Η EΝΝΟΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ. Ορισμός. 1.1 Τι ονομάζουμε πρόβλημα;

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η EΝΝΟΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ. Ορισμός. 1.1 Τι ονομάζουμε πρόβλημα;"

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ Π 1 ΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η EΝΝΟΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1.1 Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Ορισμός Πρόβλημα ονομάζουμε μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. (Εξετάσεις 2006) 1.2 Τι ονομάζουμε επίλυση ενός προβλήματος; Επίλυση (ή αντιμετώπιση) ενός προβλήματος ονομάζουμε τη διαδικασία μέσω της οποίας, ο λύτης του προβλήματος βρίσκει το ζητούμενο (επιτυγχάνει τον επιθυμητό στόχο). ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.3 Από ποιους παράγοντες επηρεάζεται η κατανόηση ενός προβλήματος; Η κατανόηση ενός προβλήματος είναι συνάρτηση δύο παραγόντων, της σωστής διατύπωσης εκ μέρους του δημιουργού του και της σωστής ερμηνείας του εκ μέρους του λύτη. Η μη σωστή διατύπωση, όπως η χρήση άστοχης ορολογίας και η λανθασμένη σύνταξη, μπορεί να ο- δηγήσει σε παρερμηνείες. Για τη σωστή ερμηνεία, σημαντικό ρόλο παίζει το επίπεδο γνώσεων και αντίληψης του λύτη, οι γενικές και ειδικές γνώσεις του, το ενδιαφέρον και η ευφυΐα του. 1.4 Τι εννοούμε με τους όρους δεδομένα, πληροφορία και επεξεργασία δεδομένων; Δεδομένο είναι οποιοδήποτε στοιχείο το οποίο μπορεί να γίνει αντιληπτό από έναν τουλάχιστον παρατηρητή, με μία από τις πέντε αισθήσεις του. Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 7

2 Πληροφορία είναι οποιοδήποτε γνωσιακό στοιχείο το οποίο προέρχεται από επεξεργασία δεδομένων. Επεξεργασία δεδομένων είναι η διαδικασία κατά την οποία ένας μηχανισμός δέχεται δεδομένα, τα επεξεργάζεται σύμφωνα με μια προκαθορισμένη διαδικασία και αποδίδει πληροφορίες. Είναι δηλαδή η συστηματική εκτέλεση πράξεων (αριθμητικών, λογικών) στα δεδομένα. (Εξετάσεις 2002) ΔΟΜΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.5 Τι εννοούμε με τον όρο δομή του προβλήματος; Ορισμός Με τον όρο δομή του προβλήματος, αναφερόμαστε στα συστατικά του μέρη, δηλαδή στα επιμέρους υποπροβλήματα που το συναποτελούν, καθώς και στον τρόπο που αυτά τα μέρη συνδέονται μεταξύ τους. (Εξετάσεις 2006) 1.6 Τι ονομάζεται ανάλυση του προβλήματος; Με τον όρο ανάλυση του προβλήματος, αναφερόμαστε στη μεθοδική μελέτη του προβλήματος και στη διαδικασία διάσπασής του σε απλούστερα υποπροβλήματα για περαιτέρω μελέτη. 1.7 Με ποιους τρόπους παρουσιάζεται η ανάλυση ενός προβλήματος; Η ανάλυση ενός προβλήματος παρουσιάζεται με δύο τρόπους: Φραστικά, δηλαδή στη φυσική γλώσσα που μιλάμε. Διαγραμματικά, δηλαδή με ένα διάγραμμα σε σχήμα γενεαλογικού δέντρου στο οποίο: Το αρχικό πρόβλημα αναπαρίσταται από ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Κάθε ένα από τα υποπροβλήματα, στα οποία διαχωρίζεται το πρόβλημα, αναπαρίσταται επίσης από ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Τα παραλληλόγραμμα που αντιστοιχούν στα απλούστερα προβλήματα, στα οποία αναλύεται ένα πρόβλημα ή υποπρόβλημα, τίθενται ένα επίπεδο χαμηλότερα. 1.8 Σε τι είναι χρήσιμη η διαγραμματική αναπαράσταση ενός προβλήματος; Η διαγραμματική αναπαράσταση βοηθά στην καλύτερη κατανόηση του προβλήματος, καθώς 8 ANAΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

3 και στη σχεδίαση της λύσης του, αφού προσφέρεται με τον τρόπο αυτό μια απτή απεικόνιση της δομής του προβλήματος. Παράδειγμα Να δοθεί η φραστική και η διαγραμματική αναπαράσταση του προβλήματος των κλιματολογικών αλλαγών που παρατηρούνται στη Γη. Φραστική αναπαράσταση Το κύριο πρόβλημά μας είναι οι κλιματολογικές αλλαγές. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να γίνει απλούστερο αν διασπαστεί σε τρία υποπροβλήματα: 1. Πρόληψη 2. Αντιμετώπιση 3. Διαχείριση Τα τρία αυτά υποπροβλήματα μπορούν να διασπαστούν στα παρακάτω επιμέρους υποπροβλήματα: 1.1 Σωστή πληροφόρηση 1.2 Ευαισθητοποίηση του κοινού 1.3 Εξοικονόμηση ενέργειας 2.1 Ακριβότερα καύσιμα 2.2 Περιορισμός των ρύπων 2.3 Διαχείριση των ρύπων 3.1 Κατασκευή καταφυγίων για ακραία καιρικά φαινόμενα 3.2 Επενδύσεις στην επιστήμη της μετεωρολογίας 3.3 Μετανάστευση σε χώρες με ηπιότερο κλίμα Διαγραμματική αναπαράσταση ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΩΝ 1.9 Τι περιλαμβάνει ο καθορισμός των απαιτήσεων ενός προβλήματος; Ο καθορισμός των απαιτήσεων περιλαμβάνει τον προσδιορισμό των δεδομένων, καθώς και τη λεπτομερειακή καταγραφή των ζητούμενων του προβλήματος. Η αποσαφήνιση των δεδομένων και των ζητούμενων του προβλήματος συχνά απαιτεί μια σειρά από διευκρινιστικές Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 9

4 ερωτήσεις εκ μέρους του λύτη, είτε προς το δημιουργό του προβλήματος είτε προς τον ίδιο του τον εαυτό, αφού πολλές φορές τα δεδομένα θα πρέπει να «ανακαλυφθούν» στα λεγόμενα του προβλήματος Ποια στάδια περιλαμβάνει η διαδικασία της επίλυσης ενός προβλήματος; Η διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος περιλαμβάνει τα εξής αλληλεπιδρώντα στάδια: Κατανόηση Η κατανόηση ενός προβλήματος απαιτεί τη σωστή και πλήρη αποσαφήνιση των δεδομένων και των ζητούμενων του προβλήματος. Ανάλυση Είναι η διαδοχική τμηματοποίηση του προβλήματος σε απλούστερα υποπροβλήματα, μέχρις ότου τα υποπροβλήματα που θα προκύψουν να είναι εύκολο να επιλυθούν. Επίλυση Στο στάδιο της επίλυσης ενός προβλήματος, υλοποιείται η λύση του μέσω της λύσης των επιμέρους προβλημάτων στα οποία έχει διαχωριστεί κατά το στάδιο της ανάλυσης. (Εξετάσεις 2006) Παράδειγμα Ένας πολιτικός μηχανικός θέλει να διαχωρίσει ένα οικόπεδο σχήματος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α= 30 m σε τρία ισεμβαδικά τριγωνικά οικόπεδα. Να υποδειχθεί ο τρόπος διαχωρισμού του αρχικού οικοπέδου και να βρεθούν το εμβαδόν του κάθε οικοπέδου και το μήκος των πλευρών του. i. Να κατασκευάσετε πίνακα δεδομένων ζητούμενων. ii. Να μορφοποιήσετε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα. Λύση i. Δεδομένα Ζητούμενα Ισόπλευρο Τρίγωνο Τρόπος διαχωρισμού Ίσες Πλευρές του οικοπέδου σε τρία Ίσες Γωνίες 60 ο τριγωνικά οικόπεδα ίσου εμβαδού Μήκος Πλευράς α= 30 m Εμβαδόν του κάθε τριγώνου Οι διχοτόμοι είναι διάμεσοι και ύψη του τριγώνου και το Μήκος των πλευρών του κάθε οικοπέδου χωρίζουν σε τρία ίσα τρίγωνα 10 ANAΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

5 ii. Για να υπολογίσουμε τα ζητούμενα εμβαδά E 1, E 2 και E 3 χρησιμοποιούμε τις παρακάτω σχέσεις: α= 30 m (1) E Βάση Ύψος E1 = E2 = E3 = (2) E = 3 2 (3) Ύψος = α ημ60 (4) Για τον υπολογισμό των μηκών των πλευρών των τριγώνων πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις παρακάτω εξισώσεις: α Μήκος1 = α (5) Μήκος2 = Μήκος3 = 2 συν30 (6) ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1.11 Ποιες είναι οι κατηγορίες των προβλημάτων με βάση τη δυνατότητα επίλυσής τους; Με κριτήριο τη δυνατότητα επίλυσης ενός προβλήματος, διακρίνουμε τρεις κατηγορίες προβλημάτων: Επιλύσιμα Είναι τα προβλήματα των οποίων η λύση έχει διατυπωθεί και είναι ήδη γνωστή. Επίσης, επιλύσιμα μπορεί να χαρακτηριστούν και προβλήματα των οποίων η λύση δεν έχει ακόμα διατυπωθεί, αλλά η συνάφειά τους με άλλα ήδη επιλυμένα μας επιτρέπει να θεωρούμε βέβαιη τη δυνατότητα επίλυσής τους. Για παράδειγμα, η λύση μιας πρωτοβάθμιας εξίσωσης. Άλυτα Είναι τα προβλήματα που έχει αποδειχθεί ότι δεν έχουν λύση. Για παράδειγμα, το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου με κανόνα και διαβήτη. Ανοικτά Είναι τα προβλήματα που δεν έχουν ακόμη λυθεί, αλλά και δεν έχει αποδειχθεί ότι δεν έχουν λύση ώστε να χαρακτηρισθούν ως άλυτα. Για παράδειγμα, το πρόβλημα της ενοποίησης των τεσσάρων πεδίων δυνάμεων. (Εξετάσεις 2000, 2001, 2002, 2005) 1.12 Ποιες είναι οι κατηγορίες των επιλύσιμων προβλημάτων ως προς το βαθμό δόμησης των λύσεών τους; Με κριτήριο το βαθμό δόμησης των λύσεών τους, τα επιλύσιμα προβλήματα διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες: Δομημένα Είναι τα προβλήματα των οποίων η επίλυση προέρχεται από μια αυτοματοποιημένη διαδικασία. Για παράδειγμα, η λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx + βx+ γ= 0. 2 Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 11

6 Ημιδομημένα Είναι τα προβλήματα των οποίων η λύση επιδιώκεται στο πλαίσιο ενός σαφώς προκαθορισμένου εύρους πιθανών λύσεων. Για παράδειγμα, η επιλογή ενός μεταφορικού μέσου για να πάμε από ένα μέρος σε ένα άλλο. Αδόμητα Είναι τα προβλήματα των οποίων οι λύσεις δεν μπορούν να δομηθούν ή δεν έχει διερευνηθεί σε βάθος η δυνατότητα δόμησής τους. Στα προβλήματα αυτά υπάρχουν άπειρες δυνατότητες επίλυσης σε πρακτικό επίπεδο, ενώ πρωτεύοντα ρόλο παίζει η ανθρώπινη διαίσθηση. Για παράδειγμα, το πρόβλημα των προϊόντων που θα ψωνίσω από το σούπερ μάρκετ. (Εξετάσεις 2001, 2002, 2005) 1.13 Ποιες είναι οι κατηγορίες των προβλημάτων ως προς το είδος της επίλυσής τους; Με κριτήριο το είδος της επίλυσης που επιζητούν, τα προβλήματα διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες: Προβλήματα απόφασης Στα προβλήματα αυτά, η λύση τους είναι μια απόφαση. Η απόφαση αυτή, που μπορεί να είναι ένα «Ναι» ή ένα «Όχι», απαντά σε ένα ερώτημα που έχει τεθεί από το πρόβλημα. Σε ένα πρόβλημα απόφασης πρέπει να διαπιστώσουμε αν υπάρχει απάντηση που να ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος. Για παράδειγμα, το αν ένας αριθμός είναι ζυγός. Υπολογιστικά προβλήματα Για να δοθεί μια απάντηση στα προβλήματα αυτά, απαιτείται η διενέργεια υπολογισμών. Σε ένα υπολογιστικό πρόβλημα αναζητούμε την τιμή της απάντησης που ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος. Για παράδειγμα, το πρόβλημα του υπολογισμού μιας διακρίνουσας. Προβλήματα βελτιστοποίησης Σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης αναζητούμε το βέλτιστο αποτέλεσμα για τα συγκεκριμένα δεδομένα του προβλήματος. Δηλαδή, αναζητούμε την απάντηση που ικανοποιεί, κατά τον καλύτερο τρόπο, τα δεδομένα του προβλήματος. Για παράδειγμα, το πρόβλημα της εύρεσης της διαδρομής ενός φορτηγού διανομής ημερήσιου τύπου με τον ελάχιστο χρόνο ή με την ελάχιστη κατανάλωση βενζίνης. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ 1.14 Ποιοι είναι οι λόγοι που αναθέτουμε την επίλυση ενός προβλήματος σε ηλεκτρονικό υπολογιστή; 12 ANAΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

7 Οι λόγοι που αναθέτουμε την επίλυση ενός προβλήματος σε ηλεκτρονικό υπολογιστή σχετίζονται με: Την πολυπλοκότητα των υπολογισμών Την επαναληπτικότητα των διαδικασιών Την ταχύτητα της εκτέλεσης των πράξεων Το μεγάλο πλήθος των δεδομένων (Εξετάσεις 2002) 1.15 Ποιες βασικές λειτουργίες μπορεί να εκτελέσει ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής; Οι βασικές λειτουργίες που μπορεί να εκτελέσει ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής είναι: Πρόσθεση Αποτελεί τη βασική αριθμητική πράξη, αφού οι υπόλοιπες μπορούν να αντιμετωπισθούν ως διαδικασίες πρόσθεσης. Σύγκριση Είναι η βασική λειτουργία για την εκτέλεση των λογικών πράξεων. Μεταφορά δεδομένων Η μεταφορά των δεδομένων προηγείται και έπεται της επεξεργασίας τους. ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1.16 «Να υπολογιστεί το εμβαδόν ενός τετραγώνου, γνωρίζοντας ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους της πλευράς του». Διατυπώστε με μαθηματικό τρόπο το παραπάνω πρόβλημα εύρεσης «Έστω τα διανύσματα A και Β με μέτρα α και β αντίστοιχα, ενώ η γωνία μεταξύ τους είναι θ. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος Γ που προκύπτει από τη σύνθεση των δύο διανυσμάτων. Δηλαδή από την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος που έχει όρους: το τετράγωνο του μέτρου του Α, το τετράγωνο του μέτρου του Β και το γινόμενο των δύο παραπάνω μέτρων επί το συνημίτονο της γωνίας θ διπλασιασμένο». Διατυπώστε με μαθηματικό τρόπο το παραπάνω πρόβλημα εύρεσης «Έχοντας τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου a, b και c, να αποδείξετε ότι το άθροισμα των δύο πλευρών είναι πάντα μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά». Διατυπώστε με μαθηματικό τρόπο το παραπάνω πρόβλημα απόδειξης «Ο Θωμάς θέλει να καλέσει στο πάρτι του μια συμμαθήτριά του». Διατυπώστε τα πιθανά ερωτήματα που θα πρέπει να απαντηθούν προκειμένου να προσδιοριστεί καλύτερα το ζητούμενο στο πρόβλημα του Θωμά. Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 13

8 1.20 Σε μια ασφαλιστική εταιρεία θέλουν να προσλάβουν ασφαλιστικούς συμβούλους. Ποια ερωτήματα θα πρέπει να απαντηθούν προκειμένου να προσδιοριστεί καλύτερα το ζητούμενο; 1.21 «Ο Αρχιμήδης εκνευρίστηκε με το δούλο του και του είπε να αρχίσει να μετρά από το ένα έως το χίλια περνώντας διαδοχικά μπροστά από τις επτά κολόνες ενός ναού και να του πει αφού ολοκληρώσει το μέτρημα σε ποια κολόνα σταμάτησε». Διατυπώστε με μαθηματικό τρόπο το παραπάνω πρόβλημα εύρεσης, ώστε να διευκολύνετε το δούλο του Αρχιμήδη «Η οικογένεια του Γιώργου (ο πατέρας, η μητέρα και ο αδελφός του) θέλει να αγοράσει ρούχα». Αναλύστε σε υποπροβλήματα και παρουσιάστε σχηματικά και φραστικά το παραπάνω πρόβλημα «Ο Πάνος είναι στο αεροδρόμιο του Λονδίνου και θέλει να πάει στο Παρίσι, αλλά μόλις έχασε την πτήση του και σκέφτεται με ποιον τρόπο να ταξιδέψει». Αναλύστε σε υποπροβλήματα και παρουσιάστε σχηματικά και φραστικά το παραπάνω πρόβλημα. 36x «Να λυθεί η εξίσωση: =». 2 (4x + 4)(x 10x + 25) 3 Αναλύστε σε υποπροβλήματα και παρουσιάστε σχηματικά και φραστικά το παραπάνω πρόβλημα «Στην τελική φάση του ευρωπαϊκού πρωταθλήματος μπάσκετ (Final Four Basket) παρουσιάζεται η ανάγκη καταγραφής των στοιχείων των παικτών της κάθε ομάδας στην εξής μορφή: ονοματεπώνυμο παίκτη, ομάδα και μέσος όρος των πόντων στους προκριματικούς αγώνες». Παρουσιάστε σχηματικά την ανάλυση του παραπάνω προβλήματος σε υποπροβλήματα «Κάποιος καταθέτει σε μια τράπεζα Θέλει να υπολογίσει το τελικό του κεφάλαιο ύστερα από πέντε χρόνια α) με ετήσιο επιτόκιο 1,5% και ανατοκισμό ανά έτος, και β) με ετήσιο επιτόκιο 0,99% και ανατοκισμό ανά εξάμηνο. Ποια από τις δύο παραπάνω προτάσεις της τράπεζας είναι η πιο συμφέρουσα; Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το παραπάνω πρόβλημα «Από τις 12:00 έχουν περάσει δευτερόλεπτα, τι ώρα είναι τώρα»; Κατασκευάστε έναν πίνακα με τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος Πόσο χρόνο χρειάζεται ένα σώμα για να διανύσει διάστημα S = 100 m σε ελεύθερη 2 πτώση, αν λάβουμε υπόψη ότι g = 10m/s ; ii. Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα. 14 ANAΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

9 1.29 Σε μια ορθογώνια παραλληλόγραμμη πλατεία διαστάσεων μέτρα, ο δήμαρχος θέλει να φυτέψει δενδροστοιχίες. Για το λόγο αυτό, θα πρέπει να ξηλωθούν τα πλακάκια περιμετρικά της πλατείας. Έτσι το εμβαδόν της πλατείας, μετά την παραπάνω παρέμβαση, θα μειωθεί κατά το 1/8 του αρχικού εμβαδού. Πόσο μακριά από την άκρη της πλατείας θα ξεκινούν τα πλακάκια της; ii. Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα Στον τελικό του άλματος επί κοντώ στους Ολυμπιακούς Αγώνες διαγωνίζονται 20 αθλητές. Καθένας από αυτούς στον πρώτο γύρο έχει το δικαίωμα να κάνει 3 άλματα και αν καταφέρει να περάσει τα 6,60 m μπαίνει στον δεύτερο γύρο και αποκτάει το δικαίωμα για 3 ακόμη άλματα. Θέλουμε να βρούμε τα ονόματα των τριών αθλητών που θα μοιραστούν τα μετάλλια. Να γράψετε τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος Κάποιος θέλει να αγοράσει ένα οικόπεδο και θέλει να υπολογίσει την τελική του τιμή αν πρέπει να πληρώσει 19% στην εφορία, 1% στον πολιτικό μηχανικό για τα σχέδια και 500 στο δικηγόρο. ii. Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα «Ο Χρήστος θέλει να αγοράσει ένα αυτοκίνητο με αρχική αξία Όμως, η τελική τιμή του αυτοκινήτου είναι κατά 20% υψηλότερη της αρχικής λόγω των φόρων ταξινόμησης. Ο Χρήστος έχει 10000, οι γονείς του θα του δώσουν άλλα 1500 και οι παππούδες του άλλα Θα μπορέσει τελικά ο Χρήστος να πάρει το αυτοκίνητο»; ii. Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα «Η Μαριαλένα είναι μεγαλύτερη της Νίκης κατά 10 χρόνια. Η Νίκη είναι μικρότερη του Ξενοφώντα κατά 3 χρόνια. Ο Ορέστης είναι 20 ετών και κατά 1 χρόνο μεγαλύτερος του Ξενοφώντα. Πόσο χρονών είναι η Μαριαλένα»; ii. Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα Η σχολή ιππασίας «ΑΝΑΒΑΤΗΣ» προσφέρει σε όσους παρακολουθούν τα μαθήματά της δύο τρόπους πληρωμής: α. Να πληρώνουν μια ετήσια συνδρομή 20 και για κάθε ώρα διδασκαλίας να πληρώνουν 5. β. Να πληρώνουν 6 την ώρα χωρίς καμιά άλλη επιβάρυνση. Πόσες ώρες μαθημάτων θα πρέπει να παρακολουθήσει κάποιος κατά τη διάρκεια ε- νός έτους προκειμένου να τον συμφέρει οικονομικά η πρώτη προσφορά; Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 15

10 ii. Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα «Ο Αλέξανδρος επένδυσε σε μια μετοχή πριν από 2 χρόνια ένα ποσό ύψους Οι μετοχές αυτές, χωρίς να έχει κάνει καμιά πράξη αυτά τα δύο χρόνια, κοστίζουν σήμερα Ποια είναι η μέση ετήσια επί τοις εκατό απόδοση της επένδυσής του»; ii. Μορφοποιήσετε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ 1.36 Απαντήστε με σωστό ή λάθος, θέτοντας σε κύκλο το αντίστοιχο γράμμα. i. Πρόβλημα είναι μια ιάσιμη ασθένεια. ii. Υπάρχουν προβλήματα χωρίς δεδομένα. iii. Υπάρχουν προβλήματα χωρίς ζητούμενο. iv. Η σαφήνεια και η ακρίβεια στην περιγραφή ενός προβλήματος είναι απαραίτητες για την επίλυσή του. v. Το ζητούμενο σε ένα πρόβλημα είναι πάντα κάποιος αριθμός. vi. Η κατανόηση ενός προβλήματος ε- ξαρτάται μόνο από τη διατύπωσή του. vii. Με τον όρο δεδομένο αναφέρεται ο- ποιοδήποτε γνωσιακό στοιχείο προέρχεται από επεξεργασία δεδομένων. viii. (Εξετάσεις 2002) Τα δεδομένα ενός προβλήματος ταυτίζονται με την πληροφορία Απαντήστε με σωστό ή λάθος, θέτοντας σε κύκλο το αντίστοιχο γράμμα. i. Δομή ενός προβλήματος ονομάζουμε το διαχωρισμό του σε υποπροβλήματα. ii. Τα υποπροβλήματα ενός προβλήματος είναι δυνατόν να αναλυθούν και σε άλλα απλούστερα υποπροβλήματα. iii. Η παρουσίαση της ανάλυσης ενός προβλήματος γίνεται φραστικά και διαγραμματικά. iv. Η ανάλυση ενός προβλήματος έπεται της κατανόησης. v. Η κατανόηση ενός προβλήματος ε- ξαρτάται μόνο από το λύτη. vi. Η σαφήνεια της διατύπωσης ενός προβλήματος είναι καθοριστικός παράγοντας για την επίλυσή του. 16 ANAΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

11 vii. Τα αποτελέσματα που αναμένονται από την επίλυση του προβλήματος είναι τα ζητούμενα. viii. Η κατανόηση ενός προβλήματος ε- ξαρτάται από το χώρο που προέρχεται. Για παράδειγμα, αν είναι πρόβλημα επιστημονικό ή της καθημερινής ζωής. ix. Τα στάδια αντιμετώπισης των προβλημάτων είναι τρία. x. Στην είσοδο μπορεί να οδηγηθούμε μετά τον έλεγχο των δεδομένων Απαντήστε με σωστό ή λάθος, θέτοντας σε κύκλο το αντίστοιχο γράμμα. i. Επιλύσιμο μπορεί να χαρακτηριστεί ένα πρόβλημα για το οποίο ξέρουμε ότι έχει λύση, αλλά αυτή δεν έχει βρεθεί ακόμη. ii. iii. (Εξετάσεις 2000) Άλυτα χαρακτηρίζονται εκείνα τα προβλήματα, για τα οποία, έχουμε φτάσει στην παραδοχή ότι δεν επιδέχονται λύση. (Εξετάσεις 2005) Ο υπολογισμός του εμβαδού ενός τετραγώνου είναι πρόβλημα άλυτο. (Εξετάσεις 2000) iv. Ανοικτό ονομάζεται ένα πρόβλημα με πεπερασμένο αριθμό λύσεων. v. Όλα τα προβλήματα μπορούν να λυθούν με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υ- πολογιστή. vi. (Εξετάσεις 2000) Η επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι ένα ημιδομημένο πρόβλημα. vii. Τα αδόμητα προβλήματα είναι ανοικτά. viii. Προβλήματα που έχουν περιορισμένο αριθμό εναλλακτικών λύσεων λέγονται ημιδομημένα. ix. Αδόμητα ονομάζονται τα επιλύσιμα προβλήματα που επιλύονται με άπειρες διαδικασίες επίλυσης, παράγοντας έτσι απροσδιόριστο αριθμό λύσεων. x. Ημιδομημένα χαρακτηρίζονται τα προβλήματα εκείνα των οποίων τα δεδομένα επιλέγονται μέσα από ένα σύνολο τιμών. xi. Η δυνατότητα χαρακτηρισμού ενός προβλήματος ως ανοικτού ή άλυτου εξαρτάται από τις γνώσεις και το νοητικό επίπεδο του λύτη. xii. Υπολογιστικά μπορεί να είναι και τα προβλήματα απόφασης, στα οποία για να καταλήξουμε στην απάντηση απαιτείται προηγουμένως κάποιος μαθηματικός υπολογισμός. Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 17

12 xiii. Όλα τα επιλύσιμα προβλήματα λύνονται με ηλεκτρονικό υπολογιστή. xiv. Ένας Η/Υ μπορεί να επιλύει πολύπλοκα προβλήματα εφόσον έχει μεγάλες δυνατότητες ανάλυσης. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1.39 Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε μία από τις απαντήσεις που δίνονται. i. Η διαδικασία μέσω της οποίας βρίσκουμε το ζητούμενο σε ένα πρόβλημα ονομάζεται: Α. Ανάλυση Β. Σύνθεση Γ. Επίλυση ii. Το πρώτο στάδιο στην επίλυση ενός προβλήματος είναι: Α. Η αξιολόγηση του σχεδίου λύσης Β. Η κατανόηση του προβλήματος Γ. Ο σχεδιασμός του σχεδίου λύσης iii. iv. Η ύπαρξη εξωγήινης οντότητας είναι πρόβλημα: Α. Δομημένο Β. Αδόμητο Γ. Ημιδομημένο Τι από τα παρακάτω δεν αποτελεί κριτήριο για την ταξινόμηση ενός προβλήματος: Α. Επιλυσιμότητα Β. Ταχύτητα επίλυσης Γ. Είδος του ζητούμενου Δ. Χώρος από τον οποίο προέρχεται 1.40 Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε μία από τις απαντήσεις που δίνονται. i. Χαρακτηριστική ιδιότητα των δεδομένων ενός προβλήματος είναι: Α. απλότητα Β. ταχύτητα Γ. αποτελεσματικότητα Δ. σαφήνεια ii. Το πρόβλημα υπολογισμού του ύψους ενός τριγώνου είναι πρόβλημα: Α. Δομημένο Β. Αδόμητο Γ. Ημιδομημένο iii. Το πρόβλημα επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 5x 2 4x 5=0 είναι πρόβλημα: Α. Βελτιστοποίησης Β. Απόφασης Γ. Υπολογιστικό iv. Το πρόβλημα «Να λυθεί η εξίσωση 5x 4 > 5» δεν χαρακτηρίζεται από: Α. Σαφήνεια Β. Ορθότητα Γ. Ταχύτητα v. Το πρόβλημα «Πότε θα κάνω το πάρτι μου» είναι πρόβλημα: Α. Δομημένο Β. Ημιδομημένο Γ. Αδόμητο 18 ANAΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

13 ΕΡΩΤΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ 1.41 Να γράψετε τους αριθμούς της στήλης Α και δίπλα το γράμμα της στήλης Β που αντιστοιχεί. Στήλη Α Προβλήματα 1. Η διαδικασία της λύσης τους είναι αυτοματοποιημένη. 2. Δεν έχει βρεθεί λύση, αλλά δεν έχει αποδειχθεί και η μη ύπαρξη λύσης. 3. Ο τρόπος της λύσης τους μπορεί να επιλεγεί από πλήθος δυνατών λύσεων. Στήλη Β Είδος προβλημάτων α. Ανοικτά β. Δομημένα γ. Άλυτα δ. Ημιδομημένα (Εξετάσεις 2000) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ 1.42 Στις παρακάτω προτάσεις συμπληρώστε τα κενά με τις λέξεις που λείπουν. i. Οι προκύπτουν από την επεξεργασία των. ii. Το πρόβλημα αναλύεται σε. iii. Η παρουσίαση της ανάλυσης ενός προβλήματος γίνεται και. iv. Τα είναι τα στοιχεία που θα προκύψουν από την επίλυση του προβλήματος Στις παρακάτω προτάσεις συμπληρώστε τα κενά με τις λέξεις που λείπουν. i. ονομάζεται το πρόβλημα το οποίο δεν έχει επιλυθεί, χωρίς όμως να έχει αποδειχθεί ότι δεν έχει λύση. ii. ονομάζονται τα προβλήματα στα οποία υπάρχει δυνατότητα επιλογής μέσα από ένα προκαθορισμένο πλήθος πιθανών λύσεων. iii. iv. χαρακτηρίζονται τα προβλήματα εκείνα των οποίων οι λύσεις δεν μπορούν να δομηθούν ή δεν έχει διερευνηθεί σε βάθος η δυνατότητα δόμησής τους. Μόνο τα προβλήματα μπορούν να διακριθούν σε τρεις κατηγορίες με βάση το βαθμό δόμησής τους. Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 19

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Η έννοια πρόβληµα Ανάλυση προβλήµατος Με τον όρο πρόβληµα εννοούµε µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή ούτε προφανής. Μερικά προβλήµατα είναι τα εξής:

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση προβλήματος. Κεφάλαιο 1

Ανάλυση προβλήματος. Κεφάλαιο 1 Ανάλυση προβλήματος Κεφάλαιο 1 Η έννοια πρόβλημα Με τον όρο πρόβλημα εννοείται μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής Στάδια αντιμετώπισης

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Δώστε παραδείγματα.

1. Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Δώστε παραδείγματα. 1. Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Δώστε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ορισμός: Με τον όρο πρόβλημα εννοείται μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Πρόβλημα: Με τον όρο αυτό εννοείται μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. Δομή προβλήματος: Με τον όρο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Θέματα Προς Απάντηση Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις ακόλουθες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ):

1.1 Θέματα Προς Απάντηση Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις ακόλουθες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ): 1.1 Θέματα Προς Απάντηση 1.1.1 Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις ακόλουθες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ): 1. Πρόβλημα είναι μια μαθηματική κατάσταση που πρέπει να αντιμετωπίσουμε. 2. Αν υποβάλλουμε

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα στην πληροφορική

Το πρόβλημα στην πληροφορική Το πρόβλημα στην πληροφορική Γενικές έννοιες ΤΕΛΟΣ Ανάλυση Προβλήματος (1) Ορισμός Κατανόηση Σωστή διατύπωση από τον δημιουργό Σωστή ερμηνεία από αυτόν που αναλαμβάνει την επίλυση Δομή προβλήματος Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2 Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης Υπολογιστών

Κεφ. 2 Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης Υπολογιστών Κεφ. 2 Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης Υπολογιστών Αυτός ο κύριος δείχνει να έχει σοβαρά προβλήματα!!! 2.1.1 Πρόβλημα Ορισμός: Πρόβλημα είναι μια οποιαδήποτε κατάσταση χρειάζεται αντιμετώπιση, απαιτεί λύση,

Διαβάστε περισσότερα

1. Ανάλυση προβλήµατος

1. Ανάλυση προβλήµατος 1. Ανάλυση προβλήµατος 1.1 Η έννοια πρόβληµα. ΕΣΕΠ06-Θ1Α1 Να δώσετε τον ορισµό του προβλήµατος. 1.2 Κατανόηση προβλήµατος. ΕΣ02-Θ1Α2 Με τον όρο δεδοµένο αναφέρεται οποιοδήποτε γνωσιακό στοιχείο προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Δώστε παραδείγματα.

1. Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Δώστε παραδείγματα. 1. Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Δώστε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ορισμός: Με τον όρο πρόβλημα εννοείται μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Πρόβλημα. 2.1.1 Η έννοια του προβλήματος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

2.1. Πρόβλημα. 2.1.1 Η έννοια του προβλήματος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.1 Πρόβλημα Στόχοι του κεφαλαίου αυτού είναι να μπορούν οι μαθητές: να περιγράφουν την έννοια του προβλήματος να κατατάσσουν ένα πρόβλημα στην κατηγορία που ανήκει να διακρίνουν την ύπαρξη υπολογιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών 44 Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών Διδακτικοί στόχοι Σκοπός του κεφαλαίου είναι οι μαθητές να κατανοήσουν τα βήματα που ακολουθούνται κατά την ανάπτυξη μιας εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital

Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital Ενότητα Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital Ασκήσεις για λύση 1). Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: 5 i) f ( ) ii) g()= 1 1 iii) h( ) iv) φ()= 4 5 ). Αν η ευθεία ε: y + β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ονοματεπώνυμο: Βαθμός:

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ονοματεπώνυμο: Βαθμός: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ονοματεπώνυμο: Βαθμός: Θέμα 1ο Α) Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις επιλέγοντας Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος). 1) Ο έλεγχος μιας συνθήκης έχει μόνο δυο τιμές,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 Β Γυμνασίου Φυσική: Ασκήσεις Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ασκήσεις στο 1 ο Κεφάλαιο Ασκήσεις με κενά 1. Να συμπληρώσεις τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ. 10. Τα επιλύσιμα προβλήματα κατηγοριοποιούνται περεταίρω με βάση το βαθμό δόμησης και το είδος επίλυσής τους.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ. 10. Τα επιλύσιμα προβλήματα κατηγοριοποιούνται περεταίρω με βάση το βαθμό δόμησης και το είδος επίλυσής τους. Βουλιαγμένης 2/10/2011, Μάθημα : ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Καθηγητής/τρια: Χρόνος: 3 ώρες Ονοματεπώνυμο: Τμήμα: Γ ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1. Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Θεωρίας. Καστούμης Γιώργος

Επανάληψη Θεωρίας. Καστούμης Γιώργος ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ορισµοί: Με τον όρο πρόβληµα εννοείται µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή,

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη: Γ Λυκείου Κατεύθυνση: Τεχνολογική Μάθημα: Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγ/κό Περιβάλλον Είδος Εξέτασης: Διαγώνισμα Ημερομηνία Εξέτασης:

Τάξη: Γ Λυκείου Κατεύθυνση: Τεχνολογική Μάθημα: Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγ/κό Περιβάλλον Είδος Εξέτασης: Διαγώνισμα Ημερομηνία Εξέτασης: Τάξη: Γ Λυκείου Κατεύθυνση: Τεχνολογική Μάθημα: Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγ/κό Περιβάλλον Είδος Εξέτασης: Διαγώνισμα Ημερομηνία Εξέτασης: Ονοματεπώνυμο: Βαθμός: Θέμα 1 ο - (0) Α. Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της.

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να σχηµατίσετε τις γεωµετρικές προόδους µε: α) α 1 = 5 και λ = 3 2 1 β) α 1 = και λ = 3 1 γ) α 1 = - 20 και λ = 2 2. * Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στους αριθµούς 2, 16,

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 5.2 Ασκήσεις: 1-17 Θεωρία ως και την 5.3 Ασκήσεις: 18-24 Άσκηση 1 Θεωρούμε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

x Ε ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

x Ε ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια της συνάρτησης Μια σχέση όπου κάθε τιμή μιας μεταβλητής x, αντιστοιχίζεται σε µία µόνο τιμή μιας μεταβλητής στα Μαθηματικά λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματικό Γενικό Λύκειο Π.Κ. Σχ. Έτος

Πειραματικό Γενικό Λύκειο Π.Κ. Σχ. Έτος 1 ο Κεφάλαιο: Ανάλυση Προβλήματος Σύντομη Θεωρία Πρόβλημα: Μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. Υπάρχει μία σχετικότητα στον ορισμό? Υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Α Φάση ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ

Α Φάση ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Μέτρηση µήκους Γ Δημοτικού Δ Δημοτικού Ε Δημοτικού Μ2. Μετρούν και Μ2. Υπολογίζουν την συγκρίνουν την περίμετρο περίμετρο σχημάτων πολυγωνικών σχημάτων χρησιμοποιώντας και επιλύουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Προσομοιωμένο διαγώνισμα απολυτήριων εξετάσεων στα Μαθηματικά της Γ Γυμνασίου ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 01-01 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Η συνδρομή για την συμμετοχή στον όμιλο κολύμβησης είναι 15 τον μήνα και 5 για κάθε φορά που χρησιμοποιούμε την πισίνα. Αν τον προηγούμενο μήνα πληρώσαμε 75, πόσες

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα