Νευρωνικά Δίκτυα. Σημερινό Μάθημα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Νευρωνικά Δίκτυα. Σημερινό Μάθημα"

Transcript

1 Νευρωνικά Δίκτυα Σημερινό Μάθημα Από τα Βιολογικά Νευρωνικά Δίκτυα στα Τεχνητά Επιβλεπόμενη Μάθηση Μη επιβλεπόμενη Μάθηση 1

2 Νευρωνικά Δίκτυα (Ν.Δ) Τα Τεχνητά Νευρωνικά ίκτυα (ΤΝ ) αποτελούν μια προσπάθεια προσέγγισης της λειτουργίας του ανθρώπινου εγκεφάλου Η αρχιτεκτονική τους βασίζεται στην αρχιτεκτονική των Βιολογικών Νευρωνικών ικτύων. Τα Νευρωνικά Δίκτυα (Ν.Δ.) εκπαιδεύονται με τη βοήθεια παραδειγμάτων, έτσι ώστε να μαθαίνουν το περιβάλλον τους. Υπάρχουν πολλές κατηγορίες Ν.., ανάλογα με την αρχιτεκτονική τους και τον τρόπο εκπαίδευσής τους. Από τα Βιολογικά Νευρωνικά Δίκτυα στα Τεχνητά Η μελέτη των τεχνητών νευρωνικών δικτύων, υποκινήθηκε από την αναγνώριση ότι οι «εγκεφαλικοί υπολογιστές» είναι διαφορετικοί από τους ψηφιακούς υπολογιστές. Τυπικά οι νευρώνες του εγκεφάλου είναι 5 6 τάξεις μεγέθους αργότεροι από τις λογικές πύλες σιλικόνης. Ο εγκέφαλος είναι ένας πολύπλοκος, μηγραμμικός και παράλληλος λ υπολογιστής. Ο εγκέφαλος οργανώνει τους νευρώνες ώστε να εκτελεί συγκεκριμένους υπολογισμούς πιο γρήγορα από τους πιο γρήγορους ψηφιακούς υπολογιστές 2

3 Από τα Βιολογικά Νευρωνικά Δίκτυα στα Τεχνητά Κατά τη γέννησή του ο εγκέφαλος κατασκευάζει τους δικούς του κανόνες, εμπειρία, η οποία μεγαλώνει με την πάροδο του χρόνου. Κατά τα 2 πρώτα χρόνια ζωής, έχουμε τη μέγιστη ανάπτυξη, όπου δημιουργούνται περίπου 1 εκατομμύριο συνάψεις (synapses) (y ape) στο δευτερόλεπτο. Οι συνάψεις είναι οι βασικές δομικές και λειτουργικές μονάδες που μεσολαβούν στην ενδοεπικοινωνία των νευρώνων. Από τα Βιολογικά Νευρωνικά Δίκτυα στα Τεχνητά Η κατανάλωση ενέργειας στον εγκέφαλο είναι 20 Watt,ενώ ένας υπολογιστής χρειάζεται χιλιάδες Watt. 3

4 Από τα Βιολογικά Νευρωνικά Δίκτυα στα Τεχνητά Οι συνδέσεις των νευρώνων, με τους άξονες και τους δενδρίτες, ονομάζονται συνάψεις. Από τα Βιολογικά Νευρωνικά Δίκτυα στα Τεχνητά Ένα Τ.Ν.Δ. μοιάζει με τον εγκέφαλο ξή στα εξής: Η γνώση αποκτάται από το δίκτυο μέσα από διαδικασία μάθησης. Οι δυνάμεις σύνδεσης των νευρώνων, γνωστές σαν συναπτικά (synaptic) βάρη, χρησιμοποιούνται για την αποθήκευση γνώσης. 4

5 Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (ΤΝΔ) vs Βιολογικών Τα ΤΝ έχουν μόλις ξεπεράσει το σκουλήκι Νευρωνικά Δίκτυα νευρώνας Τα ΤΝ είναι μια συλλογή από νευρώνες (Processing Units PUs) που συνδέονται μεταξύ τους Κάθε νευρώνας έχει πολλές εισόδους αλλά μόνο μία έξοδο η οποία αποτελεί είσοδο για άλλους νευρώνες H συνδέσεις διαφέρουν ως προς τη σημαντικότητά τους που προσδιορίζεται από το συντελεστή βάρους (σύναψη). Η επεξεργασία κάθε νευρώνα καθορίζεται από τη συνάρτηση μεταφοράς, η οποία καθορίζει την κάθε έξοδο σε σχέση με τις εισόδους και τους συντελεστές βάρους. 5

6 Νευρώνας Κάθε σήμα συνδέεται με την τιμή βάρους. Ένα βάρος μας λέει πόσο σημαντική είναι η συνεισφορά του συγκεκριμένου σήματος Σε κάθε νευρώνα καταφθάνει ένας αριθμός σημάτων, ως είσοδος. έχει μία μόνο έξοδο, συνάρτηση των σημάτων εισόδου Tα Ν.Δ. σαν κατευθυνόμενoι γράφοι Απλοποιούμε την εμφάνιση των μοντέλων των νευρώνων, χρησιμοποιώντας την ιδέα των γράφων ροής σημάτων. Ένας γράφος ροής σημάτων, είναι ένα δίκτυο με κατευθυνόμενα κλαδιά, που συνδέονται σε συγκεκριμένα σημεία τους κόμβους. Ένας τυπικός κόμβος j σχετίζεται με ένα σήμα κόμβου x j. 6

7 Tα Ν.Δ. σαν κατευθυνόμενoι γράφοι ΚΑΝΟΝΑΣ 1. Ένα σήμα ρέει κατά μήκος της σύνδεσης μόνο στην κατεύθυνση που ορίζεται από το βέλος. Υπάρχουν 2 τύποι σύνδεσης: 1. Συναπτικές συνδέσεις, όπου το σήμα x j πολλαπλασιάζεται με το βάρος w κj για να παράγει το σήμα y κ. 2. Συνδέσεις ενεργοποίησης, που περιγράφει μια συνάρτηση φ(. ), που δεν είναι γραμμική. Tα Ν.Δ. σαν κατευθυνόμενoι γράφοι ΚΑΝΟΝΑΣ 2. Το σήμα κόμβου, ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα όλων των σημάτων που φτάνουν στον κόμβο. 7

8 Tα Ν.Δ. σαν κατευθυνόμενoι γράφοι ΚΑΝΟΝΑΣ 3. Το σήμα σε έναν κόμβο μεταβιβάζεται σε κάθε εξερχόμενη σύνδεση που ξεκινά από αυτόν, με την μεταβίβαση να είναι ανεξάρτητη από τις συναρτήσεις μεταφοράς των εξερχόμενων συνδέσεων. Tα Ν.Δ. σαν κατευθυνόμενoι γράφοι 8

9 Tα Ν.Δ. σαν κατευθυνόμενoι γράφοι Ένα νευρωνικό δίκτυο είναι ένας κατευθυνόμενος γράφος, που αποτελείται από κόμβους με συναπτικές διασυνδέσεις και συνδέσεις ενεργοποίησης και έχει τις ιδιότητες : Κάθε νευρώνας, παριστάνεται από ένα σύνολο γραμμικών συναπτικών συνδέσεων, ένα εξωτερικά εφαρμοζόμενο κατώφλι και μια μη γραμμική σύνδεση ενεργοποίησης. Το κατώφλι παριστάνεται από συναπτικές συνδέσεις με σήμα εισόδου τιμής 1. Οι συναπτικές συνδέσεις ενός νευρώνα ζυγίζουν τα αντίστοιχα σήματα εισόδου. Το άθροισμα των βαρών των σημάτων εισόδου καθορίζει το συνολικό εσωτερικό επίπεδο ενεργοποίησης του νευρώνα που ζητείται. Η σύνδεση ενεργοποίησης συνθλίβει (περιορίζει) το εσωτερικό επίπεδο ενεργοποίησης, για την παραγωγή της εξόδου που παριστάνει την κατάσταση του νευρώνα. Tα Ν.Δ. σαν κατευθυνόμενoι γράφοι Υπάρχουν μερικώς ολοκληρωμένοι κατευθυνόμενοι γράφοι που είναι γνωστοί σαν αρχιτεκτονικοί γράφοι. Τόσο στους κατευθυνόμενους όσο και τους αρχιτεκτονικούς γράφους, οι κόμβοι που παριστάνονται με τετράγωνο, δεν πραγματοποιούν καμία λειτουργία. 9

10 Αρχιτεκτονικές των Νευρωνικών Δικτύων Ο τρόπος με τον οποίο οι νευρώνες ενός νευρωνικού δικτύου δομούνται, είναι στενά συνδεδεμένος με τον αλγόριθμο εκμάθησης για την εκπαίδευση του δικτύου. Σαν εμπρός τροφοδότησης, αναφέρονται τα δίκτυα, στα οποία τα σήματα κατευθύνονται από την είσοδο στην έξοδο. Όταν οι έξοδοι κάποιων νευρώνων, γίνονται είσοδοι σε νευρώνες προηγούμενων επιπέδων, τότε έχουμε ανάδραση. Διακρίνουμε 4 διαφορετικές κλάσεις αρχιτεκτονικών δομών. Ενός επιπέδου Εμπρός Τροφοδότησης Δίκτυα Οι νευρώνες είναι οργανωμένοι σε μορφή επιπέδων. Οι νευρώνες του πηγαίου επιπέδου δείχνουν στους νευρώνες του επόμενου επιπέδου αλλά όχι αντίστροφα. 10

11 Πολλαπλών Επιπέδων Εμπρός Τροφοδότησης Δίκτυα Εδώ έχουμε περισσότερα του ενός κρυφά επίπεδα, των οποίων οι κόμβοι υπολογισμού ονομάζονται κρυφοί νευρώνες. Τυπικά, οι νευρώνες σε κάθε επίπεδο έχουν σαν εισόδους τα σήματα εξόδου του προηγούμενου μόνο επιπέδου. Ένα τέτοιο δίκτυο περιγράφεται συνοπτικά με το συμβολισμό Πολλαπλών Επιπέδων Εμπρός Τροφοδότησης Δίκτυα Input Layer Hidden Layers Output Layer 11

12 Αναδρομικά Δίκτυα Έχουν ένα τουλάχιστον βρόχο ανάδρασης. Input Hidden Output Layer Layers Layer Αναδρομικά Δίκτυα Δίκτυο Hopfield Το δίκτυο Hopfield είναι μια μη γραμμική συσχετιστική μνήμη ή μνήμη διευθυνσιοδοτούμενη από τα περιεχόμενα. Η κύρια λειτουργία μιας τέτοιας μνήμης είναι η ανάκτηση ενός προτύπου, που έχει αποθηκευθεί σε αυτήν. 12

13 Δικτυωτές Δομές Ένα πλέγμα, αποτελείται από έναν πίνακα μιας, δύο ή μεγαλύτερης διάστασης από νευρώνες, με ένα αντίστοιχο σύνολο από πηγαίους κόμβους, που παρέχουν τα σήματα εισόδου στον πίνακα. Επιβλεπόμενη Μάθηση 13

14 Νευρωνικά Δίκτυα Εκπαίδευση Για να χρησιμοποιηθεί ένα ΤΝ πρέπει πρώτα να εκπαιδευτεί Η μάθηση συνίσταται στον προσδιορισμό των κατάλληλων συντελεστών βάρους Η μάθηση πραγματοποιείται με τη βοήθεια αλγορίθμων που είναι γνωστοίωςκανόνεςμάθησηςή ως αλγόριθμοι εκπαίδευσης. Με τη μάθηση τα Ν.. μαθαίνουν το περιβάλλον τους Στοιχεία της Θεωρίας Μάθησης Το ΝΔ έχει την ικανότητα να μαθαίνει από το περιβάλλον του και να βελτιώνει την απόδοσή του μέσω της μάθησης. Η βελτίωση γίνεται σταδιακά, σύμφωνα με κάποιο καθορισμένο μέτρο. Η μάθηση επιτυγχάνεται μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας ρυθμίσεων της τιμής των συναπτικών βαρών και των κατωφλίων. Το δίκτυο αποκτά περισσότερη γνώση μετά από κάθε επανάληψη. 14

15 Στοιχεία της Θεωρίας Μάθησης Σύμφωνα με τους Mendel και McClaren, με σημείο αναφοράς τα νευρωνικά δίκτυα: Mάθηση είναι μια διαδικασία με την οποία προσαρμόζονται oι ελεύθερες παράμετροι ενός νευρωνικού δικτύου μέσω μίας συνεχούς διαδικασίας διέγερσης από το περιβάλλον στο οποίο βρίσκεται το δίκτυο. Το είδος της μάθησης καθορίζεται από τον τρόπο με τον οποίο πραγματοποιούνται oι αλλαγές των παραμέτρων. Στοιχεία της Θεωρίας Μάθησης Ο ορισμός της διαδικασίας μάθησης υπονοεί την ακόλουθη σειρά βημάτων: 1. Tο νευρωνικό δίκτυο ʺδιεγείρεταιʺ από ένα περιβάλλον. 2. Το νευρωνικό δίκτυο υφίσταται αλλαγές σαν συνέπεια αυτής της διέγερσης. 3. Το νευρωνικό δίκτυο ʺαπαντάʺ με ένα καινούργιο τρόπο στο περιβάλλον, λόγω των αλλαγών που συνέβησαν στην εσωτερική του δομή. 15

16 Παράδειγμα Tη χρονική στιγμή n γίνεται μια ρύθμιση (διόρθωση) στο βάρος: w ( n + 1) = w ( n) + Δw ( n) kj kj kj H ρύθμιση υπολογίζεται σαν αποτέλεσμα της διέγερσης από το περιβάλλον (βήμα 1) H ενημερωμένη τιμή εκφράζει την αλλαγή που συνέβη στο δίκτυο εξαιτίας της διέγερσης (βήμα 2). Το βήμα 3 πραγματοποιείται όταν υπολογίζεται η απάντηση του νέου δικτύου Στοιχεία της Θεωρίας Μάθησης Ένα καθορισμένο σύνολο από καλά ορισμένους κανόνες για τη λύση ενός προβλήματος μάθησης καλείται αλγόριθμος μάθησης (learning algorithm). Υπάρχει μεγάλη ποικιλία αλγορίθμων μάθησης, καθένας από τους οποίους έχει τα δικά του πλεονεκτήματα. Οι αλγόριθμοι διαφέρουν μεταξύ τους στον τρόπο που εκφράζεται η ρύθμιση στο βάρος σύνδεσης. 16

17 Το μοντέλο του τεχνητού νευρώνα Ένας νευρώνας είναι μια μονάδα επεξεργασίας πληροφορίας. Τα τρία βασικά στοιχεία αυτού του μοντέλου είναι : Ένα σύνολο από συνάψεις ή συνδετικούς κρίκους Ένας αθροιστής Μια συνάρτηση ενεργοποίησης a 0 w 0 w i a i w n Θ Outgoing activation a n Το μοντέλο του τεχνητού νευρώνα Κάθε σύναψη χαρακτηρίζεται από ένα βάρος. Ένα σήμα x j στην είσοδο της σύναψης j που συνδέεται στον νευρώνα k, πολλαπλασιάζεται με το συναπτικό βάρος w kj. Το βάρος w kj είναι θετικό αν η σύναψη είναι διεγερτική και αρνητικό αν σύναψη είναι απαγορευτική. Ο αθροιστής χρησιμοποιείται για την πρόσθεση των σημάτων εισόδου. Η συνάρτηση ενεργοποίησης χρησιμοποιείται για τη μείωση του εύρους της εξόδου του νευρώνα. 17

18 Το μοντέλο του τεχνητού νευρώνα Το μοντέλο περιλαμβάνει ένα κατώφλι θ κ, που έχει επίδραση στην ελάττωση της εισόδου στην εφαρμοζόμενη συνάρτηση ενεργοποίησης. Ενας νευρώνας k περιγράφεται από τις παρακάτω εξισώσεις: y u p = w x k kj j j=11 = φ( u ϑ ) k k k Το μοντέλο του τεχνητού νευρώνα Το κατώφλι θ κ είναι εσωτερική παράμετρος του νευρώνα k. Έτσι μπορούμε να διαμορφώσουμε το συνδυασμό των εξισώσεων: p υk = wkjx j y k = φ υ k j = 0 ( ) Όπου συμπεριλαμβάνουμε μια νέα σύναψη x0 = 1 w k0 = ϑ k 18

19 Το μοντέλο του τεχνητού νευρώνα Συναρτήσεις ενεργοποίησης Η συνάρτηση ενεργοποίησης ορίζει την έξοδο ενός νευρώνα συναρτήσει του επιπέδου ενεργοποίησης της εισόδου. Έχουμε 3 βασικούς τύπους συναρτήσεων ενεργοποίησης: Συνάρτηση Κατωφλιού. Τμηματικά Γραμμική Συνάρτηση. Σιγμοειδής Συνάρτηση 19

20 Συνάρτηση Κατωφλίου Η συνάρτηση κατωφλίου είναι: 1, υ 0 φ( υ) = 0, υ < 0 Επομένως η έξοδος ενός νευρώνα k έχει τη μορφή: 1, υ k 0 y k = 0, υ k < 0 όπου υ κ είναι το εσωτερικό επίπεδο ενεργοποίησης του νευρώνα : υ = k p j = 0 w kj x j ϑ k Τμηματικά Γραμμική Συνάρτηση Για την τμηματικά γραμμική συνάρτηση έχουμε: 1, φ( υ) = υ, 0, υ 1 2 1/ 2 < υ < 1/ 2 υ 1 2 μπορεί να θεωρηθεί σαν μια προσέγγιση ενός μηγραμμικού ενισχυτή. 20

21 Σιγμοειδής Συνάρτηση Είναι η πιο συνηθισμένη μορφή συνάρτησης ενεργοποίησης που χρησιμοποιείται στην κατασκευή τεχνητών νευρωνικών δικτύων Ορίζεται σαν αυστηρά αύξουσα συνάρτηση, η οποία παρουσιάζει εξομάλυνση και ασυμπτωτικές ιδιότητες. Ένα παράδειγμα είναι η λογιστική συνάρτηση, που ορίζεται από τη σχέση: φυ ( ) = exp( αυ) Σιγμοειδής Συνάρτηση Μεταβάλλοντας την παράμετρο α παίρνουμε διαφορετικές συναρτήσεις. 21

22 Συναρτήσεις ενεργοποίησης Οι προηγούμενες συναρτήσεις ενεργοποίησης κυμαίνονται από 0 ως +1. Αν θέλουμε συνάρτηση που να κυμαίνεται από 1 ως +1, επαναπροσδιορίζουμε την συνάρτηση κατωφλιού ως: 1, υ > 0 φ( υ) 0, υ = 0 1, υ < 0 που ονομάζεται συνάρτηση προσήμου (signum) και συμβολίζεται σαν sgn(.). Perceptron (Αισθητήρας) Το Perceptron είναι η απλούστερη μορφή Νευρωνικού δικτύου. μορφή Νευρωνικού δικτύου. Χρησιμοποιείται για την ταξινόμηση γραμμικά διαχωριζόμενων προτύπων 22

23 Γραμμικά Διαχωριζόμενα πρότυπα Είναι τα πρότυπα που χωρίζονται στο δειγματοχώρο με γραμμικές συναρτήσεις (γραμμές ή επίπεδα) To Perceptron σαν ταξινομητής Για d-διάστατα δεδομένα το perceptron αποτελείται από d βάρη, ένα κατώφλι και μία συνάρτηση. x 1 x 2 w 1 w 2 a = -θ + w 1 x 1 + w 2 x 2 υ=g(a) {-1, +1} -1 θ g(a)= -1 if a < 0 g(a)= 1 if a >= 0 Αν ομαδοποιήσουμε τα βάρη σε διάνυσμα w έχουμε: υ = g(w.x- θ) 23

24 Aλγόριθμος μάθησης του Perceptron Η έξοδος του γραμμικού συνδυαστή είναι: p υ = w i x i θ i= 1 Σκοπός του Perceptron είναι να ταξινομήσει ένα σύνολο εισόδων σε μία από τις κλάσεις l 1 και l 2. Ο κανόνας απόφασης για την ταξινόμηση είναι: ανάθεσε το σημείο που αναπαριστούν τα x 1, x 2 στην κλάση l 1, αν y= +1 και στην κλάση l 2 αν y = 1. Οι περιοχές απόφασης διαχωρίζονται από το υπερεπίπεδο που ορίζεται από τη σχέση: υ = p i= 1 w x i i θ = 0 w 1 x 1 + w 2 x 2 θ = 0 Aλγόριθμος μάθησης του Perceptron Το κατώφλι μετατοπίζει το όριο απόφασης από την αρχή των αξόνων. Τα συναπτικά βάρη του Perceptron, μπορούν να προσαρμοσθούν επαναληπτικά. Για την προσαρμογή του διανύσματος βαρών w, χρησιμοποιούμε τον κανόνα σύγκλισης του Perceptron. l 2 θ l 1 24

25 Κανόνας σύγκλισης του Perceptron Αν, τα διανύσματα εισόδου και βαρών είναι: x(n) = [ 1, x T 1 (n), x 2 (n),, x p (n) ] w(n) = [ θ(n), w 1 (n), w 2 (n),, w p (n) ] T H έξοδος του γραμμικού συνδυαστή είναι: υ(n) ( ) = w T (n) x(n) ( ) τότε υπάρχει ένα διάνυσμα βαρών, που T w x 0 x l 1 T w x < 0 x l 2 Aλγόριθμος μάθησης του Perceptron 1. ΔΕΝ γίνεται διόρθωση στο w(n) όταν: αν w T (n) x(n) 0 & x(n) l1 w(n + 1) = w(n) αν w T (n) x(n) < 0 & x(n) l2 w(n + 1) = w(n) 2. ΑΛΛΙΩΣ, το διάνυσμα βαρών του Perceptron, ενημερώνεται σύμφωνα με τον κανόνα: αν w T (n) x(n) 0 & x(n) l2 w(n + 1) = w(n) η(n) x(n) αν w T (n) x(n) < 0 & x(n) l1 w(n + 1) = w(n) + η(n) x(n) 25

26 Tα Δίκτυα εμπρός τροφοδότησης πολλών επιπέδων Ένα τέτοιο δίκτυο αποτελείται από: ένα σύνολο αισθητήρων (πηγαίοι ί κόμβοι), ) που αποτελούν το επίπεδο εισόδου, ένα ή περισσότερα κρυφά επίπεδα (hidden layers) υπολογιστικών κόμβων και ένα επίπεδο υπολογιστικών κόμβων εξόδου. Το σήμα εισόδου διαδίδεται μέσα στο δίκτυο σε μία προς τα εμπρός κατεύθυνση, από επίπεδο σε επίπεδο. Αυτά τα νευρωνικά δίκτυα αναφέρονται σαν Perceptrons πολλών επιπέδων (MLPs) Δίκτυο Τριών Επιπέδων x 1 x 2 Input Output x n Hidden layers 26

27 Perceptron Πολλών επιπέδων ιδιότητες αρχιτεκτονικής Δεν υπάρχουν συνδέσεις στο ίδιο επίπεδο Δεν υπάρχουν απευθείας συνδέσεις μεταξύ εισόδου και εξόδου Πλήρως συνδεδεμένα μεταξύ επιπέδων Το πλήθος των εξόδων ανεξάρτητο από το πλήθος των εισόδων Ανεξάρτητο πλήθος κόμβων ανά επίπεδο. Κάθε μονάδα είναι ένα perceptron Χρησιμότητα επιπέδων Ένα επίπεδο δημιουργεί γραμμικά όρια Δύο επίπεδα συνδυάζουν γραμμές Τρία επίπεδα δημιουργούν πιο πολύπλοκα σχήματα 27

28 Tα Δίκτυα εμπρός τροφοδότησης πολλών επιπέδων Ένα Perceptron πολλών επιπέδων έχει τρία χαρακτηριστικά: 1. Το μοντέλο κάθε νευρώνα στο δίκτυο περιλαμβάνει μια μη γραμμικότητα στην έξοδο. Μία συνηθισμένη μορφή είναι μια σιγμοειδής μη γραμμικότητα (sigmoidal nonlinearity): Η σιγμοειδής καμπύλη 28

29 Tα Δίκτυα εμπρός τροφοδότησης πολλών επιπέδων 2. Το δίκτυο περιέχει ένα ή περισσότερα κρυφά επίπεδα από νευρώνες. 3. Το δίκτυο επιδεικνύει έναν υψηλό βαθμό διασύνδεσης (connectivity) που καθορίζεται από τις συνδέσεις (συνάψεις) του δικτύου. Μία αλλαγή στον τρόπο διασυνδέσεις του δικτύου απαιτεί αλλαγή στον πληθυσμό των συνδέσεων ή στα βάρη τους. Tα Δίκτυα εμπρός τροφοδότησης πολλών επιπέδων Σ αυτό το δίκτυο αναγνωρίζονται δυο είδη σημάτων: Λειτουργικά σήματα Σήματα λάθους 29

30 Λειτουργικά σήματα Ενα λειτουργικό σήμα (function signal) είναι ένα σήμα εισόδου (ερέθισμα) ρ μ που διαδίδεται προς τα εμπρός διαμέσου του δικτύου και εξέρχεται από την έξοδο του δικτύου σαν ένα σήμα εξόδου. Καλείται λειτουργικό γιατί: Πρώτον, υποτίθεται ότι επιτελεί μια χρήσιμη συνάρτηση στην έξοδο του δικτύου. Δεύτερον, σε κάθε νευρώνα του δικτύου, μέσω του οποίου περνά ένα λειτουργικό σήμα, το σήμα υπολογίζεται σαν μία συνάρτηση των εισόδων και των συσχετιζόμενων βαρών, που εφαρμόζονται στο νευρώνα. Σήματα λάθους Ένα σήμα λάθους (error signal) δημιουργείται σε έναν νευρώνα εξόδου του δικτύου και διαδίδεται προς τα πίσω (layer by layer) διαμέσου του δικτύου. Αναφερόμαστε σ αυτό σαν error signal επειδή ο υπολογισμός του από κάθε νευρώνα του δικτύου εμπεριέχει μια συνάρτηση εξαρτώμενη από το λάθος. 30

31 Αλγόριθμος Πίσω Διάδοσης Λάθους Back Propagation Algorithm Τα MLPs εκπαιδεύονται με έναν επιβλεπόμενο τρόπο (supervised manner), με το γνωστό σαν αλγόριθμο πίσω διάδοσης του λάθους (error Back Propagation algorithm BP). Αυτός ο αλγόριθμος βασίζεται στον κανόνα μάθησης διόρθωσης του λάθους (error correction learning rule). Η διαδικασία της πίσω διάδοσης του λάθους αποτελείται από δυο περάσματα διαμέσου των διαφορετικών επιπέδων του δικτύου ένα προς τα εμπρός πέρασμα (forward pass) και ένα προς τα πίσω πέρασμα (backward pass). Αλγόριθμος Πίσω Διάδοσης Λάθους Back Propagation Algorithm Στο εμπρός πέρασμα: Ένα διάνυσμα εισόδου (input vector) εφαρμόζεται στους νευρώνες εισόδου του δικτύου Η επίδραση του διαδίδεται μέσα στο δίκτυο από επίπεδο σε επίπεδο (layer by layer). Ένα σύνολο από εξόδους παράγεται ως η πραγματική απόκριση του δικτύου. Κατά τη διάρκεια του εμπρός περάσματος τα βάρη του δικτύου είναι σταθερά. 31

32 Αλγόριθμος Πίσω Διάδοσης Λάθους Back Propagation Algorithm Κατά την πίσω διάδοση: Η πραγματική απόκριση του δικτύου αφαιρείται από την επιθυμητή απόκριση για την παραγωγή ενός σήματος λάθους Το σήμα λάθους διαδίδεται προς τα πίσω στο δίκτυο. Τα βάρη προσαρμόζονται σε συμφωνία με τον κανόνα διόρθωσης λάθους. Αλγόριθμος Back propagation 32

33 Backpropagation: Πλεονεκτήματα Εύκολο στη χρήση Λίγες παράμετροι προς ρύθμιση Λίγες παράμετροι προς ρύθμιση Αλγόριθμος εύκολος σε υλοποίηση Μπορεί να εφαρμοστεί σε ευρεία περιοχή δεδομένων Πολύ δημοφιλής 33

34 Backpropagation: Μειονεκτήματα Η εκμάθηση είναι αργή Τα νέα στοιχεία θα υπερκαλύψουν τα παλαιά εκτός αν συνεχίσουν να παρέχονται Δύσκολο να διατηρηθεί το δίκτυο ενημερωμένο Το δίκτυο είναι ουσιαστικά black box Δεν μπορεί να υπάρξει εγγύηση γενίκευσης ακόμα και με ελάχιστο σφάλμα Μη επιβλεπόμενη μάθηση 34

35 Μάθηση χωρίς επίβλεψη (Unsupervised learning) Μη επιγεγραμμένα γρ (unlabelled) δεδομένα Ομαδοποίηση (clustering) Όμοιες είσοδοι πρέπει να ανήκουν στην ίδια ομάδα. Οι ομάδες προσδιορίζονται από το δίκτυο βάσει συσχετίσεων των δεδομένων εισόδου. Αυτοοργάνωση Ανταγωνιστική Μάθηση Είναι μορφή μη επιβλέψιμης εκπαίδευση δικτύων όπου οι μονάδες εξόδου θεωρούνται να είναι σε ανταγωνισμό για πρότυπα εισόδου. Κατά τη διάρκεια της εκπαίδευσης, η μονάδα εξόδου που εμφανίζει την πιο υψηλή ενεργοποίηση σε δεδομένο πρότυπο εισόδου θεωρείται νικητής και μετακινείται πιο κοντά στο πρότυπο εισόδου, ενώ οι υπόλοιποι νευρώνες παραμένουν αμετάλαχτοι. 35

36 Αυτοοργάνωση: βιολογικά πρότυπα Τοπικότητα λειτουργιών Γεωμετρική διάταξη νευρώνων Υπολογιστικοί χάρτες Ανταγωνιστική Μάθηση Αυτή η στρατηγική ονομάζεται επίσης «winnertake all» all λόγω του ότι μονο ο νευρώνας νικητής νικητής αναπροσαρμόζεται. Οι μονάδες εξόδου ενδέχεται να έχουν και ανατρεπτικές συνδέσεις ώστε ο νευρώναςνικητής μπορεί να ανατρέψει άλλους ανάλογα με το επίπεδο ενεργοποίησης του 36

37 Ανταγωνιστική Μάθηση Τα βάρη των νευρώνων και τα πρότυπα εισαγωγής τυπικά κανονικοποιούνται. Με κανονικοποιημένα διανύσματα η συνάρτηση ενεργοποιήσης της i στης μονάδας, μπορούν να υπολογιστούν ως το εσωτερικό γινόμενο του διανύσματος βαρών και συγκεκριμένου πρότυπου εισόδου. Ανταγωνιστική Μάθηση Το εσωτερικό γινόμενο είναι το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας μεταξύ τους γωνίας Ο νευρώνα με τη μεγαλύτερη ενεργοποίηση θεωρείται ότι μοιάζει περισσότερο με την είσοδο που προκάλεσε τη διέγερση. Τα βάρη επανακανονικοποιούνται 37

38 Ανταγωνιστική Μάθηση Αν τα βάρη και τα πρότυπα δεν είναι κανονικοποιημένα, τότε ως συνάρτηση ενεργοποίησης χρησιμοποιείται η Ευκλίδεια απόσταση: Ο κανόνας μάθησης τότε γίνεται: Αλγόριθμος Βασικής Ανταγωνιστικής Μάθησης 1. Κανονικοποίησε όλα τα πρότυπα 2. Διάλεξε τυχάια πρότυπο x (n 2a. Βρες το νευρώνα νικητή 2.b. Άλλαξε το νευρώνα νικητή w = w + η x 2c. Κανονικοποίησε το νευρώνα νικητή i w = i i = arg max i wi w j Τ ( n [ w x ] 3. Πήγαινε στο βήμα 2 μέχρι να μην υπάρξει αλλαγή σε Κ βήματα i (n j 38

39 Αλγόριθμος Leader follower clustering 1. Κανονικοποίησε όλα τα πρότυπα 2. Διάλεξε τυχάια πρότυπο x (n 2a. Βρες το νευρώνα νικητή Τ ( n i = arg max[ wj x ] 2.b. Αν x (n j w i <θ άλλαξε το νευρώνα νικητή (n wi = wi + η x Αλλιώς πρόσθεσε νέο νευρώνα (n w new = x 2c. Κανονικοποίησε τους νευρώνες 3. Πήγαινε στο βήμα 2 μέχρι να μην υπάρξει αλλαγή σε Κ βήματα Απλή ανταγωνιστική μάθηση Ομαδοποίηση: Σύγκλιση στα κέντρα βάρους 39

40 Διανυσματικός κβαντισμός (vector quantization VQ) M κατηγορίες διανυσμάτων (codebook) Εύρεση συνόλου πρωτότυπων διανυσμάτων (prototype vectors) Ο αλγόριθμος k μέσων (kmeans) Σταθερός (προκαθορισμένος) αριθμός ομάδων Σημειακή ομαδοποίηση (point clustering) Παραμετρική ομαδοποίηση Εύρεση συμπαγών ομάδων (νεφών) Κάθε ομάδα αντιπροσωπεύεται από ένα σημείο. Άκαμπτη ομαδοποίηση η( (hard clustering) Αντιστοίχιση καθενός προτύπου σε μια ομάδα 40

41 Ο αλγόριθμος k μέσων Σε κάθε βήμα : Ταξινόμηση καθενός προτύπου στην ομάδα Ω k με τη μικρότερη απόσταση i d ( x, wk ) = min d( x, w j ) j Υπολογισμός των νέων κέντρων των ομάδων w ( t+ 1) 1 j = ( t) N i j x Ω i x ( t ) j i Διανυσματικός κβαντισμός: Μη επιβλεπόμενη μάθηση Απλή ανταγωνιστική ήμάθηση η Νευρωνική (σειριακή) διατύπωση του αλγορίθμου k- μέσων Αριθμός εξόδων = αριθμός ομάδων Ενημέρωση βαρών του νικητή μόνο 41

42 Αυτοοργανούμενοι χάρτες Kohonen Οι αυτοοργανούμενοι χάρτες Kohonen (Self Organizing Maps SOMs) παράγουν μια αντιστοιχία από τον πολυδιάστατο χώρο σε ένα δίκτυο νευρώνων Το κύριο χαρακτηριστικό των SOM είναι ότι διατηρούν την τοπολογία, οπότε γειτονικοί νευρώνες αντιστοιχούν σε παρόμοια πρότυπα Οι SOM οργανώνονται ως μονοδιάστατα ή διδιάστατα δίκτυα Αυτοοργανούμενοι χάρτες Kohonen Αντίθετα με τα MLP δίκτυα που εκπαιδεύονται με τον αλγόριθμο back propagation, οι SOM έχουν νευροβιολογική βάση: Στον εγκέφαλο των θυλαστικών τα οπτικά, ακουστικά και αφής ερεθίσματα χαρτογραφούνται σε επίπεδα κυττάρων Η τοπολογία διατηρείται: αν αγγίξουμε μέρη του σώματος που βρίσκονται κοντά, θα ενεργοποιηθούν ομάδες κυττάρων που βρίσκονται επίσης κοντά 42

43 Αυτοοργανούμενοι χάρτες Kohonen Οι Kohonen SOM είναι αποτέλεσμα της συνεργίας τριών βασικών διαδικασιώνδ Ανταγωνισμός Συνεργασία Ανταμοιβή Φάση ανταγωνισμού Δίκτυο SOM Νικητής: ελάχιστη ευκλείδεια απόσταση min d j = x w j Φάση συνεργασίας Καθορισμός τοπολογικής γειτονιάς Φάση ανταμοιβής Προσαρμογή βαρών νικήτριας γειτονιάς 43

44 Ανταγωνισμός Σε κάθε νευρώνα του SOM αποδίδεται ένα διανυσματικό βάρος διαστάσεων Ν ίδιας με το δειγματοχώρο Κάθε πρότυπο εισόδου συγκρίνεται με το βάρος κάθε νευρώνα και ο νευρώνας με το πλησιέστερο διανυσματικό βάρος ανακηρύσσεται νικητής Ανταγωνισμός 44

45 Συνεργασία Η ενεργοποίηση του νευρώνα νικητή διαχέεται στους νευρώνες της γειτονιάς του Αυτό επιτρέπει η τοπολογία κοντινών νευρώνων να γίνει ευαίσθητη σε παρόμοια πρότυπα Η απόσταση από το νικητή στην τοπολογία του δικτύου ορίζεται ως συνάρτηση του πλήθους των συνδέσεων με το νικητή Το μέγεθος της γειτονιάς είναι αρχικά μεγάλο αλλά συρρικνώνεται με το χρόνο καθώς μεγάλη γειτονιά σημαίνει διατήρηση της τοπολογίας ενώ μικρότερη επιτρέπει εξειδίκευση των νευρώνων Συνεργασία 45

46 Ανταμοιβή Κατά την εκπαίδευση, ο νικητής και οι γείτονες του προσαρμόζουν ρμ τα βάρη τους να μοιάσουν πιο πολύ στο πρότυπο εισαγωγής Ο κανόνας προσαρμογής είναι παρόμοιος αυτού της ανταγωνιστικής μάθησης Οι νευρώνες που βρίσκονται πιο κοντά στο νικητή προσαρμόζονται περισσότερο από τους πιο μακρινούς Το μέγεθος προσαρμογής ελέγχεται από το συντελεστή μάθησης που εξασθενεί με το χρόνο για να εξασφαλίσει σύγκλιση του SOM Δίκτυο SOM Φάση ανταμοιβής ( t+ 1) ( t ) ( t ) ( ) ( ) j = w j + η t h j, i t x w j w i : νικητής νευρώνας ( x), j 0 η ( t ) 1 Συντελεστής μάθησης φθίνων με το χρόνο (εκθετική μείωση) 46

47 Προσαρμογή Αλγόριθμος εκπαίδευσης SOM 1. Αρχικοποίησε τα βάρη με μικρές τυχαίες τιμές 2. Επανέλαβε ωσότου υπάρξει σύγκλιση 2a. Επέλεξε πρότυπο εισόδου x (n (i). Επέλεξε τη μονάδα που μοιάζει στο x (n (ii). Προσάρμοσε τα βάρη του νικητή w i και των γειτόνων του w k 2b. Μείωσε τον τελεστή μάθησης η(t) 2c. Μείωσε τη γειτονιά σ(t) 47

48 Αλγόριθμος εκπαίδευσης SOM ορισμοί Κανόνας μείωσης του τελεστή μάθησης Κανόνας μείωσης γειτονιάς Συνάρτηση kernel ορισμού της γειτονιάς όπου d ik είναι η απόσταση στο δίκτυο μεταξύ w i και w k Πλεονεκτήματα των Νευρωνικών Δικτύων Μη γραμμικότητα. ένα Νευρωνικό Δίκτυο δομείται από τη σύνδεση νευρώνων, οι οποίοι είναι μη γραμμικές συσκευές. Η μη γραμμικότητα είναι πολύ σημαντική ιδιότητα, αν ο φυσικός μηχανισμός για την παραγωγή των σημάτων εισόδου είναι μη γραμμικός. Σχεδιασμός Εισόδου Εξόδου. Στην επιβλεπόμενη μάθηση, εμπλέκεται μεταβολή των synaptic βαρών του Νευρωνικού Δικτύου, εφαρμόζοντας ένα σύνολο δειγμάτων εξάσκησης. Κάθε παράδειγμα αποτελείται από ένα σήμα εισόδου και την επιθυμητή απόκριση. Tο δίκτυο μαθαίνει με τον κατάλληλο σχεδιασμό. 48

49 Πλεονεκτήματα των Νευρωνικών Δικτύων Προσαρμοστικότητα. Τα Νευρωνικά Δίκτυα έχουν τη δυνατότητα να προσαρμόζουν ρμ τα βάρη τους στις αλλαγές του περιβάλλοντός τους. Αποδεικτική Απόκριση. Ένα Νευρωνικό Δίκτυο σχεδιάζεται για να παρέχει πληροφορίες όχι μόνο για το συγκεκριμένο υπόδειγμα που επιλέγεται αλλά και για την εμπιστοσύνη στην απόφαση που παίρνεται. Συναφής Πληροφορία. Η γνώση αναπαριστάνεται από την πολύ δομημένη και ενεργή κατάσταση του Νευρωνικού Δικτύου. Αντοχή σε σφάλματα. Ένα νευρωνικό δίκτυο, υλοποιημένο σε υλικό (hardware) έχει τη σημαντική ιδιότητα να είναι ανεκτικό σε σφάλματα. Πλεονεκτήματα των Νευρωνικών Δικτύων Υλοποιησιμότητα σε VLSI. Η συμπαγής παράλληλη φύση του Νευρωνικού Δικτύου, κάνει δυνατή την υλοποίηση του σε VLSI τεχνολογία, έτσι ώστε τα νευρωνικά δίκτυα να μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε εφαρμογές πραγματικού χρόνου. Ομοιομορφία Ανάλυσης και Σχεδιασμού. Η έννοια είναι ότι ο ίδιος συμβολισμός χρησιμοποιείται σε όλα τα πεδία που περιέχουν εφαρμογή των νευρωνικών δικτύων. Αναλογία με Νευροβιολογία. Ο σχεδιασμός νευρωνικών δικτύων γίνεται σε αναλογία με τον εγκέφαλο. Οι μηχανικοί βλέπουν στη νευροβιολογία για νέες ιδέες για την επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων. 49

50 Εφαρμογές των Ν.Δ. Αεροπορία: Υψηλής απόδοσης αυτόματοι πιλότοι αεροπλάνων, προσομοιωτές πτήσης, συστήματα αυτομάτου ελέγχου αεροπλάνων, συστήματα ανίχνευσης βλαβών. Αυτοκίνηση: Αυτοκινούμενα συστήματα αυτόματης πλοήγησης. Τραπεζικές εφαρμογές: Αναγνώστες επιταγών και άλλων παραστατικών, συστήματα αξιολόγησης αιτήσεων δανειοδότησης. Άμυνα: Πλοήγηση όπλων, ανίχνευση στόχων, νέα είδη αισθητήρων, σόναρ, ραντάρ, ψηφιακή επεξεργασία σημάτων, συμπίεση δεδομένων, εξαγωγή χαρακτηριστικών, αναγνώριση σήματος / εικόνας. Εφαρμογές των Ν.Δ. Ηλεκτρονική: Πρόβλεψη ακολουθίας κωδίκων, μορφοποίηση ηολοκληρωμένων κυκλωμάτων, έλεγχος διεργασιών, διάγνωση βλαβών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων, μηχανική όραση. Οικονομία: Οικονομική ανάλυση, πρόβλεψη τιμών συναλλάγματος. Βιομηχανία: Βιομηχανικός έλεγχος διεργασιών, ανάλυση και σχεδίαση προϊόντων, συστήματα ποιοτικού ελέγχου, διάγνωση βλαβών διεργασιών και μηχανών, ανάλυση σχεδιασμού χημικών προϊόντων, δυναμικό μοντελάρισμα συστημάτων χημικών διεργασιών. 50

51 Εφαρμογές των Ν.Δ. Ιατρική: Ανάλυση καρκινικών κυττάρων, ανάλυση Ηλεκτροεγκεφαλογραφήματος και Ηλεκτροκαρδιογραφήματος. Γεωλογικές έρευνες: Εντοπισμός πετρελαίου και φυσικού αερίου. Ρομποτική: Έλεγχος τροχιάς και σύστημα όρασης ρομπότ. Επεξεργασία φωνής: Αναγνώριση φωνής, συμπίεση φωνής, σύνθεση φωνής από κείμενο. Χρηματιστηριακές εφαρμογές: Ανάλυση αγοράς, πρόβλεψη τιμών μετοχών. Τηλεπικοινωνίες: Συμπίεση εικόνας και δεδομένων, αυτοματοποιημένες υπηρεσίες πληροφοριών, μετάφραση πραγματικού χρόνου, συστήματα επεξεργασίας πληρωμών. 51

Τα Τεχνητά Νευρωνικά ίκτυα (ΤΝ ) αποτελούν μια προσπάθεια προσέγγισης της. Η αρχιτεκτονική τους βασίζεται στην

Τα Τεχνητά Νευρωνικά ίκτυα (ΤΝ ) αποτελούν μια προσπάθεια προσέγγισης της. Η αρχιτεκτονική τους βασίζεται στην Νευρωνικά Δίκτυα Νευρωνικά Δίκτυα (Ν.Δ) Τα Τεχνητά Νευρωνικά ίκτυα (ΤΝ ) αποτελούν μια προσπάθεια προσέγγισης της λειτουργίας του ανθρώπινου εγκεφάλου Η αρχιτεκτονική τους βασίζεται στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων 1

Αναγνώριση Προτύπων 1 Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση δικτύων διανομής

Επίλυση δικτύων διανομής ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Νοημοσύνη

Υπολογιστική Νοημοσύνη Υπολογιστική Νοημοσύνη Σημερινή Διάλεξη Περιεχόμενο μαθήματος Διαδικαστικά Εργασίες Μαθήματος Εισαγωγή στο αντικείμενο του μαθήματος Εφαρμογές 1 Περιεχόμενο μαθήματος οµή και Χαρακτηριστικά ενός Γενετικού

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Σχεδίαση Λογικών Κυκλωμάτων

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Σχεδίαση Λογικών Κυκλωμάτων ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Σχεδίαση Λογικών Κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος [gliaperd@teikal.gr] Μάρτιος 2012 1 Ηλεκτρονικά Ελεγχόμενοι ιακόπτες Για την υλοποίηση των λογικών κυκλωμάτων χρησιμοποιούνται ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Νευρωνικά ίκτυα και Εξελικτικός

Νευρωνικά ίκτυα και Εξελικτικός Νευρωνικά ίκτυα και Εξελικτικός Προγραµµατισµός Σηµερινό Μάθηµα Μη επιβλεπόµενη Μάθηση Ανταγωνιστική Μάθηση Αλγόριθµος Leader-follower clusterng Αυτοοργανούµενοι χάρτες Kohonen Ανταγωνισµός Συνεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση.

Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Αναγνώριση Προτύπων Η κατάρα της διαστατικότητας Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Η κατάρα της διαστατικότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης Συγκέντρωση Κίνησης 6.1. Εισαγωγή Σε ένα οπτικό WDM δίκτυο, οι κόμβοι κορμού επικοινωνούν μεταξύ τους και ανταλλάσουν πληροφορία μέσω των lightpaths. Ένα WDM δίκτυο κορμού είναι υπεύθυνο για την εγκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

τους στην Κρυπτογραφία και τα

τους στην Κρυπτογραφία και τα Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων

Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών. Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π.

Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών. Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π. Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π. Θεωρία Παιγνίων (;) αυτά είναι video παίγνια...... αυτά δεν είναι θεωρία παιγνίων

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Φόρμα Σχεδιασμού Διάλεξης (ημ/α: 17/03/08, έκδοση: 1.0)

Φόρμα Σχεδιασμού Διάλεξης (ημ/α: 17/03/08, έκδοση: 1.0) 1. Κωδικός Μαθήματος: (Εισαγωγή στον Προγραμματισμό) 2. Α/Α Διάλεξης: 1 1. Τίτλος: Εισαγωγή στους υπολογιστές. 2. Μαθησιακοί Στόχοι: Συνοπτική παρουσίαση της εξέλιξης των γλωσσών προγραμματισμού και των

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και

1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με

Διαβάστε περισσότερα

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. 2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

έγγραφο σε κάθε διάσταση αντιστοιχούν στο πλήθος εμφανίσεων της λέξης (που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη διάσταση) εντός του εγγράφου.

έγγραφο σε κάθε διάσταση αντιστοιχούν στο πλήθος εμφανίσεων της λέξης (που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη διάσταση) εντός του εγγράφου. Π Π Σ Τ Π Ε Τ Ψ Σ Δομές Δεδομένων 2016-2017 2η Εργασία Χρήστος Δουλκερίδης Ορέστης Τελέλης 1 Περιγραφή Η ομαδοποίηση εγγράφων (document clustering) με βάση τα περιεχόμενά τους είναι ένα πολύ ενδιαφέρον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα)

2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα) 2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα) Η πολυπλεξία μήκους κύματος (WDM πολυπλεξία) παρέχει συμβατότητα μεταξύ του εύρους ζώνης του οπτικού μέσου οπτική ίνα και του εύρους ζώνης του τερματικού

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη επιβλεπόμενη εκπαίδευση (Clustering) Μη παραμετρική Μη επιβλεπόμενη εκπαίδευση Μέτρα εγγύτητας Αλγόριθμος k means ISODATA Ιεραρχικό ρ clustering Δεντρογράμματα 1

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωμένη Χωρική Ανάπτυξη. Ειδική Υπηρεσία Στρατηγικής, Σχεδιασμού Και Αξιολόγησης (ΕΥΣΣΑ) Μονάδα Α Στρατηγικής και Παρακολούθησης Πολιτικών

Ολοκληρωμένη Χωρική Ανάπτυξη. Ειδική Υπηρεσία Στρατηγικής, Σχεδιασμού Και Αξιολόγησης (ΕΥΣΣΑ) Μονάδα Α Στρατηγικής και Παρακολούθησης Πολιτικών Ολοκληρωμένη Χωρική Ανάπτυξη Ειδική Υπηρεσία Στρατηγικής, Σχεδιασμού Και Αξιολόγησης (ΕΥΣΣΑ) Μονάδα Α Στρατηγικής και Παρακολούθησης Πολιτικών Ξάνθη, 12 Μαΐου 2015 Χωρική Συνοχή σύνολο αρχών για την αρμονική,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ring Routing and Wavelength Conversion. Γιώργος Ζώης

Ring Routing and Wavelength Conversion. Γιώργος Ζώης Ring Routing and Wavelength Conversion Γιώργος Ζώης Ενότητες της παρουσίασης 1. Directed Ring Routing Wavelength Conversion σε WDM δίκτυα. 2. Wavelength Conversion σε shortest path δρομολογήσεις. 3. Επιπλέον

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ

Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ 15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

«Εξατομικεύοντας την επιλογή των πόρων των ψηφιακών βιβλιοθηκών για την υποστήριξη της σκόπιμης μάθησης» Άννα Μαρία Ολένογλου

«Εξατομικεύοντας την επιλογή των πόρων των ψηφιακών βιβλιοθηκών για την υποστήριξη της σκόπιμης μάθησης» Άννα Μαρία Ολένογλου ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΣΕ ΨΗΦΙΑΚΌ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Εργασία στο μάθημα «Ψηφιακές Βιβλιοθήκες» Παρουσίαση του άρθρου (ECDL, 2008, LNCS,

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κλασικός Αθλητισμός Δρόμοι : Μεσαίες και μεγάλες αποστάσεις Ταχύτητες Σκυταλοδρομίες Δρόμοι με εμπόδια Δρόμοι Μεσαίων και Μεγάλων αποστάσεων Στην αρχαία εποχή ο δρόμος που είχε

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις ΙΙ 1 Σημερινό μάθημα Εμβέλεια Εμφωλίαση Τύπος αποθήκευσης Συναρτήσεις ως παράμετροι Πέρασμα με τιμή Πολλαπλά return Προκαθορισμένοι ρ Παράμετροι ρ Υπερφόρτωση συναρτήσεων Inline συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφοριακή Επιχειρηματικότητα

Συμπεριφοριακή Επιχειρηματικότητα Συμπεριφοριακή Επιχειρηματικότητα Great talent can come from anywhere, free your mind Το ταλέντο μπορεί να εμφανιστεί από οπουδήποτε, ελευθερώστε το μυαλό σας 1 Επιχειρηματίας Entrepreneur Γαλλική προέλευση

Διαβάστε περισσότερα

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται 1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα

Διαβάστε περισσότερα

G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G.

G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 2014-2015 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Τεχνική φλοπ Φορά Σκοπός της φοράς είναι να αναπτυχθεί μια ιδανική για τον κάθε αθλητή ταχύτητα και ταυτόχρονα να προετοιμάσει το πάτημα. Το είδος της φοράς του Fosbury ήτα, μια

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αντικειμενοστραφής. Προγραμματισμού

Αντικειμενοστραφής. Προγραμματισμού Αντικειμενοστραφής προγραμματισμός Σημερινό μάθημα Μειονεκτήματα Δομημένου Προγραμματισμού Αντικειμενοστραφής προγραμματισμός Ορισμοί Κλάσεις Αντικείμεναμ Χαρακτηριστικά ΑΠ C++ Class 1 Δομημένος Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1.1 έως 1.3, να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά 1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα