Η EΝΝΟΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ. Ορισμός. 1.1 Τι ονομάζουμε πρόβλημα;

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ Π 1 ΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η EΝΝΟΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1.1 Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Ορισμός Πρόβλημα ονομάζουμε μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. (Εξετάσεις 2006) 1.2 Τι ονομάζουμε επίλυση ενός προβλήματος; Επίλυση (ή αντιμετώπιση) ενός προβλήματος ονομάζουμε τη διαδικασία μέσω της οποίας, ο λύτης του προβλήματος βρίσκει το ζητούμενο (επιτυγχάνει τον επιθυμητό στόχο). ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.3 Από ποιους παράγοντες επηρεάζεται η κατανόηση ενός προβλήματος; Η κατανόηση ενός προβλήματος είναι συνάρτηση δύο παραγόντων, της σωστής διατύπωσης εκ μέρους του δημιουργού του και της σωστής ερμηνείας του εκ μέρους του λύτη. Η μη σωστή διατύπωση, όπως η χρήση άστοχης ορολογίας και η λανθασμένη σύνταξη, μπορεί να ο- δηγήσει σε παρερμηνείες. Για τη σωστή ερμηνεία, σημαντικό ρόλο παίζει το επίπεδο γνώσεων και αντίληψης του λύτη, οι γενικές και ειδικές γνώσεις του, το ενδιαφέρον και η ευφυΐα του. 1.4 Τι εννοούμε με τους όρους δεδομένα, πληροφορία και επεξεργασία δεδομένων; Δεδομένο είναι οποιοδήποτε στοιχείο το οποίο μπορεί να γίνει αντιληπτό από έναν τουλάχιστον παρατηρητή, με μία από τις πέντε αισθήσεις του. Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 7

2 Πληροφορία είναι οποιοδήποτε γνωσιακό στοιχείο το οποίο προέρχεται από επεξεργασία δεδομένων. Επεξεργασία δεδομένων είναι η διαδικασία κατά την οποία ένας μηχανισμός δέχεται δεδομένα, τα επεξεργάζεται σύμφωνα με μια προκαθορισμένη διαδικασία και αποδίδει πληροφορίες. Είναι δηλαδή η συστηματική εκτέλεση πράξεων (αριθμητικών, λογικών) στα δεδομένα. (Εξετάσεις 2002) ΔΟΜΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.5 Τι εννοούμε με τον όρο δομή του προβλήματος; Ορισμός Με τον όρο δομή του προβλήματος, αναφερόμαστε στα συστατικά του μέρη, δηλαδή στα επιμέρους υποπροβλήματα που το συναποτελούν, καθώς και στον τρόπο που αυτά τα μέρη συνδέονται μεταξύ τους. (Εξετάσεις 2006) 1.6 Τι ονομάζεται ανάλυση του προβλήματος; Με τον όρο ανάλυση του προβλήματος, αναφερόμαστε στη μεθοδική μελέτη του προβλήματος και στη διαδικασία διάσπασής του σε απλούστερα υποπροβλήματα για περαιτέρω μελέτη. 1.7 Με ποιους τρόπους παρουσιάζεται η ανάλυση ενός προβλήματος; Η ανάλυση ενός προβλήματος παρουσιάζεται με δύο τρόπους: Φραστικά, δηλαδή στη φυσική γλώσσα που μιλάμε. Διαγραμματικά, δηλαδή με ένα διάγραμμα σε σχήμα γενεαλογικού δέντρου στο οποίο: Το αρχικό πρόβλημα αναπαρίσταται από ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Κάθε ένα από τα υποπροβλήματα, στα οποία διαχωρίζεται το πρόβλημα, αναπαρίσταται επίσης από ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Τα παραλληλόγραμμα που αντιστοιχούν στα απλούστερα προβλήματα, στα οποία αναλύεται ένα πρόβλημα ή υποπρόβλημα, τίθενται ένα επίπεδο χαμηλότερα. 1.8 Σε τι είναι χρήσιμη η διαγραμματική αναπαράσταση ενός προβλήματος; Η διαγραμματική αναπαράσταση βοηθά στην καλύτερη κατανόηση του προβλήματος, καθώς 8 ANAΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

3 και στη σχεδίαση της λύσης του, αφού προσφέρεται με τον τρόπο αυτό μια απτή απεικόνιση της δομής του προβλήματος. Παράδειγμα Να δοθεί η φραστική και η διαγραμματική αναπαράσταση του προβλήματος των κλιματολογικών αλλαγών που παρατηρούνται στη Γη. Φραστική αναπαράσταση Το κύριο πρόβλημά μας είναι οι κλιματολογικές αλλαγές. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να γίνει απλούστερο αν διασπαστεί σε τρία υποπροβλήματα: 1. Πρόληψη 2. Αντιμετώπιση 3. Διαχείριση Τα τρία αυτά υποπροβλήματα μπορούν να διασπαστούν στα παρακάτω επιμέρους υποπροβλήματα: 1.1 Σωστή πληροφόρηση 1.2 Ευαισθητοποίηση του κοινού 1.3 Εξοικονόμηση ενέργειας 2.1 Ακριβότερα καύσιμα 2.2 Περιορισμός των ρύπων 2.3 Διαχείριση των ρύπων 3.1 Κατασκευή καταφυγίων για ακραία καιρικά φαινόμενα 3.2 Επενδύσεις στην επιστήμη της μετεωρολογίας 3.3 Μετανάστευση σε χώρες με ηπιότερο κλίμα Διαγραμματική αναπαράσταση ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΩΝ 1.9 Τι περιλαμβάνει ο καθορισμός των απαιτήσεων ενός προβλήματος; Ο καθορισμός των απαιτήσεων περιλαμβάνει τον προσδιορισμό των δεδομένων, καθώς και τη λεπτομερειακή καταγραφή των ζητούμενων του προβλήματος. Η αποσαφήνιση των δεδομένων και των ζητούμενων του προβλήματος συχνά απαιτεί μια σειρά από διευκρινιστικές Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 9

4 ερωτήσεις εκ μέρους του λύτη, είτε προς το δημιουργό του προβλήματος είτε προς τον ίδιο του τον εαυτό, αφού πολλές φορές τα δεδομένα θα πρέπει να «ανακαλυφθούν» στα λεγόμενα του προβλήματος Ποια στάδια περιλαμβάνει η διαδικασία της επίλυσης ενός προβλήματος; Η διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος περιλαμβάνει τα εξής αλληλεπιδρώντα στάδια: Κατανόηση Η κατανόηση ενός προβλήματος απαιτεί τη σωστή και πλήρη αποσαφήνιση των δεδομένων και των ζητούμενων του προβλήματος. Ανάλυση Είναι η διαδοχική τμηματοποίηση του προβλήματος σε απλούστερα υποπροβλήματα, μέχρις ότου τα υποπροβλήματα που θα προκύψουν να είναι εύκολο να επιλυθούν. Επίλυση Στο στάδιο της επίλυσης ενός προβλήματος, υλοποιείται η λύση του μέσω της λύσης των επιμέρους προβλημάτων στα οποία έχει διαχωριστεί κατά το στάδιο της ανάλυσης. (Εξετάσεις 2006) Παράδειγμα Ένας πολιτικός μηχανικός θέλει να διαχωρίσει ένα οικόπεδο σχήματος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α= 30 m σε τρία ισεμβαδικά τριγωνικά οικόπεδα. Να υποδειχθεί ο τρόπος διαχωρισμού του αρχικού οικοπέδου και να βρεθούν το εμβαδόν του κάθε οικοπέδου και το μήκος των πλευρών του. i. Να κατασκευάσετε πίνακα δεδομένων ζητούμενων. ii. Να μορφοποιήσετε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα. Λύση i. Δεδομένα Ζητούμενα Ισόπλευρο Τρίγωνο Τρόπος διαχωρισμού Ίσες Πλευρές του οικοπέδου σε τρία Ίσες Γωνίες 60 ο τριγωνικά οικόπεδα ίσου εμβαδού Μήκος Πλευράς α= 30 m Εμβαδόν του κάθε τριγώνου Οι διχοτόμοι είναι διάμεσοι και ύψη του τριγώνου και το Μήκος των πλευρών του κάθε οικοπέδου χωρίζουν σε τρία ίσα τρίγωνα 10 ANAΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

5 ii. Για να υπολογίσουμε τα ζητούμενα εμβαδά E 1, E 2 και E 3 χρησιμοποιούμε τις παρακάτω σχέσεις: α= 30 m (1) E Βάση Ύψος E1 = E2 = E3 = (2) E = 3 2 (3) Ύψος = α ημ60 (4) Για τον υπολογισμό των μηκών των πλευρών των τριγώνων πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις παρακάτω εξισώσεις: α Μήκος1 = α (5) Μήκος2 = Μήκος3 = 2 συν30 (6) ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1.11 Ποιες είναι οι κατηγορίες των προβλημάτων με βάση τη δυνατότητα επίλυσής τους; Με κριτήριο τη δυνατότητα επίλυσης ενός προβλήματος, διακρίνουμε τρεις κατηγορίες προβλημάτων: Επιλύσιμα Είναι τα προβλήματα των οποίων η λύση έχει διατυπωθεί και είναι ήδη γνωστή. Επίσης, επιλύσιμα μπορεί να χαρακτηριστούν και προβλήματα των οποίων η λύση δεν έχει ακόμα διατυπωθεί, αλλά η συνάφειά τους με άλλα ήδη επιλυμένα μας επιτρέπει να θεωρούμε βέβαιη τη δυνατότητα επίλυσής τους. Για παράδειγμα, η λύση μιας πρωτοβάθμιας εξίσωσης. Άλυτα Είναι τα προβλήματα που έχει αποδειχθεί ότι δεν έχουν λύση. Για παράδειγμα, το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου με κανόνα και διαβήτη. Ανοικτά Είναι τα προβλήματα που δεν έχουν ακόμη λυθεί, αλλά και δεν έχει αποδειχθεί ότι δεν έχουν λύση ώστε να χαρακτηρισθούν ως άλυτα. Για παράδειγμα, το πρόβλημα της ενοποίησης των τεσσάρων πεδίων δυνάμεων. (Εξετάσεις 2000, 2001, 2002, 2005) 1.12 Ποιες είναι οι κατηγορίες των επιλύσιμων προβλημάτων ως προς το βαθμό δόμησης των λύσεών τους; Με κριτήριο το βαθμό δόμησης των λύσεών τους, τα επιλύσιμα προβλήματα διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες: Δομημένα Είναι τα προβλήματα των οποίων η επίλυση προέρχεται από μια αυτοματοποιημένη διαδικασία. Για παράδειγμα, η λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx + βx+ γ= 0. 2 Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 11

6 Ημιδομημένα Είναι τα προβλήματα των οποίων η λύση επιδιώκεται στο πλαίσιο ενός σαφώς προκαθορισμένου εύρους πιθανών λύσεων. Για παράδειγμα, η επιλογή ενός μεταφορικού μέσου για να πάμε από ένα μέρος σε ένα άλλο. Αδόμητα Είναι τα προβλήματα των οποίων οι λύσεις δεν μπορούν να δομηθούν ή δεν έχει διερευνηθεί σε βάθος η δυνατότητα δόμησής τους. Στα προβλήματα αυτά υπάρχουν άπειρες δυνατότητες επίλυσης σε πρακτικό επίπεδο, ενώ πρωτεύοντα ρόλο παίζει η ανθρώπινη διαίσθηση. Για παράδειγμα, το πρόβλημα των προϊόντων που θα ψωνίσω από το σούπερ μάρκετ. (Εξετάσεις 2001, 2002, 2005) 1.13 Ποιες είναι οι κατηγορίες των προβλημάτων ως προς το είδος της επίλυσής τους; Με κριτήριο το είδος της επίλυσης που επιζητούν, τα προβλήματα διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες: Προβλήματα απόφασης Στα προβλήματα αυτά, η λύση τους είναι μια απόφαση. Η απόφαση αυτή, που μπορεί να είναι ένα «Ναι» ή ένα «Όχι», απαντά σε ένα ερώτημα που έχει τεθεί από το πρόβλημα. Σε ένα πρόβλημα απόφασης πρέπει να διαπιστώσουμε αν υπάρχει απάντηση που να ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος. Για παράδειγμα, το αν ένας αριθμός είναι ζυγός. Υπολογιστικά προβλήματα Για να δοθεί μια απάντηση στα προβλήματα αυτά, απαιτείται η διενέργεια υπολογισμών. Σε ένα υπολογιστικό πρόβλημα αναζητούμε την τιμή της απάντησης που ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος. Για παράδειγμα, το πρόβλημα του υπολογισμού μιας διακρίνουσας. Προβλήματα βελτιστοποίησης Σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης αναζητούμε το βέλτιστο αποτέλεσμα για τα συγκεκριμένα δεδομένα του προβλήματος. Δηλαδή, αναζητούμε την απάντηση που ικανοποιεί, κατά τον καλύτερο τρόπο, τα δεδομένα του προβλήματος. Για παράδειγμα, το πρόβλημα της εύρεσης της διαδρομής ενός φορτηγού διανομής ημερήσιου τύπου με τον ελάχιστο χρόνο ή με την ελάχιστη κατανάλωση βενζίνης. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ 1.14 Ποιοι είναι οι λόγοι που αναθέτουμε την επίλυση ενός προβλήματος σε ηλεκτρονικό υπολογιστή; 12 ANAΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

7 Οι λόγοι που αναθέτουμε την επίλυση ενός προβλήματος σε ηλεκτρονικό υπολογιστή σχετίζονται με: Την πολυπλοκότητα των υπολογισμών Την επαναληπτικότητα των διαδικασιών Την ταχύτητα της εκτέλεσης των πράξεων Το μεγάλο πλήθος των δεδομένων (Εξετάσεις 2002) 1.15 Ποιες βασικές λειτουργίες μπορεί να εκτελέσει ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής; Οι βασικές λειτουργίες που μπορεί να εκτελέσει ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής είναι: Πρόσθεση Αποτελεί τη βασική αριθμητική πράξη, αφού οι υπόλοιπες μπορούν να αντιμετωπισθούν ως διαδικασίες πρόσθεσης. Σύγκριση Είναι η βασική λειτουργία για την εκτέλεση των λογικών πράξεων. Μεταφορά δεδομένων Η μεταφορά των δεδομένων προηγείται και έπεται της επεξεργασίας τους. ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1.16 «Να υπολογιστεί το εμβαδόν ενός τετραγώνου, γνωρίζοντας ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους της πλευράς του». Διατυπώστε με μαθηματικό τρόπο το παραπάνω πρόβλημα εύρεσης «Έστω τα διανύσματα A και Β με μέτρα α και β αντίστοιχα, ενώ η γωνία μεταξύ τους είναι θ. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος Γ που προκύπτει από τη σύνθεση των δύο διανυσμάτων. Δηλαδή από την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος που έχει όρους: το τετράγωνο του μέτρου του Α, το τετράγωνο του μέτρου του Β και το γινόμενο των δύο παραπάνω μέτρων επί το συνημίτονο της γωνίας θ διπλασιασμένο». Διατυπώστε με μαθηματικό τρόπο το παραπάνω πρόβλημα εύρεσης «Έχοντας τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου a, b και c, να αποδείξετε ότι το άθροισμα των δύο πλευρών είναι πάντα μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά». Διατυπώστε με μαθηματικό τρόπο το παραπάνω πρόβλημα απόδειξης «Ο Θωμάς θέλει να καλέσει στο πάρτι του μια συμμαθήτριά του». Διατυπώστε τα πιθανά ερωτήματα που θα πρέπει να απαντηθούν προκειμένου να προσδιοριστεί καλύτερα το ζητούμενο στο πρόβλημα του Θωμά. Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 13

8 1.20 Σε μια ασφαλιστική εταιρεία θέλουν να προσλάβουν ασφαλιστικούς συμβούλους. Ποια ερωτήματα θα πρέπει να απαντηθούν προκειμένου να προσδιοριστεί καλύτερα το ζητούμενο; 1.21 «Ο Αρχιμήδης εκνευρίστηκε με το δούλο του και του είπε να αρχίσει να μετρά από το ένα έως το χίλια περνώντας διαδοχικά μπροστά από τις επτά κολόνες ενός ναού και να του πει αφού ολοκληρώσει το μέτρημα σε ποια κολόνα σταμάτησε». Διατυπώστε με μαθηματικό τρόπο το παραπάνω πρόβλημα εύρεσης, ώστε να διευκολύνετε το δούλο του Αρχιμήδη «Η οικογένεια του Γιώργου (ο πατέρας, η μητέρα και ο αδελφός του) θέλει να αγοράσει ρούχα». Αναλύστε σε υποπροβλήματα και παρουσιάστε σχηματικά και φραστικά το παραπάνω πρόβλημα «Ο Πάνος είναι στο αεροδρόμιο του Λονδίνου και θέλει να πάει στο Παρίσι, αλλά μόλις έχασε την πτήση του και σκέφτεται με ποιον τρόπο να ταξιδέψει». Αναλύστε σε υποπροβλήματα και παρουσιάστε σχηματικά και φραστικά το παραπάνω πρόβλημα. 36x «Να λυθεί η εξίσωση: =». 2 (4x + 4)(x 10x + 25) 3 Αναλύστε σε υποπροβλήματα και παρουσιάστε σχηματικά και φραστικά το παραπάνω πρόβλημα «Στην τελική φάση του ευρωπαϊκού πρωταθλήματος μπάσκετ (Final Four Basket) παρουσιάζεται η ανάγκη καταγραφής των στοιχείων των παικτών της κάθε ομάδας στην εξής μορφή: ονοματεπώνυμο παίκτη, ομάδα και μέσος όρος των πόντων στους προκριματικούς αγώνες». Παρουσιάστε σχηματικά την ανάλυση του παραπάνω προβλήματος σε υποπροβλήματα «Κάποιος καταθέτει σε μια τράπεζα Θέλει να υπολογίσει το τελικό του κεφάλαιο ύστερα από πέντε χρόνια α) με ετήσιο επιτόκιο 1,5% και ανατοκισμό ανά έτος, και β) με ετήσιο επιτόκιο 0,99% και ανατοκισμό ανά εξάμηνο. Ποια από τις δύο παραπάνω προτάσεις της τράπεζας είναι η πιο συμφέρουσα; Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το παραπάνω πρόβλημα «Από τις 12:00 έχουν περάσει δευτερόλεπτα, τι ώρα είναι τώρα»; Κατασκευάστε έναν πίνακα με τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος Πόσο χρόνο χρειάζεται ένα σώμα για να διανύσει διάστημα S = 100 m σε ελεύθερη 2 πτώση, αν λάβουμε υπόψη ότι g = 10m/s ; ii. Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα. 14 ANAΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

9 1.29 Σε μια ορθογώνια παραλληλόγραμμη πλατεία διαστάσεων μέτρα, ο δήμαρχος θέλει να φυτέψει δενδροστοιχίες. Για το λόγο αυτό, θα πρέπει να ξηλωθούν τα πλακάκια περιμετρικά της πλατείας. Έτσι το εμβαδόν της πλατείας, μετά την παραπάνω παρέμβαση, θα μειωθεί κατά το 1/8 του αρχικού εμβαδού. Πόσο μακριά από την άκρη της πλατείας θα ξεκινούν τα πλακάκια της; ii. Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα Στον τελικό του άλματος επί κοντώ στους Ολυμπιακούς Αγώνες διαγωνίζονται 20 αθλητές. Καθένας από αυτούς στον πρώτο γύρο έχει το δικαίωμα να κάνει 3 άλματα και αν καταφέρει να περάσει τα 6,60 m μπαίνει στον δεύτερο γύρο και αποκτάει το δικαίωμα για 3 ακόμη άλματα. Θέλουμε να βρούμε τα ονόματα των τριών αθλητών που θα μοιραστούν τα μετάλλια. Να γράψετε τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος Κάποιος θέλει να αγοράσει ένα οικόπεδο και θέλει να υπολογίσει την τελική του τιμή αν πρέπει να πληρώσει 19% στην εφορία, 1% στον πολιτικό μηχανικό για τα σχέδια και 500 στο δικηγόρο. ii. Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα «Ο Χρήστος θέλει να αγοράσει ένα αυτοκίνητο με αρχική αξία Όμως, η τελική τιμή του αυτοκινήτου είναι κατά 20% υψηλότερη της αρχικής λόγω των φόρων ταξινόμησης. Ο Χρήστος έχει 10000, οι γονείς του θα του δώσουν άλλα 1500 και οι παππούδες του άλλα Θα μπορέσει τελικά ο Χρήστος να πάρει το αυτοκίνητο»; ii. Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα «Η Μαριαλένα είναι μεγαλύτερη της Νίκης κατά 10 χρόνια. Η Νίκη είναι μικρότερη του Ξενοφώντα κατά 3 χρόνια. Ο Ορέστης είναι 20 ετών και κατά 1 χρόνο μεγαλύτερος του Ξενοφώντα. Πόσο χρονών είναι η Μαριαλένα»; ii. Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα Η σχολή ιππασίας «ΑΝΑΒΑΤΗΣ» προσφέρει σε όσους παρακολουθούν τα μαθήματά της δύο τρόπους πληρωμής: α. Να πληρώνουν μια ετήσια συνδρομή 20 και για κάθε ώρα διδασκαλίας να πληρώνουν 5. β. Να πληρώνουν 6 την ώρα χωρίς καμιά άλλη επιβάρυνση. Πόσες ώρες μαθημάτων θα πρέπει να παρακολουθήσει κάποιος κατά τη διάρκεια ε- νός έτους προκειμένου να τον συμφέρει οικονομικά η πρώτη προσφορά; Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 15

10 ii. Μορφοποιήστε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα «Ο Αλέξανδρος επένδυσε σε μια μετοχή πριν από 2 χρόνια ένα ποσό ύψους Οι μετοχές αυτές, χωρίς να έχει κάνει καμιά πράξη αυτά τα δύο χρόνια, κοστίζουν σήμερα Ποια είναι η μέση ετήσια επί τοις εκατό απόδοση της επένδυσής του»; ii. Μορφοποιήσετε με μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ 1.36 Απαντήστε με σωστό ή λάθος, θέτοντας σε κύκλο το αντίστοιχο γράμμα. i. Πρόβλημα είναι μια ιάσιμη ασθένεια. ii. Υπάρχουν προβλήματα χωρίς δεδομένα. iii. Υπάρχουν προβλήματα χωρίς ζητούμενο. iv. Η σαφήνεια και η ακρίβεια στην περιγραφή ενός προβλήματος είναι απαραίτητες για την επίλυσή του. v. Το ζητούμενο σε ένα πρόβλημα είναι πάντα κάποιος αριθμός. vi. Η κατανόηση ενός προβλήματος ε- ξαρτάται μόνο από τη διατύπωσή του. vii. Με τον όρο δεδομένο αναφέρεται ο- ποιοδήποτε γνωσιακό στοιχείο προέρχεται από επεξεργασία δεδομένων. viii. (Εξετάσεις 2002) Τα δεδομένα ενός προβλήματος ταυτίζονται με την πληροφορία Απαντήστε με σωστό ή λάθος, θέτοντας σε κύκλο το αντίστοιχο γράμμα. i. Δομή ενός προβλήματος ονομάζουμε το διαχωρισμό του σε υποπροβλήματα. ii. Τα υποπροβλήματα ενός προβλήματος είναι δυνατόν να αναλυθούν και σε άλλα απλούστερα υποπροβλήματα. iii. Η παρουσίαση της ανάλυσης ενός προβλήματος γίνεται φραστικά και διαγραμματικά. iv. Η ανάλυση ενός προβλήματος έπεται της κατανόησης. v. Η κατανόηση ενός προβλήματος ε- ξαρτάται μόνο από το λύτη. vi. Η σαφήνεια της διατύπωσης ενός προβλήματος είναι καθοριστικός παράγοντας για την επίλυσή του. 16 ANAΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

11 vii. Τα αποτελέσματα που αναμένονται από την επίλυση του προβλήματος είναι τα ζητούμενα. viii. Η κατανόηση ενός προβλήματος ε- ξαρτάται από το χώρο που προέρχεται. Για παράδειγμα, αν είναι πρόβλημα επιστημονικό ή της καθημερινής ζωής. ix. Τα στάδια αντιμετώπισης των προβλημάτων είναι τρία. x. Στην είσοδο μπορεί να οδηγηθούμε μετά τον έλεγχο των δεδομένων Απαντήστε με σωστό ή λάθος, θέτοντας σε κύκλο το αντίστοιχο γράμμα. i. Επιλύσιμο μπορεί να χαρακτηριστεί ένα πρόβλημα για το οποίο ξέρουμε ότι έχει λύση, αλλά αυτή δεν έχει βρεθεί ακόμη. ii. iii. (Εξετάσεις 2000) Άλυτα χαρακτηρίζονται εκείνα τα προβλήματα, για τα οποία, έχουμε φτάσει στην παραδοχή ότι δεν επιδέχονται λύση. (Εξετάσεις 2005) Ο υπολογισμός του εμβαδού ενός τετραγώνου είναι πρόβλημα άλυτο. (Εξετάσεις 2000) iv. Ανοικτό ονομάζεται ένα πρόβλημα με πεπερασμένο αριθμό λύσεων. v. Όλα τα προβλήματα μπορούν να λυθούν με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υ- πολογιστή. vi. (Εξετάσεις 2000) Η επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι ένα ημιδομημένο πρόβλημα. vii. Τα αδόμητα προβλήματα είναι ανοικτά. viii. Προβλήματα που έχουν περιορισμένο αριθμό εναλλακτικών λύσεων λέγονται ημιδομημένα. ix. Αδόμητα ονομάζονται τα επιλύσιμα προβλήματα που επιλύονται με άπειρες διαδικασίες επίλυσης, παράγοντας έτσι απροσδιόριστο αριθμό λύσεων. x. Ημιδομημένα χαρακτηρίζονται τα προβλήματα εκείνα των οποίων τα δεδομένα επιλέγονται μέσα από ένα σύνολο τιμών. xi. Η δυνατότητα χαρακτηρισμού ενός προβλήματος ως ανοικτού ή άλυτου εξαρτάται από τις γνώσεις και το νοητικό επίπεδο του λύτη. xii. Υπολογιστικά μπορεί να είναι και τα προβλήματα απόφασης, στα οποία για να καταλήξουμε στην απάντηση απαιτείται προηγουμένως κάποιος μαθηματικός υπολογισμός. Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 17

12 xiii. Όλα τα επιλύσιμα προβλήματα λύνονται με ηλεκτρονικό υπολογιστή. xiv. Ένας Η/Υ μπορεί να επιλύει πολύπλοκα προβλήματα εφόσον έχει μεγάλες δυνατότητες ανάλυσης. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1.39 Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε μία από τις απαντήσεις που δίνονται. i. Η διαδικασία μέσω της οποίας βρίσκουμε το ζητούμενο σε ένα πρόβλημα ονομάζεται: Α. Ανάλυση Β. Σύνθεση Γ. Επίλυση ii. Το πρώτο στάδιο στην επίλυση ενός προβλήματος είναι: Α. Η αξιολόγηση του σχεδίου λύσης Β. Η κατανόηση του προβλήματος Γ. Ο σχεδιασμός του σχεδίου λύσης iii. iv. Η ύπαρξη εξωγήινης οντότητας είναι πρόβλημα: Α. Δομημένο Β. Αδόμητο Γ. Ημιδομημένο Τι από τα παρακάτω δεν αποτελεί κριτήριο για την ταξινόμηση ενός προβλήματος: Α. Επιλυσιμότητα Β. Ταχύτητα επίλυσης Γ. Είδος του ζητούμενου Δ. Χώρος από τον οποίο προέρχεται 1.40 Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε μία από τις απαντήσεις που δίνονται. i. Χαρακτηριστική ιδιότητα των δεδομένων ενός προβλήματος είναι: Α. απλότητα Β. ταχύτητα Γ. αποτελεσματικότητα Δ. σαφήνεια ii. Το πρόβλημα υπολογισμού του ύψους ενός τριγώνου είναι πρόβλημα: Α. Δομημένο Β. Αδόμητο Γ. Ημιδομημένο iii. Το πρόβλημα επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 5x 2 4x 5=0 είναι πρόβλημα: Α. Βελτιστοποίησης Β. Απόφασης Γ. Υπολογιστικό iv. Το πρόβλημα «Να λυθεί η εξίσωση 5x 4 > 5» δεν χαρακτηρίζεται από: Α. Σαφήνεια Β. Ορθότητα Γ. Ταχύτητα v. Το πρόβλημα «Πότε θα κάνω το πάρτι μου» είναι πρόβλημα: Α. Δομημένο Β. Ημιδομημένο Γ. Αδόμητο 18 ANAΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

13 ΕΡΩΤΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ 1.41 Να γράψετε τους αριθμούς της στήλης Α και δίπλα το γράμμα της στήλης Β που αντιστοιχεί. Στήλη Α Προβλήματα 1. Η διαδικασία της λύσης τους είναι αυτοματοποιημένη. 2. Δεν έχει βρεθεί λύση, αλλά δεν έχει αποδειχθεί και η μη ύπαρξη λύσης. 3. Ο τρόπος της λύσης τους μπορεί να επιλεγεί από πλήθος δυνατών λύσεων. Στήλη Β Είδος προβλημάτων α. Ανοικτά β. Δομημένα γ. Άλυτα δ. Ημιδομημένα (Εξετάσεις 2000) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ 1.42 Στις παρακάτω προτάσεις συμπληρώστε τα κενά με τις λέξεις που λείπουν. i. Οι προκύπτουν από την επεξεργασία των. ii. Το πρόβλημα αναλύεται σε. iii. Η παρουσίαση της ανάλυσης ενός προβλήματος γίνεται και. iv. Τα είναι τα στοιχεία που θα προκύψουν από την επίλυση του προβλήματος Στις παρακάτω προτάσεις συμπληρώστε τα κενά με τις λέξεις που λείπουν. i. ονομάζεται το πρόβλημα το οποίο δεν έχει επιλυθεί, χωρίς όμως να έχει αποδειχθεί ότι δεν έχει λύση. ii. ονομάζονται τα προβλήματα στα οποία υπάρχει δυνατότητα επιλογής μέσα από ένα προκαθορισμένο πλήθος πιθανών λύσεων. iii. iv. χαρακτηρίζονται τα προβλήματα εκείνα των οποίων οι λύσεις δεν μπορούν να δομηθούν ή δεν έχει διερευνηθεί σε βάθος η δυνατότητα δόμησής τους. Μόνο τα προβλήματα μπορούν να διακριθούν σε τρεις κατηγορίες με βάση το βαθμό δόμησής τους. Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 19