produkta se može opisati izrazom μ=μ max S KP K + S K + P S P (2.11.) 2.3. MONODOV MODEL RASTA UZ INHIBICIJU SUPSTRATOM Kao i kod enzimskih reakcija, pri rastu mikroorganizama inhibicija može biti kompetitivna i nekompetitivna Kompetitivna inhibicija se može prikazati sljedećim kinetičkim modelom: μ=μ max S (2.12.) KS KS + S + I K I Odnosno u lineariziranom obliku: 1 μ I K KI μmax S μma x S = + + (2.13.) Jednadžba je pravac s koordinatama 1/S i 1/μ, te se iz odsječaka na apcisi i ordinati, te nagiba mogu izračunati kinetički parametri rasta mikroorganizama, μ m, K S i K I. Ako se u jednadžbi pretpostavi da I = 0, dobije se linearizirani oblik Monod-ove kinetike: 1 K S 1 1 = + μ μmax S μ max (2.14.) 15

20 2. Kinetika rasta mikroorganizma Nekompetitvna inhibicija se prikazuje pomoću kinetičkog modela oblika: S KI S μ=μ max =μmax KS + S KI + I I ( KS + S) 1+ KI (2.15.) 1/μ 1/μ max (1+I/K I ) Nekompetitvna Kompetitvna tgα 2 =(1+I/K I )K S /μ max I = 0 tgα 1 = K S /μ max 1/μ max 1/K S -1/K S (1/I+I/K I ) 1/S Slika 2.3. Grafički prikaz Monod-ovog lineariziranog modela rasta uz inhibiciju supstratom Jednadžba nekompetitvne inhibicije je ista kao i jednadžba inhibicije produktom (jedn ) pa se može zaključiti da se neki produkti metabolizma ponašaju kao nekompetitvni inhibitori. Linearizirani oblik jednadžbe je: 1 I K 1 1 I μ μ μ S = KI max S max KI (2.16.) Jednadžbe 2.13., i su prikazane na slici 2.3. Iz grafa prikazanog na slici 2.3. može se zaključiti da između kinetičkog enzimskog Michaelis-Menteničinog modela i kinetičkog modela rasta mikroorganizama tj. Monodovog modela postoji analogija RAST U PRISUSTVU VIŠE IZVORA UGLJIKA U diskontinuiranim uvjetima, kada u podlozi ima više izvora ugljika, obično se prvo koristi onaj s najmanjom vrijednosti konstante zasićenja, pa tek kasnije ostali po hijerarhiji povećanja vrijednosti ove konstante. Kada u podlozi ima dva izvora ugljika, onda se ovakav rast naziva diauksični rast (slika 2.4.). 16

21 2. Kinetika rasta mikroorganizma X S K S,S1 <K S,S2 X S 2 S 1 t Slika 2.4. Diskontinuirani rast mikroorganizama u prisustvu dva različita izvora ugljika (diauksični rast) Ako podloga sadrži veći broj različitih izvora ugljika, onda se faze rasta odigravaju sukcesivno, pa se prelazi sa supstrata na supstrat neće zapaziti, kao kod dva supstrata. Posljedica pojave je smanjenje brzine rasta tokom vremena, ako se usporedi sa brzinom rasta u prisustvu samo jednog izvora ugljika. Kod složenih podloga, koje sadrže, uz više izvora ugljika, i druge komponente, kao što su aminokiseline, nukleotide, vitamine i druge intermedijere metabolizma, stanice prolaze kroz mnoga prijelazna stanja tijekom rasta. Tako, ako stanice rastu na podlozi koja sadrži intermedijer koje same sintetiziraju, do njegove sinteze neće doći dok se on ne iscrpi iz hranjive podloge. Rezultat rasta mikroorganizama na kompleksnim hranljivim podlogama je prikazan na slici 2.5. Na osnovu izgleda krivulje rasta može se pogrešno zaključiti da nema eksponencijalnog rasta. To je samo prividno, jer postoje eksponencijalne faze koji su spojene u nizu, što je prikazano sa isprekidanim linijama. ln (X) μ 3 μ 2 μ 1 Slika 2.5. Rast mikroorganizama na složenim podlogama t Ovakav izgled krivulja rasta je rasprostranjen kod industrijskih bioprocesa u kojima se koriste podloge složenog sastava. Kod bioprocesa, gdje više različitih supstrata ograničava brzinu rasta, koristi se sljedeća jednadžba: μ=μ m S1 S2 K + S K + S S1 1 S (2.17) 17

22 2. Kinetika rasta mikroorganizma 2.5. KINETIKA POTROŠNJE SUPSTRATA Razmnožavanje mikrobnih stanica nije moguće bez potrošnje hranjivih tvari iz podloge. Iako svaki od njih može imati utjecaj na brzinu rasta, tehnološki i ekonomski je najčešće zanimljiv samo jedan od njih, a to je najčešće izvor ugljika. Njega stanica troši za - biosintezu sastojaka biomase - proizvodnju energije i održavanje fiziološke aktivnosti stanica - sintezu produkata, odnosno metabolita koji se izlučuju izvan stanice Sukladno navedenom bilancu potrošnje supstrata može se opisati na slijedeći način: Promjena koncentracije supstrata Utrošak supstrata za rast Utrošak supstrata za održavanje = Utrošak supstrata za sintezu proizvoda Potrošnja supstrata se može povezati s rastom pomoću tzv. koeficijenta prinosa biomase Y X/S, a s proizvodnjom produkta pomoću koeficijenta koji pokazuje stupanj konverzije supstrata u biomasu Y P/S. Pod održavanjem života stanica, podrazumijevaju se energetske potrebe za preživljavanjem i očuvanjem određenog stanja biomase, koje nisu direktno vezane sa sintezom biomase (na primjer, aktivan transport iona kroz staničnu membranu, kretanje stanice). Stoga se matematički brzina potrošnje supstrata opisuje izrazom 2.18: ds X = μ m X q X P dt YX/S YP/S (2.18.) gdje je: m energija održavanja (masa supstrata po masi biomase i vremenu) q P - specifična brzina sinteze produkta (masa produkta po masi biomase i vremenu) Y X/S stupanj konverzije supstrata u biomasu Y P/S stupanj konverzije supstrata u produkt 2.6. KINETIKA NASTAJANJA PRODUKTA Stanice mogu sintetizirati različite produkte. Postoji nekoliko sistema za klasifikaciju ovih produkata. Kinetički modeli su razvijeni za neke jednostavnije sustave. Jedan od najčešćih načina, koji se primjenjuje u opisivanju kinetike nastajanja produkta, klasificira produkte na temelju mehanizma njihovog nastajanja, tj. da li su rezultat primarnih metaboličkih funkcija ili nastaju sekundarnim metabolizmom. Konačni produkti energetskog i ugljikovog metabolizma su primarni metaboliti. Obzirom da je njihova proizvodnja proporcionalna rastu populacije stanica, oni se još nazivaju produkti vezani uz rast (growth associated, slika 2.6.A). Produkti kao što su antibiotici i vitamini se uglavnom u šaržnim kulturama proizvode na kraju eksponencijalne faze. Ovi sekundarni metaboliti se najčešće nazivaju produkti nevezani uz rast (non-growth associated, slika 2.6.C), te njihova kinetika ne ovisi o brzini rasta stanica. Uz ove dvije vrste produkata, postoje produkti čija se kinetika nalazi između, te se oni nazivaju produkti djelomično vezani uz rast (partially growth associated, slika 2.6.B). U njih spadaju aminokiseline, mliječna kiselina, intermedijeri iz ciklusa limunske kiseline, te ekstracelularni polisaharidi i otapala kao što su aceton i butanol. 18

23 2. Kinetika rasta mikroorganizma X P A X P X P B X P X P C X P t Slika 2.6. Kinetika rasta i nastajanja produkta u šaržnom procesu: a) Nastajanje produkta vezano uz rast stanica b) Nastajanje produkta vezano uz rast i masu stanica c) Nastajanje produkta nije vezano uz rast stanica (samo za masu stanica) t t Izrazi za brzinu za ove tri vrste produkata nastali su iz studije Luedekinga i Pireta za stvaranje mliječne kiseline uz Lactobacillus delbrueckii. Naime oni su pronašli da proizvodnja mliječne kiseline ovisi o koncentraciji stanica i o brzini njihova nastajanja, te su predložili slijedeći izraz: r P = α r + β c = αμ c + β c (2.19.) X X X X Vidljivo je da se ovaj izraz može podijeliti na izraz koji je vezan za rast (αμ c X ), te onaj koji nije vezan(βc X ). Prema ovom pristupu proizlaze tri vrste produkata obzirom na rast stanice: - vezani uz rast rp = αμ c X (2.20.) -nevezani uz rast rp = β c X (2.21.) -djelomično vezani uz rast r = αμ c + β c (2.22.) P X X 2.7. KONTINUIRANI UZGOJ MIKROORGANIZAMA Stacionarno stanje mikrobne okoline može se ostvariti tako da se zatvoreni tj. šaržni sistem uzgoja pretvori u otvoreni. To znači da u dobro miješanu mikrobnu kulturu treba dovoditi svježu hranjivu podlogu uz istovremeno odvođenje jednake količine iskorištene podloge koja sadrži mikrobne stanice i produkte mikrobnog metabolizma. U principu to je oponašanje uvjeta kontinuiranog rasta mikroorganizama u prirodnim vodotocima i probavnom traktu ljudi i životinja. Ova prirodna pojava kontinuiranog rasta se nastoji iskoristiti pri umjetnom uzgoju mikroorganizama u laboratoriju i industrijskom mjerilu. Kontinuirani uzgoj mikroorganizama se ostvaruje na način da se u dobro miješanu mikrobnu kulturu dovodi svježa hranjiva podlogu uz istovremeno odvođenje jednake količine iskorištene podloge koja sadrži mikrobne stanice i produkte mikrobnog metabolizma. Koristi se u: 1. Znanstveno istraživačkom radu za proučavanje: - diferencijacije stanica - regulacije sinteze enzima ili staničnih metabolita - transporta hranjivih tvari u stanicu - parametara uzgoja u cilju optimiranja procesa - tehnoloških svojstava mutanata 19

24 2. Kinetika rasta mikroorganizma 2. Praktičnoj primjeni za proizvodnju: - proteinske mikrobne biomase - mikrobnih metabolita - klasičnih fermentativnih produkata (pivo vino, ocat, etanol, mliječni proizvodi) - biološku obradu otpadnih voda Nakon početnih istraživanja teorije kontinuiranog rasta, u novije doba se ovi procesi naglo razvijaju i počinju primjenjivati u praksi, iako su i danas u industriji znatno više zastupljeni šaržni procesi. Razloga za to ima više, a glavni su: 1) genetske promjene kod mikroorganizama tokom dužeg provođenja procesa, 2) tehnički problemi za održavanje sterilnih uvjeta tijekom dužeg perioda 3) nedostatak pravih informacija o ponašanju mikroorganizama u prijelaznom, tj. nestacionarnom stanju. Uz navedene nedostatke, kontinuirani procesi se koriste u proizvodnji stočnog kvasca, pekarskog neaktivnog kvasca, anaerobnoj i aerobnoj obradi otpadnih voda itd. Produktivnost kontinuiranih procesa je znatno veća nego šaržnih procesa. U tablici 2.1. su navedeni primjeri mikroorganizama koji rastu i proizvode u kontinuiranom načinu rada. Tablica 2.1. Mikroorganizmi koji rastu i proizvode kontinuiranim načinom rada Mikroorganizam Streptomyces Acetobacter Clostridium Bacillus Saccharomyces Candida Penicillium Scenedesmus Produkt Streptomincin Octena kiselina Aceton i butanol Mliječna kiselina Etanol Pekarski kvasac Stočni kvasac Penicilin SCP Shematski prikaz mikrobioloških procesa po operacijama pripreme i izvođenja za diskontinuirani i kontinuirani način rada prikazan je na slici 2.7., a prednosti i nedostaci uzgoja u šaržnom i kontinuiranom reaktoru navedeni su u tablici 2.2. U kontinuiranom uzgoju mikroorganizam se stalno održava u eksponencijalnoj fazi rasta. Dotok svježeg supstrata odgovara brzini rasta odnosno brzini potrošnje supstrata. Za kontinuirani uzgoj mikroorganizma hranjiva podloga je sastavljena tako da su sve hranjive tvari osim supstrata u suvišku. Na taj način se koncentracijom supstrata kontrolira koncentracija stanica u bioreaktoru. 20

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Aminokiseline. Anabolizam azotnihjedinjenja: Biosinteza aminokiselina, glutationa i biološki aktivnih amina 22.12.2014

Aminokiseline. Anabolizam azotnihjedinjenja: Biosinteza aminokiselina, glutationa i biološki aktivnih amina 22.12.2014 Anabolizam azotnihjedinjenja: Biosinteza aminokiselina, glutationa i biološki aktivnih amina Predavanja iz opšte biohemije Školska 2014/2015. godina Aminokiseline 1 Metabolizam aminokiselina Proteini iz

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Osnove biokemije Enzimska kinetika. Boris Mildner. Kinetika proučava brzine reakcija

Osnove biokemije Enzimska kinetika. Boris Mildner. Kinetika proučava brzine reakcija Osnove biokemije Enzimska kinetika Boris Mildner Kinetika proučava brzine reakcija Za reakciju: A P Brzina reakcije v je: v = - d[a]/dt = d[p]/dt (1) pri čemu d označava smanjenje koncentracije supstrata,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

1 / 47. Matematičko modeliranje u biologiji 3. MODEL BIOREAKTORA

1 / 47. Matematičko modeliranje u biologiji 3. MODEL BIOREAKTORA 1 / 47 Matematičko modeliranje u biologiji 3. MODEL BIOREAKTORA 2 / 47 Model bioreaktora Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka 3.1. Model rasta s ograničenjem hranjivih sastojaka Ukoliko nema

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

A B C D. v v k k. k k

A B C D. v v k k. k k Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα