G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G."

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων Πρόβλημα 2. Εστω ένας γράφος G = (V, E). Ενα υποσύνολο ακμών E E ονομάζεται σύνολο α- κμών ανάδρασης, αν τέμνει κάθε κύκλο του γραφήματος. Κάθε κύκλος του γραφήματος δηλαδή έχει τουλάχιστον μια ακμή που ανήκει στο Ε. Επομένως αφαιρώντας τις ακμές του E, το γράφημα ϑα γίνει άκυκλο. Σχεδιάστε έναν αποδοτικό αλγόριθμο για το εξής πρόβλημα: σε είσοδο ένα γράφημα με ϑετικά βάρη στις ακμές του, ο αλγόριθμος πρέπει να υπολογίζει ένα σύνολο ακμών ανάδρασης ελαχίστου συνολικού βάρους. Απάντηση. [Παπαευσταθίου] Ενα σύνολο S είναι σύνολο ακμών ανάδρασης στο G αν τέμνει κάθε κύκλο του γραφήματος. Διαφορετικά το S είναι σύνολο ακμών ανάδρασης στο G αν κάθε κύκλος στο G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. Για κάθε σύνολο ακμών ανάδρασης S αν αφαιρέσουμε το S από το γράφημα G, τότε αυτό που ϑα μείνει ϑα είναι ένα δέντρο. Άρα η ελαχιστοποίηση του βάρους του συνόλου ακμών ανάδρασης S ισοδυναμεί με το να μεγιστοποιήσουμε το βάρος αυτού του δέντρου. Συνεπώς το σύνολο ακμών ανάδρασης ελαχίστου βάρους είναι το συμπλήρωμα του μέγιστου spanning tree στο γράφημα G. Algorithm 1 minweightedfeedbackedges et(g) MaxS T = FindmaximumspanningT ree(g) //see algorithm 2 S = MaxS T //find the complement of the maximum spanning tree return S Algorithm 2 FindmaximumspanningT ree(g) T = sort the edges in decreasing order while T n 1 do if T e does not create cycle then add the edge e to T end if end while return T 1

2 O(nlogn) για το sorting, και O( E log E ) για την εύρεση του maxi- Πολυπλοκότητα: mum spanning tree. Πρόβλημα 3. Οι παρακάτω ερωτήσεις αφορούν τη χρήση ουρών προτεραιότητας,και συγκεκριμένα την υλοποίησή τους με σωρούς που είδαμε και στο μάθημα. 1. Ο σωρός που έχουμε δει στο μάθημα ονομάζεται δυαδικός σωρός (binaryheap), ε- πειδή χρησιμοποιούμε δυαδικό δέντρο για την αναπαράστασή του. Μια άλλη ιδέα για να υλοποιήσουμε μια ουρά προτεραιότητας είναι η χρήση d-αδικού σωρού, για κάποια μικρή τιμή του d. Π.χ. για d 3, αυτό σημαίνει ότι το δέντρο ϑα είναι πλέον τριαδικό, κάθε εσωτερικός κόμβος ϑα έχει 3 παιδιά, και ϑα εξακολουθούν να ισχύουν ό,τι είδαμε και στο δυαδικό σωρό, δηλαδή, το δέντρο ϑα έχει γεμάτα όλα τα επίπεδα εκτός ίσως του τελευταίου, και το κλειδί ενός κόμβου ϑα πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο από τα κλειδιά των παιδιών του. Οι λειτουργίες bubbleup και bubbledown ορίζονται επίσης με τον ίδιο τρόπο,όπως και πριν. Το πλεονέκτημα είναι ότι έτσι μπορεί να μειωθεί το ύψος του δέντρου. Δείξτε πόσο ϑα είναι το ύψος του δέντρου σε ένα d-αδικό σωρό με n στοιχεία και γιατί αυτό συνεπάγεται καποια (έστω μικρή) βελτίωση για την insert Εξηγήστε γιατί αυτό αντισταθμίζεται από καποια μικρή επιβάρυνση για την delete min. 2. Εστω ότι έχετε k ταξινομημένους πίνακες,και κάθε πίνακας έχει n στοιχεία.το k είναι μια παράμετρος με 1 k n. Θέλουμε να συγχωνεύσουμε τους πίνακες σε έναν ταξινομημένο πίνακα μεγέθους nk. Μία λύση είναι να βαλουμε όλα τα στοιχεία σε ένα νέο πίνακα μεγέθους nk, και να τον ταξινομήσουμε. Ποια η πολυπλοκότητα αυτής της λύσης; Σκεφτείτε πώς με τη χρήση δυαδικού σωρού, μπορούμε να πετύχουμε μια πιο αποδοτική υλοποίηση (ως συνάρτηση του k και του n). Απάντηση. [Κουτσούλης, Μιτσοπούλου, Χαριτίδης] 1. Ανάλυση για την insert: Κάθε μία νέα τιμή που εισέρχεται στον d-αδικό σωρό πηγαίνει στην τελευταία ελεύθερη ϑέση στο τέλος του σωρού. Επειτα γίνονται τόσες ενέργειες bubbleup όσες χρειάζονται. Η διαδικασία αυτή γίνεται συγκρίνοντας την τιμή του νέου στοιχείου με τον εκάστοτε γονέα και ανεβαίνοντας εάν είναι μικρότερο, ένα επίπεδο την φορά. Αυτό γίνεται τόσες φορές όσες χρειαστεί. Στο χειρότερο σενάριο (worst case scenario) ϑα ανέβει από το τελευταίο επίπεδο μέχρι και την ρίζα την οπο- ία ϑα αντικαταστήσει. Το ύψος στο σωρό είναι log x y, με x ο αριθμός των παιδιών του κάθε κόμβου στο δέντρο, και y το πλήθος των στοιχείων του δέντρου που υλοποιεί τον σωρό. Επομένως, το άθροισμα των συγκρίσεων αυτών στην χειρότερη περίπτωση είναι log d n, μία σύγκριση ανά επίπεδο, με τον εκάστοτε γονέα. Για d > 2 είναι log d n < log 2 n. Επομένως με την συγκεκριμένη υλοποίηση για κάθε εισαγωγή στον σωρό, γίνονται λιγότερες bubbleup ενέργειες από ότι με τον δυαδικό σωρό. Άρα βελτιώνεται ο χρόνος της διαδικασίας insert κατά την διαφορά αυτή. Οι δύο πολυπλοκότητες είναι: O(log 2 n) 2

3 για την υλοποίηση με δυαδικό σωρό και O(log d n) για την υλοποίηση με d-αδικό σωρό και O(log d n) < O(log 2 n). Ανάλυση για την delete min: Για την αφαίρεση στοιχείου από τον σωρό με την χρήση της delete min, αφαιρείται η ρίζα που είναι το μικρότερο στοιχείου της δομής δεδομένων. Επειτα, το τελευταίο στοιχείο του δέντρου έρχεται στην ϑέση της ρίζας και γίνονται τόσα bubbledown όσα χρειάζονται. Αντίστοιχα με την προηγούμενη περίπτωση, οι ενέργειες bubbledown στο χειρότερο σενάριο (worst case scenario) ϑα είναι από την κορυφή του δέντρου μέχρι και το τελευταίο επίπεδο. Σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση, σε κάθε επίπεδο η σύγκριση πρέπει να γίνει με κάθε παιδί του κόμβου. Θα πρέπει να γίνουν δηλαδή d συγκρίσεις ανά επίπεδο. Επομένως στο χειρότερο σενάριο ϑα γίνουν d log d n συγκρίσεις συνολικά. Στην υλοποίηση της δομής δεδομένων με δυαδικό σωρό, γίνονται μόνο 2 log 2 n συγκρίσεις, με πολυπλοκότητα O(2 log n), ή αλλιώς O(log n). Με την υλοποίηση του d-αδικού σωρού, η πολυπλοκότητα είναι O(d log d n), για την οποία ισχύει O(d log d n) > O(log n). Παρατηρήσεις: 1)Για την ακρίβεια, το ύψος του δέντρου με το οποίο υλοποιείται ο σωρός είναι: log x y + 1. Η πολυπλοκότητα στην προηγούμενη ανάλυση δεν επηρεάζεται. 2)Για d μικρό, η διαφορά με την δυαδική υλοποίηση είναι μικρή. Οταν το d είναι μεγάλο, τότε φαίνεται η διαφορά. Παραδείγματα: α)για d = 3, είναι: log ενώ log Με 2* και 3* β)για d = 10, τότε είναι: log ενώ log = 3. Με 2* και 10* Για την πρώτη υλοποίηση, η πολυπλοκότητα είναι O(nk log 2 nk), χρησιμοποιώντας έναν από τους γνωστούς αλγόριθμους ταξινόμησης για τον οποίο το πλήθος των στοιχείων ϑα είναι n k. Η πολυπλοκότητα αυτή αναλύεται σε O(nk(log 2 n + log 2 k)) Μια υλοποίηση με χρήση δυαδικού σωρού ϑα μπορούσε να είναι η παρακάτω: 1)δημιουργία άδειου πίνακα Result μεγέθους n k, όπου ϑα αποθηκευτεί ο τελικός ταξινομημένος πίνακας 2)δημιουργία δυαδικού σωρού μεγέθους k. 3)εισαγωγή του πρώτου στοιχείου από τον κάθε πίνακα στον δυαδικό σωρό με την insert. Για το κάθε στοιχείο αποθηκεύεται και ο πίνακας από τον οποίο προήλθε 4)μέχρι να αδείασει ο δυαδικός σωρός: α)αφαίρεση του στοιχείου της ρίζας και εισαγωγή του στον πίνακα Result (χωρίς μεταφορά άλλου στοιχείου στην ρίζα και χωρίς bubbledown) β)αν υπάρχει κι άλλο στοιχείο του πίνακα από τον οποίο είχε εξαχθεί η προηγούμενη ρίζα, τότε εισαγωγή στην ρίζα του επόμενου στοιχείου αυτού και buddledown. Διαφορετικά γίνεται ανακατασκευή του σωρού, με μεταφορά του τελευταίου στοιχείου του σωρού στη ρίζα και bubbledown, κι έτσι μειώνοντας το μέγεθός του κατά έναν κόμβο (συνθήκη τερματισμού του βρόχου) 5)Στο τέλος του αλγορίθμου ο πίνακας Result έχει καταχωρημένα όλα τα στοιχεία όλων των πινάκων σε ταξινομημένη αύξουσα σειρά. 3

4 Το ύψος του δυαδικού σωρού είναι log 2 k + 1, με πολυπλοκότητα O(log 2 k). Τα πρώτα δύο βήματα είναι σταθερής πολυπλοκότητας. Το τρίτο βήμα απαιτεί k εισαγωγές στον σωρό με την insert, με κάθε εισαγωγή να έχει το πολύ log 2 k bubbleup ενέργειες για την insert. Άρα O(k log 2 k). Για το τέταρτο βήμα χρειάζονται το πολύ nk ανακατεσκευές με χρήση bubbledown, με O(log 2 k) κόστος η κάθε μία. Επομένως έχει πολυπλοκότητα O(nk log 2 k). Άρα η πολυπλοκότητα της λύσης αυτής είναι O(k log 2 k) + O(nk log 2 k), ή αλλιώς O((k log 2 k) + (nk log 2 k)), που είναι ίσο με O(nk log 2 k) για το οποίο προφανώς ισχύει: O(nk log 2 k) < O(nk(log 2 n + log 2 k)), επομένως υπάρχει μια μικρή βελτίωση. Πρόβλημα 4. Ενας τρόπος για να αποδείξει κανείς ότι ένα πρόβλημα Π είναι NP-πλήρες είναι με τη μέθοδο της γενίκευσης. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να δείξουμε ότι το Π αποτελεί γενίκευση κάποιου γνωστού NP-πλήρους προβλήματος (εμπεριέχει δηλαδή όλα τα instances ενός NP-πλήρους προβλήματος). Δείξτε με βάση αυτή την ιδέα ότι τα παρακάτω προβλήματα είναι NP-πλήρη, χρησιμοποιώντας τα NP-πλήρη προβλήματα που έχουμε ήδη δει. 1. Longest Path: Δεδομένου ενός γράφου G = (V, E), και ενός ακεραίου k, υπάρχει μονοπάτι με μήκος τουλάχιστον k. Θεωρήστε ότι δεν έχουμε βάρη και ότι το μήκος του μονοπατιού είναι το πλήθος των ακμών που χρησιμοποιεί. 2. Max-SAT: Δεδομένης μιας CNF φόρμουλας φ, και ενός ακεραίου k, υπάρχει μια απονομή αλήθειας που να ικανοποιεί τουλάχιστον k clauses. 3. Stingy SAT: Δεδομένης μιας CNF φόρμουλας φ, και ενός ακεραίου k, υπάρχει μια απονομή αλήθειας που να ικανοποιεί τη φόρμουλα και όπου το πολύ k μεταβλητές είναι true. Απάντηση. [Πετρίδης, Σπυριδάκης, Τσελεπάκης] 1. Longest Path: Αρχικά παρατηρούμε ότι το πρόβλημα Hamiltonian Path είναι μια ειδική περίπτωση του προβλήματος Longest Path για k = V 1, όπου k το ελάχιστο μήκος μονοπατιού του Longest Path. Το Longest Path έχει polynomial-time verification. Για να είναι ικανοποιήσιμο κάποιο certificate x = (V, E ) ενός instance I =< (V, E), k > του προβλήματος (όπου V V, E E), αρκεί να επιβεβαιωθεί ότι περιέχει μονοπάτι που καλύπτει όλους τους κόμβους v V και για το πλήθος των ακμών ισχύει E = V 1 (που επίσης εξασφαλίζει ότι το μονοπάτι είναι άκυκλο). Για να αποδείξουμε ότι το πρόβλημα είναι NP-hard, προχωράμε σε αναγωγή ( Hamiltonian Path P Longest Path). Εστω ένα instance I =< (V, E) > του προβλήματος Hamiltonian Path. Κατασκευάζουμε ένα instance I =< (V, E), k > του προβλήματος Longest Path, όπου k = V 1. Εστω επίσης ένα certificate x = (V, E ), V V, E E για τα I,I. 4

5 { Αν το x ικανοποιεί το instance I προφανώς ικανοποιεί και το I εφόσον σημαίνει ότι περιέχει μονοπάτι μήκους V 1 και για το I ισχύει k = V 1. { Αν το x ικανοποιεί το instance I προφανώς ικανοποιεί και το I εφόσον σημαίνει ότι περιέχει μονοπάτι με μήκος τουλάχιστον k, όπου k = V 1. Συνεπώς το Longest Path NP και είναι NP-hard, άρα Longest Path NPC. 2. Max-SAT: Αρχικά παρατηρούμε ότι το CNF-SAT είναι μια ειδική περίπτωση του Max-SAT για k = m, όπου m ο συνολικός αριθμός των clauses στην φόρμουλα του προβλήματος. Το Max-SAT έχει προφανώς polynomial-time verification όπως και το CNF- SAT και άρα ανήκει στο NP. Για να αποδείξουμε ότι το Max-SAT είναι NP-hard προχωράμε σε reduction CNF-SAT P MAX-SAT. Εστω μια ένα instance I =< Φ > του CNF-SAT, όπου Φ μια boolean formula σε conjuctive normal form με m clauses. Κατασκευάζουμε ένα instance I =< Φ, k > του Max-SAT με k = m. { Αν ένα certificate ικανοποιεί το I προφανώς ικανοποιεί και το I, αφού ικανοποιούνται m clauses της Φ και k = m. { Αν ένα certificate ικανοποιεί το I προφανώς ικανοποιεί και το I, εφόσον ικανοποιούνται k clauses, το σύνολο δηλαδή των clauses της Φ, αφού k = m. Συνεπώς το Max-SAT NP και είναι NP-hard, άρα Max-SAT NPC. 3. Stingy SAT: Αρχικά παρατηρούμε ότι το CNF-SAT είναι μια ειδική περίπτωση του Stingy SAT για k = n, όπου n ο συνολικός αριθμός των variables στην φόρμουλα του προβλήματος. Το Stingy SAT προφανώς ανήκει στο NP καθώς μπορούμε να επιβεβαιώσουμε την εγκυρότητα μιας υποψήφιας λύσης σε πολυωνυμικό χρόνο. Για να αποδείξουμε ότι το Stingy SAT είναι NP-hard ϑα κάνουμε την εξής αναγωγή: CNF-SAT P Stingy SAT. Εστω μια ένα instance I =< Φ > του CNF-SAT, όπου Φ μια boolean formula σε conjuctive normal form με n variables. Κατασκευάζουμε ένα instance I =< Φ, k > του Stingy-SAT με k = n. { Αν ένα certificate ικανοποιεί το I προφανώς ικανοποιεί και το I, αφού ικανοποιείται η Φ με το πολύ n μεταβλητές να είναι true και k = n. { Αν ένα certificate ικανοποιεί το I προφανώς ικανοποιεί και το I, εφόσον ικανοποιείται η Φ με το πολύ k μεταβλητές να είναι true, όπου k = n (συνεπώς οσεσδήποτε από τις n μεταβλητές της Φ μπορούν να είναι true). Συνεπώς το Stingy-SAT NP και είναι NP-hard, άρα Stingy-SAT NPC. 5

6 Πρόβλημα Δώστε μια αναγωγή από το πρόβλημα SUBSET-SUM στο πρόβλημα PARTITION. 2. Το εξής πρόβλημα (3DM - 3-dimensional matching) αποτελεί γενίκευση των matching προβλημάτων σε διμερείς γράφους. Εστω 3 ξένα μεταξύ τους σύνολα X = x 1,..., x n, Y = y 1,..., y n, και Z = z 1,..., z n με n αντικείμενα το καθένα. Εστω επίσης ένα σύνολο T X Y Z, που αποτελείται από τριάδες της μορφής (x i, y j, z k ). Κάθε τριάδα περιέχει ακριβώς ένα αντικείμενο από τα X, Y, Z. Ενα 3-διάστατο ταίριασμα (matching) είναι ένα υποσύνολο του T, δηλαδή ένα συνολο από τριάδες που δεν έχουν κοινά στοιχεία μεταξύ τους. Αυτο σημαίνει ότι για οποιεσδήποτε 2 τριάδες του ταιριάσματος, (x 1, y 1, z 1 ) και (x 2, y 2, z 2 ), έχουμε x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2. Θελουμε να αποφασίσουμε αν υπάρχει ένα ταίριασμα με n τριάδες, δηλαδή ένα ταίριασμα που να καλύπτει όλα τα στοιχεία από τα X, Y, Z. Το 3DM είναι ένα από τα γνωστά NP-πλήρη προβλήματα. Δώστε μια απλή αναγωγή από το 3DM στο SAT, και μια από το 3DM στο SET COVER. Απάντηση. [Καρόζος, Μιχολιά, Φιλιππίδου] Set Cover (SC): There exists a universe U of n elements, as in Figure 1, and a collection of subsets C = {S 1, S 2,..., S m } where S i U with 1 i m and an integer k describing the minimum number of subsets that can cover the universe, such that C k. 3 Dimensional Matching (3DM): There exist 3 disjoint sets, X, Y, Z of n nodes each and T a subset that consists of n triples (x, y, x) such that x X, y Y, z Z. A 3 Dimensional Matching M T is a matching where for any two distinct triples (x 1, y 1, z 1 ) M and (x 2, y 2, z 2 ) M no node of the same set is taken twice x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2. Transformation: In order to create a transformation of the Set Cover problem that relates directly to the 3DM, we consider that each disjoint set X, Y, Z consists of n nodes each and the total number of nodes in the matching graph is 3n. To this purpose, we build a universe of 3n elements, as in Figure 2, and every triple (x i, y i, z i ) of the matching containing three distinct nodes, will be mapped to a subset S i with three elements of the universe in each subset, i {1, 2,..., n}. If we also take into account, an instance where the number of subsets equals to the number of triples k = n, then this Set Cover connects directly to 3DM. Reduction: Let us assume, a "yes" instance of the 3DM matching: The number of matches with disjoint elements that cover all points are M = n triples of (x i, y i, z i ), with i {1, 2,..., n} that cover the whole number of nodes 3n. If we set n = k, then the union of the k 6

7 three-element subsets S i of the Set Cover problem will gives us the whole universe of 3n elements. Let us assume, a "yes" instance of the Set Cover: There is a number of k subsets S i, i {1, 2,..., n} and the union of these subsets, gives us the universe of 3n elements. If we set k = n, and represent each subset S i with a matching M i of n triples (x i, y i, z i ) then the union of the matches results to the whole number of nodes 3n. However, we also need to prove that each node is present exactly once in every matching. This happens indeed, due to the fact that the total number of nodes is 3n and the matches contain three elements each, so the number of matches is bounded by 3n/3 = n. Thus, we cannot have more than n matches in total, and since we have exactly n, no element can be taken twice. Figure 1: Universe of n elements. Figure 2: Universe of 3n elements. Πρόβλημα 6. Απάντηση. [Ονοματεπώνυμα γραφέων] 7

8 Figure 3: Disjoint sets X,Y,Z. Figure 4: 3 Dimensional Matching. 8

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2)

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών NP-Completeness (2) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 12 22 32 11 13 21

Διαβάστε περισσότερα

12/1/2006 Διακριτά Μαθηματικά. Ορισμός. Υπό γράφημα Τ γραφήματος Γ καλείται συνδετικό (ή επικαλύπτον)

12/1/2006 Διακριτά Μαθηματικά. Ορισμός. Υπό γράφημα Τ γραφήματος Γ καλείται συνδετικό (ή επικαλύπτον) ΣΥΝΔΕΤΙΚΑ ΔΕΝΤΡΑ Ορισμός. Υπό γράφημα Τ γραφήματος Γ καλείται συνδετικό (ή επικαλύπτον) δέντρο (spanning tree) του Γ εάν αυτό είναι δέντρο και περιέχει όλες τις κορυφές του Γ. Παράδειγμα. Στο παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης Συγκέντρωση Κίνησης 6.1. Εισαγωγή Σε ένα οπτικό WDM δίκτυο, οι κόμβοι κορμού επικοινωνούν μεταξύ τους και ανταλλάσουν πληροφορία μέσω των lightpaths. Ένα WDM δίκτυο κορμού είναι υπεύθυνο για την εγκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ Μεταγλωττιστές ΙΙ Καταμερισμός καταχωρητών Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr 01 Δεκεμβρίου 2010 Γενικά για τον καταμερισμό καταχωρητών Καταμερισμός καταχωρητών (register allocation): βελτιστοποίηση μεταγλωττιστή

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ

(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ (14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ Το πρόβλημα της «ορθότητας» ενός αλγορίθμου. Θεωρούμε συχνότατα τους αλγορίθμους, (όπως και σε αυτές τις σημειώσεις), ως προγράμματα γραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας χρήστης μιας PDH μισθωμένης γραμμής χρησιμοποιεί μια συσκευή πρόσβασης που υλοποιεί τη στοίβα ΑΤΜ/Ε1. α) Ποιος είναι ο μέγιστος υποστηριζόμενος ρυθμός (σε

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων 1

Αναγνώριση Προτύπων 1 Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων Projects για το εργαστήριο των Βάσεων Δεδομένων Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος Δεκέμβριος 2013 1. Το πολυκατάστημα Το πολυκατάστημα έχει ένα σύνολο από εργαζομένους. Κάθε εργαζόμενος χαρακτηρίζεται από έναν κωδικό

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Πρόβλημα Μετάδοσης Πακέτων Δύο κόμβοι, A και B, επικοινωνούν μέσω ενός δικτύου store & forward. Ο κόμβος Α συνδέεται στο δίκτυο μέσω ζεύξης 10Mbps, ενώ ο κόμβος B συνδέεται μέσω

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ Μορφές δημόσιου δανεισμού Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate 1 Ανάλογα με την πηγή προελεύσεως των πόρων Με βάση το κριτήριο αυτό, ο δανεισμός διακρίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ  Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 016 - I. ΜΗΛΗΣ AΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΦΩΝ ΙΙΙ Minimum Spanning Trees ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 016 - Ι. ΜΗΛΗΣ 14 - GRAPHS III - MSTs 1 Trees Ένας γράφος T = (V,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Περίληψη Κεφαλαίου: Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και αφετέρου η σωστή εφαρμογή του Επιχειρηματικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-12 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p)

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p) Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Andreas Strömbergsson Prov i matematik Funktionalanalys Kurs: F3B, F4Sy, NVP 2005-03-08 Skrivtid: 9 14 Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon, Kreyszigs bok

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΕ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι:

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι: 1. Σε περίπτωση που το κράτος φορολογεί τους πολίτες το διαθέσιμο εισόδημα του κάθε ατόμου είναι: α) το σύνολο του εισοδήματός του β) το σύνολο του εισοδήματός του, αφού προηγουμένως αφαιρέσουμε τους φόρους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Μέρος B Βασικά στοιχεία περί ασυμφραστικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πολυμορφισμός. Σήμερα!

Πολυμορφισμός. Σήμερα! Πολυμορφισμός Σήμερα! Ανάγκη για Πολυμορφισμό Πολυμορφισμός Constructors σε πολύμορφα αντικείμενα Διπλή συνάρτηση Κοινή κλάση βάσης 2 1 Ανάγκη για Πολυμορφισμό Ας υποθέσουμε ότι με τη βοήθεια της Ιεραρχίας

Διαβάστε περισσότερα

Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Αναπτυξιακών Προγραμμάτων Δ/νση Μηχανοργάνωσης & Η.Ε.Σ.

Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Αναπτυξιακών Προγραμμάτων Δ/νση Μηχανοργάνωσης & Η.Ε.Σ. Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Αναπτυξιακών Προγραμμάτων Δ/νση Μηχανοργάνωσης & Η.Ε.Σ. Απρίλιος 2012 ΥΠΕΣ-ΔΜΗΕΣ Β' κ Γ' ΑΝΑΘΕΩΡΗΣΗ 2009 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΚΛΟΓΙΚΟΙ ΚΑΤΑΛΟΓΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 1 Εκλογείς

Διαβάστε περισσότερα

Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης & Εκλογών Δ/νση Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης

Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης & Εκλογών Δ/νση Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης & Εκλογών Δ/νση Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης Ιανουάριος 2015 ΥΠΕΣ- Η Ε' ΑΝΑΘΕΩΡΗΣΗ 2014 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΚΛΟΓΙΚΟΙ ΚΑΤΑΛΟΓΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κλασικός Αθλητισμός Δρόμοι : Μεσαίες και μεγάλες αποστάσεις Ταχύτητες Σκυταλοδρομίες Δρόμοι με εμπόδια Δρόμοι Μεσαίων και Μεγάλων αποστάσεων Στην αρχαία εποχή ο δρόμος που είχε

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις ΙΙ 1 Σημερινό μάθημα Εμβέλεια Εμφωλίαση Τύπος αποθήκευσης Συναρτήσεις ως παράμετροι Πέρασμα με τιμή Πολλαπλά return Προκαθορισμένοι ρ Παράμετροι ρ Υπερφόρτωση συναρτήσεων Inline συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φόρμα Σχεδιασμού Διάλεξης (ημ/α: 17/03/08, έκδοση: 1.0)

Φόρμα Σχεδιασμού Διάλεξης (ημ/α: 17/03/08, έκδοση: 1.0) 1. Κωδικός Μαθήματος: (Εισαγωγή στον Προγραμματισμό) 2. Α/Α Διάλεξης: 1 1. Τίτλος: Εισαγωγή στους υπολογιστές. 2. Μαθησιακοί Στόχοι: Συνοπτική παρουσίαση της εξέλιξης των γλωσσών προγραμματισμού και των

Διαβάστε περισσότερα

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά);

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); (1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); Γιατί πρέπει να μελετήσουμε την περιοχή των «αλγορίθμων»; Ο φοιτητής και η φοιτήτρια που καλείται να παρακολουθήσει ένα μάθημα σαν το «αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα»

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Περιγράμματος

Περιγραφή Περιγράμματος Περιγραφή Περιγράμματος Σήμερα! Περιγραφή Περιγράμματος Κώδικας Αλύσσου (chain code) Πολυγωνική γραμμή Υπογραφή (signature) περιγράμματος Μετασχηματισμός Fourier περιγράμματος 1 Περιγραφή Περιγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανεξάρτητα δείγματα: Αφορά δύο κανονικούς πληθυσμούς με παραμέτρους

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ Επερωτήσεις SQL Άσκηση 1 Για το ακόλουθο σχήμα Suppliers(sid, sname, address) Parts(pid, pname,

Διαβάστε περισσότερα

www.cslab.ece.ntua.gr

www.cslab.ece.ntua.gr Ε ό Μ ό Π ί Σ ή Η ό Μ ώ Μ ώ Η/Υ Τ έ Τ ί Π ή Υ ώ Εργαστήριο Υπολογιστικών Συστημάτων www.cslab.ece.ntua.gr Διπλωματική εργασία Συγκριτική μελέτη μεθόδων αποθήκευσης αραιών πινάκων σε μπλοκ για την βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα