To υπόδειγμα μεγέθυνσης Επαλλήλων Γενεών. Blanchard Weil

Transcript

1 1 / 40 To υπόδειγμα μεγέθυνσης Επαλλήλων Γενεών Blanchard Wil 15 Νοεμβρίου 2015 Αλέκος Παπαδόπουλος Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Οικονομικής Επιστήμης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών papadopalx@aub.gr Παρουσιάζω την πλήρη αναλυτική επίλυση του υποδείγματος Επαλλήλων Γενεών των Blanchard-Wil, κάτι που δεν έχω συναντήσει μέχρι τώρα σε κάποιο εγχειρίδιο. Ως επέκταση, υπολογίζω την κατανομή της ατομικής κατανάλωσης και του πλούτου στη μακροχρόνια ισορροπία που προκύπτει από τις υποθέσεις του υποδείγματος, καθώς και τους δείκτες ανισοκατανομής Gini. Αυτή η επέκταση επιτρέπει και τη σύγκριση του υποδείγματος με το αντίστοιχο του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού σε μεγαλύτερο βάθος. Κάθε υποκεφάλαιο κλείνει με ερωτήσεις και ασκήσεις. Η επέκταση του υποδείγματος ώστε να περιλαμβάνει και Δημόσιο τομέα αφήνεται ως εξάσκηση για τον αναγνώστη. 1. Αναλυτική επίλυση 2. Η μακροχρόνια ισορροπία και οι ιδιότητές της 3. Μέσα και ατομικά μεγέθη στη μακροχρόνια ισορροπία: η κατανομή και η ανισοκατανομή της κατανάλωσης και του πλούτου 4. Σύγκριση με το υπόδειγμα αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού 5. Τεχνικό Παράρτημα: Ο συντελεστής ανισοκατανομής Gini για τις κατανομές Paro και Lomax

2 2 / 40 1.Αναλυτική Επίλυση Έχουμε μια κλειστή ντετερμινιστική οικονομία, η οποία έχει ξεκινήσει στο απώτατο παρελθόν και την οποία παρακολουθούμε σε συνεχή χρόνο και σε πραγματικούς όρους. Η οικονομία παράγει ένα προϊόν, το οποίο μπορεί να καταναλωθεί ή να μετατραπεί χωρίς κόστος σε κεφαλαιουχικό αγαθό. Κάθε στιγμή γεννιούνται νέα νοικοκυριά, τα οποία όλα μαζί αποτελούν μια γενιά. Τα νοικοκυριά μιας γενιάς είναι ταυτόσημα μεταξύ τους, και όλα έχουν άπειρο χρονικό ορίζοντα (δεν υπάρχει πιθανότητα θανάτου). Ο πληθυσμός L () αυξάνεται με σταθερό και εξωγενή ρυθμό, ίσο με n 0, ενώ τυποποιούμε το αρχικό επίπεδο πληθυσμού στη μονάδα, lim L ( ) 1. Η αύξηση του πληθυσμού προκύπτει αποκλειστικά από την είσοδο - νέων νοικοκυριών στην οικονομία, ενώ το μέγεθος του κάθε ενός νοικοκυριού παραμένει σταθερό. Η κάθε γενιά συμβολίζεται με το γράμμα j που είναι ο χρόνος εισόδου της στην οικονομία. Με συμβολίζουμε τον χρόνο της οικονομίας Οι επιχειρήσεις Οι επιχειρήσεις επιλύουν ένα στατικό πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών σε συνθήκες τέλειου ανταγωνισμού, ήτοι λειτουργούν ως λήπτες τιμών τόσο στην αγορά προϊόντος όσο και στις αγορές παραγωγικών συντελεστών. Χαρακτηρίζονται από νεοκλασική συνάρτηση παραγωγής (σταθερές αποδόσεις κλίμακας, φθίνον οριακό προϊόν κεφαλαίου, ικανοποίηση συνθηκών Inada), Y F K ( ), A( ) L ( ) [1] i i i Η αποδοτικότητα της εργασίας A () είναι κοινή για όλες τις επιχειρήσεις και εξωγενής. Σε όρους αποδοτικότητας, η συνάρτηση παραγωγής μπορεί εκ των ιδιοτήτων της να γραφεί Yi yi F Ki( ), 1 f i( ) [2] A( ) L ( ) i

3 3 / 40 όπου () i Ki () A( ) L ( ) i Τα κέρδη ανά μονάδα αποδοτικότητας εργασίας είναι f ( ) r( ) ( ) w( ) i i i όπου έχουμε υποθέσει ότι το ποσοστό απόσβεσης είναι μηδέν (εναλλακτικά η συνάρτηση παραγωγής μπορεί να ειδωθεί ως συνάρτηση «καθαρής» παραγωγής, αφού δηλαδή έχουν ήδη αφαιρεθεί οι αποσβέσεις του κεφαλαίου). Η συνθήκη μεγιστοποίησης των κερδών σε συνθήκες τέλειου ανταγωνισμού επιφέρει f ( ) r( ) [3] i καθώς και μηδενικά κέρδη, άρα w( ) f ( ) ( ) f ( ) [4] i i i Κατά συνέπεια, δεδομένης της ταυτόσημης συνάρτησης παραγωγής και της συμπεριφοράς λήπτη τιμών, όλες οι επιχειρήσεις θα επιλέγουν τον ίδιο λόγο κεφαλαίου/αποδοτικής εργασίας και άρα θα έχουμε, σε κάθε περίοδο της οικονομίας, ( ) ( ) και w( ) f ( ) ( ) f ( ) f r [5] Σημειώστε ότι ο λόγος K () () αποτελεί μέσο όρο για το σύνολο της A( ) L( ) οικονομίας, και όχι τον λόγο κεφαλαίου/αποδοτικής εργασίας για το κάθε ένα νοικοκυριό, όπως εξηγείται αμέσως παρακάτω.

4 4 / Διαχρονική μεγιστοποίηση χρησιμότητας του νοικοκυριού Κάθε νοικοκυριό ξεκινά τη ζωή του με μηδέν κεφάλαιο και προσφέρει στην αγορά εργασίας μία μονάδα ομογενούς εργασίας ανελαστικά (η καμπύλη προσφοράς εργασίας είναι ανεξάρτητη από τον μισθό). H αποδοτικότητα A () της εργασίας αυξάνεται εξωγενώς με σταθερό ποσοστό g 0, είναι δε κοινή για όλα τα νοικοκυριά ανεξαρτήτως γενιάς. Δεν υπάρχει δηλαδή η διάσταση της ατομικής και άρα πιθανώς διαφορετικής συσσώρευσης ανθρωπίνου κεφαλαίου. Τυποποιούμε δε το αρχικό επίπεδο της αποδοτικότητας σε μονάδα, lim A ( ) 1 -. H στιγμιαία συνάρτηση χρησιμότητας των νοικοκυριών είναι λογαριθμική. Ο καθαρός συντελεστής διαχρονικής προτίμησης είναι κοινός για όλες τις γενιές, σταθερός και ίσος με 0. Κάθε χρονική στιγμή της Οικονομίας, τo κάθε νοικοκυριό της κάθε γενιάς j έχει εισοδήματα από την εργασία του, και από τις αποδόσεις του κεφαλαίου που κατέχει, πλην των νοικοκυριών που γεννιούνται τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή j, τα οποία έχουν εισόδημα μόνο από την εργασία τους. Εξαιτίας των μέχρι τώρα υποθέσεων, προκύπτει ότι, ανά χρονική στιγμή, το εισόδημα από εργασία είναι ίδιο για κάθε νοικοκυριό, ανεξαρτήτως της γενιάς που ανήκει. Αυτό σημαίνει ότι τα νέα νοικοκυριά εισέρχονται στην παραγωγή με την εκάστοτε τρέχουσα αποδοτικότητα της οικονομίας. Όμως το εισόδημα από τις αποδόσεις του κεφαλαίου είναι διαφορετικό ανά χρονική στιγμή μεταξύ νοικοκυριών διαφορετικής γενιάς, μιας και μπορεί η απόδοση του κεφαλαίου να είναι κοινή για όλη την οικονομία σε κάθε χρονική στιγμή, όμως τα νοικοκυριά κάθε γενιάς έχουν διαφορετικό ύψος κεφαλαίου στην ιδιοκτησία τους, λόγω της διαφορετικής τους ηλικίας. Το κάθε νοικοκυριό της γενιάς j κατανέμει το εισόδημα αυτό σε θετική κατανάλωση και (πιθανώς αρνητική) αποταμίευση, επιλύοντας το ακόλουθο πρόβλημα διαχρονικής μεγιστοποίησης της χρησιμότητας: max U z j ln c ( j, z ) d z j k( j, z) r( z) k( j, z) w( z) A( z) c( j, z), k( j, j) 0 [6]

5 5 / 40 όπου η μεταβλητή z δηλώνει το οποιοδήποτε χρονικό σημείο εντός του διαστήματος ολοκλήρωσης,, άρα είναι η μεταβλητή που αντιπροσωπεύει τον "ατομικό" χρόνο, ειδωμένο και μετρούμενο από τη σκοπιά ενός νοικοκυριού. Σημειώστε ότι η παράγωγος του κεφαλαίου λαμβάνεται ως προς z, όπως και οι παράγωγοι που θα ακολουθήσουν, στον βαθμό που αφορούν το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό κάποιας γενιάς, δεδομένου ότι το σύμβολο αντιπροσωπεύει τον "αντικειμενικό" χρόνο της οικονομίας. Τα rz () και wz () προσδιορίζονται όπως προαναφέρθηκε στις αγορές παραγωγικών συντελεστών σε συνθήκες τέλειου ανταγωνισμού. Η Χαμιλτονιανή σε τρέχουσες τιμές για το παραπάνω πρόβλημα είναι H ln c( j, z) ( j, z) k( j, z) [7] όπου είναι η σκιώδης τιμή του κεφαλαίου σε τρέχουσες τιμές. Οι συνθήκες μεγιστοποίησης είναι H c 1 0 ( jz, ) c( j, z) [8] επομένως και (, ) ( j, z) ( j, z) c j z [9] c( j, z) Επίσης, πρέπει να έχουμε H k ( j, z) ( j, z) ( j, z) r( z) ( j, z) ( j, z) [10] ενώ η συνθήκη ransvrsaliy στον χρόνο (σε όρους τρεχουσών αξιών και πάλι) επιβάλλει lim z ( j, z ) k ( j, z ) 0 [11] z

6 6 / 40 Από τις [8], [9] και [10] λαμβάνουμε τη συνθήκη βέλτιστης μεταβολής της κατανάλωσης (εξίσωση Eulr για την κατανάλωση) για το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό της γενιάς j, c( j, z) r( z) c( j, z) [12] διαφορική εξίσωση η οποία έχει ως λύση (δεδομένου ότι το rz () μεταβάλλεται διαχρονικά) z z r( v) d v r( v)dv z c( j, z) c( j, ) c( j, ) [13] Εισάγοντας την [13] στην [8] και το αποτέλεσμα στη συνθήκη ransvrsaliy, απαιτούμε z z k( j, z) 1 r( v)dv lim z 0 lim k( j, z) 0 z r( v)dv (, ) z z c j c( j, ) [14] Παρατηρούμε καταρχάς ότι η συνθήκη ransvrsaliy απαιτεί, σε κάθε χρονική στιγμή, η προγραμματισμένη εξέλιξη του κεφαλαίου να είναι τέτοια ώστε η αξία που αυτό προβλέπεται να έχει βάσει του εν λόγω προγράμματος καθώς ο χρόνος θα τείνει να απειριστεί, να μηδενίζεται σε όρους παρούσας αξίας (θυμηθείτε ότι η λύση στο διαχρονικό πρόβλημα μεγιστοποίησης σε ντετερμινιστικό περιβάλλον, δεν μας δίνει απλώς τον στιγμιαίο άριστο κανόνα αλλά αποτελείται από ολόκληρη τη χρονική ακολουθία κατανάλωσης-κεφαλαίου, όπως αυτή προκύπτει από τον κανόνα. Σε στοχαστικό περιβάλλον, τα πράγματα είναι πιο περίπλοκα, αλλά η ουσία της συνθήκης ransvrsaliy εξακολουθεί να ισχύει). Ελέγχοντας το αποτέλεσμα στο «τέλος» του χρονικού ορίζοντα σε όρους του παρόντος, η συνθήκη ransvrsaliy αποκλείει πολλαπλές διαχρονικές εξελίξεις του κεφαλαίου και της κατανάλωσης, οι οποίες θα μπορούσαν να «διορθωθούν» σε κάποια μελλοντική στιγμή, και «επιβάλλει» στο νοικοκυριό να δρα κάθε χρονική στιγμή με τρόπο συνεπή προς το απώτατο μέλλον. Στον βαθμό που το υπόδειγμα έχει ένα μοναδικό σημείο μακροχρόνιας ισορροπίας (δηλαδή ένα μοναδικό fixd poin που ταυτόχρονα ικανοποιεί και της συνθήκες αριστοποίησης, άρα και τη συνθήκη ransvrsaliy), τότε η τωρινή δράση του

7 7 / 40 νοικοκυριού θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε να οδηγείται το νοικοκυριό προς το σημείο αυτό (διαφορετικά θα παραβίαζε τη συνθήκη ransvrsaliy). Στην πράξη αυτό οδηγεί το νοικοκυριό να ακολουθεί ένα δεδομένο μονοπάτι διαχρονικής εξέλιξης (το «σαγματικό» μονοπάτι, όπως θα δούμε στη συνέχεια, που οδηγεί στη μακροχρόνια ισορροπία), και, αν μεταβληθεί κάποιο εξωγενές χαρακτηριστικό της οικονομίας το οποίο μεταβάλλει και το σημείο μακροχρόνιας ισορροπίας, να μετατοπίζεται το νοικοκυριό στο νέο σαγματικό μονοπάτι που αντιστοιχεί στο νέο σημείο ισορροπίας (δηλαδή να προσαρμόζει τις επιλογές του) αμέσως μόλις συμβεί η μεταβολή στον εξωγενή παράγοντα. Επιπλέον, βλέπουμε ότι μέσω της αριστοποιητικής συμπεριφοράς, η συνθήκη ransvrsaliy "καλύπτει" και τη συνθήκη φερεγγυότητας (συνθήκη solvncy), μιας και το δεξί σκέλος της [14] εμπεριέχει το επιτόκιο και όχι τον συντελεστή καθαρής χρονικής προτίμησης: η συνθήκη φερεγγυότητας μας λέει πως αν το κεφάλαιο είναι αρνητικό (το νοικοκυριό δανείζεται), το χρέος του δεν μπορεί να αυξάνει με ρυθμό ίσο ή μεγαλύτερο από το επιτόκιο (η συνθήκη φερεγγυότητας απαιτεί η [14] να είναι ίση ή μεγαλύτερη του μηδενός. Αν όμως ήταν μεγαλύτερη του μηδενός, θα παραβιαζόταν η συνθήκη ransvrsaliy. Άρα είναι λιγότερο αυστηρή από την συνθήκη ransvrsaliy). Στην πράξη, σε περίπτωση που αναφερόμαστε σε δανεισμό, η συνθήκη μας λέει ότι αρκεί το νοικοκυριό να πληρώνει μόνο ένα μέρος των τόκων του δανείου (επιβεβαιώστε το για σταθερό επιτόκιο και σταθερό ρυθμό μεταβολής του επιπέδου δανεισμού, δηλαδή για την κατάσταση μακροχρόνιας ισορροπίας) Ο διαχρονικός εισοδηματικός περιορισμός του νοικοκυριού Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα παραπάνω για να εξάγουμε τον διαχρονικό εισοδηματικό περιορισμό του νοικοκυριού, προκειμένου να οδηγηθούμε τελικά στην έκφραση της κατανάλωσης ως συνάρτηση του πλούτου. Για απλοποίηση των συμβόλων, ορίζουμε καταρχάς R, z z r( v) dv, που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως συντελεστής ολοκλήρωσης για την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που αποτυπώνει τον νόμο μεταβολής του κεφαλαίου. Σημειώστε ότι z z d d r( v)d v r( v)dv d z R, z r( v)d v R, zr( z) dz dz dz [15]

8 8 / 40 Αναδιατάσσοντας το νόμο μεταβολής του κεφαλαίου και πολλαπλασιάζοντας με τον συντελεστή ολοκλήρωσης έχουμε R z k j z r z k j z R z w z A z c j z, (, ) ( ) (, ), ( ) ( ) (, ) d dz R, zk( j, z) R, zw( z) A( z) c( j, z) Ολοκληρώνουμε από τη χρονική στιγμή έως το άπειρο : d dz R, z k( j, z) d z R, z w( z) A( z) c( j, z) dz lim R, z k( j, z) R, k( j, ) R, z w( z) A( z)d z R, z c( j, z)dz z Από τη συνθήκη ransvrsaliy [14] έχουμε lim R, z k( j, z) 0. Επίσης, εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι R, 1. Χρησιμοποιώντας αυτά και αναδιατάσσοντας λαμβάνουμε τελικά z R, z c( j, z)d z k( j, ) R, z w( z) A( z)dz [16] Στεκόμενοι στο χρονικό σημείο, η παρούσα αξία της τρέχουσας και μελλοντικής κατανάλωσης του νοικοκυριού που ανήκει στη γενιά j ισούται με την αξία του σημερινού υλικού πλούτου k( j, ) συν την παρούσα αξία των τρεχουσών και μελλοντικών εισοδημάτων από εργασία. Σημειώστε ότι η προεξόφληση σε παρούσες αξίες, δεν γίνεται με χρήση του συντελεστή καθαρής χρονικής προτίμησης ρ, αλλά με τη χρήση του επιτοκίου. Αυτό συμβαίνει διότι εδώ αποτυπώνουμε τον εισοδηματικό περιορισμό ο οποίος εκφράζεται σε όρους αξιών και όχι χρησιμότητας. Επομένως η παρούσα αξία της κατανάλωσης προεξοφλείται με το κόστος ευκαιρίας της σε όρους συσσώρευσης κεφαλαίου (καταναλώνοντας δεν

9 9 / 40 αποταμιεύουμε, δεν συσσωρεύουμε κεφάλαιο, χάνοντας έτσι τις μελλοντικές αποδόσεις του κεφαλαίου που δεν συσσωρεύσαμε). Σημειώστε επίσης ότι η παρούσα αξία των μελλοντικών εισοδημάτων από εργασία είναι, και αυτή, ταυτόσημη για κάθε νοικοκυριό (ο δείκτης j δεν εισέρχεται πουθενά στο σχετικό ολοκλήρωμα). Αυτό οφείλεται στις υποθέσεις που παραθέσαμε στην αρχή, αλλά και στο ότι όλα τα νοικοκυριά, ανεξαρτήτως γενιάς, έχουν άπειρο χρονικό ορίζοντα. Άρα ανεξάρτητα από το πόσο έχουν ήδη ζήσει (και προφανώς έχουν ζήσει διαφορετικά χρονικά διαστήματα μιας και έχουν γεννηθεί σε διαφορετικές χρονικές στιγμές), τους απομένει να ζήσουν το ίδιο ακριβώς χρονικό διάστημα (άπειρο). Θα γράφουμε λοιπόν R, z w( z) A( z)d z w( ) [17] 1.4. Η τρέχουσα κατανάλωση ως συνάρτηση του πλούτου Μας ενδιαφέρει να εκφράσουμε την τρέχουσα κατανάλωση ως συνάρτηση του (διευρυμένου) πλούτου (κεφαλαίου συν παρούσας αξίας των εισοδημάτων από εργασία). Μπορούμε να υπολογίσουμε την παρούσα αξία της μελλοντικής κατανάλωσης σε όρους της τρέχουσας κατανάλωσης. Αναδιατάσσουμε και πολλαπλασιάζουμε με τον συντελεστή ολοκλήρωσης την εξίσωση Eulr [12]: R, z c( j, z) r( z) c( j, z) R, zc( j, z) d R, zc( j, z) R, zc( j, z) dz Ολοκληρώνουμε από τον χρόνο έως το άπειρο d dz R, z c( j, z) d z R, z c( j, z)dz lim R, z c( j, z) R, c( j, ) R, z c( j, z)dz z

10 10 / 40 Για να υπολογίσουμε το όριο χρησιμοποιούμε την σχέση προσδιορισμού της κατανάλωσης [13] και έχουμε z z r( v)d v ( )d z r v v z lim R, zc( j, z) lim c( j, ) c( j, ) lim 0. z z z Επίσης, όπως και πριν, R, 1. Δεδομένων αυτών και αναδιατάσσοντας λαμβάνουμε 1 (, ) c j R, zc ( j, z )d z [18] Αντικαθιστώντας στον εισοδηματικό περιορισμό [16] και χρησιμοποιώντας και την έκφραση των εισοδημάτων από εργασία [17] έχουμε τελικά c( j, ) k( j, ) w( ) [19] Η τρέχουσα κατανάλωση του κάθε ενός νοικοκυριού είναι σταθερό ποσοστό του πλούτου του (με τη διευρυμένη έννοια), και ίσο με ρ. Σημειώστε ότι ενώ το ύψος της κατανάλωσης εξαρτάται από το επιτόκιο (μέσω της παρουσίας του επιτοκίου στον συντελεστή προεξόφλησης R,zο οποίος εμπεριέχεται στο w () προεξοφλώντας τα μελλοντικά εισοδήματα από εργασία), η οριακή ροπή για κατανάλωση δεν εξαρτάται από το επιτόκιο. Αυτό είναι αποτέλεσμα της υπόθεσης ότι η στιγμιαία συνάρτηση χρησιμότητας είναι λογαριθμική, και άρα ότι η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης στην κατανάλωση είναι ίση με τη μονάδα Συνάθροιση (Aggrgaion) Δεδομένου ότι ο πληθυσμός αυξάνεται με σταθερό ποσοστό n (αποκλειστικά λόγω της εισόδου νέων νοικοκυριών), ο συνολικός πληθυσμός στον χρόνο j είναι jn (αφού έχουμε τυποποιήσει τον πληθυσμό της πρώτης γενιάς της οικονομίας σε μονάδα). Ο δε πληθυσμός

11 11 / 40 της γενιάς που γεννιέται στον χρόνο j είναι παραμένει σταθερός. d dj jn n jn. Ο πληθυσμός της κάθε γενιάς Επομένως η συνολική κατανάλωση και το συνολικό κεφάλαιο ανά γενιά στον χρόνο δίνονται από τις σχέσεις C( j, ) n jn c( j, ) και K( j, ) n jn k( j, ) αντίστοιχα, ενώ η κατανάλωση στο σύνολο της οικονομίας καθώς και το συνολικό κεφάλαιο στον χρόνο δίνονται από τις σχέσεις jn C( ) n c( j, )dj [20] jn K( ) n k( j, )dj [21] όπου για να συναθροίσουμε ολοκληρώνουμε ως προς τον χαρακτηριστικό δείκτη των γενεών j, και όχι ως προς τον χρόνο (αν και δεδομένου ότι κάθε στιγμή γεννιέται μια καινούρια και αθάνατη γενιά, στην πράξη το διάστημα ολοκλήρωσης ταυτίζεται με όλο το παρελθόν της οικονομίας. Παρ' όλα αυτά η συνάθροιση δεν είναι διαχρονική). Το συνολικό εισόδημα από εργασία στον χρόνο είναι ίσο με w( ) A( ) n αφού είναι ίδιο για κάθε νοικοκυριό ανεξαρτήτως της γενιάς που ανήκει. Επομένως η παρούσα αξία των μελλοντικών εισοδημάτων από εργασία όλων μαζί των νοικοκυριών που βρίσκονται ήδη εν ζωή είναι ( ), ( ) ( ) n n W R z w z A z d z w( ) [22] Εισάγοντας την [19] στην [20] έχουμε jn C( ) n k( j, ) w( ) dj jn jn n k( j, ) dj n w( )dj Χρησιμοποιώντας και την [21] έχουμε jn 1 C( ) K( ) nw( ) d j K( ) nw( ) n jn C( ) K( ) w( ) n w( ) lim j - jn

12 12 / 40 Ο τελευταίος όρος μηδενίζεται μιας και το w () είναι πεπερασμένο (διαφορετικά από n την [19] θα απειριζόταν η τρέχουσα κατανάλωση). Από την [22] έχουμε w( ) W( ), άρα τελικά C( ) K( ) W( ) [23] δηλαδή μια μακροοικονομική σχέση ανάλογη με τη σχέση [19] που ισχύει για το κάθε ένα νοικοκυριό (παρ όλο που τα νοικοκυριά διαφοροποιούνται από γενιά σε γενιά ως προς το κεφάλαιο που κατέχουν). Μας ενδιαφέρει ο ρυθμός μεταβολής της συνολικής κατανάλωσης: C( ) K( ) W ( ) [24] με τις παραγώγους τώρα να υπολογίζονται ως προς μιας και αναφερόμαστε στον χρόνο της οικονομίας. Για να υπολογίσουμε τη μεταβολή ως προς τον χρόνο του συνολικού κεφαλαίου και της συνολικής παρούσας αξίας των εισοδημάτων από εργασία των υφιστάμενων γενεών, χρησιμοποιούμε τη φόρμουλα του Libniz: Έστω bs ( ) H ( x, s ) h ( x, s )d x as ( ). Τότε η παράγωγος της Η ως προς s ισούται με d H( x, s) d b( s) d a( s) bs ( ) h( x, s) h( b( s), s) h( a( s), s) dx ds ds ds as ( ) s Στην περίπτωσή μας, έχουμε για το συνολικό κεφάλαιο, παραγωγίζοντας την [21]: d K ( ) d jn n jn n k( j, )d j n k(, ) n k( j, )dj d d Ο πρώτος όρος είναι ίσος με μηδέν αφού εξ υποθέσεως τα νέα νοικοκυριά ξεκινούν τη ζωή τους με μηδέν υλικό κεφάλαιο. Για τον δεύτερο όρο χρησιμοποιούμε τον νόμο μεταβολής του ατομικού κεφαλαίου (γραμμένο τώρα σε όρους μεταβλητής ) και έχουμε:

13 13 / 40 d K ( ) jn n r( ) k( j, ) w( ) A( ) c( j, ) dj d και χρησιμοποιώντας τις [21] και [20] λαμβάνουμε τελικά n K( ) r( ) K( ) w( ) A( ) C( ) [25] Η [25] λέει απλώς ότι η μεταβολή του συνολικού κεφαλαίου ισούται με τη συνολική αποταμίευση, μιας και οι δύο πρώτοι όροι αθροίζονται στο συνολικό προϊόν της οικονομίας λόγω κλειστής οικονομίας => το προϊόν εξαντλείται σε κατανάλωση και αποταμίευση, σταθερών αποδόσεων κλίμακας στην παραγωγή και τέλεια ανταγωνιστικών αγορών => οι παραγωγικοί συντελεστές αμείβονται με το οριακό τους προϊόν και εξαντλούν το συνολικό προϊόν (μηδενικά κέρδη) ανελαστικής προσφοράς εργασίας και κεφαλαίου => οι απασχολούμενοι παραγωγικοί συντελεστές ταυτίζονται με το συνολικό υφιστάμενο απόθεμα (απασχολείται όλο το υφιστάμενο κεφάλαιο, και εργάζεται όλος ο πληθυσμός) και δεδομένου ότι έχουμε υποθέσει ότι ο συντελεστής απόσβεσης είναι ίσος με μηδέν (ή είναι ενσωματωμένος στο r). Θα μπορούσαμε λοιπόν να είχαμε εξάγει απευθείας την [25]. Η εξαγωγή της όμως μέσω της διαδικασίας ολοκλήρωσης που ακολουθήσαμε, αποκαλύπτει και την τελευταία αναγκαία υπόθεση, ότι δηλαδή τα νέα νοικοκυριά ξεκινούν με μηδέν κεφάλαιο. Για την παρούσα αξία των εισοδημάτων από εργασία έχουμε: d d d ( ), ( ) ( ) d, ( ) ( )d d W n n d R z w z A z z d R z w z A z z d n n n w( ) R, zw( z) A( z)dz d n n R, z n w( ) R, w( ) A( ) w( z) A( z) dz

14 14 / 40 Σημειώστε ότι η παράγωγος του συντελεστή προεξόφλησης, δεν ισούται με την R z [15] εδώ παραγωγίζoυμε ως προς το κάτω όριο του διαστήματος ολοκλήρωσης που εμπεριέχεται στον συντελεστή. Έχουμε: z z r( v)d v r( v)dv z R, z r( v)d v R, zr( ) Αντικαθιστώντας και ενθυμούμενοι ότι R, 1 λαμβάνουμε d n n n W( ) n w( ) w( ) A( ) w( z) A( z) R, zr( )dz d d n n n W( ) n w( ) w( ) A( ) r( ) w( ) d και άρα n W( ) r( ) n W ( ) w( ) A( ) [26] Εισάγοντας τις [25] και [26] στην σχέση για τη μεταβολή της συνολικής κατανάλωσης [24] λαμβάνουμε C( ) r( ) K( ) w( ) A( ) n C( ) r( ) n W ( ) w( ) A( ) C( ) r ( ) K( ) W( ) C( ) nw ( ) n Αναδιατάσσοντας την [23] για να αντικαταστήσουμε το W () έχουμε r( ) C( ) K( ) C( ) C( ) C( ) n άρα C( ) r( ) n C( ) nk( ) [27]

15 15 / 40 η οποία, μαζί με τον νόμο μεταβολής του συνολικού κεφαλαίου [25] περιγράφει το μακροοικονομικό σύστημα. Σημειώστε ότι μπορέσαμε να απαλείψουμε από τις σχέσεις για τη συνολική κατανάλωση και το συνολικό κεφάλαιο την παρουσία της προεξοφλημένης παρούσας αξίας των μελλοντικών εισοδημάτων από εργασία. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ 1.1 Η σχέση της κατανάλωσης ως συνάρτηση του πλούτου φαίνεται να είναι ευθέως ανάλογη σε επίπεδο νοικοκυριού (εξίσωση [19]) και σε επίπεδο συνολικής οικονομίας (εξίσωση [23]). Είναι όντως; Συζητείστε. Σε κάθε περίπτωση πάντως η σχέση μεταβολής της κατανάλωσης, διαφοροποιείται δομικά στα δύο αυτά επίπεδα (εξισώσεις [12] και [27] αντίστοιχα). Συζητείστε το πώς και γιατί προκύπτει η διαφοροποίηση αυτή (Ένδειξη: ποιο είναι το βασικό χαρακτηριστικό των νέων νοικοκυριών;) 1.2 Το υπόδειγμα προβλέπει ότι η σημερινή κατανάλωση σε επίπεδο νοικοκυριού είναι συνάρτηση και των μελλοντικών εισοδημάτων από την εργασία, δηλαδή εισοδημάτων που δεν έχουν ακόμη αποκτηθεί. Θα ήταν αυτό λογικά συνεπές στα πλαίσια ενός υποδείγματος όπου δεν θα υπήρχε η δυνατότητα δανεισμού; 1.3 Όπως και πολλά άλλα μακροοικονομικά υποδείγματα, το υπόδειγμα επάλληλων γενεών Blanchard-Wil υποθέτει πλήρως ανελαστική προσφορά εργασίας. Είναι αυτό μια αποδεκτή απλοποίηση της πραγματικότητας όταν ενδιαφερόμαστε για θέματα μακροχρόνιας εξέλιξης και ισορροπίας μιας οικονομίας; 1.4 Το υπόδειγμα υποθέτει «αθάνατα» νοικοκυριά. Αυτή η υπόθεση αφορά τα άτομα που απαρτίζουν τα νοικοκυριά, ή θα μπορούσε να αφορά το νοικοκυριό ως θεσμό, ως «οίκο»; Υπό ποιες πρόσθετες υποθέσεις θα μπορούσαμε να υιοθετήσουμε την τελευταία αυτή ερμηνεία, χωρίς να μεταβληθεί απολύτως τίποτε στο υπόδειγμα; 1.5 Γιατί αρκεί να πληρώνουμε μέρος μόνο των τόκων, ούτε καν όλους, και άρα καθόλου το αρχικό κεφάλαιο που δανειστήκαμε, προκειμένου να ικανοποιείται η συνθήκη φερεγγυότητας σε καθεστώς άπειρου χρονικού ορίζοντα; Οι δανειστές μας θα ήταν ικανοποιημένοι;

16 16 / Η Μακροχρόνια Ισορροπία και οι ιδιότητές της 2.1. Μακροχρόνια ισορροπία σε μέσους όρους κατανάλωσης και κεφαλαίου Δεδομένου ότι τόσο ο πληθυσμός όσο και η αποδοτικότητα της εργασίας αυξάνονται συνεχώς και εξωγενώς, αλλά και του άπειρου χρονικού ορίζοντα, η οικονομία αυτή δεν έχει μακροχρόνια ισορροπία σε επίπεδο μακροοικονομικών μεταβλητών, ή σε «κατά κεφαλή» μεγέθη, τα οποία αυξάνουν συνεχώς, όπως κανείς εύκολα διαπιστώνει από τις σχέσεις [25] και [27]. Μπορούμε όμως να εκφράσουμε τις μεταβλητές ως μέσους όρους ανά μονάδα αποδοτικής εργασίας. Έχουμε C () c( ) C( ) c( ) A( ) L( ) K () ( ) K( ) ( ) A( ) L( ) ng ng Διαφορίζοντας, ( ) ( ) n g ng C c n g c( ) [28] ( ) ( ) n g ng K n g ( ) [29] Εξισώνοντας την [28] με την [27] λαμβάνουμε ng ng c( ) n g c( ) r( ) n C( ) nk( ) c( ) f ( ) g c( ) n( ) [30] και αντίστοιχα εξισώνοντας την [29] με την [25] έχουμε ng ng n ( ) n g ( ) r( ) K( ) w( ) A( ) C( )

17 17 / 40 ( ) f ( ) n g ( ) c( ) [31] όπου χρησιμοποιήσαμε και τις σχέσεις [5] για την εξάντληση του προϊόντος στις αμοιβές των παραγωγικών συντελεστών. Οι σχέσεις [30] και [31] αποτελούν το βασικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων του υποδείγματος. Οι γεωμετρικοί τόποι σταθερής μέσης κατανάλωσης και σταθερού μέσου κεφαλαίου δίνονται από τις σχέσεις c( ) 0 c και n f g [32] ( ) 0 c f n g [33] όπου χρησιμοποιήσαμε ανισότητα για να καταδείξουμε ταυτόχρονα και τη φορά κίνησης των μεταβλητών όταν βρισκόμαστε εκτός των καμπυλών μηδενικής μεταβολής. Στο διάγραμμα φάσης c, η καμπύλη c ( ) 0 ξεκινά από την αρχή των αξόνων και αυξάνεται εκθετικά καθώς αυξάνεται το μέσο κεφάλαιο, με ασυμπτωτική την κάθετη στον άξονα στο σημείο όπου f g. Η καμπύλη ( ) 0 ξεκινά από την αρχή των αξόνων, έχει μέγιστο στο σημείο όπου f n g και τέμνει τον άξονα στο σημείο όπου f n g Σταθερότητα της μακροχρόνιας ισορροπίας Για να ελέγξουμε τη σταθερότητα της ισορροπίας του μη-γραμμικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων, και το κατά πόσο αυτό χαρακτηρίζεται από σαγματική ισορροπία, εξετάζουμε τις ιδιοτιμές της Ιακωβιανής μήτρας μερικών παραγώγων του συστήματος, υπολογισμένης στο σημείο μακροχρόνιας ισορροπίας:

18 18 / 40 J c c c, c, f c g f c n 1 f n g c, c, c 2 Η χαρακτηριστική εξίσωση που αντιστοιχεί είναι ιδιοτιμές είναι r J d J 0 και οι 1,2 2 J J J r r 4d 2 Γνωρίζουμε ότι σε ένα σύστημα μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων 2 Χ 2, αναγκαία και ικανή συνθήκη προκειμένου αυτό να χαρακτηρίζεται από σαγματική σταθερότητα, είναι να είναι η ορίζουσα της Ιακωβιανής μικρότερη του μηδενός, ώστε οι ιδιοτιμές να είναι πραγματικοί αριθμοί, και η μία ιδιοτιμή να είναι θετική και η άλλη αρνητική (αυτό ισχύει ανεξάρτητα από το πρόσημο του ίχνους της μήτρας). Έχουμε J d f g f n g f c n Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις μηδενικής μεταβολής (με ισότητα) έχουμε από την [32] f g n c ενώ από την [33] μπορούμε να λάβουμε f c f c n g f n g f Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην ορίζουσα d J d J n c f f f c n c προκύπτει

19 19 / 40 n d J f f n f c n c n d J w f c 0 c όπου χρησιμοποιήσαμε την [4] για τον προσδιορισμό του πραγματικού μισθού αλλά και την κοιλότητα της συνάρτησης παραγωγής, f 0. Η ορίζουσα είναι αρνητική και άρα οι ιδιοτιμές της Ιακωβιανής έχουν διαφορετικά πρόσημα, επομένως το σύστημα χαρακτηρίζεται από σαγματική σταθερότητα Δυναμική αναποτελεσματικότητα της μακροχρόνιας ισορροπίας Μια οικονομία χαρακτηρίζεται από «δυναμική αναποτελεσματικότητα» (ή υπεραποταμίευση), όταν στη μακροχρόνια ισορροπία, μείωση του κεφαλαίου ισορροπίας οδηγεί σε αύξηση της κατανάλωσης ισορροπίας. Στο βασικό υπόδειγμα αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, η πιθανότητα αυτή αποκλείεται από την υπόθεση n, η οποία όμως εκεί χρειάζεται προκειμένου να μην παραβιαστεί η συνθήκη ransvrsaliy, δεδομένου ότι στο υπόδειγμα αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού το n αφορά αύξηση του μεγέθους του κάθε νοικοκυριού (και άρα υπεισέρχεται στην διαχρονική συνάρτηση χρησιμότητας και τελικά και στη συνθήκη ransvrsaliy) και όχι αύξηση του πλήθους των νοικοκυριών όπως συμβαίνει στο υπόδειγμα επαλλήλων γενεών. Στο υπόδειγμα Επάλληλων Γενεών ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού δεν εμπλέκεται στο πρόβλημα μεγιστοποίησης του κάθε νοικοκυριού, επομένως η σχέση μεταξύ και n δεν επηρεάζει τη συνθήκη ransvrsaliy. Επιπλέον, όπως μπορεί κανείς να διαπιστώσει, η υπόθεση n δεν επηρεάζει το χαρακτηριστικό της σαγματικής σταθερότητας του υποδείγματος. Επομένως παραμένει συνεπής με τις βασικές οικονομικές υποθέσεις του υποδείγματος και άρα είναι επιτρεπτή. Σε περίπτωση που ισχύει n τότε η μακροχρόνια ισορροπία μπορεί να χαρακτηρίζεται από δυναμική αναποτελεσματικότητα (χωρίς να είναι υποχρεωτικό). Παραθέτουμε ακολούθως τα δύο σχετικά διαγράμματα φάσης, με το πρώτο να αφορά τη συνήθη υπόθεση n.

20 20 / 40 c n c 0 c OGM 0 OGM :f g :f n g Στην περίπτωση που c n n, είναι εφικτό να συμβεί το ακόλουθο: c OGM c 0 0 OGM :f g :fng Η οικονομία αυτή είναι δυναμικά αναποτελεσματική, υπερ-αποταμιεύει: θα μπορούσε να αυξήσει την κατανάλωση μακροχρόνιας ισορροπίας μειώνοντας το κεφάλαιο μακροχρόνιας ισορροπίας. Πάντως η υπόθεση n συνήθως επιβάλλεται, προκειμένου να μπορεί το υπόδειγμα να συγκριθεί με το υπόδειγμα αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού.

21 21 / 40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ 2.1 Ένα σύστημα που χαρακτηρίζεται από «σαγματική σταθερότητα» θεωρείται στην πραγματικότητα μη-σταθερό από μαθηματικής απόψεως. Για ποιο λόγο στα οικονομικά υποδείγματα «προτιμάται» ένα σύστημα σαγματικής σταθερότητας από ένα σύστημα που χαρακτηρίζεται από σταθερότητα με την αυστηρή μαθηματική έννοια; Τι θα σήμαινε για μια πραγματική οικονομία και για τη δράση των οικονομικών παραγόντων που την απαρτίζουν, το να επιδείκνυε αυτή πλήρη σταθερότητα ως δυναμικό σύστημα; 2.2 Η εργασία και τα εξ αυτής εισοδήματα δεν επηρεάζουν ευθέως τη μακροχρόνια ισορροπία της οικονομίας. Σχολιάστε. 2.3 Αποδείξτε ότι στη μακροχρόνια ισορροπία ισχύει n r g. Ακολούθως, συνδυάστε την ανισότητα και με τη συνήθη υπόθεση n. Συνάδουν αυτές οι ανισότητες με τις συνήθεις αριθμητικές τιμές των παραμέτρων αυτών;

22 22 / Μέσα και ατομικά μεγέθη στη μακροχρόνια ισορροπία: η κατανομή και η ανισοκατανομή της κατανάλωσης και του πλούτου Σημαντική συνεισφορά του υποδείγματος επαλλήλων γενεών Blanchard-Wil είναι το ότι επιτρέπει να διακρίνουμε μεταξύ ατομικών μεγεθών και των μέσων όρων τους. Στα συνήθη υποδείγματα αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού αυτή η διάκριση χάνεται αφού όλα τα νοικοκυρά είναι ταυτόσημα. Θα μελετήσουμε το θέμα σε κατάσταση μακροχρόνιας ισορροπίας. Επιπλέον, θα υπολογίσουμε την κατανομή της κατανάλωσης και του πλούτου στη μακροχρόνια ισορροπία, καθώς και τους συναρτώμενους δείκτες ανισοκατανομής Gini Η ατομική κατανάλωση και το κεφάλαιο σε μονάδες αποδοτικότητας. Προκειμένου να αντιπαραθέσουμε ατομικά μεγέθη με τους αντίστοιχους μέσους όρους, ορίζουμε μια νέα μεταβλητή, την ατομική κατανάλωση ανά μονάδα αποδοτικότητας της εργασίας: g c ( j, ) c( j, ) [34] Ενδιαφερόμαστε για το πώς κατανέμεται η κατανάλωση την ίδια χρονική περίοδο μεταξύ των νοικοκυριών. Δεδομένου ότι το υπόδειγμα είναι ντετερμινιστικό, στην πραγματικότητα θα υπολογίσουμε τη (συνεχή) συνάρτηση "σχετικής συχνότητας" και τα χαρακτηριστικά της, και όχι τη συνάρτηση "πυκνότητας πιθανότητας". Παρ' όλα αυτά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ορολογία και τα μεγέθη που προσιδιάζουν σε τυχαίες μεταβλητές, ενθυμούμενοι ότι εδώ έχουν περιγραφικό παρά επαγωγικό ρόλο. Καταρχάς, επιβεβαιώνουμε ότι η μεταβλητή αυτή c ( j, ) έχει ως μέσο όρο της την μεταβλητή c ()(μέση κατανάλωση ανά μονάδα αποδοτικότητας), σε κάθε χρονικό σημείο. Πρέπει να σταθμίσουμε, για κάθε γενιά j, τη μεταβλητή c ( j, ) με τη σχετική βαρύτητα που η γενιά αυτή έχει στον συνολικό πληθυσμό. Το (σταθερό) μέγεθος της

23 23 / 40 γενιάς j είναι jn n, ενώ ο συνολικός πληθυσμός στον χρόνο είναι n. Άρα ο συντελεστής στάθμισης είναι n n jn n n( j). Επομένως, ( ) ( ) n j n jn g n g jn E c ( j, ) n c ( j, )d j n c( j, ) d j n c( j, )dj ( ) n g E c ( j, ) C( ) c( ) [35] Άρα όντως η μεταβλητή «ατομική κατανάλωση ανά μονάδα αποδοτικότητας εργασίας» c ( j, ) έχει ως μαθηματική της ελπίδα (μέση τιμή) τη «μέση κατανάλωση ανά μονάδα αποδοτικότητας εργασίας» c (). Θέλουμε ακολούθως να υπολογίσουμε την κατανομή της μεταβλητής c ( j, ), συγκεκριμένα τη συνάρτηση σχετικής συχνότητας, έστω hc c (, ) j, σε κάθε χρονική στιγμή. Δεδομένου ότι το υπόδειγμα είναι σε συνεχή χρόνο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις μεθόδους που εφαρμόζονται για την εύρεση των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας. Παρατηρείστε τώρα ότι η h ( j) n j n j, που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της μαθηματικής ελπίδας της c ( j, ), είναι μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για τη μεταβλητή j στο πεδίο ορισμού, αφού είναι παντού μη-αρνητική, και ισχύει n j. H( j) n dj 1 Αν λοιπόν μπορούσαμε να εκφράσουμε τη μεταβλητή c ( j, ) ως μια συνεχή, διαφορίσιμη, μονοτονική (και ευθέως αντιστρέψιμη) συνάρτηση του j για κάθε, c (, ) ( ), j j, τότε θα εφαρμόζαμε τη «φόρμουλα αλλαγής μεταβλητών», σύμφωνα με την οποία, 1 1 c (, ) j dc d c h c j h c [36] και θα λάμβάναμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της c ( j, ), που είναι και το ζητούμενο εδώ.

24 24 / 40 Αναδιατάσσοντας την εξίσωση Eulr για την ατομική κατανάλωση [13] λαμβάνουμε c( j, ) c( j, z) z r( v)d z v Θέτοντας z j έχουμε ( )d r v v j j και αντικαθιστώντας τη σχέση c( j, ) c( j, j) αυτή στην [34] έχουμε r ( v )d v j c ( j, ) c( j, j) j g [37] Ακολούθως, από τη σχέση [19] που εκφράζει την κατανάλωση ως ποσοστό του διευρυμένου πλούτου, c( j, ) k( j, ) w( ), θέτοντας j του ότι k( j, j) 0, πως c( j, j) w( j) και άρα έχουμε, δεδομένου και r ( v )d v j j c ( j, ) w( j) g όπου w( j) είναι η παρούσα αξία των μελλοντικών εισοδημάτων από εργασία κάθε ενός νοικοκυριού, ανεξαρτήτως γενιάς, όταν ο χρόνος της οικονομίας λαμβάνει την τιμή j, z r ( v ) dv j w ( j ) R j, z w ( z ) A ( z )d z w ( z ) A ( z )d z άρα j z r( v)d v r( v)dv c ( j, ) w( z) A( z)dz j j j j g [38] j Η παραπάνω σχέση δεν μπορεί να αντιστραφεί ώστε να λάβουμε το j ως ευθεία συνάρτηση του c ( j, ). Για να ξεπεράσουμε αυτό το πρόβλημα, θα πρέπει να περιοριστούμε στην εξέταση μόνο εκείνων των γενεών που έχουν γεννηθεί κατά και μετά την επίτευξη μακροχρόνιας ισορροπίας.

25 25 / Η κατανομή της κατανάλωσης στη μακροχρόνια ισορροπία Σε κατάσταση μακροχρόνιας ισορροπίας, το πραγματικό επιτόκιο και ο πραγματικός μισθός είναι σταθερά: r( ) r, w( ) w. Εξετάζουμε μόνο τα νοικοκυριά που έχουν γεννηθεί μετά ή και κατά την επίτευξη μακροχρόνιας ισορροπίας. Η παρούσα αξία των μελλοντικών εισοδημάτων από εργασία στον χρόνο j είναι 1 w w( j) w dz w j r g j r g r( z j) gz jr ( r g) z jg [39] Σημειώστε ότι εδώ το j δεν εκπροσωπεί τη σχετική γενιά, αλλά είναι η αριθμητική τιμή που λαμβάνει η μεταβλητή, μιας και στην ουσία υπολογίζουμε την τιμή της c( j, j ). Επιπλέον, r d v j r j. Εισάγοντας αυτό και την [39] στη σχέση [38], λαμβάνουμε w jg w c ( j, ) r g r g j r j g rg j [40] όπου χρησιμοποιήσαμε το αστέρι για να υποδηλώσουμε ότι εξετάζουμε μόνο γενεές της μακροχρόνιας ισορροπίας. Η σχέση [40] ως προς j είναι μια συνάρτηση συνεχής, διαφορίσιμη και μονοτονικά φθίνουσα. Επίσης μπορεί να αντιστραφεί ευθέως. Συγκεκριμένα, w w c( j, ) ln c( j, ) ln r g j r g r g r g j 1 1 c j c j r g r g r g w ln ln (, ) 1 Επίσης 1 d c 1 dc r g c ( j, )

26 26 / 40 Αντικαθιστώντας τα δύο αυτά αποτελέσματα στην [36] έχουμε n 1 w ln c ( j, ) hc c( j, ) xp n ln r gc ( j, ) r g r g r g n n n w r g (, ) (, ) r g c 1 h c j c j r g r g [41] Σημειώστε ότι η σχέση [40], που ορίζει την ατομική κατανάλωση ανά μονάδα αποδοτικότητας γενεών μακροχρόνιας ισορροπίας, είναι αυστηρά αύξουσα στον χρόνο της οικονομίας, και η μικρότερη τιμή που μπορεί να έχει η μεταβλητή για νοικοκυριό της γενιάς j είναι j, η οποία κατά συνέπεια μας δίνει και την ελάχιστη κατανάλωση που θα έχει το νοικοκυριό. Αυτή ισούται με min c ( j, ) n r g, μπορούμε να γράψουμε w r g. Αν δε, θέσουμε h c ( j, ) c min c ( j, ) [42] 1 c ( j, ) h c j είναι τώρα αναγνωρίσιμη ως η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Η c (, ) της κατανομής Paro με συντελεστή, (που χρησιμοποιείται συχνά στην εμπειρική έρευνα για να περιγράψει κατανομές εισοδήματος και πλούτου), η γενική μορφή της οποίας είναι n r g. pdf ( X ) x x min 1 με παράμετρο σχήματος στην περίπτωσή μας Η μαθηματική ελπίδα της κατανομής αυτής ορίζεται αν 1 n r g 1, κάτι που ισχύει στο υπόδειγμά μας (βλ. 'Ασκηση 2.3). Τότε αυτή λαμβάνει την τιμή xmin EX ( ) 1 και άρα

27 27 / 40 n w E c ( j, ) c n r g r g [43] Το ότι αυτή η έκφραση ισούται με c μπορεί κανείς να το διαπιστώσει αν επεξεργαστεί αλγεβρικά τις θεμελιώδεις εξισώσεις του υποδείγματος c ( ) 0 και ( ) 0. n r g Αν επιπλέον ισχύει ότι 2 τότε ορίζεται και η διακύμανση της κατανομής, ίση με Var( X ) ax 2 min 2 a1 a2, και στην περίπτωσή μας Var( c ( j, )) 2 2 n r g n 2r g n r g w r g 2 [44] 'Ενα ερώτημα που τίθεται είναι το εξής: από την σχέση [35] γνωρίζουμε ότι E c (, ) ( ) j c, ενώ υπολογίσαμε επίσης ότι μακροχρόνια ισορροπία συνεπάγεται E( c ( j, )) c. Η πορεία προς τη c c E c j E c j ( ) (, ) (, ) Όμως η μεταβλητή c ( j, ) αντιπροσωπεύει το σύνολο των νοικοκυριών, τα οποία έχοντας άπειρο χρονικό ορίζοντα, δεν παύουν ποτέ να συμμετέχουν στην οικονομία, ενώ η μεταβλητή c ( j, ) αντιπροσωπεύει μόνο νοικοκυρια που έχουν γεννηθεί εντός μακροχρόνιας ισορροπίας, που είναι αυστηρά υποσύνολο των πρώτων. Πώς είναι δυνατόν ο μέσος όρος της c ( j, ) να είναι το όριο του μέσου όρου της c ( j, ) ; H απάντηση βρίσκεται στον συνεχώς και εκθετικά αυξανόμενο πληθυσμό, κάτι που καθιστά τις παλαιότερες γενιές ασυμπτωτικά ασήμαντες για την κατανομή, παρ' όλο που είναι αυτές που έχουν την υψηλότερη κατανάλωση. Όμως το σχετικό τους μέγεθος ως προς το σύνολο του πληθυσμού τείνει στο μηδέν ταχύτερα από την αύξηση της κατανάλωσής τους (βλ. Άσκηση 3.1.). Επιπλέον, προκειμένου να υπολογίσουμε τη μαθηματική ελπίδα της c ( j, ), ολοκληρώσαμε στο διάστημα min c ( j, ),. Αλλά για να μπορεί να

28 28 / 40 απειρίζεται η κατανάλωση των νοικοκυριών που έχουν γεννηθεί μετά την επίτευξη μακροχρόνιας ισορροπίας, απαιτείται και το χρονικό διάστημα που η οικονομία βρίσκεται σε μακροχρόνια ισορροπία να τείνει να απειριστεί. Σε μια τέτοια περίπτωση, η συμβολή των νοικοκυριών που έχουν γεννηθεί προ μακροχρόνιας ισορροπίας ασυμπτωτικά εξαφανίζεται. Ένα δεύτερο ερώτημα είναι: γνωρίζουμε από την [40] ότι η μεταβλητή c ( j, ) αυξάνεται για όλα τα νοικοκυριά καθώς κυλά ο χρόνος της οικονομίας (αυτό σημαίνει ότι στο υπόδειγμα αυτό, ακόμα και τα ατομικά μεγέθη ανά μονάδα αποδοτικότητας αυξάνοται συνεχώς, δεν σταθεροποιούνται ποτέ). Πώς είναι δυνατόν η κατανομή της να διατηρεί σταθερό μέσο όρο και διακύμανση, ώστε να μπορούμε υπό αυτή τη "μέση" έννοια να μιλάμε για "μακροχρόνια ισορροπία"; Η απάντηση βρίσκεται και πάλι στη συνεχή είσοδο νέων νοικοκυριών: κάθε χρονική στιγμή, η κατανάλωση όλων των προ-υφιστάμενων νοικοκυριών ανά μονάδα αποδοτικότητας εργασίας αυξάνεται όμως κάθε χρονική στιγμή εισέρχονται στην οικονομία νέα νοικοκυριά που καταναλώνουν την πρώτη περίοδο ζωή τους το ελάχιστο επίπεδο w r g και είναι ως γενιά πολυπληθέστερη όλων των προηγούμενων και μέσω αυτής της «αντιστάθμισης» ο μέσος και η διακύμανση της κατανομής διατηρούνται σταθερά. Έχουμε μια κατάσταση όπου το επίπεδο κατανάλωσης όλων βελτιώνεται, αλλά ο αντίστοιχος μέσος όρος (δεδομένου ότι είναι μεσοσταθμικός βάσει του πληθυσμού) παραμένει σταθερός! Σημειώνουμε ότι από τον περιορισμό r g 0 1 προκύπτει ότι r g min (, ) c j w. Άρα όλα τα νεοεισερχόμενα νοικοκυριά (που δεν διαθέτουν κεφάλαιο), δεν καταναλώνουν το σύνολο των εισοδημάτων τους την πρώτη περίοδο (που προέρχονται μόνο από εργασία), αλλά ξεκινούν άμεσα και να αποταμιεύουν. Σημειώνουμε τέλος ότι η διάμεσος της κατανομής Paro είναι mdian( X) x 2 min 1/ και στην περίπτωσή μας w r g rg mdian( c ( j, )) 2 n [45]

29 29 / 40 Η κατανομή Paro είναι μη-συμμετρική, και η διάμεσός της βρίσκεται σε χαμηλότερο επίπεδο κατανάλωσης από τη μαθηματική της ελπίδα. Επομένως το ποσοστό των νοικοκυριών που καταναλώνει λιγότερο από το μέσο όρο είναι μεγαλύτερο του 50%. Τέλος, ο συντελεστής Gini, που αποτελεί ένα αύξον μέτρο ανισοκατανομής (με ελάχιστη τιμή το μηδέν και μέγιστη τη μονάδα), για την κατανομή Paro ισούται με 1 G 2 1 (βλ. Τεχνικό Παράρτημα). Για την περίπτωσή μας, Gc ( ) r g 2n r g [46] 3.3. Η κατανομή του κεφαλαίου στη μακροχρόνια ισορροπία Στρεφόμαστε τώρα στη μελέτη του ατομικού, ανά μονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, κεφαλαίου των νοικοκυριών. Περιοριζόμαστε και πάλι στην εξέταση των νοικοκυριών που έχουν γεννηθεί μετά την επίτευξη μακροχρόνιας ισορροπίας. Κατ' αναλογία με την κατανάλωση, ορίζουμε k ( j, ) k( j, ) g καθώς και την μεταβλητή k ( j, ) που αφορά νοικοκυριά γεννημένα εντός της μακροχρόνιας ισορροπίας. Σε ατομικό επίπεδο η σχέση ατομικής κατανάλωσης ως ποσοστό του διευρυμένου πλούτου [19] γίνεται τώρα w c( j, ) k( j, ) r g [47] Ορίζοντας τον διευρυμένο πλούτο μακροχρόνιας ισορροπίας ως w V ( j, ) k( j, ) rg, αυτός αποτελεί γραμμική συνάρτηση της c ( j, ), 1 V ( j, ) c( j, ) [48]

30 30 / 40 Κατά συνέπεια η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της V ( j, ) προκύπτει αμέσως ως w hv V j hc V j V j r g (, ) (, ) (, ) 1 [49] που και πάλι είναι μια κατανομή Paro V j rg min (, ) w, και με την ίδια παράμετρο σχήματος με αυτήν της κατανομής της κατανάλωσης. Ο μέσος όρος της και η διακύμανση δίνονται απευθείας από την [48] ως 1 1 E V ( j, ) E c ( j, ), Var V ( j, ) Var 2 c ( j, ) [50] Στρεφόμενοι στο κεφάλαιο k ( j, ), αυτό ισούται με k ( j, ) V ( j, ) w V ( j, ) min V ( j, ) r g [51] Κατά συνέπεια, το κεφάλαιο ακολουθεί μια κατανομή Lomax (ή Paro τύπου ΙΙ), η οποία έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας h k j w k j r g w (, ) (, ) 1 k r g [52] Η μαθηματική της ελπίδα είναι w n w w E k( j, ) E V ( j, ) r g n r g r g r g w r g E k ( j, ) r g n r g [53] Από τις εξισώσεις μηδενικής μεταβολής του διαγράμματος φάσης μπορεί κανείς να επιβεβαιώσει ότι (, ) E k j.

31 31 / 40 Αναφορικά με τη διακύμανση της κατανομής του κεφαλαίου έχουμε 2 2 n r g n 2r g n r g w Var k( j, ) Var V ( j, ) r g 2 k j c j Var (, ) Var (, ) [54] 2 όπως άλλωστε θα ανέμενε κανείς, μιας και η μεταβλητή του κεφαλαίου είναι γραμμική συνάρτηση της μεταβλητής της κατανάλωσης. Ο συντελεστής Gini για την κατανομή Lomax είναι (βλ. Τεχνικό Παράρτημα) Gk ( ) n 2 1 2n r g [55] Δεδομένου ότι 1 το υπόδειγμα προβλέπει σχετικά εντονότερη ανισοκατανομή κεφαλαίου παρά κατανάλωσης, στη μακροχρόνια ισορροπία. Η διαφορά μπορεί να είναι μεγάλη π.χ. για συνήθεις τιμές των παραμέτρων, ο δείκτης Gini για το κεφάλαιο μπορεί να είναι διπλάσιος από τον δείκτη Gini για την κατανάλωση. Ολοκληρώνουμε εδώ τη μελέτη κατανομής και ανισοκατανομής της κατανάλωσης και του κεφαλαίου στη μακροχρόνια ισορροπία. Το υπόδειγμα επαλλήλων γενεών Blanchard- Wil επιτρέπει την υποδειγματοποίηση της ανισοκατανομής της κατανάλωσης σε κατάσταση μακροχρόνιας ισορροπίας της οικονομίας, ανισοκατανομή που περιγράφεται από μια κατανομή Paro τα χαρακτηριστικά της οποίας εξαρτώνται από τις εξωγενείς παραμέτρους του υποδείγματος αλλά και από το επιτόκιο. Η αντίστοιχη κατανομή του κεφαλαίου είναι Paro τύπου ΙΙ (ή Lomax), με υψηλότερο δείκτη ανισοκατανομής Gini. Πηγή της ανισοκατανομής στην οικονομία είναι η ανισοκατανομή του υλικού κεφαλαίου μεταξύ των γενεών, η οποία με τη σειρά της προέρχεται από το γεγονός της σειριακής εισόδου στην οικονομία νέων νοικοκυριών τα οποία όμως δεν συνδέονται με τα προηγούμενα μέσω αλτρουσιστικών κινήτρων ή/και θεσμών κληρονομίας. Η ανισοκατανομή είναι παραμένουσα ως χαρακτηριστικό της οικονομίας και σταθερή στη μακροχρόνια ισορροπία, αναφορικά με το σχετικό της εύρος, αλλά ταυτόχρονα όχι στατική: κάθε περίοδο όλα τα νοικοκυριά βελτιώνουν τη θέση τους.

32 32 / 40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ 3.1 Αποδείξτε ότι η σχετική βαρύτητα στον πληθυσμό των νοικοκυριών που έχουν γεννηθεί πριν την επίτευξη μακροχρόνιας ισορροπίας, τείνει στο μηδέν ταχύτερα από τον ρυθμό που η κατανάλωσή τους (ανά μονάδα αποδοτικότητας εργασίας) τείνει στο άπειρο, αφού η οικονομία βρεθεί σε μακροχρόνια ισορροπία. Συμβουλή: ποιο είναι το (σταθερό) μέγεθος μιας γενιάς; Ποιο είναι το (αυξανόμενο) μέγεθος του πληθυσμού; Χρησιμοποιήστε και τη σχέση [38] σε καθεστώς μακροχρόνιας ισορροπίας. 3.2 Υπολογίστε το χρονικό διάστημα j που χρειάζεται ένα νέο νοικοκυριό της γενιάς j προκειμένου, όντας η οικονομία ήδη σε μακροχρόνια ισορροπία, αυτό να φτάσει α) στη διάμεση κατανάλωση και β) στο μέσο όρο κατανάλωσης (αφορά τη μεταβλητή c ( j, ) ). 3.3 Κάντε τώρα το ίδιο για τον συνολικό πλούτο του νοικοκυριού, καθώς και για το κεφάλαιο (αφού πρώτα υπολογίσετε, ή βρείτε στην βιβλιογραφία την διάμεσο της κατανομής Lomax). Προκύπτει διαφορά σε σχέση με τα απαιτούμενα χρονικά διαστήματα για την κατανάλωση; Σε κάθε περίπτωση, συζητείστε την προκύπτουσα ταυτότητα ή διαφορά. 3.4 Πώς επηρεάζονται οι συντελεστές ανισοκατανομής Gini για την κατανάλωση και το κεφάλαιο από μια αύξηση στις παραμέτρους που τους καθορίζουν; Στηρίξτε τα μαθηματικά αποτελέσματα με οικονομικά επιχειρήματα. 3.5 Βασιζόμενοι σε συνήθεις αριθμητικές τιμές για τις παραμέτρους n,, r, g όπως μπορούν να βρεθούν στη βιβλιογραφία, εξετάστε αν βάσει αυτών ισχύει η ανισότητα n r g, (η οποία εξασφαλίζει ότι ορίζεται η μαθηματική ελπίδα), αλλά και η ανισότητα n 2r g (η οποία εξασφαλίζει ότι ορίζεται η διακύμανση), των κατανομών Paro και Lomax. Αν δεν ισχύουν, ποια παράμετρος κατά την άποψή σας (και τη βιβλιογραφική σας έρευνα), είναι συγκριτικά λιγότερο τεκμηριωμένη σε εμπειρικά δεδομένα, και άρα θα μπορούσε κανείς γι αυτήν να δοκιμάσει με μεγαλύτερη ελευθερία διαφορετικές αριθμητικές τιμές; Θυμηθείτε ότι το υπόδειγμα απαιτεί επίσης r g 0 για να είναι καλά ορισμένο και να έχει μακροχρόνια ισορροπία με θετική κατανάλωση, καθώς και αναποτελεσματικότητα και υπερσυσσώρευση κεφαλαίου. n ώστε να μην έχουμε δυναμική

33 33 / Αφού καταλήξετε σε κάποιες αριθμητικές τιμές για τις εν λόγω παραμέτρους οι οποίες εξασφαλίζουν τουλάχιστον ότι η μαθηματική ελπίδα μπορεί να οριστεί, υπολογίστε τους συντελεστές Gini για την κατανάλωση και το κεφάλαιο και συγκρίνετε την τιμή τους με τις ανάλογες τιμές που έχουν υπολογιστεί με βάσει εμπειρικά δεδομένα και μπορείτε να βρείτε στην βιβλιογραφία. Σχολιάστε. 3.7 «Αυτό που θα έπρεπε να μας ενδιαφέρει είναι τα μεγέθη κατά κεφαλή (κατά νοικοκυριό), και όχι τα μεγέθη ανά μονάδα αποδοτικότητας της εργασίας». Σχολιάστε. Μπορείτε να εξετάσετε τα θέματα ανισοκατανομής της κατανάλωσης σε όρους κατά κεφαλή ; Του υλικού κεφαλαίου;

34 34 / Σύγκριση με το υπόδειγμα Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού Συγκρίνοντας το υπόδειγμα επαλλήλων γενεών (Ε-Γ) με το υπόδειγμα Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού (Α-Ν) (με υπόθεση λογαριθμικής χρησιμότητας), μπορούμε καταρχάς να διαπιστώσουμε ότι υπάρχουν δύο διαφορές στις υποθέσεις τους: πρώτον, στο υπόδειγμα Ε-Γ τα νοικοκυριά διαφέρουν στο επίπεδο υλικού κεφαλαίου που κατέχουν. Η ανισοκατανομή αυτή όμως δεν είναι κρίσιμη. Έχει δειχθεί ότι το υπόδειγμα Α- Ν μπορεί να ενσωματώσει ανισοκατανομή στον υλικό πλούτο (ακόμη και στην παραγωγικότητα), χωρίς να αλλάξουν τα βασικά του συμπεράσματα: σε μια τέτοια παραλλαγή, υπάρχει βεβαίως ανισοκατανομή και στην κατανάλωση και στον πλούτο (όπως και στο υπόδειγμα Ε-Γ), αλλά οι μέσοι όροι κατανάλωσης και κεφαλαίου εκφράζονται με τις ίδιες ακριβώς εξισώσεις που ισχύουν και στο βασικό υπόδειγμα Α-Ν (αυτό σημαίνει ότι τελικά, σε ένα υπόδειγμα "αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού", δεν είναι υποχρεωτικό να υποθέτουμε ότι τα νοικοκυριά είναι πλήρως ταυτόσημα, αλλά μόνο ως προς ορισμένα χαρακτηριστικά). Η δεύτερη, και κρίσιμη, διαφορά, είναι ότι στο υπόδειγμα Α-Ν ο πληθυσμός αυξάνει με την έννοια της αύξησης του μεγέθους του κάθε νοικοκυριού, των οποίων όμως το συνολικό πλήθος παραμένει σταθερό («δυναστείες»). Στο υπόδειγμα Ε-Γ ο πληθυσμός αυξάνει με την έννοια της αύξησης του πλήθους των νοικοκυριών, ενώ το μέγεθος του κάθε νοικοκυριού παραμένει σταθερό. Θα μπορούσε κανείς να παρατηρήσει ότι σε επίπεδο φυσικών προσώπων, ο πληθυσμός είναι ακριβώς ο ίδιος και στις δύο περιπτώσεις (με ταυτόσημη τυποποίηση του αρχικού πληθυσμού). Όμως η υπόθεση πληθυσμιακής μεταβολής στο υπόδειγμα Ε-Γ προκαλεί αύξηση του πλήθους των ασύνδετων οικονομικών μονάδων της οικονομίας, και αυτό αποδεικνύεται κρίσιμο για τα συμπεράσματα του υποδείγματος. (Σημ.: για την ακρίβεια, το κρίσιμο στοιχείο είναι ότι αυξάνονται οι ασύνδετες οικονομικές μονάδες οι οποίες επιλύουν ένα διαχρονικό πρόβλημα βελτιστοποίησης. Η αύξηση π.χ. του πλήθους των επιχειρήσεων δεν είναι ουσιώδης, στο βαθμό που υποθέτουμε ότι αυτές βελτιστοποιούν στατικά και όχι διαχρονικά). Σε μαθηματικό επίπεδο, η υπόθεση αυτή είναι που διαφοροποιεί τη διαφορική εξίσωση της μέσης κατανάλωσης μεταξύ των υποδειγμάτων Α-Ν και Ε-Γ, με την εμφάνιση του όρου n() στην εξίσωση μεταβολής της μέσης κατανάλωσης [30], όρος που δεν υπάρχει στην αντίστοιχη εξίσωση του υποδείγματος αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Ο όρος αυτός είναι που κάνει το επίπεδο της μέσης κατανάλωσης στο διάγραμμα φάσης να είναι

35 35 / 40 αύξουσα συνάρτηση του επιπέδου του μέσου κεφαλαίου, (ενώ στο υπόδειγμα Α-Ν, είναι ο ρυθμός μεταβολής και όχι το επίπεδο της μέσης κατανάλωσης που εξαρτάται από το επίπεδο του κεφαλαίου, δίνοντας μια κάθετη γραμμή στο σχετικό διάγραμμα φάσης του υποδείγματος Α-Ν). Σε ένα υπόδειγμα αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού με ανισοκατανομή του κεφαλαίου, ο μέσος όρος κεφαλαίου και κατανάλωσης θα αποτελούσε και εκεί πραγματικό μέσο όρο, με την κατανάλωση των επιμέρους νοικοκυριών να κατανέμεται περί αυτού. Όμως το επίπεδο της μέσης κατανάλωσης θα παρέμενε ανεξάρτητο από το επίπεδο του μέσου κεφαλαίου, όπως και στο βασικό υπόδειγμα Α-Ν. Στο υπόδειγμα Ε-Γ, έχουμε και το φαινόμενο της ανισοκατανομής και της διασποράς, και μεταβολή στις σχέσεις αλληλεξάρτησης των μακροοικονομικών μεγεθών. Η διαφοροποίηση αυτή δεν ανάγεται, με τη στενή έννοια που συναντάμε στο υπόδειγμα Α-Ν, στην αριστοποιητική συμπεριφορά των μεμονωμένων νοικοκυριών, αλλά προκύπτει ως χαρακτηριστικό των μακροοικονομικών μεγεθών. Είναι δηλαδή ένα χαρακτηριστικό που αναδύεται στη μακροοικονομική διάσταση του υποδείγματος και μόνο, χωρίς όμως να παραβιάζει σε κανένα σημείο τα μικρο-οικονομικά θεμέλιά του. Η ανάδυση νέων φαινομένων σε μακρο-οικονομικό επίπεδο τα οποία όμως προκύπτουν από τη συνάθροιση μικρο-οικονομικών μεγεθών θεμελιωμένων σε αριστοποιητική συμπεριφορά, αποτελεί σημαντική θεωρητική συνεισφορά του υποδείγματος Ε-Γ. Μην προσπαθήσετε να «εξηγήσετε διαισθητικά» αυτό το φαινόμενο σκεφτόμενοι τις ενέργειες ενός αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού στο υπόδειγμα επαλλήλων γενεών, και ακολούθως προβάλλοντας αυτές τις ατομικές ενέργειες σε επίπεδο οικονομίας. Αυτού του είδους η επιχειρηματολογία είναι συνήθης και ταιριαστή στα υποδείγματα Α-Ν, αλλά όχι εδώ. Στο υπόδειγμα Ε-Γ, το μακροοικονομικό φαινόμενο προκύπτει ως συνδυαστικό αποτέλεσμα των συναθροισμένων ατομικών συμπεριφορών με εξωγενή δεδομένα του περιβάλλοντος, που στην περίπτωσή μας είναι η εμφάνιση νέων νοικοκυριών, ασύνδετων με τα γηραιότερα. Συγκεκριμένα, () είναι η μέση κατανάλωση που πηγάζει από την ύπαρξη υλικού κεφαλαίου (θυμηθείτε ότι είναι η οριακή ροπή προς κατανάλωση), και προκύπτει ως τέτοια από την αριστοποιητική συμπεριφορά των νοικοκυριών. Παράλληλα, n είναι το ποσοστό επί του συνολικού πληθυσμού των νοικοκυριών της νέας γενιάς που γεννιούνται κάθε χρονική στιγμή, τα οποία εξ υποθέσεως δεν κατέχουν υλικό κεφάλαιο. Κατά συνέπεια το γινόμενο n() είναι το ποσοστό της μέσης κατανάλωσης που, σε κάθε

36 36 / 40 στιγμή, δεν υλοποιείται λόγω μη-κατοχής υλικού κεφαλαίου, και εκφράζει ακριβώς τη συνδυαστική επίδραση που προαναφέραμε. Σε επίπεδο μακροχρόνιας ισορροπίας, η μέση κατανάλωση και το μέσο κεφάλαιο στο υπόδειγμα Ε-Γ είναι μικρότερα από τα αντίστοιχα (κοινά για όλους) μεγέθη στο υπόδειγμα Α-Ν (υπό την υπόθεση n ). Ο πειρασμός εδώ είναι να ρωτήσουμε: αφού στο υπόδειγμα Ε-Γ τα μέσα μεγέθη περιβάλλονται από διασπορά των ατομικών μεγεθών, υπάρχουν νοικοκυριά στο υπόδειγμα Ε-Γ τα οποία στην μακροχρόνια ισορροπία καταναλώνουν περισσότερο από το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό του βασικού υποδείγματος Α-Ν; Μεθοδολογικά, η ορθή προσέγγιση είναι να συγκρίνουμε την μεταβλητή «ατομική κατανάλωση σε όρους μονάδων αποδοτικότητας εργασίας» του υποδείγματος E-N, με την κατανάλωση σε όρους μονάδων αποδοτικότητας εργασίας του υποδείγματος Α-Ν, και να υπολογίσουμε ποιο ποσοστό από τις πρώτες ξεπερνούν τη δεύτερη. Σημειώστε το εξής σημαντικό στοιχείο που διαπιστώσαμε στο προηγούμενο υποκεφάλαιο: στο υπόδειγμα επαλλήλων γενεών, η ατομική κατανάλωση ανά μονάδα αποδοτικότητας δεν σταματά ποτέ να αυξάνεται. Αντίθετα, στο υπόδειγμα αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, η ατομική κατανάλωση ανά μονάδα αποδοτικότητας είναι σταθερή. Μα τότε, δεν σημαίνει αυτό ότι τελικά όλα τα υφιστάμενα άτομα στο υπόδειγμα Ε-Γ θα καταναλώνουν περισσότερο από ότι στο υπόδειγμα Α-Ν; Όχι. Αυτό που συμβαίνει στο υπόδειγμα Ε-Γ είναι ότι η ελάχιστη ατομική κατανάλωση που παρατηρείται στην οικονομία παραμένει σταθερή, και χαμηλότερη από την σταθερή και κοινή για όλους κατανάλωση στο υπόδειγμα Α-Ν (αναφερόμαστε πάντα στη μακροχρόνια ισορροπία). Αυτό που αυξάνεται είναι το άνω όριο της παρατηρούμενης ατομικής κατανάλωσης, το οποίο τείνει στο άπειρο. Επομένως, στο υπόδειγμα Ε-Γ κάθε νοικοκυριό/άτομο θα φτάσει τελικά να καταναλώνει περισσότερα από ότι το άτομο/μέλος νοικοκυριού-δυναστείας στο υπόδειγμα Α-Ν, αφού όμως πρώτα περάσει μια περίοδο όπου θα καταναλώνει λιγότερο. Και πάντα θα υπάρχουν νοικοκυριά/άτομα στο υπόδειγμα Ε-Γ που θα καταναλώνουν λιγότερα από το άτομο/μέλος νοικοκυριού-δυναστείας στο υπόδειγμα Α-Ν. Επιστρέφοντας στο ερώτημά μας, γνωρίζουμε ότι η μέση κατανάλωση στο υπόδειγμα Ε-Γ κατανέμεται κατά Paro, και άρα η συνάρτηση κατανομής είναι x DF( X ) Pr X x 1 Pr X x x min