ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ. Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας. Μάθηµα: ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Μάθηµα: ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ Ημερομηνία παράδοσης: 15/12/211 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια, με την ταχύτατη ανάπτυξη της παγκόσμιας οικονομίας και των επικοινωνιών και μεταφορών, η ποσότητα και η ποικιλία της ζήτησης των πελατών για διάφορα αγαθά σε μια περιοχή αυξάνεται συνέχεια. Με την επέκταση της παραγωγικής ικανότητας των επιχειρήσεων, ο αριθμός των εξαγόμενων προϊόντων αυξάνεται γρήγορα. Την ίδια στιγμή, με την αύξηση των καταναλωτικών αναγκών και την ανάπτυξη του ηλεκτρονικού εμπορίου, η εφοδιαστική των αγαθών αυξάνει σημαντικά. Λόγω της διαφορετικής οικονομικής ανάπτυξης των διαφόρων περιοχών, τα προϊόντα πρέπει να μπορούνε να σταλθούνε από τη μια περιοχή στην άλλη με εύκολο και γρήγορο τρόπο. Οι παραπάνω παράγοντες οδηγούν σε μια παρατεταμένη και γρήγορη ανάπτυξη του εφοδιαστικού όγκου. Για τις περισσότερες περιοχές, η πλειονότητα των εφοδιαστικών εγκαταστάσεων ανήκει και διοικείται από τις ίδιες τις εταιρίες παραγωγής. Η κλασική μορφή λειτουργίας με απομονωμένες και ξεχωριστές εγκαταστάσεις δεν μπορεί να ικανοποιήσει τις ανάγκες της σύγχρονης εφοδιαστικής ανάπτυξης. Το πώς θα γίνει η ενσωματωση των υπαρχουσών εγκαταστάσεις έχει γίνει ένα σημαντικό ζήτημα στις μέρες μας. Για να γίνει αυτό πρέπει να γίνει μια εμπεριστατωμένη ανάλυση του δικτύου μεταφορών. Η διαχείριση ενός δικτύου περιλαμβάνει τα ακόλουθα 3 επίπεδα ανάλογα με τον χρονικό ορίζοντα: α)στρατηγικό, β)τακτικό, και γ)λειτουργικό επίπεδο. Το στρατηγικό επίπεδο έχει να κάνει με μακροπρόθεσμες αποφάσεις για πάνω από ένα χρόνο, όπως τον αριθμό, τη τοποθεσία και την χωρητικότητα των εγκαταστάσεων, και την τεχνολογία που θα χρησιμοποιείται σε κάθε εργοστάσιο. Το τακτικό επίπεδο έχει να κάνει με τις μεσαίες αποφάσεις για τους επόμενους μήνες, όπως την επιλογή προμηθευτή, τις αποφάσεις για την παραγωγή και τις στρατηγικές μεταφοράς. Τέλος, το λειτουργικό επίπεδο ασχολείται με τις βραχυπρόθεσμες αποφάσεις, όπως τον προγραμματισμό της γραμμής παραγωγής. Τα 3 επίπεδα αλληλεπιδρούν και οι αποφάσεις του στρατηγικού επιπέδου επηρεάζουν τη λειτουργία των άλλων επιπέδων. Οι αποφάσεις του στρατηγικού επιπέδου και ειδικότερα ο σχεδιασμός του δικτύου εφοδιαστικής είναι από τα πιο σημαντικά στη διοίκηση ενός δικτύου διανομής. Σε ένα διάγραμμα δικτύου, τα εργοστάσια, οι αποθήκες, τα κέντρα διανομής και οι πελάτες αναπαριστώνται σαν κόμβοι, και οι πιθανοί μεταφορικοί δρόμοι αναπαριστώνται σαν τόξα μεταξύ των αντίστοιχων κόμβων. Ο σχεδιασμός του δικτύου εφοδιαστικής σημαίνει να αποφασιστεί πόσοι και τι μεγέθους καινούριοι κόμβοι θα δημιουργηθούν, που θα τοποθετηθούν, και ποιοι πελάτες θα εξυπηρετούνται από τον κάθε κόμβο, έτσι ώστε τα κόστη που σχετίζονται με την εγκατάσταση, τη λειτουργία και τις μεταφορές να ελαχιστοποιούνται.

2 Ο σχεδιασμός ενός εφοδιαστικού δικτύου μπορεί να βελτιώσει το επίπεδο εξυπηρέτησης των πελατών τοποθετώντας καινούριους κόμβους πιο κοντά στους πελάτες, να μειώσει τα κόστη και να εξασφαλίσει την ομαλή λειτουργία του. Στον συνηθισμένο σχεδιασμό εφοδιαστικού δικτύου που υπάρχει στη βιβλιογραφία, όλες οι εγκαταστάσεις χτίζονται σε καινούριες υποψήφιες θέσεις, χωρίς να εξετάζονται οι ήδη υπάρχουσες αποθήκες. Η έρευνα που έχει γίνει δεν επαρκεί για την αντιμετώπιση πραγματικών πρακτικών περιπτώσεων. Για κάποιες μεγάλες επιχειρήσεις, οι υπάρχουσες αποθήκες στην περιοχή είναι τεράστιες και θα οδηγούσε σε σημαντική απώλεια των αποθεμάτων αν το καινούριο δίκτυο τις αγνοούσε. Για να γίνει πλήρης χρήση των εφοδιαστικών αποθεμάτων και εγκαταστάσεων είναι απαραίτητο το νέο δίκτυο να σχεδιαστεί βασισμένο στις ήδη υπάρχουσες αποθήκες όπου υπάρχουν ήδη κάποια αποθέματα και εγκαταστάσεις. Παίρνοντας για παράδειγμα μια περιφέρεια στην Κίνα, αυτή χαρακτηρίζεται από ειδικές βιομηχανίες που καλύπτουν ατσάλι, γαιάνθρακα, ενέργεια, χημικά και δομικά υλικά. Αυτές οι ειδικές βιομηχανίες μπορούν να παράγουν και να παρέχουν πολλά διαφορετικά είδη προϊόντων που μπορούνε να στέλνονται σε διαφορετικούς πελάτες. Το Σχήμα 1 δείχνει την κατανομή των τύπων προϊόντων το 29. Με την ανάπτυξη της βιομηχανίας, ο εφοδιαστικός όγκος έχει αυξηθεί κατά πολύ από το 23 έως το 29, όπως δείχνει και το Σχήμα 2 σύμφωνα με τα επίσημα στατιστικά βιβλία. Ο προβλεπόμενος εφοδιαστικός όγκος για τα 5 επόμενα χρόνια φαίνεται στο Σχήμα 3, και το 215 θα φτάσει τους εκατομμύρια τόνους. 1% 1% 7% coal 23% chemical products metal ores 29% 3% iron building materials 11% 25% salt equipment manufacturing products agricultural products Σχήμα 1. Η ποικιλία των προϊόντων στην περιοχή.

3 Logisticss volume (million ton) Σχήμα 2. Ο εφοδιαστικός όγκος της περιοχής ταα τελευταία 7 χρόνια. Logistics volume (million ton) Σχήμα 3. Ο προβλεπόμενος εφοδιαστικός όγκος της περιοχής από το 21 έως το 215. Σε αυτή την περιφέρεια, υπάρχουν ήδη κάποιες εγκαταστάσεε εις αποθήκευσης (αποθήκες) οι οποίες έχουν χτιστεί από μεγάλες επιχειρήσεις. Αυτές οι εγκαταστάσεις (καλύπτουν μια περιοχή 4 εκατομμυρίων τετραγωνικών μέτρων) ) λειτουργούν απομονωμένα, αλλά η συνολική τους χωρητικότητα δεν επαρκεί για να καλύψει την αυξημένη ζήτησηη των επόμενων 5 χρόνων. Οπότε είναι απαραίτητο να δημιουργηθούν κάποιες καινούριες εγκαταστάσεις αποθήκευσηςς ή να επεκταθούν οι χωρητικότητες των αρχικώνν αποθηκών,, έτσι ώστε να μπορούνε να καλύψουνε την αυξημένη ζήτηση στο σ μέλλον.. Οι καινούριες αποθηκευτικές εγκαταστάσεις που θα χτιστούν στο μέλλον ονομάζονται κέντρα διανομής,

4 επειδή θα ταξινομούν και θα διανέμουν εκτός από το να αποθηκεύουν όπως οι αποθήκες. Αυτό το πρόβλημα είναι ουσιαστικά ένα πρόβλημα σχεδιασμού εφοδιαστικού δικτύου. Το να σχεδιαστεί ένα δίκτυο αυτής της μορφής χωρίς να συμπεριληφθούν οι υπάρχουσες αποθήκες θα προκληθεί άσκοπα σπατάλη των αποθεμάτων που υπάρχουν και σημαντική αύξηση των σταθερών εξόδων εγκατάστασης. Αυτό σημαίνει ότι οι αρχικές αποθήκες και η επέκταση αυτών θα πρέπει να συμπεριληφθούν στο πρόβλημά μας. Ο συνδυασμός της επέκτασης των αρχικών αποθηκών και της κατασκευής καινούριων κέντρων θα μειώσει το σταθερό κόστος εγκατάστασης, το λειτουργικό κόστος καθώς επίσης θα εκμεταλλευτεί και τα ήδη υπάρχοντα αποθέματα και εγκαταστάσεις. 2 Διατύπωση του προβλήματος 2.1 Περιγραφή προβλήματος Όπως φαίνεται στο Σχήμα 4, στο υπό εξέταση σύστημα υπάρχουν ήδη κάποιες αποθήκες. Όμως αυτές οι αποθήκες δεν μπορούν πλέον να ανταπεξέλθουν στις ανάγκες του σήμερα. Προκειμένου να ικανοποιηθούν οι απαιτήσεις των πελατών πρέπει να επεκταθούν η να κλείσουν κάποιες από αυτές τις αποθήκες και να τοποθετηθούν κέντρα διανομής σε άλλες περιοχές. Σχήμα 4. Η δομή του εφοδιαστικού δικτύου. Στο σύστημα μας, υπάρχουν διάφορα προϊόντα που παρέχονται από διάφορους προμηθευτές, και οι προμηθευτές μπορούν να είναι εργοστάσια, λιανοπωλητές, εμπορικοί σταθμοί κτλ. Κάθε προμηθευτής μπορεί να παρέχει διάφορα είδη προϊόντων η αγαθών. Θεωρούμε ότι το μέγεθος της προμήθειας για κάθε προϊόν είναι γνωστό. Υπάρχουν πολλοί πελάτες και οι ζητήσεις τους για κάθε προϊόν είναι επίσης γνωστές. Την ίδια στιγμή, υπάρχουν κάποιες

5 προϋπάρχουσες αποθήκες με περιορισμένες χωρητικότητες, και η συνολική τους χωρητικότητα διανομής είναι μικρότερη από τη συνολική ζήτηση των πελατών. Άρα, η επέκταση τους (μέσα στα επιτρεπτά όρια επέκτασης) ή η τοποθέτηση νέων κέντρων διανομής είναι υποχρεωτική ώστε να ικανοποιηθεί η ζήτηση των πελατών. Γενικά θα αναφερόμαστε στις υπάρχουσες αποθήκες και στα κέντρα διανομής ως γενικευμένα κέντρα διανομής (ΓΚΔ). Επιπρόσθετα, κάθε πελάτης αντιστοιχεί αποκλειστικά σε ένα ΓΚΔ αλλά ένα ΓΚΔ μπορεί να εξυπηρετεί πολλούς πελάτες. Οι πιθανές υποψήφιες θέσεις των κέντρων διανομής είναι προκαθορισμένες. Το σταθερό κόστος εγκατάστασης και η αντίστοιχη αρχική χωρητικότητα κάθε μιας από τις προϋπάρχουσες αποθήκες είναι γνωστά. Επίσης, το σταθερό κόστος εγκατάστασης και τα κατώτερα και ανώτερα όρια της χωρητικότητας για κάθε υποψήφιο κέντρο διανομής είναι δεδομένα. Το μοναδιαίο μεταφορικό κόστος από τους προμηθευτές στους πελάτες μέσω των ΓΚΔ είναι γνωστό και θεωρείται γραμμικά εξαρτώμενο από την ποσότητα. Το πρόβλημα είναι να καθοριστεί ποιες προϋπάρχουσες αποθήκες πρέπει να μείνουν ανοιχτές ή να κλείσουν και ποιο να είναι το μέγεθος της επέκτασης (αν χρειαστεί). Επίσης πρέπει να καθοριστεί που θα τοποθετηθούν τα κέντρα διανομής (ανάμεσα στις υποψήφιες τοποθεσίες) και ποιοι πελάτες θα εξυπηρετούνται από το κάθε ΓΚΔ έτσι ώστε το κόστος επέκτασης, το κόστος κλεισίματος, το σταθερό κόστος εγκατάστασης, το λειτουργικό κόστος εγκατάστασης και το μεταφορικό κόστος να ελαχιστοποιούνται. 2.2 Το μοντέλο Παράμετροι: i j k l I J K K 1 K L I J - δείκτης για τους προμηθευτές. - δείκτης για τους πελάτες. - δείκτης για τις υπάρχουσες αποθήκες και τα υποψήφια κέντρα διανομής. - δείκτης για τα προϊόντα. - σύνολο προμηθευτών. - σύνολο πελατών. - σύνολο αρχικών αποθηκών. - σύνολο υποψήφιων κέντρων διανομής. - ένωση αρχικών αποθηκών και υποψηφίων κέντρων διανομής. - σύνολο προϊόντων. - συνολικός αριθμός προμηθευτών. - συνολικός αριθμός πελατών. K - συνολικός αριθμός αρχικών αποθηκών.

6 K 1 - συνολικός αριθμός υποψηφίων κέντρων διανομής. K L - συνολικός αριθμός των ΓΚΔ. - συνολικός αριθμός των προϊόντων. S il - χωρητικότητα του προμηθευτή i για το προϊόν l. D jl - ζήτηση του πελάτη j για το προϊόν l. f k 1 f k v k k. 1 v k M k R k p k L M k U M k - σταθερό κόστος εγκατάστασης της υπάρχουσας αποθήκης k. - σταθερό κόστος εγκατάστασης του προς άνοιγμα κέντρου διανομής k. - λειτουργικό κόστος εγκατάστασης ανά μονάδα προϊόντος στην υπάρχουσα αποθήκη - λειτουργικό κόστος εγκατάστασης ανά μονάδα προϊόντος στο κέντρο διανομής k. - αρχική χωρητικότητα της υπάρχουσας αποθήκης k. - η μέγιστη επιτρεπτή επέκταση της υπάρχουσας αποθήκης k. - κόστος κλεισίματος αποθήκης k. - το κατώτερο όριο της χωρητικότητας του υποψήφιου κέντρου διανομής k. - το ανώτερο όριο της χωρητικότητας του υποψήφιου κέντρου διανομής k. c ikjl - μοναδιαίο κόστος αποστολής προϊόντος l από τον προμηθευτή i μέσω του ΓΚΔ k στον πελάτη j. q - παράμετρος κόστους μοναδιαίας επέκτασης. Στο παραπάνω πρόβλημα, η αντικειμενική συνάρτηση είναι να ελαχιστοποιηθούν τα κόστη επέκτασης των ανοιχτών αποθηκών, τα λειτουργικά κόστη για τη διαχείριση προϊόντων από τις ανοιχτές αποθήκες, το κόστος των αποθηκών που θα κλείσουν, τα σταθερά κόστη για το άνοιγμα των κέντρων διανομής, τα λειτουργικά κόστη για τη διαχείριση προϊόντων από τα ανοιχτά κέντρα διανομής και τα μεταφορικά κόστη. Οι περιορισμοί (1) είναι οι περιορισμοί του προμηθευτή και μας εξασφαλίζουν ότι το ποσό του προϊόντος l που παρέχεται από τον προμηθευτή i δεν μπορεί να υπερβαίνει την χωρητικότητα του. Οι περιορισμοί (2) είναι οι περιορισμοί διατήρησης της ροής για κάθε ΓΚΔ. Οι περιορισμοί (3) είναι οι περιορισμοί χωρητικότητας των ανοιχτών αρχικών αποθηκών και εξασφαλίζουν ότι το ποσό των προϊόντων μέσω μιας αρχικής αποθήκης k δεν μπορεί να υπερβαίνει την συνολική της χωρητικότητα (συμπεριλαμβάνει την αρχική χωρητικότητα και την χωρητικότητα μετά την επέκταση).

7 Οι περιορισμοί (4) εξασφαλίζουν ότι το μέγεθος της επέκτασης μιας αρχικής αποθήκης k δεν μπορεί να υπερβαίνει τη μέγιστη επιτρεπτή τιμή του. Οι περιορισμοί (5) εξασφαλίζουν ότι ο εφοδιαστικός όγκος διαμέσου ενός υποψήφιου κέντρου διανομής πρέπει να είναι μεταξύ του κατώτερου και ανώτερου ορίου του. Οι περιορισμοί (6) εξασφαλίζουν ότι ο κάθε πελάτης πρέπει να εξυπηρετείται από ένα μόνο ΓΚΔ. Προσδιορίστε με την χρήση των προτεινόμενων μεταβλητών απόφασης (δυαδικές και θετικές συνεχείς) α) την αντικειμενική συνάρτηση και β) τους 6 περιορισμούς του προβλήματος. Ορισμός μεταβλητών απόφασης. Αρχικά θα χρειαστούμε 2 μεταβλητές απόφασης που θα μας καθορίσουν ποιές υπάρχουσες αποθήκες και ποιά υποψήφια κέντρα διανομής θα λειτουργήσουν ή οχι. w k δυαδική μεταβλητή που παίρνει την τιμή 1 αν η υπάρχουσα αποθήκη κ παραμείνει ανοιχτή και αν κλείσει. Το κ παίρνει τιμές στο σύνολο των Υ.Α. Κ. k K 1 z k δυαδική μεταβλητή που παίρνει την τιμή 1 αν το υποψήφιο κέντρο διανομής κ ανοίξει και αν δεν ανοίξει. Το κ παίρνει τιμές στο σύνολο των υποψηφίων Κ.Δ. Κ 1. k K1 Χρειαζόμαστε μια μεταβλητή απόφασης που θα μας δείχνει απο ποιό Γ.Κ.Δ. θα εξυπηρετείται ο κάθε πελάτης. u kj δυαδική μεταβλητή που παίρνει την τιμή 1 αν ο πελάτης j εξυπηρετείται απο το Γ.Κ.Δ. k και αν δεν εξυπηρετείται. k K, j J. Προφανώς είναι απαραίτητη και μια μεταβλητή που θα μας δείχνει την ποσότητα των προιόντων που θα μεταφέρονται. x ikjl συνεχής μεταβλητή που αντιστοιχεί στην ποσότητα του προιόντος l που στέλνεται απο τον προμηθευτή i στον πελάτη j μέσω του ΓΚΔ k. Τέλος, χρειαζόμαστε και μια μεταβλητή απόφασης που θα μας δείχνει το μέγεθος της επέκτασης. s k συνεχής μεταβλητή απόφασης που μας δείχνει το μέγεθος της επέκτασης της Υ.Α. k.

8 Βιβλιογραφία Andreas, A. K., & Smith, J. C. (29). Decomposition algorithms for the design of a nonsimultaneous capacitated evacuation tree network. Networks, 53(2), Barbaroso glu, G., & Özgür, D. (1999). Hierarchical design of an integrated production and 2- echelon distribution system. European Journal of Operational Research, 118, Benders, J. F. (1962). Partitioning procedures for solving mixed-variables programming problems. Numerische Mathematik, 4, Binato, S., Pereira, M. V. F., & Granville, S. (21). A new Benders decomposition approach to solve Power transmission network design problems. IEEE Transactions on Power Systems, 16(2), Cordeau, J. F., Laporte, G., & Pasin, F. (28). An iterated local search heuristic for the logistics network design problem with single assignment. International Journal of Production Economics, 113, Cordeau, J. F., Pasin, F., & Solomon, M. M. (26). An integrated model for logistics network design. Annals of Operations Research, 144(1), Cordeau, J. F., Soumis, F., & Desrosiers, J. (2). A Benders decomposition approach for the locomotive and car assignment problem. Transportation Science, 34(2), Costa, A. M. (25). A survey on benders decomposition applied to fixed-charge network design problems. Computers & Operations Research, 32, Gabrel, V., Knippel, A., & Minoux, M. (1999). Exact solution of multicommodity network optimization problems with general step cost functions. Operational Research Letters, 25, Geoffrion, A. M., & Graves, G. W. (1974). Multicommodity distribution system design by Benders decomposition. Management Science, 2(5), Goetschalckx, M., & Dogan, K. (1999). A primal decomposition method for the integrated design of multi-period production-distribution systems. IIE Transactions, 31, Goetschalckx, M., Vidal, C., & Dogan, K. (22). Modeling and design of global logistics systems: A review of integrated strategic and tactical models and design algorithms. European Journal of Operational Research, 143(1), Hindi, K. S., & Basta, T. (1994). Computationally efficient solution of a multiproduct, twostage distribution-location problem. Journal of the Operational Research Society, 45(11), Hindi, K. S., Basta, T., & Pienkosz, K. (1998). Efficient solution of a multi-commodity, twostage distribution problem with constraints on assignment of customers to distribution centres. International Transactions in Operational Research, 5(6), Jayaraman, V., & Pirkul, H. (21). Planning and coordination of production and distribution facilities for multiple commodities. European Journal of Operational Research, 133, Magnanti, T. L., & Wong, R. T. (1981). Accelerating Benders decomposition: algorithmic enhancement and model selection criteria. Operations Research, 29(3), Melo, M. T., Nickel, S., & Saldanha-da-Gama, F. (29). Facility location and supply chain management - A review. European Journal of Operational Research, 196(2), Minoux, M. (21). Discrete cost multicommodity network optimization problems and exact solution methods. Annals of Operations Research, 16, Papadakos, N. (28). Practical enhancements to the Magnanti-Wong method. Operations Research Letters, 36, Pirkul, H., & Jayaraman, V. (1996). Production, transportation, and distribution planning in a multi-commodity tri-echelon system. Transportation Science, 3(4), Ponce-Ortega, J. M., Jimenez-Gutierrez, A., & Grossmann, I. E. (28). Optimal synthesis of heat exchanger networks involving isothermal process streams. Computers & Chemical Engineering, 32(8),

9 Saharidis, G. K. D., & Ierapetritou, M. G. (29). Scheduling of loading and unloading of crude oil in a refinery with optimal mixture preparation. Industrial & Engineering Chemistry Research, 48(5), Saharidis, G. K. D., & Ierapetritou, M. G. (21). Improving Benders decomposition using maximum feasible sub-system (MFS) cut generation strategy. Computers & Chemical Engineering, 34(8), Saharidis, G. K. D., Minoux, M., & Dallery, Y. (29). Scheduling of loading and unloading of crude oil in a refinery using event-based discrete time formulation. Computers & Chemical Engineering, 33, Saharidis, G. K. D., Minoux, M., & Ierapetritou, M. G. (21). Accelerating Benders method using covering cut bundle generation. International Transactions in Operational Research, 17(2), Saharidis, G. K. D., Boile, M & Theofanis, S. (211). Initialization of the Benders Master Problem using Valid Inequalities Applied to Fixed-Charge Network Problems. Expert Systems With Applications, DOI 1.116/j.eswa Schmidt, G., & Wilhelm, W. E. (2). Strategic, tactical and operational decisions in multinational logistics networks: a review and discussion of modelling issues. International journal of production research, 38(7), Üster, H., Easwaran, G., Akçali, E., & Çetinkaya, S. (27). Benders decomposition with alternative multiple cuts for a multi-product closed-loop supply chain network design model. Naval Research Logistics, 54, Wentges, P. (1996). Accelerating Benders' decomposition for the capacitated facility location problem. Mathematical Methods of Operations Research, 44,