Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων

Transcript

1 Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Χρήστος Ζαρολιάγκης Σπύρος Κοντογιάννης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών ευτέρα, Οκτωβρίου 2016

2 Σκελετός Ομιλίας 1 Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ Ορολογία Γραμμικής Άλγεβρας Αξιοποίηση ΓΠ για Μοντελοποίηση Προβλημάτων 2 Γεωμετρία Χώρου Λύσεων ΓΠ 3 Ισοδύναμες Μορφές Αναπαράστασης ΓΠ Αναπαράσταση ΓΠ Ισοδυναμία Μορφών ΓΠ Επίλυση ΓΠ μέσω Απαλοιφών 4 Πρώτη Εργαστηριακή Άσκηση Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [2 / 49]

3 1.1 Ορολογία Άλγεβρας Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [3 / 49]

4 Μητρώα (Πίνακες) και ιανύσματα Μητρώο ή Πίνακας: ιδιάστατη δομή A = (A[i, j]) (i,j) [m] [n] που απαρτίζεται από m n στοιχεία οργανωμένα σε m γραμμές και n στήλες, οι τιμές των οποίων είναι πραγματικοί αριθμοί. Ανάστροφο του μητρώου A: Το μητρώο A = (A [j, i] = A[i, j]) (j,i) [n] [m]. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [4 / 49]

5 Μητρώα (Πίνακες) και ιανύσματα Μητρώο ή Πίνακας: ιδιάστατη δομή A = (A[i, j]) (i,j) [m] [n] που απαρτίζεται από m n στοιχεία οργανωμένα σε m γραμμές και n στήλες, οι τιμές των οποίων είναι πραγματικοί αριθμοί. Ανάστροφο του μητρώου A: Το μητρώο A = (A [j, i] = A[i, j]) (j,i) [n] [m]. ιάνυσμα-στήλη: Ενα n 1 μητρώο x R n 1. ιάνυσμα-γραμμή: Ενα 1 n μητρώο (ανεστραμμένο διάνυσμα-στήλη) x R 1 n. Όλα τα σημεία v R n αναπαριστώνται ως διανύσματα-στήλες. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [4 / 49]

6 Μητρώα (Πίνακες) και ιανύσματα Μητρώο ή Πίνακας: ιδιάστατη δομή A = (A[i, j]) (i,j) [m] [n] που απαρτίζεται από m n στοιχεία οργανωμένα σε m γραμμές και n στήλες, οι τιμές των οποίων είναι πραγματικοί αριθμοί. Ανάστροφο του μητρώου A: Το μητρώο A = (A [j, i] = A[i, j]) (j,i) [n] [m]. ιάνυσμα-στήλη: Ενα n 1 μητρώο x R n 1. ιάνυσμα-γραμμή: Ενα 1 n μητρώο (ανεστραμμένο διάνυσμα-στήλη) x R 1 n. Όλα τα σημεία v R n αναπαριστώνται ως διανύσματα-στήλες. Για οποιοδήποτε πραγματικό m n μητρώο A R m n : A j, ή (συνήθως) A[*, j] είναι το διάνυσμα-στήλη (A[i, j]) i [m] που αντιστοιχεί στην j στή στήλη του A. A k, ή (συνήθως) A[k, *] είναι το διάνυσμα-γραμμή (A[i, j]) j [n] που αντιστοιχεί στην k στή γραμμή του Α. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [4 / 49]

7 ιανυσματικοί Χώροι (Ι) ιανυσματικός (ή Γραμμικός) Χώρος: Μη κενό υποσύνολο του R n, κλειστό ως προς την πρόσθεση διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό πραγματικού αριθμού με διάνυσμα. ΠΡΟΣΟΧΗ: Περιλαμβάνει ΠΑΝΤΑ την αρχή των αξόνων. ΕΡΩΤΗΣΗ: ΓΙΑΤΙ «Γραμμικός»; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [5 / 49]

8 ιανυσματικοί Χώροι (Ι) ιανυσματικός (ή Γραμμικός) Χώρος: Μη κενό υποσύνολο του R n, κλειστό ως προς την πρόσθεση διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό πραγματικού αριθμού με διάνυσμα. ΠΡΟΣΟΧΗ: Περιλαμβάνει ΠΑΝΤΑ την αρχή των αξόνων. ΕΡΩΤΗΣΗ: ΓΙΑΤΙ «Γραμμικός»; Γραμμική ανεξαρτησία: Τα διανύσματα v 1,..., v k R n είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα ανν: c R k, if k i=1 c i v i = 0 then c 1 = c 2 =... = c k = 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [5 / 49]

9 ιανυσματικοί Χώροι (Ι) ιανυσματικός (ή Γραμμικός) Χώρος: Μη κενό υποσύνολο του R n, κλειστό ως προς την πρόσθεση διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό πραγματικού αριθμού με διάνυσμα. ΠΡΟΣΟΧΗ: Περιλαμβάνει ΠΑΝΤΑ την αρχή των αξόνων. ΕΡΩΤΗΣΗ: ΓΙΑΤΙ «Γραμμικός»; Γραμμική ανεξαρτησία: Τα διανύσματα v 1,..., v k R n είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα ανν: c R k, if k i=1 c i v i = 0 then c 1 = c 2 =... = c k = 0 ιάσταση dim(s) ιανυσματικού Χώρου S: Ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σημείων (διανυσμάτων) στον S. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [5 / 49]

10 ιανυσματικοί Χώροι (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποιος ο μικρότερος διανυσματικός χώρος που περιλαμβάνει το σημείο a R 2 ; y a b c x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [6 / 49]

11 ιανυσματικοί Χώροι (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποιος ο μικρότερος διανυσματικός χώρος που περιλαμβάνει το σημείο a R 2 ; y a b c x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [6 / 49]

12 ιανυσματικοί Χώροι (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποιος ο μικρότερος διανυσματικός χώρος που περιλαμβάνει το σημείο a R 2 ; y... το σημείο b R 2 ; a b c x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [6 / 49]

13 ιανυσματικοί Χώροι (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποιος ο μικρότερος διανυσματικός χώρος που περιλαμβάνει το σημείο a R 2 ; y... το σημείο b R 2 ; a b c x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [6 / 49]

14 ιανυσματικοί Χώροι (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποιος ο μικρότερος διανυσματικός χώρος που περιλαμβάνει το σημείο a R 2 ; y... το σημείο b R 2 ;... τα σημεία b, c R 2 ; a b c x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [6 / 49]

15 ιανυσματικοί Χώροι (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποιος ο μικρότερος διανυσματικός χώρος που περιλαμβάνει το σημείο a R 2 ; y... το σημείο b R 2 ;... τα σημεία b, c R 2 ; a b c x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [6 / 49]

16 ιανυσματικοί Χώροι (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποιος ο μικρότερος διανυσματικός χώρος που περιλαμβάνει το σημείο a R 2 ; y... το σημείο b R 2 ;... τα σημεία b, c R 2 ;... τα σημεία a, b R 2 ; a b c x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [6 / 49]

17 ιανυσματικοί Χώροι (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποιος ο μικρότερος διανυσματικός χώρος που περιλαμβάνει το σημείο a R 2 ; y... το σημείο b R 2 ;... τα σημεία b, c R 2 ;... τα σημεία a, b R 2 ; a b c x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [6 / 49]

18 ιανυσματικοί Χώροι (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποιος ο μικρότερος διανυσματικός χώρος που περιλαμβάνει το σημείο a R 2 ; y... το σημείο b R 2 ;... τα σημεία b, c R 2 ;... τα σημεία a, b R 2 ; a b c... τα σημεία a, b, c R 2 ; x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [6 / 49]

19 ιανυσματικοί Χώροι (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποιος ο μικρότερος διανυσματικός χώρος που περιλαμβάνει το σημείο a R 2 ; y... το σημείο b R 2 ;... τα σημεία b, c R 2 ;... τα σημεία a, b R 2 ; a b c... τα σημεία a, b, c R 2 ; x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [6 / 49]

20 Ομοπαραλληλικοί Χώροι Ομοπαραλληλικός Χώρος (affine space) A = Aff(S, t) διανυσματικού χώρου S: Μια «γραμμική μετατόπιση» του S κατά t R n : Aff(S, t) = {t + s : s S} ιάσταση dim(a) ομοπαραλληλικού χώρου A = Aff(S, t): Η διάσταση του διανυσματικού χώρου S στον οποίο αντιστοιχεί. ιάσταση dim(b) συνόλου σημείων B R n : Η μικρότερη δυνατή διάσταση μεταξύ των ομοπαραλληλικών χώρων που περιέχουν το B. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [7 / 49]

21 Ομοπαραλληλικοί Χώροι z Ομοπαραλληλικός Χώρος (affine space) A = Aff(S, t) διανυσματικού χώρου S: Μια «γραμμική μετατόπιση» του S κατά t R n : Aff(S, t) = {t + s : s S} ιάσταση dim(a) ομοπαραλληλικού χώρου A = Aff(S, t): Η διάσταση του διανυσματικού χώρου S στον οποίο αντιστοιχεί. ιάσταση dim(b) συνόλου σημείων B R n : Η μικρότερη δυνατή διάσταση μεταξύ των ομοπαραλληλικών χώρων που περιέχουν το B. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: z A = {(x, y, z) R 3 : z = 0} z y x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [7 / 49]

22 Ομοπαραλληλικοί Χώροι z Ομοπαραλληλικός Χώρος (affine space) A = Aff(S, t) διανυσματικού χώρου S: Μια «γραμμική μετατόπιση» του S κατά t R n : Aff(S, t) = {t + s : s S} ιάσταση dim(a) ομοπαραλληλικού χώρου A = Aff(S, t): Η διάσταση του διανυσματικού χώρου S στον οποίο αντιστοιχεί. ιάσταση dim(b) συνόλου σημείων B R n : Η μικρότερη δυνατή διάσταση μεταξύ των ομοπαραλληλικών χώρων που περιέχουν το B. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: z A = {(x, y, z) R 3 : z = 0} z B = {(x, y, z) : z = 2} = Aff(A, t = (0, 0, 2)) y x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [7 / 49]

23 Ομοπαραλληλικοί Χώροι Ομοπαραλληλικός Χώρος (affine space) A = Aff(S, t) διανυσματικού χώρου S: Μια «γραμμική μετατόπιση» του S κατά t R n : Aff(S, t) = {t + s : s S} ιάσταση dim(a) ομοπαραλληλικού χώρου A = Aff(S, t): Η διάσταση του διανυσματικού χώρου S στον οποίο αντιστοιχεί. ιάσταση dim(b) συνόλου σημείων B R n : Η μικρότερη δυνατή διάσταση μεταξύ των ομοπαραλληλικών χώρων που περιέχουν το B. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: A = {(x, y, z) R 3 : z = 0} B = {(x, y, z) : z = 2} = Aff(A, t = (0, 0, 2)) ιάσταση C = {a, b}; ιάσταση D = {b, c}; ιάσταση E = {a, b, c}; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [7 / 49] y a b c x

24 Ομοπαραλληλικοί Χώροι Ομοπαραλληλικός Χώρος (affine space) A = Aff(S, t) διανυσματικού χώρου S: Μια «γραμμική μετατόπιση» του S κατά t R n : Aff(S, t) = {t + s : s S} ιάσταση dim(a) ομοπαραλληλικού χώρου A = Aff(S, t): Η διάσταση του διανυσματικού χώρου S στον οποίο αντιστοιχεί. ιάσταση dim(b) συνόλου σημείων B R n : Η μικρότερη δυνατή διάσταση μεταξύ των ομοπαραλληλικών χώρων που περιέχουν το B. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: A = {(x, y, z) R 3 : z = 0} B = {(x, y, z) : z = 2} = Aff(A, t = (0, 0, 2)) ιάσταση C = {a, b}; dim(c) = 1 ιάσταση D = {b, c}; dim(d) = 1 ιάσταση E = {a, b, c}; dim(e) = 2 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [7 / 49] y a b c x

25 Χώροι Παραγόμενοι από Μητρώα Στηλοχώρος ενός μητρώου A: Το σύνολο σημείων που «παράγουν» οι στήλες του A. cs(a) = {Ax : x R n } = { n j=1 A[*, j] x j : x R n } ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Είναι διανυσματικός χώρος (γιατί;). Βαθμός m n μητρώου A: rank(a) = dim(cs(a)) min{m, n}. Βάση μητρώου A: Ενα σύνολο rank(a) στηλών του A που αντιστοιχούν σε γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, και κατά συνέπεια «παράγουν» τον στηλοχώρο του A. Μητρώο A με πλήρη βαθμό: rank(a) = min{m, n}. Κενός χώρος (ή πυρήνας) μητρώου A: ns(a) = kernel(a) = {z R n : Az = 0} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [8 / 49]

26 Υποχώροι και Υπερεπίπεδα Εστω πραγματικό διάνυσμα a R n \ {0}, και βαθμωτός β R. Υπερεπίπεδο H(a, β) του R n : H(a, β) = {x R n : a x := n j=1 a j x j = β} dim(h(a, β)) = n 1 (γιατί;). Είναι ομοπαραλληλικός χώρος (γιατί;). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [9 / 49]

27 Υποχώροι και Υπερεπίπεδα Εστω πραγματικό διάνυσμα a R n \ {0}, και βαθμωτός β R. Υπερεπίπεδο H(a, β) του R n : H(a, β) = {x R n : a x := n j=1 a j x j = β} dim(h(a, β)) = n 1 (γιατί;). 10 x1 x2 4 Είναι ομοπαραλληλικός χώρος (γιατί;). 2x1 + x2 4 x2 Υποχώρος C(a, β) του R n : C(a, β) = {x R n : a x := n j=1 a j x j β} x1 x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [9 / 49]

28 Υποχώροι και Υπερεπίπεδα Εστω πραγματικό διάνυσμα a R n \ {0}, και βαθμωτός β R. Υπερεπίπεδο H(a, β) του R n : H(a, β) = {x R n : a x := n j=1 a j x j = β} dim(h(a, β)) = n 1 (γιατί;). 10 x1 x2 4 Είναι ομοπαραλληλικός χώρος (γιατί;). 2x1 + x2 4 x2 Υποχώρος C(a, β) του R n : C(a, β) = {x R n : a x := n j=1 a j x j β} Q Ποια η διάσταση του C(a, β); x1 x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [9 / 49]

29 Υποχώροι και Υπερεπίπεδα Εστω πραγματικό διάνυσμα a R n \ {0}, και βαθμωτός β R. Υπερεπίπεδο H(a, β) του R n : H(a, β) = {x R n : a x := n j=1 a j x j = β} dim(h(a, β)) = n 1 (γιατί;). 10 x1 x2 4 Είναι ομοπαραλληλικός χώρος (γιατί;). 2x1 + x2 4 x2 Υποχώρος C(a, β) του R n : C(a, β) = {x R n : a x := n j=1 a j x j β} x1 x Q Ποια η διάσταση του C(a, β); A dim(c(a, β)) = n: Κάθε υποχώρος περιγράφεται από μια γραμμική ανισότητα των συντεταγμένων των σημείων που περιλαμβάνει!!! Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [9 / 49]

30 Πολύεδρα και Πολύτοπα (Κυρτό) Πολύεδρο: Τομή πεπερασμένου αριθμού υποχώρων του R n. Q Πώς περιγράφεται ένα πολύεδρο; 10 2x1 + x2 4 x2 x1 x2 4 x1 0 x1 10 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [10 / 49]

31 Πολύεδρα και Πολύτοπα (Κυρτό) Πολύεδρο: Τομή πεπερασμένου αριθμού υποχώρων του R n. 10 x1 x2 4 Q Πώς περιγράφεται ένα πολύεδρο; 2x1 + x2 4 x2 A Από ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών εξισώσεων ή/και ανισοτήτων. x1 x Φραγμένο υποσύνολο T R n : Για αυθαίρετο πραγματικό αριθμό M, και οποιοδήποτε σημείο x T, ισχύει ότι: [ nk=1 x 2 = x 2 ] 1/2 k M 10 2x1 + x2 4 x2 x1 x2 4 x1 7 3x1 + x2 15 Πολύτοπο: Ενα φραγμένο μη κενό πολύεδρο. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [10 / 49] x1 x1 0 10

32 Περί Κυρτότητας Συνόλων Εστω σύνολο διανυσμάτων {x 1,..., x k } R n και διάνυσμα συντελεστών c R k : 1 c = k i=1 c i = 1. Το διάνυσμα z = k i=1 c i x i είναι ένας ομοπαραλληλικός συνδυασμός (affine combination) των x 1,..., x k. Αν επιπρόσθετα ισχύει ότι c [0, 1] k τότε το z = k i=1 c i x i είναι ένας κυρτός συνδυασμός (convex combination) των x 1,..., x k. Το z είναι αυστηρά κυρτός συνδυασμός αν ισχύει ότι c (0, 1) k. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [11 / 49]

33 Περί Κυρτότητας Συνόλων Εστω σύνολο διανυσμάτων {x 1,..., x k } R n και διάνυσμα συντελεστών c R k : 1 c = k i=1 c i = 1. Το διάνυσμα z = k i=1 c i x i είναι ένας ομοπαραλληλικός συνδυασμός (affine combination) των x 1,..., x k. Αν επιπρόσθετα ισχύει ότι c [0, 1] k τότε το z = k i=1 c i x i είναι ένας κυρτός συνδυασμός (convex combination) των x 1,..., x k. Το z είναι αυστηρά κυρτός συνδυασμός αν ισχύει ότι c (0, 1) k. Το S R n είναι κυρτό αν και μόνο αν για οποιαδήποτε σημεία x, y S, και λ (0, 1), ισχύει ότι λx + (1 λ)y S. (α) (β) Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [11 / 49]

34 Περί Κυρτότητας Συνόλων Εστω σύνολο διανυσμάτων {x 1,..., x k } R n και διάνυσμα συντελεστών c R k : 1 c = k i=1 c i = 1. Το διάνυσμα z = k i=1 c i x i είναι ένας ομοπαραλληλικός συνδυασμός (affine combination) των x 1,..., x k. Αν επιπρόσθετα ισχύει ότι c [0, 1] k τότε το z = k i=1 c i x i είναι ένας κυρτός συνδυασμός (convex combination) των x 1,..., x k. Το z είναι αυστηρά κυρτός συνδυασμός αν ισχύει ότι c (0, 1) k. Το S R n είναι κυρτό αν και μόνο αν για οποιαδήποτε σημεία x, y S, και λ (0, 1), ισχύει ότι λx + (1 λ)y S. Q Υπάρχουν ΜΗ ΚΥΡΤΑ πολύεδρα; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [11 / 49]

35 Περί Κυρτότητας Συνόλων Εστω σύνολο διανυσμάτων {x 1,..., x k } R n και διάνυσμα συντελεστών c R k : 1 c = k i=1 c i = 1. Το διάνυσμα z = k i=1 c i x i είναι ένας ομοπαραλληλικός συνδυασμός (affine combination) των x 1,..., x k. Αν επιπρόσθετα ισχύει ότι c [0, 1] k τότε το z = k i=1 c i x i είναι ένας κυρτός συνδυασμός (convex combination) των x 1,..., x k. Το z είναι αυστηρά κυρτός συνδυασμός αν ισχύει ότι c (0, 1) k. Το S R n είναι κυρτό αν και μόνο αν για οποιαδήποτε σημεία x, y S, και λ (0, 1), ισχύει ότι λx + (1 λ)y S. Q Υπάρχουν ΜΗ ΚΥΡΤΑ πολύεδρα; A ΟΧΙ, ως ΤΟΜΗ (κυρτών) υποχώρων. ΝΑΙ, στη Γεωμετρία!!! Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [11 / 49]

36 Ελεγχος Κυρτότητας ΑΣΚΗΣΗ: Εξετάστε αν είναι κυρτό το σύνολο: S = {(x, y) R 2 : x y 1; x 0; y 0}. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [12 / 49]

37 Ελεγχος Κυρτότητας ΑΣΚΗΣΗ: Εξετάστε αν είναι κυρτό το σύνολο: S = {(x, y) R 2 : x y 1; x 0; y 0}. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Πρέπει να εξεταστεί η κλειστότητα του S ως προς αυθαίρετους κυρτούς συνδυασμούς σημείων. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [12 / 49]

38 Ελεγχος Κυρτότητας ΑΣΚΗΣΗ: Εξετάστε αν είναι κυρτό το σύνολο: S = {(x, y) R 2 : x y 1; x 0; y 0}. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Πρέπει να εξεταστεί η κλειστότητα του S ως προς αυθαίρετους κυρτούς συνδυασμούς σημείων. Εστω αυθαίρετα (a, b), (c, d) S, και λ (0, 1). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [12 / 49]

39 Ελεγχος Κυρτότητας ΑΣΚΗΣΗ: Εξετάστε αν είναι κυρτό το σύνολο: S = {(x, y) R 2 : x y 1; x 0; y 0}. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Πρέπει να εξεταστεί η κλειστότητα του S ως προς αυθαίρετους κυρτούς συνδυασμούς σημείων. Εστω αυθαίρετα (a, b), (c, d) S, και λ (0, 1). ΕΛΕΓΧΟΣ: (e, f) = λ (a, b) + (1 λ) (c, d) S?. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [12 / 49]

40 Ελεγχος Κυρτότητας ΑΣΚΗΣΗ: Εξετάστε αν είναι κυρτό το σύνολο: S = {(x, y) R 2 : x y 1; x 0; y 0}. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Πρέπει να εξεταστεί η κλειστότητα του S ως προς αυθαίρετους κυρτούς συνδυασμούς σημείων. Εστω αυθαίρετα (a, b), (c, d) S, και λ (0, 1). ΕΛΕΓΧΟΣ: (e, f) = λ (a, b) + (1 λ) (c, d) S?. ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Για λ = 1 2, a = d = 10, b = c = 1 10, παρατηρούμε ότι e = f = e f >1. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [12 / 49]

41 Ελεγχος Κυρτότητας ΑΣΚΗΣΗ: Εξετάστε αν είναι κυρτό το σύνολο: S = {(x, y) R 2 : x y 1; x 0; y 0}. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Πρέπει να εξεταστεί η κλειστότητα του S ως προς αυθαίρετους κυρτούς συνδυασμούς σημείων. Εστω αυθαίρετα (a, b), (c, d) S, και λ (0, 1). ΕΛΕΓΧΟΣ: (e, f) = λ (a, b) + (1 λ) (c, d) S?. ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Για λ = 1 2, a = d = 10, b = c = 1 10, παρατηρούμε ότι e = f = e f >1. Το S δεν είναι κυρτό σύνολο. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [12 / 49]

42 1.2 Αξιοποίηση ΓΠ ως Μαθηματικού Μοντέλου Προβλημάτων Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [13 / 49]

43 Πρόβλημα Μεταφοράς Αγαθών (Ι) Εταιρεία διανομής σιτάλευρων θέλει να μεταφέρει από m αποθήκες της που διαθέτουν k 1, k 2,..., k m κιλά αλεύρι αντίστοιχα, b 1, b 2,..., b n κιλά σε n φούρνους. Το κόστος μετακίνησης ανά κιλό αλεύρι από την αποθήκη i [m] στον φούρνο j [n] είναι c i,j. Πώς πρέπει να γίνει (αν είναι δυνατή) η προμήθεια των φούρνων από τις αποθήκες, ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος της μεταφοράς; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [14 / 49]

44 Πρόβλημα Μεταφοράς Αγαθών (Ι) Εταιρεία διανομής σιτάλευρων θέλει να μεταφέρει από m αποθήκες της που διαθέτουν k 1, k 2,..., k m κιλά αλεύρι αντίστοιχα, b 1, b 2,..., b n κιλά σε n φούρνους. Το κόστος μετακίνησης ανά κιλό αλεύρι από την αποθήκη i [m] στον φούρνο j [n] είναι c i,j. Πώς πρέπει να γίνει (αν είναι δυνατή) η προμήθεια των φούρνων από τις αποθήκες, ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος της μεταφοράς; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [14 / 49]

45 Πρόβλημα Μεταφοράς Αγαθών (Ι) Εταιρεία διανομής σιτάλευρων θέλει να μεταφέρει από m αποθήκες της που διαθέτουν k 1, k 2,..., k m κιλά αλεύρι αντίστοιχα, b 1, b 2,..., b n κιλά σε n φούρνους. i [m], j [n] x i,j k i j [n], i [m] x i,j = b j Το κόστος μετακίνησης ανά κιλό αλεύρι από την αποθήκη i [m] στον φούρνο j [n] είναι c i,j. Πώς πρέπει να γίνει (αν είναι δυνατή) η προμήθεια των φούρνων από τις αποθήκες, ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος της μεταφοράς; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [14 / 49]

46 Πρόβλημα Μεταφοράς Αγαθών (Ι) Εταιρεία διανομής σιτάλευρων θέλει να μεταφέρει από m αποθήκες της που διαθέτουν k 1, k 2,..., k m κιλά αλεύρι αντίστοιχα, b 1, b 2,..., b n κιλά σε n φούρνους. i [m], j [n] x i,j k i j [n], i [m] x i,j = b j Το κόστος μετακίνησης ανά κιλό αλεύρι από την αποθήκη i [m] στον φούρνο j [n] είναι c i,j. Αντικειμενική συνάρτηση: i [m] j [n] c i,j x i,j Πώς πρέπει να γίνει (αν είναι δυνατή) η προμήθεια των φούρνων από τις αποθήκες, ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος της μεταφοράς; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [14 / 49]

47 Πρόβλημα Μεταφοράς Αγαθών (Ι) Εταιρεία διανομής σιτάλευρων θέλει να μεταφέρει από m αποθήκες της που διαθέτουν k 1, k 2,..., k m κιλά αλεύρι αντίστοιχα, b 1, b 2,..., b n κιλά σε n φούρνους. i [m], j [n] x i,j k i j [n], i [m] x i,j = b j Το κόστος μετακίνησης ανά κιλό αλεύρι από την αποθήκη i [m] στον φούρνο j [n] είναι c i,j. Αντικειμενική συνάρτηση: min.{ i [m] j [n] c i,j x i,j } Πώς πρέπει να γίνει (αν είναι δυνατή) η προμήθεια των φούρνων από τις αποθήκες, ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος της μεταφοράς; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [14 / 49]

48 Πρόβλημα Μεταφοράς Αγαθών (ΙΙ) minimize subject to : i [m] j [n] c i,j x i,j j [n] x i,j i [m] x i,j (i, j) [m] [n], x i,j 0 k i = b j Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [15 / 49]

49 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (Ι) ιαχειριζόμαστε για m ημέρες αποθήκη που διατηρεί στοκ τηλεοράσεων και έχει χωρητικότητα t τεμαχίων. Κάθε μέρα είτε πουλάμε (αδειάζοντας την αποθήκη) ή αγοράζουμε τηλεοράσεις (γεμίζοντας την αποθήκη). Η αξία μιας τηλεόρασης είναι η ίδια (έστω r i ), τόσο για πώληση όσο και για αγορά, για συγκεκριμένη ημέρα i [m] (ίσως διαφοροποιείται για διαφορετικές μέρες). Υπάρχει κόστος αποθήκευσης ανά ημέρα, έστω c για κάθε τηλεόραση. Αρχικά η αποθήκη είναι άδεια, και στο τέλος θέλουμε να είναι και πάλι άδεια. Πώς πρέπει να διαχειριστούμε την αποθήκη για το διάστημα των m ημερών, ώστε να εξασφαλίσουμε μεγιστοποίηση του κέρδους μας; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [16 / 49]

50 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙ) Μεταβλητές απόφασης; Περιορισμοί; Συνάρτηση στόχος; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [17 / 49]

51 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙ) Μεταβλητές απόφασης; i [m], x i = πλήθος τηλεοράσεων στην αποθήκη στην αρχή της ημέρας i [m]. i [m], b i, s i = πλήθος τηλεοράσεων που αγοράζονται / πωλούνται κατά τη διάρκεια της μέρας i [m]. Περιορισμοί; Άδεια αποθήκη στην αρχή της περιόδου: Συνάρτηση στόχος; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [17 / 49]

52 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙ) Μεταβλητές απόφασης; i [m], x i = πλήθος τηλεοράσεων στην αποθήκη στην αρχή της ημέρας i [m]. i [m], b i, s i = πλήθος τηλεοράσεων που αγοράζονται / πωλούνται κατά τη διάρκεια της μέρας i [m]. Περιορισμοί; Άδεια αποθήκη στην αρχή της περιόδου: x 1 = 0 Σεβασμός χωρητικότητας αποθήκης: Συνάρτηση στόχος; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [17 / 49]

53 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙ) Μεταβλητές απόφασης; i [m], x i = πλήθος τηλεοράσεων στην αποθήκη στην αρχή της ημέρας i [m]. i [m], b i, s i = πλήθος τηλεοράσεων που αγοράζονται / πωλούνται κατά τη διάρκεια της μέρας i [m]. Περιορισμοί; Άδεια αποθήκη στην αρχή της περιόδου: x 1 = 0 Σεβασμός χωρητικότητας αποθήκης: Κλειστό σύστημα: i [m], x i t Συνάρτηση στόχος; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [17 / 49]

54 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙ) Μεταβλητές απόφασης; i [m], x i = πλήθος τηλεοράσεων στην αποθήκη στην αρχή της ημέρας i [m]. i [m], b i, s i = πλήθος τηλεοράσεων που αγοράζονται / πωλούνται κατά τη διάρκεια της μέρας i [m]. Περιορισμοί; Άδεια αποθήκη στην αρχή της περιόδου: x 1 = 0 Σεβασμός χωρητικότητας αποθήκης: Κλειστό σύστημα: i [m], x i t i {2, 3,..., m}, x i = x i 1 + b i 1 s i 1 Άδεια αποθήκη στο τέλος της περιόδου: Συνάρτηση στόχος; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [17 / 49]

55 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙ) Μεταβλητές απόφασης; i [m], x i = πλήθος τηλεοράσεων στην αποθήκη στην αρχή της ημέρας i [m]. i [m], b i, s i = πλήθος τηλεοράσεων που αγοράζονται / πωλούνται κατά τη διάρκεια της μέρας i [m]. Περιορισμοί; Άδεια αποθήκη στην αρχή της περιόδου: x 1 = 0 Σεβασμός χωρητικότητας αποθήκης: Κλειστό σύστημα: i [m], x i t i {2, 3,..., m}, x i = x i 1 + b i 1 s i 1 Άδεια αποθήκη στο τέλος της περιόδου: x m + b m s m = 0 Συνάρτηση στόχος; Μεγιστοποίηση συνολικού κέρδους: Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [17 / 49]

56 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙ) Μεταβλητές απόφασης; i [m], x i = πλήθος τηλεοράσεων στην αποθήκη στην αρχή της ημέρας i [m]. i [m], b i, s i = πλήθος τηλεοράσεων που αγοράζονται / πωλούνται κατά τη διάρκεια της μέρας i [m]. Περιορισμοί; Άδεια αποθήκη στην αρχή της περιόδου: x 1 = 0 Σεβασμός χωρητικότητας αποθήκης: Κλειστό σύστημα: i [m], x i t i {2, 3,..., m}, x i = x i 1 + b i 1 s i 1 Άδεια αποθήκη στο τέλος της περιόδου: x m + b m s m = 0 Συνάρτηση στόχος; Μεγιστοποίηση συνολικού κέρδους: max. { m i=1 [(s i b i ) r i c x i ] } Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [17 / 49]

57 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙΙ) maximize m i=1 [ r i s i r i b i c x i ] subject to : x 1 = 0 i [m] x i t 2 i m s i 1 +b i 1 +x i 1 x i = 0 s m +b m +x m = 0 i [m] s i N, b i N, x i N Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [18 / 49]

58 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙΙ) maximize m i=1 [ r i s i r i b i c x i ] subject to : x 1 = 0 i [m] x i t 2 i m s i 1 +b i 1 +x i 1 x i = 0 s m +b m +x m = 0 i [m] s i N, b i N, x i N Q Βλέπετε κάποιο πρόβλημα; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [18 / 49]

59 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙΙ) maximize m i=1 [ r i s i r i b i c x i ] subject to : x 1 = 0 i [m] x i t 2 i m s i 1 +b i 1 +x i 1 x i = 0 s m +b m +x m = 0 i [m] s i N, b i N, x i N Q Βλέπετε κάποιο πρόβλημα; A Ακεραιότητα!!! Πώς διορθώνεται; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [18 / 49]

60 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙΙ) maximize m i=1 [ r i s i r i b i c x i ] subject to : x 1 = 0 i [m] x i t 2 i m s i 1 +b i 1 +x i 1 x i = 0 s m +b m +x m = 0 i [m] s i 0, b i 0, x i 0 Q Βλέπετε κάποιο πρόβλημα; A Ακεραιότητα!!! Πώς διορθώνεται; Όχι σημαντικό πρόβλημα (εδώ), συνήθως θεωρούμε το χαλαρωμένο ΓΠ (με πρόσημα, αντί για ακεραιότητα) θεωρώντας μεγάλης χωρητικότητας αποθήκη (όπου έχει νόημα η διαχείριση). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [18 / 49]

61 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙΙ) Q Πώς μπορούμε να απλοποιήσουμε το συγκεκριμένο ΓΠ; maximize m i=1 [ r i s i r i b i c x i ] subject to : x 1 = 0 i [m] x i t 2 i m s i 1 +b i 1 +x i 1 x i = 0 s m +b m +x m = 0 i [m] s i 0, b i 0, x i 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [19 / 49]

62 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙΙ) Q Πώς μπορούμε να απλοποιήσουμε το συγκεκριμένο ΓΠ; A Χρήση μόνο των πραγματικά απαραίτητων μεταβλητών (κυρίως) και περιορισμών!!! maximize m i=1 [ r i s i r i b i c x i ] subject to : x 1 = 0 i [m] x i t 2 i m s i 1 +b i 1 +x i 1 x i = 0 s m +b m +x m = 0 i [m] s i 0, b i 0, x i 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [19 / 49]

63 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙΙ) Q Πώς μπορούμε να απλοποιήσουμε το συγκεκριμένο ΓΠ; A Χρήση μόνο των πραγματικά απαραίτητων μεταβλητών (κυρίως) και περιορισμών!!! maximize m i=1 [ r i s i r i b i c x i ] subject to : x 1 = 0 i [m] x i t 2 i m x i 1 x i = s i 1 b i 1 x m = s m b m i [m] s i 0, b i 0, x i 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [19 / 49]

64 Πρόβλημα ιαχείρισης Αποθήκης (ΙΙΙ) Q Πώς μπορούμε να απλοποιήσουμε το συγκεκριμένο ΓΠ; A Χρήση μόνο των πραγματικά απαραίτητων μεταβλητών (κυρίως) και περιορισμών!!! maximize mi=2 (r i r i 1 c) x i subject to : x 1 = 0 i [m] x i t 2 i m x i 1 x i = s i 1 b i 1 x m = s m b m i [m] s i 0, b i 0, x i 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [19 / 49]

65 Support Vector Machines (Ι) Εστω δυο συλλογές σημείων S = {s 1,..., s m } και T = {t 1,..., t n } στον χώρο R d. Να βρεθεί (αν υπάρχει) υπερεπίπεδο H = H(a, β) R d που διαχωρίζει τα σημεία του S από αυτά του T, δηλαδή, H S = H T =, και όλα τα σημεία του S βρίσκονται σε διαφορετικό υποχώρο από όλα τα σημεία του T, ως προς το H. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [20 / 49]

66 Support Vector Machines (Ι) Εστω δυο συλλογές σημείων S = {s 1,..., s m } και T = {t 1,..., t n } στον χώρο R d. Να βρεθεί (αν υπάρχει) υπερεπίπεδο H = H(a, β) R d που διαχωρίζει τα σημεία του S από αυτά του T, δηλαδή, H S = H T =, και όλα τα σημεία του S βρίσκονται σε διαφορετικό υποχώρο από όλα τα σημεία του T, ως προς το H. ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Ενα υπερεπίπεδο του R d ορίζεται ως προς σημείο a R d και πραγματικό αριθμό β R: H(a, β) = {x R d : a x β = 0}. Οι δυο υποχώροι που ορίζει το H: C 1 = C(a, β) = {x R d : a x β 0}, και C 2 = C( a, β) = {x R d : a x β 0}. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [20 / 49]

67 Support Vector Machines (ΙΙ) Περιορισμοί: 1 Κανένα σημείο των S, T δεν πρέπει να ανήκει στο υπερεπίπεδο που αναζητάμε: Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [21 / 49]

68 Support Vector Machines (ΙΙ) Περιορισμοί: 1 Κανένα σημείο των S, T δεν πρέπει να ανήκει στο υπερεπίπεδο που αναζητάμε: x S T, a x β 0 2 Όλα τα σημεία του S βρίσκονται «πάνω» από το H, και όλα τα σημεία του T βρίσκονται «κάτω» από το H: Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [21 / 49]

69 Support Vector Machines (ΙΙ) Περιορισμοί: 1 Κανένα σημείο των S, T δεν πρέπει να ανήκει στο υπερεπίπεδο που αναζητάμε: x S T, a x β 0 2 Όλα τα σημεία του S βρίσκονται «πάνω» από το H, και όλα τα σημεία του T βρίσκονται «κάτω» από το H: ε 1 >0, ε 2 >0 και ε = min{ε 1, ε 2 } >0 τ.ώ. s S, a s β ε 1 ε >0 t T, a t β ε 2 ε <0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [21 / 49]

70 Support Vector Machines (ΙΙ) Περιορισμοί: 1 Κανένα σημείο των S, T δεν πρέπει να ανήκει στο υπερεπίπεδο που αναζητάμε: x S T, a x β 0 2 Όλα τα σημεία του S βρίσκονται «πάνω» από το H, και όλα τα σημεία του T βρίσκονται «κάτω» από το H: ε 1 >0, ε 2 >0 και ε = min{ε 1, ε 2 } >0 τ.ώ. s S, a s β ε 1 ε >0 t T, a t β ε 2 ε <0 maximize subject to : ε a s β ε 0, s S a t + β ε 0, t T Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [21 / 49]

71 Support Vector Machines (ΙΙ) Περιορισμοί: 1 Κανένα σημείο των S, T δεν πρέπει να ανήκει στο υπερεπίπεδο που αναζητάμε: x S T, a x β 0 2 Όλα τα σημεία του S βρίσκονται «πάνω» από το H, και όλα τα σημεία του T βρίσκονται «κάτω» από το H: ε 1 >0, ε 2 >0 και ε = min{ε 1, ε 2 } >0 τ.ώ. s S, a s β ε 1 ε >0 t T, a t β ε 2 ε <0 maximize subject to : ε a s β ε 0, s S a t + β ε 0, t T if η βέλτιστη λύση (ā, β, ε) έχει ε >0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [21 / 49]

72 Support Vector Machines (ΙΙ) Περιορισμοί: 1 Κανένα σημείο των S, T δεν πρέπει να ανήκει στο υπερεπίπεδο που αναζητάμε: x S T, a x β 0 2 Όλα τα σημεία του S βρίσκονται «πάνω» από το H, και όλα τα σημεία του T βρίσκονται «κάτω» από το H: ε 1 >0, ε 2 >0 και ε = min{ε 1, ε 2 } >0 τ.ώ. s S, a s β ε 1 ε >0 t T, a t β ε 2 ε <0 maximize subject to : ε a s β ε 0, s S a t + β ε 0, t T if η βέλτιστη λύση (ā, β, ε) έχει ε >0 then το ζητούμενο υπερεπίπεδο είναι το H(ā, β) Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [21 / 49]

73 Support Vector Machines (ΙΙ) Περιορισμοί: 1 Κανένα σημείο των S, T δεν πρέπει να ανήκει στο υπερεπίπεδο που αναζητάμε: x S T, a x β 0 2 Όλα τα σημεία του S βρίσκονται «πάνω» από το H, και όλα τα σημεία του T βρίσκονται «κάτω» από το H: ε 1 >0, ε 2 >0 και ε = min{ε 1, ε 2 } >0 τ.ώ. s S, a s β ε 1 ε >0 t T, a t β ε 2 ε <0 maximize subject to : ε a s β ε 0, s S a t + β ε 0, t T if η βέλτιστη λύση (ā, β, ε) έχει ε >0 then το ζητούμενο υπερεπίπεδο είναι το H(ā, β) else δεν υπάρχει εφικτή λύση. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [21 / 49]

74 Support Vector Machines (ΙΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Πώς λύνεται το πρόβλημα, αν επιτρέπεται να διέρχεται το υπερεπίπεδο από το πολύ ένα σημείο του S T; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [22 / 49]

75 Support Vector Machines (ΙΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Πώς λύνεται το πρόβλημα, αν επιτρέπεται να διέρχεται το υπερεπίπεδο από το πολύ ένα σημείο του S T; (1) (a, β, ε ) arg max{ε : s S, a s β ε; t T, a t β ε} (2) if ε >0 then return ((a, β )) (3) if το ΓΠ του βήματος (1) έχει λύση (με ε = 0) then : (3.1) for all s S do / s: υποψήφιο σημείο πάνω στο υπερεπίπεδο / (3.1.1) (a, β, ε ) arg max ε a s β = 0; : s S \ { s}, a s β ε; t T, a t β ε (3.1.2) if ε >0 then return ((a, β )) (3.2) for all t T do / t: υποψήφιο σημείο πάνω στο υπερεπίπεδο / (3.2.1) (a, β, ε ) arg max ε s S, a s β ε; : a t β = 0; t T \ { t}, a t β ε (3.2.2) if ε >0 then return ((a, β )) (4) return ( «Α ΥΝΑΤΟΝ» ) Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [22 / 49]

76 Μοντελοποίηση Μη Γραμμικών Προβλημάτων ως ΓΠ (Ι) ΑΣΚΗΣΗ ΓΠ1.1: Εστω ότι θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε μια συνάρτηση g : R n R της μορφής g(x) = c x + f(d x), στο πεδίο ορισμού (πολύεδρο) R = {x R n : Ax b}, για σταθερά διανύσματα c, d R n, b R m, και συνάρτηση f : R R που ορίζεται ως εξής: f(x) = x + 1, x 1 0, 1 x 2 2x 4, 2 x ώστε μαθηματικό πρόγραμμα που να επιστρέφει ως λύσεις του τα ελάχιστα της συνάρτησης g. 5/2 f(x) 5/2 x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [23 / 49]

77 Μοντελοποίηση Μη Γραμμικών Προβλημάτων ως ΓΠ (Ι) ΑΣΚΗΣΗ ΓΠ1.1: Εστω ότι θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε μια συνάρτηση g : R n R της μορφής g(x) = c x + f(d x), στο πεδίο ορισμού (πολύεδρο) R = {x R n : Ax b}, για σταθερά διανύσματα c, d R n, b R m, και συνάρτηση f : R R που ορίζεται ως εξής: f(x) = x + 1, x 1 0, 1 x 2 2x 4, 2 x ώστε μαθηματικό πρόγραμμα που να επιστρέφει ως λύσεις του τα ελάχιστα της συνάρτησης g. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ισοδύναμο (μη γραμμικό) πρόβλημα βελτιστοποίησης: minimize{c x + f(d x) : Ax b} 5/2 f(x) 5/2 x Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [23 / 49]

78 Μοντελοποίηση Μη Γραμμικών Προβλημάτων ως ΓΠ (Ι) ΑΣΚΗΣΗ ΓΠ1.1: Εστω ότι θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε μια συνάρτηση g : R n R της μορφής g(x) = c x + f(d x), στο πεδίο ορισμού (πολύεδρο) R = {x R n : Ax b}, για σταθερά διανύσματα c, d R n, b R m, και συνάρτηση f : R R που ορίζεται ως εξής: f(x) = x + 1, x 1 0, 1 x 2 2x 4, 2 x ώστε μαθηματικό πρόγραμμα που να επιστρέφει ως λύσεις του τα ελάχιστα της συνάρτησης g. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ισοδύναμο (μη γραμμικό) πρόβλημα βελτιστοποίησης: minimize{c x + f(d x) : Ax b} Q Πώς μετατρέπεται σε γραμμικό πρόγραμμα; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [23 / 49] 5/2 f(x) 5/2 x

79 Μοντελοποίηση Μη Γραμμικών Προβλημάτων ως ΓΠ (ΙΙ) Εστω ευθείες e 1 (x) = x + 1, e 2 (x) = 0, e 3 (x) = 2x 4. f(x) 5/2 5/2 x Πώς μπορεί να εκφραστεί η f ως προς αυτές τις γραμμικές συναρτήσεις; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [24 / 49]

80 Μοντελοποίηση Μη Γραμμικών Προβλημάτων ως ΓΠ (ΙΙ) Εστω ευθείες e 1 (x) = x + 1, e 2 (x) = 0, e 3 (x) = 2x 4. f(x) 5/2 5/2 x Πώς μπορεί να εκφραστεί η f ως προς αυτές τις γραμμικές συναρτήσεις; f(x) = max{e 1 (x), e 2 (x), e 3 (x)} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [24 / 49]

81 Μοντελοποίηση Μη Γραμμικών Προβλημάτων ως ΓΠ (ΙΙ) Εστω ευθείες e 1 (x) = x + 1, e 2 (x) = 0, e 3 (x) = 2x 4. f(x) 5/2 5/2 x Πώς μπορεί να εκφραστεί η f ως προς αυτές τις γραμμικές συναρτήσεις; f(x) = max{e 1 (x), e 2 (x), e 3 (x)} min.{c x + max{e 1 (d x), e 2 (d x), e 3 (d x)} : Ax b} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [24 / 49]

82 Μοντελοποίηση Μη Γραμμικών Προβλημάτων ως ΓΠ (ΙΙ) Εστω ευθείες e 1 (x) = x + 1, e 2 (x) = 0, e 3 (x) = 2x 4. f(x) 5/2 5/2 x Πώς μπορεί να εκφραστεί η f ως προς αυτές τις γραμμικές συναρτήσεις; f(x) = max{e 1 (x), e 2 (x), e 3 (x)} min.{c x + max{e 1 (d x), e 2 (d x), e 3 (d x)} : Ax b} min.{c x + z : z max{e 1 (d x), e 2 (d x), e 3 (d x)}; Ax b} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [24 / 49]

83 Μοντελοποίηση Μη Γραμμικών Προβλημάτων ως ΓΠ (ΙΙ) Εστω ευθείες e 1 (x) = x + 1, e 2 (x) = 0, e 3 (x) = 2x 4. f(x) 5/2 5/2 x Πώς μπορεί να εκφραστεί η f ως προς αυτές τις γραμμικές συναρτήσεις; f(x) = max{e 1 (x), e 2 (x), e 3 (x)} min.{c x + max{e 1 (d x), e 2 (d x), e 3 (d x)} : Ax b} min.{c x + z : z max{e 1 (d x), e 2 (d x), e 3 (d x)}; Ax b} min.{c x + z : z e 1 (d x); z e 2 (d x); z e 3 (d x)}; Ax b} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [24 / 49]

84 Σκελετός Ομιλίας 1 Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ Ορολογία Γραμμικής Άλγεβρας Αξιοποίηση ΓΠ για Μοντελοποίηση Προβλημάτων 2 Γεωμετρία Χώρου Λύσεων ΓΠ 3 Ισοδύναμες Μορφές Αναπαράστασης ΓΠ Αναπαράσταση ΓΠ Ισοδυναμία Μορφών ΓΠ Επίλυση ΓΠ μέσω Απαλοιφών 4 Πρώτη Εργαστηριακή Άσκηση Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [25 / 49]

85 Εσωτερικά Συνοριακά Σημεία Συνόλων Για σύνολο A R n και σημείο x A: Σφαίρα ακτίνας ε >0 με κέν τρο το x είναι το σύνολο B(x, ε) = {z R n : z x ε}. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [26 / 49]

86 Εσωτερικά Συνοριακά Σημεία Συνόλων Για σύνολο A R n και σημείο x A: Σφαίρα ακτίνας ε >0 με κέν τρο το x είναι το σύνολο B(x, ε) = {z R n : z x ε}. Το x είναι εσωτερικό σημείο του A, ανν υπάρχει μη κενή σφαίρα με κέντρο το x και ακτίνα ε >0 που βρίσκεται εξ ολοκλήρου εντός του A: ε >0, B(x, ε) A. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [26 / 49]

87 Εσωτερικά Συνοριακά Σημεία Συνόλων Για σύνολο A R n και σημείο x A: Σφαίρα ακτίνας ε >0 με κέν τρο το x είναι το σύνολο B(x, ε) = {z R n : z x ε}. Το x είναι εσωτερικό σημείο του A, ανν υπάρχει μη κενή σφαίρα με κέντρο το x και ακτίνα ε >0 που βρίσκεται εξ ολοκλήρου εντός του A: ε >0, B(x, ε) A. Το x είναι συνοριακό σημείο του A, ανν για κάθε μη κενή σφαίρα με κέντρο το x περιλαμβάνει και σημεία εκτός του A : ε >0, B(x, ε) A. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [26 / 49]

88 Εσωτερικά Συνοριακά Σημεία Συνόλων Για σύνολο A R n και σημείο x A: Σφαίρα ακτίνας ε >0 με κέν τρο το x είναι το σύνολο B(x, ε) = {z R n : z x ε}. Το x είναι εσωτερικό σημείο του A, ανν υπάρχει μη κενή σφαίρα με κέντρο το x και ακτίνα ε >0 που βρίσκεται εξ ολοκλήρου εντός του A: ε >0, B(x, ε) A. Το x είναι συνοριακό σημείο του A, ανν για κάθε μη κενή σφαίρα με κέντρο το x περιλαμβάνει και σημεία εκτός του A : ε >0, B(x, ε) A. Το σύνολο των εσωτερικών σημείων του A λέγεται εσωτερικό (υποσύνολο) του A και συμβολίζεται με int(a). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [26 / 49]

89 Σύνορο (ή περιθώριο) του A: Είναι το bd(a) = A int(a). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [26 / 49] Εσωτερικά Συνοριακά Σημεία Συνόλων Για σύνολο A R n και σημείο x A: Σφαίρα ακτίνας ε >0 με κέν τρο το x είναι το σύνολο B(x, ε) = {z R n : z x ε}. Το x είναι εσωτερικό σημείο του A, ανν υπάρχει μη κενή σφαίρα με κέντρο το x και ακτίνα ε >0 που βρίσκεται εξ ολοκλήρου εντός του A: ε >0, B(x, ε) A. Το x είναι συνοριακό σημείο του A, ανν για κάθε μη κενή σφαίρα με κέντρο το x περιλαμβάνει και σημεία εκτός του A : ε >0, B(x, ε) A. Το σύνολο των εσωτερικών σημείων του A λέγεται εσωτερικό (υποσύνολο) του A και συμβολίζεται με int(a).

90 Κορυφές Πολυέδρων (Ι) Εστω το πολύεδρο P = {z R n : Cz d}. Το σημείο x P είναι κορυφή του P ΑΝΝ δεν υπάρχει πραγματικό μη μηδενικό διάνυσμα y R n \ {0} τ.ώ.: x ± y P.... ΑΝΝ εν υπάρχουν y, z P και λ (0, 1) τ.ώ. x = λy + (1 λ)z. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [27 / 49]

91 Κορυφές Πολυέδρων (Ι) Εστω το πολύεδρο P = {z R n : Cz d}. Το σημείο x P είναι κορυφή του P ΑΝΝ δεν υπάρχει πραγματικό μη μηδενικό διάνυσμα y R n \ {0} τ.ώ.: x ± y P.... ΑΝΝ εν υπάρχουν y, z P και λ (0, 1) τ.ώ. x = λy + (1 λ)z. ΕΡΩΤΗΣΗ: Εξετάστε την αλήθεια ή το ψέμα των εξής ισχυρισμών: 1 Κάθε κορυφή βρίσκεται στην τομή τουλάχιστον 2 υπερεπιπέδων. 2 Κάθε τομή τουλάχιστον δυο υπερεπιπέδων ορίζει μια κορυφή. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [27 / 49]

92 Κορυφές Πολυέδρων (Ι) Εστω το πολύεδρο P = {z R n : Cz d}. Το σημείο x P είναι κορυφή του P ΑΝΝ δεν υπάρχει πραγματικό μη μηδενικό διάνυσμα y R n \ {0} τ.ώ.: x ± y P.... ΑΝΝ εν υπάρχουν y, z P και λ (0, 1) τ.ώ. x = λy + (1 λ)z. ΕΡΩΤΗΣΗ: Εξετάστε την αλήθεια ή το ψέμα των εξής ισχυρισμών: 10 1 Κάθε κορυφή βρίσκεται στην τομή τουλάχιστον 2 υπερεπιπέδων. 2 Κάθε τομή τουλάχιστον δυο υπερεπιπέδων ορίζει μια κορυφή. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: 1. Αλήθεια, 2. Ψέμα. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [27 / 49] 2x1 + x2 4 x2 x1 x2 4 x1 x1 0 10

93 Κορυφές Πολυέδρων (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Υπάρχουν πολύεδρα δίχως κορυφές; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [28 / 49]

94 Κορυφές Πολυέδρων (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Υπάρχουν πολύεδρα δίχως κορυφές; ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ΝΑΙ!!! 5 x2 x 2 =< 3 x 2 >= 1 5 x 1 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [28 / 49]

95 Σκελετός Ομιλίας 1 Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ Ορολογία Γραμμικής Άλγεβρας Αξιοποίηση ΓΠ για Μοντελοποίηση Προβλημάτων 2 Γεωμετρία Χώρου Λύσεων ΓΠ 3 Ισοδύναμες Μορφές Αναπαράστασης ΓΠ Αναπαράσταση ΓΠ Ισοδυναμία Μορφών ΓΠ Επίλυση ΓΠ μέσω Απαλοιφών 4 Πρώτη Εργαστηριακή Άσκηση Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [29 / 49]

96 2.1 Αναπαράσταση ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [30 / 49]

97 Ορισμός Γραμμικού Προγράμματος Γραμμικό πρόγραμμα (ΓΠ): Πρόβλημα βελτιστοποίησης μιας γραμμικής συνάρτησης στόχου (objective function) σε ένα σύνολο (συνεχών) μεταβλητών απόφασης x 1,..., x n, έτσι ώστε να τηρούνται ένα σύνολο από περιορισμούς που εκφράζονται μέσα από γραμμικές ισότητες ή/και ανισότητες μεταξύ των μεταβλητών απόφασης. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [31 / 49]

98 Ορισμός Γραμμικού Προγράμματος Γραμμικό πρόγραμμα (ΓΠ): Πρόβλημα βελτιστοποίησης μιας γραμμικής συνάρτησης στόχου (objective function) σε ένα σύνολο (συνεχών) μεταβλητών απόφασης x 1,..., x n, έτσι ώστε να τηρούνται ένα σύνολο από περιορισμούς που εκφράζονται μέσα από γραμμικές ισότητες ή/και ανισότητες μεταξύ των μεταβλητών απόφασης. Χώρος Εφικτών Λύσεων: Υποσύνολο σημείων του R n που οι συντεταγμένες τους (ως τιμές των μεταβλητών απόφασης) ικανοποιούν ταυτόχρονα ΟΛΟΥΣ τους περιορισμούς του ΓΠ. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [31 / 49]

99 Ορισμός Γραμμικού Προγράμματος Γραμμικό πρόγραμμα (ΓΠ): Πρόβλημα βελτιστοποίησης μιας γραμμικής συνάρτησης στόχου (objective function) σε ένα σύνολο (συνεχών) μεταβλητών απόφασης x 1,..., x n, έτσι ώστε να τηρούνται ένα σύνολο από περιορισμούς που εκφράζονται μέσα από γραμμικές ισότητες ή/και ανισότητες μεταξύ των μεταβλητών απόφασης. Χώρος Εφικτών Λύσεων: Υποσύνολο σημείων του R n που οι συντεταγμένες τους (ως τιμές των μεταβλητών απόφασης) ικανοποιούν ταυτόχρονα ΟΛΟΥΣ τους περιορισμούς του ΓΠ. Χώρος λύσεων Η τομή υποχώρων (που ορίζονται από τους περιορισμούς ανισότητας) ή/και υπερεπιπέδων (που ορίζονται από τους περιορισμούς ισότητας). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [31 / 49]

100 Ορισμός Γραμμικού Προγράμματος Γραμμικό πρόγραμμα (ΓΠ): Πρόβλημα βελτιστοποίησης μιας γραμμικής συνάρτησης στόχου (objective function) σε ένα σύνολο (συνεχών) μεταβλητών απόφασης x 1,..., x n, έτσι ώστε να τηρούνται ένα σύνολο από περιορισμούς που εκφράζονται μέσα από γραμμικές ισότητες ή/και ανισότητες μεταξύ των μεταβλητών απόφασης. Χώρος Εφικτών Λύσεων: Υποσύνολο σημείων του R n που οι συντεταγμένες τους (ως τιμές των μεταβλητών απόφασης) ικανοποιούν ταυτόχρονα ΟΛΟΥΣ τους περιορισμούς του ΓΠ. Χώρος λύσεων Η τομή υποχώρων (που ορίζονται από τους περιορισμούς ανισότητας) ή/και υπερεπιπέδων (που ορίζονται από τους περιορισμούς ισότητας). Ελαχιστοποίηση (Μεγιστοποίηση) συνάρτησης στόχου... Γραμμικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης (μεγιστοποίησης). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [31 / 49]

101 Μορφές Αναπαράστασης (LPG): Γενική Μορφή Πρόβλημα ελαχιστοποίησης, με συγκεκριμένης μορφής ανισότητες (αν υπάρχουν) ως κάτω φράγματα γραμμικών συναρτήσεων και ΚΑΠΟΙΑ πρόσημα: minimize nj=1 c j x j / συνάρτηση στόχος / s.t. : nj=1 A i,j x j = a i, i [m] / περιορισμοί ισότητας / nj=1 B i,j x j b i, i [m ] / περιορισμοί ανισότητας / x j 0, j I [n] / περιορισμοί προσήμου / Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [32 / 49]

102 Μορφές Αναπαράστασης (LPG): Γενική Μορφή Πρόβλημα ελαχιστοποίησης, με συγκεκριμένης μορφής ανισότητες (αν υπάρχουν) ως κάτω φράγματα γραμμικών συναρτήσεων και ΚΑΠΟΙΑ πρόσημα: minimize nj=1 c j x j / συνάρτηση στόχος / s.t. : nj=1 A i,j x j = a i, i [m] / περιορισμοί ισότητας / nj=1 B i,j x j b i, i [m ] / περιορισμοί ανισότητας / x j 0, j I [n] / περιορισμοί προσήμου / Αναπαράσταση με χρήση μητρώων και διανυσμάτων: min. { c x : A x = a; B x b; x j 0, j I [n] } Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [32 / 49]

103 Μορφές Αναπαράστασης (LP =): Μόνο Ισότητες (και Πρόσημα) Πρόβλημα ελαχιστοποίησης, μόνο με περιορισμούς ισότητας και ΟΛΑ τα πρόσημα: minimize nj=1 c j x j / συνάρτηση στόχος / s.t. : nj=1 A i,j x j = a i, i [m] / περιορισμοί ισότητας / x j 0, j [n] / περιορισμοί προσήμου / Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [33 / 49]

104 Μορφές Αναπαράστασης (LP =): Μόνο Ισότητες (και Πρόσημα) Πρόβλημα ελαχιστοποίησης, μόνο με περιορισμούς ισότητας και ΟΛΑ τα πρόσημα: minimize nj=1 c j x j / συνάρτηση στόχος / s.t. : nj=1 A i,j x j = a i, i [m] / περιορισμοί ισότητας / x j 0, j [n] / περιορισμοί προσήμου / Αναπαράσταση με χρήση μητρώων και διανυσμάτων: min. {c x : A x = a; x 0} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [33 / 49]

105 Μορφές Αναπαράστασης (LP ): Μόνο Ανισότητες (και Πρόσημα) Πρόβλημα ελαχιστοποίησης, μόνο με περιορισμούς ανισότητας (ως κάτω φράγματα γραμμικών συναρτήσεων) και ΟΛΑ τα πρόσημα: minimize nj=1 c j x j / συνάρτηση στόχος / s.t. : nj=1 B i,j x j b i, i [m] / περιορισμοί ανισότητας / x j 0, j [n] / περιορισμοί προσήμου / Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [34 / 49]

106 Μορφές Αναπαράστασης (LP ): Μόνο Ανισότητες (και Πρόσημα) Πρόβλημα ελαχιστοποίησης, μόνο με περιορισμούς ανισότητας (ως κάτω φράγματα γραμμικών συναρτήσεων) και ΟΛΑ τα πρόσημα: minimize nj=1 c j x j / συνάρτηση στόχος / s.t. : nj=1 B i,j x j b i, i [m] / περιορισμοί ανισότητας / x j 0, j [n] / περιορισμοί προσήμου / Αναπαράσταση με χρήση μητρώων και διανυσμάτων: min. {c x : B x b; x 0} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [34 / 49]

107 2.2 Ισοδυναμία Μορφών Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [35 / 49]

108 Ισοδυναμίες Μορφών Αναπαράστασης (Ι) Κάθε ΓΠ Ισοδυναμεί με Κάποιο LPG Πρόβλημα μεγιστοποίησης, περιορισμούς ισότητας, περιορισμούς ανισότητας ως άνω/κάτω φράγματα, και ΚΑΠΟΙΑ πρόσημα: maximize nj=1 c j x j / συνάρτηση στόχος / s.t. : nj=1 A i,j x j = a i, i [m] / ισότητες / nj=1 B i,j x j b i, i [m ] / κάτω φράγματα / nj=1 D i,j x j d i, i [m ] / άνω φράγματα / x j 0, j I [n] / (κάποια) πρόσημα / Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [36 / 49]

109 Ισοδυναμίες Μορφών Αναπαράστασης (Ι) Κάθε ΓΠ Ισοδυναμεί με Κάποιο LPG Πρόβλημα μεγιστοποίησης, περιορισμούς ισότητας, περιορισμούς ανισότητας ως άνω/κάτω φράγματα, και ΚΑΠΟΙΑ πρόσημα: maximize nj=1 c j x j / συνάρτηση στόχος / s.t. : nj=1 A i,j x j = a i, i [m] / ισότητες / nj=1 B i,j x j b i, i [m ] / κάτω φράγματα / nj=1 D i,j x j d i, i [m ] / άνω φράγματα / Ισοδύναμο ΓΠ σε LPG; x j 0, j I [n] / (κάποια) πρόσημα / Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [36 / 49]

110 Ισοδυναμίες Μορφών Αναπαράστασης (Ι) Κάθε ΓΠ Ισοδυναμεί με Κάποιο LPG Πρόβλημα μεγιστοποίησης, περιορισμούς ισότητας, περιορισμούς ανισότητας ως άνω/κάτω φράγματα, και ΚΑΠΟΙΑ πρόσημα: maximize nj=1 c j x j / συνάρτηση στόχος / s.t. : nj=1 A i,j x j = a i, i [m] / ισότητες / nj=1 B i,j x j b i, i [m ] / κάτω φράγματα / nj=1 D i,j x j d i, i [m ] / άνω φράγματα / Ισοδύναμο ΓΠ σε LPG; 1 ιόρθωση συνάρτησης στοχου... x j 0, j I [n] / (κάποια) πρόσημα / Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [36 / 49]

111 Ισοδυναμίες Μορφών Αναπαράστασης (Ι) Κάθε ΓΠ Ισοδυναμεί με Κάποιο LPG Πρόβλημα μεγιστοποίησης, περιορισμούς ισότητας, περιορισμούς ανισότητας ως άνω/κάτω φράγματα, και ΚΑΠΟΙΑ πρόσημα: minimize nj=1 ( c j ) x j / συνάρτηση στόχος / s.t. : nj=1 A i,j x j = a i, i [m] / ισότητες / nj=1 B i,j x j b i, i [m ] / κάτω φράγματα / nj=1 D i,j x j d i, i [m ] / άνω φράγματα / Ισοδύναμο ΓΠ σε LPG; 1 ιόρθωση συνάρτησης στοχου... x j 0, j I [n] / (κάποια) πρόσημα / Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [36 / 49]

112 Ισοδυναμίες Μορφών Αναπαράστασης (Ι) Κάθε ΓΠ Ισοδυναμεί με Κάποιο LPG Πρόβλημα μεγιστοποίησης, περιορισμούς ισότητας, περιορισμούς ανισότητας ως άνω/κάτω φράγματα, και ΚΑΠΟΙΑ πρόσημα: minimize nj=1 ( c j ) x j / συνάρτηση στόχος / s.t. : nj=1 A i,j x j = a i, i [m] / ισότητες / nj=1 B i,j x j b i, i [m ] / κάτω φράγματα / nj=1 D i,j x j d i, i [m ] / άνω φράγματα / Ισοδύναμο ΓΠ σε LPG; 1 ιόρθωση συνάρτησης στοχου... 2 ιόρθωση άνω φραγμάτων... x j 0, j I [n] / (κάποια) πρόσημα / Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 2η ενότητα [36 / 49]