ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού"

Transcript

1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1

2 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος υπάρχουν δύο εναλλακτικά εργοστάσια κατασκευής με αντίστοιχους περιορισμούς δυναμικότητας. Ανάλογα με το ποιο από τα δύο εργοστάσια θα επιλεγεί τελικά, θέλουμε ο αντίστοιχος περιορισμός δυναμικότητας να ισχύει, ενώ είμαστε αδιάφοροι για τον άλλο. Ας υποθέσουμε ότι ο περιορισμός για το πρώτο εργοστάσιο είναι 4x 1 + x 2 < 12 και για το δεύτερο x 1 + 3x 2 < 14 Τότε, οι δύο περιορισμοί γράφονται ως εξής: 4x 1 + x 2 < 12 + Μy 1 x 1 + 3x 2 < 14 + Μ(1-y 1 ) 2

3 Μεταξύ N περιορισμών, οι K πρέπει να ισχύουν Έστω ότι υπάρχουν N περιορισμοί μεταξύ των οποίων πρέπει να ισχύουν οι K. Έστω ότι οι περιορισμοί αυτοί είναι οι εξής: f 1 (x 1,...,x m ) < b 1... f N (x 1,...,x m ) < b N Στην περίπτωση αυτή, εισάγουμε μία δυαδική μεταβλητή y i για κάθε περιορισμό (i = 1,...,N) 3

4 Μεταξύ N περιορισμών, οι K πρέπει να ισχύουν Γράφουμε τους περιορισμούς ως εξής: f 1 (x 1,...,x m ) < b 1 + My 1... f N (x 1,...,x m ) < b N + My N Sum(i)yi = N - K Ο τελευταίος περιορισμός εξασφαλίζει ότι K από τις μεταβλητές αυτές θα είναι 0, οπότε οι αντίστοιχοι περιορισμοί θα ισχύουν. Η προηγούμενη περίπτωση είναι ειδική περίπτωση αυτής με K = 1 και N = 2. 4

5 Συναρτήσεις με N δυνατές τιμές Έστω μια συνάρτηση f(x 1,...,x m ), η οποία πρέπει να πάρει μία από N τιμές, b 1 ή b 2 ή... ή b N. Εισάγουμε N δυαδικές μεταβλητές y 1,...,y N και χρησιμοποιούμε την παρακάτω μορφοποίηση: Ο τελευταίος περιορισμός εξασφαλίζει ότι ακριβώς μία από τις N δυαδικές μεταβλητές θα είναι 1 και όλες οι άλλες 0, οπότε η συνάρτηση θα πάρει την αντίστοιχη τιμή. 5

6 Το πρόβλημα του σταθερού κόστους (fixed charge problem) Πολλές φορές, για την παραγωγή ενός προϊόντος υπάρχει ένα σταθερό κόστος k j (κόστος προετοιμασίας) και ένα μεταβλητό κόστος, ανάλογο του ύψους παραγωγής. Σε αυτή την περίπτωση, το συνολικό κόστος f j (x j ) είναι ίσο με k j + c j x j εάν παραχθεί το προϊόν (x j > 0) και 0 αν όχι (x j = 0), όπου x j είναι το ύψος της παραγωγής και c j το μοναδιαίο κόστος παραγωγής. Για να αποφύγουμε την εισαγωγή μη γραμμικών περιορισμών στη μορφοποίηση του προβλήματος, ορίζουμε μία δυαδική μεταβλητή y j που παίρνει την τιμή 1 αν παραχθεί το προϊόν (x j > 0) και 0 αν όχι (x j = 0). Τότε, το αντίστοιχο κόστος μορφοποιείται ως εξής: f j (x j ) = k j y j + c j x j x j My j Ο τελευταίος περιορισμός είναι αναγκαίος για να εξασφαλιστεί ότι αν y j = 0 τότε και x j = 0 και αντίθετα, αν x j > 0 τότε και y j = 1. Φυσικά, αν x j > 0 τότε ο περιορισμός αυτός ισχύει πάντοτε, αφού ο αριθμός M είναι ένας πολύ μεγάλος πραγματικός αριθμός. 6

7 Δυαδική απεικόνιση γενικών ακέραιων αριθμών Oι αλγόριθμοι επίλυσης προβλημάτων με δυαδικές μεταβλητές είναι πολύ πιο αποτελεσματικοί από αυτούς που προορίζονται για προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού και γι' αυτό οι πρώτοι θα πρέπει να προτιμώνται, όπου αυτό είναι εφικτό. Μία έξυπνη τεχνική που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι να αντικαταστήσουμε τις ακέραιες μεταβλητές με δυαδικές, χρησιμοποιώντας κατάλληλο μετασχηματισμό. Για τον μετασχηματισμό αυτό, απαραίτητη προϋπόθεση είναι να υπάρχει ένα άνω όριο, u, στην τιμή που μπορεί να πάρει η κάθε ακέραια μεταβλητή x. 7

8 Δυαδική απεικόνιση γενικών ακέραιων αριθμών Έστω λοιπόν ότι κάθε ακέραια μεταβλητή x έχει όρια ως εξής: 0 x u και έστω N ακέραιος τέτοιος ώστε 2 N u < 2 N+1. Τότε, η δυαδική απεικόνιση της μεταβλητής x είναι x = i 2 i y i, όπου οι μεταβλητές y i είναι βοηθητικές δυαδικές μεταβλητές. Αντικαθιστώντας κάθε ακέραια μεταβλητή με την δυαδική της απεικόνιση, μπορούμε να μετασχηματίσουμε το αρχικό πρόβλημα σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα που έχει αποκλειστικά δυαδικές μεταβλητές. Η τελική τιμή που θα πάρει η μεταβλητή x καθορίζεται από τις τιμές που θα πάρουν οι δυαδικές μεταβλητές y i και την παραπάνω σχέση. 8

9 Παράδειγμα 2.1 Δίνεται το ακόλουθο πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού: Max 2x 1 x x 2-3x 2 2 x 1 + x 2 < 3/4 κάθε μεταβλητή μπορεί να πάρει μόνο τις τιμές 1/2, 1/3, 1/4, 1/5. Να μορφοποιηθεί το πρόβλημα αυτό σαν ένα πρόβλημα αμιγώς δυαδικού (ακέραιου) προγραμματισμού. Στη μορφοποίηση που θα αναπτύξετε θα πρέπει να υπάρχουν μόνο δυαδικές 0-1 μεταβλητές. 9

10 Λύση Παράδειγμα 2.1 Για i = 1,2, ορίζουμε δυαδικές μεταβλητές y i1, y i2, y i3, y i4, όπου: y i1 = 1 αν x i = 1/2 και 0 αλλιώς y i2 = 1 αν x i = 1/3 και 0 αλλιώς y i3 = 1 αν x i = 1/4 και 0 αλλιώς y i4 = 1 αν x i = 1/5 και 0 αλλιώς. Στη συνέχεια, το πρόβλημα μορφοποιείται ως εξής: Max 2(1/2 y /3 y /4 y /5 y 14 ) (1/4 y /9 y /16 y /25 y 14 ) + 3(1/2 y /3 y /4 y /5 y 24 ) -3(1/4 y /9 y /16 y /25 y 24 ) s.t. (1/2 y /3 y /4 y /5 y 14 ) + (1/2 y /3 y /4 y /5 y 24 ) < 3/4 y 11 + y 12 + y 13 + y 14 = 1 y 21 + y 22 + y 23 + y 24 = 1 όλες οι μεταβλητές 0 ή 1. 10

11 Παράδειγμα 2.2 Δίνεται το παρακάτω προγραμματισμού: πρόβλημα ακέραιου Max Z = x 1 + 5x 2 s.t. x x 2 < 20 x 1 < 2 x 1, x 2 ακέραιοι > 0 α) Μετασχηματίστε το πρόβλημα σε ένα πρόβλημα αμιγώς δυαδικού προγραμματισμού. β) Λύστε το δυαδικό πρόβλημα χρησιμοποιώντας το LINGO και μετά αναγνωρίστε τη βέλτιστη λύση του αρχικού ακέραιου προβλήματος. 11

12 Λύση Παράδειγμα 2.2 Από την προσεκτική ανάλυση των περιορισμών του προβλήματος προκύπτουν τα εξής άνω όρια στις μεταβλητές απόφασης: x 1 < 2 (από περιορισμό 2) x 2 < 2 (από περιορισμό 1) Επομένως, x 1 = y 1 + 2y 2 και x 2 = y 3 + 2y 4, όπου y 1, y 2, y 3 και y 4 δυαδικές μεταβλητές. Στη συνέχεια, παίρνουμε το ακόλουθο δυαδικό πρόβλημα: Max Z = y 1 + 2y 2 + 5y y 4 s.t. y 1 + 2y y y 4 < 20 y 1 + 2y 2 < 2 y 1, y 2, y 3 και y 4 δυαδικές μεταβλητές 12

13 Λύση Παράδειγμα 2.2 Ο κώδικάς στο LINGO είναι ο εξής: MAX = Y1 + 2*Y2 + 5*Y3 + 10*Y4; Y1 + 2*Y2 + 10*Y3 + 20*Y4 <= 20; Y1 + 2*Y2 13

14 Λύση Παράδειγμα 2.2 Η λύση που παίρνουμε από το LINGO είναι η εξής: Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: Variable Value Reduced Cost Y Y Y Y Row Slack or Surplus Dual Price Επομένως, η βέλτιστη λύση του αρχικού προβλήματος είναι x 1 = 0 + 2(0) = 0 και x 2 = 0 + 2(1) = 2 και Ζ = 0 + 2(0) + 5(0) + 10(1) =

15 Λογισμικό βελτιστοποίησης LINGO To LINGO είναι ένα λογισμικό βελτιστοποίησης με φιλικό γραφικό περιβάλλον επικοινωνίας. Επιλύει προβλήματα γραμμικού, ακέραιου και μη γραμμικού προγραμματισμού. Μπορείτε να κατεβάσετε και να εγκαταστήσετε τη δοκιμαστική έκδοση του λογισμικού στον υπολογιστή σας, από την ιστοσελίδα της εταιρείας που το διακινεί: Η συγκεκριμένη έκδοση έχει περιορισμό στο μέγιστο αριθμό συνεχών μεταβλητών (300), στο μέγιστο αριθμό περιορισμών (150), και στο μέγιστο αριθμό ακέραιων μεταβλητών (30). Γι αυτό, αν θέλετε να λύσετε κάποιο πρόβλημα θα πρέπει η μορφοποίηση που θα αναπτύξετε να μην παραβιάζει τα όρια αυτά. 15

16 Λογισμικό βελτιστοποίησης LINGO Για την εισαγωγή και επίλυση ενός προβλήματος θα πρέπει να ακολουθηθούν οι ακόλουθες οδηγίες: - Η αντικειμενική συνάρτηση πρέπει να ακολουθεί το ΜΑΧ = (ή ΜΙΝ =, ανάλογα, π.χ. ΜΑΧ = Χ1 + Χ2;). - Κάθε περιορισμός αλλά και η αντικειμενική συνάρτηση πρέπει να τελειώνουν με το ; - Οι περιορισμοί θα πρέπει να εισαχθούν αμέσως κάτω από την αντικειμενική συνάρτηση (ένας σε κάθε γραμμή). 16

17 Λογισμικό βελτιστοποίησης LINGO - Το γινόμενο ενός συντελεστή με μια μεταβλητή θα πρέπει να υποδηλωθεί με το * (π.χ. 2*Χ1 <= 3;) - Mία μεταβλητή Χ θα πρέπει να οριστεί ως ακέραια με την και ως δυαδική με την - Θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί το <= για να δηλωθεί το < και το >= για να δηλωθεί το >. - Η μη αρνητικότητα των μεταβλητών δεν είναι ανάγκη να δηλωθεί καθώς εννοείται. - Η επίλυση του προβλήματος γίνεται με την επιλογή της εντολής LINGO->Solve. 17

18 Παράδειγμα 2.3 Μία εταιρεία εξετάζει την εισαγωγή στην αγορά τριών νέων προϊόντων, 1, 2 και 3. Η διοίκηση έχει αποφασίσει ότι το πολύ δύο από τα τρία προϊόντα είναι σκόπιμο να εισαχθούν. Η εταιρεία διαθέτει δύο εργοστάσια αλλά λόγω περιορισμών μόνο ένα από τα δύο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή των νέων προϊόντων. Το κόστος αν αποφασιστεί η παραγωγή των προϊόντων 1, 2 ή 3 είναι 30000, και 80000, αντίστοιχα, ανεξαρτήτως του ύψους παραγωγής. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το χρόνο που χρειάζεται για την παραγωγή μιας μονάδας για κάθε ένα από τα τρία προϊόντα σε κάθε ένα από τα δύο εργοστάσια. Τα εργοστάσια 1 και 2 μπορούν να δουλέψουν το πολύ μέχρι 30 και 40 ώρες την εβδομάδα, αντίστοιχα. Τα εβδομαδιαία έσοδα από την πώληση των προϊόντων 1, 2 και 3 θα είναι 10000, και ανά τεμάχιο αντίστοιχα, ενώ έχει υπολογιστεί ότι το μέγιστο εβδομαδιαίο ύψος της ζήτησης είναι 7, 5 και 9 αντίστοιχα. 18

19 Παράδειγμα 2.3 α) Μορφοποιήστε ένα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού για αυτό το πρόβλημα. Σαν αντικειμενική συνάρτηση θεωρήστε το συνολικό κέρδος για μία εβδομάδα. β) Λύστε το πρόβλημα αυτό χρησιμοποιώντας το LINGO. 19

20 Λύση Παράδειγμα 2.3 Ορίζουμε ακέραιες μεταβλητές απόφασης X i (i = 1,2,3), όπου X i = αριθμός προϊόντων i που θα παραχθούν. Επίσης, ορίζουμε δυαδικές μεταβλητές απόφασης Υ i (i = 1,2,3), όπου Υ i = 1 αν το προϊόν i θα παραχθεί και 0 αλλιώς. Τέλος, ορίζουμε δυαδική μεταβλητή απόφασης Ζ, όπου Ζ = 1 αν χρησιμοποιηθεί το εργοστάσιο 1 για την παραγωγή των προϊόντων και 0 αν χρησιμοποιηθεί το εργοστάσιο 2. 20

21 Λύση Παράδειγμα 2.3 Με αυτά τα δεδομένα, η μορφοποίηση του προβλήματος στο LINGO είναι η εξής: MAX = 10000*X *X *X *Y *Y *Y3; Y1 + Y2 + Y3 <= 2; 3*X1 + 4*X2 + 2*X3 <= 30 + M*(1-Z); 4*X1 + 6*X2 + 2*X3 <= 40 + M*Z; X1 <= 7*Y1; X2 <= 5*Y2; X3 @GIN(X1); M = 100; 21

22 Λύση Παράδειγμα 2.3 Global optimal solution found at iteration: 21 Objective value: Variable Value X X X Y Y Y M Z Επομένως, η βέλτιστη λύση είναι να παραχθούν πέντε τεμάχια από το προϊόν 1 και εννιά τεμάχια από το προϊόν 3, χρησιμοποιώντας το εργοστάσιο 2. Το συνολικό κέρδος που προκύπτει είναι

23 Παράδειγμα 2.4 Μία τουρίστρια πρόκειται να πάει ένα ταξίδι και θέλει να διαλέξει τα ρούχα που θα πάρει μαζί της. Λόγω περιορισμών της αεροπορικής εταιρείας, το μέγιστο βάρος και ο μέγιστος όγκος των ρούχων που θα πάρει μαζί της δε μπορούν να υπερβαίνουν τα 4000 γραμμάρια και τα κυβικά εκατοστά, αντίστοιχα. Στο ταξίδι της επιστροφής, οι περιορισμοί είναι πιο χαλαροί. Η τουρίστρια διαθέτει συνολικά τρεις φούστες, τρία παντελόνια, τέσσερις μπλούζες και δύο φορέματα, ενώ όταν φτάσει στον προορισμό της, σκοπεύει να αγοράσει ένα πουλόβερ. Η τουρίστρια θέλει να μεγιστοποιήσει τον αριθμό των «συνόλων» που θα πάρει μαζί της (μαζί με αυτό που θα φορέσει στο ταξίδι). Ένα πουλόβερ ή μια μπλούζα πρέπει να συνδυαστεί με ένα παντελόνι ή μια φούστα για να θεωρηθεί σύνολο, ενώ ένα φόρεμα θεωρείται από μόνο του ως σύνολο. Οι συνδυασμοί ρούχων που φαίνονται με ένα x στον παρακάτω πίνακα δεν ταιριάζουν μεταξύ τους, λόγω των χρωματισμών των ρούχων. Tέλος ο δεύτερος πίνακας δείχνει το βάρος και τον όγκο κάθε ρούχου. Μορφοποιήστε ένα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού για αυτό το πρόβλημα. 23

24 Παράδειγμα 2.4 Μπλούζα 1 Μπλούζα 2 Μπλούζα 3 Μπλούζα 4 Πουλόβερ Φούστα x x 3 Φούστα 2 4 x x 5 x Φούστα 3 x Παντελόνι 1 10 x 11 x x Παντελόνι x Παντελόνι 3 x x Βάρος (gr) Όγκος (cm 3 ) Φούστα Φούστα Φούστα Παντελόνι Παντελόνι Παντελόνι Μπλούζα Μπλούζα Μπλούζα Μπλούζα Φόρεμα Φόρεμα

25 Λύση Παράδειγμα 2.4 Ορίζουμε τις εξής μεταβλητές απόφασης: Mi = 1 αν η τουρίστρια πάρει τη μπλούζα i, (i = 1,2,3,4) και 0 αλλιώς Fi = 1 αν η τουρίστρια πάρει τη φούστα i, (i = 1,2,3) και 0 αλλιώς Pi = 1 αν η τουρίστρια πάρει το παντελόνι i, (i = 1,2,3) και 0 αλλιώς Di = 1 αν η τουρίστρια πάρει το φόρεμα i, (i = 1,2) και 0 αλλιώς Si = 1 αν πάρει το σύνολο i, (i = 1,,18, όπως φαίνονται στον πρώτο πίνακα) και 0 αλλιώς. Το ακέραιο πρόβλημα μορφοποιείται στο LINGO ως εξής: 25

26 Λύση Παράδειγμα 2.4 MAX = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 + S9 + S10 + S11 + S12 + S13 + S14 + S15 + S16 + S17 + S18 + D1 + D2; S1 <= 0.5*(F1+M1); S2 <= 0.5*(F1+M2); S3 <= F1; S4 <= 0.5*(F2+M1); S5 <= 0.5*(F2+M4); S6 <= 0.5*(F3+M2); S7 <= 0.5*(F3+M3); S8 <= 0.5*(F3+M4); S9 <= F3; 26

27 Λύση Παράδειγμα 2.4 S10 <= 0.5*(P1+M1); S11 <= 0.5*(P1+M3); S12 <= 0.5*(P2+M1); S13 <= 0.5*(P2+M2); S14 <= 0.5*(P2+M4); S15 <= P2; S16 <= 0.5*(P3+M3); S17 <= 0.5*(P3+M4); S18 <= P3; 27

28 Λύση Παράδειγμα *F *F *F *P *P *P *M *M *M *M *D *D2 <= 4000; 5000*F *F *F *P *P *P *M *M *M *M *D *D

29 Λύση Παράδειγμα 2.4 Η λύση που παίρνουμε από το LINGO είναι η εξής: Global optimal solution found at iteration: 353 Objective value: Variable Value S S S S S S S S S S S S S S S

30 Λύση Παράδειγμα 2.4 S S S D D F M M F M F M P P P Επομένως, η βέλτιστη λύση για την τουρίστρια είναι να πάρει μαζί της την 1η και την 3η φούστα, την 1η, τη 2η και την 3η μπλούζα και τα 3 παντελόνια, με συνολικό βάρος 3900 γραμμάρια και συνολικό όγκο κυβικά εκατοστά. Χρησιμοποιώντας και το πουλόβερ που πρόκειται να αγοράσει, θα διαθέτει συνολικά 13 σύνολα. 30

31 Παράδειγμα 2.5 Μία εταιρεία παράγει 3 προϊόντα σε 3 εργοστάσια και τα διαθέτει σε 3 αγορές. Για k = 1,2,3, i = 1,2,3 και j = 1,2,3 δίνονται τα εξής δεδομένα: Μοναδιαίο κόστος παραγωγής του προϊόντος k στο εργοστάσιο I k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i = Κόστος μεταφοράς ενός προϊόντος k από το εργοστάσιο i στην αγορά j (j=1) k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i = Κόστος μεταφοράς ενός προϊόντος k από το εργοστάσιο i στην αγορά j (j=2) k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i =

32 Παράδειγμα 2.5 Κόστος μεταφοράς ενός προϊόντος k από το εργοστάσιο i στην αγορά j (j=3) k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i = Σταθερό κόστος παραγωγής του προϊόντος k στο εργοστάσιο I k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i = Μέγιστο ύψος παραγωγής του προϊόντος k στο εργοστάσιο i k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i =

33 Λύση Παράδειγμα 2.5 Ελάχιστο ύψος παραγωγής του προϊόντος k στο εργοστάσιο i (σε περίπτωση θετικής παραγωγής) k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i = Δυναμικότητα (σε εργατοώρες) του εργοστασίου i που απαιτείται για την παραγωγή ενός προϊόντος k k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i = Συνολική δυναμικότητα (σε εργατοώρες) του εργοστασίου I i = 1 i = 2 i = Ζήτηση του προϊόντος k στην αγορά j k = 1 k = 2 k = 3 j = j = j =

34 Λύση Παράδειγμα 2.5 Μορφοποιήστε ένα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού που να ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος παραγωγής και μεταφοράς των προϊόντων, ώστε να καλυφθεί η ζήτηση. Βρείτε τη βέλτιστη λύση χρησιμοποιώντας το LINGO. Οι επιπλέον περιορισμοί που θα πρέπει να ικανοποιούνται είναι οι εξής: α) Κανένα εργοστάσιο δεν μπορεί να παράξει περισσότερα από 2 προϊόντα β) Κάθε προϊόν μπορεί να παραχθεί το πολύ σε 2 εργοστάσια. 34

35 Λύση Παράδειγμα 2.5 Ορίζουμε τις εξής μεταβλητές απόφασης: xijk = αριθμός προϊόντων τύπου k που παράγονται στο εργοστάσιο i και διατίθενται στην αγορά j yik = δυαδική μεταβλητή που παίρνει την τιμή 1 αν το προϊόν k παράγεται στο εργοστάσιο i και 0 αν όχι. Στη συνέχεια, το πρόβλημα μορφοποιείται ως εξής: MIN = 5*X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *Y *Y *Y *Y *Y *Y *Y *Y *Y33; 35

36 Λύση Παράδειγμα 2.5 MIN = 5*X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *Y *Y *Y *Y *Y *Y *Y *Y *Y33; X111 + X121 + X131 <= 500*Y11; (μέγιστο ύψος παραγωγής) X112 + X122 + X132 <= 950*Y12; X113 + X123 + X133 <= 900*Y13; X211 + X221 + X231 <= 400*Y21; X212 + X222 + X232 <= 900*Y22; X213 + X223 + X233 <= 850*Y23; X311 + X321 + X331 <= 900*Y31; X312 + X322 + X332 <= 850*Y32; X313 + X323 + X333 <= 950*Y33; 36

37 Λύση Παράδειγμα 2.5 X111 + X121 + X131 >= 10*Y11; (ελάχιστο ύψος παραγωγής) X112 + X122 + X132 >= 5*Y12; X113 + X123 + X133 >= 8*Y13; X211 + X221 + X231 >= 5*Y21; X212 + X222 + X232 >= 10*Y22; X213 + X223 + X233 >= 5*Y23; X311 + X321 + X331 >= 4*Y31; X312 + X322 + X332 >= 5*Y32; X313 + X323 + X333 >= 4*Y33; 2*(X111 + X121 + X131) + 2*(X112 + X122 + X132) + 3*(X113 + X123 + X133) <= 2000; 3*(X211 + X221 + X231) + 1*(X212 + X222 + X232) + 2*(X213 + X223 + X233) <= 3500; 4*(X311 + X321 + X331) + 2*(X312 + X322 + X332) + 3*(X313 + X323 + X333) <= 5000; (δυναμικότητα) 37

38 Λύση Παράδειγμα 2.5 X111 + X211 + X311 >= 200; (ικανοποίηση ζήτησης) X112 + X212 + X312 >= 350; X113 + X213 + X313 >= 500; X121 + X221 + X321 >= 300; X122 + X222 + X322 >= 400; X123 + X223 + X323 >= 250; X131 + X231 + X331 >= 400; X132 + X232 + X332 >= 450; X133 + X233 + X333 >= 350; Y11 + Y12 + Y13 <= 2; Y21 + Y22 + Y23 <= 2; Y31 + Y32 + Y33 <= 2; Y11 + Y21 + Y31 <= 2; Y12 + Y22 + Y32 <= 2; Y13 + Y23 + Y33 <= 2; (το πολύ 2 προϊόντα σε κάθε εργοστάσιο) (το πολύ 2 εργοστάσια για κάθε προϊόν) 38

39 Λύση

40 Λύση Παράδειγμα 2.5 Η λύση που παίρνουμε από το LINGO φαίνεται παρακάτω: Optimal solution found at step: 65 Objective value: Branch count: 5 40

41 Λύση Παράδειγμα 2.5 Variable Value Reduced Cost X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Y Y Y Y Y Y Y Y Y

42 Παράδειγμα 2.6 Η κυβέρνηση εξετάζει την εγκατάσταση πυροσβεστικών σταθμών σε 5 πόλεις. Το κόστος εγκατάστασης των σταθμών σε κάθε πόλη καθώς και ο χρόνος που χρειάζεται για την κάλυψη της απόστασης μεταξύ των πόλεων αυτών δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Πόλη 1 Πόλη 2 Πόλη 3 Πόλη 4 Πόλη 5 Πόλη Πόλη Πόλη Πόλη Πόλη Κόστος εγκατάστασ ης Σε κάθε πόλη μπορεί να εγκατασταθεί το πολύ 1 σταθμός. Ο στόχος είναι να εγκατασταθεί ο ελάχιστος αριθμός πυροσβεστικών σταθμών έτσι ώστε για κάθε πόλη να υπάρχει κάποιος σταθμός που μπορεί να ανταποκριθεί σε περίπτωση φωτιάς σε χρόνο που δεν υπερβαίνει τα 20 λεπτά. Επειδή έχει ήδη συγκεντρωθεί το ποσό των 400 χιλιάδων ευρώ, αυτό πρέπει να είναι και το ελάχιστο ποσό που θα πρέπει να δαπανηθεί για το συγκεκριμένο σκοπό. Να βρεθεί η βέλτιστη χωροθέτηση των πυροσβεστικών σταθμών. 42

43 Λύση Παράδειγμα 2.6 Ορίζουμε τις εξής μεταβλητές: Xi = 1 αν εγκατασταθεί σταθμός στην πόλη i και 0 αλλιώς, i = 1, 2,,5 Τότε, το πρόβλημα μορφοποιείται στο LINGO ως εξής: MIN = X1 + X2 + X3 + X4 + X5; X1 + X2 + X3 > 1;! (πόλη 1); X1 + X2 + X5 > 1;! (πόλη 2); X1 + X3 + X4 > 1;! (πόλη 3); X3 + X4 + X5 > 1;! (πόλη 4); X2 + X4 + X5 > 1;! (πόλη 5); 200*X *X *X *X *X5 > @BIN(X5); 43

44 Λύση Παράδειγμα 2.6 και η λύση που παίρνουμε είναι η εξής: Global optimal solution found. Objective value: Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X X X X X

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3)

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 3) Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων Σαχαρίδης Γιώργος Πρόβλημα 1 Μία εταιρεία έχει μία παραγγελία για την παραγωγή κάποιου προϊόντος. Με τις 2 υπάρχουσες βάρδιες (40 ώρες την εβδομάδα η καθεμία) μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιαµόρφωση Προβλήµατος

ιαµόρφωση Προβλήµατος Γραµµικός Προγραµµατισµός ιαµόρφωση Προβλήµατος Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Γενικά Στοιχεία Γραµµικού

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Μία επιχείρηση κατασκευάζει τρία προϊόντα, έστω α, β και γ, τα οποία πουλάει

Διαβάστε περισσότερα

Asset & Liability Management Διάλεξη 3

Asset & Liability Management Διάλεξη 3 Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Asset & Liability Management Διάλεξη 3 Cash-flow matching Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipi.gr http://web.xrh.unipi.gr/faculty/anthropelos

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 2: Τεχνικές Μοντελοποίησης, Εφαρμογές Μοντελοποίησης Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας κτηµατίας πρέπει να καθορίσει πόσα στρέµµατα καλαµποκιού και σιταριού να φυτέψει αυτή τη χρονιά. Ένα στρέµµα σιταριού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΝΑ ΟΡΙΣΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΕΠΙΛΥΣΕΤΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΟΝ SOLVER ΤΟΥ EXCEL

ΠΩΣ ΝΑ ΟΡΙΣΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΕΠΙΛΥΣΕΤΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΟΝ SOLVER ΤΟΥ EXCEL ΠΩΣ ΝΑ ΟΡΙΣΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΕΠΙΛΥΣΕΤΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΟΝ SOLVER ΤΟΥ EXCEL 1. Στο Tools menu, click Solver. 2. Εάν η επιλογή Solver δεν είναι διαθέσιµη στο Tools menu, πρέπει να το

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ:

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός κεφαλαίου. Παρουσίαση της µεθόδου SOLVER και αναλυτική περιγραφή της µεθοδολογίας.

Σκοπός κεφαλαίου. Παρουσίαση της µεθόδου SOLVER και αναλυτική περιγραφή της µεθοδολογίας. Το πρόγραµµα λογιστικών φύλλων (spreadsheet) Microsoft Excel ενσωµατώνει ρουτίνα επίλυσης προτύπων γραµµικού προγραµµατισµού. Η ρουτίνα ονοµάζεται Solver και χρησιµοποιεί το λογιστικό φύλλο του Microsoft

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Ειδικά Μοντέλα Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Μοντέλο μη αυτόματου εφοδιασμού (Economic Lot size) Αλγόριθμος Wagner-Whitin

Διαβάστε περισσότερα

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV)

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV) 5. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (Decision Analysis) Επιχειρήσεις, Οργανισμοί αλλά και μεμονωμένα άτομα αντιμετωπίζουν σχεδόν καθημερινά το δύσκολο πρόβλημα της λήψης αποφάσεων. Τα προβλήματα αυτά έχουν σαν αντικειμενικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ Μια εταιρεία αλουμινίου έχει αποθέματα βωξίτη στην περιοχή G, στην S και στην A. Επίσης, υπάρχουν εργοστάσια μετάλλου, όπου ο βωξίτης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΜΑΘΗΜΑ 3 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΑΘΗΜΑ 3 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Προβλήµατα Ακέραιου Προγραµµατισµού Ι Τα προβλήµατα Ακέραιου Προγραµµατισµού, ανήκουν γενικά σε 3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Παραγωγή: είναι η διαδικασία με την οποία οι διάφοροι παραγωγικοί συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες κι ερµηνεία του Γραµµικού Προγραµµατισµού. Γραφική επίλυση προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. Παραδείγµατα.

Βασικές έννοιες κι ερµηνεία του Γραµµικού Προγραµµατισµού. Γραφική επίλυση προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. Παραδείγµατα. Στο κεφάλαιο αυτό επιχειρούµε µια πρώτη προσέγγιση στην µελέτη και διερεύνηση προβληµάτων του Γραµµικού Προγραµµατισµού (Γ.Π., Linear Programming, L.P) και τις µεταβολές τους. Ταυτόχρονα, παρουσιάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 4 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

PANEPISTHMIO AIGAIOU GRAMMIKOS PROGRAMMATISMOS

PANEPISTHMIO AIGAIOU GRAMMIKOS PROGRAMMATISMOS PANEPISTHMIO AIGAIOU SQOLH JETIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN Shmei seic gia to mˆjhma GRAMMIKOS PROGRAMMATISMOS Jeodìshc Dhmhtrˆkoc E-mail: dimitheo@aegean.gr DhmiourgÐa kai epimèleia tou hlektronikoô

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming) κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming). Εισαγωγή Ορισμός.. Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming) είναι το όνομα της μεθοδολογίας που χρησιμοποιείται για τη λύση προβλημάτων που

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-7 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ Προγραµµατισµός τεσσάρων διαφορετικών προϊόντων Σιτάρι, σόγια, βρώµη καικαλαµπόκι Μέγιστη συνολική έκταση 1.500 στρέµµατα Ακριβώς 100 στρέµµατα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές εξετάσεις 2014 Ανάπτυξη εφαρμογών σε προγραμματιστικό περιβάλλον Τεχνολογική Κατεύθυνση

Γενικές εξετάσεις 2014 Ανάπτυξη εφαρμογών σε προγραμματιστικό περιβάλλον Τεχνολογική Κατεύθυνση Φροντιστήρια δυαδικό 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γενικές εξετάσεις 2014 Ανάπτυξη εφαρμογών σε προγραμματιστικό περιβάλλον Τεχνολογική Κατεύθυνση Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων «δυαδικό»

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΠΠΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΠΠΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΠΠΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΠΕ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ /ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΝΕΩΝ ΤΡΟΠΩΝ ΠΑΡΟΧΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Δ.5.1 Πιλοτική Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. H διαδικασία ανεύρεσης λογικών λαθών περιλαμβάνει : β- Σωστό. Διαπίστωση του είδους του λάθους γ- Σωστό δ- Λάθος

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. H διαδικασία ανεύρεσης λογικών λαθών περιλαμβάνει : β- Σωστό. Διαπίστωση του είδους του λάθους γ- Σωστό δ- Λάθος ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Α ) & ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 08/04/2015 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΟΚΤΩ (8) ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Α2. α-

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παραδείγματα προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ασχολούνται με καταστάσεις όπου ένας αριθμός πλουτοπαραγωγικών πηγών, όπως άνθρωποι,

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 1 η Διάλεξη: Βασικές Έννοιες στην Εφοδιαστική Αλυσίδα - Εξυπηρέτηση Πελατών 2015 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Ατζέντα Εισαγωγή στη Διοίκηση

Διαβάστε περισσότερα

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ 7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ Για να αναπτυχθούν οι βασικές έννοιες της δυναμικής του εργοστασίου εισάγουμε εδώ ορισμένους όρους πέραν αυτών που έχουν ήδη αναφερθεί σε προηγούμενα Κεφάλαια π.χ. είδος,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Ικανοποίηση Περιορισµών. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Κεφάλαιο 6. Ικανοποίηση Περιορισµών. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Κεφάλαιο 6 Ικανοποίηση Περιορισµών Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Ικανοποίηση Περιορισµών Ένα πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών (constraint

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Εξετάσεις Προσομοίωσης 18/01/2015 Θέμα Α Α1. Δίνεται ο παρακάτω αλγόριθμος. Αλγόριθμος Α1 Αθρ 0 μ 1 Όσο μ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα. Χειµερινό Εξάµηνο 2013-2014. Ασκήσεις. 1. Ενα διυλιστήριο µπορεί να επεξεργαστεί τρία είδη ακατέργαστου πετρελαίου :

Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα. Χειµερινό Εξάµηνο 2013-2014. Ασκήσεις. 1. Ενα διυλιστήριο µπορεί να επεξεργαστεί τρία είδη ακατέργαστου πετρελαίου : Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα Χειµερινό Εξάµηνο 2013-2014 Ασκήσεις 1. Ενα διυλιστήριο µπορεί να επεξεργαστεί τρία είδη ακατέργαστου πετρελαίου : - το πρώτο προερχόµενο από την Αφρική, το οποίο ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων. Βασικές Συνδυαστικές Συναρτήσεις και Κυκλώματα 1

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων. Βασικές Συνδυαστικές Συναρτήσεις και Κυκλώματα 1 ΗΜΥ 2: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Αυγ-3 ΗΜΥ-2: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Βασικές Συνδυαστικές Συναρτήσεις και Κυκλώματα Διδάσκουσα: Μαρία Κ Μιχαήλ Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές 3. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΟΣ 3. Τι Είναι Απόθεμα Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές. Απόθεμα Α, Β υλών και υλικών συσκευασίας: Είναι το απόθεμα των υλικών που χρησιμοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Περίληψη Ο Γραμμικός Προγραμματισμός (Linear Programming) ή Γραμμική Βελτιστοποίηση (Linear Optimization) μελετάει ένα από τα πιο εφαρμοσμένα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΊΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: «ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ, ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ουζούνης Παναγιώτης ΜΑΡΤΙΟΣ 008 ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γεροντίδης Ιωάννης Εκπονηθείσα πτυχιακή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι 1 Έννοια Ανεπίσημα, ένας αλγόριθμος είναι μια βήμα προς βήμα μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος ή την διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ ΑΝΤΩΝΙΟΥ Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι. Επιχειρήσεις σε ανταγωνιστικές αγορές. Αρ. Διάλεξης: 09

Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι. Επιχειρήσεις σε ανταγωνιστικές αγορές. Αρ. Διάλεξης: 09 Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι Επιχειρήσεις σε ανταγωνιστικές αγορές Αρ. Διάλεξης: 09 Τι είναι ανταγωνιστική αγορά; Η ανταγωνιστική αγορά έχει πολλούς αγοραστές/καταναλωτές και πολλούς παραγωγούς/επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Homework 1. 2. Πρόκειται για ατομικές ασκήσεις οι οποίες συνεισφέρουν το 25% του τελικού σας βαθμού.

Homework 1. 2. Πρόκειται για ατομικές ασκήσεις οι οποίες συνεισφέρουν το 25% του τελικού σας βαθμού. ΠΜΣ: Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Διδάσκων: Ν. Τσάντας Homework 1 1. Ασκήσεις: δείτε τις σελίδες 2-6 του παρόντος. 2. Πρόκειται για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ 27 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θέμα 1 ο : Παρέες αριθμών ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ [30 Μονάδες] Λέμε ότι δύο φυσικοί αριθμοί είναι στην ίδια παρέα όταν έχουν το ίδιο πλήθος άσων (1) στη δυαδική

Διαβάστε περισσότερα

Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΔΠΜΣ Οικονομική & Διοίκηση Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Αθήνα, 2007 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Βασικά Στοιχεία Το αλφάβητο της C Οι βασικοί τύποι της C Δηλώσεις μεταβλητών Είσοδος/Έξοδος Βασικές εντολές της C Αλφάβητο

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 6: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

Όνομα : Επώνυμο: Τάξη : Καθηγητής : Ημ/νία : ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ (18-11-2012) Γ3, Γ4 ΑΝ Α < Β ΤΟΤΕ ΑΛΛΙΩΣ ΤΕΛΟΣ_ΑΝ

Όνομα : Επώνυμο: Τάξη : Καθηγητής : Ημ/νία : ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ (18-11-2012) Γ3, Γ4 ΑΝ Α < Β ΤΟΤΕ ΑΛΛΙΩΣ ΤΕΛΟΣ_ΑΝ Όνομα : Επώνυμο: Τάξη : ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΛΑΤΕΙΑ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 13 - ΤΗΛ. 2108048919 ΠΛΑΤΕΙΑ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 29 - ΤΗΛ. 2108100606 www.dinamiko.gr, email: info@dinamiko.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους: (1) Επιτρέπει τη διατύπωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

4 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστική Λογική. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

4 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστική Λογική. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός 4 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστική Λογική Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Λογικά Κυκλώµατα Ø Τα λογικά κυκλώµατα διακρίνονται σε συνδυαστικά (combinational) και ακολουθιακά (sequential). Ø Τα συνδυαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 1 Το πρόβλημα των περιορισμένων πόρων Κάθε επιχειρηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Τι ορίζεται ως απόθεμα;

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές αριστοποίησης

Τεχνικές αριστοποίησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Τεχνικές αριστοποίησης Εισαγωγή Τα µοντέλα αριστοποίησης, ευρέως γνωστά ως µοντέλα µαθηµατικού προγραµµατισµού, είναι αναµφίβολα η δηµοφιλέστερη τεχνική λήψης αποφάσεων στο χώρο της Επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ενότητα 4 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος.

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Τι είναι Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research); Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Το σύνολο των τεχνικών (μαθηματικά μοντέλα) οι οποίες δημιουργούν μια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας µε τη χρήση του Solver

Ανάλυση Ευαισθησίας µε τη χρήση του Solver Ανάλυση Ευαισθησίας µε τη χρήση του Solver Πρόβληµα 1 Μια εταιρία κατασκευής τηλεοράσεων κατασκευάζει τέσσερα µοντέλα τηλεοράσεων Μ1, Μ2, Μ3 και Μ4. Κάθε µοντέλο για να παραχθεί απαιτεί χρόνο συναρµολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση και Τεχνικοοικονομική Ανάλυση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Βιοκαυσίμων

Μοντελοποίηση και Τεχνικοοικονομική Ανάλυση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Βιοκαυσίμων Μοντελοποίηση και Τεχνικοοικονομική Ανάλυση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Βιοκαυσίμων Αιμ. Κονδύλη, Ι. Κ. Καλδέλλης, Χρ. Παπαποστόλου ΤΕΙ Πειραιά, Τμήμα Μηχανολογίας Απρίλιος 2007 Στόχοι της εργασίας Η τεχνική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη των Αποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη των Αποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη των Αποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 3 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος Επιχειρησιακός Προγραμματισμός Συστημάτων Διαχείρισης ΑΣΑ Ανάπτυξη & ΕφαρμογήστηΝήσοΚέρκυρα Παρουσίαση: Αλέξανδρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το συνολικό προϊόν παίρνει την μέγιστη τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) 1.0 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Κατασκευάστε ένα λογιστικό φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

Τέλειος Ανταγωνισµός

Τέλειος Ανταγωνισµός Τέλειος Ανταγωνισµός Χαρακτηριστικά του τέλειου ανταγωνισµού: Πολλές µικρές επιχειρήσεις, καθεµία ασήµαντη σε σχέση µε τον κλάδο ως σύνολο Οµοιογενή προϊόντα Οι καταναλωτές έχουν τέλεια πληροφόρηση. Ελευθερία

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ 1 ΚΦΑΛΑΙΟ 6 ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ Οι καµπύλες ζήτησης και προσφοράς είναι αναγκαίες για να προσδιορίσουν την τιµή στην αγορά. Η εξοµοίωσή τους καθορίζει την τιµή και τη ποσότητα ισορροπίας,

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Βελτιστοποίηση Προγραμματισμού Παραγωγής σε Χημική Βιομηχανία Παραγωγής Ρητίνης PET *

Βελτιστοποίηση Προγραμματισμού Παραγωγής σε Χημική Βιομηχανία Παραγωγής Ρητίνης PET * Βελτιστοποίηση Προγραμματισμού Παραγωγής σε Χημική Βιομηχανία Παραγωγής Ρητίνης PE * Ολυμπία Χατζηκωνσταντίνου, Γιώργος Λυμπερόπουλος, Γιώργος Κοζανίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Οικονομική Ανάλυση

Εισαγωγή στην Οικονομική Ανάλυση Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή στην Οικονομική Ανάλυση Νίκος Θεοχαράκης Διάλεξη 6 Ιανουάριος 2014 Είδη εταιρειών Ομόρρυθμη Ετερόρρυθμη Εταιρεία Περιορισμένης Ευθύνης Ανώνυμη Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Εισαγωγη ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τα συστηματα εφαρμοζονται σε αναπτυξιακα προγραμματα, σε μελετες σχεδιασμου εργων, σε προγραμματα διατηρησης ή προστασιας περιβαλλοντος και υδατικων πορων και

Διαβάστε περισσότερα

2 η Θεµατική Ενότητα : Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

2 η Θεµατική Ενότητα : Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός 2 η Θεµατική Ενότητα : Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα Πύλες AND Πύλες OR Πύλες NAND Τυχαία Λογική Πύλες NOR Πύλες XNOR Η ολοκληρωµένη

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Δομές Δεδομένων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 8: Γραμμική Αναζήτηση και Δυαδική Αναζήτηση-Εισαγωγή στα Δέντρα και Δυαδικά Δέντρα-Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης & Υλοποίηση ΔΔΑ με δείκτες Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

13 Το κόστος Παραγωγής Οι αγοραίες δυνάµεις της Προσφοράς και της Ζήτησης ΗΠροσφοράκαιηΖήτησηείναιοι οικονοµικοί όροι που χρησιµοποιούνται από τους οικονοµολόγους ευρέως. ΗΠροσφοράκαιηΖήτησηείναιοι κινητήριες

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005. Στοιχειώδης Λογικές Συναρτήσεις

Περίληψη. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005. Στοιχειώδης Λογικές Συναρτήσεις ΗΜΥ 2: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 25 Μαρ-5 ΗΜΥ-2: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 25 Κεφάλαιο 4 -i: Βασικές Συνδυαστικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Περίληψη Συναρτήσεις και συναρτησιακές (λειτουργικές)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ

ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ (ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΚΕΦ. 6 ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ «ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ» ΤΩΝ ΒΛΑΧΑΒΑ, ΚΕΦΑΛΑ, ΒΑΣΙΛΕΙΑ Η, ΚΟΚΚΟΡΑ & ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ) Ι. ΧΑΤΖΗΛΥΓΕΡΟΥ ΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ Είναι γνωστές µερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και, δίπλα, τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ÓÕÍÅÉÑÌÏÓ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ÓÕÍÅÉÑÌÏÓ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ (2ος Κύκλος) ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ηµεροµηνία: Κυριακή 22 Απριλίου 2012 Α1. 1. Λ, 2. Λ, 3. Λ, 4. Σ, 5. Σ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα