SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi"

Transcript

1 SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom studiju Sveučilišta u Rijeci, Odsjek u Gospiću iz kolegija Matematika I (3. semestar)

2 PREDGOVOR Zahvaljujući suvremenim tehnologijama, naročito internetu, u mogućnosti smo ostvariti bolju komunikaciju na svim nivoima. To je naročito važno u nastavnom procesu. Zato sam odlučila gradivo matematike predviñeno nastavnim programom trećeg semestra iz kolegija Matematika I na učiteljskom studiju približiti studentima u elektroničkom obliku, dostupnom na fakultetskim stranicama. Gradivo je izloženo u osam poglavlja, pri čemu se prva tri poglavlja bave skupovima, relacijama i funkcijama, dok ostala poglavlja obrañuju skupove brojeva, od prirodnih do kompleksnih brojeva. Gradivo sam nastojala detaljno raščlaniti kako bi studenti imali jasan uvid u pojmove i svojstva koja se obrañuju. Pri tom sam željela biti što konciznija. Zato su neki dokazi izostavljeni, ali je naveden izvor u kojem se mogu naći. Materijal sadrži jednostavne primjere kojima se potkrepljuju matematičke zakonitosti. Takoñer sadrži neriješene primjere koje studenti samostalno rješavaju. Složeniji zadaci rješavaju se na vježbama koje prate predavanja. Nadam se da će ovaj materijal olakšati studentima praćenje nastave i omogućiti kvalitetniju pripremu za kolokvije i ispit. U tu svrhu, odmah na početku, uz osnovne karakteristike kolegija dani su očekivani ishodi učenja za svako poglavlje. Izloženo gradivo usko je vezano s gradivom matematike u razrednoj nastavi te materijal može poslužiti kao podsjetnik sadašnjim i budućim učiteljima. Zahvaljujem recenzenticama mr.sc. Katici Jurasić i mr.sc. Ljubici Štambuk na spremnosti da pregledaju moj rad i pomognu mi svojim stručnim savjetima u njegovom oblikovanju. Ugodna mi je dužnost zahvaliti kolegama sa Odsjeka u Gospiću, prvenstveno dr.sc. Vesni Grahovac-Pražić na lekturi teksta te Zvonomiru Adamoviću i Dubravki Čanić na informatičkoj podršci.

3 Kolegij: Studij: Semestar: MATEMATIKA I Preddiplomski studij III Sati nastave: ++0 ECTS bodovi: 5 Redni broj poglavlja OČEKIVANI ISHODI. Primijeniti operacije sa skupovima. Prikazati skupove Venn-ovim dijagramima. Objasniti svojstva operacija sa skupovima, partitivni skup i particiju skupa.. Analizom utvrditi vrstu relacije. Iz relacije ekvivalencije izvesti particiju skupa i obratno. 3. Definirati funkciju. Analizom utvrditi vrstu funkcije. Izvršiti kompoziciju funkcija. Iz zadane funkcije izvesti inverznu funkciju. 4. Opisati pojam prirodnog broja i pojam niza prirodnih brojeva. Primijeniti matematičku indukciju na tvrdnje o prirodnim brojevima. Definirati zbrajanje i množenje prirodnih brojeva i zakone koji za te operacije vrijede. Provesti jednostavnije dokaze. Zapisati prirodan broj u sustavima različitih baza. Definirati djeljivost, proste i složene brojeve. Naći zajedničke mjere i višekratnike brojeva. 5. Opisati skup cijelih brojeva. Definirati operaciju oduzimanja. 6. Definirati racionalne brojeve. Opisati polje racionalnih brojeva. Definirati operaciju dijeljenja. Prevesti decimalan zapis racionalnog broja u razlomak i obrnuto. 7. Dati strogi i intuitivni opis realnih brojeva. Primijeniti zapis pomoću intervala na podskupove realnih brojeva. Pridružiti točki pravca realan broj i obratno. Provesti jednostavnije dokaze tvrdnji o iracionalnim brojevima. 8. Primijeniti osnovne računske operacije s kompleksnim brojevima. Grafički prikazati kompleksne brojeve u kompleksnoj ravnini. Provesti prijelaz kompleksnog broja u trigonometrijski oblik. Izračunati korijene iz kompleksnog broja. 3

4 SADRŽAJ Stranica Predgovor Kolegij Matematika I - ishodi učenja... 3 Sadržaj Skupovi Pojam skupa 6.. Zadavanje skupova Presjek skupova Unija skupova 8.5. Podskup Jednakost skupova Diferencija skupova Pojam komplementa. Univerzalni skup Svojstva presjeka, unije i diferencije (komplementa).0. Kardinalni broj skupa... Partitivni skup.. Particija skupa 3.3. Kartezijev ili direktni produkt skupova. 3. Relacije Binarne relacije Neke važnije vrste binarnih relacija Relacije ekvivalencije 6.4. Ureñajne relacije 7.5. Inverzna relacija Funkcije Definicija funkcije Analitičko zadavanje funkcija Graf funkcije Područje vrijednosti funkcije Surjektivna preslikavanja ili surjekcije Konstante Identično preslikavanje Injektivna preslikavanja ili injekcije Obostrano jednoznačno ili bijektivno preslikavanje Inverzno preslikavanje Kompozicija preslikavanja Asocijativnost preslikavanja Prirodni brojevi Definicija skupa prirodnih brojeva Ekvivalentni skupovi Definicija prirodnih brojeva Konačni i beskonačni skupovi Peanovi aksiomi i matematička indukcija Peanovi aksiomi Matematička indukcija Zbrajanje i množenje prirodnih brojeva Zbrajanje prirodnih brojeva Množenje prirodnih brojeva

5 4.4. Brojevni sustavi Zapis prirodnog broja Brojevni sustavi Zapis broja u sustavu s bazom b Prijelaz iz dekadskog sustava u sustav neke druge baze Prijelaz u dekadski sustav Djeljivost brojeva Definicija djeljivosti Prosti i složeni brojevi Eratostenovo sito Zajedničke mjere brojeva Euklidov algoritam Zajednički višekratnici brojeva Cijeli brojevi Skup cijelih brojeva kao proširenje skupa prirodnih brojeva Definicija operacije oduzimanja 5 6. Racionalni brojevi Polje racionalnih brojeva Definicija operacije dijeljenja Q je ureñeno polje Decimalni prikaz racionalnog broja Realni brojevi Realni brojevi strogi opis Intervali Omeñeni skupovi Skup racionalnih brojeva je gust Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Osnovne računske operacije s kompleksnim brojevima Apsolutna vrijednost kompleksnog broja Grafički prikaz kompleksnog broja Udaljenost izmeñu dvije točke Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Moivreov teorem (Potenciranje kompleksnih brojeva) Korijen iz kompleksnog broja 68 Literatura

6 . SKUPOVI.. Pojam skupa Pojam skupa se ne definira. Na pitanje što je skup, navode se primjeri da se vidi što se pod tim pojmom podrazumijeva. Na primjer: Učenici jednog razreda. Sve točke na nekom pravcu. Svi prirodni i umjetni sateliti Zemlje. Svaki skup sačinjavaju objekti a, b, c, koji imaju neko zajedničko obilježje. Pritom su a, b, c, elementi ili članovi skupa. Skupove označavamo s A, B, C, S, U, Z, N,.... Ako želimo istaknuti elemente a, b, c, skupa A, onda koristimo oznaku A = {a,b,c, }. Zapis x S znači da je x element skupa S. Ako x ne pripada skupu S koristimo oznaku x S. Za skup kažemo da je dobro definiran (odreñen) ako za svaki objekt možemo utvrditi je li element tog skupa ili nije. Primjer. Da li je skup zanimljivih figura dobro definiran skup? Odgovor: Nije, jer nisu svim ljudima iste figure zanimljive... Zadavanje skupova. Skup zadajemo tako da navedemo sve njegove elemente. Primjer. Elementi skupa S su brojevi, 3, 4, 5 i 6 ili S = {,3,4,5,6 }.. Skup zadajemo tako da navedemo obilježje koje imaju elementi skupa. Primjer. Elementi skupa A su svi trokuti ili A = {x x je trokut}. Simbol čita se takvih da. 3. Skup zadajemo tako da navedemo uvjet (ili uvjete) koji zadovoljavaju svi elementi skupa. Općenito, ako elementi skupa S zadovoljavaju uvjet U, skup S ćemo izraziti S = { x U }. Primjer. Q je skup svih razlomaka takvih da je m element skupa cijelih brojeva Z, a n element skupa prirodnih brojeva N ili Q = { n m m Z, n N }. Primjer. Skup S = {,3,4,5,6 } može se izraziti i ovako: S = { x N x+3 7 i 3x- 8 }. 4. ø je simbol za prazan skup. Prazan skup je skup koji nema ni jednog elementa. Na primjer: Skup svih realnih rješenja jednadžbe x = -. Skup svih zajedničkih točaka dva paralelna pravca. Skup svih ljudi visokih 4 m. 6

7 Prazan skup možemo definirati ovako: ø = {x x x}. 5. Zorno prikazivanje skupova pomoću Vennovih dijagrama. sl.. A B C sl..3. Presjek skupova Presjek ili zajednički dio skupova A i B je skup koji čine svi elementi koji su i u skupu A i u skupu B. Označavamo ga A B. A B = {x x A i x B}. sl.. sl. Primjer. Zadani su skupovi A ={,,3}, B = {0,3} i C = {0,4}. Treba naći A B i A C. Rješenje: A B = {3}, a A C = ø. Ako je presjek skupova prazan skup, tada kažemo da su oni disjunktni. Prema tome, A i C su disjunktni skupovi. sl. 3. 7

8 A C sl Unija skupova Unija skupova A i B je skup koji čine svi elementi koji pripadaju barem jednom od skupova A i B. AU B = {x x A ili x B}. sl. 4. sl. 4 Primjer. Neka su skupovi A = {,,3} i B = {,3,4,5}. Tada je AU B = {,,3,4,5}..5. Podskup Za skup A kažemo da je podskup skupa B i pišemo A B, onda i samo onda, ako je svaki element iz A ujedno i element iz B, tj. ako je A B = A. sl. 5. B A sl. 5 8

9 Za skup A kažemo da je pravi podskup od B i pišemo A B onda i samo onda, ako je svaki element iz A ujedno i element iz B pri čemu je kardinalni broj skupa A manji od kardinalnog broja skupa B, tj. ka < kb. Primjer. Ako su zadani skupovi A = {,} i B = {,,3}, A je podskup od B, A B. Štoviše, A je pravi podskup od B, što pišemo A B. Takoñer vrijedi da je B B, tj. svaki je skup sam sebi podskup. Nadalje, za svaki skup S vrijedi da je S ø = ø. Odatle zaključujemo da je prazan skup podskup svakog skupa..6. Jednakost skupova Za skupove A i B kažemo da su jednaki i pišemo A = B onda i samo onda ako je A B i B A, tj. ako je svaki element iz A ujedno i element iz B, i obratno, svaki element iz B je ujedno i element iz A..7. Diferencija skupova Skup svih elemenata iz A koji nisu i u B nazivamo diferencijom skupova A i B i označavamo A \ B. A \ B = {x x A i x B}. sl. 6. sl. 6 Primjer. Ako su skupovi A = {,3,4} i B = {,}, tada je A \ B = {3,4}, a B \ A = {}. Skup (A \ B ) U ( B \ A) zove se simetrična diferencija. Prikaz simetrične diferencije pomoću Vennovog dijagrama sl. 7. 9

10 sl. 7 Zadaci za vježbu Obrazložite sljedeće jednakosti:. A \ ø = A. ø\ A = ø 3. (A \ B) \ C = (A \ C) \ B..8. Pojam komplementa. Univerzalni skup. Neka je P podskup skupa S. Skup S \ P zove se komplement od P u odnosu na S i označava C S (P). sl. 8. sl. 8 Primjer. Ako je S = {,,3,4} i P = {,}, tada je C S (P) = {3,4}. Ako je P = ø, tada je C S (P) = S. U slučajevima kada je iz konteksta jasno da je S skup, umjesto C S (P) pišemo C(P) ili P C. Skup S obično je tada neki obuhvatniji skup koji razmatramo pa se kao takav zove univerzalni skup i označava s U. Njega obično predočavamo pravokutnikom, a njegove 0

11 podskupove krugovima. sl. 9. sl Svojstva presjeka, unije i diferencije (komplementa). Komutativnost A B = B A AU B = BU A. Asocijativnost (A B) C = A (B C) (AU B) U C = AU (BU C) 3. Idempotentnost A A = A AU A = A 4. Distributivnost A (BU C) = (A B) U (A C) AU (B C) = (AU B) (AU C) 5. Svojstva praznog i univerzalnog skupa A ø = ø A U = A AU U = U AU ø = A

12 6. De Morganovi zakoni (AU B) C = A C B C (A B) C = A C U B C 7. Involucija ( A C ) C = A Valjanost ovih zakonitosti može se provjeriti Vennovim dijagramima, ali i dokazati pomoću operacija koje smo ranije definirali. Za primjer dokažimo De Morganov zakon (AU B) C = A C B C. (AU B) C = {x x U \(AU B)} = {x x U i x (AU B)} = {x x U i (x A i x B)} = {x (x U i x A) i (x U i x B)} = {x (x U \ A) i (x U \ B)} = {x (x A C ) i (x B C )} = {x x (A C B C )} = A C B C.0. Kardinalni broj skupa Broj elemenata n skupa S definiramo kao kardinalni broj skupa S i označavamo ks = n. Primjer. Kardinalni broj skupa S = {,,3,4} je ks = 4... Partitivni skup Neka je S bilo koji dani skup. Skup svih podskupova od S nazivamo partitivnim skupom skupa S i označavamo P(S). Primjer. Ako je S = {,,3}, onda je partitivni skup P(S) = {ø,{}, {}, {3}, {,}, {,3}, {,3}, {,,3}}.

13 Ako je kardinalni broj skupa S jednak n, tj. ks = n, tada je kardinalan broj partitivnog skupa kp(s) = n. Primjer. Kardinalni broj partitivnog skupa skupa S = {,,3} je kp(s) = 3 = 8. Primjer. Kardinalni broj partitivnog skupa skupa T ={a,b,c,d} je kp(t) = 4 = 6... Particija skupa Neka je S bilo koji dani skup. Svaki podskup P od P(S)\{ø} zovemo particijom ili disjunktnim rastavljanjem skupa S ako su ispunjena ova dva uvjeta:. Unija svih elemenata iz P je S;. Ako su A i B različiti elementi iz P tada je A B = ø. Primjer. Jedna particija skupa S = {,,3,4,5,6,7} je P = {{}, {}, {3,4,5},{6,7}}, jer je. {}U {}U {3,4,5}U {6,7} = S. {} {} {3,4,5} {6,7} = ø. Zadatak za vježbu Navedite još nekoliko particija skupa S iz prethodnog primjera..3. Kartezijev ili direktni produkt skupova Ako su A i B skupovi, tada skup svih parova (a,b) kod kojih je a A i b B nazivamo kartezijevim ili direktnim produktom i označavamo A B, tj. A B = {(a,b) a A i b B}. Primjer. Zadani su skupovi A = {,,3} i B = {x,y}. Nañite kartezijeve produkte A B i B A skupova A i B. Rješenje. A B = {(,x), (,y), (,x), (,y), (3,x), (3,y)} B A = {(x,), (x,), (x,3), (y,), (y,), (y,3)} Primijetimo da je A B B A jer se sastoje od različitih ureñenih parova. (,x) (x,), (,x) (x,), itd. Primjer. Neka su skupovi A = {a,b}, B = {x,y} i C = {c}. 3

14 Odredite A B C! Rješenje. A B C = {(a,x,c), (a,y,c), (b,x,c) (b,y,c)}. Elementi kartezijevog produkta su u ovom slučaju ureñene trojke brojeva. Primjer 3. Ako je A = {0,}, odredite A A i A A A! Rješenje. A A = {(0,0), (0,), (,0), (,)} A A A = {(0,0,0), (0,0,), (0,,0), (,0,0), (,,0), (,0,), (0,,),(,,)} 4

15 . RELACIJE.. Binarne relacije Neka su A i B neki skupovi, a ρ neki podskup od A B, ρ A B. Skup ρ zove se relacija izmeñu elemenata skupa A i elemenata skupa B ili relacija s A u B. Za element x iz A kažemo da je u relaciji ρ s elementom y iz B i pišemo xρy, onda i samo onda ako je (x,y) ρ. Primjer. Zadani su skupovi A = {,,3,4} i B = {7,8,9}. Jedna relacija ρ sa A u B je ρ = {(,7), (,9), (3,8), (4,7)}. Možemo reći da je u relaciji sa 7, sa 9, itd. To pišemo ρ7, ρ9, 3ρ8, 4ρ7. Takoñer možemo reći da je ureñen par (,7) element relacije ρ, što pišemo (,7) ρ, (,9) ρ, itd. Primjer. Kada definiramo relaciju može biti da je A = B. Tada govorimo o relaciji u A ili o relaciji s A u A. Neka je A = {,,3,4} i neka je relacija u tom skupu zadana rečenicom: Element x iz A manji je od elementa y iz A. Napišite tu relaciju! Rješenje. ρ = {(,), (,3), (,4), (,3), (,4), (3,4)}... Neke važnije vrste binarnih relacija a) Refleksivne relacije Za relaciju ρ A A kažemo da je refleksivna onda i samo onda ako je aρa za svaki a A. Primjer. Relacija biti divizor u skupu N je refleksivna relacija, jer je svaki prirodan broj divizor sam sebi, tj. a a za svaki a N. Primjer. Da li je relacija < biti manji u skupu N refleksivna relacija? Uzmimo neki broj a N, da li vrijedi da je a < a? Zaključujemo da to ne vrijedi i da biti manji nije refleksivna relacija. b) Simetrične relacije Za relaciju ρ A A kažemo da je simetrična onda i samo onda ako ima svojstvo: ako je aρb tada je i bρa. Primjer. Relacija ~ biti sličan sa u skupu svih trokuta je simetrična relacija, jer ako je a ~ b tada je i b ~ a. 5

16 c) Tranzitivne relacije Za relaciju ρ A A kažemo da je tranzitivna onda i samo onda ako ima svojstvo: ako je aρb i bρc, tada je aρc. Primjer. Relacija biti paralelan sa u skupu svih pravaca je tranzitivna relacija, jer ako je a b i b c, tada je i a c. Primjer. Relacija biti okomit na u skupu svih pravaca nije tranzitivna, jer ako je a b i b c, tada je a c. d) Antisimetrične relacije Za relaciju ρ A A kažemo da je antisimetrična onda i samo onda ako ima svojstvo: ako je aρb i bρa, tada je a = b. Primjer. Relacija biti divizor u skupu N je antisimetrična relacija, jer iz a b i b a slijedi da je a=b..3. Relacija ekvivalencije Posebno važne su one relacije koje su refleksivne, simetrične i tranzitivne. Takve relacije zovemo relacije ekvivalencije. Primjer. Relacija ~ biti sličan sa u skupu svih trokuta je relacija ekvivalencije. Rješenje. Dovoljno je pokazati da je zadana relacija refleksivna, simetrična i tranzitivna.. Refleksivna: Svaki je trokut sličan sam sebi.. Simetrična: Ako je trokut ABC sličan trokutu DEF, tada je i trokut DEF sličan trokutu ABC. 3. Tranzitivna: Ako je trokut ABC sličan trokutu DEF, a trokut DEF sličan trokutu GHI, tada je i trokut ABC sličan trokutu GHI. Zadatak za vježbu. Dokažite da je relacija biti paralelan sa u skupu svih pravaca relacija ekvivalencije. Teorem. Svaka relacija ekvivalencije definirana u skupu A rastavlja skupa A na disjunktne podskupove koji su klase ekvivalentnih elemenata s obzirom na danu relaciju ekvivalencije. Teorem. (Obrat teorema ) Svako disjunktno rastavljanje skupa A odreñuje u A relaciju ekvivalencije. Dokaze ovih teorema ćemo izostaviti. Pogledati u: Radić, M., Algebra I, Školska knjiga, Zagreb,

17 Primjer 3. Neka je R 5 relacija u skupu cijelih brojeva Z definirana ovako x y (mod 5). To čitamo: x kongruentno s y modulo 5, a to znači da je razlika x y djeljiva s 5. Treba pokazati da je R 5 relacija ekvivalencije. R 5 = {(a,b) ZxZ (a-b) djeljivo s 5 }. Z = {,-4, -3, -, -, 0,,, 3, 4, } A 0 je podskup od Z kojemu su elementi oni brojevi iz Z koji, kad ih podijelimo s 5, imaju ostatak 0, A je podskup od Z kojemu su elementi oni brojevi iz Z koji, kad ih podijelimo s 5, imaju ostatak, A je podskup od Z kojemu su elementi oni brojevi iz Z koji, kad ih podijelimo s 5, imaju ostatak, itd. A 0 = {,-0, -5, 0, 5, 0, 5, } A = {, -9, -4,, 6,, 6 } A = {,-8, -3,, 7,, 7, } A 3 = {,-7, -, 3, 8, 3, 8, } A 4 = {,-6, -, 4, 9, 4, 9, }. Vidimo da je A 0 A A A 3 A 4 = ø, i da je A 0 U A U A U A 3 U A 4 = Z. Zaključujemo da relacija R 5 vrši particiju skupa Z pa je to relacija ekvivalencije..4. Ureñajne relacije Relacija R S S zove se relacija parcijalnog ureñenja skupa S, a skup S parcijalno ureñenim skupom s obzirom na tu relaciju ako je R refleksivna, tranzitivna i antisimetrična. Primjer. Relacija biti podskup od u partitivnom skupu P(S) je relacija parcijalnog ureñenja skupa P(S). Pokažimo to! Rješenje. Dovoljno je pokazati da je zadana relacija refleksivna, tranzitivna i antisimetrična. 7

18 . refleksivnost: A A, za svaki A P(S).. tranzitivnost: A B i B C A C, za sve A, B i C iz P(S). 3. antisimetričnost: A B i B A A = B, za A i B iz P(S). Relacija parcijalnog ureñenja najčešće se označava s. Za elemente a i b iz S kažemo da su usporedivi s obzirom na relaciju onda i samo onda ako je a b ili b a. Razumije se da ne moraju svi parovi elemenata iz S biti usporedivi s obzirom na relaciju (zato se ovo ureñenje i naziva parcijalnim ureñenjem skupa). Definicija. Parcijalno ureñen skup u kojemu su svaka dva elementa usporediva zove se linearno ili potpuno ureñen skup. Relacija zove se tada relacija potpunog ureñenja tog skupa. Primjer. Relacija u skupu N je relacija potpunog ureñenja skupa N, jer za svaka dva prirodna broja a i b vrijedi a b ili b a. Zadatak za vježbu Pokažite da je relacija biti divizor u skupu N, relacija parcijalnog ureñenja..5. Inverzna relacija Neka su A i B neki skupovi, a R neka relacija sa A u B, R A B. Definirajmo R ovako: ako je xry, onda je yr x. R je tada inverzna relacija od R, ili invers od R. Primjer. Zadana je relacija R A B, pri čemu je A={,,3} i B={5,6}, R={(,5), (,6), (,6), (3,6)}. Njoj inverzna relacija R je R = {(5,), (6,), (6,), (6,3)}. Primjer. Relacija biti divizor u skupu prirodnih brojeva N inverzna je relacija relaciji biti djeljiv sa u tom skupu. 8

19 3. FUNKCIJE 3.. Definicija funkcije Neka su A i B dani skupovi. Ako svakom elementu iz A pridružimo jedan i samo jedan element iz B, tada kažemo da smo skup A preslikali u B, a sam postupak pridruživanja nazivamo funkcijom sa A u B. Pišemo: A f B ili f : A B, a čitamo: f je preslikavanje sa A u B. Skup A zovemo domenom, a skup B kodomenom funkcije f : A B. Element skupa B koji je pridružen elementu x iz A označavamo s f(x) i zovemo slikom elementa x u odnosu prema preslikavanju f. f(x) još se zove vrijednost funkcije. 3.. Analitičko zadavanje funkcija Ako je funkcija izražena formulom kažemo da je ona zadana analitički. Uzmimo da funkcija f sa R u R, pridružuje svakom broju njegov kvadrat, onda to možemo pisati ovako: f(x) = x ili x a x ili y = x. Pri tom se x naziva nezavisna varijabla, dok je y zavisna varijabla. Primjer. Izrazite funkciju g: R R koja svakom broju pridružuje njegov kub. Odredite sliku broja, zatim sliku od a i sliku od (c+). Rješenje: g(x) = g() = Zadaci za vježbu 3 x ili x a 3 = 8, g(a) = 3 x ili y = x 3. 3 a, g(c+) = 3 ( c +).. Neka f pridružuje svakoj zemlji svijeta njezin glavni grad. Što je domena, a što kodomena ove funkcije? Što je slika Francuske?. Na slici je dana funkcija f sa A u B, pri čemu je A = {a,b,c,d} i B = {r,s,t,u}. Odredite f(a), f(b), f(c) i f(d). Što je domena, a što kodomena ove funkcije? Odredite skup vrijednosti funkcije ili skup slika. sl. 0. 9

20 sl Graf funkcije Pod grafom funkcije f: A B podrazumijevamo skup Γ definiran ovako: Γ = {(a,b) a A, b=f(a)} Primjer. Zadani su skupovi A = {a,b,c,d} i B = {p,q r,s,t}. Neka je funkcija f: A B Tada graf funkcije f glasi: Γ = {(a,p), (b,q), (c,q), (d,s)}. Graf funkcije ima svojstva:. Za svaki a A postoji b B tako da je (a,b) Γ.. Nijedna dva različita para iz Γ nemaju prvu koordinatu jednaku. Primjer. Koji od skupova Γ i Γ nije graf neke funkcije s A u B, pri čemu je A = {,,3,4} i B = {a,b,c}? Γ = {(,b), (,a), (3,b), (4,b)} Γ = {(,b), (,a), (3,b), (4,b)}. Odgovor: Γ nije graf funkcije jer nema ni. ni. svojstvo. ( nije prva koordinata niti jednog para i dva para, (,b) i (,a), imaju jednaku prvu koordinatu. Svojstvo i svojstvo može se zajedno izraziti i ovako: Za svaki a A postoji jedan i samo jedan b B tako da je (a,b) Γ. 0

21 3.4. Područje vrijednosti funkcije Skup svih elemenata iz B koji su slika barem jednog elementa iz A označava se f(a) i zove područje vrijednosti funkcije f: A B. sl.. A B f(a) sl. Primjer. Ako je f: N Z definirana s f(x) = x-, tada je f(n) = {,3,5,...}.Vidimo da je f(n) Z Surjektivna preslikavanja ili surjekcije Funkciju f: A B kod koje je f(a) = B zovemo surjektivnim preslikavanjem ili surjekcijom. Drugim riječima, svaki element iz B je slika barem jednog elementa iz A pa kažemo da funkcija f preslikava A na čitav B ili kraće na B. Primjer. Neka je A = {,,3,4} i B = {5,6,7} i neka je zadana funkcija f: A B ovako: 3 4 f : Budući je svaki element iz B slika barem jednog elementa iz A, funkcija f je surjekcija. Zadatak za vježbu Neka je dano preslikavanje g: N Z ovako: Je li g surjekcija? g:

22 Napišite još nekoliko surjekcija s N u Z! 3.6. Konstante Za preslikavanje f: A B kažemo da je konstanta onda i samo onda ako je f(a) jednočlan skup, tj. ako se svaki element iz A preslikava u jedan te isti element iz B. sl.. A B sl. Zadaci za vježbu. Neka je A skup svih kružnica, a B skup svih realnih brojeva. Preslikavanje f: A B koje svakoj kružnici pridružuje omjer njezinog opsega i njezinog promjera je konstanta f(x) = π. Pokažite to!. Neka je A = B = R, a funkcija f: R R odreñena formulom f(x) = 4 za svaki x iz R. Da li je to konstanta? Prikažite grafički funkciju f! 3.7. Identično preslikavanje Preslikavanje f: A A zove se identično preslikavanje skupa A onda i samo onda ako je f(x) = x za svaki x iz A. Zadatak za vježbu Neka je A = R. Preslikavanje f: R R dano s f(x) = x možemo predočiti pravcem u koordinatnoj ravnini. Skicirajte ga! 3.8. Injektivna preslikavanja ili injekcije Za preslikavanje f:a B kažemo da je injektivno preslikavanje ili injekcija skupa A u skup B onda i samo onda ako se različiti elementi iz A preslikavaju u različite elemente iz B, tj. ako je svaki element iz B slika najviše jednog elementa iz A. Jednakost f(a) = f(b) moguća je, dakle, samo za a = b. Za a b f(a) f(b) za svaki par elemenata a i b iz A.

23 Primjer. Zadana je funkcija f: A B. Pri tom je A = {,,3,4} i B = {a,b,c,d,e,f}. f : 3 4 b d a f c e Budući se različiti elementi preslikavaju u različite, f je injekcija. Zadatak za vježbu Napišite još nekoliko injektivnih preslikavanja s A u B, pri čemu je A = {,,3,4} i B = {a,b,c,d,e,f} Obostrano jednoznačno ili bijektivno preslikavanje Definicija. Za preslikavanje f: A B kažemo da je bijektivno ili obostrano jednoznačno onda i samo onda ako je to istovremeno i injektivno i surjektivno preslikavanje skupa A u skup B. Definicija. Za preslikavanje f: A B kažemo da je bijektivno ili obostrano jednoznačno onda i samo onda ako je to injektivno preslikavanje skupa A na skup B. Definicija 3. Svaki element iz B je slika jednog i samo jednog elementa iz A. Primjer. Neka su zadani skupovi A i B i preslikavanje f sa A u B ovako: A = {,,3,4}, B = {a,b,c,d,} i f = {(,b),(,c),(3,d),(4,a)}. Da li je f bijekcija? Odgovor: Svaki element iz B je slika nekog elementa iz A pa je f surjekcija. Različiti elementi iz A preslikavaju se u različite elemente iz B pa je f injekcija. Odatle slijedi da je f bijekcija. Zadatak za vježbu Navedite još nekoliko bijekcija s A u B, pri čemu je A = {,,3,4} i B = {a,b,c,d,} Inverzno preslikavanje Neka je f: A B bijektivno preslikavanje. Definirajmo preslikavanje f : B A ovako: Ako je f(x) = y, tada je f (y) = x. Drugim riječima: svakom elementu y iz B pridružuje se onaj element iz A koji se preslikava u y. Primjer. Neka je f: A B, pri čemu je A = {a,b,c} i B = {p,q,r} f = {(a,p), (b,q), (c,r)}. Tada je inverzno preslikavanje ili invers f : B A, f = {(p,a), (q,b), (r,c)}. 3

24 ) Očito je da vrijedi (f = f. Zadatak za vježbu Neka je A = {x 4 x 5} i B = {y 7 y 9}. Preslikavanje f: A B odreñeno je sa f(x) = x-. Odredite f (x). Skicirajte grafove funkcija f i f! 3.. Kompozicija preslikavanja Neka su dana preslikavanja f: A B i g: B C, gdje je kodomena preslikavanja f ujedno domena preslikavanja g. sl. 3. sl. 3 Preslikavanje g f : A C definirano ovako (g f)(x) = g [f(x)] za svaki x A, zove se kompozicija preslikavanja f i g. Primjer. Dane su funkcije f i g. a b c p q r f : g : r q p u v z Odrediti (g f)(a), (g f)(b) i (g f)(c)! Rješenje. (g f)(a) = g [f(a)] = g(r) = z (g f)(b) = g [f(b)] = g(q) = v (g f)(c) = g [f(c)] = g(p) = u a b c g f : z v u 4

25 Zadatak za vježbu: Dane su funkcije f, g i h u skupu A = {,,3,4} f : g : h : Nañite kompozicije: f g, h f, g g. 3.. Asocijativnost kompozicije Ako su f: A B, g: B C, h: C D funkcije, tada su definirane i funkcije h g, (h g) f, g f, h (g f). Lako se uviña da za komponiranje funkcija vrijedi zakon asocijacije. ((h g) f)(x) = (h g)[f(x)] = h{g[f(x)]} (h (g f))(x) = h[(g f)(x)] = h{g[f(x)]} Primijetimo da za kompoziciju funkcija ne vrijedi zakon komutacije, tj. da ne mora biti f g = g f. Naime, domena preslikavanja g f jednaka je domeni preslikavanja f, a domena preslikavanja f g jednaka je domeni preslikavanja g. Čak i ako su one iste, ne mora vrijediti f g = g f. 5

26 4. PRIRODNI BROJEVI 4.. Definicija skupa prirodnih brojeva 4... Ekvivalentni skupovi Za skup A kažemo da je ekvivalentan skupu B i pišemo A~B onda i samo onda ako postoji bijekcija s A na B. Primijetimo da su A i B jednakobrojni skupovi. Primjer. A = {,,3} B = {a,b,c} Teorem. Relacija ~ biti ekvivalentan sa meñu skupovima je. refleksivna A~A. simetrična A~B i B~A 3. tranzitivna A~B i B~C A~C. Dokaz.. Identično preslikavanje skupa A je bijekcija s A na A.. Ako je f bijekcija s A na B onda je f bijekcija s B na A. 3. Ako je f bijekcija s A na B i g bijekcija s B na C, onda je kompozicija g f bijekcija s A na C. Prema tome, relacija biti ekvivalentan je relacija ekvivalencije u svakoj familiji nepraznih skupova. Za prazni skup dogovorno se kaže da je sam sebi ekvivalentan. Ako je relacija biti ekvivalentan relacija ekvivalencije, tada ona vrši particiju skupa na klase ili familije skupova. Primjer. Na sl.4 su prikazana tri ekvivalentna skupa. Njihovo zajedničko svojstvo je da svaki ima četiri elementa. Skupova po četiri elementa ima beskonačno mnogo. Drugim riječima, njihovo zajedničko svojstvo je da imaju jednak kardinalni broj. To je broj 4. 6

27 sl. 4 Prirodni broj je zajedničko svojstvo svih ekvivalentnih skupova Definicija prirodnih brojeva Prirodni broj se definira kao kardinalni broj konačnog skupa pa je broj kardinalni broj svih jednočlanih skupova, kardinalni broj svih dvočlanih skupova, itd. Dogovorno 0 = k ø = k{0} = k{0,} 3 = k{0,,}. Skup svih prirodnih brojeva označavamo s N (naturalis, lat. prirodan). N = {,,3,4, } Konačni i beskonačni skupovi Neka je S neki skup. Kažemo da je taj skup konačan ako postoji prirodan broj n tako da je skup {,,3,4,,n} ekvivalentan skupu S. Na primjer skup S = {Zagreb, Rijeka, Gospić} je konačan jer je ekvivalentan skupu {,,3}. I za ø kaže se da je konačan (dogovorno). Za skup koji nije konačan, kažemo da je beskonačan. Na primjer, skup N je beskonačan jer nije ekvivalentan skupu {,,3,4,,n} ni za jedan dani prirodni broj n. 7

28 Teorem. Skup je beskonačan onda i samo onda ako se može bijektivno preslikati na svoj pravi podskup. Dokaz. Na primjer, skup N je beskonačan jer se može bijektivno preslikati na svoj pravi podskup {, 4, 6, 8, } Definicija. Za beskonačni skup kažemo da je prebrojiv onda i samo onda ako je ekvivalentan skupu N. Na primjer, skup cijelih brojeva Z ekvivalentan je skupu N jer postoji bijekcija sa N na Z: Prema tome, skup cijelih brojeva Z je beskonačan i prebrojiv. Kardinalni broj beskonačnog prebrojivog skupa označava se s א 0. Ovaj simbol se čita alef nula. Alef je prvo slovo hebrejskog pisma. Prije smo pokazali da je skup prirodnih brojeva N beskonačan, a kako je ekvivalentan sam sebi, onda je i prebrojiv. Odatle zaključujemo da je kn = א 0. Kada za neki skup S pišemo ks= א 0, onda to zapravo znači da je skup S ekvivalentan skupu N. 4.. Peanovi aksiomi i matematička indukcija 4... Peanovi aksiomi Skup N čije elemente zovemo prirodnim brojevima ima ova svojstva:. je prirodan broj, tj. N.. Svaki prirodan broj n ima točno jednog sljedbenika n +. Radić, M., Algebra, Teorem 9.. i Teorem 9.3. str.. 8

29 3. Uvijek je n +, tj. nije sljedbenik nijednog prirodnog broja. 4. Ako je m + = n +, tada je m = n, tj. ako su sljedbenici dvaju prirodnih brojeva jednaki, tada su i sami ti brojevi jednaki. 5. (Aksiom indukcije) Svaki podskup M skupa N, koji sadrži broj i sljedbenika svakog svog elementa, sadrži sve prirodne brojeve, tj. M = N Matematička indukcija Način zaključivanja u kojem promatranjem pojedinačnih slučajeva donosimo općenite zaključke zovemo indukcijom. U mnogim znanostima zaključci doneseni na temelju razmatranja konačnog broja pojedinačnih slučajeva prihvaćaju se istinitima i ne podvrgavaju se daljnjim dokazivanjima (medicina, društvene znanosti, meteorologija, fizika, biologija, poljoprivreda, itd.). U matematici se opća zakonitost do koje se došlo naziva pretpostavka ili hipoteza. Matematičar zna da se ona mora dokazati. Mnogi primjeri pokazuju da pretpostavke ili hipoteze do kojih se došlo indukcijom znaju biti netočne. Zato, način zaključivanja u kojem promatranjem pojedinačnih slučajeva postavljamo opće zakonitosti zovemo nepotpunom indukcijom. Ona nema snagu dokaza, ali pomaže da iz posebnih slučajeva dobijemo više ili manje vjerojatne pretpostavke pa ima vrijednost i u matematičkim istraživanjima i u nastavi matematike. U povijesti matematike poznato je više slučajeva kada su i najveći matematičari objavljivali općenite tvrdnje do kojih su došli nepotpunom indukcijom, a da nisu proveli dokaz. Samo neke od tih tvrdnji preživljavale bi strogi matematički dokaz i pokazale se istinitima. Za neke tvrdnje do kojih se došlo nepotpunom indukcijom pronañen je kontraprimjer. Kontraprimjerom zovemo onaj primjer koji pokazuje da tvrdnja za koju smo mislili da vrijedi nije istinita. Francuski matematičar P. Fermat ( ) postavio je hipotezu da su svi brojevi oblika n djeljivi samo s i sa samim sobom. +, za svaki n N On je to zaključio izračunavanjem gornjeg izraza uvrštavajući za n redom brojeve,, 3 i 4 te dobio brojeve 3, 5, 7 i 57. Nakon toga odlučio je svoju slutnju provjeriti još za 5 i dobio broj , a to je takoñer broj djeljiv samo s i sa samim sobom. Nakon toga obznanio je zaključak da su svi brojevi koji se dobiju ovom formulom djeljivi samo s i sa samim sobom. 9

30 Da je Fermat živio u sadašnjem vremenu, on tu hipotezu sigurno ne bi objavio. Jednostavnim računskim programom ispitao bi što se dogaña za prirodne brojeve veće od 5. Odmah za 6 bi dobio da je 5 = , a taj broj je, osim s i sa samim sobom, djeljiv još i s 64. Prošlo je stotinjak godina od Fermatove hipoteze, kad je u XVIII. stoljeću švicarski matematičar Euler pronašao kontraprimjer za Fermatovu hipotezu. Neiskusan istraživač ili učenik mogao bi Fermatu prigovoriti da je hipoptezu donio na osnovi premalog broja slučajeva. No, pitamo se, postoji li uopće, i ako postoji, koji je to optimalan broj pojedinačnih slučajeva nakon kojeg možemo sa sigurnošću zaključivati nepotpunom indukcijom? 3 Da bi dokazali da neki zaključak vrijedi za sve prirodne brojeve koristimo se metodom dokazivanja koju zovemo matematička indukcija. Princip matematičke indukcije zasniva se na 5. Peanovom aksiomu. Kada želimo dokazati da neka formula ili svojstvo P(n) vrijedi za sve n N, uzimamo da je skup M skup svih n N za koje vrijedi P(n), pa ako dokažemo da je M i n M n+ M, onda prema principu matematičke indukcije zaključujemo da je M = N, tj. da P(n) vrijedi za svako n N. Primjer. Dokažimo da za svaki n N vrijedi tvrdnja n( n+) P(n): n = Dokaz ćemo provesti u dva dijela koje zovemo baza indukcije i korak indukcije.. Baza indukcije P() je točno, jer je za n = = (+ ) = =. Možemo dalje provjeriti vrijedi li navedeni izraz za n = i n = 3. Vidimo da i za njih vrijedi. Ako ovako nastavimo, hoćemo li ikada doći do cilja? Ne, jer prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo. Zato ćemo prijeći na drugi dio dokaza. 3 Pavleković, M., Metodika nastave matematike s informatikom I, Element, Zagreb,

31 . Korak indukcije Pretpostavimo da je P(n) točno pa pokušajmo dokazati P(n+). U tu svrhu izmijenimo tvrdnju P(n) tako da dodamo još jedan član reda na lijevoj strani tvrdnje, a na desnoj umjesto n uvrstimo (n+) n + (n+) = [( ) ] ( n+ ) n+ +. Na lijevoj strani n možemo zamijeniti s točno. Dobivamo da je n( n+) + (n+) = [( ) ] ( n+ ) n+ +. n( n+), jer smo pretpostavili da je P(n) Uredimo lijevu i desnu stranu jednadžbe. n ( n+ ) + ( n+ ) ( n+ )[ n+ + ] ( n+ )( n+ ) ( n+ )( n+ ) = =. One su jednake te smo dokazali da P(n) P(n+). Možemo zaključiti da tvrdnja P(n) vrijedi za sve n N. Primjer. Dokažimo da je razlika n - n djeljiva s za svaki n N. P(n): ( n - n ) M Dokaz:. Baza indukcije P() je točno, jer je za n =. Korak indukcije ( -)M ( )M 0M Pretpostavimo da je P(n) točno pa pokušajmo dokazati P(n+). U tu svrhu izmijenimo tvrdnju P(n) tako da umjesto n u izraz P(n) uvrstimo (n+). [( n + ) ( ) ] n+ M 3

32 ( n n) [( n + n+ ) ( n+ ) ] [ n + n+ n ] M [( n n) + n] M M je djeljivo s zbog pretpostavke da je za P(n) tvrdnja točna, a drugi pribrojnik n je takoñer djeljiv s, pa je i njihov zbroj djeljiv s. Vidimo da P(n) P(n+). Zaključujemo da tvrdnja P(n) vrijedi za sve n N Zbrajanje i množenje prirodnih brojeva Zbrajanje prirodnih brojeva Funkcija f: NxN N definirana ovako: a+ = a +, a+ b + = (a+b) + zove se zbrajanje u N. Broj a+b je zbroj brojeva a i b. Na primjer, + = + =, + = + = 3 Općenito vrijedi + = + + = (+) + = 3 + = 4 +3 = + + = (+) + = 4 + = 5 a+ = a +, a+b + = (a+b) + a+ = (a+) + a+3 = (a+) + Riječima: a+ je sljedbenik od a, a+ je sljedbenik od a+, a+3 je sljedbenik od a+,, a+b + je sljedbenik od a+b. Ovdje je zbrajanje definirano induktivno (od posebnog ka općem). Teorem. Za zbrajanje prirodnih brojeva vrijede zakoni:. Zakon zatvorenosti: Ako su a, b N, tada je i a+b N.. Zakon asocijacije: Ako su a, b, c elementi iz N, tada je (a+b)+c = a+(b+c). 3. Zakon komutacije: Ako su a, b elementi iz N, tada je a+b = b+a. 4. Zakon kancelacije (kraćenja): Ako je a+c = b+c, tada je a = b. 3

33 Dokaz. 5. Zakon trihotomije: Za svaka dva elementa a, b iz N vrijedi jedna i samo jedna od ove tri izjave: a = b, a < b, a > b.. Najprije pokažimo da taj zakon vrijedi za b =, tj. da je (a+) N za svaki a N. Možemo pisati: a+ = a + (definicija zbrajanja) a + N (. Peanov aksiom) Sada ćemo pokazati da je (a+b + ) N ako je (a+b) N. a+b N (a+b) + N (a+b + ) N (pretpostavka) (. Peanov aksiom) (definicija zbrajanja) Na temelju 5. Peanovog aksioma pokazali smo da je a+b N za b = i a+b + N ako je a+b N te zaključujemo da je a+b N i za svaki b N.. Najprije ćemo pokazati da tvrdnja a+(b+c) = (a+b)+c vrijedi za c= i za sve a, b N. Možemo pisati a+(b+) = a+ b + = (a+ b) + (definicija zbrajanja) = (a+b)+ (definicija zbrajanja). Pokažimo sada da vrijedi a+(b+ c + )=(a+b)+ c + uz pretpostavku a+(b+c) = (a+b)+c. a+(b+ c + ) = a+(b+ c) + (definicija zbrajanja) = (a+(b+c)) + (definicija zbrajanja) = ((a+b)+c) + (po pretpostavci) = (a+b)+c + (definicija zbrajanja). 3. Najprije ćemo pokazati da tvrdnja a+b = b+a vrijedi za b = i za svako a N, a+ = +a. Za a =, + = +, vrijedi. Dokažimo da vrijedi i za a+ ako vrijedi za a. Time će biti dokazano da vrijedi za a N. a+ = +a (pretpostavka) 33

34 a + + = (a+)+ (definicija zbrajanja) = (+a)+ (pretpostavka) = +(a+) (zakon asocijacije) = + a + (definicija zbrajanja) Dokažimo da je tvrdnja valjana za sve a, b N. U tu svrhu dovoljno je pokazati da je ona valjana i za b+ ako je valjana za b (jer smo pokazali da je ona valjana za svaki a N i b=). a+b = b+a a+b + = a+(b+) (pretpostavka) (definicija zbrajanja) = (a+b)+ (zakon asocijacije) = (b+a)+ (pretpostavka) = b+(a+) (zakon asocijacije) = b+(+a) (a+=+a) = (b+)+a (zakon asocijacije) = b + +a (definicija zbrajanja) 4. Treba dokazati da iz a+c = b+c slijedi da je a = b. Za c= a+ = b+ (pretpostavka) a + = b + a = b (definicija zbrajanja) (4. Peanov aksiom) Zaključujemo da iz a+ = b+ slijedi da je a = b. Ostaje nam da pokažemo da iz a+ c + = b+ c + slijedi da je a = b, uz pretpostavku da iz a+c = b+c slijedi da je a = b. a+ c + = b+ c + (pretpostavka) (a+ c) + = (b+ c) + a+c = b+c (definicija zbrajanja) (4. Peanov aksiom). 34

35 5. Ako je a = b, tada za b = dobivamo da je a =, pa tvrdnja vrijedi (=). Uz pretpostavku da je a = b vrijedi i tvrdnja a + = b+ ili a + = b + u skladu s 4. Peanovim aksiomom. Ako je a < b, postoji c iz N tako da je a+c = b. (*) Najprije moramo dokazati da je a+c a, za sve a,c N. Za a = i bilo koji c N to je točno, jer je +c = ili c + = suprotno 3. Peanovom aksiomu. Za a + a + + c a +, pod pretpostavkom da je a+c a. Neka je a + + c = a + (a + c) + = a + (definicija zbrajanja) a + c = a (4. Peanov aksiom). Zadnja tvrdnja je suprotna pretpostavci da je a+c a, pa je i a + + c a +. Time smo dokazali da je a+c a za sve a,c iz N. Sada možemo pristupiti dokazivanju početne tvrdnje (*). Za c =, a + = b a + = b (definicija zbrajanja) Potrebno je dokazati da ako je (i samo ako je) b, tada postoji jedan i samo jedan a iz N tako da je a + = b. Kada bi b bio jednak, a + =, a to nije u skladu s 3. Peanovim aksiomom pa je b. Iz. Peanovog aksioma slijedi da je svaki prirodni broj b sljedbenik jednog i samo jednog prirodnog broja a, tj. b = a +. Vratimo se početnoj tvrdnji (*) i dokažimo da ona vrijedi za c +. a + c + = b + a + c + = b + (definicija zbrajanja) (a + c) + = b + (definicija zbrajanja) a + c = b. (4. Peanov aksiom) Time smo dokazali da postoji c iz N tako da je a + c = b. Dokaz za a > b analogan je prethodnom dokazu pa ćemo ga izostaviti. 35

36 4.3.. Množenje prirodnih brojeva Funkcija f : NxN N definirana ovako a = a, a b + = a b + a zove se množenje u N. Broj a b zove se produkt ili umnožak brojeva a i b te piše ab. Na primjer: 3 = 3 3 = 3 + = = 3 +3 = = 3 + = = 6 +3 = = = = 9 +3 = Općenito vrijedi a = a a = a + a a 3 = a + a a 4 = a 3 + a. a b + = a b + a Ovdje je množenje definirano induktivno. Teorem. Za množenje prirodnih brojeva vrijede zakoni:. Zakon zatvorenosti: Ako su a i b elementi iz N, tada je i ab element N.. Zakon distribucije: Množenje u N je distributivno prema zbrajanju u N, tj. za svaku trojku a, b, c N vrijedi a (b+c) = ab +ac 3. Zakon asocijacije: Ako su a, b, c N, tada je (ab) c = a (bc) 4. Zakon komutacije: Za sve a, b N vrijedi ab = ba 5. Zakon kancelacije: Ako su a, b, c N i vrijedi da je ac = bc, tada je a = b. Dokaz.. Najprije pokažimo da je ab N za svaki a N i b =. 36

37 a = a a N (definicija množenja) (jer je a = a N). Pokažimo da je sada i ab + N ako je ab N. ab N ab + a N ab + N (pretpostavka) (zatvorenost zbrajanja) ( definicija množenja) Zaključujemo da je ab N za svaki a, b N.. a (b+c) = ab + ac, za sve a, b, c N. (*) Za c = i a,b N vrijedi a (b+) = ab + (definicija zbrajanja) = ab + a (definicija množenja) = ab + a (definicija množenja) Pokažimo da vrijedi a (b + c + ) = ab +a c + ako vrijedi (*). a (b + c + ) = a (b + c) + ( definicija zbrajanja) = a (b+c) + a (definicija množenja) = ab+ac+a (pretpostavka) = ab + (ac+a) (zakon asocijacije) = ab + ac + (definicija množenja). 3. (ab) c = a (bc), za sve a, b, c N. (*) Za c = i a, b N vrijedi (ab) = ab (definicija množenja) = a (b ) (definicija množenja) Pokažimo da vrijedi (a b) c + = a (b c + ) ako vrijedi (*). (a b) c + = (a b) c + a b (definicija množenja) = a (b c) +a b (pretpostavka) 37

38 = a ( b c + b) (zakon distribucije) = a ( b c + ) (definicija množenja). 4. a b = b a, a, b N. Za b = i a N tvrdnja glasi a = a. Lijeva strana a = a po definiciji množenja. Treba dokazati da je a = a. Za a =, = i tvrdnja vrijedi. Pokažimo da vrijedi i za a + uz pretpostavku da je a = a. a + = a + a + = (a + ) (definicija zbrajanja) = a + (zakon distribucije) = a + (pretpostavka a = a) = a + Treba još pokazati da tvrdnja vrijedi za b + uz pretpostavku da je ab = ba. a b + = b + a a b + = a (b + ) (definicija zbrajanja) = ab + a (zakon distribucije) = ba + a (pretpostavka ab = ba) = b + a, (jer je b + a = (b + ) a = ba + a ). 5. Iz ac = bc slijedi da je a = b. Za c = i a,b N. a = b a = b (definicija množenja) Dokažimo još da tvrdnja vrijedi za c + uz pretpostavku da vrijedi za c. ac + = bc + 38

39 a (c + ) = b (c + ) ac + a = bc + b a + ac = b + bc a + ac = b + ac a = b (definicija zbrajanja) (zakon distribucije) (zakon komutacije za zbrajanje) (pretpostavka ac = bc) (zakon kancelacije za zbrajanje) Brojevni sustavi Zapis prirodnog broja Za nulu i prvih devet prirodnih brojeva uvedene su oznake 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Svaki prirodni broj zapisujemo u obliku a n 0 n + a n 0 n + + a 0 + a 0 + a 0, pri čemu su a n, a n,, a, a, a 0 elementi skupa {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Da bi se skratilo pisanje prirodnih brojeva dogovoreno je da se taj zbroj kraće piše a n a n a a a 0. Ovo je pozicijski zapis u dekadskom sustavu. Na primjer, = Brojevni sustavi Zapis broja ne smijemo poistovjetiti sa samim brojem, jer se isti broj može zapisati na različite načine. Rimljani su koristili slova I, V, X, L, C, D, M za, 5, 0, 50, 00, 500, 000. Primjer. 996 MCMXCVI Primjer. 886 MDCCCLXXXVI Zadaci za vježbu: a) Zapišite godinu vašeg roñenja rimskim brojem. b) Zapišite rimskim brojem. Ovaj način je pogodan za zapis prirodnog broja, ali ne i za računanje. Slovima su se bilježili brojevi i u glagoljici. 39

40 Zapis broja u sustavu s bazom b Za bazu brojevnog sustava možemo uzeti bilo koji prirodni broj veći od. Neka je b > i b N. Prirodni broj x zapisan u pozicijskom sustavu s bazom b je x = a n a n a a a 0 (b) = a n b n + a n b n + + a b + a b + a 0. Znamenke a n, a n,, a, a, a 0 su brojevi iz skupa {0,,, 3,, b - }. Indeks (b) označava bazu u kojoj je zapisan broj. Na primjer, 56 ( 8) = = = 74 ( 0) Broj znamenaka, imena brojeva i postupak brojenja ovise o bazi brojevnog sustava. Tako za brojenje u sustavu s bazom 4 koristimo ove brojeve:,, 3, 0,,, 3, 0,,, 3, 30, 3, 3, 33, 00, 0, Kako se čitaju ti brojevi? Npr. 00 se čita -0-0 ali i sto. U oktalnom sustavu, b = 8, znamenke su {0,,, 3, 4, 5, 6, 7}. Brojeve čitamo kao u dekadskom. U binarnom sustavu, b =, znamenke su {0, }. Čitamo znamenku po znamenku. 9 = 00 ( ). U heksadekadskom, b = 6, znamenke su {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}. Čitamo znamenku po znamenku. A 6) ( = 0, B ( 6) =, C ( 6) =, D ( 6) = 3, E ( 6) = 4, F ( 6) = 5 D ( 6) = = = 45 E3 8 ( 6) = = Najvažnije su binomna i heksadekadska baza jer se one koriste u računalima. Jedna znamenka heksadekadskog sustava odgovara točno četirima znamenkama binarnog sustava. To je zato jer je 6 = 4. 40

41 Odnos brojeva u ova dva sustava je (6) () (6) () (6) () (6) () 0 = 0 4 = 00 8 = 000 C = 00 = 5 = 0 9 = 00 D = 0 = 0 6 = 0 A = 00 E = 0 3 = 7 = B = 0 F = Primjer. 4E9 ( 6) = ( ) Primjer ( ) = 6BEB ( 6) Slična veza postoji i izmeñu binarnog i oktalnog zapisa brojeva (8) () (8) () 0 = 0 4 = 00 = 5 = 0 = 0 6 = 0 3 = 7 = Primjer. 7 ( 8) = 0 ( ) Primjer ( ) = 67 ( 8) Primjer 3. 3BD8 ( 6) = ( ) = ( ) =35730 ( 8) Zadaci za vježbu. 34 ( 8) = ( ) ( ) = ( 8) 3. 8EC ( 6) = ( ) = ( ) = ( 8) 4

42 Prijelaz iz dekadskog sustava u sustav neke druge baze Primjer. 38 pretvoriti u zapis po bazi 8. 8 = 8, 8 = 64, 8 3 = 5, 38 = = 356 ( 8) Uočimo da je 38 : 64 = 3 i ostatak 46, 46 : 8 = 5 i ostatak je 6, ili 38 : 8 = 9 i ostatak je 6, 9 : 8 = 3 i ostatak je 5. To možemo izraziti : 38 = , 9 = , pa je 38 = ( ) = Na navedenom postupku se temelji algoritam pomoću kojeg lako prevedemo broj iz baze 0 u neku drugu bazu. Napomenimo da je algoritam svaki matematički postupak koji se izvodi po strogo odreñenim pravilima. ALGORITAM Zadani broj x iz dekadske baze treba prevesti u bazu b. U tu svrhu dijelimo x s b, a zatim nastavljamo s dijeljenjem redom svih dobivenih kvocijenta brojem b, sve dok kvocijent ne bude manji od b. x = q b + a 0 q = q b + a q = q 3 b + a. 0 a 0 < b 0 a < b 0 a < b. n = q n b + a n 0 a n < b q q n = 0 b + a n 0 a n < b 4

43 x možemo prikazati pomoću dobivenih kvocijenata i ostataka ovako: x = q b + a 0 = (q b + a )b + a 0 = q b + a b + a 0 = (q 3 b + a ) b + a b + a 0 = q 3 b 3 + a b + a b + a 0 = a n b n + a n b n + + a b + a 0 = a n a n a a a 0 (b) Postupak zapisujemo u obliku tablice. x q q q n q n a 0 a a a n a n Primjer. Prevesti broj iz dekadskog u oktalni sustav. Poslužimo se algoritmom. U prvi redak prvog stupca upisujemo bazu 8. U prvi redak drugog stupca upisujemo broj 4368, tj. broj koji treba prevesti u novu bazu. Podijelimo 4368 s 8. Rezultat je i ostatak. Rezultat zapisujemo na vrh slijedećeg stupca, a u zadnji redak drugog stupca ispod broja 43 68, upisujemo dobiveni ostatak. U srednjem retku su ostaci i spuštene znamenke za provedeno dijeljenje. Postupak nastavljamo dijeljenjem broja s 8. Rezultat 3807 zapisujemo u prvi redak slijedećeg stupca, a ostatak 4 u treći redak trećeg stupca ispod broja Dijeljenjem broja 3807 s 8 dobivamo broj 475 i ostatak 7 te ih zapisujemo na isti način. Postupak nastavljamo dok ne doñemo do zadnjeg ostatka, a to je

44 Da bi došli do zadnjeg ostatka morali smo zadani broj dijeliti pet puta s 8. Zato je taj broj u novom zapisu na prvom mjestu. Iza njega je ostatak 3 kojeg smo dobili u četvrtom dijeljenju. Slijedi ostatak koji smo dobili u trećem dijeljenju, a to je opet 3, itd = (8) = ( 8) Zadatak za vježbu Prevedite broj 5 37 iz dekadskog u heksadekadski sustav Prijelaz u dekadski sustav 457 ( 8) = = = ( )= = ( ( )) = = ( ) = = = = 59 Gornji postupak možemo zapisati u tablicu pri čemu su u prvom redu znamenke zadanog broja, a u drugom redu baza, zatim prva znamenka broja iza čega slijede izrazi izraženi u zagradama u prije provedenom izračunu Ovaj se postupak naziva HORNEROV ALGORITAM. Njegova je karakteristika da se do rezultata može doći samo pomoću zbrajanja i množenja, a ne i potenciranja. Opišimo taj postupak općenito: a n a n a a 0 b c n = a n c n = c n b+ a n c =c b+ a c 0 = c b+ a 0 Broj c 0 predstavlja traženi rezultat, jer je 44

45 c 0 = c b+ a 0 = (c b + a ) b + a 0 = c b + a b + a 0 = (c 3 b + a ) b + a b + a 0 = c 3 b 3 + a b + a b + a 0 = c n b n + c n b = (c n b+ a n ) b n + c = a n b n + a n b Zadatak za vježbu n + + a b + a 0 n + c n b n b n + + a b + a 0 n + + a b + a 0. Prevedite u dekadski sustav broj A09E ( 6) koristeći Hornerov algoritam Djeljivost brojeva Definicija djeljivosti Za broj a N kažemo da je djeljiv brojem b N i pišemo amb onda i samo onda ako postoji prirodni broj c tako da bude a = bc. Za broj b kažemo u tom slučaju da je mjera ili divizor ili djelitelj broja a, a za broj a da je višekratnik ili multiplum broja b. Na primjer, 5M3 jer postoji broj 5 N, tako da je 5 = 3 5. Po ovoj definiciji svaki je prirodan broj djeljiv s i sa samim sobom. Ako je a djeljivo s b (amb), onda je b divizor od a (b a). Primjer. Odredite sve mjere broja 45. Rješenje: 45 = 45, 45 = 5 3, 45 = 9 5. Mjere broja 45 su: 45, 5, 9, 5, 3 i. Zadaci za vježbu:. Odredite sve mjere broja 75.. Odredite sve mjere broja Prosti i složeni brojevi Prirodni broj veći od koji je djeljiv samo s i samim sobom zove se prost ili prim broj. Prirodni brojevi veći od, koji nisu prosti, zovu se složeni brojevi. 45

46 Prema tome prirodni brojevi dijele se u tri klase: broj, prosti brojevi i složeni brojevi. nije ni prost ni složen broj. Definiciju djeljivosti možemo proširiti i na brojeve skupa N 0 i reći da je 0 djeljiva svakim prirodnim brojem, jer je 0 = a 0. Ipak, nula nije ni prost ni složen broj. Koliko ima prostih brojeva? Teorem. Prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Dokaz. Koristit ćemo indirektan put dokazivanja. Pretpostavimo da prostih brojeva ima konačno mnogo i pokažimo da ta pretpostavka nije održiva. Zaključujemo ovako: Ako prostih brojeva ima konačno mnogo, meñu njima postoji jedan koji je najveći. Označimo ga s p. Promotrimo broj ( 3 5 p) +, gdje je broj u zagradi jednak produktu svih prostih brojeva. Broj ( 3 5 p) + veći je (po pretpostavci) od svakog prostog broja i po pretpostavci nije prost. Onda je složen (po definiciji složenih brojeva). Ali nije ni složen, jer nije djeljiv ni jednim prostim brojem od navedenih koji su po pretpostavci jedini prosti brojevi. Naime, ako ga podijelimo bilo kojim od brojeva, 3, 5,, p ostatak će biti. Zaključak je jasan: takav broj p (najveći prost broj) ne postoji, tj. skup prostih brojeva je beskonačan Eratostenovo sito Eratostenovo sito je postupak pomoću kojeg se mogu naći svi prosti brojevi koji nisu veći od danog broja n. Ispišimo sve prirodne brojeve od do n. Poñemo od broja i precrtamo svaki drugi broj iza njega. Onda poñemo od broja 3 i precrtamo svaki treći broj iza njega, pri čemu se broje i već precrtani brojevi. Zatim od broja 5 precrtamo svaki peti broj koji dolazi iza njega, itd. Kad doñemo do prostog broja p čiji je kvadrat veći od n, zadatak je riješen. Neprecrtani brojevi su svi prosti brojevi koji nisu veći od n. Zadatak za vježbu Nañite sve proste brojeve do

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b. 1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv

3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.. djeljivost 65. Dokaži da je produkt tri uzastopna broja, od kojih je srednji kub prirodnog broja, djeljiv s 504. 652. Ako su a, b cijeli brojevi, dokaži da je broj ab(a

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Osnovna razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Osnovna razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Osnovna razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Osnovna razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

1. Skup kompleksnih brojeva

1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima

1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Predstavljanje funkcija

Funkcije. Predstavljanje funkcija Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

1. Skupovi Algebra skupova

1. Skupovi Algebra skupova 1. Skupovi 1.1. Algebra skupova Temeljne definicije i oznake. Pod pojmom skupa razumijevamo bilo koju množinu elemenata. Npr.: (a) skup svih prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,...} ; (b) skup svih cijelih

Διαβάστε περισσότερα

U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.

U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede

Διαβάστε περισσότερα

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije 3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

Prosti brojevi. Uvod

Prosti brojevi. Uvod MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I i II. Tin Perkov. ak. god. 2017/18.

Matematika I i II. Tin Perkov. ak. god. 2017/18. Matematika I i II Tin Perkov ak. god. 2017/18. Uvodne informacije e-mail: tin.perkov@ufzg.hr internet-stranica kolegija: https://sites.google.com/site/tinperkov/matematika nastava: predavanja i seminari

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα