Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
|
|
- Θάλεια Ρόκας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.1 Βασικοί Αλγόριθμοι Γραφημάτων Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage:
2 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων Αλγόριθμοι Θεωρία Γραφημάτων 2
3 Ιστορικά 1736 Euler, γέφυρες Koenigsburg 1847 Kirchoff, δένδρα, ηλεκτρικά δίκτυα 1847 Cayley, δένδρα, ισομερή υδρογονανθράκων C n H 2n Cayley - De Morgan - Moebius, χρωματισμός με 4 χρώματα 1859 Hamilton, δωδεκάεδρο 1936 Koenig, το πρώτο βιβλίο 2015??? 3
4 Ιστορικά Γέφυρες Konigsberg Leonhard Euler ( ) Μεγάλος μαθηματικός σε όλα τα πεδία 73 τόμοι δημοσιεύσεων 4
5 Ιστορικά Γέφυρες Konigsberg Σημερινό Ρωσικό Kaliningrad (στη Βαλτική μεταξύ Λιθουανίας και Πολωνίας) 5
6 Ιστορικά Γέφυρες Konigsberg Μπορούμε να ξεκινήσουμε από ένα σημείο Α και να επιστρέψουμε στο Α, έχοντας περάσει από κάθε γέφυρα μία και μόνο-μία φορά? 6
7 Ιστορικά Γέφυρες Konigsberg 7 Γέφυρες 7
8 Μοντελοποίηση Προβλήματος Παρατήρηση!!! Το γράφημα έχει τρεις (3) κόμβους περιττού βαθμού!!! 8
9 Γραφήματα Euler 9
10 Γραφήματα Euler 10
11 Γραφήματα Euler Χωρίς να το υπολογίσεις, βρες αν το παρακάτω γράφημα έχει διαδρομή Euler 11
12 Γραφήματα Euler Γράφημα έχει μόνο δύο (2) κόμβους περιττού βαθμού, επομένως ΝΑΙ έχει διαδρομή Euler 12
13 Μοντελοποίηση 13
14 Πρόβλημα - Γράφημα 14
15 Γράφημα - Αλγόριθμος 15
16 Εφαρμογές Γραφημάτων Έστω ότι έχουμε C 1, C 2,, C n φάρμακα, και έστω [x i, x i ] είναι η θερμοκρασία συντήρησης του φαρμάκου C i, 1 i n; Θέλουμε η θερμοκρασία Τ του ψυγείου για την συντήρηση max πλήθος φαρμάκων Έστω ότι στο πλανήτη Γη έχουν εμφανιστεί έως σήμερα Π 1, Π 2,, Π n πολιτισμοί, και έστω [t i, t i ] είναι η χρονική περίοδος εμφάνισης του πολιτισμού Π i, 1 i n; Θέλουμε το έτος E στο οποίο εμφανίστηκε max πλήθος πολιτισμών πάνω στη Γη
17 Εφαρμογές Γραφημάτων και. πολλές άλλες!!!
18 Εφαρμογές Γραφημάτων 1 Συνδεσμικότητα A B Μπορώ να πετάξω από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία X; Υπάρχει μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β στο δίκτυο της; 18
19 Εφαρμογές Γραφημάτων Λειτουργία δικτύων 2 A B A B C D C D Μπορώ να πάω από κάθε κόμβο σε κάθε άλλον; Βλάβη 19
20 Εφαρμογές Γραφημάτων 3 Συντομότερη διαδρομή Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία X; Ποια διαδρομή από την πόλη Α στην πόλη Β έχει το μικρότερο βάρος; 20
21 Εφαρμογές Γραφημάτων 4 GPS Navigation Εύρεση Ελαχίστων Διαδρομών 21
22 Εφαρμογές Γραφημάτων 5 Επιπεδικότητα ΔΕΗ ΟΤΕ ΔΕΥΑΙ Σύνδεσε όλα τα σπίτια με τις παροχές χωρίς να διασταυρωθούν οι συνδέσεις! 22
23 Εφαρμογές Γραφημάτων 5 Επιπεδικότητα? Σπίτι 2 με ΟΤΕ;? 23
24 Εφαρμογές Γραφημάτων 5 Επιπεδικότητα Μπορεί ένα κύκλωμα να σχεδιασθεί ώστε να μην υπάρχουν τεμνόμενες ακμές; 24
25 Εφαρμογές Γραφημάτων 6 Ελάχιστα Γενετικά (Συνδετικά) Δένδρα Ποιο δίκτυο διαδρομών είναι το ασφαλέστερο; (κίνδυνος από μεγάλες διαδρομές στη θάλασσα) 25
26 Εφαρμογές Γραφημάτων 6 Ελάχιστα Γενετικά (Συνδετικά) Δένδρα G 10 D A 4 3 B C E F 1 26
27 Εφαρμογές Γραφημάτων 6 Ελάχιστα Γενετικά (Συνδετικά) Δένδρα G D A C B F E 27
28 Εφαρμογές Γραφημάτων 7 Περίπατος του Ιππότη/Αλόγου (διαδρομή Hamilton) 28
29 Εφαρμογές Γραφημάτων 8 Χάρτες (χρωματισμός) Πως μπορώ να χρωματίσω κάθε χώρα (νομό) ώστε γειτονικοί νομοί να μην έχουν ίδιο χρώμα; Πόσα χρώματα χρειάζονται στο ελάχιστο; 29
30 Εφαρμογές Γραφημάτων 9 Κοινωνικά δίκτυα (small-world Phenomena) 30
31 Εφαρμογές Γραφημάτων και. πολλές πολλές άλλες!!! 31
32 Γραφήματα Ορισμός: Μη κατευθυνόμενο γράφημα Ως μαθηματική έκφραση, ο ορισμός του μη κατευθυνόμενου γράφου έχει ως εξής: Ένα γράφημα G είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος G=(V(G), E(G)) όπου: V(G) = {v 1,v 2,..., v n } το σύνολο των κορυφών, E(G) = {e 1,e 2,..., e m } το σύνολο των ακμών. Κάθε ακμή είναι ένα διμελές σύνολο αποτελούμενο από δύο κορυφές, οι οποίες αποκαλούνται κόμβοι και δεν είναι απαραίτητα διαφορετικές μεταξύ τους.
33 Γραφήματα Ορισμός: Κατευθυνόμενο γράφημα Ένα γράφημα G είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος G=(V(G), E(G)) όπου: V(G) = {v 1,v 2,..., v n } E(G) = {e 1,e 2,..., e m } το σύνολο των κορυφών, το σύνολο των ακμών. Εδώ κάθε ακμή είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος αποτελούμενο από δύο κορυφές, οι οποίες αποκαλούνται κόμβοι και δεν είναι απαραίτητα διαφορετικές μεταξύ τους. Η διαφορά ανάμεσα σε έναν μη κατευθυνόμενο και έναν κατευθυνόμενο γράφημα είναι ότι στην πρώτη περίπτωση έχουμε διμελές σύνολο, ενώ στη δεύτερη διατεταγμένο ζεύγος.
34 Γραφήματα Παράδειγμα d c e b f a h g V = {a, b, c, d, e, f, g, h} E = {(ab), (ac), (ah), (bc), (cd), (ce), (ch),, (hg)}
35 Γραφήματα Παράδειγμα d c e b f a V = {a, b, c, d, e, f, g, h} h g E = { ac, ba, cb, cd,, hg }
36 Γραφήματα Αποθήκευση
37 Γραφήματα κεκτημένη γνώση!!! Γράφημα - Απεικόνιση 37
38 Μη κατευθυνόμενα Γραφήματα Μη-κατευθυνόμενα G = (V, E) V = {1, 2, 3, 4} E = {(1,2), (1,4), (2,3), (2,4)}
39 Μη κατευθυνόμενα Γραφήματα Μη-κατευθυνόμενα G = (V, E) V = {1, 2, 3, 4} E = {(1,2), (2,3), (3,4), (1,4)}
40 Κατευθυνόμενα Γραφήματα Κατευθυνόμενα G = (V, E) V = {1, 2, 3, 4} E = {(1,2), (2,3), (2,4), (4,1), (4,2)}
41 Έμβαρα Γραφήματα (weighted) Γραφήματα με Ακμικά Βάρη Έμβαρα και όχι Ζυγισμένα
42 Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Διερεύνηση Γραφημάτων BFS & DFS
43 Διερεύνηση Γραφημάτων Τι θα θέλαμε? Διερεύνηση Breadth-first Search (BFS) Διερεύνηση Depth-first Search (DFS)
44 Διερεύνηση Γραφημάτων Διερεύνηση DFS Διερεύνηση BFS
45 Διερεύνηση BFS (Breadth-first Search) Βασική Ιδέα! Έστω G=(V, E) και s V ένας κόμβος εκκίνησης. d(x) είναι η ελάχιστη απόσταση του κόμβου x V από τον κόμβο εκκίνησης s. r 1 s t z p 1 w 2 x 3 y
46 Διερεύνηση BFS (Breadth-first Search) Βασική Ιδέα! Ο κόμβος x διερευνάται πριν τον κόμβο y σε μια BFS, εάν d(x) < d(y) r 1 s t z p 1 w 2 x H BFS διερευνά κάθε κόμβο x του G για τον οποίο υπάρχει διαδρομή από τον s x στο G. 3 y
47 Διερεύνηση BFS Κατά την εκτέλεση του αλγορίθμου BFS, οι κόμβοι του γραφήματος βρίσκονται σε 3 κατηγορίες ή καταστάσεις: Α : άσπροι κόμβοι Π : πράσινοι κόμβοι Μ : μαύροι κόμβοι Τις κατηγορίες αυτές ονομάζουμε χρωματικές κατηγορίες ή χρώματα των κόμβων
48 Διερεύνηση BFS Αρχικά όλοι οι κόμβου βρίσκονται στην ίδια κατηγορία, έστω A (άσπροι), καθώς κανένας κόμβος του G δεν έχει ακόμα διερευνηθεί. r s t z p w x y
49 Διερεύνηση BFS Στο τέλος του αλγόριθμου BFS, όλοι οι κόμβοι βρίσκονται στην ίδια κατηγορία, έστω M (μαύροι), καθώς όλοι οι κόμβοι έχουν διερευνηθεί. r s t z p w x y
50 Διερεύνηση BFS Σε ένα ενδιάμεσο βήμα του αλγόριθμου BFS, κάποιοι κόμβοι είναι M (έχουν διερευνηθεί), κάποιοι είναι A (δεν έχουν ακόμα διερευνηθεί), r s t z p w x y και κάποιοι είναι Π (υποψήφιοι για διερεύνηση).
51 Διερεύνηση BFS Σε ένα ενδιάμεσο βήμα του αλγόριθμου BFS, εάν (u,v) E(G) και ο κόμβος u είναι M, τότε ο κόμβος v είναι είτε Μ είτε Π. r s t z p w x y
52 Διερεύνηση BFS Αλγόριθμος BFS 1. Για κάθε κόμβο x V επανέλαβε Color(x) A, d(x) και π(x) NIL s t z r p w x y
53 Διερεύνηση BFS Αλγόριθμος BFS 2. Επίλεξε τον κόμβο εκκίνησης s V και θέσε Color(s) Π, d(s) 0 και ENQUEUE(Q, s) s t z r 0 p w x y Q : s
54 Διερεύνηση BFS Αλγόριθμος BFS 3. Εφόσον η ουρά Q επανέλαβε x head(q) και DEQUEUE(Q, x) για κάθε y adj(x) εκτέλεσε εάν Color(y) = Α τότε Color(y) Π d(y) d(x) + 1 π(y) x ENQUEUE(Q, y) Color(x) M
55 Διερεύνηση BFS Παράδειγμα r s t z p w x y
56 Διερεύνηση BFS Παράδειγμα r s t z p w x y
57 Διερεύνηση BFS Παράδειγμα r s t z 0 p w x y π(s)=nil Q : s
58 Διερεύνηση BFS Παράδειγμα r 1 s t z 0 1 p w x y s head(q) π(s)=nil Q : s w r π(w)=s π(r)=s
59 Διερεύνηση BFS Παράδειγμα r 1 s t z 0 2 p 1 w 2 x y w head(q) π(s)=nil Q : s w r t x π(w)=s π(r)=s π(t)=w π(x)=w
60 Διερεύνηση BFS Παράδειγμα r 1 s t z p 1 w 2 x y r head(q) π(s)=nil Q : s w r t x p π(w)=s π(r)=s π(t)=w π(x)=w π(p)=r
61 Διερεύνηση BFS Παράδειγμα r 1 s t z p 1 w 2 x y t head(q) π(s)=nil Q : s w r t x p z π(w)=s π(r)=s π(t)=w π(x)=w π(p)=r π(z)=t
62 Διερεύνηση BFS Παράδειγμα r 1 s t z p 1 w 2 x 3 y x head(q) π(s)=nil Q : s w r t x p z y π(w)=s π(r)=s π(t)=w π(x)=w π(p)=r π(z)=t π(y)=x
63 Διερεύνηση BFS Παράδειγμα r 1 s t z p 1 w 2 x 3 y p head(q) π(s)=nil Q : s w r t x p z y π(w)=s π(r)=s π(t)=w π(x)=w π(p)=r π(z)=t π(y)=x
64 Διερεύνηση BFS Παράδειγμα r 1 s t z p 1 w 2 x 3 y z head(q) π(s)=nil Q : s w r t x p z y π(w)=s π(r)=s π(t)=w π(x)=w π(p)=r π(z)=t π(y)=x
65 Διερεύνηση BFS Παράδειγμα r 1 s t z p 1 w 2 x 3 y y head(q) π(s)=nil Q : s w r t x p z y π(w)=s π(r)=s π(t)=w π(x)=w π(p)=r π(z)=t π(y)=x
66 Διερεύνηση BFS
67 Διερεύνηση BFS
68 Διερεύνηση BFS BFS-δένδρο (δάσος) s t z r p 1 w 2 x 3 y r s t z p w x y
69 Διερεύνηση BFS BFS-δένδρο (δάσος) s t z r p 1 w 2 x 3 y r s t z p w x y
70 Διερεύνηση BFS BFS-δένδρο (δάσος) s t z r s 2 p 1 w 2 x 3 y r w p x y t z
71 Διερεύνηση DFS (Depth-first Search) Βασική Ιδέα! Έστω G=(V, E) και s V ένας κόμβος εκκίνησης. Η στρατηγική της DFS βασίζεται στην διερεύνηση κόμβων που βρίσκονται σε όσο γίνεται μεγαλύτερη απόσταση από τον κόμβο εκκίνησης s V Εάν όλοι οι γείτονες ενός κόμβου v V έχουν διερευνηθεί, τότε η διερεύνηση «επιστρέφει» στον κόμβο u V, για τον οποίο (u,v) E, και διερευνά γείτονες του κόμβου u που δεν έχουν διερευνηθεί
72 Διερεύνηση DFS Βασική Ιδέα! Η διερεύνηση σταματά όταν διερευνηθούν όλοι οι κόμβοι για τους οποίους υπάρχει διαδρομή από τον κόμβο εκκίνησης s V Εάν υπάρχουν κόμβοι που δεν έχουν διερευνηθεί (Α κόμβοι), τότε επιλέγουμε ένα νέο κόμβο s V, από τους μη-διερευνημένους (A κόμβους), και τον θέτουμε κόμβο εκκίνησης s s.
73 Διερεύνηση DFS Ορίζουμε δύο «χρονικές» συναρτήσεις για κάθε κόμβο u V του γραφήματος: a(u) : t(u) : Χρόνος Πρώτης (Αρχικής) επίσκεψης του κόμβου u V Χρόνος Τελευταίας επίσκεψης του κόμβου u V Ισχύει : a(u) < t(u) u V
74 Διερεύνηση DFS Αλγόριθμος DFS 1. Για κάθε κόμβο x V επανέλαβε Color(x) A και π(x) NIL y z s t x w p r 2. ime 0
75 Διερεύνηση DFS Αλγόριθμος DFS 3. Εφόσον η υπάρχουν Α κόμβοι στο G επανέλαβε επίλεξε ένα Α κόμβο εκκίνησης s V και κάλεσε την διαδικασία DFS-VISI(s) y z s t x w p r
76 Διερεύνηση DFS Αλγόριθμος DFS Για κάθε κόμβο x V επανέλαβε Color(x) A και π(x) NIL ime 0 3. Εφόσον η υπάρχουν Α κόμβοι στο G επανέλαβε επίλεξε ένα Α κόμβο εκκίνησης s V και κάλεσε την διαδικασία DFS-VISI(s)
77 Διερεύνηση DFS Αλγόριθμος DFS Διαδικασία DFS-VISI(u) Color(u) Π a(u) ime ime+1 για κάθε κόμβο x adj(u) επανέλαβε εάν Color(x) = A τότε π(x) u και DFS-VISI(x) Color(u) Μ t(u) ime ime+1
78 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y z s t x w p r
79 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y z s t 1/ x w p r
80 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y z s 2/ 1/ t x w p r
81 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ z s 2/ 1/ t x w p r
82 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ z s 2/ 1/ t 4/ x w p r
83 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ z s 2/ 1/ t 4/ 5 x w p r
84 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s 2/ 1/ t 4/ 5 x w p r
85 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s 2/ 1/ t 4/ 5 7/ x w p r
86 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s 2/ 1/ t 4/ 5 7/ 8 x w p r
87 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s 2/ 9 1/ t 4/ 5 7/ 8 x w p r
88 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s 2/ 9 1/ 10 t 4/ 5 7/ 8 x w p r
89 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ 4/ 5 7/ 8 x w p r
90 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ 4/ 5 7/ 8 12/ x w p r
91 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ 4/ 5 7/ 8 12/ 13 x w p r
92 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ 4/ 5 x 7/ 8 w 12/ 13 14/ p r
93 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ 4/ 5 x 7/ 8 w 12/ 13 14/ 15 p r
94 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ 16 4/ 5 x 7/ 8 w 12/ 13 14/ 15 p r
95 Διερεύνηση DFS Πολυπλοκότητα DFS Τα βήματα 1 και 3 εκτελούνται σε χρόνο Ο(n) Τo βήμα 2 σε O(1) Για κάθε κόμβο x V επανέλαβε Color(x) A και π(x) NIL ime 0 3. Εφόσον η υπάρχουν Α κόμβοι στο G επανέλαβε επίλεξε ένα Α κόμβο εκκίνησης s V και κάλεσε την διαδικασία DFS-VISI(s) Η διαδικασία DFS-VISI() καλείται μία φορά για κάθε κόμβο v V.
96 Διερεύνηση DFS Πολυπλοκότητα DFS Η διαδικασία DFS-VISI(v) στο Βήμα 3 εκτελείται adj(v) φορές. Άρα Διαδικασία DFS-VISI(u) Color(u) Π Α(u) ime ime+1 Για κάθε κόμβο x adj(u) επανέλαβε εάν Color(x) = A τότε π(x) u και DFS-VISI(x) Σ v V adj(v) = O(m) Color(u) Μ Τ(u) ime ime+1 Επομένως ο Αλγόριθμος DFS έχει πολυπλοκότητα χρόνου O(n + m)
97 Διερεύνηση DFS Κατηγορίες Ακμών κατά την DFS : Δεντρικές-ακμές (tree-edges) B : Oπισθο-ακμές ή ανιούσες (back-edges) F : Εμπρόσθιες-ακμές ή κατιούσες (forward-edges) C : Διασχίζουσες ή εγκάρσιες-ακμές (cross-edges)
98 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y z s t 1/ x w p r
99 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y z s 2/ 1/ t x w p r
100 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ z s 2/ 1/ t x w p r
101 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ z s 2/ 1/ t 4/ x w p r
102 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ z s 2/ 1/ t B 4/ x w p r
103 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ z s 2/ 1/ t B 4/ 5 x w p r
104 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s 2/ 1/ t B 4/ 5 x w p r
105 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s 2/ 1/ t B 4/ 5 7/ x w p r
106 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s 2/ 1/ t B 4/ 5 C 7/ x w p r
107 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s 2/ 1/ t B 4/ 5 C 7/ 8 x w p r
108 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s 2/ 9 1/ t B 4/ 5 C 7/ 8 x w p r
109 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s 2/ 9 1/ t B F 4/ 5 C 7/ 8 x w p r
110 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s 2/ 9 1/ 10 t B F 4/ 5 C 7/ 8 x w p r
111 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ B F 4/ 5 C 7/ 8 x w p r
112 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ B F 4/ 5 C 7/ 8 12/ x w p r
113 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ B F C 4/ 5 C 7/ 8 C 12/ x w p r
114 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ B F C 4/ 5 C 7/ 8 C 12/ 13 x w p r
115 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ B F C 4/ 5 C 7/ 8 C 12/ 13 14/ x w p r
116 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ B F C B 4/ 5 C 7/ 8 C C 12/ 13 14/ x w p r
117 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ B F C B 4/ 5 C 7/ 8 C C 12/ 13 14/ 15 x w p r
118 Διερεύνηση DFS Παράδειγμα y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ 16 B F C B 4/ 5 C 7/ 8 C C 12/ 13 14/ 15 x w p r & F : a(x) < t(y) < a(y) < t(x) B : a(y) < a(x) < t(y) < t(y) C : a(y) < t(y) < a(x) < t(x)
119 Διερεύνηση DFS DFS-δένδρο (δάσος) y z s t x w p r y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ 16 B F C B 4/ 5 C 7/ 8 C C 12/ 13 14/ 15 x w p r
120 Διερεύνηση DFS DFS-δένδρο (δάσος) y z s t x w p r y 3/ 6 z s t 2/ 9 1/ 10 11/ 16 4/ 5 x 7/ 8 w 12/ 13 14/ 15 p r
121 Διερεύνηση DFS DFS-δένδρο (δάσος) y z s t x w p r y z s t x w p r
122 Διερεύνηση DFS DFS-δένδρο (δάσος) s t z p r y w y z s t x x w p r
123 Διερεύνηση DFS DFS-αναπαράσταση s t C B B z F p C r y w C C y z s t x x w p r
124 Διερεύνηση DFS DFS-αναπαράσταση s t z p r y w y z s t x x w p r
125 Εφαρμογή DFS Θησέας Ξετυλίγοντας τον Μίτο της Αριάδνης!
126 Εφαρμογή DFS Θησέας Ξετυλίγοντας τον Μίτο της Αριάδνης!
127 Εφαρμογή DFS Θησέας Ξετυλίγοντας τον Μίτο της Αριάδνης!
128 Εφαρμογή DFS Θησέας Ξετυλίγοντας τον Μίτο της Αριάδνης! s
129 Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Τοπολογική Ταξινόμηση
130 Τοπολογική Ταξινόμηση Πρωινό Ντύσιμο εσώρουχο κάλτσες παπούτσια ρολόι παντελόνι ζώνη πουκάμισο γραβάτα σακάκι
131 Τοπολογική Ταξινόμηση Πρωινό Ντύσιμο εσώρουχο κάλτσες παπούτσια ρολόι παντελόνι ζώνη πουκάμισο γραβάτα σακάκι κάλτσες εσώρουχο παντελόνι παπούτσια ρολόι πουκάμισο ζώνη γραβάτα σακάκι
132 Τοπολογική Ταξινόμηση Πρωινό Ντύσιμο εσώρουχο κάλτσες παπούτσια ρολόι παντελόνι πουκάμισο ζώνη γραβάτα σακάκι κάλτσες εσώρουχο παντελόνι παπούτσια ρολόι πουκάμισο ζώνη γραβάτα σακάκι
133 Τοπολογική Ταξινόμηση Πρωινό Ντύσιμο εσώρουχο κάλτσες παπούτσια ρολόι παντελόνι ζώνη πουκάμισο γραβάτα σακάκι κάλτσες εσώρουχο παντελόνι παπούτσια ρολόι πουκάμισο ζώνη γραβάτα σακάκι
134 Τοπολογική Ταξινόμηση Πρωινό Ντύσιμο εσώρουχο κάλτσες παπούτσια ρολόι παντελόνι πουκάμισο ζώνη γραβάτα σακάκι κάλτσες εσώρουχο παντελόνι παπούτσια ρολόι πουκάμισο ζώνη γραβάτα σακάκι
135 Τοπολογική Ταξινόμηση Μη-κυκλικό Κατευθυνόμενο Γράφημα (DAG) ονομάζετε το γράφημα G=(V, E) το οποίο δεν έχει κατευθυνόμενους κύκλους.
136 Τοπολογική Ταξινόμηση Μια Τοπολογική Ταξινόμηση του γραφήματος G=(V, E) είναι μια ακολουθία S=(u 1, u 2,, u n ) των κόμβων του G τέτοια ώστε: Για κάθε ζεύγος κόμβων u i, u j V(G), εάν u i, u j E(G) τότε ο κόμβος u i προηγείται του κόμβου u j στην ακολουθία S. Ισοδύναμος Ορισμός: Ο υπολογισμός μιας αμφι-μονοσήμαντης (1-1 και Επί) συνάρτησης f : V(G) {u 1, u 2,, u n } τέτοια ώστε: u i, u j E(G) f (u i ) < f (u j ).
137 Τοπολογική Ταξινόμηση Δοθέντος ενός μη-κυκλικού κατευθυνόμενου γραφήματος G=(V, E), θέλουμε να υπολογίσουμε μια Τοπολογική Ταξινόμηση των κόμβων αυτού. In-degree DFS
138 Τοπολογική Ταξινόμηση In-degree
139 Τοπολογική Ταξινόμηση In-degree
140 Τοπολογική Ταξινόμηση DFS 1/ 10 5/ 6 2/ 9 3/ 4 7/ 8 11/ 14 15/ 16 12/ / 16 11/ 14 12/ 13 1/ 10 2/ 9 7/ 8 5/ 6 3/ 4
141 Τοπολογική Ταξινόμηση DFS
142 Τοπολογική Ταξινόμηση Αλγόριθμος opological-sort 1. Εκτέλεσε DFS στο G Όταν υπολογίζεται ο χρόνος τελευταίας επίσκεψης t(u) του κόμβου u V εισήγαγε ένα αντίγραφο του κόμβου στην αρχή μιας συνδεδεμένης λίστας L 2. Επίστρεψε την λίστα L Η λίστα L περιέχει τους κόμβους του G σε φθίνουσα τάξη ως προς τους χρόνους τελευταίας επίσκεψης των κόμβων που δίδει η εκτέλεση της DFS του Βήματος 1.
143 Τοπολογική Ταξινόμηση Παράδειγμα 1/ 10 5/ 6 2/ 9 3/ 4 7/ 8 11/ 14 15/ 16 12/ / 16 11/ 14 12/ 13 1/ 10 2/ 9 7/ 8 5/ 6 3/ 4
144 Τοπολογική Ταξινόμηση Πρωινό Ντύσιμο 17/ 18 11/ 16 εσώρουχο κάλτσες παπούτσια ρολόι 9/ 10 12/ 15 παντελόνι 13/ 14 6/ 7 ζώνη πουκάμισο γραβάτα 1/ 8 2/ 5 σακάκι 3/ 4
145 Τοπολογική Ταξινόμηση Πρωινό Ντύσιμο 17/ 18 11/ 16 εσώρουχο κάλτσες παπούτσια ρολόι 9/ 10 12/ 15 παντελόνι 13/ 14 6/ 7 ζώνη πουκάμισο γραβάτα 1/ 8 2/ 5 σακάκι 3/ 4
146 Τοπολογική Ταξινόμηση 17/ 18 11/ 16 Πρωινό Ντύσιμο εσώρουχο κάλτσες παπούτσια ρολόι 9/ 10 12/ 15 παντελόνι 13/ 14 6/ 7 ζώνη πουκάμισο γραβάτα 1/ 8 2/ 5 σακάκι 3/ 4 κάλτσες εσώρουχο παντελόνι παπούτσια ρολόι πουκάμισο ζώνη γραβάτα σακάκι 17/ 18 11/ 16 12/ 15 13/ 14 9/ 10 1/ 8 6/ 7 2/ 5 3/ 4
147 Τοπολογική Ταξινόμηση Πρωινό Ντύσιμο κάλτσες εσώρουχο παντελόνι παπούτσια ρολόι πουκάμισο ζώνη γραβάτα σακάκι 17/ 18 11/ 16 12/ 15 13/ 14 9/ 10 1/ 8 6/ 7 2/ 5 3/ 4
148 Τοπολογική Ταξινόμηση
149 Τοπολογική Ταξινόμηση
150 Τοπολογική Ταξινόμηση
151 Τοπολογική Ταξινόμηση
152 Τοπολογική Ταξινόμηση Ενότητα Τοπολογική Ταξινόμηση
153 Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Συνεκτικές Συνιστώσες
154 Συνεκτικές Συνιστώσες Ορισμός Μια Συνεκτική Συνιστώσα ενός μη-κατευθυνόμενου γραφήματος G=(V,E) είναι ένα μείζονα σύνολο κόμβων U V τέτοιο ώστε: x, y U ισχύει x y
155 Συνεκτικές Συνιστώσες Παράδειγμα
156 Συνεκτικές Συνιστώσες Παράδειγμα CC 1 = {1, 2, 6, 9}
157 Συνεκτικές Συνιστώσες Παράδειγμα CC 1 = {1, 2, 6, 9} CC 2 = {3, 5, 8}
158 Συνεκτικές Συνιστώσες Παράδειγμα CC 1 = {1, 2, 6, 9} CC 2 = {3, 5, 8} CC 3 = {4, 7}
159 Συνεκτικές Συνιστώσες Υπολογισμός BFS DFS Εσωτερική Αναπαράσταση CC : CC :
160 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες Ορισμός SCC Μια ισχυρή συνεκτική συνιστώσα (SCC) ενός κατευθυνόμενου γραφήματος G=(V,E) είναι ένα μείζον σύνολο κόμβων S V τέτοιο ώστε: x, y S, ισχύει x y και y x όπου, με x y συμβολίζουμε την ύπαρξη στο G κατευθυνόμενης διαδρομής (x, z 1, z 2,, z k, y) από τον κόμβο x στον κόμβο y, k 0.
161 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες Ορισμός Αντίστροφου Γραφήματος Δοθέντος ενός κατευθυνόμενου γραφήματος G=(V,E), ορίζουμε το αντίστροφο γράφημα του G (transpose graph), το συμβολίζουμε G = (V, E ), ως εξής: V = V και E = { a, b b, a E} G G
162 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες Υπολογισμός SCC(G) Δοθέντος ενός κατευθυνόμενου γραφήματος G θέλουμε να υπολογίσουμε όλες τις ισχυρές συνεκτικές συνιστώσες του G.
163 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες Αλγόριθμος SCC(G) 1. DFS(G) και υπολογισμός f[u], u V(G); 2. Υπολογισμός του αντίστροφου γραφήματος G ; 3. DFS(G ), παίρνοντας του κόμβους σε φθίνουσα τάξη ως προς f[u]; 4. Επέστρεψε τα DFS-trees (κάθε DFS-tree ισοδυναμεί με ένα SCC του G). end.
164 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες Παράδειγμα
165 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες DFS(G) B 13/ 14 11/ 16 1/ 10 8/ 9 B B 12/ 15 3/ 4 2/ 7 5/ 6 C
166 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες DFS-trees 13/ 14 11/ 16 1/ 10 8/ 9 12/ 15 3/ 4 2/ 7 5/ 6
167 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες DFS-trees 13/ 14 11/ 16 1/ 10 8/ 9 12/ 15 3/ 4 2/ 7 5/ 6
168 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες Αρχικό Γράφημα G
169 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες Το Αντίστροφο Γράφημα G Τ
170 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες Το Αντίστροφο Γράφημα G Τ 13/ 14 11/ 16 1/ 10 8/ 9 12/ 15 3/ 4 2/ 7 5/ 6
171 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες Το Αντίστροφο Γράφημα G Τ 13/ 14 11/ 16 1/ 10 8/ 9 12/ 15 3/ 4 2/ 7 5/ 6
172 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες DFS(G Τ ) 13/ 14 11/ 16 1/ 10 8/ 9 2/ 5 1/ 6 B 3/ 4 12/ 15 3/ 4 2/ 7 5/ 6
173 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες DFS(G Τ ) 13/ 14 11/ 16 1/ 10 B 8/ 9 C 2/ 5 1/ 6 7/ 10 8/ 9 B 3/ 4 12/ 15 3/ 4 2/ 7 5/ 6
174 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες DFS(G Τ ) 13/ 14 11/ 16 1/ 10 8/ 9 C 2/ 5 1/ 6 7/ 10 8/ 9 B C C 3/ 4 12/ 13 11/ 14 C 12/ 15 3/ 4 B 2/ 7 5/ 6
175 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες DFS(G Τ ) 13/ 14 11/ 16 1/ 10 8/ 9 C 2/ 5 1/ 6 7/ 10 8/ 9 B C C C C 3/ 4 12/ 13 11/ 14 15/ 16 C 12/ 15 3/ 4 B 2/ 7 5/ 6
176 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες DFS(G Τ ) C B C C C C C B
177 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες DFS-trees C B C C C C C B
178 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες DFS-trees
179 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες SCC(G) Οι Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες του Γραφήματος G
180 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες SCC(G) Οι Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες του Γραφήματος G
181 Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες SCC(G) Οι Ισχυρές Συνεκτικές Συνιστώσες του Γραφήματος G
182 Τέλος Ενότητας Ευχαριστώ για τη Συμμετοχή σας!!! Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage:
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Ενότητα 7.0 Αλγόριθμοι Γραφημάτων Διερεύνηση Γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Σχετικά με το Μάθημα Ώρες γραφείου: Δευτέρα Παρασκευή
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS) 2. Τοπολογική Ταξινόμηση Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Depth-First Search Πρώτα σε Βάθος διερεύνηση (Depth-First Search) είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10γ: Αλγόριθμοι Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS)- Τοπολογική Ταξινόμηση Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο
Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων. Γραφήματα. Αναπαράσταση Γραφημάτων 3. Διερεύνηση σε Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Γράφημα Ορισμός: Ένα γράφημα G είναι το διατεταγμένο ζεύγος
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.
Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.2 Διαδρομές σε Γραφήματα Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Πρόβλημα Οδικό Δίκτυο
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήµατα Μοντελοποίηση πολλών σηµαντικών προβληµάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότερα(elementary graph algorithms)
(elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1
ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)
Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 1: Εισαγωγή στη Θεωρία Γράφων Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 4
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 4 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα ΔΕΝΔΡΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Ένα γράφημα G είναι δένδρο αν: 1. Είναι συνδεδεμένο και δεν έχει κύκλους.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 5 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Συνεκτικότητα Έννοια της συνδεσμικότητας: «Ποσότητα συνδεσμικότητας»...
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήματα v1.3 (2014-01-30) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισμοί και Εφαρμογές γραφήματα γράφημα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΘΕΜΑ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Επίκουρος Καθηγητής ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ
Διαβάστε περισσότεραOutline 1 Άσκηση 1 2 Άσκηση 2 3 Άσκηση 3 4 Άσκηση 4 5 Άσκηση 5 6 Προγραμματιστική Άσκηση 1 7 Προγραμματιστική Άσκηση 2 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 3η Σειρά Γραπτών και Προγραμματιστικών Ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Ιανουάριος 2019 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3η σειρά ασκήσεων Ιανουάριος 2019 1 / 54 Outline 1 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες
Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Θεωρία Γράφων
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εισαγωγή στη Θεωρία Γράφων Υλικό βασισμένο στις εξής πηγές: Βιβλίο «Μαθήματα Θεωρίας Γράφων», Γιάννη Μανωλόπουλου, Εκδόσεις Νέων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα)
Ενότητα 10 Γράφοι (ή γραφήµατα) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ένας γράφος αποτελείται από ένα σύνολο από σηµεία (που λέγονται κόµβοι) και ένα σύνολο από γραµµές (που λέγονται ακµές)
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Γραφηµάτων
Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 231 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι 11-1
Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Γράφοι - ορισµοί και υλοποίηση Διάσχιση Γράφων Τοπολογική Ταξινόµηση ΕΠΛ 23 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Γράφοι Η πιο γενική µορφή δοµής
Διαβάστε περισσότεραΣυνεκτικότητα Γραφήματος
Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης έννοια στη Θεωρία Γραφημάτων. Πληθώρα πρακτικών εφαρμογών, όπως: Αξιόπιστη και ασφαλής επικοινωνία. Δρομολόγηση σε δίκτυα. Πλοήγηση. Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές δεδομένων. Ενότητα 10η: Γράφοι Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Ενότητα 10η: Γράφοι Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ενότητα 10 Γράφοι ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Γράφοι (ή Γραφήματα) Ένας γράφος
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων
Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Μαΐου 201 1 / Απληστοι (Greedy) Αλγόριθµοι
Διαβάστε περισσότεραOutline 1 Άσκηση 1: Εφαρμογές BFS DFS 2 Άσκηση 2: Μια Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθυνόμενα Γραφήματα 3 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας 4 Άσκηση 4: Το Σύνολο
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 3η σειρά γραπτών και προγραμματιστικών ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Ιανουάριος 2017 CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος 2017 1 / 53 Outline 1 Άσκηση 1:
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3 Αλγόριθμοι Επιλογής Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγόριθμοι Επιλογής Γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 6 ΕΠΙΠΕΔΙΚΟΤΗΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εφαρμογές Θεωρίας Γραφημάτων Επιπεδικότητα ΔΕΗ ΟΤΕ ΔΕΥΑΙ Σύνδεσε όλα τα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Γραφήματα Βασικές Έννοιες και Εφαρμογές Βασικοί
Διαβάστε περισσότεραΔρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026
Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα
Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων Ενότητα 6
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Γράφοι Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραβασικές έννοιες (τόμος Β)
θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Συνεκτικότητα. 25 -Γράφοι
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων/ γραφήματα Πέμπτη, 17/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 17-May-18 1 1 17-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 26 Ιουνίου 201 1 / Απληστοι (Greedy) Αλγόριθµοι
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
Διάλεξη 9: Εισαγωγή στους Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Γράφοι - ορισμοί και υλοποίηση Διάσχιση Γράφων Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016
Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 21: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους
Διάλεξη 2: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Βραχύτερα Μονοπάτια σε γράφους - Ο αλγόριθμος Dijkstra για εύρεση της βραχύτερης απόστασης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.0 (2010-05-25) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Διαβάστε περισσότερα1 Διάσχιση κατευθυνόμενων γραφημάτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010 11 Ιστοσελίδα μαθήματος: http://eclass.teilam.gr/di288 5ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Συντομότατα μονοπάτια 2. Αλγόριθμος Bellman-Ford 3. Αλγόριθμος Dijkstra 4. Floyd-Warshall Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Single-Source Shortest Path Πρόβλημα:
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 10 ο. Γράφοι. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης
ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 10 ο Γράφοι Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Γράφοι Ορισµός Αφηρηµένος τύπος δεδοµένων Υλοποίηση Αναζήτηση έντρο
Διαβάστε περισσότεραΔΕΝΔΡΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
Δενδρικά Γραφήματα 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΝΔΡΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 3.1 Εισαγωγή 3.2 Βασικές Ιδιότητες Δένδρων 3.3 Απαρίθμηση Δένδρων 3.4 Γενετικά Δένδρα 3.5 Ελάχιστα Γενετικά Δένδρα Προαπαιτούμενη Γνώση Πολύ καλή γνώση
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Υπογράφημα Συμπληρωματικά γραφήματα Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήματα. ver. 21/12/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήματα ver. 21/12/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισμοί και Εφαρμογές γραφήματα γράφημα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων ανά
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η <Αλγόριθµοι, Θεωρία Γραφηµάτων>
ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις σηµαντικότερες µεθόδους και ιδέες της Θεωρίας Γραφηµάτων
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017
Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 21: Γράφοι II - Τοπολογική Ταξινόμηση
ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Διάλεξη 21: Γράφοι II - Τοπολογική Ταξινόμηση Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Τοπολογική Ταξινόμηση - Εφαρμογές, Παραδείγματα, Αλγόριθμοι
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91
Ε.Μ.Πoλυτεχνείο ΣΗΜΜΥ, ΣΕΜΦΕ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Διδάσκων: Ε.Ζαχος Ονοματεπώνυμο:... Αριθμός Μητρώου:... Σχολή:... εξάμηνο:... ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 005 Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα)
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2016-17 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) http://mixstef.github.io/courses/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Αφηρημένες
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
11 Αλγόριθμοι Γραφημάτων Περιεχόμενα Κεφαλαίου 11.1 Βασικές Έννοιες....................... 330 11.2 Εσωτερική Παράσταση Γράφων.............. 333 11.3 Μέθοδοι Διάσχισης...................... 336 11.4 Τοπολογική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Γραφήματα και Δένδρα
Κεφάλαιο 4 Γραφήματα και Δένδρα Περιεχόμενα 4.1 Γραφήματα... 60 4.2 Δομές δεδομένων για την αναπαράσταση γραφημάτων... 64 4.2.1 Υλοποίηση σε Java... 66 4.3 Διερεύνηση γραφήματος... 69 4.4 Δένδρα... 86
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις
ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Δέντρα Δέντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση (ιεραρχικών)
Διαβάστε περισσότερα1. Σε ένα τουρνουά με 8 παίκτες μπορεί οι παίκτες να συμμετείχαν σε: 6,5,4,4,4,3,1,1 αγώνες αντίστοιχα;
Ασκήσεις υποδειγματικές για το θεωρητικό μέρος του μαθήματος Α1. Εξετάστε αν είναι Σωστή ή Λάθος κάθε μία από τις επόμενες προτάσεις. Εξηγείστε την απάντησή σας. 1. Σε ένα τουρνουά με 8 παίκτες μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραd(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Διαβάστε περισσότερα