Το Πρόβλημα της Επιλογής του Καταναλωτή υπό Συνθήκες Αβεβαιότητας και Κινδύνου

Transcript

1 2 κεφάλαιο Το Πρόβλημα της Επιλογής του Καταναλωτή υπό Συνθήκες Αβεβαιότητας και Κινδύνου 2.1 Εισαγωγή Η ανάλυση του προηγούμενου κεφαλαίου, δηλαδή της κλασικής θεωρίας της χρησιμότητας (θεωρία απόλυτης και τακτικής χρησιμότητας), έγινε κάτω από συνθήκες βεβαιότητας. Ο καταναλωτής σκοπό έχει τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητάς του με δεδομένα το ονομαστικό του εισόδημα, τις τιμές των αγαθών και τις προτιμήσεις του, οι οποίες αναφέρονται σε συνδυασμούς αγαθών που η σύνθεσή τους είναι γνωστή με βεβαιότητα εκ των προτέρων. ηλαδή η εξέταση της συμπεριφοράς των οικονομικών μονάδων έγινε υπό καθεστώς βεβαιότητας. Θα λέγαμε ότι ο καταναλωτής έχει πλήρη γνώση των συνθηκών που επικρατούν στην αγορά και οι ενέργειές του έχουν βέβαιες συνέπειες. Οι επιλογές των ατόμων γίνονται μέσα σε ένα περιβάλλον, όπου εκ των προτέρων είναι απολύτως γνωστά τα αποτελέσματα κάθε επιλογής. Όμως, τόσο η παραγωγική διαδικασία όσο και η καταναλωτική πράξη, στις περισσότερες περιπτώσεις, διενεργούνται υπό καθεστώς αβεβαιότητας (uncertainty) και κινδύνου (risk). ηλαδή οι αποφάσεις μας λαμβάνονται μέσα σε ένα αβέβαιο περιβάλλον, δηλαδή σε ένα περιβάλλον όπου οι επιλογές μας είναι αβέβαιες και σχετίζονται με κάποια πιθανότητα πραγματοποίησης (π.χ. επιλογή χαρτοφυλακίου, λαχεία, ασφαλίσεις και κάθε μορφής τυχερά παίγνια). Τα αποτελέσματα των επιλογών μας στις περιπτώσεις αυτές υπόκεινται σε μια πιθανότητα πραγματοποίησης των αποτελεσμάτων αυτών. Π.χ. ο αγοραστής ενός μεταχειρισμένου αυτοκινήτου δεν είναι δυνατόν να είναι εκ των προτέρων βέβαιος για την αξιοπιστία του αγοραζόμενου αυτοκινήτου, όπως, επίσης, ο παραγωγός βιομηχανικών (και γεωργικών) προϊόντων δεν μπορεί από πριν

2 152 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 να είναι γνώστης του αποτελέσματος της πώλησης των προϊόντων του, αφού αυτό στις περισσότερες περιπτώσεις εξαρτάται από πολλούς αστάθμητους και απρόβλεπτους παράγοντες, οι οποίοι συνδέονται με κάποια πιθανότητα πραγματοποίησης. Οι παράγοντες αυτοί έχουν ως αποτέλεσμα ο καταναλωτής να μην κάνει βέβαιες επιλογές, αλλά να κάνει επιλογές μεταξύ αβέβαιων συνδυασμών αγαθών. Πολλές επιλογές των οικονομικών μονάδων πραγματοποιούνται στην πράξη, όπως είπαμε, υπό καθεστώς αβεβαιότητας. Η αρχή της μεγιστοποίησης της χρησιμότητας είναι δυνατόν, κάτω από ορισμένες συνθήκες, να αποτελέσει τη βάση για τη μελέτη αβέβαιων καταναλωτικών πράξεων, το αποτέλεσμα των οποίων στηρίζεται στις πιθανότητες. Η πιθανότητα να συμβεί ένα επαναλαμβανόμενο γεγονός είναι η σχετική συχνότητα με την οποία συμβαίνει, δηλαδή είναι η μέτρηση της πιθανοφάνειας (likelihood) να συμβεί το γεγονός αυτό. Η ανάπτυξη της θεωρίας των πιθανοτήτων σε συνδυασμό με τα τυχερά παίγνια έδωσε λύση σε πολλά θέματα σχετιζόμενα με καταστάσεις αβεβαιότητας. Τέτοια γεγονότα, που το αποτέλεσμά τους είναι αβέβαιο, αναφέρονται στις επιλογές του χαρτοφυλακίου, στις ασφαλίσεις, στα λαχεία και, γενικά, στα τυχερά παίγνια. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να αναφέρουμε ότι, εκτός από την ατομική ευημερία, υπάρχει και η κοινωνική ευημερία. Και ενώ στην περίπτωση της ατομικής ευημερίας το άτομο κάνει τις επιλογές του με βάση την ατομική συνάρτηση ευημερίας που ταυτίζεται με την ατομική συνάρτηση χρησιμότητας, στην περίπτωση της κοινωνικής ευημερίας θα πρέπει να είμαστε σε θέση να διαπιστώσουμε ποια κατάσταση προτιμά το σύνολο των ατόμων της κοινωνίας, πράγμα που προϋποθέτει τη γνώση της συνάρτησης κοινωνικής ευημερίας, η οποία ερμηνεύεται ως ένας κανόνας ιεράρχησης (ταξινόμησης) εναλλακτικών προτιμήσεων του συνόλου των ατόμων της κοινωνίας. Το ερώτημα, όμως, που ανακύπτει είναι το εξής: ενώ το άτομο επιλέγει την κατάσταση εκείνη η οποία, κατά τη γνώμη του, είναι καλύτερη από κάποια άλλη, πώς είναι δυνατόν για όλα τα άτομα της κοινωνίας να επιλεγεί μια κατάσταση ομόφωνα; Επίσης, πώς είναι δυνατόν μια κυβέρνηση που έχει επιλεγεί με το 40%, λόγω του εκλογικού συστήματος, να εφαρμόσει το οικονομικό της πρόγραμμα, με το οποίο διαφωνεί το 60% του εκλογικού σώματος; Συνήθως, όμως, ομοφωνία δεν υπάρχει, αλλά υπάρχει πλειοψηφία προτιμήσεων, η οποία, βέβαια, δεν αντιπροσωπεύει το σύνολο. Αφού είναι αδύνατη η απόλυτη μέτρηση της ατομικής ευημερίας, πώς θα κρίνουμε την ευημερία του συνόλου;

3 Το Πρόβλημα της Επιλογής του Καταναλωτή υπό Συνθήκες Αβεβαιότητας και Κινδύνου 153 Για την αντιμετώπιση τέτοιων προβλημάτων αναπτύχθηκαν διάφορες θεωρητικές προσεγγίσεις. Όλες οι προσεγγίσεις αυτές απέβλεπαν στην εύρεση ενός κριτηρίου με το οποίο θα γίνει η κατάταξη των διάφορων κοινωνικών καταστάσεων. Το κριτήριο αυτό θα μας επιτρέψει να προχωρήσουμε από τις ατομικές συναρτήσεις κοινωνικής ευημερίας στις συναρτήσεις κοινωνικής ευημερίας 1. Και πάλι, όμως, ανακύπτει το ερώτημα: είναι δυνατόν να κατασκευαστεί μια πλήρης κοινωνική ταξινόμηση των διάφορων καταστάσεων, ως ένα σταθμισμένο άθροισμα των ατομικών ταξινομήσεων (ιεραρχήσεων) χωρίς αυτό να έρχεται σε αντίθεση με τις ατομικές προτιμήσεις τους 2 ; Οι διάφορες εργασίες πάνω στο θέμα αυτό στηρίχτηκαν στην τακτική και προσδοκώμενη χρησιμότητα. Αν και η θεωρία της τακτικής χρησιμότητας επιτρέπει την απλή ιεράρχηση των διάφορων συνδυασμών των αγαθών, ανάλογα με τις προτιμήσεις των ατόμων για τους συνδυασμούς αυτούς, ωστόσο, δεν μπορεί να μας δώσει ένα μέτρο του βαθμού της έντασης της προτίμησης των διάφορων συνδυασμών. Όμως, η γνώση του βαθμού έντασης των προτιμήσεων των διάφορων συνδυασμών των αγαθών είναι απαραίτητη, όταν το αποτέλεσμα των επιλογών μας είναι αβέβαιο. Στη θεωρία της τακτικής χρησιμότητας στηρίχτηκαν οι εργασίες των Arrow και Sen 3, ενώ στη θεωρία της προσδοκώμενης χρησιμότητας στηρίχτηκαν οι αναλύσεις των Harsanyi και Theil 4, όπως επίσης και των J. Von Neumann και O. Morgenstern 5, οι αναλύσεις των οποίων στηρίχτηκαν στην εργασία του Ελβετού μαθηματικού Daniel Bernoulli σε προβλήματα καταστάσεων αβεβαιότητας 6. Το όνομα του τελευταίου συνδέθηκε με τη λύση ενός τυχερού παιχνιδιού, όπου η 1. Ο A. Bergson ήταν αυτός που πρώτος ασχολήθηκε με την έννοια της συνάρτησης κοινωνικής ευημερίας στην εργασία του: A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics, Quarterly Journal of Economics, 1938, 52, σελ Κ. Προδρομίδη, «Η Θεωρία της Οικονομικής Πολιτικής», Εκδόσεις Ι. Σιδέρης, 3η έκδοση, Αθήνα, 1994, Σ. Σαραντίδη, op. cit., σελ και Η. Τ. Koplin, Microeconomic Analysis, Harper International Edition, 1971, σελ K. J. Arrow, Social Choice and Individual Values, 2nd ed., 1962, New York, J. Willey & Sons. A. K. Sen, Collective Choice and Individual Welfare, 1970, San Francisco, Holden Day, Inc. 4. J. C. Harsanyi, op.cit., 18, σελ Η. Theil, op. cit.. 5. J. von Neumann και O. Morgenstern, op. cit. 6. D. Bernoulli, Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk, Econometrica, 1954, 22, σελ

4 154 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 μαθηματική ελπίδα είναι πάρα πολύ μεγάλη, γνωστού ως «παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης» (St. Petersburg paradox). Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τις επιλογές της οικονομικής μονάδας υπό καθεστώς αβεβαιότητας. 2.2 Η Έννοια της Μαθηματικής Προσδοκίας Απόδοσης Ονομάζουμε μαθηματική προσδοκία απόδοσης (mathematical expectation of return) ή μέση προσδοκώμενη απόδοση μιας αβέβαιης κατάστασης, το σταθμισμένο άθροισμα των τιμών (αποδόσεων) που προκύπτουν από κάθε απόφαση, χρησιμοποιώντας ως όρο στάθμισης κάθε απόδοσης τις σχετικές πιθανότητες πραγματοποίησης της απόδοσης. Αν είναι, επομένως, 1, 2,..., ν τα δυνατά αποτελέσματα με αντίστοιχες πιθανότητες πραγματοποίησης των αποτελεσμάτων αυτών Ρ 1, Ρ 2,..., Ρ ν και Χ 1, Χ 2,..., Χ ν είναι οι αντίστοιχες αποδόσεις (τιμές), τότε η μέση προσδοκώμενη απόδοση (ή μαθηματική προσδοκία απόδοσης) ορίζεται ως: (2.1) 7 Ο βαθμός της μεταβλητότητας (ή της απόκλισης της απόδοσης, που πράγματι παρουσιάζεται (Χ) από τη μέση προσδοκώμενη τιμή, εκφράζεται από την έννοια της «απόκλισης από τη μέση προσδοκώμενη τιμή», Χ Ε(Χ). (2.2) Εάν έχουμε, λοιπόν, ν δυνατά αποτελέσματα με ν αντίστοιχες πιθανότητες (Ρ 1, Ρ 2,..., Ρ ν ) και ν αντίστοιχες τιμές (αποδόσεις) (Χ 1, Χ 2,..., Χ ν ), τότε η μέση προσδοκώμενη τιμή γράφεται: (2.3) 7. Εάν, βέβαια, η υπό εξέταση κατάσταση έχει συνεχή αποτελέσματα, τότε η μέση προσδοκώμενη τιμή (απόδοση) γράφεται: όπου f(x) είναι η «συνάρτηση πιθανότητας» για x και δηλώνει την πιθανότητα το x να λάβει τιμές σε ένα μικρό πεδίο ορισμού, dx.

5 Το Πρόβλημα της Επιλογής του Καταναλωτή υπό Συνθήκες Αβεβαιότητας και Κινδύνου Η ιακύμανση και η Τυπική Απόκλιση του Χ Η μέση προσδοκώμενη απόδοση, που ορίστηκε πιο πάνω, έχει το μειονέκτημα ότι είναι ένα μεροληπτικό μέτρο. Είναι, δηλαδή, μεροληπτικό κατά του περισσότερο ριψοκίνδυνου αποτελέσματος και μεροληπτικό υπέρ του λιγότερο ριψοκίνδυνου αποτελέσματος (επιλογής). Το πρόβλημα της μεροληψίας λύνεται με τη βοήθεια του κριτηρίου της «διακύμανσης», από το οποίο προκύπτει η έννοια της «τυπικής απόκλισης» (standard deviation). Η διακύμανση (variance) του Χ ορίζεται ως: (2.4) 8 Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης μας δίνει την έννοια της τυπικής απόκλισης (σ). Είναι: (2.5) 2.4 Η Έννοια της Προσδοκώμενης Χρησιμότητας Είναι γνωστό από τα προηγούμενα ότι η συνάρτηση χρησιμότητας συσχετίζει τη χρησιμότητα (ικανοποίηση) (U) με τις ποσότητες των αγαθών που καταναλώνονται από τα άτομα. Στο τμήμα αυτό συσχετίζουμε τη χρησιμότητα (U) με το συνολικό εισόδημα (Υ), γράφοντας τη συνάρτηση χρησιμότητας του εισοδήματος ως: U = U(Y), (2.6) με U = du/dy > 0, που σημαίνει ότι το επίπεδο της χρησιμότητας και το εισόδημα (περιουσία ή πλούτος του ατόμου) σχετίζονται θετικά. 8. Στην περίπτωση που η μεταβλητή Χ είναι συνεχής, είναι:

6 156 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Στο ιάγραμμα 2.1 παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές καμπύλες της συνάρτησης χρησιμότητας του εισοδήματος τριών διαφορετικών ατόμων, Α, Β και Γ. Ο ρυθμός μεταβολής της οριακής χρησιμότητας (marginal utility, MU) των καμπυλών αυτών είναι διαφορετικός. Πιο συγκεκριμένα, ο ρυθμός μεταβολής ΙΑΓΡΑΜΜΑ 2.1 της οριακής χρησιμότητας της καμπύλης που είναι κυρτή προς τα κάτω, δηλαδή της U = δυ + Υ 2, είναι που σημαίνει ότι η οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος (έστω του ατόμου Α) βαίνει αύξουσα. Αντίθετα, ο ρυθμός μεταβολής της MU της καμπύλης που είναι κυρτή προς τα πάνω, δηλαδή της U = βυ Υ 2, είναι που σημαίνει ότι η οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος (έστω του Β ατόμου) βαίνει φθίνουσα 9 και, τέλος, ο ρυθμός μεταβολής της MU της καμπύλης U = αυ (έστω του ατόμου Γ), που ξεκινά από την αρχή των αξόνων και είναι γραμμικής μορφής, είναι ΙΑΓΡΑΜΜΑ 2.2 σταθερός, Στο ιάγραμμα 2.1 οι καμπύλες της συνολικής χρησιμότητας έχουν ως αφετηρία την αρχή των αξόνων. Στο ιάγραμμα 2.2 οι καμπύλες της συνολικής χρησιμότητας τέμνονται σε ένα κοινό σημείο Β, που βρίσκε- 9. Η υπόθεση της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας του εισοδήματος αποτελεί μία από τις υποθέσεις που απαιτούνται (μαζί με την υπόθεση της ίσης ικανότητας των ατόμων για ικανοποίηση), ώστε η κατανομή του εισοδήματος στα άτομα της κοινωνίας να οδηγεί σε μεγιστοποίηση της κοινωνικής ευημερίας.

7 Το Πρόβλημα της Επιλογής του Καταναλωτή υπό Συνθήκες Αβεβαιότητας και Κινδύνου 157 ται στον οριζόντιο άξονα που δηλώνει το εισόδημα (ή πλούτο ή περιουσία) του ατόμου. Στο ιάγραμμα 2.3 παρουσιάζεται η φθίνουσα οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος με βάση την καμπύλη της συνολικής χρησιμότητας του ιαγράμματος 2.2, η οποία έχει στραμμένα τα κοίλα της προς τα κάτω και δεξιά. ΙΑΓΡΑΜΜΑ 2.3 Με βάση την υπόθεση της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας του εισοδήματος, υπόθεση με την οποία δε συμφωνούν ορισμένοι οικονομολόγοι, το χαρτοπαίγνιο (gambling) είναι βέβαιο ότι οδηγεί σε απώλεια χρησιμότητας. Έστω ότι το άτομο έχει εισόδημα ίσο με Υ νομ. μονάδες και ότι με το χαρτοπαίγνιο μπορεί είτε να κερδίσει 100 ευρώ είτε να χάσει 100 ευρώ. Το αναμενόμενο κέρδος (όφελος) και η αναμενόμενη απώλεια της χρησιμότητας απεικονίζονται στις γραμμοσκιασμένες επιφάνειες του ανωτέρω διαγράμματος. Επειδή το αναμενόμενο όφελος είναι μικρότερο από την αναμενόμενη απώλεια της χρησιμότητας, ο καταναλωτής που επιθυμεί τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας δε θα πρέπει ποτέ να εμπλακεί στο τυχερό παιχνίδι της χαρτοπαιξίας αποστρεφόμενος την αβεβαιότητα και τον κίνδυνο (risk aversion) Συνήθως, ως μέτρο υπολογισμού της αποστροφής του κινδύνου, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, χρησιμοποιείται ο δείκτης του Pratt: r(w) = U (W)/U (W), όπου W είναι η περιουσία των ατόμων. Βλ. σχετ. J. W. Pratt, Risk Aversion in the Small and in the Large, Econometrica, 1964, σελ

8 158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Έτσι, το χαρτοπαίγνιο, αν και δίκαιο (έντιμο) παίγνιο 11, θα πρέπει να αποφεύγεται, δεχόμενοι τη φθίνουσα οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος. Το άτομο, σύμφωνα με την υπόθεση του Bernoulli, δε θα πρέπει να διαθέσει, π.χ. 100 ευρώ, στο χαρτοπαίγνιο με πιθανότητα 1% να κερδίσει ευρώ, ενώ θα δαπανήσει 100 ευρώ για την ασφάλισή του έναντι πιθανότητας 1% να απωλέσει ευρώ. Αν η οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος ήταν σταθερή (ευθεία γραμμή ΒΓ του ιαγράμματος 2.2), το άτομο θα ήταν πρόθυμο να πληρώσει ποσό, έστω 100 ευρώ, προκειμένου να κερδίσει ποσό ίσο με 100 ευρώ (το άτομο είναι ουδέτερο απέναντι στην αβεβαιότητα και τον κίνδυνο), ενώ, αντίθετα, όταν η οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος ήταν αύξουσα (καμπύλη ΗΒΖ του ιαγράμματος 2.2), το άτομο θα ήταν διατεθειμένο να πληρώσει περισσότερα από 100 ευρώ για να κερδίσει 100 ευρώ. Βλέπουμε ότι στην τελευταία περίπτωση το άτομο αποδέχεται την αβεβαιότητα και τον κίνδυνο (είναι εραστής του κινδύνου, risk lover) και, επομένως, το τυχερό παιχνίδι. Η ανάλυση της συμπεριφοράς της χρησιμότητας των ατόμων Α, Β, Γ στηρίζεται στην έννοια της αναμενόμενης (προσδοκώμενης) χρησιμότητας (expected utility). Η απόφαση, που σχετίζεται με την επιλογή μεταξύ διάφορων γεγονότων με αβέβαιο αποτέλεσμα ως προς την πραγματοποίησή τους, εκφράζεται ως επιλογή με τη μεγαλύτερη προσδοκώμενη χρησιμότητα. Η μεγιστοποίηση της προσδοκώμενης χρησιμότητας στην υπόθεση (υπόδειγμα) του Ελβετού μαθηματικού D. Bernoulli, ο οποίος προσπάθησε να ερμηνεύσει το «παράδοξο του St. Petersburg» (παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης), περιγράφεται ως «ηθική τιμή» ή «ηθική προσδοκία» του παιγνίου 12. Αυτή είναι η πεπερασμένη τιμή της προσδοκώμενης χρησιμότητας, στην οποία συγκλίνει 11. ίκαιο (έντιμο) παιχνίδι (fair game) ή δίκαιο στοίχημα (fair bet) θεωρείται εκείνο το παιχνίδι ή εκείνο το στοίχημα, για το οποίο ο παίκτης δεν υποχρεώνεται ποτέ να καταβάλλει περισσότερα από τη συνολική μαθηματική προσδοκία της επιτυχίας. 12. Βλ. D. Bernoulli, Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk, Econometrica, vol. 22, 1954, σελ Στην βιβλιογραφία, εκτός από το «παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης», αναφέρεται και το «παράδοξο του Allais» που οφείλεται στην τάση των ατόμων να προτιμούν τα ενδεχόμενα με τη μικρότερη αβεβαιότητα και το «παράδοξο του Ellsberg» που οφείλεται στην τάση των ατόμων να προτιμούν τις λιγότερο αβέβαιες πιθανότητες (και όχι τα μικρότερης αβεβαιότητας ενδεχόμενα). Βλ. D. Ellsberg, Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms, Quarterly Journal of Economics, 1961, vol. 75, σελ Επίσης βλ. U. Segal, The Ellsberg Paradox and Risk Aversion: An Anticipated Utility Approach, International Economic Review, 1987, vol. 28, σελ Ο Allais με το πείραμά του οδήγησε σε συστηματικές παραβιάσεις του «αξιώματος της ανεξαρτησίας» της θεωρίας της προσδοκώμενης χρησιμότητας. Βλ. M. Allais, Le comportement de l homme rationnel derant le risk: Critique de postulat et axioms de l ecole americaine, Econometrica, 1953, vol. 21, σελ

9 Το Πρόβλημα της Επιλογής του Καταναλωτή υπό Συνθήκες Αβεβαιότητας και Κινδύνου 159 το «παράδοξο του St. Petersburg», όταν η οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος μειώνεται καθώς αυξάνεται το εισόδημα (ο πλούτος). Την τιμή αυτή είναι πρόθυμοι να πληρώσουν οι παίκτες προκειμένου να λάβουν μέρος στο παίγνιο. Στο σημείο αυτό αναφέρουμε και πάλι τον ορισμό των δίκαιων παιγνίων (fair games) ή δίκαιων στοιχημάτων (fair bets). Ως δίκαια παίγνια ή δίκαια στοιχήματα θωρούνται εκείνα για τα οποία ο παίκτης δεν υποχρεώνεται ποτέ να καταβάλλει περισσότερα από τη συνολική μαθηματική προσδοκία της επιτυχίας ή, με άλλα λόγια, είναι εκείνα των οποίων η αναμενόμενη τιμή ισούται με το μηδέν και τα οποία κοστίζουν όσο οι αναμενόμενες τιμές τους. Τα άτομα πολύ σπάνια λαμβάνουν μέρος σε δίκαια παίγνια. Γενικά, τα άτομα δεν είναι πρόθυμα να παίξουν δίκαια παίγνια^ π.χ., ενώ τα άτομα συχνά είναι πρόθυμα να λάβουν μέρος σε ένα μη δίκαιο παίγνιο πληρώνοντας ένα μικρό ποσό (π.χ. λαχείο ή στοίχημα), εντούτοις, σπάνια θα ήταν πρόθυμοι να λάβουν μέρος σε ένα δίκαιο παίγνιο πληρώνοντας ένα μεγάλο ποσό με αβέβαιο αποτέλεσμα. Παράδειγμα αποτελεί το «παράδοξο του St. Petersburg» του Bernoulli. Α. Η υπόθεση του Bernoulli Η απόφαση ενός ατόμου σε μια κατάσταση που αναφέρεται σε επιλογή μεταξύ αβέβαιων καταστάσεων, όσον αφορά την πραγματοποίησή τους, περιγράφεται από την υπόθεση της μεγιστοποίησης της προσδοκώμενης χρησιμότητας (maximization of expected utility). Η λύση κατά τον Bernoulli στηρίχτηκε σε δύο υποθέσεις: α) οι πράξεις των ατόμων καθοδηγούνται από τη μεγιστοποίηση της ηθικής προσδοκίας της επιτυχίας (moral expectation of success) και όχι από τη μαθηματική προσδοκία της επιτυχίας (mathematical expectation of success), η οποία είναι το άθροισμα των γινομένων της χρησιμότητας της νομισματικής μονάδας (εισοδήματος) επί την αντίστοιχη πιθανότητα και β) η οριακή χρησιμότητα του ονομαστικού εισοδήματος φθίνει, που σημαίνει ότι ο ρυθμός αύξησης της χρησιμότητας φθίνει σε συνεχόμενες αυξήσεις του χρηματικού εισοδήματος. Σύμφωνα με τον Bernoulli, η λύση στο «παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης» είναι ότι τα άτομα δεν ενδιαφέρονται τόσο για τα κέρδη του παιχνιδιού όσο για τη χρησιμότητα των κερδών αυτών. Ο D. Bernoulli θεωρούσε ότι η χρησιμότητα που προκύπτει από κάθε ίση αύξηση του κέρδους είναι αναλογικά αντίστροφη από την περιουσία του ατόμου:

10 160 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 (2.7) όπου λ = μια σταθερή, Υ = εισόδημα (περιουσία) του ατόμου, du = μεταβολή της χρησιμότητας και dυ = μεταβολή της περιουσίας του ατόμου. Εάν η περιουσία ισούται με μια σταθερή c = 0, τότε θα είναι Υ = c = 0 και U = 0, τότε μπορεί να εκτιμηθεί η συνολική χρησιμότητα με βάση το κατωτέρω ολοκλήρωμα: (2.8) Ο Bernoulli με βάση τη σχέση (2.8) κατέληξε στο συμπέρασμα ότι τα δίκαια τυχερά παιχνίδια θα πρέπει να αποφεύγονται από τα άτομα, επειδή η χρησιμότητα της αναμενόμενης απώλειας είναι μεγαλύτερη από τη χρησιμότητα του αναμενόμενου κέρδους, με βάση την υπόθεση της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας του εισοδήματος, που παρουσιάστηκε στο ιάγραμμα 2.3. Ο παίκτης ρίχνει ένα νόμισμα μέχρι να εμφανιστεί «κορώνα». Εάν η «κορώνα» εμφανιστεί τη ν οστή φορά, ο παίκτης θα λάβει $2 ν. Το παίγνιο επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Εάν είναι X i η αμοιβή που παίρνει ο παίκτης όταν εμφανιστεί η «κορώνα» στην i ρίψη, τότε θα είναι: X 1 = $2, X 2 = $4,..., X ν = $2 ν. Η πιθανότητα να παρουσιαστεί «κορώνα» για πρώτη φορά κατά την i ρίψη είναι (1/2) i, οπότε οι αντίστοιχες πιθανότητες των αποδόσεων Χ 1, Χ 2,..., Χ ν θα είναι: Η προσδοκώμενη τιμή του παράδοξου του St. Petersburg είναι: (2.9) Παρατηρώντας προσεκτικά τη (2.9) καταλήγουμε στο ότι κανένας παίκτης δε θα ήταν πρόθυμος να πλήρωνε ένα αρκετά μεγάλο ποσό (πολύ πιο λίγα βέβαια από το άπειρο), προκειμένου να συμμετάσχει στο παίγνιο με

11 Το Πρόβλημα της Επιλογής του Καταναλωτή υπό Συνθήκες Αβεβαιότητας και Κινδύνου 161 άπειρη προσδοκώμενη τιμή. Εάν δηλαδή ο παίκτης πρέπει να πληρώσει ένα αρκετά σημαντικό ποσό, ώστε να λάβει μέρος στο παίγνιο, αυτός δε θα είναι πρόθυμος να παίξει στο παίγνιο, παρά το γεγονός ότι το αρκετά μεγάλο ποσό που θα πλήρωνε (π.χ. 1 δισ. ευρώ) υστερεί σημαντικά από την άπειρη προσδοκώμενη τιμή του παίγνιου. Αυτό είναι το παράδοξο του St. Petersburg, στο οποίο, όπως αναφέρθηκε, ο Bernoulli προσπάθησε να δώσει λύση, σύμφωνα με την οποία τα άτομα τα ενδιαφέρει μάλλον η χρησιμότητα των κερδών που θα προκύψουν από τη συμμετοχή στο παίγνιο, παρά τα κέρδη του παίγνιου 13. Ως προσδοκώμενη χρησιμότητα αβέβαιων αποτελεσμάτων ορίζουμε το σταθμισμένο άθροισμα των χρησιμοτήτων που προκύπτουν από τη σειρά των αβέβαιων αποτελεσμάτων και με όρο στάθμισης τις αντίστοιχες πιθανότητες πραγματοποίησης των αποτελεσμάτων. Εάν, επομένως, είναι 1, 2,..., ν τα δυνατά αποτελέσματα που συνοδεύονται από αντίστοιχα εισοδήματα Υ 1, Υ 2,..., Υ ν, για τα οποία οι αντίστοιχες χρησιμότητες είναι U 1, U 2,..., U ν και οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι Ρ 1, Ρ 2,..., Ρ ν, τότε η προσδοκώμενη χρησιμότητα θα είναι: (2.10) Κατά τον Bernoulli η συνάρτηση χρησιμότητας στο παράδοξο του St. Petersburg ορίζεται ως: U(X i ) = log(x i ), με MU > 0 και (ΜU) < 0, (2.11) που σημαίνει ότι η οριακή χρησιμότητα είναι θετική και φθίνουσα. Η προσδοκώμενη χρησιμότητα στο παράδοξο του St. Petersburg συγκλίνει σε μια πεπερασμένη μορφή: (2.12) 13. Για μια προχωρημένη παρουσίαση της θεωρίας της προσδοκώμενης χρησιμότητας βλ. A. Mas - Colell, M. D. Whinston και J. R. Green, Microeconomic Theory, Oxford University Press, New York, 1995, κεφ. 6.

12 162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β. Η μέθοδος των J. von Neumann και Ο. Morgenstern Και η μέθοδος των Neumann - Morgenstern στηρίζεται στην κεντρική ιδέα της υπόθεσης του Bernoulli ότι οι πράξεις των ατόμων θα πρέπει να έχουν ως στόχο τη μεγιστοποίηση της προσδοκώμενης χρησιμότητας του εισοδήματος σε καθεστώς αβεβαιότητας 14. Οι προτιμήσεις μιας οικονομικής μονάδας στηρίζονται σε ορισμένα αξιώματα (ή υποθέσεις): α) H οικονομική μονάδα έχει την ικανότητα να ιεραρχεί (ταξινομεί) τις επιλογές ως προς τους λαχνούς, σύμφωνα με τις προτιμήσεις της (Αξίωμα σύνθετων λαχνών). β) H οικονομική μονάδα έχει τη δυνατότητα της σύγκρισης του αβέβαιου με το βέβαιο και να προσδιορίζει το βέβαιο ισοδύναμο ενός λαχνού ή ενός στοιχήματος (Αξίωμα της σύγκρισης). γ) Oι προτιμήσεις των στοιχημάτων πρέπει να είναι μονοτονικές, που σημαίνει ότι, αν προτιμάται η απόδοση Χ 1 από την απόδοση Χ 2, τότε πρέπει να προτιμάται και το στοίχημα εκείνο στο οποίο η πιθανότητα να επιλεγεί η απόδοση Χ 1 είναι μεγαλύτερη (Αξίωμα της συνέχειας). δ) Οι προτιμήσεις για τους λαχνούς πρέπει να είναι μεταβατικές, δηλαδή αν ένα άτομο προτιμά το λαχνό Α από το Β και το Β από το Γ, τότε προτιμά, επίσης, τον Α έναντι του Γ. Όπως, επίσης, αν το άτομο είναι αδιάφορο μεταξύ των λαχνών Α και Β και μεταξύ των Β και Γ, τότε είναι αδιάφορο και μεταξύ των Α και Γ (Αξίωμα της μεταβατικότητας). ε) Αν μια οικονομική μονάδα προτιμά μια απόδοση, Χ 1, από μια άλλη, Χ 2, τότε ένας λαχνός Α που περιλαμβάνει τη Χ 1 και μια άλλη, τη Χ 3, πρέπει να προτιμάται από ένα λαχνό Β που περιλαμβάνει τη Χ 2 και τη Χ 3, δηλαδή πρέπει οι προτιμήσεις για τους λαχνούς (ή τα στοιχήματα) να είναι ανεξάρτητες από την άσχετη εναλλακτική απόδοση Χ 3 (Αξίωμα της ανεξαρτησίας) Εάν ικανοποιούνται τα ανωτέρω αξιώματα (υποθέσεις) (αξιώματα των von Neumann-Morgenstern) 15, τότε είναι δυνατόν να οριστεί μια συνάρτηση προσδοκώμενης χρησιμότητας (function of expected utility) σε όρους προσδοκώμενων χρησιμοτήτων των λαχνών, δηλαδή να οριστεί μια συνάρτηση: 14. M. J. Machina, Choice under Uncertainty: Problems Solved and Unsolved, Journal of Economic Perspectives, 1987, σελ Σχετικά με τα αξιώματα των von Neumann-Morgenstern βλέπε: M. J. Machina, op. cit.

13 Το Πρόβλημα της Επιλογής του Καταναλωτή υπό Συνθήκες Αβεβαιότητας και Κινδύνου 163 E(U(X)) = π 1 U(X 1 ) + π 2 U(X 2 ), όπου π 2 = 1 π 1, (2.13) τέτοια ώστε, αν ο λαχνός Α προτιμάται του Β, τότε: όπου Ε = προσδοκώμενη τιμή ή μαθηματική ελπίδα. Οι ίδιες σχέσεις θα ίσχυαν και για οποιοδήποτε θετικό γραμμικό μετασχηματισμό Ε(U)X)) κ = α + βε(u(x)), όπου α και β είναι θετικές σταθερές και το κ είναι δείκτης. Μια συνάρτηση αυτής της μορφής καλείται συνάρτηση προσδοκώμενης χρησιμότητας των von Neumann-Morgenstern. ύο παίγνια είναι δυνατόν να έχουν την ίδια νομισματική τιμή, αλλά να διαφέρουν ως προς τον κίνδυνο. Ο κίνδυνος (risk) αναφέρεται στη μεταβλητικότητα των αποτελεσμάτων (αποδόσεων) κάποιας αβέβαιης ενέργειας 16. Τα άτομα που ενεργούν ορθολογικά μεταξύ δύο παιγνίων επιλέγουν το παίγνιο εκείνο με τη μικρότερη μεταβλητικότητα της απόδοσης. Το πόσο διαφοροποιείται η συμπεριφορά ενόψει της αβεβαιότητας σε σχέση με τη βεβαιότητα παρέχεται από το μέτρο της απόλυτης αποστροφής του κινδύνου (absolute risk aversion) του Pratt: (2.14) 17 όπου W είναι ο πλούτος (περιουσία) των ατόμων και U(W) είναι ένας δείκτης χρησιμότητας των von Neumann-Morgenstern. Επειδή είναι U (W) > 0, έπεται ότι το πρόσημο του r(w) θα εξαρτηθεί από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου U (W). Εάν είναι U (W)/U (W) < 0, τότε το r(w) > 0, οπότε το άτομο αποστρέφεται τον κίνδυνο. Εάν είναι U (W)/U (W) = 0, τότε το r(w) = 0, οπότε το άτομο είναι αδιάφορο (ουδέτερο ) ως προς τον κίνδυνο, ενώ, τέλος, όταν U (W)/U (W) > 0, τότε το r(w) < 0 και το άτομο είναι «εραστής» του κινδύνου. Οι ανωτέρω τρεις περιπτώσεις συμπεριφοράς ως προς τον κίνδυνο παρουσιάζονται, αντίστοιχα, στα ιαγράμματα 2.4α, 2.4β και 2.4γ. 16. Η διακύμανση (εξίσωση 2.4) αποτελεί ένα μέτρο του κινδύνου. 17. J. W. Pratt, op. cit.

14 164 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙAΓΡΑΜΜΑ 2.4

15 Το Πρόβλημα της Επιλογής του Καταναλωτή υπό Συνθήκες Αβεβαιότητας και Κινδύνου 165 Όταν U (W)/U (W) < 0, αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση της U(W) ως προς W είναι κοίλη από κάτω και αυτό σημαίνει περαιτέρω ότι: ή, ισοδύναμα, ότι: U(Ε(W)) > E(U(W)) U(π 1 W 1 + (1 π 1 )W 2 ) > π 1 U(W 1 ) + (1 π 1 )U(W 2 ) ( ιάγραμμα 2.4α). Όταν U (W)/U (W) = 0, σημαίνει ότι η συνάρτηση U(W) είναι γραμμικής μορφής ως προς W και αυτό περαιτέρω σημαίνει ότι: ή, ισοδύναμα, ότι: U(E(W)) = E(U(W)) U(π 1 W 1 + (1 π 1 )W 2 ) = π 1 U(W 1 ) + (1 π 1 )U(W 2 ) ( ιάγραμμα 2.4β). Όταν U (W)/U (W) > 0, σημαίνει ότι η συνάρτηση U(W) ως προς W είναι κοίλη από πάνω (κυρτή από κάτω) και αυτό στη συνέχεια σημαίνει ότι: ή, ισοδύναμα, ότι: U(E(W)) < E(U(W)) U(π 1 W 1 + (1 π 1 )W 2 ) < π 1 U(W 1 ) + (1 π 1 )U(W 2 ) ( ιάγραμμα 2.4γ) 18. Έστωσαν U A, U B και U Γ οι χρησιμότητες που αποφέρουν στο άτομο τα αβέβαια γεγονότα Α και Γ με πιθανότητα πραγματοποίησης, αντίστοιχα, Ρ και (1 Ρ) και το βέβαιο γεγονός Β, και ότι είναι U A > U B > U Γ. Έστω, επίσης, ότι υπάρχει μια πιθανότητα Ρ για την οποία το άτομο είναι αδιάφορο μεταξύ του βέβαιου γεγονότος Β και του αβέβαιου γεγονότος (αγορά λαχείου) Α με πιθανότητα Ρ ή του αβέβαιου γεγονότος Γ με πιθανότητα (1 Ρ). Αυτό σημαίνει ισότητα μεταξύ της προσδοκώμενης χρησιμότητας του αβέβαιου γεγονότος (π.χ. του λαχείου) και της χρησιμότητας του βέβαιου γεγονότος Β 19. Θα πρέπει, δηλαδή, να ισχύει η σχέση: PU A + (1 P)U Γ = U B. (2.15) 18. B. Binger and E. Hoffman, op. cit., σελ Επίσης βλ. Γ. Θ. Σολδάτου, «Θεωρία Μικροοικονομικής, Ι», Εκδόσεις Μπένου, Αθήνα 2001, σελ Θ. Μπένου και Μ. Χατζηπροκοπίου, «Οικονομική Θεωρία: Θεωρία Ζήτησης», Αθήνα 1976, σελ και W. Nicholson, op. cit., κεφ. 8ο.

16 166 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γνωρίζοντας τα επίπεδα χρησιμότητας των γεγονότων Α και Γ βρίσκουμε την προσδοκώμενη χρησιμότητα του λαχείου και, επομένως, τη χρησιμότητα του βέβαιου γεγονότος Β, που προκύπτει από την εξίσωση (2.15). Με βάση, τώρα, τη χρησιμότητα του Β γεγονότος, U B, προσδιορίζουμε ένα σημείο επί της καμπύλης της συνολικής χρησιμότητας του εισοδήματος ΟΑ στο ιάγραμμα 2.5. Για διάφορες τιμές της πιθανότητας Ρ στην εξίσωση (2.15) εκτιμούμε το γεγονός Β και την αντίστοιχη χρησιμότητα U Β. Με αυτόν τον τρόπο βρίσκουμε τα σημεία της καμπύλης συνολικής χρησιμότητας ΟΑ, η οποία συνδέει το βέβαιο γεγονός Β με τη συνολική χρησιμότητα του ατόμου από το γεγονός αυτό. ΙΑΓΡΑΜΜΑ 2.5 Έστω ότι η πιθανότητα να επιτύχει κέρδος ευρώ ένα άτομο Χ από την αγορά λαχείου είναι Ρ = 30% και η πιθανότητα να υποστεί ζημία είναι (1 Ρ) = 1 0,30 = 0,70 = 70%. Εάν η χρησιμότητα του κέρδους των ευρώ είναι U A = 1 και του κέρδους μηδέν ευρώ (δηλ. της ζημίας) είναι U Γ = 0, τότε προσδιορίζουμε την προσδοκώμενη χρησιμότητα του λαχείου (την ηθική προσδοκία του λαχείου) ως: PU A + (1 P)U Γ = 0, ,70 0 = 0,30 = U Β (με βάση την εξίσωση 2.15). Έστω ότι το άτομο Χ είναι αδιάφορο μεταξύ της αγοράς του λαχείου και του βέβαιου γεγονότος να κρατήσει π.χ. 500 ευρώ. Η χρησιμότητα των

17 Το Πρόβλημα της Επιλογής του Καταναλωτή υπό Συνθήκες Αβεβαιότητας και Κινδύνου ευρώ, δηλαδή του βέβαιου γεγονότος, U Β, ισούται με την ηθική προσδοκία της επιτυχίας, δηλαδή την προσδοκώμενη χρησιμότητα του λαχείου, την οποία εκτιμήσαμε πιο πάνω ίση με U Β = 0,30. Η συντεταγμένη της χρησιμότητας U Β = 0,30 και του ποσού των 500 ευρώ καθορίζει το σημείο Α 1 επί της καμπύλης ΟΑ στο ιάγραμμα 2.5. Εάν, τώρα, η πιθανότητα του γεγονότος Α είναι Ρ = 40% και η πιθανότητα της ζημίας (του γεγονότος Γ) είναι 1 Ρ = 1 0,40 = 0,60, τότε η ηθική προσδοκία της επιτυχίας θα είναι: PU A + (1 P)U Γ = 0, ,60 0 = 0,40 = U B. Εάν το άτομο Χ είναι αδιάφορο μεταξύ του λαχείου και του βέβαιου γεγονότος της διακράτησης, έστω 800 ευρώ, τότε η συντεταγμένη της χρησιμότητας U Β = 0,40 και του ποσού των 800 ευρώ καθορίζει το σημείο Α 2 επί της καμπύλης ΟΑ του ιαγράμματος 2.5. Με αυτόν τον τρόπο καθορίζονται και τα υπόλοιπα σημεία της καμπύλης γνωρίζοντας τους δείκτες χρησιμότητας των Neumann και Morgenstern, U A = 1 και U Γ = 0. Γ. Η υπόθεση των Friedman και Savage Και στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις είδαμε ότι, εάν η οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος φθίνει (δηλαδή η συνάρτηση της συνολικής χρησιμότητας του εισοδήματος έχει στραμμένα τα κοίλα από κάτω), τότε το άτομο που ενδιαφέρεται για τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητάς του θα αποστρέφεται την αβεβαιότητα και τον κίνδυνο (risk aversion). Το άτομο με τις ενέργειές του πάντοτε θα αποστρέφεται τα έντιμα τυχερά παιχνίδια (π.χ. χαρτοπαίγνιο). Έτσι, αν ένα άτομο έχει στη διάθεσή του ένα βέβαιο εισόδημα (Ι ) μον., προβληματίζεται εάν θα αγοράσει ένα λαχείο (εμπλοκή σε τυχερό παιχνίδι και άρα αγορά αβεβαιότητας) που του προσφέρει να κερδίσει ένα ποσό Ι 1 με πιθανότητα Ρ ή ένα ποσό Ι 2 με πιθανότητα (1 Ρ). Αυτό σημαίνει ισότητα της ηθικής προσδοκίας της επιτυχίας (προσδοκώμενης χρησιμότητας του λαχείου) με τη χρησιμότητα του βέβαιου γεγονότος (της κατοχής του βέβαιου εισοδήματος): (η οποία είναι όμοια με τη 2.15). PU(I 1 ) + (1 P)U(I 2 ) = U(Ι ) (2.16)

18 168 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Το άτομο θα αγοράσει αβεβαιότητα (δηλαδή το λαχείο), εφόσον η προσδοκώμενη χρησιμότητα του λαχείου είναι μεγαλύτερη από τη χρησιμότητα του βέβαιου γεγονότος, δηλαδή εφόσον ισχύει η ανισότητα: PU(I 1 ) + (1 P)U(I 2 ) > U(Ι ). (2.17) Η ανισότητα (2.17), όμως, είναι αδύνατο να ισχύει σε έναν καταναλωτή του οποίου η συνολική συνάρτηση χρησιμότητας του εισοδήματος είναι κοίλη από κάτω, δηλαδή ισχύει η φθίνουσα οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος, όπως φαίνεται στο ιάγραμμα 2.6. ΙΑΓΡΑΜΜΑ 2.6 Η ευθεία Α 1 Α 2 που ενώνει τα σημεία Α 1 και Α 2 της καμπύλης ΟΑ της συνολικής χρησιμότητας του εισοδήματος αντανακλά το αριστερό σκέλος της ανισότητας (2.17). εχόμενοι, επομένως, τη φθίνουσα οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος παρατηρούμε από το ιάγραμμα 2.6 ότι το άτομο δε θα εμπλακεί σε τυχερά παιχνίδια, ακόμα και αν αυτά είναι έντιμα, εφόσον δεν ισχύει η ανισότητα (2.17), αλλά, αντίθετα, ισχύει ότι: PU(I 1 ) + (1 P)U(I 2 ) < U(I ) (2.18) Παρ όλα αυτά, όμως, το συμπέρασμα αυτό έρχεται σε αντίθεση με το φαινόμενο που παρατηρείται στην πράξη, ότι δηλαδή τα άτομα εμπλέκονται (αρέσκονται) στα τυχερά παιχνίδια. Οι νεοκλασικοί οικονομολόγοι, όπως οι Jevons και Marshall, έδωσαν την εξήγηση στο φαινόμενο αυτό υποστηρίζοντας ότι τα άτομα δεν αρέσκονται με την χαρτοπαιξία, επειδή

19 Το Πρόβλημα της Επιλογής του Καταναλωτή υπό Συνθήκες Αβεβαιότητας και Κινδύνου 169 αυτή είναι μια πράξη που μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά τους, αλλά επειδή ακριβώς έχουν «αγάπη προς τα τυχερά παιχνίδια». Ας δεχτούμε, τώρα, ότι η συνάρτηση συνολικής χρησιμότητας του εισοδήματος παρουσιάζει αύξουσα οριακή χρησιμότητα, δηλαδή έχει τα κοίλα της στραμμένα προς τα πάνω και αριστερά, όπως στο ιάγραμμα 2.7. ΙΑΓΡΑΜΜΑ 2.7 Παρατηρούμε από το ανωτέρω διάγραμμα ότι στην περίπτωση της αύξουσας οριακής χρησιμότητας του εισοδήματος ισχύει η ανισότητα (2.17), πράγμα που σημαίνει ότι το άτομο θα προτιμά την αβεβαιότητα και τον κίνδυνο (risk lover) του αβέβαιου γεγονότος (π.χ. την αγορά λαχείου, το χαρτοπαίγνιο, τη μη ασφάλιση) και όχι τη βεβαιότητα που του προσφέρει, π.χ., η ασφάλιση (δηλ. η πληρωμή του ασφαλίστρου). Και η υπόθεση, όμως, αυτή, δηλαδή της αύξουσας οριακής χρησιμότητας του εισοδήματος, έρχεται σε αντίθεση με το φαινόμενο που παρατηρείται στην πράξη, ότι, δηλαδή, τα άτομα προτιμούν την πληρωμή ασφαλίστρου για την ασφάλισή τους, προτιμούν, με άλλα λόγια, τη βεβαιότητα της ασφάλισής τους. Κατά συνέπεια, μια άλλη υπόθεση που θα ήταν συνδυασμός και των δύο υποθέσεων που παρουσιάστηκαν ανωτέρω, δηλαδή της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας του εισοδήματος και της αύξουσας οριακής χρησιμότητας του εισοδήματος, ενδεχομένως να έδινε λύση στο πρόβλημα που ανακύπτει. Όμως, και η υπόθεση αυτή έχει το μειονέκτημα, ότι δηλαδή είναι δυνατόν τα ίδια άτομα να αρέσκονται στα τυχερά παιχνίδια και, συγχρόνως, να ενδιαφέρονται και για την ασφάλισή τους.

20 170 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Οι Friedman και Savage 20 στην προσπάθειά τους να εξαλείψουν το ανωτέρω μειονέκτημα προτείνουν: α) μια καμπύλη χρησιμότητας, η οποία στα άκρα είναι κοίλη προς τον οριζόντιο άξονα (δηλαδή παρουσιάζει φθίνουσα οριακή χρησιμότητα και, επομένως, αποστροφή του κινδύνου) και κυρτή στο μέσον, πέριξ του τρέχοντος εισοδήματος (δηλαδή αύξουσα οριακή χρησιμότητα που σημαίνει ριψοκίνδυνο άτομο) και β) το άτομο ενδιαφέρεται για τη μεγιστοποίηση της απόλυτης χρησιμότητας. Η συνάρτηση της μορφής αυτής παρουσιάζεται στο ιάγραμμα 2.8α. Στο ιάγραμμα 2.8β παρουσιάζεται η αντίστοιχη καμπύλη της οριακής χρησιμότητας του εισοδήματος. ΙΑΓΡΑΜΜΑ M. Friedman και L. J. Savage, The Utility Analysis of Choices Involving Risk, Journal of Political Economy, 1948, σελ , Reprinted in Readings in Price Theory, Homewood Ill., Irwin, 1952, σελ