Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις"

Transcript

1 Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή με γνωστή τυπική απόκλιση ίση με 5gr. Επιλέξαμε 5 φιάλες του μισού κιλού που είχαν γεμίσει από τη συγκεκριμένη μηχανή και μετρήσαμε την ποσότητα κρασιού που περιείχαν. Η μέση ποσότητα κρασιού σε αυτές τις 5 φιάλες βρέθηκε ίση με 485gr. α) Βρείτε ένα 95% και ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση ποσότητα κρασιού που περιέχεται στις φιάλες του μισού κιλού που γεμίζει η συγκεκριμένη μηχανή. β) Μετρήσαμε την ποσότητα κρασιού σε 5 άλλες φιάλες του μισού κιλού που είχαν γεμίσει επίσης από τη συγκεκριμένη μηχανή και βρήκαμε μέση ποσότητα κρασιού 48gr. Να απαντήσετε στο ερώτημα (α) χρησιμοποιώντας τα ευρήματα από το νέο δείγμα. γ) Μετρήσαμε την ποσότητα κρασιού σε 4 ακόμη φιάλες του μισού κιλού που είχαν γεμίσει από τη συγκεκριμένη μηχανή και βρήκαμε μέση ποσότητα κρασιού, σε αυτές, 48gr. Να απαντήσετε και πάλι στο ερώτημα (α) χρησιμοποιώντας τα νέα ευρήματα. δ) Πώς σχολιάζετε και πώς ερμηνεύετε (συγκριτικά) τα πλάτη των έξι διαστημάτων που υπολογίσατε στα (α), (β) και (γ); ε) Τι μεγέθους δείγμα πρέπει να πάρουμε προκειμένου, με πιθανότητα 95% το περιθώριο σφάλματος για την εκτίμηση της μέσης ποσότητας κρασιού που περιέχεται στις φιάλες μισού κιλού που γεμίζει η συγκεκριμένη μηχανή, να είναι.5gr; στ) Τι υποθέσεις χρειάσθηκε να κάνετε για να απαντήσετε στα ερωτήματα (α), (β) και (γ);. Είναι γνωστό ότι η πετρελαϊκή ρύπανση των θαλασσών προκαλεί, μεταξύ άλλων, την ανάπτυξη ενός συγκεκριμένου τύπου βακτηρίων. Μια ομάδα ερευνητών, προκειμένου να μελετήσει αυτό το φαινόμενο σε μια θαλάσσια περιοχή που έχει πληγεί από πετρελαϊκή ρύπανση, πήρε νερό από διαφορετικά σημεία αυτής της περιοχής και έκανε σχετικές μετρήσεις. Συγκεκριμένα, μέτρησε τον αριθμό, έστω Χ, αυτών των βακτηρίων ανά milliliters νερού. Οι τιμές, x, x,..., x, της μεταβλητής, Χ, στα δέκα σημεία ήταν: 49, 7, 54, 67, 59, 4, 6, 69, 7, 5. α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο αριθμό βακτηρίων ανά milliliters νερού στην υπό μελέτη θαλάσσια περιοχή. β) Τι υποθέσεις χρειάσθηκε να κάνετε για να απαντήσετε στο ερώτημα (α); γ) Εξηγείστε πώς αντιλαμβάνεσθε (πώς ερμηνεύετε) το 95% διάστημα εμπιστοσύνης που βρήκατε στο (α). δ) Αν ερευνητικές ομάδες πάρουν, η κάθε μία, από ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από την υπό μελέτη περιοχή, και υπολογίσουν (με την ίδια διαδικασία) από ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο αριθμό βακτηρίων ανά milliliters νερού η κάθε μία, πόσα από αυτά τα διαστήματα εμπιστοσύνης περιμένετε να περιέχουν το μέσο αριθμό βακτηρίων ανά milliliters νερού στην υπό μελέτη θαλάσσια περιοχή; ε) Βρείτε ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο αριθμό βακτηρίων ανά milliliters νερού στην υπό μελέτη θαλάσσια περιοχή. στ) Ποια εκτίμηση είναι πιο ακριβής, του ερωτήματος (α) ή του (ε); Για ποια έχουμε μεγαλύτερη εμπιστοσύνη; 3. Ένας φοιτητής του Τμήματος Επιστήμης και Τεχνολογίας Τροφίμων του Γεωπονικού Πανεπιστημίου Αθηνών, στο πλαίσιο της πτυχιακής του εργασίας, μελέτησε μεταξύ άλλων, την ποσότητα νατρίου, έστω Χ, που περιέχεται στο κασέρι συνήθους τύπου (όχι light) που παράγει μια γνωστή γαλακτοβιομηχανία. Τα αποτελέσματα εννέα σχετικών μετρήσεων που έκανε ο φοιτητής σε κασέρι που επέλεξε τυχαία από την παραγωγή της γαλακτοβιομηχανίας, ήταν (σε milligrams/gr): 34, 3, 34, 3, 3, 9, 33, 3, 3. Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapaopoulos) 6

2 α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι συνήθους τύπου που παράγει η συγκεκριμένη γαλακτοβιομηχανία. β) Τι υποθέσεις χρειάσθηκε να κάνετε για να απαντήσετε στο ερώτημα (α); γ) Σύμφωνα με τις προδιαγραφές τις γαλακτοβιομηχανίας, η μέση ποσότητα νατρίου στο κασέρι συνήθους τύπου που παράγει είναι 3mgr/gr. Με βάση το δείγμα που πήρε ο φοιτητής, να ελέγξετε σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, αν ο ισχυρισμός της γαλακτοβιομηχανίας ευσταθεί. δ) Τι υποθέσεις χρειάσθηκε να κάνετε για να απαντήσετε στο ερώτημα (γ); 4. (Συνέχεια της άσκησης-3): Ο φοιτητής, επίσης μελέτησε, την ποσότητα νατρίου στο κασέρι τύπου light της ίδιας γαλακτοβιομηχανίας. Τα αποτελέσματα οκτώ σχετικών μετρήσεων ήταν: 3, 3, 3, 9, 8, 8, 85, 75. α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι τύπου light που παράγει η συγκεκριμένη γαλακτοβιομηχανία. β) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά της μέσης ποσότητας νατρίου στο κασέρι τύπου light που παράγει η συγκεκριμένη γαλακτοβιομηχανία από τη μέση ποσότητα νατρίου στο κασέρι συνήθους τύπου (που παράγει η ίδια γαλακτοβιομηχανία). γ) Με βάση το 95% διάστημα εμπιστοσύνης που υπολογίσατε στο ερώτημα (β), μπορείτε να συμπεράνετε αν οι δύο πληθυσμιακοί μέσοι διαφέρουν ή όχι και αν ναι με τι πιθανότητα το συμπέρασμά σας μπορεί να είναι λάθος; δ) Να διατυπώσετε και να κάνετε, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, κατάλληλο στατιστικό έλεγχο για να ελέγξετε αν η μέση ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι που παράγει η συγκεκριμένη γαλακτοβιομηχανία είναι ίδια ή όχι στους δύο τύπους κασεριού. Συμφωνεί το συμπέρασμά σας με αυτό του ερωτήματος (γ); ε) Με βάση το συμπέρασμά σας στο (δ), μπορείτε να αποφασίσετε, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, αν η μέση ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι συνήθους τύπου που παράγει η συγκεκριμένη γαλακτοβιομηχανία είναι μεγαλύτερη από τη μέση ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι τύπου light (που παράγει η ίδια γαλακτοβιομηχανία); στ) Να διατυπώσετε και να κάνετε, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, κατάλληλο στατιστικό έλεγχο για να ελέγξετε αν η μέση ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι συνήθους τύπου είναι μεγαλύτερη από τη μέση ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι τύπου light περισσότερο από 5mgr/gr. ζ) Για να απαντήσετε στα ερωτήματα (β), (δ) και (στ) χρειάσθηκε να κάνετε κάποιες υποθέσεις; 5. Ένας φοιτητής του Τμήματος Φυτικής Παραγωγής του Γεωπονικού Πανεπιστημίου Αθηνών, στο πλαίσιο της πτυχιακής του εργασίας, μέτρησε σε 5 άνθη της ίδιας οικογένειας, τον αριθμό των πετάλων τους, έστω Χ. Τα αποτελέσματα, x, x,..., x5, αυτών των μετρήσεων ήταν τα εξής: α) Βρείτε ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο αριθμό πετάλων ανά άνθος της συγκεκριμένης οικογένειας. β) Τι υποθέσεις χρειάσθηκε να κάνετε για να απαντήσετε στο ερώτημα (α); γ) Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι ο μέσος αριθμός πετάλων της συγκεκριμένης οικογένειας είναι 6 πέταλα ανά άνθος. Να διατυπώσετε και να κάνετε, σε επίπεδο σημαντικότητας %, κατάλληλο Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapaopoulos) 6

3 στατιστικό έλεγχο για να ελέγξετε αν τα ευρήματα στο δείγμα που πήρε ο φοιτητής συμφωνούν ή όχι με τη βιβλιογραφία. δ) Μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα το συμπέρασμά σας στο (γ) να είναι λάθος; Εξηγείστε. 6. Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνεται το ποσοστό (%) οξειδίου του αργιλίου (aluminum oxie) σε καθένα από 4 κεραμικά αγγεία που βρέθηκαν σε αρχαιολογικές ανασκαφές που έγιναν σε δύο διαφορετικές περιοχές (Α και Β). Α Β α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση περιεκτικότητα σε αργίλιο των κεραμικών της περιοχής Α (της χρονολογικής περιόδου που αντιστοιχούν τα ευρήματα). β) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση περιεκτικότητα σε αργίλιο των κεραμικών της περιοχής Β (της χρονολογικής περιόδου που αντιστοιχούν τα ευρήματα). γ) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά της μέσης περιεκτικότητας σε αργίλιο των κεραμικών της περιοχής Β από τη μέση περιεκτικότητα σε αργίλιο των κεραμικών της περιοχής Α. δ) Με βάση το 95% διάστημα εμπιστοσύνης που υπολογίσατε στο ερώτημα (γ), μπορείτε να συμπεράνετε αν οι δύο πληθυσμιακοί μέσοι διαφέρουν ή όχι και αν ναι με τι πιθανότητα το συμπέρασμά σας μπορεί να είναι λάθος; ε) Να διατυπώσετε και να κάνετε, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, κατάλληλο στατιστικό έλεγχο για να ελέγξετε αν η μέση περιεκτικότητα σε αργίλιο των κεραμικών είναι ίδια ή όχι στις δύο περιοχές. Συμφωνεί το συμπέρασμά σας με αυτό του ερωτήματος (δ); στ) Τι υποθέσεις χρειάσθηκε να κάνετε για να απαντήσετε στα ερωτήματα (α), (β), (γ) και (ε); ζ) Το συμπέρασμά σας στο (ε), συμφωνεί με το συμπέρασμά σας στο αντίστοιχο πρόβλημα περιγραφικής στατιστικής; (πρόβλημα- περιγραφικής στατιστικής). 7. Η αποτελεσματικότητα του φυτοφαρμάκου που (δυστυχώς ) χρησιμοποιεί ένας αγρότης για την αντιμετώπιση κάποιας συγκεκριμένης ασθένειας είναι γνωστό ότι είναι 6%, δηλαδή το 6% των άρρωστων φυτών στα οποία χορηγείται το εν λόγω φάρμακο θεραπεύονται. Για να ελέγξει την αποτελεσματικότητα ενός νέου φαρμάκου, που αντιμετωπίζει την ίδια ασθένεια, ο αγρότης χορήγησε αυτό το νέο φάρμακο σε 5 άρρωστα φυτά, και από αυτά θεραπεύθηκαν τα. α) Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, υποστηρίζουν αυτά τα πειραματικά δεδομένα ότι το νέο φάρμακο είναι πιο αποτελεσματικό από αυτό που ήδη χρησιμοποιεί; β) Αν ο αγρότης είχε εκτελέσει το πείραμα με 5 άρρωστα φυτά και είχε βρει ότι θεραπεύτηκαν από αυτά, τι έπρεπε να έχει συμπεράνει; γ) Βρείτε ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για την αποτελεσματικότητα του νέου φαρμάκου, με τα δεδομένα από τα 5 φυτά και τα δεδομένα από τα 5 φυτά. Σχολιάστε τα πλάτη των δύο διαστημάτων. δ) Πόσα φυτά πρέπει να χρησιμοποιηθούν στο πείραμα ώστε με πιθανότητα 99% το περιθώριο σφάλματος της εκτίμησης του ποσοστού των φυτών που θεραπεύονται με το νέο φυτοφάρμακο να είναι. (%); 8. Για να συγκριθεί η ευαισθησία δύο διαφορετικών ποικιλιών καλαμποκιού σε κάποια ασθένεια, έγινε κατάλληλο πείραμα, στο οποίο χρησιμοποιήθηκαν 5 φυτά της ποικιλίας Α και 5 φυτά της ποικιλίας Β. Βρέθηκε ότι από τα 5 φυτά της ποικιλίας Α προσβλήθηκαν από την ασθένεια τα 74 και από τα 5 φυτά της ποικιλίας Β τα 9. α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά στην ευαισθησία στη συγκεκριμένη ασθένεια μεταξύ των δύο ποικιλιών καλαμποκιού. β) Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, μπορούμε να ισχυρισθούμε ότι Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapaopoulos) 6

4 υπάρχει διαφορά στην ευαισθησία στη συγκεκριμένη ασθένεια μεταξύ των δύο ποικιλιών καλαμποκιού; Σε επίπεδο σημαντικότητας %; γ)τι υποθέσεις κάνατε για να απαντήσετε στα ερωτήματα (α) και (β). 9. Τα φυτά σιταριού με ύψος μικρότερο από 9.44cm (συμπεριλαμβανομένης και της ταξιανθίας) χαρακτηρίζονται «κοντά». Ένα τυχαίο δείγμα 5 φυτών σιταριού από μια αγροτική περιοχή έδωσε μέσο ύψος 89.cm με τυπική απόκλιση 4.58cm. α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσος ύψος των φυτών σιταριού της συγκεκριμένης αγροτικής περιοχής. β) Τα ευρήματα στο τυχαίο δείγμα, υποστηρίζουν, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, ότι τα φυτά σιταριού στη συγκεκριμένη αγροτική περιοχή, με βάση το μέσο ύψος τους, είναι κοντά;. Στο περιοδικό journal of Biology δημοσιεύθηκαν τα αποτελέσματα μιας έρευνας για τα ποσοστό ψαριών στη Μεσόγειο και το ποσοστό ψαριών στον Ατλαντικό που έχουν προσβληθεί από παράσιτα. Στη Μεσόγειο, από 588 ψάρια που εξετάσθηκαν βρέθηκαν μολυσμένα από παράσιτα τα ενώ στον Ατλαντικό, από 3 ψάρια που εξετάσθηκαν, βρέθηκαν μολυσμένα από παράσιτα τα 6. α) Τα ευρήματα στα δύο δείγματα υποστηρίζουν, σε επίπεδο σημαντικότητας %, ότι το ποσοστό μολυσμένων ψαριών από παράσιτα στη Μεσόγειο διαφέρει από το αντίστοιχο ποσοστό στον Ατλαντικό; Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%; β) Για να αναδείξετε τη σημαντικότητα των ευρημάτων, ποιο συμπέρασμα θα παρουσιάζατε, για % ή για 5% επίπεδο σημαντικότητας; Εξηγείστε.. Ένας φοιτητής του Τμήματος Περιβάλλοντος του Πανεπιστημίου Αιγαίου, στο πλαίσιο μιας εργαστηριακής άσκησης, πήρε 5 μετρήσεις συγκέντρωσης οξυγόνου στα νερά μέσα στο λιμάνι της Μυτιλήνης και άλλες μετρήσεις στα νερά παρακείμενης θαλάσσιας περιοχής έξω από το λιμάνι. Οι μετρήσεις στα νερά που ελήφθησαν μέσα από το λιμάνι έδωσαν μέση συγκέντρωση οξυγόνου 3.8mg/lt με τυπική απόκλιση.9mg/lt, ενώ οι μετρήσεις στα νερά που ελήφθησαν έξω από το λιμάνι έδωσαν μέση συγκέντρωση οξυγόνου3.388mg/lt με τυπική απόκλιση.mg/lt. α) Σε επίπεδο σημαντικότητας %, υποστηρίζουν τα δεδομένα αυτά μειωμένη συγκέντρωση οξυγόνου στα νερά μέσα στο λιμάνι της Μυτιλήνης σε σχέση με τη συγκέντρωση οξυγόνου στα νερά έξω από το λιμάνι; Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%; β) Ο καθηγητής έδωσε τη συγκεκριμένη άσκηση σε 3 φοιτητές, δηλαδή, από κάθε φοιτητή ζητήθηκε να ληφθούν από 5 και μετρήσεις συγκέντρωσης οξυγόνου από νερά μέσα και έξω από το λιμάνι της Μυτιλήνης αντίστοιχα, και στη συνέχεια να κάνει κατάλληλο στατιστικό έλεγχο υποθέσεων σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. Αν ο καθηγητής γνωρίζει ότι η μέση συγκέντρωση οξυγόνου στα νερά μέσα στο λιμάνι δεν είναι μικρότερη από ότι στα νερά έξω από το λιμάνι, πόσοι από τους 3 φοιτητές (περίπου) αναμένετε να βρήκαν ότι η μέση συγκέντρωση οξυγόνου στα νερά μέσα στο λιμάνι είναι μικρότερη από ότι στα νερά έξω από το λιμάνι; (υποθέστε ότι όλοι οι φοιτητές εκτέλεσαν την άσκηση σωστά). Οι κάτοικοι μιας περιοχής στο Θριάσιο, ανησυχούν για τη συγκέντρωση μονοξειδίου του άνθρακα στην ατμόσφαιρα κατά τις μεσημεριανές ώρες. Η αρμόδια κρατική υπηρεσία, μετά από διαμαρτυρία των κατοίκων, επέλεξε σύμφωνα με ένα σχέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, 6 σημεία της περιοχής και έκανε σχετικές μετρήσεις. Οι μετρήσεις αυτές έδωσαν μέση συγκέντρωση μονοξειδίου του άνθρακα 55.9mg/m 3 με τυπική απόκλιση 6.5mg/m 3. Το επιτρεπτό για την υγεία των κατοίκων όριο μονοξειδίου του άνθρακα είναι 55mg/m 3. α) Με βάση τα ευρήματα στο δείγμα, και σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, τι πρέπει να ανακοινώσει η κρατική υπηρεσία στους κατοίκους; β) Μια Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapaopoulos) 63

5 περιβαλλοντική οργάνωση πίεσε την κρατική υπηρεσία να επαναλάβει τον έλεγχο με μεγαλύτερο δείγμα. Η κρατική υπηρεσία δέχθηκε και ένα νέο τυχαίο δείγμα μεγέθους 6 που πήρε, έδωσε μέση συγκέντρωση μονοξειδίου του άνθρακα 56.mg/m 3 με τυπική απόκλιση 5.mg/m 3. Τι πρέπει να ανακοινώσει η κρατική υπηρεσία στους κατοίκους με βάση τα ευρήματα στο νέο δείγμα (σε επίπεδο σημαντικότητας και πάλι 5%); γ) Σχολιάστε τα συμπεράσματα στα (α) και (β) συγκριτικά. δ) Τι υποθέσεις χρειάσθηκε να γίνουν για να απαντηθούν τα (α) και (β); 3. Ένας ερευνητής, έκανε 34 μετρήσεις για το PH ενός χημικού διαλύματος Α και 4 μετρήσεις για το PH ενός άλλου χημικού διαλύματος Β. Οι 34 μετρήσεις για το διάλυμα Α έδωσαν μέσο PH 7.5 με τυπική απόκλιση.5 και οι 4 μετρήσεις για το διάλυμα Β έδωσαν μέσο PH 7.76 με τυπική απόκλιση.9. α) Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, η διαφορά που παρατηρείται στους δύο δειγματικούς μέσους, είναι άραγε στατιστικά σημαντική; Σε επίπεδο σημαντικότητας %; β) Τι πρέπει να υπολογίσουμε για να διαπιστώσουμε πόσο στατιστικά σημαντική είναι αυτή η διαφορά; γ) Να απαντήσετε στο ερώτημα (α) αν γνωρίζετε ότι P τιμ ή. 3. Εξηγείστε τι εκφράζει η P-τιμή και πώς χρησιμοποιείται στο στατιστικό έλεγχο υποθέσεων. δ) Βρείτε ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση διαφορά του PH στα δύο διαλύματα. 4. Για να συγκρίνουμε δυο αντιδιαβρωτικά επιστρώματα σωλήνων, έστω Α και Β, κάναμε το εξής πείραμα. Σε τυχαία επιλεγμένες περιοχές τοποθετήσαμε μέσα στο έδαφος δύο σωλήνες, τον ένα δίπλα στον άλλο, στο ίδιο βάθος και για ίδιο χρονικό διάστημα. Ο ένας σωλήνας από τους δύο που τοποθετήθηκαν σε κάθε περιοχή, είχε επιστρωθεί με το αντιδιαβρωτικό Α και ο άλλος με το αντιδιαβρωτικό Β. Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνεται ο βαθμός διάβρωσης 3 κάθε σωλήνα (σε in ) στις δέκα περιοχές. Βαθμός διάβρωσης με 3 επίστρωμα Α (σε in ) Βαθμός διάβρωσης με 3 επίστρωμα Β (σε in ) Περιοχή α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση διαφορά του βαθμού διάβρωσης μεταξύ σωλήνων με αντιδιαβρωτικό επίστρωμα Α και σωλήνων με αντιδιαβρωτικό επίστρωμα Β. β) Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, υποστηρίζουν τα πειραματικά δεδομένα ότι τα δύο αντιδιαβρωτικά δεν έχουν την ίδια αποτελεσματικότητα; γ) Με βάση το συμπέρασμά σας στο (β), μπορείτε να συμπεράνετε σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, αν τα πειραματικά δεδομένα υποστηρίζουν ότι το αντιδιαβρωτικό Β είναι πιο αποτελεσματικό από το αντιδιαβρωτικό Α; δ) Για να απαντήσετε στα προηγούμενα ερωτήματα, χρειάσθηκε να κάνετε κάποιες υποθέσεις; 5. Ένας ερευνητής μέτρησε τη συγκέντρωση γλυκόζης (σε mg/li) στο αριστερό και το δεξί μάτι 35, τυχαία επιλεγμένων, υγιών σκυλιών συγκεκριμένης ράτσας. Ας συμβολίσουμε με Χ και Υ αντίστοιχα, τη συγκέντρωση γλυκόζης στο αριστερό και το δεξί μάτι υγιών σκύλων της συγκεκριμένης ράτσας. Για τις 35 μετρήσεις, x, x,..., x35, στο αριστερό μάτι και τις 35 μετρήσεις, y, y,..., y35, στο δεξί, ο ερευνητής υπολόγισε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλισή τους, Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapaopoulos) 64

6 x = 84.6 mg/li, s x =. 64 mg/li, y = mg/li, s y =. 7 mg/li, αντίστοιχα. Υπολόγισε επίσης την τυπική απόκλιση των διαφορών, i = xi yi, i =,,...,35, μεταξύ αριστερού και δεξιού ματιού, s =.6 mg/li. Χρησιμοποιείστε όσα και όποια από αυτά τα στατιστικά κρίνετε, για να απαντήσετε στα επόμενα. α) Βρείτε 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση διαφορά της συγκέντρωσης γλυκόζης μεταξύ των δύο ματιών υγιών σκύλων της συγκεκριμένης ράτσας. β) Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, υποστηρίζουν οι μετρήσεις που έκανε ο ερευνητής ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά στη μέση συγκέντρωση γλυκόζης μεταξύ των δύο ματιών υγιών σκύλων της συγκεκριμένης ράτσας; γ) Για να απαντήσετε στα (α) και (β), χρειάσθηκε να κάνετε κάποιες υποθέσεις; 6. Πέντε μονάδες εμφιάλωσης αναψυκτικών δέχτηκαν να εφαρμόσουν μια νέα μέθοδο στη διαδικασία παραγωγής προκειμένου να ελεγχθεί (από μια ερευνητική ομάδα) αν η νέα μέθοδος αυξάνει την παραγωγικότητα. Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνεται, για κάθε μια από της πέντε παραγωγικές μονάδες, ο αριθμός μπουκαλιών που παρήχθησαν ανά ώρα πριν και μετά την εφαρμογή της νέας διαδικασίας παραγωγής. Παραγωγικότητα Παραγωγική Μονάδα (σε αριθμό μπουκαλιών ανά ώρα) Πριν Μετά Με βάση αυτά τα πειραματικά δεδομένα, α) να ελέγξετε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% αν η νέα μέθοδος αυξάνει την παραγωγικότητα των μονάδων παραγωγής, β) βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση διαφορά της παραγωγικότητας των μονάδων παραγωγής, πριν και μετά την εφαρμογή της νέας διαδικασίας παραγωγής, γ) χρειάσθηκε να κάνετε κάποιες υποθέσεις για να απαντήσετε στα (α) και (β); Ερωτήσεις κατανόησης. Από έναν πληθυσμό επιλέξατε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n και κατασκευάσατε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την άγνωστη μέση τιμή του. Αν από το ίδιο δείγμα κατασκευάσετε για τη μέση τιμή του πληθυσμού ένα άλλο διάστημα εμπιστοσύνης με μεγαλύτερο συντελεστή εμπιστοσύνης, το περιθώριο σφάλματος της εκτίμησης θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή μήπως θα παραμείνει ίδιο;. Κατασκευάσατε ένα διάστημα εμπιστοσύνης για έναν άγνωστο πληθυσμιακό μέσο και διαπιστώσατε ότι ουσιαστικά δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμο γιατί είναι πολύ πλατύ. Τι από τα παρακάτω θα κάνατε για να αντιμετωπίσετε αυτό το πρόβλημα: α) αύξηση του συντελεστή εμπιστοσύνης, β) επανάληψη της δειγματοληψίας με μεγαλύτερο μέγεθος δείγματος, γ) επανάληψη της δειγματοληψίας με μικρότερο μέγεθος δείγματος. 3. Κατασκευάσατε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για έναν άγνωστο πληθυσμιακό μέσο. Αυτό σημαίνει ότι δώσατε για τον άγνωστο πληθυσμιακό μέσο α) μια σημειακή εκτίμηση με ακρίβεια 95%, β) μια εκτίμηση με διάστημα και με ακρίβεια 95%, γ) μια εκτίμηση με διάστημα και περιθώριο σφάλματος 5%, δ) όλα τα προηγούμενα, ε) τίποτε από τα προηγούμενα. 4. Ένας ερευνητής πήρε από έναν πληθυσμό ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n και κατασκεύασε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την άγνωστη μέση τιμή Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapaopoulos) 65

7 του πληθυσμού. Αυτό σημαίνει ότι, α) το διάστημα αυτό έχει 95% πιθανότητα να περιέχει την τιμή της άγνωστης μέσης τιμής του πληθυσμού, β) η άγνωστη μέση τιμή του πληθυσμού έχει 95% πιθανότητα να βρίσκεται μέσα σε αυτό το διάστημα, γ) αν από τον πληθυσμό πάρουμε διαφορετικά τυχαία δείγματα μεγέθους n (το καθένα) και από κάθε δείγμα κατασκευάσουμε (με την ίδια διαδικασία) ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή του πληθυσμού τότε ποσοστό 95% αυτών των δειγμάτων θα δώσουν διάστημα που θα περιέχει τη μέση τιμή του πληθυσμού, δ) τίποτε από τα προηγούμενα ε) όλα τα προηγούμενα, στ) τα (α) και (β), ζ) τα (α) και (γ), η) τα (β) και (γ). 5. Από έναν πληθυσμό πήρατε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n και κατασκευάσατε για την άγνωστη μέση τιμή του ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης. Από τον ίδιο πληθυσμό, πήρατε ένα ακόμη τυχαίο δείγμα μεγέθους n > n και κατασκευάσατε ένα επίσης 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή του πληθυσμού. Ποιο από τα δύο διαστήματα δίνει ακριβέστερη εκτίμηση της άγνωστης μέσης τιμής του πληθυσμού; Μήπως οι δύο εκτιμήσεις είναι το ίδιο ακριβείς (με 95% ακρίβεια); 6. Σε ένα στατιστικό έλεγχο υποθέσεων για το ποσοστό (αναλογία) p σε έναν πληθυσμό, βρέθηκε P τιμ ή =. 38. Αν για τον έλεγχο έχουμε επιλέξει επίπεδο σημαντικότητα 5%, η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται ή όχι; 7. Αν σε ένα στατιστικό έλεγχο υποθέσεων η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται για επίπεδο σημαντικότητας 5%, τότε α) απορρίπτεται για οποιοδήποτε επίπεδο σημαντικότητας, β) για οποιοδήποτε άλλο επίπεδο σημαντικότητας δεν απορρίπτεται, γ) για επίπεδο σημαντικότητας % απορρίπτεται, δ) για επίπεδο σημαντικότητας % δεν απορρίπτεται ε) για επίπεδο σημαντικότητας % μπορεί να απορρίπτεται ή να μην απορρίπτεται. Ποια (ή ποιες) από τις πέντε εκδοχές είναι σωστή (σωστές); 8. Σε ένα στατιστικό έλεγχο υποθέσεων, για να υπολογίσουμε την P-τιμή είναι αναγκαίο να έχουμε ορίσει το επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου. Αυτό είναι σωστό ή λάθος; 9. Μια γαλλική εισαγωγική εταιρεία νωπών λαχανικών, εισάγει στη Γαλλία νωπά λαχανικά από έναν ελληνικό αγροτικό συνεταιρισμό. Από κάθε παρτίδα νωπών λαχανικών που φθάνει στις εγκαταστάσεις της από το συνεταιρισμό, παίρνει ένα τυχαίο δείγμα και κάνει ποιοτικό έλεγχο. Η εταιρεία επιστρέφει την παρτίδα αν με βάση το δείγμα συμπεράνει ότι το ποσοστό των λαχανικών που είναι εκτός προδιαγραφών υπερβαίνει το 5%, αλλιώς αποδέχεται την παρτίδα. α) Ποια μηδενική υπόθεση και έναντι ποιας εναλλακτικής πρέπει να ελέγχει η εισαγωγική εταιρεία; β) Διατυπώστε με όρους του προβλήματος το σφάλμα τύπου Ι και το σφάλμα τύπου ΙΙ του ελέγχου που κάνει η εταιρεία. γ) Από τη σκοπιά της εταιρείας, ποιο σφάλμα είναι πιο σοβαρό; Αντίστοιχα, από τη σκοπιά του συνεταιρισμού; Εξηγείστε. Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapaopoulos) 66

8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. α) [483.6, ] και [48.4, ], αντίστοιχα. β) [478.4, 48.96] και [477.4, ], αντίστοιχα. γ) [48.45, ] και [479.97, 484.4], αντίστοιχα. δ)... ε) n=43. στ) ότι τα δείγματα είναι τυχαία. α) [5.78, 66.6] β) ότι το δείγμα έχει ληφθεί από κανονικό πληθυσμό γ) το διάστημα [5.78, 66.6] έχει 95% πιθανότητα να περιέχει τον άγνωστο πληθυσμιακό μέσο δ).95 = 9 ε) [48.54, 69.86] στ) του (α) πιο ακριβής, του (ε) μεγαλύτερη εμπιστοσύνη.. 3. α) [35.89, 33.89] β) ότι το δείγμα έχει ληφθεί από κανονικό πληθυσμό γ) H : μ = 3, H : μ 3, δεν απορρίπτεται ο ισχυρισμός t =. 969 δ) ότι το δείγμα έχει ληφθεί από κανονικό πληθυσμό 4. α) [79.76, 3.4] β) [3.44, 44.34] γ) διαφέρουν με πιθανότητα λάθους το πολύ 5% δ) H : μ =, H : μ, ναι t = ε) ναι αφού απορρίπτεται στον αμφίπλευρο στ) H : μ = 5, H : μ > 5, ναι t =.99 ζ) ότι τα δείγματα έχουν ληφθεί από κανονικούς πληθυσμούς με ίσες διασπορές 5. α) [5.48, 6.37] β) ότι το δείγμα είναι τυχαίο γ) H : μ = 6, H : μ 6, ναι z =.755 δ) όχι, δε γνωρίζουμε την πραγματική τιμή 6. α) [.77, 3.36] β) [6.55, 8.95] γ) [-6.48, -3.89] δ) διαφέρουν, με πιθανότητα το συμπέρασμα αυτό να είναι λάθος το πολύ 5% ε) H : μ =, H : μ, όχι t = 8. 38, συμφωνεί στ) στα (α) και (β) ότι τα δείγματα είναι τυχαία και ότι οι πληθυσμοί είναι κανονικοί, στα (γ) και (ε) ότι τα δείγματα είναι τυχαία, και ότι έχουν ληφθεί από κανονικούς πληθυσμούς με ίσες διασπορές ζ) ναι 7. α) H : p =. 6, H : p >. 6, όχι z =. 587 β) ναι z = 5 γ) [.534,.66] και [.75,.855] αντίστοιχα. Το μεγαλύτερο δείγμα έδωσε, για τον ίδιο συντελεστή εμπιστοσύνης, ακριβέστερη εκτίμηση δ) n = α) [-.543,.3] β) H : p p =, H : p p, όχι z =. 7. Όχι αφού δεν απορρίπτεται σε 5%. γ) καμία 9. α) [85.6, 93.4] β) H : μ = 9. 44, H : μ < 9. 44, όχι z =. 86. α) H : p p =, H : p p, ναι z = Ναι αφού απορρίπτεται σε % β) προφανώς για % αφού δηλώνει ισχυρότερη μαρτυρία. α) H : μ =, H : μ <, ναι t = Ναι αφού απορρίπτεται για % β).5 3 =. 5, δηλ. ένας ή δύο περίπου. H : μ = 55, H : μ > 55, t =. 554, δεν αποδεικνύουν οι μετρήσεις ότι η συγκέντρωση έχει ξεπεράσει το επιτρεπτό όριο β) z =. 7875, οι μετρήσεις υποστηρίζουν ότι η συγκέντρωση έχει ξεπεράσει το επιτρεπτό όριο (με πιθανότητα αυτό το συμπέρασμα να είναι λάθος το πολύ 5%) γ) το μεγαλύτερο δείγμα αύξησε την ισχύ του ελέγχου δ) στο (α) ότι το δείγμα προέρχεται από κανονικό πληθυσμό ενώ στο (β) καμία. 3. α) H : μ =, H : μ, ναι z = Ναι και σε % β) την P τιμή γ) επειδή P τιμ ή =.3 <. 5 η μηδενική σε επίπεδο σημαντικότητας 5% απορρίπτεται, ομοίως, επειδή P τιμ ή =.3 <., απορρίπτεται και σε %. Εκφράζει το πόσο ισχυρές είναι οι αποδείξεις που προκύπτουν από το δείγμα εναντίον της μηδενικής δ) [-.4, -.8] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapaopoulos) 67

9 4. α) [.9,.] β) H : μ =, H : μ, ναι t = 3. 3 γ) H : μ =, H : μ >, ναι αφού απορρίπτεται στον αμφίπλευρο δ) ναι, ότι το δείγμα των διαφορών προέρχεται από κανονικό πληθυσμό 5. α) [-.95,.49] β) H : μ =, H : μ, όχι z =. 63 γ) καμία 6. α) H : μ =, H : μ < (πριν-μετά), ναι t =. 8 β) [-9.3, -.7] γ) ναι, ότι το δείγμα των διαφορών είναι τυχαίο και ότι προέρχεται από κανονικό πληθυσμό Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapaopoulos) 68

10 Η Συνάρτηση Κατανομής της Τυποποιημένης Κανονικής Κατανομής Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapaopoulos) 69

11 Τιμές t ; της κατανομής t n n a n α =. α =.5 α =.5 α =. α = Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapaopoulos) 7

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Για κάθε πρόβλημα που ακολουθεί, εκτός των ερωτημάτων που διατυπώνονται, να γίνουν (με τη βοήθεια κάποιου στατιστικού πακέτου)

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις

Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις Έλεγχος Χ -Προβλήματα και Ασκήσεις Έλεγχος Χ (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι τα ποσοστά των ομάδων αίματος Α, Β, ΑΒ και Ο σε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις

Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Ένας ερευνητής προκειμένου να συγκρίνει τρία σιτηρέσια εκτροφής κοτόπουλων (Σ1, Σ2 και Σ3, αντίστοιχα), σχεδίασε και εκτέλεσε το εξής πείραμα. Επέλεξε 15 νεογέννητα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα. 12 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα. 12 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα 12 η Διάλεξη 1 ο Παράδειγμα (1) Μια αυτόματη μηχανή συσκευάζει καλαμπόκι σε τσουβάλια των 25kg Το βάρος του καλαμποκιού που συσκευάζεται ανά τσουβάλι

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Ας θεωρήσουμε ότι είναι γνωστό από στοιχεία της Παγκόσμιας Οργάνωσης Υγείας ότι οι τιμές χοληστερίνης στον πληθυσμό έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 3. Ανάλυση Διακύμανσης Σύντομη ανασκόπηση βασικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2 Έλεγχοι Υποθέσεων 7-2 7 Έλεγχοι Υποθέσεων Χρήση της Στατιστικής Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-3 7 Μαθησιακοί Στόχοι Όταν θα έχετε ολοκληρώσει την μελέτη του κεφαλαίου θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

, µπορεί να είναι η συνάρτηση. αλλού. πλησιάζουν προς την τιµή 1, η διασπορά της αυξάνεται ή ελαττώνεται; (Εξηγείστε γιατί).

, µπορεί να είναι η συνάρτηση. αλλού. πλησιάζουν προς την τιµή 1, η διασπορά της αυξάνεται ή ελαττώνεται; (Εξηγείστε γιατί). Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 009 στη Στατιστική 0/0/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. [0] Οι ακαθάριστες εβδοµαδιαίες εισπράξεις µιας κτηνοτροφικής µονάδας, από την πώληση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Δ.Ε. της παραμέτρου θ: ˆ θ cv σ < θ < ˆ θ + cv σ ˆ θ ˆ θ θ = η παράμετρος που θέλουμε να εκτιμήσουμε, ˆ θ = η εκτίμηση της θ που προκύπτει από το τ.δ. cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Έστω τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων από πληθυσμό του οποίου η κατανομή εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους, π.χ. μ. Επειδή σε κάθε δείγμα αναμένεται διαφορετική τιμή του μ, είναι προτιμότερο να επιδιώκεται

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_01_Έλεγχος_Υποθέσεων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Υπόθεση: "μπορεί ο αριθμητικός μέσος του δείγματος να είναι ίδιος με τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i)

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i) Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιανουαρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική 7..8. [] Ο ανθρώπινος οργανισμός χρειάζεται καθημερινά από έως 6 mg (mllgrams) καλίου. Η ποσότητα καλίου που περιέχεται στα τρόφιμα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας 0 1 2 3 4 f () 1/16 4/16 6/16 c 1/16 Να βρεθούν α) η τιμή της σταθεράς c β) η πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργάτης Μηχάνηµα τύπου Α Μηχάνηµα τύπου Β

Εργάτης Μηχάνηµα τύπου Α Μηχάνηµα τύπου Β Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου 2009 στη Στατιστική 30/09/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ [20] Μια καπνοβιοµηχανία ισχυρίζεται ότι στα νέα τσιγάρα που διαφηµίζει, η ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test 1 Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου One-Sample t-test 2 Μια σύντομη αναδρομή Στα τέλη του 19 ου αιώνα μια μεγάλη αλλαγή για την επιστήμη ζυμώνονταν στην ζυθοποιία Guinness. Ο William Gosset

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Επαγωγική Στατιστική Ο έλεγχος υποθέσεων είναι η δεύτερη μορφή της επαγωγικής στατιστικής. Έχει επίσης μεγαλύτερη δυνατότητα εφαρμογής. Για να κατανοήσουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing)

Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing) Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (ypothesis Testig) Βασικές έννοιες Γενική μεθοδολογία Σφάλμα τύπου Ι και -vlue Στατιστικοί έλεγχοι υποθέσεων για ειδικές περιπτώσεις Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 4 ο - Κ. Μπλέκας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #3: Εκτιμητική Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80.

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80. ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΤ ΧΟΛΗ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΗ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ακαδ. Έτος -3 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 47/8 v.kouras@fμe.aegea.gr Σηλ: 735457 Διωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2

Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2 4.2. ΑΠΛ Η ΓΡΑΜΜΙΚ Η ΠΑΛΙΝ Ρ ΟΜΗΣΗ 79 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων 1. είξτε ότι η εκτιµήτρια s 2 της διασποράς σ 2 είναι αµερόληπτη. 2. ύο τυχαίες µεταβλητές X 1 και

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Πολλαπλές συγκρίσεις Στην ανάλυση διακύμανσης ελέγχουμε την ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Διαστρωμάτωση Mantel-Haenszel test Γεωργία Σαλαντή Λέκτορας επιδημιολογίας Λεπτοσπείρωση Πιο πολλά κρούσματα στις αγροτικές περιοχές; Πόσο επί τις εκατό του πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Α. Αναλυτικές δοκιμές 1. Δοκιμές διάκρισης. 2. Περιγραφικές δοκιμές. Β. Δοκιμές προτίμησης και αποδοχής

Α. Αναλυτικές δοκιμές 1. Δοκιμές διάκρισης. 2. Περιγραφικές δοκιμές. Β. Δοκιμές προτίμησης και αποδοχής Α. Αναλυτικές δοκιμές 1. Δοκιμές διάκρισης α) δοκιμές διαφοράς β) δοκιμές ευαισθησίας 2. Περιγραφικές δοκιμές Β. Δοκιμές προτίμησης και αποδοχής Ο οργανοληπτικός έλεγχος εφαρμόζεται στη βιομηχανία τροφίμων,

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Ένα Ερευνητικό Παράδειγμα Σκοπός της έρευνας ήταν να διαπιστωθεί εάν ο τρόπος αντίδρασης μιας γυναίκας απέναντι σε φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test

Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 53Ε Τομέας Επιστήμης & Τεχνολογίας Τροφίμων Έλεγχος υποθέσεων Συνεχή δεδομένα z-test Student s test (t-test) Ανάλυση παραλλακτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΜΥΛΩΝΑ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΕΠΟΠΤΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΚΑΡΙΩΤΗ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Γιατί Ένας Manager Πρέπει να Ξέρει Στατιστική. Περιεχόμενα. Η Ανάπτυξη και Εξέλιξη της Σύγχρονης Στατιστικής

Περιεχόμενα. Γιατί Ένας Manager Πρέπει να Ξέρει Στατιστική. Περιεχόμενα. Η Ανάπτυξη και Εξέλιξη της Σύγχρονης Στατιστικής Chapter 1 Student Lecture Notes 1-1 Ανάλυση Δεδομένων και Στατιστική για Διοικήση Επιχειρήσεων [Basic Business Statistics (8 th Edition)] Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή και Συλλογή Δεδομένων Περιεχόμενα Γιατί ένας

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 9Α: Απλή Τυχαία Δειγματοληψία Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΟΜΑΔΑ:RADIOACTIVITY Τα μέλη της ομάδας μας: Γιώργος Παπαδόγιαννης Γεράσιμος Κουτσοτόλης Νώντας Καμαρίδης Κωνσταντίνος Πούτος Παναγιώτης Ξανθάκος

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα