Λυμένες Ασκήσεις. Λύση

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λυμένες Ασκήσεις. Λύση"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx + β Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις ευθείες με εξισώσεις y = 1 x, y = 1 x +, y = 1 x Η εξίσωση y = 1 x για x = δίνει y = 1 Επομένως η γραφική της παράσταση είναι ευθεία που διέρχεται από το σημείο (, 1) και την αρχή των αξόνων (κόκκινη ευθεία) Η ευθεία y = 1 x + είναι παράλληλη στην κόκκινη ευθεία και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο (0, ) (πράσινη ευθεία) Η ευθεία y = 1 x είναι είναι παράλληλη στην κόκκινη ευθεία και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο (0, ) ( πορτοκαλί ευθεία). Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση y = x + όταν : α) ο x είναι πραγματικός αριθμός β) x 0 γ) x 5 α) Για την συνάρτηση y=-x+ έχουμε τον ακόλουθο πίνακα τιμών y x 0 y 0 Α Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι η πορτοκαλί ευθεία ΑΒ O Β 1 x 1

2 β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι το κομμάτι της ευθείας του (α) ερωτήματος, του οποίου τα σημεία έχουν τετμημένη x 0. Δηλαδή είναι η κόκκινη ημιευθεία του σχήματοςαβ γ) Για x = έχουμε y = 8, άρα το σημείο Μ(, 8) και για x = 5 έχουμε y = 1, άρα το σημείο Ν(5, 1) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι το κομμάτι της ευθείας του (α), του οποίου τα σημεία έχουν τετμημένη x με x 5 Δηλαδή είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΜΝ.. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει κλίση και τέμνει τον άξονα των y y στο σημείο με τεταγμένη Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής y = αx + β. Επειδή η κλίση της είναι ίση με έχουμε α =. Τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη - άρα 0 δηλαδή β = Επομένως η ευθεία έχει εξίσωση y = x 4. Στο διπλανό σχήμα δίνονται τα σημεία Α(1, 1) και Β(, ) α) Να αποδείξετε ότι η απόσταση ΑΒ είναι ίση με 5 β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y = x 1 διέρχεται από τα Α και Β.

3 α) Η απόσταση ΑΒ δίνεται από τον τύπο : ΑΒ = ( 1) ( 1) = 1 = 5 β) Η εξίσωση y = x 1, για x = 1 δίνει y = 1, άρα η ευθεία διέρχεται από το Α Η εξίσωση y = x 1, για x = δίνει y =, άρα η ευθεία διέρχεται από το Β 5. Όταν χρησιμοποιούμε ταξί πληρώνουμε 0,5 για τη σημαία και 0, για κάθε χιλιόμετρο διαδρομής. Να βρείτε τη συνάρτηση που μας δίνει το ποσό y που θα πληρώσουμε για μια διαδρομή x χιλιομέτρων. Η αξία της διαδρομής των x χιλιομέτρων είναι 0, x. Άρα y = 0, x + 0,5 6. Δίνεται η ευθεία x y = 6. Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνει τους άξονες Για x = 0 έχουμε y =. Επομένως το σημείο τομής με τον άξονα των y είναι το (0, ) Για y = 0 έχουμε x =. Επομένως το σημείο τομής με τον άξονα των x είναι το (, 0) 7. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της ευθείας x + y = Βρίσκουμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες Για x = 0 έχουμε y = Επομένως το σημείο τομής με τον άξονα των y είναι το Α(0, ) Για y = 0 έχουμε x = Επομένως το σημείο τομής με τον άξονα των x είναι το Β(, 0) Η γραφική παράσταση της ευθείας με εξίσωση x + y = είναι η ευθεία ΑΒ

4 8. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθογωνίων αξόνων το ορθογώνιου ΑΒΓΔ, του οποίου οι πλευρές ανήκουν στις ευθείες y =, y =, x = 1 και x =. Ποιες είναι οι συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ και Δ ; Ποιο είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ Σχεδιάζουμε τις ευθείες με εξισώσεις y =, y =, x = 1 και x = Αυτές τεμνόμενες ορίζουν το ορθογώνιο ΑΒΓΔ Οι συντεταγμένες των κορυφών είναι Α(, ), Β( 1, ), Γ( 1, ), Δ(,) Είναι φανερό ότι ΑΒ = και ΑΔ = 1 Οπότε το εμβαδόν Ε του ΑΒΓΔ είναι ίσο με Ε = 1 = τετραγωνικές μονάδες 9. Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει ηλεκτρονικούς υπολογιστές με κόστος 00 το τεμάχιο. Επίσης πληρώνει 100 την ημέρα για την ενοικίαση μιας αποθήκης, για να αποθηκεύσει τους υπολογιστές. α) Να εκφράσετε το συνολικό ημερήσιο κόστος y του εργοστασίου ως συνάρτηση του αριθμού x των υπολογιστών που κατασκευάζει ημερησίως. β) Να σχεδιάσετε σε σύστημα ορθογωνίων αξόνων την συνάρτηση αυτή α) Αν το εργοστάσιο κατασκευάζει x υπολογιστές, το κόστος γι αυτούς είναι 00x.Λαμβάνοντας υπόψη και το ενοίκιο της αποθήκης βρίσκουμε ότι το συνολικό ημερήσιο κόστος y είναι y = 00x με x 0(1) β) Από την (1) προκύπτει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κομμάτι της ευθείας y = 00x Για x = 0 έχουμε y = 100 και για x = έχουμε y = 500 Επομένως δύο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία είναι τα (0, 100) και (, 500) Και αφού x 0, η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι το κομμάτι της ευθείας, τα σημεία του οποίου έχουν τετμημένη x 0. Δηλαδή είναι η ημιευθεία δεξιά του άξονα y y 4

5 10. Σε ένα τηλεοπτικό παιχνίδι κάθε παίχτης ξεκινάει έχοντας από την εταιρεία παραγωγής ως δώρο Στη συνέχεια πρέπει να απαντήσει σε 0 ερωτήσεις Σε κάθε σωστή απάντηση κερδίζει 100 ενώ για κάθε λανθασμένη χάνει 50. Συμβολίζουμε με x το πλήθος των σωστών απαντήσεων. α) Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x το πλήθος ω των λανθασμένων απαντήσεων β) Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x το συνολικό κέρδος y του παίχτη γ) Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση y α) Αφού x είναι το πλήθος των σωστών απαντήσεων, το πλήθος ω των λανθασμένων είναι ω = 0 x β) Ο παίχτης κερδίζει από τις σωστές απαντήσεις 100x και χάνει από τις λανθασμένες απαντήσεις 50(0 x) Το συνολικό κέρδος y είναι : y = x 50(0 x) y = x x y = 150x με 0 x 0 γ) Η γραφική παράσταση είναι το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία Ο(0, 0) και Α(0, 000) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Ασκήσεις προς λύση Γραφική παράσταση της y=αx 1. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις ευθείες y=x,y=x+,y=x-. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις ευθείες y=x,y=x+4,y=x-4. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις ευθείες y x, y x, y x Σ ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων xοy να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που έχει τύπο y= x+ α) όταν - x και β) όταν η μεταβλητή x λάβει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. 5. Σ ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων xοy να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y=x+,όταν: α) ο x είναι πραγματικός αριθμός 5

6 β) x 0 γ)- x. 6. Σ ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων xοy να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y x 10,όταν: 5 α) ο x είναι πραγματικός αριθμός β) x 0 γ)-10 x Σ ένα κατάλληλο σύστημα αξόνων χοy να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που έχει τύπο -00x+00, όπου - x. Να κάνετε το ίδιο και για τη συνάρτηση με τύπο 0,0x+0,01, όπου - x. 8. Σ' ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων xοy να σχεδιάσεις τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που έχει τύπο y x, όπου χ οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Να σχεδιάσετε μετά, χωρίς να κατασκευάσετε πίνακα τιμών, τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που έχει τύπο y x. 9. Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: α) y x 1,όταν x β) y x 4,όταν 0 x 1 γ) y x 8,όταν 4 x 4 4 δ) y x,όταν x 10. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : α) y x,όταν x 1 β) y x,όταν 1 x 1 γ) y x,όταν x 5 δ) y,όταν 5 x Σ' ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων χοy να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y= 1 όταν - x. 1. Μια ευθεία έχει κλίση και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη 6. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας. β)να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της ευθείας που βρήκατε. x -1 y γ) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση. 6

7 1. 1 Μια ευθεία έχει κλίση και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας. β)να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της ευθείας που βρήκατε. x -1 y -4 6 γ) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση. 14. Στο διπλανό σχήμα δίνονται τα σημεία Α(1,) και Β(, 1) α) Να αποδείξετε ότι η απόσταση ΑΒ είναι ίση με β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y = -x+ διέρχεται από τα Α και Β. 15. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση y x 1.Να εξετάσετε αν η ευθεία αυτή διέρχεται από τα παρακάτω σημεία. 1 (0, 1), (,),,4, (5,1), (1,1),, 16. Δίνεται η συνάρτηση y 4x 4.Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω σημεία ανήκουν στη γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης: 5 5 (1,0), (5, 16),, 1, (0, 4), (, 8),, Σ ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων χοy η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y=-x+6 τέμνει τους άξονες χ'χ και y'y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να βρεις τις συντεταγμένες καθενός από τα σημεία Α και Β. 18. Δίνεται η ευθεία y x. 4 α) Να βρείτε το σημείο Α της παραπάνω ευθείας που έχει τετμημένη 8 β) Να βρείτε το σημείο Β της παραπάνω ευθείας που έχει τεταγμένη 6 γ) Να αποδείξετε ότι η απόσταση ΑΒ είναι ίση με 85 7

8 δ) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση Παράλληλες ευθείες 19. Μια ευθεία είναι παράλληλη στην ευθεία y=4x και τέμνει τoν άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας αυτής β) Να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή σε ένα σύστημα αξόνων. 0. Μια ευθεία είναι παράλληλη στην ευθεία y x και τέμνει τoν άξονα y y στο σημείο με 7 τεταγμένη 4. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας αυτής β) Να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή σε ένα σύστημα αξόνων. 1. Μια ευθεία είναι παράλληλη στην ευθεία y x και τέμνει τoν άξονα y y στο σημείο με 5 τεταγμένη -6. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας αυτής β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. x y 6 5, 1 γ)να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή σε ένα σύστημα αξόνων.. Μια ευθεία είναι παράλληλη στη διχοτόμο της 1ης και ης γωνίας των αξόνων και τέμνει τoν άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας αυτής β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. x - -1 y 0 6 γ)να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή σε ένα σύστημα αξόνων.. Μια ευθεία είναι παράλληλη στη διχοτόμο της ης και 4ης γωνίας των αξόνων και τέμνει τoν άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη -. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας αυτής β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. x - -1 y 0 4 γ)να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή σε ένα σύστημα αξόνων. 8

9 4. Οι ευθείες με εξισώσεις y 6x και y ( 4)x είναι παράλληλες. α) Να βρείτε τον αριθμό λ β) )Να σχεδιάσετε τις ευθείες αυτές στο ίδιο σύστημα αξόνων Οι ευθείες με εξισώσεις y x και y x 4 είναι παράλληλες. 9 9 α) Να βρείτε τον αριθμό μ β) )Να σχεδιάσετε τις ευθείες αυτές στο ίδιο σύστημα αξόνων Οι ευθείες με εξισώσεις y x και y x 4 α) Να βρείτε τον αριθμό λ β) )Να σχεδιάσετε τις ευθείες αυτές στο ίδιο σύστημα αξόνων. είναι παράλληλες Οι ευθείες με εξισώσεις y x και y x 4 είναι παράλληλες. 10 α) Να βρείτε τον αριθμό μ β) )Να σχεδιάσετε τις ευθείες αυτές στο ίδιο σύστημα αξόνων Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων με τύπους 1, x+4 και 1 5 x, ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων χοψ, δεν είναι ευθείες παράλληλες. 9. Η ευθεία y x 1 είναι παράλληλη στη διχοτόμο της 1ης και ης γωνίας των αξόνων. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας αυτής β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. x - -1 y 0 6 γ)να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή σε ένα σύστημα αξόνων. 0. Η ευθεία y x 1 είναι παράλληλη στη διχοτόμο της ης και 4ης γωνίας των αξόνων. 4 α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας αυτής β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. x - -1 y 0 4 γ)να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή σε ένα σύστημα αξόνων. 9

10 Η εξίσωση της μορφής αx+βy=γ 1. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των ευθειών: α) x y β) x y 6 γ) x y γ) x 4y 1. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των ευθειών: α) x y 6 β) x y γ) x y 10 γ) x y 0. Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνουν τους άξονες οι ευθείες: α) x y 1 β) 4x y 8 γ) 10x y 0 γ) 1x 5y Δίνεται η ευθεία με εξίσωση 4x y 1 α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία αυτή τέμνει τους άξονες. β) Να εκφράσετε το y σαν συνάρτηση του x και να βρείτε την κλίση της ευθείας. 5. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση x y 6 α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία αυτή τέμνει τους άξονες. β) Να εκφράσετε το y σαν συνάρτηση του x και να βρείτε την κλίση της ευθείας. 6. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση 5x y 10 α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία αυτή τέμνει τους άξονες. β) Να εκφράσετε το y σαν συνάρτηση του x και να βρείτε την κλίση της ευθείας. 7. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση 4x 7y 8 α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία αυτή τέμνει τους άξονες. β) Να υπολογίσετε την απόσταση των παραπάνω σημείων. γ) Να εκφράσετε το y σαν συνάρτηση του x και να βρείτε την κλίση της ευθείας. 8. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση x y α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία αυτή τέμνει τους άξονες. β) Να υπολογίσετε την απόσταση των παραπάνω σημείων. γ) Να εκφράσετε το y σαν συνάρτηση του x και να βρείτε την κλίση της ευθείας. Ευθείες παράλληλες στους άξονες 9. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των ευθειών: α) y 7 β) y 6 γ) y 8 γ) y Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των ευθειών: α) x 7 β) x 6 γ) x 8 γ) x 10 10

11 41. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης : α) y, 4 x 4 β) y 4, 1 x γ) y 14, 10 x 0 γ) y 5,0 x 4. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης : α) x, 4 y 4 β) x 4, 1 y γ) x 14, 10 y 0 γ) x 5,0 y 4. α)να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία είναι : i) παράλληλη στον άξονα χ χ και διέρχεται από το σημείο Α(0,6) ii) παράλληλη στον άξοναy y y και διέρχεται από το σημείο Β(-5,0) β) Να σχεδιάσετε τις παραπάνω ευθείες στο ίδιο σύστημα αξόνων γ) Να βρείτε το σημείο τομής των παραπάνω ευθειών. 44. α)να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία είναι : i) παράλληλη στον άξονα χ χ και διέρχεται από το σημείο Α(0,-9) ii) παράλληλη στον άξοναy y y και διέρχεται από το σημείο Β(10,0) β) Να σχεδιάσετε τις παραπάνω ευθείες στο ίδιο σύστημα αξόνων γ) Να βρείτε το σημείο τομής των παραπάνω ευθειών. 45. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση y ( 6) x 015. Να βρείτε τον αριθμό λ,ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα χ χ Δίνεται η ευθεία με εξίσωση y 5 x 014. Να βρείτε τον αριθμό λ,ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα χ χ. 47. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση x ( 8) y Να βρείτε τον αριθμό λ : α) ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα χ χ. β) ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα y y Δίνεται η ευθεία με εξίσωση x ( 1) y 014. Να βρείτε τον αριθμό λ : α) ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα χ χ. β) ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα χ χ. 11

12 Προσδιορισμός παραμέτρων 49. Δίνεται η ευθεία y 6x.Να βρείτε τον αριθμό α,ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το σημείο Α(4,4). 50. Δίνεται η ευθεία σημείο Α(-6,5). 1 y x.να βρείτε τον αριθμό β,ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το 51. Η ευθεία y x 1 διέρχεται από το σημείο Α(,6). α) Να βρείτε τον αριθμό γ, β) να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή σε ένα σύστημα αξόνων. 5. Η ευθεία y x 6 διέρχεται από το σημείο Α(-1,-8). α) Να βρείτε τον αριθμό λ, β) να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή σε ένα σύστημα αξόνων. 5. Η ευθεία y x διέρχεται από το σημείο Α(4,11). α) Να βρείτε τον αριθμό λ, β) Να βρείτε τα σημεία τομής της παραπάνω ευθείας με τους άξονες.. γ) Να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή σε ένα σύστημα αξόνων Η ευθεία y 4x διέρχεται από το σημείο Α(-,-6). 6 α) Να βρείτε τον αριθμό λ, β) Να βρείτε τα σημεία τομής της παραπάνω ευθείας με τους άξονες.. γ) Να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή σε ένα σύστημα αξόνων. 55. Σ' ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων χοy η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που έχει τύπο y=κx+10 διέρχεται από το σημείο Α(-,6). Να υπολογίσετε τον αριθμό κ. Προβλήματα 56. Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει τηλεοράσεις με κόστος 100 η καθεμία.ακόμη,για την αποθήκευση των τηλεοράσεων που παράγει το εργοστάσιο ενοικιάζει μία αποθήκη με κόστος 50 την ημέρα. α) Να εκφραστεί το συνολικό ημερήσιο κόστος y του εργοστασίου σαν συνάρτηση του αριθμού x των τηλεοράσεωνπου κατασκευάζει ημερησίως. β) Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης 1

13 57. Για την παρακολούθηση μιας συναυλίας ροκ, πληρώνουμε 15 ευρώ για κάθε εισιτήριο και ευρώ για κάθε αναψυκτικό. α) Να εκφραστεί το ποσό y που θα πληρώσει ένα άτομο στη συναυλία αυτή αν πάρει x αναψυκτικά; β) Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης 58. Σε ένα τηλεπαιχνίδι κάθε παίχτης ξεκινάει με δώρο 000 ευρώ.στη συνέχεια πρέπει να απαντήσει σε 10 ερωτήσεις. Σε κάθε σωστή απάντηση κερδίζει 00 ευρώ,ενώ σε κάθε λανθασμένη απάντηση χάνει 00 ευρώ. Έστω x το πλήθος των σωστών απαντήσεων του παίκτη. α) Να εκφραστεί σαν συνάρτηση του x το πλήθος των λανθασμένων απαντήσεων. β) Να εκφραστεί σαν συνάρτηση του x το συνολικό κέρδος y του παίκτη γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος β) δ) Να βρείτε το κέρδος που θα έχει ο παίκτης αν απαντήσει σωστά σε 8 ερωτήσεις. ε) Να βρείτε σε πόσες ερωτήσεις πρέπει να απαντήσει σωστά ώστε το κέρδος που θα αποκομίσει να είναι 5000 ευρώ. 59. Ένας εμπορικός αντιπρόσωπος έχει μισθό 600 και 5% επί της αξίας των πωλήσεων που κάνει. α) Να εκφράσετε τις μηνιαίες αποδοχές y του αντιπροσώπου σαν συνάρτηση των πωλήσεων x που κάνει. β) Ποια πρέπει να είναι η αξία του εμπορεύματος που πρέπει να πουλήσει,ώστε οι μηνιαίες του αποδοχές να είναι 100. γ) Αν πουλήσει εμπορεύματα αξίας 4000,να βρείτε τις μηνιαίες του αποδοχές. δ) Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος α) 60. Μια τηλεφωνική εταιρεία χρεώνει τους συνδρομητές της με 15 το μήνα και 0,00 το λεπτό ομιλίας. α) Να εκφράσετε το ποσό y που πληρώνει ένας συνδρομητής το μήνα σαν συνάρτηση των x λεπτών της ομιλίας του το μήνα. β) Πόσα λεπτά πρέπει να μιλήσει το μήνα ώστε να πληρώσει 5. γ) Αν μιλήσει 400 λεπτά πόσο θα πληρώσει το μήνα δ) Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος α) 61. Ένας επαγγελματίας οδηγός πληρώνεται 0 για φαγητό και 0,4 για κάθε χιλιόμετρο που καλύπτει. α) Να εκφράσετε το ποσό y που πληρώνεται ο οδηγός σαν συνάρτηση των x χιλιομέτρων που καλύπτει. β) Πόσα χιλιόμετρα πρέπει να καλύψει ώστε να εισπράξει 100. γ) Αν καλύψει 400 χιλιόμετρα πόσα θα εισπράξει; δ) Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος α) 6. Ένας υπάλληλος πληρώνεται 10 την ώρα και επιπλέον 1,5 για κάθε προϊόν που κατασκευάζει κάθε ώρα. α) Να εκφράσετε το ποσό y που πληρώνεται ο υπάλληλος σαν συνάρτηση των x προϊόντων που κατασκευάζει την ώρα. β) Πόσα προϊόντα πρέπει να κατασκευάσει ώστε να πληρωθεί 40 την ώρα γ) Αν κατασκευάσει 10 προϊόντα την ώρα πόσα θα εισπράξει; δ) Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος α) 1

14 6. Το σουβλατζίδικο της γειτονιάς έχει προσφορά την Τετάρτη. Κάθε σουβλάκι κοστίζει 0,80 και η coca-cola 1. Ο Κώστας, ο Πέτρος και ο Γιάννης πηγαίνουν να φάνε. Ο Κώστας παίρνει μόνο σουβλάκια. Ο Πέτρος παίρνει σουβλάκια και μία coca-cola. Ο Γιάννης παίρνει σουβλάκια και δύο coca-cola. Αν με x συμβολίσουμε <<πόσα σουβλάκια αγόρασε>> και με y συμβολίσουμε <<πόσα χρήματα έδωσε>> ο καθένας, τότε: α) Να βρείτε τη συνάρτηση που περιγράφει το <<πόσα χρήματα έδωσε>> ο Κώστας β) Να βρείτε τη συνάρτηση που περιγράφει το <<πόσα χρήματα έδωσε>> ο Πέτρος γ) Να βρείτε τη συνάρτηση που περιγράφει το <<πόσα χρήματα έδωσε>> ο Γιάννης δ) να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων των ερωτημάτων α),β),γ) ε) Πόσα σουβλάκια πρέπει να αγοράσει ένας περαστικός από το σουβλατζίδικο ώστε να ξοδέψει 0 αν γνωρίζουμε ότι αγόρασε coca-cola. 64. Η εταιρεία που ανέλαβε τη φωτογράφηση της τελετής αποφοίτησης ενός σχολείου χρεώνει για το βασικό πακέτο 50 και 1 για κάθε επιπλέον φωτογραφία. α) Να εκφράσετε το ποσό y που πληρώνει ένας μαθητής για x επιπλέον φωτογραφίες. β) Πόσες επιπλέον φωτογραφίες πρέπει να πάρει ένας μαθητής ώστε να πληρώσει 75. γ) Αν πάρει 4 ο επιπλέον φωτογραφίες πόσα θα πληρώσει ; δ) Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος α) Συνδυαστικά θέματα 65. Να σχεδιάσετε στο ίδιο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων χοy τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που έχουν τύπους y=x-7 και y=-x-1. Να αποδείξετε ότι τέμνονται και, κατόπιν, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής αυτών των γραφικών παραστάσεων και να επαληθεύσετε (υπολογιστικά) ότι το σημείο που βρήκατε ανήκει και στις δύο γραφικές παραστάσεις. 66. Μια ευθεία έχει κλίση 4 5 και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,-4). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας αυτής. β) Να βρείτε το σημείο τομής Β της ευθείας με τον άξονα χ χ. γ) Να υπολογίσετε την απόσταση AB των παραπάνω σημείων. δ) σνα βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων. 67. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση x y 1 4 α) Να βρείτε το σημείο τομής A της ευθείας με τον άξονα χ χ. β) Να βρείτε το σημείο τομής B της ευθείας με τον άξονα y y γ) Να υπολογίσετε την απόσταση AB των παραπάνω σημείων. δ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων. 68. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση x y α) Να βρείτε το σημείο τομής A της ευθείας με τον άξονα χ χ. β) Να βρείτε το σημείο τομής B της ευθείας με τον άξονα y y 14

15 γ) Να υπολογίσετε την απόσταση AB των παραπάνω σημείων. δ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων H ευθεία με εξίσωση y ( 1) x είναι παράλληλη στη διχοτόμο της 1ης και ης γωνίας 5 των αξόνων και διέρχεται από το σημείο 0, 4. α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ και να γράψετε την εξίσωση της ευθείας. β) Να βρείτε το σημείο τομής B της ευθείας με τον άξονα χ χ γ) Να υπολογίσετε την απόσταση AB των παραπάνω σημείων. δ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων. 70. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθογωνίων αξόνων το ορθογώνιου ΑΒΓΔ, του οποίου οι πλευρές ανήκουν στις ευθείες y = 7, y =1, x = -4 και x = -9. α) Να σχεδιάσετε τις παραπάνω ευθείες στο ίδιο σύστημα αξόνων. β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνονται οι παραπάνω ευθείες γ) Τα σημεία που βρήκατε στο β) ερώτημα είναι κορυφές ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου Να υπολογίσετε : i) την περίμετρο του ορθογωνίου αυτού ii) το εμβαδόν του ορθογωνίου iii) το μήκος μιας διαγωνίου του. 71. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθογωνίων αξόνων το ορθογώνιου ΑΒΓΔ, του οποίου οι πλευρές ανήκουν στις ευθείες y = -, y =4, x = -11 και x = -16. α) Να σχεδιάσετε τις παραπάνω ευθείες στο ίδιο σύστημα αξόνων. β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνονται οι παραπάνω ευθείες γ) Τα σημεία που βρήκατε στο β) ερώτημα είναι κορυφές ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου Να υπολογίσετε : i) την περίμετρο του ορθογωνίου αυτού ii) το εμβαδόν του ορθογωνίου iii) το μήκος μιας διαγωνίου του. 7. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις τεσσάρων ευθειών. α) Να βρείτε τους τύπους των τεσσάρων ευθειών. β) Ποιες είναι οι συντεταγμένες των σημείων Α,Β,Γ και Δ. γ) Να υπολογίσετε : i) την περίμετρο του ορθογωνίου ΑΒΓΔ ii) το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ iii) το μήκος της διαγωνίου ΒΔ. 15

16 7. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις τεσσάρων ευθειών. α) Να βρείτε τους τύπους των τεσσάρων ευθειών. β) Ποιες είναι οι συντεταγμένες των σημείων Α,Β,Γ και Δ. γ) Να υπολογίσετε : i) την περίμετρο του ορθογωνίου ΑΒΓΔ ii) το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ iii) το μήκος της διαγωνίου ΒΔ. 16

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ : y = α.x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται η ευθεία y = 3x. α) Να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας. β) Να κάνετε την γραφική της παράσταση. 2. Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Α(,.

4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Α(,. 1. Τι ξέρετε για τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων της μορφής ; Πώς ονομάζεται το ; Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων της μορφής, είναι ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Το ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση, Τιμές συνάρτησης, Πίνακας Τιμών. Τι ονομάζουμε πίνακα τιμών μιας συνάρτησης;

Συνάρτηση, Τιμές συνάρτησης, Πίνακας Τιμών. Τι ονομάζουμε πίνακα τιμών μιας συνάρτησης; ΣΤΟΛΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ 1 Ονοματεπώνυμο μαθητή : Ημερομηνία :.../.../20... Μαθηματικές έννοιες: Συνάρτηση, Τιμές συνάρτησης, Πίνακας Τιμών. Θυμόμαστε- Μαθαίνουμε: Τι ονομάζουμε συνάρτηση;.. Τι ονομάζουμε πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

2 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΤΑΞΗ: Β ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ Α. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης με το αντίστοιχο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 η ( x 2) 2. i) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, αν χ = 0. ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β, αν χ = 2 2 [ 3 8 ( 3) ]

Άσκηση 1 η ( x 2) 2. i) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, αν χ = 0. ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β, αν χ = 2 2 [ 3 8 ( 3) ] ά ς w w w.e - m at hs.g r ά έ ί ς ά ά έ ά ς ί ά Άσκηση 1 η i) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, αν χ = 0 4 2 3 3 6 3 ( x 2) 2 x 1 x x 1 x 2 ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β, αν χ = 2 3 27 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Συνάρτηση ονομάζεται η αλληλεξάρτηση (ή η σχέση) δυο μεταβλητών εις τρόπον ώστε για κάθε τιμή της μιας

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1 Στοιχεία Συναρτήσεων 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 1 α. f() β. f() 3 6 8 3 1 γ. g() δ. g() ( 6)( 5) 4 ε. h() 4 στ. h() 4 ζ. ε. στ. 1 φ() η. 1 1 1 r() 5 6 1 r() 1 5 6 φ() 5. Στις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Α)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Α) ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Α) 1. Τι ξέρετε για τη γραφική παράσταση της οικογένειας συναρτήσεων με εξίσωση ; H γραφική παράσταση της για κάθε πραγματική τιμή του είναι ευθεία γραμμή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x 1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Ευθεία ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ η ΕΚΑ Α 11. Στο λογαριασµό του ΟΤΕ πληρώνουµε πάγιο τέλος κάθε µήνα 1 και για κάθε µονάδα οµιλίας 0,09. Να βρείτε έναν τύπο που να µας δίνει το ποσό των χρηµάτων y που θα πληρώσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών Μαθηματικά Β Γυμνασίου Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών 1. Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: a. Η διαφορά δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 015 016 Βαθμός αριθμητικώς:. =. 100 0 Ολογράφως: Υπογραφή Εισηγητή: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 016 Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη: B Ημερομηνία: 15 Ιουνίου 016

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011 2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΒΑΘΜΟΣ ΤΑΞΗ : Β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ : ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 2 ώρες ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 15.06.2012 ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΛΑΚΑΤΑΜΕΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:...ΤΜΗΜΑ:...ΑΡ.:... (α) Να ελέγξετε ότι το γραπτό αποτελείται από 11 σελίδες.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΛΑΚΑΤΑΜΕΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:...ΤΜΗΜΑ:...ΑΡ.:... (α) Να ελέγξετε ότι το γραπτό αποτελείται από 11 σελίδες. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΛΑΚΑΤΑΜΕΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011 2012 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΒΑΘΜΟΣ Αρ.:..... Ολογρ.:..... ΥΠΟΓΡΑΦΗ:..... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05.06.2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά».

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά». Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1 και ε ονομάζονται «εντός» (των ευθειών)και όλες οι άλλες «εκτός». Οι γωνίες B 4, B 3, 1, είναι εντός

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1 Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 50 5 Κεφ.. Ο όγκος του διπλανού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου εκφράζεται µε τη συνάρτηση V() = ( )( ). Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης αυτής είναι το διάστηµα : A. [0, + ] B.

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx 2 + βx + γ µε α 0

4.2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx 2 + βx + γ µε α 0 1. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = α + + γ µε α 0 ΘΕΩΡΙΑ 1. Τετραγωνική συνάρτηση : Ονοµάζεται κάθε συνάρτηση της µορφής y = α + + γ, α 0. Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α + + γ, α 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση α) Να υπολογίσετε το άθροισμα (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της f με τους άξονες.

Διαβάστε περισσότερα

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο εργασίας Νο1. Ορθοκανονικό Σύστημα Ημιαξόνων, Συντεταγμένες Σημείου. Το ορθοκανονικό σύστημα αποτελείται από δύο ημιευθείεςοχ και Οy ώστε:

Φύλλο εργασίας Νο1. Ορθοκανονικό Σύστημα Ημιαξόνων, Συντεταγμένες Σημείου. Το ορθοκανονικό σύστημα αποτελείται από δύο ημιευθείεςοχ και Οy ώστε: 9 ο Γυμνάσιο Αθηνών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κεφάλαιο 6: ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Φύλλο εργασίας Νο1 1 Ονοματεπώνυμο μαθητή : Ημερομηνία :.../.../20... Μαθηματικές έννοιες: Ορθοκανονικό Σύστημα Ημιαξόνων,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 16 / 6 / 2014 Αριθμητικά :.... ΒΑΘΜΟΣ:... ΤΑΞΗ: Γ Ολογράφως:......

Διαβάστε περισσότερα

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ;

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: B ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; B. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: i. Αν α 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του ΕΠΑΝΑΗΠΤΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: 1) 3 ) 3) 5 3 3 5 3 5) 5 4) 3 5 6) ( α 3 + 3β ) 7) (7 + )(7 ) 8) (β 4 + 1)(β + 1)(β + 1)(β 1). Να κάνετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii)

B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii) Πιθανότητες.3096. α) Αν Α,Β,Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii)

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2017

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2016-2017 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ : 100 20 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 26 /5/2017 ΒΑΘΜΟΣ:... ΤΑΞΗ: Α Αριθμητικά:.... ΧΡΟΝΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα