Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Transcript

1 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Jadranska ulica Ljubljana Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev v elektronski obliki, natis in uporabo gradiva v tem dokumentu za lastne potrebe kupca in za potrebe njegovih ožjih družinskih članov. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva v tem dokumentu, vključno s tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano. Referenčna koda in čas nakupa sta zapisana ob vsaki strani tega dokumenta.

2 5. TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE IN Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 7. razred 15. maj 1999 Čas za reševanje je 10 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na ovitek, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA. Rezultati bodo najhitreje vidni na internet naslovu Vrednost izraza ( 0,4) ( 0,8) : ( 0,8) ( 0,4) je 1,5 % nekega števila. Katerega? : ( ). naloga Mojca je nakupovala v štirih različnih trgovinah. V vsaki trgovini je zapravila 1000 tolarjev več kot polovico zneska, ki ga je imela pri sebi, ko je vstopila vanjo. Koliko denarja je imela na začetku, če je za nakupe porabila ves denar?. naloga 101 Ulomek zapiši kot vsoto dveh ulomkov, katerih imenovalca bosta 5 in, 110 števca pa naravni števili. 4. naloga Na sliki je prikazan cestni ovinek. Koliko kvadratnih metrov asfaltne prevleke je na ovinku, če je cesta široka 10 m? ( AC = BD = 55 m ) Enakokrakemu trapezu s ploščino 1 cm včrtamo krog s premerom cm. Izračunaj obseg tega trapeza. A 60 o C D B

3 REŠITVE NALOG 7. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran 1 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 ( 0,4) ( 0,8) : 8 : = = ( 0,8) ( 0,4) t : = 4, = ,5 % od x = 8, x = t 5 To število je 68..naloga Porabila je: x - v 1. trgovini: x - v. trgovini: od = x x - v. trgovini: od = x x - v 4. trgovini: od = Enačba : x x x x x = 0000 x = x.. x 16 = ali Mojca je na začetku imela 0000 tolarjev.. naloga Označimo števca ulomkov z a in b. 101 a + 5b = a + 5b = a =, b = 7... t = t t

4 REŠITVE NALOG 7. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran 4.naloga p 1 B D Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 A 60 o C m, 55 m p AD = 65 AC = π p 1 = (65 55 ) 6 = 00π p 1 p 1 68 m.... t π p = (65 55 ) 4 = 00π p 94 m p = p 1 + p p... t p 1570 m Na cestnem ovinku je približno 1570 m asfaltne prevleke. A D c S a C r b r r r b B Če središče kroga S povežemo z oglišči trapeza ABCD, dobimo štiri trikotnike: ABS, BCS, CDS in DAS, ki imajo višino r, za osnovnice pa stranice trapeza.... ar br cr br pabs =, pbcs =, pcds =, pdas =.. r Ploščina trapeza: p ABCD = ( a + b + c).. Za r = cm, p = 1 cm velja o = a + b + c = 16 cm t

5 5. TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE IN Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 8. razred 15. maj 1999 Čas za reševanje je 10 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na ovitek, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA. Rezultati bodo najhitreje vidni na internet naslovu Graf linearne funkcije y = x 4 seka abscisno os v točki M, graf funkcije y = x + 6 pa ordinatno os v točki N. Grafa se sekata v točki P. a) Nariši grafa funkcij in določi koordinate točk M, N in P. b) Izračunaj ploščino štirikotnika OMPN (O je koordinatno izhodišče). c) Izračunaj dolžino daljice MP.. naloga Kolikšna je vsota vseh lihih števil med 56 in 64?. naloga Miha je sodeloval na matematičnem tekmovanju. Rešiti je moral 0 nalog, ki so bile razdeljene v dve skupini. V prvi skupini je bilo 10 nalog, za vsak pravilen odgovor je dobil 4 točke, za nepravilnega je izgubil točki. V drugi skupini je vsak pravilni odgovor prinesel 6 točk, za nepravilnega pa je izgubil točke. Miha je reševal vseh 0 nalog. Iz prve skupine je pravilno rešil dvakrat toliko nalog kot iz druge in skupaj dosegel 4 točk. Koliko nalog je Miha pravilno rešil? 4. naloga Skica prikazuje vhod v predor. V predoru je 18,5 miligramov žveplovega dioksida, v vsakem kubičnem metru zraka ga je 0,04 miligrama. Izračunaj dolžino predora. ( π,14) Ploščino in obseg osenčenega lika izrazi z a. Dobljena izraza poenostavi. a a a a 6 m a a m 6 m

6 REŠITVE NALOG 8. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran 1 a) y N P y=- 1 x+6 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 b) c) y= 4 x-4 M x M (,0), N(0,6), P(6,4) p = 6 OMPN ali 4 + p = 4 t OMPN = + 4 MP MP = naloga Označimo vsoto s črko S. S = Vseh lihih števil med 56 in 64 je S = (57 + 6) + ( ) + h + ( ) + h Delna vsota je 40.. Takih vsot je S = = 40 Vsota vseh lihih števil med 56 in 64 je 40. t naloga Označimo z x število pravilno rešenih nalog iz druge skupine. V prvi skupini je dosegel x 4 + (10 x)( ) točk... V drugi skupini je dosegel x 6 + (10 x)( ) točk.... Enačba: x 4 + (10 x)( ) + x 6 + (10 x)( ) = 4 ali 8 x (10 x) + 6x (10 x) = 4... Rešitev: x = 4... Odgovor: Miha je pravilno rešil 8 nalog iz prve skupine in 4 naloge iz druge skupine. Skupaj torej 1..

7 REŠITVE NALOG 8. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 4. naloga V predora 18,5 = 0,04 m V predora = 1 m.. 9π ), 1 m O = ( 18 + m O... t d dolžina predora d = 1:,1 d = 100 m Predor je dolg približno 100 m.... C Obseg osenčenega lika: a a a 1 a o = + π.... a D E a aπ a a o = + A a B ( + π) o = a Ploščina osenčenega lika: a a + a a π a p = ali a π a a a π p = 16 1 (9 4π) p = a 48 t t

8 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Jadranska Ljubljana Zavod RS za šolstvo Poljanska Ljubljana Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 6. TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE 7. razred 0. maj 000 Čas za reševanje je 10 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na ovitek, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA. Rezultati bodo najhitreje (6.5.) vidni na internet naslovu Izračunaj vrednost ulomka naloga Tekmovanje iz matematike poteka istočasno v Ljubljani, Mariboru, Celju, Kopru, Kranju, Novi Gorici in v Novem mestu. Letos tekmuje 0 sedmošolcev. V Mariboru jih tekmuje petkrat toliko, v Ljubljani šestkrat toliko, v vsakem od ostalih mest pa po dvakrat toliko kot v Novi Gorici, kjer jih tekmuje najmanj. Koliko sedmošolcev tekmuje v posameznih mestih?. naloga Namesto črk x, y, z zapiši take števke, da bo potenca dvomestnega števila trimestnemu številu yzy ( xy x = yzy ). Odgovor utemelji x xy enaka 4. naloga V krogu s središčem S in polmerom r narišemo središčni kot α. Krožni izsek, ki pripada središčnemu kotu α, ima ploščino 49π cm, omejujejo ga krožni lok dolžine 7π cm in polmera. Izračunaj polmer kroga in središčni kot α. Pravokotnemu trikotniku ABC (AC in BC sta kateti, AB je hipotenuza) je vrisana polkrožnica, ki se dotika katet v točkah E in F in ima središče S na hipotenuzi. Utemelji, da velja: EF = SC.

9 REŠITVE NALOG 7. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran 1 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0: Števec ulomka: 8 ali 1 1 ali Imenovalec ulomka: = = = 8 ali ali Ulomek: = ali = ali = = naloga V vseh sedmih mestih skupaj tekmuje 0-krat toliko sedmošolcev kot v Novi Gorici. t Ker je vseh tekmovalcev 0, jih v Novi Gorici tekmuje t Odg.: V Ljubljani tekmuje 66 sedmošolcev, v Mariboru 55, v Kopru, Kranju, Celju in Novem mestu pa po..... naloga x Za x = 1 je potenca xy dvomestno število, za x = pa petmestno. Trimestno število je le za x =.... t y = yzy y je lahko le 1 ali 6... Za y = 1 je 1 = 441 in y ne more biti Za y = 6 je 6 = 676, Torej je x =, y = 6, z = naloga p i l r = 7π r 49π = = 14 cm π α l = r 180 π 14 α 7π = o 180 o = 90 r... t o α... t

10 REŠITVE NALOG 7. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 SE = SF = r... SF AC, SE BC FS = CE, ES = CF... t Štirikotnik SECF je kvadrat.... FE in SC sta diagonali kvadrata, zato velja EF = SC....

11 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Jadranska Ljubljana Zavod RS za šolstvo Poljanska Ljubljana Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 6. TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE 8. razred 0. maj 000 Čas za reševanje je 10 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na ovitek, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA. Rezultati bodo najhitreje (6.5.) vidni na internet naslovu Izračunaj vrednost izraza 1 n 1 x : x n 1 x 4 : x n+ 1 n 1. naloga Določi najmanjšo vrednost izraza x + y + z + 4x 10z naloga V trapezu ABCD merita osnovnici BC = b = 5 cm. Vsota notranjih kotov ob daljši osnovnici je Kolikšna je dolžina kraka d? ( AD = d ) 4. naloga Listič papirja pravokotne oblike ( a = 4 cm, b = cm ) prepognemo po diagonali, kot je prikazano na skici. Izračunaj obseg in ploščino nastalega petkotnika. za x = in n =. AB = a = 15 cm in CD = c = cm ter krak 90. Iz pravilne enakorobne šeststrane prizme z robom a smo izrezali tristrano prizmo, kot kaže slika tlorisa. a) Kolikšna je prostornina tristrane prizme? b) Koliko odstotkov prostornine pravilne enakorobe šeststrane prizme je prostornina tristrane prizme?

12 REŠITVE NALOG 8. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran 1 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 1 = : ( ) 1 1 = ( ) 4 1 =... 1 ( ) : 16 1 = = 1 = 1... t ali. naloga 1 1 : ( ) = : = 1 : : 4 5 ( ) ( ) = : 1 16 = 16 ( ) = 1 = 1 = =... ( + 4x) + y + ( z 10z) x... ( + ) 4 + y + ( z 5) ( + ) + y + ( z 5) x... t x... Odg.: Najmanjša vrednost izraza je () (t) () ()

13 REŠITVE NALOG 8. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5. naloga 4. naloga d D C β A c E a-c B c b Skozi oglišče C narišemo vzporednico kraku d. EC AD Trapez razdelimo na: paralelogram ( AE = cm) trikotnik ( BE = 1 cm, BCE = 90 ) ABCD in... BCE... t = 1 5 in CE = 1 cm = CE = d = 1 cm CE... AD Dolžina kraka d je 1 cm.... = a + b, d = 5 cm d... b + = x a x ( ) a b 7 =, x = cm x a 8 = d + b + x, o = 1 cm o = 1,75 cm 4 ab xb 5 = +, p = 7 cm p 7,1 cm 16 ( = 0,875 cm) x... o... Obseg petkotnika: ( ) p... Ploščina petkotnika: ( ) a) tristrana prizma: a GH =, KE = a a O = a V = b) pravilna enakoroba šeststrana prizma: a 9a a : = 16 8 V =... c) ( 7,5 %) Odg.: Prostornina izrezane tristrane prizme je 7,5 % prostornine pravilne enakorobe šeststrane prizme.... t

14 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Zavod RS za šolstvo Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 Jadranska Ljubljana 7. TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE 7. razred 19. maj 001 Poljanska Ljubljana Navodila za šifriranje: Na mizi imaš prijavni list, tekmovalno polo formata A in pritožni list. Nadzorni učitelj ti bo ponudil komplet treh šifer. Eno nalepi na prijavni list, kjer preveri svoje podatke in ga podpiši, drugo na tekmovalno polo, tretjo pa na pritožni list. List z nalogami in pritožni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritožni list. Čas za reševanje je 10 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na tekmovalno polo, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA. Dosežki bodo najhitreje (6.5.) vidni na internet naslovu naloge in rešitve pa že danes. Reši enačbo: 0,5 0,0,5 : 0,09 : x = 0,4 5 0, : 4. naloga Slovenija meri 056 km (približno 0000 km ) in ima prebivalcev (približno prebivalcev). a) Koliko kvadratnih metrov ozemlja povprečno pripada enemu prebivalcu Slovenije? b) Pri nas je 17,5 % (približno 18 %) prebivalcev, ki so mlajši od 15 let. Zamislimo si, da bi iz ozemlja, ki pripada tem otrokom, naredili»deželo otrok«v obliki kvadrata. Koliko bi merila stranica kvadrata? c) Ali bi bil obroč okoli»dežele otrok«sklenjen, če bi se v razmiku enega metra vsi starejši od 15 let prijeli za roke? Opomba: Za računanje uporabi približne vrednosti v oklepajih.. naloga V pravokotnem trikotniku ABC meri kot med simetralo pravega kota in višino na hipotenuzo 14. Izračunaj velikosti ostrih kotov tega trikotnika. 4. naloga Vsota štirih naravnih števil je Če prvemu številu prištejemo 4, od drugega odštejemo 4, tretje število pomnožimo s 4 in četrto število delimo s 4, dobimo enake rezultate. Katera števila so to? Pravokotni trikotnik ABC ima ploščino 1 m. Če vsako oglišče prezrcalimo čez nosilko nasprotne stranice, dobimo trikotnik A' B' C'. Izračunaj ploščino trikotnika A' B' C'. Nariši sliko.

15 REŠITVE NALOG 7. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran 1 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 0,5,5 : = ,0 0,09 : = 9 0, 0,4 : = x = 16 4 x = x = 4... Rešitev enačbe je x = 4..naloga km = km = m Enemu prebivalcu Slovenije pripada povprečno m ozemlja. 18 % od 0000 km = 600 km km ozemlja pripada prebivalcem, mlajšim od 15 let. Stranica kvadrata meri 60 km... Prebivalcev, mlajših od 15 let, je 60000,. Starejših od 15 let je Obroč starejših od 15 let bi bil dolg m = 1640 km, obseg kvadrata pa je le 40 km. Obroč bi bil sklenjen.. naloga C B β 45 o s γ Ostra kota merita 1 in 59 Pravilno izračunana velikost enega od t kotov,. 14 o drugega pa.. t α A

16 REŠITVE NALOG 7. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 4.naloga Npr.: Označimo iskana števila z a, b, c, in d, enak rezultat pa s t. a = t 4 b = t + 4 t t.. c = 4 d = 4t a + b + c + d = 1000 t t 4 + t t = t = a = 156, b = 164, c = 40, d = 640. To so števila 40, 156, 164 in 640. B C N A A C M B slika. ploščina trikotnika A' B' C' : A' B' MC' p = A ' B' = AB (lastnost zrcaljenja).. MC' = CN (lastnost zrcaljenja) Ploščina trikotnika A' B' C' je trikrat večja od ploščine trikotnika ABC, torej meri m. t

17 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Zavod RS za šolstvo Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 Jadranska Ljubljana 7. TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE 8. razred 19. maj 001 Poljanska Ljubljana Navodila za šifriranje: Na mizi imaš prijavni list, tekmovalno polo formata A in pritožni list. Nadzorni učitelj ti bo ponudil komplet treh šifer. Eno nalepi na prijavni list, kjer preveri svoje podatke in ga podpiši, drugo na tekmovalno polo, tretjo pa na pritožni list. List z nalogami in pritožni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritožni list. Čas za reševanje je 10 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na tekmovalno polo, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA. Dosežki bodo najhitreje (6.5.) vidni na internet naslovu naloge in rešitve pa že danes Določi števila x, y in z, za katera velja + = 1999, + = 000 in + = 001. x y y z z x. naloga Andrej, Bine in Cene preživljajo praznike pri babici. Da bi jih razveselila, jim prinese škatlo bonbonov. Najprej vzame Andrej iz škatle enega več kot polovico vseh bonbonov, potem Bine polovico preostalih in še enega, Cene polovico preostalih in še tri. Tako so si razdelili vse bonbone. Izračunaj, koliko bonbonov je bilo v škatli.. naloga 7 Določi ulomek, ki je enak ulomku, vsota njegovega števca in imenovalca pa je najmanjši možni 95 kvadrat nekega števila. 4. naloga Pravokotni trikotnik ABC ima kateti dolgi 4 cm in cm. Nosilka daljše katete je tangenta kroga, ki ima središče na hipotenuzi tega trikotnika in gre skozi krajišče krajše katete. Izračunaj ploščino kroga. Iz lesene kocke z robom a izrežemo tristrano prizmo, kot kaže slika tlorisa. a) Koliko odstotkov je odpadkov? b) Kolikokrat je površina kocke večja od ploščine osnovne ploskve tristrane prizme? Potrebne podatke poišči na sliki. a a A C B

18 REŠITVE NALOG 8. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran 1 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 Npr.: Če seštejemo + = 1999, + = 000 in + = 001, x y y z z x dobimo + + = 6000 in + + = 000 x y z x y z t 1 1 Vstavimo + = 1999 x y 1 in dobimo = = 1001, z 1 nato pa z = Podobno je y = in x = naloga Npr.: Označimo število bonbonov v škatli z x. x Andrej: 1 +. x 1 Bine: 4 +. x 9 Cene: x x 1 x = x x = 0 Odg.: V škatli je bilo 0 bonbonov... naloga 7 Označimo število, s katerim moramo pomnožiti števec in imenovalec ul. z n n.. 95 n 7 n + 95 n = 168 n 168 n = 7 ( 7) n = 7 = = = Iskani ulomek je.. 990

19 REŠITVE NALOG 8. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 4. naloga B cm C r S r N 4 cm 5π Ploščina kroga: = cm ( 11,04 cm ) A AB = 5 cm = c Iz podobnih trikotnikov ABC ~ ASN sledi c : a = ( c r) : r 5 : = ( 5 r ) : r.. 15 r = cm ( 1,875 cm). 8 p 64. Kocka z robom a: V K = a Tristrana prizma: Osnovna ploskev: 1 a O a P = a O P =.. t 4 Prostornina: a V P =. 4 Odpadki: VK VP = a = 75 % a 4 Odpadkov je 75 %... a PK : OP = 6a : = 4 4 Površina kocke je 4-krat večja od ploščine osnovne ploskve tristrane prizme. t

20 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Zavod RS za šolstvo Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 Jadranska Ljubljana 8. TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE 7. razred 0. april 00 Poljanska Ljubljana Navodila za šifriranje: Na mizi imaš prijavni list, tekmovalno polo formata A in pritožni list. Nadzorni učitelj ti bo ponudil komplet treh šifer. Eno nalepi na prijavni list, kjer preveri svoje podatke in ga podpiši, drugo na tekmovalno polo, tretjo pa na pritožni list. List z nalogami in pritožni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritožni list. Čas za reševanje je 10 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na tekmovalno polo, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA. Dosežki bodo najhitreje (7.4.) vidni na internet naslovu naloge in rešitve pa že danes. Izračunaj vrednost izraza: , ( ) ( ) 9 4,5 : 1 =. naloga Akvarij, ki je visok 5 cm, stoji na mizi. Ko vanj nalijemo 50 litrov vode, sega voda 0 cm visoko. Največ koliko litrov vode lahko nalijemo v akvarij?. naloga Smrklja in Kenguru sta skupaj kolesarila. Ko sta imela do doma še 15 km, se je Smrklja ustavila in km si privoščila 5 minut počitka. Kenguru pa ni počival, ampak je vozil dalje s hitrostjo 0. Ko se h je Smrklja odpočila, je nadaljevala pot proti domu s 5 % večjo hitrostjo kot Kenguru. a) Kdo je prvi prikolesaril domov? b) Kolikšna je bila časovna razlika med prihodoma domov? 4. naloga Izračunaj vrednosti števila x ( x Z), za katere je tudi vrednost ulomka x + 9 x + 4 celo število. Trapez ABCD ima ploščino p. Točko E, ki je središče (razpolovišče) kraka AD, zvežemo z ogliščema B in C. Kolikšen del ploščine trapeza je ploščina trikotnika BCE? Utemelji z računom.

21 REŠITVE NALOG 7. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran 1 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0: , = ( 9 4,5) = = ( 4) 4 = 16..naloga Nalogo rešimo s sklepanjem, npr.: 1 cm visoko sega,5 l vode. t 5 cm visoko sega ( 5,5 l = 87,5 l ) 87,5 litrov vode.. t Odg.: V akvarij lahko nalijemo največ 87,5 l vode.... naloga 15 a) Kenguru prikolesari domov v: h = 45 min. 0 Smrklja: km vozi do doma s hitrostjo 5.. h porabi do doma 15 5 h + 5 min = 41 min. Odg.: Smrklja je prva prikolesarila domov... b) Smrklja je bila za 4 minute hitrejša od Kenguruja....

22 REŠITVE NALOG 7. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 4.naloga x + 9 x = + x + 4 x + 4 x + 4 x = 1+ x + 4 x Ulomek x + 4 mora biti celo število; imenovalec (x+4) je 1 ali 1 ali 5 ali 5. x + 4 = 1, x = x + 4 = 1, x = 5. x + 4 = 5, x = 1 x + 4 = 5, x = 9.. x + 9 Odg.: Ulomek x + 4 je celo število, če je x { 1,, 5, 9}... A E D s C v F v B v Ploščina trikotnika BCE : p = p + p BCE p EFC p BFE EFC BFE = 1 s v = 1 s v s v p BCE = 1 p BCE = p ABCD..

23 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Zavod RS za šolstvo Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 Jadranska Ljubljana 8. TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE 8. razred 0. april 00 Poljanska Ljubljana Navodila za šifriranje: Na mizi imaš prijavni list, tekmovalno polo formata A in pritožni list. Nadzorni učitelj ti bo ponudil komplet treh šifer. Eno nalepi na prijavni list, kjer preveri svoje podatke in ga podpiši, drugo na tekmovalno polo, tretjo pa na pritožni list. List z nalogami in pritožni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritožni list. Čas za reševanje je 10 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na tekmovalno polo, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA. Dosežki bodo najhitreje (7.4.) vidni na internet naslovu naloge in rešitve pa že danes. Reši enačbo: = x. naloga Trgovec je dobil pošiljko, v kateri je bilo 480 kozarcev več majoneze kot kozarcev gorčice. Potem ko je prodal 80 % kozarcev majoneze in četrtino kozarcev gorčice, je ugotovil, da ima sedaj 00 kozarcev več gorčice kot majoneze. Koliko kozarcev majoneze in koliko kozarcev gorčice je bilo v pošiljki?. naloga Tone je na mizi iz najlonske vrvi oblikoval krožnico s polmerom 10 cm. Nato jo je z dveh strani stiskal z vzporednima zidakoma (glej sliko!), dokler razdalja med njima ni bila 10 cm. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejuje stisnjena vrv. 4. naloga V tristrano prizmo, katere osnovna ploskev je enakokrak pravokotni trikotnik, lahko včrtamo kroglo (dotika se vseh mejnih ploskev prizme) s premerom cm. Izračunaj prostornino prizme.. Nariši premico p, ki poteka skozi eno oglišče (npr.: D) in trapez razdeli na dva ploščinsko enaka dela. Opiši in utemelji potek načrtovanja. Dan je trapez ABCD ( AB > CD) 7

24 REŠITVE NALOG 8. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran 1 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0: = = = = x = 11 x = x. x = 7 x = naloga Npr.: Označimo z x število kozarcev gorčice. Število kozarcev gorčice: x Število kozarcev majoneze: x x Ko je prodal četrtino kozarcev gorčice, mu je ostalo kozarcev... 4 x Ko je prodal 80 % kozarcev majoneze, mu je ostalo kozarcev... 5 Enačba: x = x Rešitev: x = 70.. Odg.: V pošiljki je bilo 70 kozarcev gorčice in 100 kozarcev majoneze.. naloga Obseg lika je enak obsegu krožnice: o = 0π cm Lik je sestavljen iz dveh polkrogov s polmerom 5 cm in pravokotnika s stranicama 10 cm in 5π cm ( 0π cm 10π cm = 10π cm, 10π cm : = 5π cm ).. Ploščina lika: ploščina kroga s polmerom 5 cm: p = 5π cm.. ploščina pravokotnika s stranicama 10 cm in 5π cm: p p = 50π cm ploščina lika je 75π cm (5,50 cm )...

25 REŠITVE NALOG 8. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično korektne rešitve so enakovredne. stran Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 4. naloga C S r D A E B D C Prizma: v = r ( v = cm) AS = r, AD = r + r.. BD = AD = CD = r( 1+ ) (,41 cm) Osnovna ploskev: ( 1+ ) ( 5,8 cm ) O = r Prostornina prizme: ( 1+ ) r ( ) V = r A M B F p E V = r + za r = 1 cm dobimo: V = + cm ( 11,64 cm.. ( ) ) Narišemo središče kraka BC in ga označimo z E.. Trikotnik CDE prezrcalimo preko E v trikotnik BFE... Trikotnik AFD je ploščinsko enak trapezu ABCD. Narišemo središče stranice AF in ga označimo z M. Ker imata trikotnika AMD in MFD enaki osnovnici ( AM = MF = s ) in enaki višini, je ploščina trikotnika AMD enaka polovici ploščine trapeza ABCD. Premica p, ki gre skozi točki D in M razdeli trapez ABCD na dva ploščinsko enaka dela, na trikotnik AMD in trapez MBCD.

26 1 IN Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Zavod RS za šolstvo Jadranska 19 Poljanska Ljubljana 1000 Ljubljana Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 9. DRŽAVNO TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE 1. april razred Navodila za šifriranje: Na mizi imaš prijavni list, nalepko s šifro, tekmovalno polo formata A in pritožni list. Nalepko nalepi na prvo stran tekmovalne pole, prijavni list in pritožni list pa sta že opremljena s šifro. List z nalogami, prijavni list in pritožni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritožni list. Na prijavnem listu imaš uporabniško ime in geslo, ki ti omogočata, da takoj, ko bo tekmovalna komisija dosežek vnesla v strežnik, svoj dosežek vidiš na naslovu povezava InfoServer, ali preko WAP telefona na naslovu wap.dmfa.si Čas za reševanje je 10 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na tekmovalno polo, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA. Dosežki bodo najhitreje (17.4.) vidni na internet naslovu naloge in rešitve pa že danes. Izračunaj vrednost izraza: ( 9 + ) 5 ( ) ( ) 5 = 5. naloga 17 članski kolektiv izdela na dan določeno število izdelkov. V ponedeljek dveh delavcev ni bilo na delo, vendar bi navzoči delavci radi izdelali predvideno število izdelkov. Koliko odstotkov izdelkov več je moral izdelati vsak od navzočih delavcev?. naloga Na travniku se vsak dan pasejo krave, trava pa ponovno ves čas enakomerno raste. Osem krav bi popaslo vso travo (s prirastom vred) v 10 dneh, 4 krave pa v 0 dneh. Vsaka krava pojé dnevno enako količino trave. V kolikšnem času bi vso travo popaslo 1 krav, če trava ne bi ponovno rasla? 4. naloga Dan je enakokrak trapez ABCD z osnovnicama a = AB, c = CD in višino v = CE. Kolikokrat je ploščina trapeza ABCD večja od ploščine trikotnika AEC? Utemelji. V notranjosti enakokrakega trikotnika ABC (AC = BC, <) ACB = 100 ) leži točka T, tako da merita kota <) T AC = 10 in <) ACT = 0. Izračunaj velikost kota <) CT B. c 00 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni šoli

27 REŠITVE NALOG 7. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično in logično korektne rešitve so enakovredne. stran 1 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0: = ( ) = = = = naloga Označimo z a število izdelkov, ki jih izdela na dan vsak delavec 17 članskega kolektiva. 17 delavcev izdela 17a izdelkov na dan delavcev, vsak izdela (a + x) izdelkov Enačba: 15(a + x) = 17a x = 1, % a Odg.: Vsak od navzočih delavcev mora izdelati 1, % več izdelkov naloga Označimo začetno količino trave s k, enodnevni prirast trave pa s p. Nalogo rešimo s sklepanjem, npr.: 8 krav poje skupno: začetno količino k in 10 enodnevnih prirastov p 80 (8 10) kravjih dnevnih obrokov pomeni k + 10p krave pojedo skupno: začetno količino k in 0 enodnevnih prirastov p 10 (4 0) kravjih dnevnih obrokov pomeni k + 0p kravjih dnevnih obrokov: (k + 0p) (k + 10p) = 0p En enodnevni prirast trave zadošča za dve kravi za en dan Če trava ne bi sproti rasla, bi travnik popaslo 6 krav v 10 dneh. Odg.: Če trava ne bi sproti rasla, bi travnik popaslo 1 krav v 5 dneh c 00 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni šoli

28 REŠITVE NALOG 7. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično in logično korektne rešitve so enakovredne. stran Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 4. naloga A b D c C v b E a c B Npr.: p = a+c v Ploščina trikotnika AEC: AE = a a c = a+c t EC = v p AEC = 1 a+c v Ploščina trapeza je dvakrat večja od ploščine trikotnika t C Glede na sliko: P <) T CR = 50 0 = <) P T C = = 0 = T = T P C je enakokrak (P T = P C) A R <) T P C = = B P T B = P CB (ujemata se v dveh stranicah in kotu med njima)= <) P T B = <) P CB = <) CT B = = c 00 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni šoli

29 4 IN Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Zavod RS za šolstvo Jadranska 19 Poljanska Ljubljana 1000 Ljubljana Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 9. DRŽAVNO TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE 1. april razred Navodila za šifriranje: Na mizi imaš prijavni list, nalepko s šifro, tekmovalno polo formata A in pritožni list. Nalepko nalepi na prvo stran tekmovalne pole, prijavni list in pritožni list pa sta že opremljena s šifro. List z nalogami, prijavni list in pritožni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritožni list. Na prijavnem listu imaš uporabniško ime in geslo, ki ti omogočata, da takoj, ko bo tekmovalna komisija dosežek vnesla v strežnik, svoj dosežek vidiš na naslovu povezava InfoServer, ali preko WAP telefona na naslovu wap.dmfa.si Čas za reševanje je 10 minut. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno na tekmovalno polo, priloženi papir pa služi za razmišljanje. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA. Dosežki bodo najhitreje (17.4.) vidni na internet naslovu naloge in rešitve pa že danes. Kolesar je ob odpeljal iz kraja A v kraj B. Vozil je s hitrostjo 4 km h. V kraju B je počakal 0 minut in se s hitrostjo 0 km h po isti poti vrnil v kraj A, kamor je prispel ob Izračunaj, koliko kilometrov je prevozil kolesar.. naloga Izračunaj vrednosti števila m, tako da se bosta premici z enačbama (m + )y + m + 6 = 0 in (m + 1)x + (m 1)y + m = 0 sekali na ordinatni osi.. naloga Studenec teče v jezero. Vsak dan priteče v jezero enaka količina vode. 18 konj bi popilo vso vodo v enem dnevu (torej bi v 4 urah izpraznili jezero). 7 konj bi izpraznilo jezero v 5 dneh. V kolikšnem času bi popil vso vodo en konj? 4. naloga Dolžina daljice AB na sliki je cm. Koliko kvadratnih centimetrov meri ploščina krožnega kolobarja? Kocko ABCDEF GH z robom a presekamo z ravnino skozi središča (razpolovišča) robov AB, BC, CG, GH, HE in AE. Ploščina preseka je 75 cm. Izračunaj površino kocke. c 00 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni šoli E A A H D F B B G C

30 5 REŠITVE NALOG 8. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično in logično korektne rešitve so enakovredne. stran 1 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5. naloga Čas vožnje: 4 ure Označimo dolžino poti v eno smer z x. x Dobimo enačbo: x 0 = 4 ( x ali 4 + x 0 = ) t x = Odgovor: Kolesar je prevozil 80 km Upoštevamo, da je x = 0 in dobimo iz. enačbe: (m 1)y + m = 0 = y = m m To vstavimo v 1. enačbo: (m + ) m m 1 + m + 6 = m + 6m = 0 (ali m 6 = 0) m(m 6) = 0 m 1 = m = naloga Označimo količino (prostornino) vode v jezeru z V j, količino (prostornino) vode, ki v jezero priteče v 1 dnevu z V 1d. Nalogo rešimo s sklepanjem, npr.: Po enem dnevu je v jezeru V j + V 1d vode; en konj popije V j+v 1d ( ) V 5 dneh je v jezeru V j + 5 V 1d vode; en konj popije V j+5 V 1d 7 na dan V j+5 V 1d V Enačba: j +V 1d 18 = V j+5 V 1d V 1d = V j V x dneh je v jezeru V j + x V 1d vode. V j + x Vj 65 = 66x V j x = 65 dni Odg.: En konj bi popil vso vodo v 1 letu c 00 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni šoli

31 6! REŠITVE NALOG 8. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 točk. Vse matematično in logično korektne rešitve so enakovredne. stran Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 4. naloga A R S r C B AB = cm, AC = 1 cm Označimo polmer večjega kroga z R, polmer manjšega kroga z r. R = r Ploščina krožnega kolobarja: p k = π(r r ), R r = p k = π p k. =,14 cm E a A a H D F B c 00 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni šoli G C Presek je pravilni šestkotnik s stranico a Ploščina pravilnega šestkotnika: p = 6 ( a ) p = 4 a Rob kocke: 4 a = 75 a = 10 cm Površina kocke: P = 600 cm

32 1 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 Dru»stvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije IN Zavod RS za»solstvo Jadranska 19 Poljanska Ljubljana 1000 Ljubljana 40. DR»ZAVNO TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE 17. april razred Navodila za»sifriranje: Na mizi ima»s prijavni list, nalepko s»sifro, tekmovalno polo formata A in prito»zni list. Nalepko nalepi na prvo stran tekmovalne pole, prijavni list in prito»zni list pa sta»ze opremljena s»sifro. List z nalogami, prijavni list in prito»zni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi prito»zni list. Na prijavnem listu ima»s uporabni»sko ime in geslo, ki ti omogo»cata, da takoj, ko botekmovalna komisija dose»zek vnesla v stre»znik, svoj dose»zek vidi»s na naslovu povezava Rezultati tekmovanj, ali preko mobilnega telefona, ki omogo»ca WAP, na naslovu za re»sevanje je 10 minut. Izdelek pi»si s»crnilom»citljivo in pregledno na tekmovalno polo, prilo»zeni papir pa slu»zi za razmi»sljanje. DR»ZAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI»ZELI VELIKO USPEHA. Dose»zki bodo najhitreje (.4.) vidni na internet naslovu naloge in re»sitve pa»ze danes. Izra?naj vrednost izraza: q 7 +( 4) (5 + ) 4 p 16 p 4 p 5 6 = 1 5 p naloga Neko naselje v ob»cini je zgrajeno na»cetrt kvadratnega kilometra velikemzemlji»s»cu. Zelenice pokrivajo 10 % celotnega zemlji»s»ca. V blokih in stolpnicah»zivi 5000 ljudi. Da bi re»sili problemparkiranja, je»zupan predlagal, da bi zelenice spremenili v parkiri»s»ca. Parkirna mesta bi bila enako velika, vsako 15 m. a) Izra»cunaj, koliko parkirnih mest bi bilo mo»zno zgraditi. b) V naselju ima avto vsak drugi prebivalec. Ali bi bilo teh parkirnih mest dovolj za vse? Odgovor utemelji.. naloga Obseg kvadrata s stranico a pove»camo za 0 %. Za koliko odstotkov se pove»ca njegova plo»s»cina? 4. naloga Krogu s polmerom 5 cm je o»crtan raznostrani»cen ve»ckotnik, katerega plo»s»cina meri 0 dm. Izra»cunaj obseg tega ve»ckotnika. Prodajalec je ozna»caval cene rabljenih avtomobilov v evrih takole: na vetrobransko steklo je za brisalce zataknil»stiri listi»ce, vsako»stevko»stirimestne»stevilke je zapisal na drug listi»c. Nekega vetrovnega dne je veter odpihnil listi»c tiso»cic z enega od avtomobilov. Tako je bila nakupna cena tega avtomobila nenadoma zni»zana na triinsedemdesetino prvotne cene. Kolikna je bila prvotna cena tega rabljenega avtomobila? cfl 004 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni»soli

33 RE SITVE» NALOG 8. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 to»ck. Vse matemati»cno in logi»cno korektne re»sitve so enakovredne. Ob korektni uporabi nepravilnega delnega rezultata v naslednjih korakih le-te ovrednotimo kot pravilne. stran 1 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 ffl 7 =4; ( 4) 4 =56... q ffl 5 (5 + ) 4 p p 16 = = 1... ffl 1 p 5 4 p 16 =1 4 = ffl 4 p 5 6 =11 6 = ffl naloga 96 = = a) ffl Velikost zemlji»s»ca vm : 1 4 km =50000m... ffl Zelenice pokrivajo: 10 % od m = 5000 m... ffl Zgraditi je mo»zno 1666 parkirnih mest. (5000 : 15 = 1666; 6)... b) Odg.: Ne,»se vedno bi bilo 84 parkirnih mest premalo, kajti = t. naloga Ozna»cimo obseg danega kvadrata z o in plo»s»cino s p. ffl o =4a o1 =4a +0%od4a... o1 =4a 65 =4 6 5 a... ffl a1 = 6 5 a... ffl p1 = 6 5 a p1 = 6 5 a... ffl 6 5 a = a = a +44%oda Plo»s»cina kvadrata se pove»ca za 44 %.... cfl 004 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni»soli

34 RE SITVE» NALOG 8. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 to»ck. Vse matemati»cno in logi»cno korektne re»sitve so enakovredne. Ob korektni uporabi nepravilnega delnega rezultata v naslednjih korakih le-te ovrednotimo kot pravilne. stran Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 4. naloga a n a1 r a ffl Ve»ckotnik lahko razdelimo na n trikotnikov zvi»sino r in osnovnicami a1;a;:::;a n.... ffl Plo»s»cina ve»ckotnika je: p = a 1 r + a r + :::+ an r.... p = r (a 1 + a + :::+ a n )... a1 + a + :::+ a n = o p = r o... ffl o = p r o =160cm... Obseg ve»ckotnika je 160 cm. ffl Nakupna cena avtomobila v evrih je»stirimestno»stevilo: npr.: a b c 10 + d.»stevilo tiso»cic smo ozna»cili z a, trimestni konec»stevila (b c 10 + d) pa z y.... ffl Dobimo: 1 7 od (a y) =y ali a y =7y... ffl 15 a =9 y... ffl Ker je»stevilo 15a deljivo z9inje0<a» 9jea = 9 in zato y =15. ffl» Stevilo je 915. Prvotna nakupna cena avtomobila je bila 915 evrov. cfl 004 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni»soli......

35 4 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 Dru»stvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije IN Zavod RS za»solstvo Jadranska 19 Poljanska Ljubljana 1000 Ljubljana 40. DR»ZAVNO TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE 17. april razred Navodila za»sifriranje: Na mizi ima»s prijavni list, nalepko s»sifro, tekmovalno polo formata A in prito»zni list. Nalepko nalepi na prvo stran tekmovalne pole, prijavni list in prito»zni list pa sta»ze opremljena s»sifro. List z nalogami, prijavni list in prito»zni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi prito»zni list. Na prijavnem listu ima»s uporabni»sko ime in geslo, ki ti omogo»cata, da takoj, ko botekmovalna komisija dose»zek vnesla v stre»znik, svoj dose»zek vidi»s na naslovu povezava Rezultati tekmovanj, ali preko mobilnega telefona, ki omogo»ca WAP, na naslovu za re»sevanje je 10 minut. Izdelek pi»si s»crnilom»citljivo in pregledno na tekmovalno polo, prilo»zeni papir pa slu»zi za razmi»sljanje. DR»ZAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI»ZELI VELIKO USPEHA. Dose»zki bodo najhitreje (.4.) vidni na internet naslovu naloge in re»sitve pa»ze danes. Izraz x k+ x k x +0 imaza x = vrednost 6. Izra»cunaj vrednost tega izraza za x = 1;5.. naloga Na neki osnovni»soli je v zaklju»cnem razredu 58 % fantov. V gimnazijo se»zeli vpisati 1 deklet in 1 fantov. Vsi ostali»zelijo nadaljevati»solanje na tehni»skih»solah. Med kandidati za tehni»ske»sole je 60 % fantov. Koliko deklet se nam erava vpisati v tehni»ske»sole?. naloga Robovi kvadra so v razmerju : : 4. Kvader razre»zemo z ravnino skozi dve izmed najdalj»sih diagonal stranskih ploskev v dve skladni prizmi. Zapi»si in poenostavi razmerje med povr»sino kvadra in povr»sino ene izmed nastalih prizem. 4. naloga Kro»znici na sliki se dotikata v to»cki D. Ve»cja kro»znica ima sredi»s»ce v to»cki C. Dol»zina daljice AB je 9 cm,dol»zina daljice EF pa 5 cm. Kot <) ACF je pravi kot. Izra»cunaj dol»zino premera ve»cje kro»znice. Izra»cunaj vsoto»stevk»stevila cfl 004 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni»soli F E A B C D

36 5 RE SITVE» NALOG 9. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 to»ck. Vse matemati»cno in logi»cno korektne re»sitve so enakovredne. Ob korektni uporabi nepravilnega delnega rezultata v naslednjih korakih le-te ovrednotimo kot pravilne. stran 1 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 ffl Za x = dobimo ena»cbo: ( ) k+ ( ) k ( ) + 0 = 6... ffl k =1... ffl Za k = 1 dobimo izraz x x +x ffl Vrednost izraza x x +x +0 za x = 1;5: ( ;75) ;5 + 0 =... = 6;75 ;5 + 0 = naloga Ozna»cimo z n»stevilo u»cencev v zaklju»cnemrazredu osnovne»sole. ffl Fantov je n,dekletpa n.... ffl Za tehni»ske»sole se je odlo»cilo ( n 1) fantov in(4 100 n 1) deklet, skupaj n n 1 ffl Ena»cba: n 5 = n = ffl Na tehni»ske»sole se namerava vpisati. naloga a ffl Razmerje: n 1 = 50 deklet.... Ozna»cimo: a =t, b =t, c =4t ffl Najdalj»sa ploskovna diagonala: d =(t) +(4t) d =... c ffl Plo»s»cina pravokotnega preseka: d p =10t... ffl Povr»sina kvadra: P k =... b ffl Povr»sina tristrane prizme: P p =10t +8t +6t + =6t... P k : P p = :6t =1:9... cfl 004 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni»soli

37 6 RE SITVE» NALOG 9. razred Vsako nalogo ocenimo z 0 do 5 to»ck. Vse matemati»cno in logi»cno korektne re»sitve so enakovredne. Ob korektni uporabi nepravilnega delnega rezultata v naslednjih korakih le-te ovrednotimo kot pravilne. stran Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 4. naloga F E A B C D ffl Kot <) DEB je pravi (obodni kot nad premerom), <) CEB ο = <) CDE (kota s paroma pravokotnimi kraki), in <) BCE ο = <) ECD (prava kota), zato 4CDE ο4ceb.... ffl Ozna»cimo: AC = CD = CF = r CE = r 5, BC = r 9 r 5 Velja: = r 9 r r 5...t r =5... ffl r =50cm Premer ve»cje kro»znice je 50 cm.... ffl = ( )... ffl ( ) = = ffl ( ) =10 16 ( ) = z } 14 devetk ffl ( ) = z } z } devetk 16 ni»cel ffl ( ) = z } z } devetk 14 ni»cel ffl Vsota»stevk»stevila ( ) je: =1.... cfl 004 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni»soli

38 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Zavod RS za šolstvo Jadranska 19 Poljanska Ljubljana 1000 Ljubljana 41. DRŽAVNO TEKMOVANJE ZA ZLATOVEGOVOPRIZNANJE 16. april razred Na mizi imaš prijavni list, nalepko s šifro, tekmovalno polo formata A in pritožni list. Nalepko nalepi na prvo stran tekmovalne pole, prijavni list in pritožni list pa sta že opremljena s šifro. List z nalogami, prijavni list in pritožni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritožni list. Na prijavnem listu imaš uporabniško ime in geslo, ki ti omogočata, datakoj, kobotekmovalna komisija dosežke vnesla v strežnik, svoj dosežek najdešnanaslovuhttp:// povezava Rezultati tekmovanj ali preko mobilnega telefona, ki omogoča WAP, na naslovu Čas za reševanje je 10 minut. Naloge rešuj na tekmovalni poli, priloženi list naj bo le v pomoč tvojemu razmišljanju. Pot do rezultata mora biti jasno in korektno predstavljena. Piši s črnilom berljivo in pregledno. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA. Od traku elastike (dolg je a cm) smo odrezali petino dolžine. a) Za koliko odstotkov moramo raztegniti daljši odrezek, da bo imel začetno dolžino a? b) Krajši odrezani del smo raztegnili do prvotne dolžine a in elastika se ni strgala. Za koliko odstotkov smo ga raztegnili?. naloga Marko ve, da za hojo od doma do železniške postaje potrebuje 4 minut, medtem ko to razdaljo preteče v 1 minutah. Marko mora ujeti vlak, ki s postaje odpelje ob 1.0, zato se z normalno hojo odpravi od doma ob Med potjo se spomni, da je v vratih pozabil ključ, zato steče proti domu, vzame ključ in nato preteče tudi pot do postaje, kamor prispe točno ob 1.0. Ob kateri uri se je spomnil, da je pozabil ključ?. naloga V enakokrakem trikotniku z vrhom C jekotobvrhu0. Na kraku AC leži točka E, nakrakubc pa točka D, tako da meri kot <) CBE 60,kot<) CAD pa 0. Izračunaj velikost kota <) CED. Nariši skico. 4. naloga Ana in Blaž imata vsak svojo posodo z bonboni. V Anini posodi je 40 čokoladnih in 0 jagodnih bonbonov, vblaževi pa 15 čokoladnih in 0 jagodnih bonbonov. Blaž iz Anine posode zagrabi 10 bonbonov in jih prestavi v svojo posodo. Če bi iz Anine posode prenesel v svojo posodo še 1 jagodni bonbon, bi bilo skupno število jagodnih bonbonov v Anini posodi in čokoladnih bonbonov v Blaževi posodi enako 50. Koliko čokoladnih bonbonov in koliko jagodnih bonbonov je Blaž prenesel iz Anine posode v svojo posodo? Za kateri vrednosti spremenljivke x je vrednost izraza ( x +1 ) (x+4) (x )(x+) enaka 1? c 005 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni šoli

39 Tekmovalne naloge DMFA Slovenije Ref. ID: 9C6C19080B74BFAD5AAA85EC765848B9 / :0:5 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Zavod RS za šolstvo Jadranska 19 Poljanska Ljubljana 1000 Ljubljana 41. DRŽAVNO TEKMOVANJE ZA ZLATOVEGOVOPRIZNANJE 16. april razred Na mizi imaš prijavni list, nalepko s šifro, tekmovalno polo formata A in pritožni list. Nalepko nalepi na prvo stran tekmovalne pole, prijavni list in pritožni list pa sta že opremljena s šifro. List z nalogami, prijavni list in pritožni list po tekmovanju odnesi s seboj. V primeru ugovora na vrednotenje izdelka uporabi pritožni list. Na prijavnem listu imaš uporabniško ime in geslo, ki ti omogočata, datakoj, kobotekmovalna komisija dosežke vnesla v strežnik, svoj dosežek najdešnanaslovuhttp:// povezava Rezultati tekmovanj ali preko mobilnega telefona, ki omogoča WAP, na naslovu Čas za reševanje je 10 minut. Naloge rešuj na tekmovalni poli, priloženi list naj bo le v pomoč tvojemu razmišljanju. Pot do rezultata mora biti jasno in korektno predstavljena. Piši s črnilom berljivo in pregledno. DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA. Rešitev enačbe (x+5) (x )(x+) =(x 1) ( x 1 ) 55 x 6 je začetna vrednost n linearne funkcije, katere graf gre skozi točko A( 4, ). Zapiši enačbo te linearne funkcije.. naloga Mobilni operater nam ponuja tri različne pakete. V paketu A ni mesečne naročnine, zato pa minuta pogovora stane 5 SIT. Paket B ima mesečno naročnino 000 SIT, vsaka minuta pogovora pa stane 5 tolarjev. Paket C ponuja pri mesečni naročnini 1000 SIT prvih 60 minut pogovora zastonj, vsaka naslednja minuta pa stane 10 tolarjev. Spreminjanje cen pogovorov prikaži z grafi. Koliko minut najmanj in koliko minut največ lahkotelefoniramo na mesec, da se splača odločiti za paket C?. naloga Kvadrat ABCD sstranicoa = 6 cm bi radi razdelili na tri ploščinsko enake dele, kot kaže slika. Izračunaj dolžini daljic AE in CF. D a A a p 1 p 4. naloga Alen,Boris,CeneinČrt so zbrali prihranke in kupili žogo. Alen je dal 40 % vrednosti žoge, Boris je prispeval tri sedmine zneska, ki so ga plačali ostali trije, Cene pa 5 % zneska ostalih treh. Najmlajši, Črt, je dal 000 tolarjev. Kolikšna je bila cena žoge? Zvezda na sliki je sestavljena iz pravilnega šestkotnika in šestih skladnih enakokrakih trikotnikov, ki imajo osnovnice na stranicah šestkotnika in kot ob vrhu 0.Polmerkrožnice je 1 enota. Izračunaj ploščino zvezde. c 005 DMFA Slovenije, Komisija za popularizacijo matematike v osnovni šoli p E C F B