Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων"

Transcript

1 Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων Ζάντζος Ιωάννης 1, Κυνηγός Χρόνης 2 1 Καθηγητής Μαθηµατικών, Υποψήφιος ιδάκτωρ, ΕΚΠΑ 2 Καθηγητής, Εργαστήριο Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας, Φ.Π.Ψ, ΕΚΠΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σε αυτό το άρθρο παρουσιάζουµε µια διδακτική πρόταση αξιοποίησης ενός 3D λογισµικού (MaLT), το οποίο στηρίζεται στη γλώσσα Logo και το δυναµικό χειρισµό µαθηµατικών αντικειµένων. Στόχος µας είναι να δείξουµε το πώς οι ψηφιακές τεχνολογίες σε συνδυασµό µε κατάλληλα δοµήµατα έχουν αλλάξει την πρόσβαση σε θεµελιώδεις έννοιες της διαφορικής γεωµετρίας όπως οι έννοιες: της µικρότερης απόστασης µεταξύ δυο σηµείων σε µη επίπεδη επιφάνεια, της προσέγγισης καµπυλών του χώρου, της στρέψης, της καµπυλότητας και σε συγγενείς µε αυτήν έννοιες, και να τις κάνουν προσιτές ακόµα και σε µαθητές των µικρών τάξεων της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης. Μέσα από τους πειραµατισµούς των µαθητών µε το µισοψηµένο µικρόκοσµο που αναπτύξαµε, έχουµε τη δυνατότητα µελέτης των νοηµάτων που αναπτύσσουν οι µαθητές σε ένα µη οικείο πρόβληµα για αυτούς, όπως αυτό της εύρεσης και σχεδίασης της µικρότερης διαδροµής µεταξύ δυο σηµείων σε µη επίπεδες επιφάνειες. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: : Έλικα, καµπυλότητα, µισοψηµένος µικρόκοσµος ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο καθορισµός της συντοµότερης διαδροµής µεταξύ δυο σηµείων σε µια επιφάνεια, δηλαδή των γεωδαισιακών, είναι ένα πρόβληµα το οποίο καλούνται να αντιµετωπίσουν οι µαθητές από τις πιο µικρές τάξεις της σχολικής τους ηλικίας (γεωδαισιακές στο επίπεδο) έως και στις πανεπιστηµιακές σπουδές τους. Αυτό το πρόβληµα τυγχάνει επίσης ιδιαίτερης µελέτης και ανάλυσης και σε πολλές εφαρµογές, όπως είναι ο καθορισµός της συντοµότερης διαδροµής που ακολουθούν τα αεροπλάνα και στις δορυφορικές τροχιές. Στην αρχιτεκτονική, η έλικα, ως η γεωδαισιακή του κυλίνδρου, χρησιµοποιείται για να φτιάχνουµε σκάλες, ενώ χαρακτηριστική είναι η περίπτωση της διπλής έλικας στο µόριο του DNA που αποτελεί το σύµβολο της επιστήµης του 20ού αιώνα. Αν και το πρόβληµα εύρεσης της µικρότερης απόστασης µεταξύ δυο σηµείων στο επίπεδο είναι µια εύκολη διαδικασία για τους µαθητές µιας και είναι η ευθεία που τα ενώνει, δεν συµβαίνει το ίδιο όταν καλούνται να αντιµετωπίσουν το ίδιο πρόβληµα σε µη επίπεδες επιφάνειες, όπως στην επιφάνεια της σφαίρας και του κυλίνδρου. Αυτό απαιτεί γενίκευση του όρου σύντοµη διαδροµή µεταξύ δυο σηµείων σε συνδυασµό µε την έννοια της ευθείας γραµµής στις αντίστοιχες επιφάνειες. Όταν οι µαθητές έρχονται για πρώτη φορά σε επαφή µε έννοιες της γεωµετρίας, µαθαίνουν ότι η ευθεία είναι µη οριζόµενη έννοια και ότι αποτελεί το συντοµότερο δρόµο µεταξύ δυο σηµείων. Οι µαθητές βρίσκονται σε σύγχυση όταν αργότερα µαθαίνουν ότι µια ευθεία γραµµή πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας ορίζεται να είναι τόξο µέγιστου κύκλου, που αποτελεί και τη συντοµότερη διαδροµή που ενώνει τα δυο σηµεία (Taimina and Henderson, 2005). Και το ερώτηµα, και συγχρόνως προβληµατισµός για τους µαθητές, που εύλογα προκύπτει και τίθεται εύστοχα και από τους προηγούµενους ερευνητές είναι : Τελικά τι είναι ευθεία και πως µπορώ να την σχεδιάσω; Σύµφωνα µε τον Fischbein (1987), µια συγκεκριµένη ερµηνεία µιας έννοιας µπορεί να είναι αρχικά πολύ χρήσιµη για την διδακτική διαδικασία, ως αποτέλεσµα των διαισθητικών ιδιοτήτων της. Αλλά η υπεροχή αυτού του µοντέλου µπορεί να αποτελέσει εµπόδιο για το πέρασµα σε έννοιες γενικότερες και πιο αφηρηµένες. Με βάση αυτό, ο Greer (2006) προτείνει, όπου είναι δυνατόν, να προβλέπουµε επεκτάσεις των εννοιών που θα συναντήσουν οι µαθητές. Η έννοια του συντοµότερου δρόµου µεταξύ δυο σηµείων και η σχεδίαση της αντίστοιχης καµπύλης που να διέρχεται από αυτά, έχει άµεση σχέση µε τις έννοιες της καµπυλότητας και της Κ. Γλέζου & Ν. Τζιµόπουλος (Επιµ.), Πρακτικά Εργασιών 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη ιδακτική Πράξη», σ. 1-5 Σύρος, 6-8 Μαΐου 2011

2 2 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ στρέψης µιας καµπύλης. Η γνώση αυτών τω σχέσεων µας δίνει τη δυνατότητα χάραξης της καµπύλης, όπως θα εξηγήσουµε και παρακάτω. Αυτές οι δυο τελευταίες έννοιες είναι ο πυρήνας στον οποίο στηρίζεται όλη η µελέτη ενός σηµαντικού κλάδου των µαθηµατικών: της ιαφορικής Γεωµετρίας. Οι έρευνες έχουν αναδείξει προβλήµατα µε τη µελέτη και µάθηση εννοιών αυτού του κλάδου. Για παράδειγµα, η γλώσσα της γεωµετρίας σαν µια από τις πιο ακριβείς σε όλους τους τοµείς των µαθηµατικών, κάνει τη διαφορική γεωµετρία αποθαρρυντική για όσους δεν ασχολούνται συστηµατικά µε αυτόν τον τοµέα. Η γλώσσα της γεωµετρίας έχει γίνει επίσης άρρηκτα συνυφασµένη µε την άλγεβρα, αλλά δυστυχώς πολλοί από τους τύπους που προκύπτουν είναι αρκετά πολύπλοκοι γεγονός που κάνει και πάλι την πρόσβαση δύσκολη (Kawski, 2003). Επιπλέον δυσκολίες προκύπτουν γενικά από τη µελέτη της γεωµετρίας στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο και τη χρήση 2D αντικειµένων για τη µελέτη των σχηµάτων και των ιδιοτήτων των τριών διαστάσεων αντικειµένων (Kynigos and Latsi,2007; Laborde, 2010). Παρά τις παραπάνω δυσκολίες, υπάρχουν ενδείξεις ότι έννοιες της διαφορικής γεωµετρίας µε τη χρήση κατάλληλων λογισµικών µπορούν να βοηθήσουν ακόµα και µικρούς µαθητές να ασχοληθούν και να δηµιουργήσουν νοήµατα για αυτές. Για παράδειγµα, σύµφωνα µε τους Kynigos & Psycharis (2003), µαθητές ετών, µε τη βοήθεια του χελωνόκοσµου, ο οποίος συνδυάζει δυναµικό χειρισµό και συµβολική έκφραση µέσα από τη γλώσσα προγραµµατισµού Logo, κατάφεραν να δηµιουργήσουν νοήµατα σχετικά µε έννοιες που ανήκουν στο εννοιολογικό πεδίο της καµπυλότητας. Η έννοια της καµπυλότητας όµως, δεν είναι τελείως άγνωστη για τους µαθητές της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης, αν και δεν αναφέρεται ρητά στα σχολικά εγχειρίδια. Στα σχολικά προγράµµατα η έννοια της καµπυλότητας εντοπίζεται σε πολλές περιοχές της ύλης όπως για παράδειγµα: Στην αναλυτική γεωµετρία στην έννοια των κωνικών τοµών και στη γεωµετρία στους κύκλους. Πολλές από τις παραπάνω έννοιες φαίνεται να εστιάζουν σε διάφορες ιδιότητες παρά «στην έννοια της φύσης της καµπύλης ως αντίθεσης στην ευθεία γραµµή» και «Η εστίαση, ωστόσο, δεν τίθεται στην έννοια της καµπυλότητας ως πεδίο δηµιουργίας µαθηµατικών νοηµάτων» (Κυνηγός, 2006,σελ.137). Ίσως τώρα µε τη χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας και µε την εµφάνιση τα τελευταία χρόνια 3D περιβαλλόντων, να υπάρχει η δυνατότατα µελέτης και απόκτησης εµπειριών εκ µέρους των µαθητών µε τέτοιες αφηρηµένες έννοιες γενικά στο χώρο, τουλάχιστον σε διαισθητικό επίπεδο, πριν φτάσουν στους πολύπλοκους τύπους της διαφορικής γεωµετρίας. Οι δυνατότητες για διερεύνηση και η χρήση του δυναµικού χειρισµού που παρέχουν σήµερα οι ψηφιακές τεχνολογίες, µπορούν να µεσολαβήσουν στη µετάβαση από το διαισθητικό στο θεωρητικό επίπεδο (Jones, 2000). Ο Vergnaud (1988), εισήγαγε την έννοια του εννοιολογικού πεδίου ως ένα σύνολο καταστάσεων, η γνώση των οποίων απαιτεί γνώση πολλών εννοιών διαφορετικής φύσης. Υποστήριξε ότι έχει νόηµα η θεώρηση µιας έννοιας σε σχέση µε άλλες συγγενείς έννοιες, µε καταστάσεις στις οποίες µπορεί να χρησιµοποιηθεί και µε τις διαθέσιµες αναπαραστάσεις της και δεν έχει νόηµα η αντίληψή της σε αποµόνωση. Με βάση λοιπόν τα παραπάνω δεν έχει νόηµα να µελετήσουµε στο πλαίσιο στο οποίο αναφερόµαστε µόνο την έννοια της µικρότερης απόστασης µεταξύ δυο σηµείων στην επιφάνεια του κυλίνδρου. Θεωρούµε ότι η προηγούµενη έννοια ανήκει στο εννοιολογικό πεδίο της καµπυλότητας (Κυνηγός, 2006) µιας και συνδέεται άµεσα µε έννοιες όπως η καµπυλότητα και η στρέψη στο χώρο, ο ρυθµός µεταβολής και το µήκος τόξου. Έχοντας ως στόχο τη διερεύνηση των νοηµάτων που αναπτύσσουν οι µαθητές σχετικά µε έννοιες της διαφορικής γεωµετρίας, σχεδιάσαµε δραστηριότητες στηριζόµενοι στη θεωρία µάθησης µέσω κατασκευών (constructionism, Kafai and Resnick, 1996). Ένα κεντρικό χαρακτηριστικό της µεθόδου που θεωρούµε κατάλληλο για τη συγκεκριµένη περίπτωση, είναι να τους δώσουµε να ξεκινήσουν µε έναν «µισοψηµένο» µικρόκοσµο (Kynigos, 2007) µε την ονοµασία shortroad (σύντοµος δρόµος). Οι µισοψηµένοι µικρόκοσµοι είναι λογισµικά σχεδιασµένα µε τέτοιο τρόπο ώστε να προκαλούν µαθητές αλλά και εκπαιδευτικούς να κατασκευάσουν κάτι µε αυτούς ή ακόµα να τους αλλάξουν αλλά και να τους αποδοµήσουν. εν αποτελούν έτοιµα περιβάλλοντα για να κατανοηθούν από τους εκπαιδευτικούς και µετά να χρησιµοποιηθούν από τους µαθητές. Ενσωµατώνουν διάφορες έννοιες και προσφέρουν στο µαθητή τα εργαλεία για να αλληλεπιδράσει µε το µικρόκοσµο. Στόχος τους είναι να λειτουργούν ως σηµεία εκκίνησης, και ο χρήστης να οικειοποιηθεί τις ιδέες που βρίσκονται πίσω από τη διαδικασία κατασκευής τους. Αφού πρώτα δώσουµε µερικά βασικά στοιχεία διαφορικής γεωµετρίας που έχουν σχέση µε τη καµπυλότητα και τη στρέψη (τα οποία µπορούν να βρεθούν σε οποιοδήποτε βιβλίο ιαφορικής Γεωµετρίας, π.χ. O Neill,B.,1997) και παρουσιάσουµε και το λογισµικό, µετά θα προχωρήσουµε στη διδακτική µας πρόταση.

3 «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη ιδακτική Πράξη» 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Μια καµπύλη στο χώρο µπορεί να θεωρηθεί ως η διαδροµή ενός κινητού σηµείου και µπορεί να καθοριστεί από την κίνηση του τριέδρου (F-S) των Frenet-Serret, T,N,B (Τ= µοναδιαίο διάνυσµα της εφαπτοµένης, Ν= µοναδιαίο πρώτο κάθετο διάνυσµα, Β= µοναδιαίο δεύτερο κάθετο διάνυσµα). Αυτά τα τρία διανύσµατα ορίζουν µια δεξιόστροφη ορθοκανονική βάση η οποία καλείται κινούµενο τρίεδρο της καµπύλης. Τα διανύσµατα Τ και Ν ορίζουν ένα επίπεδο που λέγεται εγγύτατο επίπεδο της καµπύλης σε αυτό το σηµείο. Ο ρόλος του εγγύτατου επιπέδου είναι παρόµοιος µε εκείνον της εφαπτοµένης, δηλαδή για µια περιοχή πολύ κοντά σε ένα σηµείο, το εγγύτατο επίπεδο είναι εκείνο το επίπεδο που βρίσκεται πλησιέστερα στην καµπύλη από οποιοδήποτε άλλο. Έτσι προσεγγιστικά µπορούµε σε αυτή την πολύ µικρή περιοχή να θεωρούµε την καµπύλη επίπεδη και να έχουµε τη δυνατότητα να την προσεγγίσουµε µε βάση την εφαπτοµένη της σε αυτό. Από σηµείο σε σηµείο κατά µήκος της καµπύλης η θέση του εγγύτατου επιπέδου αλλάζει. Προφανώς, αν το εγγύτατο επίπεδο δεν αλλάζει, έχουµε επίπεδη καµπύλη και το επίπεδό της ταυτίζεται µε το εγγύτατο. Η περιστροφή του τριέδρου καθώς αυτό κινείται, δίνεται από την καµπυλότητα και την στρέψη. Ακριβώς όπως ο ρυθµός αλλαγής της κατεύθυνσης της εφαπτοµένης χαρακτηρίζεται από την καµπυλότητα, έτσι ο ρυθµός αλλαγής της κατεύθυνσης του εγγύτατου επιπέδου χαρακτηρίζεται από την στρέψη της καµπύλης. Αναφερόµαστε παρακάτω πιο αναλυτικά στον ορισµό της καµπυλότητας και της στρέψης για να γίνει κατανοητή και η προσέγγιση που θα εφαρµόσουµε στη διδακτική µας πρόταση. Έστω Α και Μ δυο σηµεία µιας καµπύλης κοντά το ένα µε το άλλο, µε µήκος τόξου χ. Έστω φ η γωνία που σχηµατίζουν οι εφαπτόµενες σε αυτά τα σηµεία. Ο µέσος όρος αλλαγής της κατεύθυνσης της εφαπτοµένης δίνεται από το λόγο φ/ χ. Τότε το όριο του λόγου αυτού καθώς το Μ προσεγγίζει το Α, δηλαδή καθώς χ 0 (στιγµιαίος ρυθµός µεταβολής), ονοµάζεται καµπυλότητα κ της καµπύλης στο σηµείο Α. ηλαδή ισχύει η εξής σχέση : φ κ = lim χ 0 χ Για τη στρέψη ισχύουν ανάλογα πράγµατα µόνο που τώρα φ είναι η γωνία µεταξύ των εγγυτάτων επιπέδων στα γειτονικά σηµεία. Αποδεικνύεται ότι η στρέψη µετράει την περιστροφή του εγγυτάτου επιπέδου περί της εφαπτοµένης. Να σηµειώσουµε επίσης ότι σύµφωνα µε το Θεµελιώδες Θεώρηµα της ιαφορικής Γεωµετρίας, µια κανονική καµπύλη στο χώρο καθορίζεται πλήρως (εκτός από τη θέση της στο χώρο) από την καµπυλότητα και την στρέψη. Η γενίκευση της κίνησης της χελώνας στον τρισδιάστατο χώρο γίνεται µε την εφαρµογή της θεωρίας της ιαφορικής Γεωµετρίας των καµπυλών στο χώρο. Σύµφωνα µε τους Abelson and disessa (1986), για την περιγραφή της κίνησης της χελώνας στις τρεις διαστάσεις χρειαζόµαστε τρία αµοιβαίως κάθετα διανύσµατα: Το ένα να έχει την κατεύθυνση της κίνησης, το άλλο να είναι κάθετο σε αυτό, και το τρίτο να είναι κάθετο στο επίπεδο των δυο πρώτων για να µπορούµε να οδηγούµε τη χελώνα έξω από το επίπεδο των δυο πρώτων. Συνδυάζοντας τώρα τα παραπάνω στοιχεία µε εκείνα της διαφορικής γεωµετρίας, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η χελώνα κινείται στην κατεύθυνση της εφαπτοµένης και το επίπεδο που βρίσκεται κάθε φορά είναι το εγγύτατο επίπεδο όπως καθορίστηκε παραπάνω. Μια από τις βασικές τεχνικές στην διαφορική γεωµετρία είναι η εξής: Ένα αντικείµενο µελέτης, για παράδειγµα µια καµπύλη, αντικαθίσταται από µια γραµµική της προσέγγιση, δηλαδή την εφαπτοµένη της καµπύλης σε ένα σηµείο και για µια περιοχή πολύ κοντά σε αυτό. Για να µπορέσουµε τώρα µε τη βοήθεια της γλώσσας Logo και στο MaLT να κατασκευάσουµε µια καµπύλη, θα πρέπει να βρούµε τρόπους να περιγράψουµε τη γωνία στροφής και το µήκος βήµατος της χελώνας. Από τη θεωρία του διαφορικού λογισµού είναι γνωστό ότι όταν το χ γίνεται αρκετά µικρό, ο αριθµητής του πηλίκου της σχέσης (1) γίνεται σχεδόν ίσος προς το γινόµενο κ. χ. ηλαδή οι ποσότητες φ και κ. χ είναι σχεδόν ίσες για αρκετά µικρές τιµές του χ. Τα παραπάνω µας δίνουν και τη σχέση που συνδέει τη γωνία στροφής της χελώνας µε τη καµπυλότητα και τη στρέψη. ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Το υπολογιστικό περιβάλλον που χρησιµοποιούµε στη παρούσα πρότασή µας είναι το MaLT ( το οποίο συνδυάζει τη συµβολική έκφραση µέσα από µια γλώσσα προγραµµατισµού (Logo) και το δυναµικό χειρισµό µαθηµατικών αντικειµένων και το οποίο αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου ReMath (ReMath, ). Είναι (1)

4 4 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ επέκταση της Γεωµετρίας της Χελώνας του Χελωνόκοσµου στον τρισδιάστατο γεωµετρικό χώρο, κατάλληλο για κατασκευή και εξερεύνηση γεωµετρικών αντικειµένων. Οι κινήσεις της χελώνας καθορίζονται από τις εξής εντολές: fd(:n) και bk(:n) οι οποίες δίνουν εντολή στη χελώνα να κινηθεί n βήµατα µπροστά ή πίσω, lt(:n) και rt(:n) κινούν τη χελώνα n µοίρες αριστερά ή δεξιά γύρω από τη ευθεία της κίνησης της στο εγγύτατο επίπεδο, dp(:n) και up(:n) στρέφουν τη χελώνα προς τα κάτω ή προς τα πάνω και rr(:n), lr(:n) περιστρέφουν τη χελώνα γύρω από την εφαπτοµένη της. Τα βασικά εργαλεία του MaLT είναι (εικόνα 1): Ο απλός µεταβολέας ο οποίος παρέχει στο χρήστη τη δυνατότητα δυναµικού χειρισµού των τιµών των µεταβλητών σε ένα αναπαριστώµενο σχήµα. Ενεργοποιείται όταν ο χρήστης κάνει «κλικ» σε οποιαδήποτε σηµείο του ίχνους της χελώνας στο αναπαριστώµενο αντικείµενο, αφού προηγουµένως εκτελέσει την επιθυµητή διαδικασία. Εµφανίζεται έτσι ένα παράθυρο το οποίο περιέχει τις µεταβλητές και ένα εύρος στο οποίο κάθε µεταβλητή µπορεί να πάρει τιµές. Ο χρήστης έχει την δυνατότητα κάνοντας χρήση του ολισθητή να µεταβάλει τις τιµές της κάθε µεταβλητής να πειραµατίζεται και να παρατηρεί ταυτόχρονα την αλλαγή που υφίσταται το σχήµα κατά την διάρκεια της µεταβολής. Ο δισδιάστατος µεταβολέας είναι ένα δυσδιάστατο ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων. Χρησιµοποιείται για να καθοριστεί η συµµεταβολή δύο µεταβλητών οι οποίες επιλέγονται από τον χρήστη και περιέχονται σε µια διαδικασία που δοµείται τουλάχιστον από δύο µεταβλητές. Ο δισδιάστατος µεταβολέας ενεργοποιείται µέσω του µονοδιάστατου και ο χρήστης επιλέγει τις δύο παραµέτρους έτσι ώστε η µια να κινηθεί στον άξονα των χ και η άλλη στον άξονα των ψ. Κάνοντας κλικ και σύροντας µε πατηµένο το κουµπί προκαλείται συµµεταβολή των δυο παραµέτρων αφήνοντας γραµµικό ίχνος στο επίπεδο του µεταβολέα. Ο χρήστης έχει τη δυνατότητα επίσης να επιλέξει ένα τυχαίο σηµείο στον δυσδιάστατο µεταβολέα και µετακινώντας το να βλέπει τη συµµεταβολή των δυο µεταβλητών. Επαναλαµβάνοντας το ίδιο και µε άλλα σηµεία, στο επίπεδο του δυσδιάστατου µεταβολέα σχηµατίζεται η γραφική παράσταση των δυο µεταβλητών. υο ακόµη χαρακτηριστικά είναι ο τρισδιάστατος µεταβολέας που καθορίζει τη συµµεταβολή τριών µεταβλητών και η δυνατότητα που έχει ο χρήστης να χειρίζεται δυναµικά την κάµερα µέσω του ενεργού διανύσµατος και να παρατηρεί το αντικείµενο στη σκηνή από όποια πλευρά και κατεύθυνση επιθυµεί. Να σηµειώσουµε επίσης τη δυνατότητα που έχει ο χρήστης για εισαγωγή έτοιµων 3d αντικειµένων στη σκηνή, όπως σφαίρας και κυλίνδρου. Εικόνα 1: Το περιβάλλον του MaLT

5 «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη ιδακτική Πράξη» 5 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ «Να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε τη µικρότερη διαδροµή µεταξύ δυο σηµείων σε µια κυλινδρική επιφάνεια». Για τους πειραµατισµούς, αναφέρουµε στους µαθητές ότι µπορούν να χρησιµοποιήσουν όποια υλικά θέλουν ( π.χ χαρτόνι), και το µικρόκοσµο µε την ονοµασία shortroad (σύντοµος δρόµος), χωρίς όµως να ξέρουν από την αρχή το τι ακριβώς αυτός κάνει. Τους γνωστοποιούµε ότι το πρόγραµµα αυτό θα τους είναι χρήσιµο για την εύρεση του τρόπου σχεδίασης µιας τέτοιας διαδροµής και ότι στο τέλος µπορούν να τον χρησιµοποιήσουν για να φτιάξουν τα δικά τους µοντέλα. Οι πειραµατισµοί µε το χαρτόνι είναι µια γνωστή διαδικασία για τους µικρούς µαθητές από την περίπτωση εύρεσης του εµβαδού της επιφάνειας ενός κυλίνδρου. Σε αυτή την περίπτωση οι µαθητές έπρεπε να ξετυλίξουν την επιφάνεια του κυλίνδρου και να παρατηρήσουν ότι σχηµατίζεται ένα ορθογώνιο. Στην περίπτωσή µας µπορούν µε το χαρτόνι να δηµιουργήσουν µια κυλινδρική επιφάνεια και να πάρουν δυο τυχαία σηµεία στην επιφάνειά της. Μπορούν µάλιστα να διπλώσουν το χαρτί κατάλληλα και τα δυο σηµεία να αποτελούν τα άκρα µιας γενέτειρας ενός κυλίνδρου. Ξετυλίγοντας το χαρτόνι σχηµατίζεται ένα ορθογώνιο (επίπεδη επιφάνεια) και µάλιστα τα δύο σηµεία ανήκουν στη διαγώνιο του ορθογωνίου, ενώ διπλώνοντας το χαρτόνι σχηµατίζεται έλικα. Με βάση το παρακάτω σχήµα (1) στο οποίο έχουν οι µαθητές καταλήξει, και µε απλή εφαρµογή του πυθαγόρειου θεωρήµατος µπορούν να φτάσουν σε έναν γενικευµένο µαθηµατικό τύπο που να τους δίνει το µήκος µιας έλιξης της έλικας. Στο ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα µας δίνει το µήκος της έλικας, η µια κάθετη πλευρά το ύψος του κυλίνδρου και η άλλη κάθετη ισούται µε το µήκος της βάσης του κυλίνδρου. Σχήµα 1: Υπολογισµός του µήκους της Έλικας Από πυθαγόρειο θεώρηµα για το µήκος της έλικας έχουµε: 2 2 s = h +(2πr) Το παραπάνω συµπέρασµα συµβαδίζει και µε τον τύπο για το µήκος τόξου µιας έλικας που βρίσκουµε µε όρους διαφορικής γεωµετρίας και µε το ολοκλήρωµα της ταχύτητας. Το πρόβληµα όµως βρίσκεται στη γενίκευσή του και στην κατασκευή µιας καµπύλης στο χώρο χωρίς τη χρήση υλικών όπως το χαρτόνι. Για παράδειγµα, όταν θέλουν να αντιµετωπίσουν το πρόβληµα της σχεδίασης µιας υποτιθέµενης διαδροµής ενός αεροπλάνου. Μέσα από τους προηγούµενους πειραµατισµούς οι µαθητές διαπιστώνουν ότι ο συντοµότερος δρόµος είναι µια έλικα και ίσως διαπιστώσουν ότι µπορεί να είναι και µια ευθεία (γενέτειρα του κυλίνδρου ) ή ότι είναι ένας κύκλος παράλληλος στη βάση, ανάλογα µε τη θέση των σηµείων που θα επιλέξουν. Για να σχεδιαστεί όµως µια τέτοια καµπύλη, χρειάζεται να ξέρουµε τη καµπυλότητα και τη στρέψη της, η µελέτη των οποίων γίνεται µέσω της κίνησης του τριέδρου των F-S στο χώρο, που τουλάχιστον µε τα στατικά παραδοσιακά µέσα και χωρίς τη χρήση κατάλληλων εργαλείων είναι αδύνατη. Ο παρακάτω µισοψηµένος µικρόκοσµος θεωρούµε ότι είναι ένα τέτοιο εργαλείο όπως θα φανεί και από την περιγραφή ενός υποτιθέµενου σεναρίου. Ο ΜΙΣΟΨΗΜΕΝΟΣ ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟΣ shortroad : to shortroad :n :s :dx :c repeat :n [rr(:s) rt(:c) fd(:dx)] end Ο παραπάνω µικρόκοσµος περιλαµβάνει ένα πρόγραµµα µε τέσσερις παραµέτρους. Ερµηνεία των παραµέτρων: n: πλήθος επαναλήψεων s: στροφή της χελώνας γύρω από την κατεύθυνση της κίνησής της (καθορίζει τη στρέψη) dx: καθορίζει το µήκος του βήµατος της χελώνας

6 6 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ c: στροφή της χελώνας στο επίπεδό της (εγγύτατο επίπεδο, καθορίζει την καµπυλότητα). Στο συγκεκριµένο µικρόκοσµο προκύπτουν τριών ειδών καµπύλες, που ουσιαστικά αντιπροσωπεύουν τις γεωδαισιακές του κυλίνδρου: Για s=0 και c=0, Ευθείες Για s=0 και c 0, Κύκλους Για s 0 και c 0, Έλικες Το γραφικό αποτέλεσµα του προγράµµατος µπορεί να λάβει πολλές µορφές πολυγωνικών γραµµών: 1D, 2D, και 3D ανάλογα µε τις τιµές που δίνονται στις παραµέτρους. Για να δίνει αυτός ο µικρόκοσµος την καµπύλη (και όχι απλά πολυγωνική γραµµή) του κύκλου ή της έλικας πρέπει να λάβουµε υπόψη αυτά που αναφέραµε παραπάνω. ηλαδή θα πρέπει οι σχέσεις που µας δίνουν τις στροφές και περιστροφές της χελώνας (rt,rr) να αντικατασταθούν από τις εξής: c*dx (αντί για το c) και s*dx (αντί για το s). Αυτές οι σχέσεις δίνουν τις στροφές της χελώνας σε σχέση µε τη καµπυλότητα και τη στρέψη της αντίστοιχης καµπύλης. Τελικά ο διορθωµένος µικρόκοσµος που µας δίνει τις αντίστοιχες καµπύλες για κύκλο, ευθεία και έλικα για κάθε τιµή των παραµέτρων που θα περιέχει, είναι ο εξής: to shortroad :n :dx :s :c repeat :n [rr(:s*(:dx)) rt(:c*(:dx)) fd(:dx)] end Τώρα οι παράµετροι s,c εκφράζουν την µοναδική καµπυλότητα και στρέψη µιας συγκεκριµένης καµπύλης. Αν δηλαδή θέλω να σχεδιάσω µια έλικα που έχει καµπυλότητα 25 και στρέψη 5, αρκεί να αντικαταστήσω στο παραπάνω πρόγραµµα όπου c=25 και s=5. Έτσι ο µικρόκοσµος θα δίνει αυτήν την µοναδική έλικα και καθώς το dx θα τείνει στο µηδέν θα έχουµε και την καλύτερη δυνατή προσέγγιση. Η ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Στην αρχή µπορούµε να ζητήσουµε από τους µαθητές να πειραµατιστούν µε το µικρόκοσµο και να ανακαλύψουν το ρόλο που παίζουν οι παράµετροι καθώς και τα είδη των καµπύλων που δηµιουργούνται. Στη συνέχεια µπορούµε να τους ζητήσουµε να σχεδιάσουν µια καµπύλη όπως αυτή που βρήκανε µε τους πειραµατισµούς µε το χαρτόνι, και έτσι ώστε ο µικρόκοσµος να δίνει αυτήν την καµπύλη (την έλικα δηλαδή µε τη µικρότερη απόσταση) για κάθε τιµή των παραµέτρων που θα περιέχει. Εδώ βέβαια επιθυµητό είναι να παρακινήσουµε τους µαθητές να ασχοληθούν και µε τις τρεις περιπτώσεις: Ευθεία, κύκλο και έλικα, παίρνοντας τα δύο σηµεία σε όλες τις δυνατές θέσεις πάνω στην επιφάνεια του κυλίνδρου. Στην περίπτωσή µας, για διευκόλυνση, µπορούµε να υποθέσουµε ότι τα δύο σηµεία µπορούµε να τα φέρουµε σε τέτοια θέση ώστε αυτά να ανήκουν στην ίδια γενέτειρα του κυλίνδρου (για παράδειγµα διπλώνοντας το χαρτόνι οι µαθητές µπορούν να αντιληφθούν ότι κάτι τέτοιο είναι εφικτό). Έτσι ο στόχος τώρα θα είναι να σχεδιάσουν εκείνη την έλικα που περνάει από τα δυο σηµεία και συγχρόνως αυτά να αποτελούν τα άκρα µιας περιέλιξης ενώ συγχρόνως η έλικα θα εφάπτεται στην επιφάνεια του κυλίνδρου. Η εντολή στην προκειµένη περίπτωση print (µας δείχνει τις συντεταγµένες της θέσης της χελώνας) µπορεί να βοηθήσει,µιας και έστω προσεγγιστικά, θα είναι µια ένδειξη ότι η χελώνα έχει φτάσει στο δεύτερο σηµείο. Σηµαντικό στοιχείο στους πειραµατισµούς αποτελεί και η εισαγωγή ενός κυλίνδρου από τα έτοιµα αντικείµενα και έστω, ως υπόθεση εργασίας, ότι αυτός έχει ακτίνα βάσης 2.05 και ύψος 5.54 Στο ξεκίνηµα οι πειραµατισµοί µπορούν να γίνουν µε το µονοδιάστατο είτε µε το δισδιάστατο µεταβολέα. Ένα ίσως πιο πιθανό σενάριο και το οποίο θα περιγράψουµε πιο αναλυτικά, είναι το ξεκίνηµα των πειραµατισµών να γίνει µε τη χρήση του µονοδιάστατου µεταβολέα. Σταθεροποιώντας την τιµή του dx, έστω dx=1 ψάχνουν ζεύγη τιµών για τις παραµέτρους s, c που να τους δίνει το επιθυµητό αποτέλεσµα. Ένα τέτοιο ζεύγος θα µπορούσε να είναι και το (s,c)=(5,25) µε κατάλληλο n, που στη συγκεκριµένη περίπτωση είναι το n=14, και όπως φαίνονται στην εικόνα 1. Να σηµειώσουµε ότι στην συγκεκριµένη περίπτωση ο ρόλος της κάµερας είναι σηµαντικός, αφού µας επιτρέπει να αλλάξουµε τη θέση θέασης του σχήµατος και να δούµε το κατά πόσο η έλικα περιελίσσεται ή όχι στον κύλινδρο. Η εύρεση όµως αυτών των στοιχείων δεν αρκεί για να θεωρήσουµε ότι φτάσαµε στη λύση. Ο στόχος µας είναι τριπλός: Να πάρω την καµπύλη έλικα (και όχι πολυγωνική γραµµή), να έχω την έλικα µε το µικρότερο µήκος (για dx=1 προφανώς δεν έχω την µικρότερη διαδροµή) και ο κώδικας που θα φτιάξω να ικανοποιεί τις προηγούµενες προϋποθέσεις αλλά και να µου δίνει την ίδια έλικα για

7 «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη ιδακτική Πράξη» 7 κάθε τιµή των παραµέτρων που θα περιέχει. εν θα είναι δύσκολο να υποθέσουν και να συνεχίσουν τους πειραµατισµούς τους αλλάζοντας το βήµα της χελώνας για να πετύχουν οµαλή καµπύλη και όχι πολύγωνο (ή για να πετύχουν µικρότερη διαδροµή). Οι πειραµατισµοί, και πιθανόν και η δηµιουργία πίνακα µε τα αριθµητικά αποτελέσµατα, θα τους οδηγήσουν σε συµπεράσµατα όπως: 1. c c dx = 1 = 0.5 = =, δηλαδή καθώς dx 0, έχουµε: lim = 25, και dx 0 dx ουσιαστικά έχουµε τον ορισµό της καµπυλότητας. Εδώ βέβαια έχουµε πάντα σταθερό λόγο, αλλά η ίδια η διαδικασία είναι οριακή µε dx να παίρνει συνεχώς µικρότερες τιµές που πλησιάζουν το µηδέν. 2. s dx = 1 = 0.5 = = s (στρέψη), δηλαδή καθώς dx 0, έχουµε: lim = 5 dx 0 dx 3. c s = 5 = 2.5 = =. ηλαδή ο λόγος της καµπυλότητας προς τη στρέψη παραµένει σταθερός (Θεώρηµα Lancret). Μια ακόµη σηµαντική παρατήρηση που µπορούµε να κάνουµε συνδυάζοντας τα πειραµατικά αποτελέσµατα και το σχήµα είναι και η εξής: Καθώς µεταβάλουµε το dx, στο σηµείο (0 0 0) έχουµε εφαρµογή του ορισµού της στιγµιαίας καµπυλότητας. ηλαδή παρατηρούµε ότι διατηρώντας σταθερό το σηµείο (0 0 0) και καθώς το µήκος τόξου (dx) τείνει στο µηδέν, το όριο του λόγου c/dx, δηλαδή η στιγµιαία καµπυλότητα είναι 25. Παρατηρούµε επίσης ότι και ο λόγος c/dx είναι σταθερός για οποιοδήποτε διάστηµα dx στην περιοχή του µηδενός και µάλιστα ίσος µε 25, δηλαδή ο µέσος ρυθµός µεταβολής παραµένει σταθερός και ίσος µε 25. Ένας λόγος για τον οποίο συµβαίνει αυτό είναι ότι η έλικα έχει σταθερή καµπυλότητα και στρέψη, και άρα έχουµε ταύτιση της στιγµιαίας και µέσης καµπυλότητας και στρέψης. Το τροποποιηµένο πρόγραµµα γίνεται: to helix :n :dx repeat :n [rr(5*(:dx)) rt(25*(:dx)) fd(:dx)] end και το οποίο βέβαια δίνει την συγκεκριµένη έλικα (καµπύλη) µε dx 0. ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ Η παραπάνω διδακτική µας πρόταση αναδεικνύει κατά ένα µεγάλο µέρος αυτό που στη βιβλιογραφία αναφέρεται ως πρόσθετη παιδαγωγική αξία : «Τι µπορεί να κάνει ο µαθητής και ο εκπαιδευτικός µε την τεχνολογία αυτή που είτε είναι αδύνατο είτε είναι πολύ δύσκολο πρακτικά όταν δεν τη διαθέτει;» Κυνηγός (2006, σελ.31). Το να προσεγγίσουµε και να σχεδιάσουµε δηλαδή µια καµπύλη στο χώρο χρειαζόµαστε τις έννοιες της καµπυλότητας και της στρέψης, η µελέτη των οποίων γίνεται µέσω της κίνησης του τριέδρου των F-S στο χώρο, που τουλάχιστον µε τα στατικά παραδοσιακά µέσα είναι αδύνατη. Στο MaLT, το οποίο αποτελεί ένα µικρόκοσµο Γεωµετρίας της Χελώνας, οι κινήσεις αυτού του τριέδρου είναι ανάλογες µε τις κινήσεις της χελώνας άρα και ένα πλαίσιο κατάλληλο για µελέτη εννοιών διαφορικής γεωµετρίας αφού σύµφωνα και µε τον Papert (1980), η γεωµετρία της χελώνας είναι ένα είδος διαφορικής γεωµετρίας. Έτσι δίνεται και η δυνατότητα στους µαθητές να περιγράψουν συµβολικά φαινόµενα µέσω της γλώσσας Logo και να αντιµετωπίσουµε σε ένα πρώτο επίπεδο τις τεράστιες δυσκολίες των µαθητών σε σχέση µε τη συµβολική και ακριβή γλώσσα της διαφορικής γεωµετρίας (Kawski, 2003). Μέσα από τους προηγούµενους πειραµατισµούς και µε τα διαθέσιµα εργαλεία του λογισµικού που χρησιµοποιούµε, υπάρχει επίσης η δυνατότητα να αξιοποιήσουµε περιφερειακές έννοιες του αναλυτικού προγράµµατος, όπως οι έννοιες της καµπυλότητας και της στρέψης και γενικά έννοιες του εννοιολογικού πεδίου της καµπυλότητας του χώρου, για τη δηµιουργία µαθηµατικών νοηµάτων. Φτάνουµε έτσι και σε συµπεράσµατα που δείχνουν και απαντούν κατά κάποιο τρόπο, στο πως πρέπει να θεωρούµε την ευθεία (καµπυλότητα µηδέν) και σε τι διαφέρει από µια καµπύλη. Μας δίνεται επίσης η δυνατότητα αντιµετώπισης και άλλων θεµάτων που συναντούν οι µαθητές στο σχολείο και τα οποία απλά περιγράφονται ή διατυπώνονται µε τη µορφή θεωρηµάτων. Όπως για παράδειγµα ο τρόπος που στα σχολικά εγχειρίδια εισάγεται η έννοια του µήκους του κύκλου. Η παραπάνω πρόταση µας δίνει ένα τρόπο προσέγγισης του µήκους του κύκλου µε περιγεγραµµένα κανονικά πολύγωνα, και πειραµατιζόµενοι (αν θέσουµε τη στρέψη µηδέν, s=0), µπορούµε να φτάσουµε σε συµπεράσµατα που

8 8 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ δείχνουν ότι η καµπυλότητα και η ακτίνα του κύκλου είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά. Με παρόµοιο τρόπο όπως µε την κυλινδρική έλικα της πρότασης µας, µπορούµε να µελετήσουµε καµπύλες µε µεταβλητή καµπυλότητα και στρέψη. Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι η κωνοειδής έλικα. Αρκεί να αντικαταστήσουµε τις σχέσεις για την σταθερή καµπυλότητα και στρέψη της έλικας µε τις σχέσεις: 200/c και 200/s που µας δίνουν την καµπυλότητα και τη στρέψη αντίστοιχα µιας κωνοειδούς έλικας. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Κυνηγός, Χ.(2006). Το µάθηµα της διερεύνησης. Παιδαγωγική αξιοποίηση των ψηφιακών τεχνολογιών για τη διδακτική των µαθηµατικών. Από την έρευνα στη σχολική τάξη. Αθήνα: Εκδ Ελληνικά γράµµατα Abelson H. and DiSessa A.(1981). Turtle Geometry: The Computer as a Medium for Exploring Mathematics. Cambridge M.A.: MIT Press Fischbein, E.(1987). Intuition in science and mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Press Harel, I., & Papert, S. (1991). Constructionism. Norwood, NJ: Ablex Publishing Greer, B. (2006). Designing for conceptual change PME CONFERENCE 2006, VOL 1, pages Jones, K. (2000). Providing a Foundation for Deductive Reasoning: students interpretations when using Dynamic Geometry Software and Their Evolving Mathematical Explanations. Educational Studies in Mathematics, 44 (1-2), Kafai, Y. and Resnick, M. (eds.) (1996). Constructionism in practice: Designing, thinking and learning in a digital world. Lawrence Erlbaum Publishers, Mahwah Kawski, Μ (2003). Curvature for everyone. 8th Asian Technology Conf Math, Hsin-Chu, Taiwan Kynigos, C., & Psycharis, G. (2003). 13 year-olds meanings around intrinsic curves with a medium for symbolic expression and dynamic manipulation. In N. A. Paterman, B. Dougherty, & J. Zilliox (Ed.), Proc. 27th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp ). Honolulu, Hawaii, U.S.A: PME. Kynigos, C. (2007). Half-Baked Logo Microworlds as Boundary Objects in Integrated Design, Informatics in Education, 2007, Vol. 6, No. 2, 1 24, Institute of Mathematics and Informatics, Vilnius Kynigos, C. & Latsi, Μ. (2007). Turtle s navigation and manipulation of geometrical figures constructed by variable processes in 3d simulated space. Informatics in Education, Vol. 6, No. 2, Laborde, J-M (2010).Manipulating 3D objects in a computer environment. In Usiskin, Z., Andersen, K, Zotto,N (Ed.) Future curricular in school algebra and Geometry. Proceedings of a conference, information age publishing O Neill,B.(1997) Elementary Differential Geometry, Second Edition. Academic press Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, Computers, and Powerful Ideas. New York: Basic Books. ReMath - Representing Mathematics with Digital Media FP6, IST-4, STREP ( ) Taimina and Henderson (2005). From calculus to computers: using 200 years of mathematics history in the teaching of mathematics. In Shell-Gellasch, A., & Jardine, D. (Eds.). No. 68 in MAA Notes. Washington: The Mathematical Association of America. Vergnaud, G. (1988). Multiplicative structures. In J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates

Διαφορική προσέγγιση του κύκλου από μαθητές Γ Γυμνασίου

Διαφορική προσέγγιση του κύκλου από μαθητές Γ Γυμνασίου Διαφορική προσέγγιση του κύκλου από μαθητές Γ Γυμνασίου Ζάντζος Ιωάννης, Κυνηγός Χρόνης izantzos@math.uoa.gr, kynigos@ppp.uoa.gr Εργαστήριο Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας, Ε.Κ.Π.Α Περίληψη Στο άρθρο αυτό παρουσιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Νοήματα που παράγονται κατά τη διαδικασία ισοδιαμέρισης ενός ορθογωνίου χρησιμοποιώντας εργαλεία μεταβολής

Νοήματα που παράγονται κατά τη διαδικασία ισοδιαμέρισης ενός ορθογωνίου χρησιμοποιώντας εργαλεία μεταβολής Νοήματα που παράγονται κατά τη διαδικασία ισοδιαμέρισης ενός ορθογωνίου χρησιμοποιώντας εργαλεία μεταβολής Ιωάννης Ζάντζος, Χρόνης Κυνηγός izantzos@math.uoa.gr, kynigos@ppp.uoa.gr Εθνικό και Καποδιστριακό

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα

Από τη Σταθερή Πολυγωνική Γραμμή στην Προσέγγιση Καμπύλης του Χώρου με Βάση την Αναδρομή Ουράς

Από τη Σταθερή Πολυγωνική Γραμμή στην Προσέγγιση Καμπύλης του Χώρου με Βάση την Αναδρομή Ουράς Από τη Σταθερή Πολυγωνική Γραμμή στην Προσέγγιση Καμπύλης του Χώρου με Βάση την Αναδρομή Ουράς Ζάντζος Ιωάννης 1, Κυνηγός Χρόνης 2 1 Μαθηματικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης izantzos@math.uoa.gr 2 Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ «Προσπάθησε να κάνεις ένα τρίγωνο» Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου Ηµεροµηνία: Φλώρινα, 6-5-2014 Γνωστική περιοχή:

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε παραλληλόγραµµα. (χρήση λογισµικού Χελωνόκοσµος)

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε παραλληλόγραµµα. (χρήση λογισµικού Χελωνόκοσµος) Σενάριο 1 Σκιτσάροντας µε παραλληλόγραµµα (χρήση λογισµικού Χελωνόκοσµος) Βασική ιδέα του σεναρίου Οι µαθητές σκιτσάρουν παραλληλόγραµµα και τα «ζωντανεύουν» κινώντας τα δυναµικά µε χρήση της Logo. Με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Εσωγενείς και εξωγενείς προοπτικές θέασης τρισδιάστατων κατασκευών

Εσωγενείς και εξωγενείς προοπτικές θέασης τρισδιάστατων κατασκευών Εσωγενείς και εξωγενείς προοπτικές θέασης τρισδιάστατων κατασκευών Μαρία Λάτση, Χρόνης Κυνηγός mlatsi@ppp.uos.gr, kynigos@ppp.uoa.gr Τμ. Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας, Εθνικό και Καποδιστριακό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΕΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΤΟ ΑΒΑΚΙΟ/E-SLATE

ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΕΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΤΟ ΑΒΑΚΙΟ/E-SLATE Θέµα ιερεύνησης: Σχεδιασµός γραµµάτων Μπορώ να φτιάξω το δικό µου επεξεργαστή κειµένου; Στη διερεύνηση αυτή οι µαθητές καλούνται να κατασκευάσουν µια γραµµατοσειρά µε όλα τα κεφαλαία γράµµατα του ελληνικού

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΤΩΝ ΨΗΦΙΔΩΝ

ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΤΩΝ ΨΗΦΙΔΩΝ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΤΩΝ ΨΗΦΙΔΩΝ Χ. Κυνηγός, Τομέας Παιδαγωγικής, ΦΠΨ, Φιλοσοφική Σχολή Πανεπιστημίου Αθηνών, και Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Η αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη νοημάτων κατά τη διαδικασία ισοδιαμέρισης ενός ορθογωνίου με τη χρήση του Χελωνόκοσμου

Ανάπτυξη νοημάτων κατά τη διαδικασία ισοδιαμέρισης ενός ορθογωνίου με τη χρήση του Χελωνόκοσμου Θέματα Επιστημών και Τεχνολογίας στην Εκπαίδευση, 4(1-3), 77-90, 2011 Ανάπτυξη νοημάτων κατά τη διαδικασία ισοδιαμέρισης ενός ορθογωνίου με τη χρήση του Χελωνόκοσμου Ιωάννης Ζάντζος 1, Χρόνης Κυνηγός 2

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών).

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Θέµα: Η διερεύνηση µερικών βασικών ιδιοτήτων των παραλληλογράµµων από τους µαθητές µε χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 475 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Μαστρογιάννης Αθανάσιος Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της

Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της Η διδασκαλία της λογαριθµικής συνάρτησης, στο σχολικό εγχειρίδιο της Β Λυκείου, έχει σαν βάση την εκθετική συνάρτηση και την ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)......

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)...... 4. Βασικά Στοιχεία ιδακτικής της Άλγεβρας µε τη χρήση Ψηφιακών Τεχνολογιών Οι ψηφιακές τεχνολογίες που έχουν µέχρι τώρα αναπτυχθεί για τη διδασκαλία και τη µάθηση εννοιών της Άλγεβρας µπορούν να χωριστούν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Υποδειγματικό Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΖΑΝΤΖΟΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo;

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Η Logo είναι μία από τις πολλές γλώσσες προγραμματισμού. Κάθε γλώσσα προγραμματισμού έχει σκοπό τη δημιουργία προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων. Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ. Γραφική παράσταση τριωνύµου

Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων. Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ. Γραφική παράσταση τριωνύµου Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ Γραφική παράσταση τριωνύµου Εξισώσεις κίνησης. Θέµα: To προτεινόµενο θέµα αφορά την µελέτη της µεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 184 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ιωάννου Στυλιανός Εκπαιδευτικός Μαθηματικός Β θμιας Εκπ/σης Παιδαγωγική αναζήτηση Η τριγωνομετρία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου

Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου Σύντοµη περιγραφή του σεναρίου Η βασική ιδέα του σεναρίου Το συγκεκριµένο εκπαιδευτικό σενάριο αναφέρεται στην εύρεση των τύπων µε τους

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

Η Αξιοποίηση Τρισδιάστατων Αναπαραστάσεων στα Μαθηματικά και στην Πληροφορική: Το Περιβάλλον Χελωνόσφαιρα

Η Αξιοποίηση Τρισδιάστατων Αναπαραστάσεων στα Μαθηματικά και στην Πληροφορική: Το Περιβάλλον Χελωνόσφαιρα Η Αξιοποίηση Τρισδιάστατων Αναπαραστάσεων στα Μαθηματικά και στην Πληροφορική: Το Περιβάλλον Χελωνόσφαιρα M. Γριζιώτη 1, Μ. Ξένος 2, Χ.Κυνηγός 3 1 Ε.Ε.Τ., Φ.Σ., ΕΚΠΑ mgriziot@ppp.uoa.gr 2 Ε.Ε.Τ., Φ.Σ.,

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1. Τίτλος Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Φτιάχνω γεωµετρικά σχήµατα», (Μαθηµατικά Β ηµοτικού) 2. Εµπλεκόµενες γνωστικές περιοχές Κατά την υλοποίηση του διδακτικού σεναρίου θα αξιοποιηθούν κατά κύριο

Διαβάστε περισσότερα

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία 1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία Θέµα- Σκεπτικό της δραστηριότητας. Η ιδέα πάνω στην οποία έχει στηριχτεί ο σχεδιασµός

Διαβάστε περισσότερα

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 8. Χελωνόκοσμος (απαιτεί να είναι εγκατεστημένο το Αβάκιο) (6 ώρες) Τίτλος: Ιδιότητες παραλληλογράμμων Δημιουργός: Μιχάλης Αργύρης ΕΜΠΛΕΚΟΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η αξιοποίηση ψηφιακών εργαλείων για τη δημιουργία επιστημονικών νοημάτων στα γλωσσικά μαθήματα: το παράδειγμα των αρχαίων ελληνικών.

Η αξιοποίηση ψηφιακών εργαλείων για τη δημιουργία επιστημονικών νοημάτων στα γλωσσικά μαθήματα: το παράδειγμα των αρχαίων ελληνικών. Η αξιοποίηση ψηφιακών εργαλείων για τη δημιουργία επιστημονικών νοημάτων στα γλωσσικά μαθήματα: το παράδειγμα των αρχαίων ελληνικών. Μ. Μαργούδη 1, Ζ. Σμυρναίου 2 1 Τμήμα Φιλοσοφίας, Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας,

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια κι η Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους με τη Βοήθεια του Λογισμικού Geogebra

Η Έννοια κι η Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους με τη Βοήθεια του Λογισμικού Geogebra Η Έννοια κι η Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους με τη Βοήθεια του Λογισμικού Geogebra Κιούφτη Ροϊδούλα 1 1 Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, rkioufti@hotmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγική προσέγγιση: Πρόταση για την διδασκαλία της έννοιας αλγόριθµός στο περιβάλλον MicroWorlds Pro

Παιδαγωγική προσέγγιση: Πρόταση για την διδασκαλία της έννοιας αλγόριθµός στο περιβάλλον MicroWorlds Pro Παιδαγωγική προσέγγιση: Πρόταση για την διδασκαλία της έννοιας αλγόριθµός στο περιβάλλον MicroWorlds Pro Το «Φύλλο Εργασίας» για τους µαθητές Το παρακάτω φύλλο εργασίας µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως εισαγωγικό

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra.

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra. Σενάριο 4. Η µέτρηση του εµβαδού ενός παραβολικού οικοπέδου Γνωστική περιοχή: Μαθηµατικά Γ' Λυκείου. Παραβολή. Τετραγωνική συνάρτηση. Εµβαδόν. Ορισµένο ολοκλήρωµα Θέµα: Οι τέσσερις πλευρές ενός οικοπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΥΛΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ή ΚΑΙ ΑΛΛΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ

1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΥΛΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ή ΚΑΙ ΑΛΛΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ 1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΥΛΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ή ΚΑΙ ΑΛΛΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 «Μαθαίνω στη γάτα να σχεδιάζει» Δραστηριότητα 1 Παρατηρήστε τις εντολές στους παρακάτω πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά Αντιστρόφως ανάλογα ποσά Υποδειγματικό Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΖΑΝΤΖΟΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Σημείωση

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα»

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Φύλλο δασκάλου 1.1 Ένταξη δραστηριότητας στο πρόγραμμα σπουδών Τάξη: Ε και ΣΤ Δημοτικού. Γνωστικά αντικείμενα:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Η παιδαγωγική διάσταση των πολλών τρόπων επίλυσης ενός προβλήµατος ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Μία χαρακτηριστική ιδιότητα των Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ»

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 217 ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» Λουκία Μαρνέλη Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Διεύθυνση: Μονής Κύκκου 1, 15669 Παπάγου

Διαβάστε περισσότερα

Συνεπώς και τα αντικείµενα που προκύπτουν από τα σηµεία έχουν αντίστοιχα 2 ή 1 ή 0

Συνεπώς και τα αντικείµενα που προκύπτουν από τα σηµεία έχουν αντίστοιχα 2 ή 1 ή 0 5. Βασικά Στοιχεία ιδακτικής της Γεωµετρίας µε τη χρήση Ψηφιακών Τεχνολογιών Οι ψηφιακές τεχνολογίες που µέχρι τώρα έχουν αναπτυχθεί για την διδασκαλία και τη µάθηση της Γεωµετρίας µπορούν να χωριστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: Σχεδίαση µικρών εξειδικευµένων προγραµµάτων, νόµοι κίνησης, Φύλλα εργασίας.

ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: Σχεδίαση µικρών εξειδικευµένων προγραµµάτων, νόµοι κίνησης, Φύλλα εργασίας. Το «εικονικό εργαστήριο» για τη µελέτη των νόµων του Νεύτωνα σε τρία διαφορετικά περιβάλλοντα: Modellus, Interactive Physics, Microworlds Pro Ρόδος, 26 29 Σεπτεµβρίου 2002 Νίκος απόντες, Θανάσης Γεράγγελος,

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Στόχος: Το παιδαγωγικό σενάριο αναφέρεται στη μελέτη της συνάρτησης y=αx και στη κατανόηση της κλίσης ευθείας. Λογισμικό: Για την εφαρμογή του σεναρίου

Διαβάστε περισσότερα

µε το µέτρο του µεγέθους. ii. Στη γλώσσα που χρησιµοποιούµε στην καθηµερινή µας ζωή ορίζουµε ως µέση ταχύτητα το

µε το µέτρο του µεγέθους. ii. Στη γλώσσα που χρησιµοποιούµε στην καθηµερινή µας ζωή ορίζουµε ως µέση ταχύτητα το Ερωτήσεις βιβλίου. Συµπλήρωσε τις λέξεις που λείπουν από το παρακάτω κείµενο έτσι ώστε οι προτάσεις που προκύπτουν να είναι επιστηµονικά ορθές: i. Η θέση ενός σώµατος καθορίζεται σε σχέση µε ένα σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design)

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) Ενότητα # 2: Στερεοί Μοντελοποιητές (Solid Modelers) Δρ Κ. Στεργίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β Λυκείου Αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, Οµοιότητα τριγώνων, Εµβαδόν Τετραγώνου. Εµβαδόν Τριγώνου Βασικές γνώσεις Ευκλείδειας Γεωµετρίας Α

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Χρήσης του «Μαθη.Συ.»

Εγχειρίδιο Χρήσης του «Μαθη.Συ.» Εργαστήριο Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Φιλοσοφική Σχολή Τμήμα Φ.Π.Ψ., Τομέας Παιδαγωγικής Διευθυντής: Καθ. Χ. Κυνηγός Εγχειρίδιο Χρήσης του «Μαθη.Συ.» Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις

Ευθύγραμμες Κινήσεις Οι παρακάτω σημειώσεις διανέμονται υπό την άδεια: Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές. 1 Θέση και Σύστημα αναφοράς Στην καθημερινή μας ζωή για να περιγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0

Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Παράθυρα των εγγράφων Επιφάνεια του σχεδίου. Σχεδιάστε εδώ νέα αντικείμενα με τα εργαλεία σημείων, διαβήτη, σχεδίασης ευθύγραμμων αντικειμένων και κειμένου.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες 1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή είναι μια εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες. Η εισαγωγή αυτή επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή 1 ΙΝΥΣΜΤ Εισαγωγή Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. κανόνας του παραλληλόγραμμου, σύμφωνα με τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα