Συνεχείς συναρτήσεις και συντελεστής µεταβλητότητας: Προσέγγιση µέσα από δειγµατοληψία

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συνεχείς συναρτήσεις και συντελεστής µεταβλητότητας: Προσέγγιση µέσα από δειγµατοληψία"

Transcript

1 ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΤΕΥΧΟΣ 16 (σσ. 14-) DATA ANALYSIS BULLETIN, ISSUE 16 (pp. 14-) Συνεχείς συναρτήσεις και συντελεστής µεταβλητότητας: Προσέγγιση µέσα από δειγµατοληψία Νικόλαος Φαρµάκης Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Περίληψη Ο Συντελεστής Μεταβλητότητας είναι µία πολύ χρήσιµη έννοια για διάφορες εφαρµογές στη Στατιστική. Έχει ήδη χρησιµοποιηθεί στη διόρθωση µεροληψίας δεδοµένων, στην πολυωνυµική απόδοση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) f() µιας τυχαίας µεταβλητής X, Farmaks (003,010), και σε πολλές άλλες περιπτώσεις ερευνών. Εδώ επιχειρείται µία προσέγγιση πολυωνυµικής µορφής διαφόρων ειδών συνεχών συναρτήσεων f() (όχι κατ ανάγκη σ.π.π.) µέσα από ένα συστηµατικό δείγµα τιµών της εκάστοτε συνάρτησης. Ακολουθείται στην συνέχεια µία διαδικασία ανάλογη µε την, ήδη γνωστή, διαδικασία που ακολουθήθηκε στην περίπτωση που η συνάρτηση f() ήταν µία σ.π.π., Farmaks (003). Η νέα ιδέα στην παρούσα φάση είναι η επέκταση της χρήσης του Συντελεστή Μεταβλητότητας και σε περιπτώσεις όπου η υπό µελέτη συνάρτηση f() είναι απλά κάποια συνεχής συνάρτηση f() ορισµένη στο διάστηµα [α, β] της ευθείας R, των Πραγµατικών Αριθµών. Γίνεται η µελέτη πάνω στις συµµετρικές συναρτήσεις f() και µε παραδείγµατα. Η εφαρµογή λειτουργεί ως αλγόριθµος µε χρήση πληροφορικών προγραµµάτων (EXCEL) για την επιτυχή και γρήγορη µετάβαση από τα δειγµατικά δεδοµένα στις παραµέτρους της συνάρτησης f() και τελικά στην ίδια τη συνάρτηση f(). 1. Εισαγωγή Θεωρητική προσέγγιση Θεωρούµε µία συνάρτηση f() συνεχή και ορισµένη στο διάστηµα [α, β] της ευθείας R, των Πραγµατικών Αριθµών. Η συνάρτηση µπορεί να είναι συµµετρική ή όχι. Εδώ θα µελετήσουµε την περίπτωση των συµµετρικών συναρτήσεων διεξοδικά: θεωρητικά και µε παραδείγµατα. Όταν η συνάρτηση f() δεν είναι συµµετρική χρειάζονται ειδικοί χειρισµοί που δεν είναι µέσα στους στόχους της εργασίας αυτής. Ειδικότερα θα παρουσιαστεί µία µέθοδος προσέγγισης της συνάρτησης f() µέσα από δεδοµένα δείγµατος και µε τη βοήθεια του Συντελεστή Μεταβλητότητας (ΣΜ).

2 ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Θα χρησιµοποιήσουµε ένα δείγµα τιµών y 0, y 1, y,..., yn της f() που αντιστοιχούν στις θέσεις 0 1 [ ] a =,,,..., = β α, β που ισαπέχουν µεταξύ τους (συστηµατικό δείγµα). Άρα είναι n = a + w, = 0,1,,..., n, w = ( β a) / n και παρατηρούµε ότι το όλο πεδίο ορισµού έχει διαµελιστεί σε n ισοµήκη διαστήµατα δ = [ 1, ], µε µήκος w έκαστο και µε µέσο το σηµείο 1 ( ) a + w = κ, 1,,3,..., = n. Στο καθένα διάστηµα δ αντιστοιχεί το ολοκλήρωµα I = f ( ) d της συνάρτηση f(), που δεν ξέρουµε την τιµή του ακριβώς αλλά µπορεί να 1 προσεγγιστεί από την ποσότητα y 1 f w + y =. Θεωρούµε τώρα τρία n-διάστατα διανύσµατα: k=(κ 1, κ,,κ n ), φ=(f 1, f,,f n ) και 1=(1,1,,1). Αν στιγµιαία θεωρήσουµε ότι η συνάρτηση f() παριστάνει την απόλυτη συχνότητα των τιµών του X, τότε η µέση τιµή του Χ στο [α, β] προσεγγίζεται από n 1 1 ˆ µ = = κ f = ϕ 1 ϕ 1 = 1 < k,φ >, και <k, φ> είναι το εσωτερικό γινόµενο των δύο συµβαλλοµένων διανυσµάτων. Η τιµή της µέσης τιµής συµπίπτει θεωρητικά µε τη µέση τιµή των άκρων α και β του διαστήµατος λόγω και της συµµετρίας της συνάρτησης f(). Στην πράξη όµως είναι µία πολύ κοντινή τιµή της µέσης τιµής τους. Με ανάλογο τρόπο και κάνοντας χρήση γνωστών µεθόδων (Φαρµάκης, 001) βρίσκουµε τη διασπορά s και την τυπική απόκλιση s του Χ και µε βάση το προαναφερόµενο δείγµα. Από τα παραπάνω υπολογίζουµε τον συντελεστή µεταβλητότητας (ΣΜ) από τη σχέση σ Cv = µ µε εκτιµήτρια συνάρτηση Cv ˆ = σˆ s =. (1.1) µ ˆ Θεωρώντας συµµετρική τη συνάρτηση f(), της οποίας έχουµε γνωστές τις n τιµές των ολοκληρωµάτων της (ανά διάστηµα) που προαναφέρθηκαν, µπορούµε να παραστήσουµε µε την παρακάτω πολυωνυµική µορφή δύο κλάδων µία άλλη, επίσης συµµετρική συνάρτηση που θα χρησιµοποιηθεί βοηθητικά: ν β + α h ( - a), [ a, ) ν β+ g()= h (β - ), [ α, β ) 0, [ α, β ] Αν θεωρήσουµε ότι α=0 τότε έχουµε την απλούστερη µορφή της: ν h g()= h ( β ) ν [0, ) β β (1.) [, β ]. (1.3) [0, β ] Αυτό που συνδέει τις δύο συναρτήσεις f()και g() είναι η συµµετρική τους ιδιότητα. Θα προσδιορίσουµε την g() και µετά την f() έτσι ώστε η δεύτερη να προκύπτει από την πρώτη µε

3 ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ προσέγγιση ενός αριθµητικού συντελεστή. Το ολοκλήρωµα της g() στο [α, β] είναι ίσο µε µονάδα, Farmaks (003). Η g() είναι εύκολο να προσδιοριστεί από τα δεδοµένα που αναφέρθηκαν παραπάνω, στην αρχή της παραγράφου. Τα δεδοµένα είναι τα n+1 ζεύγη ( ), y, = 0,1,,..., n και τα τρία διανύσµατα n-διαστάσεων, τα k, φ και 1. Ο προσδιορισµός της g() γίνεται µε βάση µέθοδο προσδιορισµού σ.π.π. τυχαίας µεταβλητής Χ, από δείγµα τιµών της Χ, µε τη µορφή πολυωνυµικής εκτιµήτριας, Farmaks (003). Η µέθοδος αξιοποιεί ιδιότητες του ΣΜ της εκάστοτε τυχαίας µεταβλητής (τµ) Χ. ίνουµε περιγραφή της µεθόδου σε αδρές γραµµές: 1 ο ) Από δείγµα της τµ Χ, µεγέθους Μ>45 βρίσκουµε τη µέση τιµή, τη διασπορά, την τυπική απόκλιση και τελικά τον ΣΜ. Επειδή η τµ (εδώ) είναι συνεχής οµαδοποιούµε τα δεδοµένα σε µικρό αριθµό τάξεων και έχουµε τις συντεταγµένες του διανύσµατος k, τα µέσα των τάξεων. Η συχνότητα της κάθε τιµής(=µέσο τάξης) είναι η αντίστοιχη συντεταγµένη τιµή του φ. Το µέγεθος του δείγµατος είναι το Μ= φ.1, όπου το 1 είναι το διάνυσµα-στήλη µε στοιχεία µονάδες. ο ) Έχει αποδειχτεί ότι (Farmaks, 003) οι παράµετροι της g() των σχέσεων (1.), (1.3) δίνονται από: ν ν λ ( ν + 1) ( ν + 1) ν = και h = ή h = ν + 1 ν + 1 ( β α) β όπου είναι λ = Cv. 3 ο ) Σύµφωνα µε όσα περιλαµβάνονται στην εργασία Farmaks (003) η συνάρτηση g() έχει ολοκλήρωµα ίσο µε τη µονάδα επειδή είναι σ.π.π. της τµ Χ. Η συνάρτηση όµως f() έχει ολοκλήρωµα διάφορο της µονάδας και που προσεγγίζεται δειγµατοληπτικά από: β f ( ) d I ˆ = φ 1=Μ, a 0 (1.5) a Η σχέση άρα f()= M g() (συστηµατικό) τιµών της. (1.4) δίνει την εκτίµηση της f() από τα δεδοµένα του δείγµατος Σηµείωση 1 η : Το αρχικό συστηµατικό δείγµα έχει n+1 ζεύγη τιµών (, f()). Από αυτά προκύπτουν τα n ζεύγη (κ, f ), =1,,,n. Το λειτουργικό όµως (για την µέθοδο αυτή) δείγµα έχει φ 1=Μ στοιχεία-τιµές. Αυτό είναι το µέγεθος του δείγµατος από το οποίο εξαρτάται και η ακρίβεια της προσέγγισης. Το µέγεθος Μ προκύπτει από τη διαδικασία προσδιορισµού της µέσης τιµής και της διασποράς και εξαρτάται και από τις τιµές της προς προσδιορισµό συνάρτησης f() και από το n µέσω του εύρους w. Είναι γνωστό από τη βιβλιογραφία ότι αυτά τα δύο µεγέθη συνδέονται µε µια προσεγγιστική σχέση της µορφής n q ln M, q (1.3,1.4), Φαρµάκης (001). Άρα µία τιµή του Μ>45, απαιτεί το n να είναι τουλάχιστο 5.

4 ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Σηµείωση η : Στις περιπτώσεις που είναι α>0 αντί της τµ Χ παίρνουµε την Χ-α. Άρα µας ενδιαφέρει πάντα η σχέση (1.3) και αυτό αρκεί για την g(). Γενικότερα µπορούµε για όποιες τιµές άκρων του πεδίου ορισµού [ρ, ξ] να έχουµε το µετασχηµατισµό [0, ξ-ρ], οπότε η µέθοδος επεκτείνεται για όλες τις συµµετρικές συναρτήσεις ανεξάρτητα από το αν έχουµε και αρνητικές τιµές της Χ. Υιοθετείται δηλαδή το [0, β]= [0, ξ-ρ] γενικά. Σηµείωση 3 η : Στην περίπτωση που η f() είναι σ.π.π. µιας τµ Χ, τότε η µέθοδος προσδιορισµού της είναι αυτή που περιγράφεται στην εργασία Farmaks (003).. Παραδείγµατα Πρακτική προσέγγιση Θα δώσουµε παραδείγµατα που θα υλοποιούν την παραπάνω µέθοδο και θα φωτίζουν το θέµα µε πρακτικές εφαρµογές. Παράδειγµα 1 ο : ίνεται δείγµα τιµών της συνάρτησης f()/[α, β] που είναι συµµετρική και συνεχής. Τα δεδοµένα του δείγµατος που είναι συστηµατικό ως προς είναι στον επόµενο Πίνακα 1: Πίνακας 1: Συστηµατικό δείγµα ως προς για τη συνάρτηση y=f() =n y Να βρεθεί µία προσέγγισή της συνάρτησης πολυωνυµικής µορφής. Λύση: Από τη γραµµή των διαπιστώνουµε ότι είναι α=5 και β=37. Άρα w=4=(β-α)/n. Μετασχηµατίζουµε σε Χ-5 το Χ και παίρνουµε τον παρακάτω Πίνακα, επεξεργασίας οµαδοποιηµένων στοιχείων, µε 8 κλάσεις στοιχείων, Φαρµάκης (001): Πίνακας : Επεξεργασία ταξινοµηµένων στοιχείων σε 8 τάξεις εύρους w=4 Τάξεις κ f = w (y-1 + y ) / κ =(κ -m)/w f κ f κ f (θεωρητικά) [0, 4) [4, 8) [8, 1) [1, 16) [16, 0) [0, 4) [4, 8) [8, 3] Σύνολα Μ=874 Τ 1 =418 Τ =4030 Μ=874.00

5 ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Πήραµε προσωρινή µέση τιµή την m=14. Από τα αποτελέσµατα του Πίνακα έχουµε: Μέση τιµή: ιασπορά: = 14 + = s = 4030 = Τυπική απόκλιση: s = = 8.38 Συντελεστής µεταβλητότητας: και άρα 8.38 Cv = = και λ = Cv = Άρα εκθέτης ν = = 0.31 και συντελεστής h = Από τα ανωτέρω και τον τύπο (1.3) έχουµε και τελικά g()= (3 ) f()= (3 ) [0,16) [16,3]. (.1) [0,3] [0,16) [16,3]. (.) [0,3] είναι η εκτιµήτρια της συνάρτησης f() από την οποία είχαµε τα αρχικά δεδοµένα σε συστηµατική παρατήρηση µε βήµα w=4. Οίκοθεν νοείται ότι για κάθε (π.χ. =13) που µας δίνεται παίρνουµε το αντίστοιχο -5 και το θέτουµε στην (.). Έτσι για =13 θα µπει η τιµή 13-5=8 και η τιµή της συνάρτησης θα είναι: f(8)=8.65. Στη συνέχεια επιχειρούµε να ελέγξουµε αν η συνάρτηση (.) δίνει δεδοµένα σε καθεµία από τις 8 τάξεις (θεωρητικά δεδοµένα) µε τέτοιο τρόπο κατανοµής ώστε να είναι συγκρίσιµα µε τα δεδοµένα του δείγµατος στην 3 η στήλη του Πίνακα. Τα θεωρητικά αυτά µεγέθη τα υπολογίζουµε µε τα αντίστοιχα ολοκληρώµατα της f()στα οικεία διαστήµατα και τα καταγράφουµε στην τελευταία στήλη του Πίνακα. Μία δοκιµασία Χ δίνει τιµή της παραµέτρου Χ =1.709 < =Χ 7;0.05. Άρα οι δειγµατικές συχνότητες προσαρµόζονται καλά στις θεωρητικές συχνότητες. Έχουµε ικανοποιητική προσέγγιση. Παράδειγµα ο : ίνεται δείγµα τιµών της συνάρτησης f()/[α, β] που είναι συµµετρική και συνεχής. Τα δεδοµένα του δείγµατος που είναι συστηµατικό ως προς είναι: Πίνακας 3: εδοµένα από συστηµατικό δείγµα ως προς για τη συνάρτηση y=f() =n

6 ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ y Να βρεθεί µία προσέγγισή της συνάρτησης πολυωνυµικής µορφής. Λύση: Από τη γραµµή των διαπιστώνουµε ότι είναι α=5 και β=37. Άρα w=4=(β-α)/n. Μετασχηµατίζουµε σε Χ-5 το Χ και παίρνουµε τον παρακάτω Πίνακα 4 επεξεργασίας οµαδοποιηµένων στοιχείων, µε 8 κλάσεις στοιχείων, Φαρµάκης (001): Πίνακας 4: Επεξεργασία ταξινοµηµένων στοιχείων σε 8 τάξεις εύρους w=4 Τάξεις κ f = w (y-1 + y ) / κ =(κ -m)/w f κ f κ f (θεωρητι κά) [0, 4) [4, 8) [8, 1) [1, 16) [16, 0) [0, 4) [4, 8) [8, 3] Σύνολα Μ=758 Τ 1 =398 Τ =4106 M= Πήραµε προσωρινή µέση τιµή την m=14. Από τα αποτελέσµατα του Πίνακα 4 προκύπτει: Μέση τιµή: ιασπορά: = 14 + = s = 4106 = Τυπική απόκλιση: s = = 9.08 Συντελεστής µεταβλητότητας: και άρα 9.08 Cv = = και λ = Cv = Άρα εκθέτης ν = = και συντελεστής h = Από τα ανωτέρω και τον τύπο (1.3) έχουµε

7 ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ 16 0 και τελικά η g()= (3 ) f()= (3 ) [0,16) [16,3]. (.3) [0,3] [0,16) [16,3]. (.4) [0,3] είναι η εκτιµήτρια της συνάρτησης f() από την οποία είχαµε τα αρχικά δεδοµένα σε συστηµατική παρατήρηση µε βήµα w=4. Οίκοθεν νοείται ότι για κάθε (π.χ. =13) που µας δίνεται παίρνουµε το αντίστοιχο -5 και το θέτουµε στην (.4). Έτσι για =13 θα µπει η τιµή 13-5=8 και η τιµή της συνάρτησης θα είναι: f(8)=.75 Στη συνέχεια επιχειρούµε να ελέγξουµε αν η συνάρτηση (.4) δίνει δεδοµένα σε καθεµία από τις 8 τάξεις (θεωρητικά δεδοµένα) µε τέτοιο τρόπο κατανοµής ώστε να είναι συγκρίσιµα µε τα δεδοµένα του δείγµατος στην 3 η στήλη του Πίνακα 4. Τα θεωρητικά αυτά µεγέθη τα υπολογίζουµε µε τα αντίστοιχα ολοκληρώµατα της f() στα οικεία διαστήµατα και τα καταγράφουµε στην τελευταία στήλη του Πίνακα 4. Μία δοκιµασία Χ δίνει τιµή της παραµέτρου Χ = < =Χ 7;0.05. Άρα οι δειγµατικές συχνότητες προσαρµόζονται καλά στις θεωρητικές συχνότητες. Έχουµε µια πολύ ικανοποιητική προσέγγιση. Στο παράδειγµα αυτό οι απόλυτες συχνότητες φαίνονται περίπου ίσες κυµαινόµενες ελαφρά γύρω από το 95. Αυτό υποβάλει την ιδέα της οµοιόµορφης κατανοµής, που είναι συµµετρική επίσης, ως προέλευση των δεδοµένων. Θεωρώντας άλλωστε τη διασπορά s = του δείγµατος και εκείνη της οµοιόµορφης κατανοµής =(β-α) /1 διαπιστώνουµε ότι είναι περίπου ισοδύναµες. Αυτή η παρατήρηση και το αποτέλεσµα της δοκιµασίας Χ µας βεβαιώνουν ότι η κατανοµή που µελετάµε είναι η οµοιόµορφη. 3. Συµπεράσµατα Η σηµασία της χρήσης του ΣΜ σε διάφορες εφαρµογές είναι από παλιά γνωστή, κύρια στις Βιολογικές και Oικονοµικές Επιστήµες. Στην παρούσα εργασία αναδεικνύεται ο ρόλος του ΣΜ στην επίτευξη ενός πιο κεντρικού στόχου στα Μαθηµατικά και ιδιαίτερα στη Στατιστική: «Ο ΣΜ βοηθάει στον προσδιορισµό των συναρτήσεων µέσα από δειγµατικά δεδοµένα, αρκεί αυτές να πληρούν κάποιες συνθήκες, όπως να είναι συµµετρικές. Όταν δεν είναι συµµετρικές υπάρχουν δυσκολίες αλλά υπάρχουν κι εκεί κάποιες ευκαιρίες χρήσης του. Ο προσδιορισµός των συναρτήσεων γίνεται φυσικά κατ εκτίµηση µέσα από την πολύ εύχρηστη µορφή του πολυωνύµου, πράγµα που βοηθάει να χρησιµοποιείται η µέθοδος και από ερευνητές που δεν είναι Μαθηµατικοί κατ ανάγκη. Μπορούν µάλιστα οι ερευνητές να κάνουν χρήση και των

8 ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ 16 1 δυνατοτήτων της Πληροφορικής κατασκευάζοντας κάποιο πρόγραµµα που να βρίσκει αυτόµατα τη συνάρτηση µε το που θα δίνονται τα δειγµατικά δεδοµένα. Αυτό το τελευταίο µάλιστα είναι µία καλή ιδέα που προτείνεται η χρήση της από τους διδάσκοντες Στατιστική και ειδικά στο κεφάλαιο περί κατανοµών». Σηµειώνεται η ανάγκη να συσχετιστεί η παρούσα µελέτη µε άλλες µελέτες άλλων κατανοµών, π.χ. αύξουσας µορφής, ώστε να αντιµετωπίζονται και πιο σύνθετες σ.π.π. ή έστω απλά συναρτήσεις. Αυτό όµως ξεφεύγει από το πλαίσιο της παρούσας εργασίας και θα αποτελέσει αντικείµενο άλλων άρθρων στο µέλλον, µόλις αντιµετωπιστούν και κάποια ευαίσθητα σηµεία τέτοιων συναρτήσεων. Contnuous functons and coeffcent of varaton: Reachng va samplng Nkolaos Farmaks Department of Mathematcs Arstotle Unversty of Thessalonk, Greece Abstract Coeffcent of Varaton (Cv) s a very useful tool for several statstcal applcatons. It has been used for bas correcton of some knd of data, Also t s used for a polynomal epresson, estmatng the probablty densty functon (pdf) f(), of a random varable X n Statstcs, Farmaks (003, 010), and n too many other Economcal or Bologcal studes. In ths paper we try to reach wth a polynomal form some knd of contnuous functons f()(not only pdf) va samplng data of ths functons. We try va Systematc sample. After the data collecton we try to work wth a process lke the known from Farmaks (003) for the pdf. So the new dea here s to etend the use of the process for the pdf to any other contnuous functon f() defned n a space [α, β] subset of the Real Numbers set R. At frst we try to work on symmetrcal functons and a more general goal of ours s to work afterwards on some other forms of functons f() lke Increasng and decreasng ones or some combnaton of them. Some llustratve eamples are presented and wth the proposed method we reach the studed functon f(), va sampled data as a polynomal functon. Note that the above proposed method ncludes also the dea of an algorthm and some computer programs can be used, lke EXCEL, etc. Therefore, a successful and fast way s establshed n order to obtan the parameters of the studed functon f() from samplng data.

9 ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ 16 Βιβλιογραφία Sachs, L., (1984). Appled Statstcs, Sprnger-Verlang Inc, New York. Φαρµάκης, Ν., (001). Στατιστική, Περιληπτική Θεωρία-Ασκήσεις, Α & Π Χριστοδουλίδη, Θεσσαλονίκη Farmaks, N., (003). Estmaton of Coeffcent of Varaton: Scalng of Symmetrc Contnuous Dstrbutons, Statstcs n Transton, Vol. 6, Nr 1, pp Φαρµάκης, Ν., (009). Εισαγωγή στη ειγµατοληψία, Α & Π Χριστοδουλίδη, Θεσσαλονίκη Farmaks, N., (010). Coeffcent of Varaton: Connectng Samplng wth some Increasng Dstrbuton Models, Proceedngs of Stochastc Modellng Technques and Data Analyss Internatonal Conference, SMTDA-010, Chana, Crete, Greece, part A-H, pp Ευχαριστίες: Εκφράζονται ευχαριστίες στους κριτές για τις εύστοχες και εποικοδοµητικές παρατηρήσεις και διορθώσεις.

ειγµατοληπτικές έρευνες ηλεκτρονικού ταχυδροµείου (email surveys) και µεροληψία µη απόκρισης

ειγµατοληπτικές έρευνες ηλεκτρονικού ταχυδροµείου (email surveys) και µεροληψία µη απόκρισης ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΤΕΥΧΟΣ 5 (σσ. 0-0) DATA ANALYSIS BULLETIN, ISSUE 5 (pp. 0-0) ειγµατοληπτικές έρευνες ηλεκτρονικού ταχυδροµείου (email surveys) και µεροληψία µη απόκρισης Νικόλαος Φαρµάκης και

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Α. Τζιµπλάκης. ιπλωµατική Εργασία

Βασίλειος Α. Τζιµπλάκης. ιπλωµατική Εργασία ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΑΞΙΑΣ ΕΞΩΤΙΚΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕΣΩ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. του ΠΕΤΡΟΥ Ι. ΒΕΝΕΤΗ. Καθηγητής Ε..Μ.Π. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. του ΠΕΤΡΟΥ Ι. ΒΕΝΕΤΗ. Καθηγητής Ε..Μ.Π. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Αποδοτικά ευρετήρια για ερωτήματα ομοιότητας σε τυχαίους υποχώρους πολυδιάστατων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εξ αποστάσεως εκπαίδευση εκπαιδευτικών σε προβλήματα προσθετικού τύπου

Εξ αποστάσεως εκπαίδευση εκπαιδευτικών σε προβλήματα προσθετικού τύπου 1 Το παρακάτω άρθρο δημοσιεύτηκε στα Πρακτικά 4 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Διδακτικής των Μαθηματικών και Πληροφορική στην Εκπαίδευση. Η πλήρης αναφορά είναι η εξής: Χ. Λεμονίδης (1999). Εξ αποστάσεως εκπαίδευση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks)

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks) Στο κεφάλαιο αυτό, εξετάζονται ορισμένες τεχικές ανάλυσης δεδομένων, οι

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων

Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων Ζάντζος Ιωάννης 1, Κυνηγός Χρόνης 2 1 Καθηγητής Μαθηµατικών, Υποψήφιος ιδάκτωρ,

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Νίκος Λαζαρίδης Για το µάθηµα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (ΤΕΤΥ 116) Αναθεώρηση, συµπληρώσεις : Μαρία Καφεσάκη 1 Κεφάλαιο 1: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ WEB CAMERA ΚΑΙ OPENCV

ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ WEB CAMERA ΚΑΙ OPENCV ΣΕΡΡΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 2013 ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ WEB CAMERA ΚΑΙ OPENCV ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

2. Η διδασκαλία της Γεωµετρίας στο ελληνικό δηµοτικό σχολείο

2. Η διδασκαλία της Γεωµετρίας στο ελληνικό δηµοτικό σχολείο Εισαγωγή Η εργασία αυτή έχει στόχο να παρουσιάσει µια εναλλακτική πρόταση για τη διδασκαλία της Γεωµετρίας στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, αντλώντας περιεχόµενα από τη λαϊκή παράδοση και λαµβάνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ THE USE OF MULTISTAGE RANDOM SAMPLING IN SOCIAL RESEARCH

Η ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ THE USE OF MULTISTAGE RANDOM SAMPLING IN SOCIAL RESEARCH Η ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Μαρκοπούλου, Διονυσία 1,* 1 Περιβαλλοντολόγος Χαρτογράφος, Email: markopoulou.d@gmail.com Περίληψη Σκοπός της εργασίας αυτής

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Ατοµικής και Μοριακής Φυσικής

Σηµειώσεις Ατοµικής και Μοριακής Φυσικής Σηµειώσεις Ατοµικής και Μοριακής Φυσικής Ε. Φωκίτης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ατοµική και Μοριακή Φυσική 1. Εισαγωγή 2. Πολυηλεκτρονιακά άτοµα: Ταυτόσηµα σωµατίδια,συµµετρικές και αντισυµµετρικές κυµατοσυναρτήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΥ Α.Ε. ΑΠΟΨΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΗΜΟΣΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΥ Α.Ε. ΑΠΟΨΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΗΜΟΣΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΥ Α.Ε. ΑΠΟΨΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΡΥΘΜΙΣΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΝ ΤΟΜΕΑ ΙΑΝΟΜΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2006 ΣΥΝΟΨΗ ΚΥΡΙΟΤΕΡΩΝ ΑΠΟΨΕΩΝ Η διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων Ιωάννινα, 2008 ii Περιεχόµενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...................... vii 1.1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΥΤΕΡΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ......... vii

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VII. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΡΑΥΣΕΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Εισαγωγή Θραύση (fracture) ονοµάζεται ο διαχωρισµός, ή θρυµµατισµός, ενός στερεού σώµατος σε δύο ή περισσότερα κοµµάτια, κάτω από την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή Γεννήτριας Σχηµάτων XML (XML Schema Generator) από το Εννοιολογικό Μοντέλο Αναφοράς του CIDOC/ICOM

Κατασκευή Γεννήτριας Σχηµάτων XML (XML Schema Generator) από το Εννοιολογικό Μοντέλο Αναφοράς του CIDOC/ICOM Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Θετικών Επιστηµών Επιστηµών Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Σχολή Κοινωνικών Τµήµα Αρχαιολογίας Κατασκευή Γεννήτριας Σχηµάτων XML (XML Schema Generator) από το Εννοιολογικό Μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ Αναπαραστάσεις και Κατανόηση Συνόλων Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ Ειρήνη Αριστοτέλους, Χρυστάλλα Περικλέους, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών Αγωγής,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα