Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας
|
|
- Ἑστία Φλέσσας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 α β Το ράφημα εισόου ίνεται ως ακολουθία ακμών: ε π.χ. (α,β), (β,), (α,ε), (β,η), (θ,ζ), (η,ε), (ζ,α), (,θ), (θ,β), (ε,ζ), (η,θ), (ζ,η) ζ η θ
2 Συνυαστική αναπαράσταση επίπεου ραφήματος Για κάθε κορυφή ίνουμε μια κυκλική ιάταξη των ειτονικών της ακμών, π.χ. εξιόστροφα (κατά τη φορά των εικτών του ρολοιού). α β α : (α,β), (α,ε), (α,ζ) ε β : (β,α), (β,), (β,θ), (β,η) : (,β), (,θ) ε : (ε,α), (ε,η), (ε,ζ) ζ η θ ζ : (ζ,α), (ζ,ε), (ζ,η) η : (η,ζ), (η,ε), (η,β), (η,θ) θ : (θ,η), (θ,β), (θ,), (θ,ζ)
3 Αλόριθμοι ελέχου επιπεότητας Μέθοος των Auslander και Parter (1961), και Goldstein (1963) Γραμμικός αλόριθμος των Hopcroft και Tarjan (1974) Μέθοος Lempel, Even και Cederbaum (1967) Μπορεί να υλοποιηθεί σε ραμμικό χρόνο με τη βοήθεια των παρακάτω αποτελεσμάτων : Γραμμικός αλόριθμος υπολοισμού ισυνεκτικών συνιστωσών [Tarjan 1972], ραμμικός αλόριθμος υπολοισμού st-αρίθμησης [Even και Tarjan 1975], PQ-ένρα [Booth και Lueker 1975]. Άλλοι αλόριθμοι ελέχου που βασίζονται στον LEC : Shih και Hsu (1993), Boyer και Myrvold (1999).
4 Θα εξετάσουμε τη μέθοο των Lempel, Even και Cederbaum (1967) Δίνει αλόριθμο ραμμικού χρόνου με τη βοήθεια των παρακάτω αποτελεσμάτων : Γραμμικός αλόριθμος υπολοισμού ισυνεκτικών συνιστωσών [Tarjan 1972]. Γραμμικός αλόριθμος υπολοισμού st-αρίθμησης [Even και Tarjan 1975]. PQ-ένρα [Booth και Lueker 1975].
5 Υποθέτουμε ότι μας ίνεται ένα ράφημα εισόου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιιότητες : Είναι απλό (εν έχει βρόχους και παράλληλες ακμές). Έχει τουλάχιστον 5 κόμβους. Έχει το πολύ 3n-6 ακμές. Είναι συνεκτικό. Είναι ισυνεκτικό.
6 Υποθέτουμε ότι μας ίνεται ένα ράφημα εισόου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιιότητες : Είναι απλό (εν έχει βρόχους και παράλληλες ακμές). Ένας βρόχος (v,v) μπορεί να σχειαστεί πολύ κοντά στον κόμβο v. Οι παράλληλες ακμές μπορούν να σχειαστούν πολύ κοντά μεταξύ τους.
7 Υποθέτουμε ότι μας ίνεται ένα ράφημα εισόου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιιότητες : Έχει τουλάχιστον 5 κόμβους. Το πλήρες ράφημα με 4 κόμβους είναι επίπεο
8 Υποθέτουμε ότι μας ίνεται ένα ράφημα εισόου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιιότητες : Έχει το πολύ 3n-6 ακμές. Αν και εν υπάρχουν βρόχοι και παράλληλες ακμές τότε
9 Υποθέτουμε ότι μας ίνεται ένα ράφημα εισόου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιιότητες : Είναι συνεκτικό. Κάθε συνεκτική συνιστώσα πρέπει να ορίζει επίπεο ράφημα.
10 Υποθέτουμε ότι μας ίνεται ένα ράφημα εισόου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιιότητες : Είναι ισυνεκτικό. Ισχύει η ακόλουθη πρόταση : Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα.
11 Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. Άρθρωση : κόμβος v του G, η ιαραφή του οποίου αποσυνέει το G, ηλαή το ράφημα G-v εν είναι συνεκτικό. Γέφυρα : ακμή e του G, η ιαραφή της οποίας αποσυνέει το G, ηλαή το ράφημα G-e εν είναι συνεκτικό. Δισυνεκτικό ράφημα : Γράφημα χωρίς αρθρώσεις. Δισυνεκτική συνιστώσα : Μείζον ισυνεκτικό υποράφημα.
12 Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. ισυνεκτική συνιστώσα έφυρα άρθρωση
13 Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. Απόειξη Αν το G είναι επίπεο τότε προφανώς και οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. Αρκεί λοιπόν να αποείξουμε το αντίστροφο: Aν οι ισυνεκτικές συνιστώσες του G είναι επίπεα ραφήματα τότε και το G είναι επίπεο. Η απόειξη είναι με επαωή ως προς τον αριθμό α των αρθρώσεων του G. Βάση α=0 : Η πρόταση προφανώς ισχύει αφού το G είναι ισυνεκτικό. Επαωική Υπόθεση : Η πρόταση ισχύει ια κάθε ράφημα με α αρθρώσεις.
14 Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. Απόειξη Επαωικό Βήμα : Υποθέτουμε ότι το G έχει α+1 αρθρώσεις. Έστω v μία άρθρωση του G. Το G-v έχει συνεκτικές συνιστώσες G 1, G 2,, G k. Κάθε συνεκτική συνιστώσα G i έχει το πολύ α αρθρώσεις. Συνεπάεται από την επαωική υπόθεση ότι κάθε G i είναι επίπεο ράφημα. Θεωρούμε ένα αυθαίρετο σχέιο του G i στο επίπεο. Επιλέουμε μια όψη που περιέχει τον κόμβο v και την κάνουμε εξωτερική (βλ. προηούμενη ιάλεξη). Με αυτόν τον τρόπο αποκτούμε σχέια των G 1, G 2,, G k όπου ο κόμβος v είναι στην εξωτερική όψη όλων των συνιστωσών.
15 Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. Απόειξη β ε β ε β ζ ε v ζ v v ζ
16 Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. Απόειξη Με αυτόν τον τρόπο αποκτούμε σχέια των G 1, G 2,, G k όπου ο κόμβος v είναι στην εξωτερική όψη όλων των συνιστωσών. Μπορούμε να συχωνεύσουμε όλα αυτά τα σχέια μέσω του v και να λάβουμε ένα σχέιο στο επίπεο του αρχικού ραφήματος G. G 2 G 1 Συνεπάεται ότι το G είναι επίπεο. G k
17 st-αρίθμηση Έστω ισυνεκτικό ράφημα G=(V,E) με n= V κόμβους και m= E ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E. Μια st-αρίθμηση του G είναι μια αρίθμηση των κόμβων π : V {1,,n}, τέτοια ώστε π(s)=1, π(t)=n, και κάθε κόμβος v ϵ V-{s,t} έχει ένα ειτονικό κόμβο με μικρότερη αρίθμηση και ένα ειτονικό κόμβο με μεαλύτερη αρίθμηση, ηλαή υπάρχουν ακμές (u,v) ϵ E και (w,v) ϵ E τέτοιες ώστε π(u)<π(v)<π(w). t s 1 3
18 st-αρίθμηση Έστω ισυνεκτικό ράφημα G=(V,E) με n= V κόμβους και m= E ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E. Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολοιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m n). Θα αποείξουμε πρώτα την ύπαρξη μιας st-αρίθμησης χρησιμοποιώντας έναν απλό αλόριθμο. Στη συνέχεια θα ώσουμε ένα ραμμικό αλόριθμο με χρήση καθοικής ιερεύνησης.
19 st-αρίθμηση Έστω ισυνεκτικό ράφημα G=(V,E) με n= V κόμβους και m= E ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E. Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολοιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m n). Η st-αρίθμηση ορίζει μια ραμμική ιάταξη των κόμβων, με πρώτο τον s και τελευταίο τον t. t s 1 3
20 st-αρίθμηση Έστω ισυνεκτικό ράφημα G=(V,E) με n= V κόμβους και m= E ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E. Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολοιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m n). Η st-αρίθμηση ορίζει μια ραμμική ιάταξη των κόμβων, με πρώτο τον s και τελευταίο τον t. s t Ιέα: Ξεκινάμε με μια ιάταξη που περιλαμβάνει μόνο τους s και t την οποία επεκτείνουμε σε μια ακολουθία βημάτων. Σε κάθε βήμα βρίσκουμε ένα μονοπάτι που συνέει ύο κόμβους που βρίσκονται ήη σε ιάταξη και τοποθετούμε στη ιάταξη τους κόμβους του μονοπατιού.
21 st-αρίθμηση Έστω ισυνεκτικό ράφημα G=(V,E) με n= V κόμβους και m= E ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E. Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολοιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m n). s v u t s v w u t υποράφημα του G εκτός της τρέχουσας ιάταξης w Έστω ένας κόμβος v που ανήκει στην τρέχουσα ιάταξη αλλά έχει ειτονικό κόμβο w εκτός της ιάταξης. Βρίσκουμε ένα μονοπάτι P από το w προς κάποιο κόμβο u v που ανήκει στην τρέχουσα ιάταξη. (Το P υπάρχει ιατί το G-v είναι συνεκτικό.) Αν ο v προηείται του u στη ιάταξη τότε εισάουμε τους κόμβους του P αμέσως μετά τον v. Διαφορετικά εισάουμε τους κόμβους του P αμέσως πριν τον v.
22 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο s α t β ε ζ α α s t α ε ζ ε s t s α β ε ζ t t ζ ε β ε s α β
23 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s α β t s 1 t ε ζ Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
24 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s α β t s 3 1 t ε ζ Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
25 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s 4 α β t s 3 α 1 t ε ζ Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
26 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s 4 α β t s 3 α 1 t 5 ε ζ Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
27 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s 4 α β t s 3 α 1 t 5 ε 6 ε ζ Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
28 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s 4 α β t s 3 α 1 t 5 ε 6 ε 7 ζ Δένρο καθοικής ιερεύνησης T ζ
29 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s 4 α β 8 t s 3 α 1 t 5 ε 6 ε 7 ζ ζ β Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
30 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s 4 α β 8 t s 3 α 1 t 5 ε 6 ενρική ακμή ανιούσα ακμή ε 7 ζ ζ β Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
31 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Κατά την καθοική ιερεύνηση αποθηκεύουμε ύο αριθμούς ια κάθε κόμβο v : s(v) = σειρά (χρόνος) ανακάλυψης του v. L(v) = ελάχιστο s(u) τέτοιο ώστε υπάρχει ανιούσα ακμή (w,u) ια κάποιο απόονο w του v L(v)=s(v) αν εν υπάρχει τέτοιος απόονος w του v. p(v) = ονέας του v στο Τ. t 1 2 s 4 3 α s(α)=4, L(α)=1 5 s(ε)=6, L(ε)=4 ε 6 7 ζ β 8
32 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Κατά την καθοική ιερεύνηση αποθηκεύουμε ύο αριθμούς ια κάθε κόμβο v : s(v) = σειρά (χρόνος) ανακάλυψης του v. L(v) = ελάχιστο s(u) τέτοιο ώστε υπάρχει ανιούσα ακμή (w,u) ια κάποιο απόονο w του v L(v)=s(v) αν εν υπάρχει τέτοιος απόονος w του v. p(v) = ονέας του v στο Τ. Ιιότητα: Αν το G είναι ισυνεκτικό τότε L(v)<s(p(v)) ια κάθε κόμβο v τέτοιον ώστε s(p(v)) 1. Αν s(p(v))=1 τότε L(v)=s(p(v))=1.
33 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Μετά την ολοκλήρωση της καθοικής ιερεύνησης και τον υπολοισμό των p(v), s(v) και L(v), ο αλόριθμος χρησιμοποιεί μια βοηθητική ρουτίνα PathFinder η οποία ανακαλύπτει μονοπάτια και σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές τους ως εξής: Αρχικά μόνο οι κόμβοι s,t και η ακμή (s,t) είναι σημειωμένοι. Η πρώτη κλήση PathFinder(s) βρίσκει ένα απλό μονοπάτι από τον s στον t που εν περιέχει την ακμή (s,t). Σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές του μονοπατιού. Κάθε επόμενη κλήση PathFinder(v) βρίσκει ένα απλό μονοπάτι με νέες (=μη σημειωμένες) ακμές, από σημειωμένο κόμβο v σε σημειωμένο κόμβο w v. Σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές του μονοπατιού.
34 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο PathFinder(v) (1) αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον w πρόονο του v τότε σημείωσε την (v,w) επιστροφή μονοπατιού P = (v,w) (2) ιαφορετικά αν υπάρχει νέα ενρική ακμή (v,w) όπου v=p(w) τότε σημείωσε την (v,w) και αρχικοποίησε P = (v,w) ενόσω ο κόμβος w εν είναι σημειωμένος βρες (νέα) ακμή (w,x) με s(x)=l(w) ή L(x)=L(w) σημείωσε τον w και την (w,x) P = P (w,x) w = x v w w v x
35 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο PathFinder(v) (3) ιαφορετικά αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον v πρόονο του w τότε σημείωσε την (v,w) και αρχικοποίησε P = (v,w) ενόσω ο κόμβος w εν είναι σημειωμένος βρες (νέα) ακμή (w,x) με x=p(w) σημείωσε τον w και την (w,x) P = P (w,x) w = x (4) ιαφορετικά P = v x w
36 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο PathFinder(v) (3) ιαφορετικά αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον v πρόονο του w τότε (4) ιαφορετικά σημείωσε την (v,w) και αρχικοποίησε P = (v,w) ενόσω ο κόμβος w εν είναι σημειωμένος P = βρες (νέα) ακμή (w,x) με x=p(w) σημείωσε τον w και την (w,x) P = P (w,x) w = x Παρατήρηση: Στην περίπτωση (3) όλα τα παιιά του v είναι σημειωμένα. Επομένως, το P τερματίζει σε απόονο του w του v όπου w v. v x w
37 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Ο αλόριθμος υπολοίζει μια st-αρίθμηση χρησιμοποιώντας τη βοηθητική ρουτίνα PathFinder μαζί με μία στοίβα Σ: Η στοίβα Σ περιέχει σημειωμένους κόμβους. Αρχικά τοποθετούνται στην Σ οι κόμβοι t και s, με τον s στην κορυφή. Κάθε φορά ιαράφεται ο κόμβος v στην κορυφή της Σ και καλείται η PathFinder(v) η οποία επιστρέφει ένα μονοπάτι P. Αν P= τότε ο v λαμβάνει τον επόμενο ιαθέσιμο αριθμό και εν τοποθετείται ξανά στη στοίβα. Αν P = (v 1,v 2 ) (v 2,v 3 )... (v k-1,v k ), όπου v 1 =v, τότε οι κόμβοι v k-1, v k-2,, v 2 και v 1 τοποθετούνται στην κορυφή της στοίβας.
38 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο stnumber σημείωσε τους κόμβους s,t και την ακμή (s,t) Σ.ώθηση(t), Σ.ώθηση(s), i=0 ενόσω η Σ εν είναι κενή v = Σ.απώθηση() P = (v 1,v 2 ) (v 2,v 3 )... (v k-1,v k ) = PathFinder(v) αν P τότε ια j=k-1 έως 1 Σ.ώθηση(v j ) ιαφορετικά αρίθμηση(v)=i+1
39 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s α ε s t ζ β Σ
40 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s α ε s t ζ β Σ P = (s,), (,t)
41 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s α ε s α t ζ β Σ P = (s,α), (α,), (,t)
42 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 s α ε α t ζ β Σ
43 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 s α ε α ε t ζ β Σ P = (α,ε), (ε,)
44 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 s α ε α β ε t ζ β Σ P = (α,β), (β,ε)
45 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 α ε β ε t ζ β Σ
46 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 α ε ε t ζ β Σ
47 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 α ε ε ζ t ζ β Σ P = (ε,ζ), (ζ,)
48 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s α ε ζ t αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 αρίθμηση(ε)=4 ζ β Σ
49 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s α αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 αρίθμηση(ε)=4 αρίθμηση(ζ)=5 αρίθμηση()=6 αρίθμηση()=7 αρίθμηση(t)=8 ε ζ β Σ
50 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 1 s 2 α β t 6 ε 4 5 ζ
51 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Ιιότητες: Από τη στιμή που ένας κόμβος v τοποθετείται στη στοίβα Σ, κανένας κόμβος που βρίσκεται κάτω από τον v στη Σ ε λαμβάνει αρίθμηση πριν τον v. Ένας κόμβος ιαράφεται μόνιμα από την Σ μόνο εφόσον όλες οι ακμές που προσπίπτουν σε αυτών έχουν σημειωθεί.
52 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Ιιότητες: Κάθε κόμβος u s,t τοποθετείται στην Σ προτού ιαραφεί ο t. Απόειξη Αφού το G είναι ισυνεκτικό, υπάρχει μονοπάτι s=w 1,...,w k =u το οποίο εν περιέχει τον t. Έστω w j ο κόμβος του μονοπατιού με μέιστο είκτη j που τοποθετείται στην Σ προτού ιαραφεί ο t. Θα είξουμε ότι η υπόθεση w j w k οηεί σε άτοπο. Τότε ο w j ιαράφεται μόνιμα πριν ιαραφεί ο t. Για να συμβεί αυτό πρέπει η ακμή (w j,w j+1 ) να σημειωθεί, ηλαή να τοποθετηθεί ο w j+1 στην Σ, το οποίο όμως αντιβαίνει τον ορισμό του w j.
53 Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Ιιότητες: Ο αλόριθμος stnumber παράει έκυρη st-αρίθμηση. Απόειξη Από την προηούμενη ιιότητα προκύπτει ότι όλοι κόμβοι λαμβάνουν αρίθμηση και επιπλέον αρίθμηση(s)=1 και αρίθμηση(t)=n. Έστω αυθαίρετος κόμβος u s,t. Για να τοποθετηθεί ο u στην Σ ια πρώτη φορά, πρέπει μια κλήση PathFinder(v) να επιστρέψει ένα απλό μονοπάτι P που περιέχει τον u. Έστω x ό κόμβος που προηείται του u στο P και έστω y ό κόμβος που έπεται του u στο P. Τότε ο u τοποθετείται πάνω από τον y και κάτω από τον x στην Σ. Άρα θα έχουμε αρίθμηση(x)<αρίθμηση(u)<αρίθμηση(y).
54 PQ-ένρα Δομή εομένων που αναπαριστά τις μεταθέσεις ενός συνόλου U στις οποίες συκεκριμένα υποσύνολα του U εμφανίζονται ως συνεχόμενες υποακολουθίες. Παράειμα Έστω σύνολο U={α,β,,} και υποσύνολα S 1 ={α,β,}, S 2 ={α,}. Οι έκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες: β,,α,,β,α,,α,β,,α,,β
55 PQ-ένρα Δομή εομένων που αναπαριστά τις μεταθέσεις ενός συνόλου U στις οποίες συκεκριμένα υποσύνολα του U εμφανίζονται ως συνεχόμενες υποακολουθίες. Παράειμα Έστω σύνολο U={α,β,,} και υποσύνολα S 1 ={α,β,}, S 2 ={α,}. Οι έκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες: β,,α,,β,α,,α,β,,α,,β Αν είχαμε επιπλέον το υποσύνολο S 3 ={β,} τότε εν υπάρχει καμία έκυρη μετάθεση του U.
56 PQ-ένρα Ένα PQ-ένρο ια το σύνολο στοιχείων U είναι ένα ιατεταμένο ένρο όπου : Στα φύλλα του ένρου βρίσκονται στοιχεία του U. Οι εσωτερικοί κόμβοι ιακρίνονται σε ύο κατηορίες: στους P-κόμβους και στους Q-κόμβους.
57 PQ-ένρα Ένα PQ-ένρο ορίζεται αναρομικά ως εξής : 1. Ένα φύλλο v που περιέχει ένα στοιχείο του U είναι ένα PQ-ένρο με ρίζα v. 2. Έστω PQ-ένρα T 1, T 2,..., T k. Ένας P-κόμβος v με παιιά τα Τ i είναι ένα PQένρο με ρίζα v. Αναπαριστά όλες τις μεταθέσεις των T 1, T 2,..., T k.... T 1 T 2 T k 3. Έστω PQ-ένρα T 1, T 2,..., T k. Ένας Q-κόμβος v με παιιά τα Τ i είναι ένα PQένρο με ρίζα v. Αναπαριστά τη ιάταξη T 1, T 2,..., T k ή τη ιάταξη T k, T k-1,..., T 1. T 1 T 2... T k
58 PQ-ένρα Ένα PQ-ένρο είναι έκυρο όταν : Κάθε στοιχείο του U εμφανίζεται σε ακριβώς ένα φύλλο. Κάθε P-κόμβος έχει τουλάχιστον 2 παιιά. Κάθε Q-κόμβος έχει τουλάχιστον 3 παιιά.
59 PQ-ένρα Παράειμα Έστω σύνολο U={α,β,,} και υποσύνολα S 1 ={α,β,}, S 2 ={α,}. Οι έκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες: β,,α,,β,α,,α,β,,α,,β α β PQ-ένρο
60 PQ-ένρα Παρατήρηση : Οι Q-κόμβοι είναι απαραίτητοι. Π.χ. οι μεταθέσεις του συνόλου U={α,β,} με υποσύνολα S 1 ={α,β} και S 2 ={β,} εν μπορούν να αναπαρασταθούν από ένρο με μόνο φύλλα και P-κόμβους.
61 PQ-ένρα Παρατήρηση : Οι Q-κόμβοι είναι απαραίτητοι. Π.χ. οι μεταθέσεις του συνόλου U={α,β,} με υποσύνολα S 1 ={α,β} και S 2 ={β,} εν μπορούν να αναπαρασταθούν από ένρο με μόνο φύλλα και P-κόμβους. Οι έκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες: α,β,,β,α α β PQ-ένρο
62 PQ-ένρα Δύο PQ-ένρα είναι ισούναμα όταν το ένα μπορεί να μετατραπεί στο άλλο με χρήση 0 ή παραπάνω μετασχηματισμούς ισουναμίας. Τύποι μετασχηματισμών ισουναμίας : 1. Αυθαίρετη μετάθεση των παιιών ενός P-κόμβου. T 1 T 2 T 3 T 4 T 2 T 3 T 4 T 1 2. Αντιστροφή των παιιών ενός Q-κόμβου T 1 T 2 T 3 T 4 T 4 T 3 T 2 T 1
63 PQ-ένρα α β ε ζ η θ κ λ ι ισούναμο με β α θ η κ λ ι ε ζ
64 PQ-ένρα Δομή εομένων που αναπαριστά τις μεταθέσεις ενός συνόλου U στις οποίες συκεκριμένα υποσύνολα του U εμφανίζονται ως συνεχόμενες υποακολουθίες. Αλόριθμος Έστω U={a 1,a 2,...,a m } και έστω S={S 1, S 2,..., S n }. Ξεκινάμε με ένα αρχικό PQ-ένρο με ρίζα ένα P-κόμβο που έχει ως παιιά m φύλλα με τα στοιχεία του U. a 1 a 2... a m Επεξεραζόμαστε ένα-ένα τα υποσύνολα S j ϵ S. Για κάθε τέτοιο υποσύνολο S j τροποποιούμε κατάλληλα το PQ-ένρο ώστε τα στοιχεία του S j να εμφανίζονται συνεχόμενα. Η επεξερασία του PQ-ένρου ια το υποσύνολο S j ίνεται από κάτω προς τα πάνω και επηρεάζει τους κόμβους που είναι πρόονοι φύλλων που αντιστοιχούν στα στοιχεία του S j.
65 PQ-ένρα Παράειμα Έστω σύνολο U={α,β,,} και υποσύνολα S 1 ={α,β,}, S 2 ={α,}. α β αρχικό PQ-ένρο
66 PQ-ένρα Παράειμα Έστω σύνολο U={α,β,,} και υποσύνολα S 1 ={α,β,}, S 2 ={α,}. α β προσθήκη συνόλου S 1 α β αρχικό PQ-ένρο
67 PQ-ένρα Παράειμα Έστω σύνολο U={α,β,,} και υποσύνολα S 1 ={α,β,}, S 2 ={α,}. προσθήκη συνόλου S 2 α α β β α β
68 PQ-ένρα Η επεξερασία του PQ-ένρου ια το υποσύνολο S j ίνεται από κάτω προς τα πάνω και επηρεάζει τους κόμβους που είναι πρόονοι φύλλων που αντιστοιχούν στα στοιχεία του S j. Έστω U(v) το σύνολο των στοιχείων του U που είναι αποθηκευμένα στα φύλλα του υποένρου με ρίζα v. Ο κόμβος v είναι : Πλήρης (ια το S j ), όταν U(v) S j. Κενός (ια το S j ), όταν U(v) S j =. Μερικός (ια το S j ), όταν U(v) S j. Ένας πλήρης ή μερικός κόμβος v λέμε ότι είναι σχετικός (ια το S j ).
69 PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. Αν ο κόμβος v είναι πλήρης ή κενός τότε εν πραματοποιείται καμία αλλαή.
70 PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. Αν ο κόμβος v είναι μερικός P-κόμβος τότε ιακρίνουμε περιπτώσεις ανάλοα με το αν (1) ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και (2) αν έχει (1 ή 2) παιιά που είναι μερικά. v S j ={β,ι} α β ε ζ η θ κ λ ι
71 PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. Αν ο κόμβος v είναι μερικός P-κόμβος τότε ιακρίνουμε περιπτώσεις ανάλοα με το αν (1) ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και (2) αν έχει (1 ή 2) παιιά που είναι μερικά. Αν εν μπορεί να εφαρμοστεί κανένας μετασχηματισμός ια τον κόμβο v τότε εν υπάρχει μετάθεση του U που να ικανοποιεί τους περιορισμούς του S.
72 PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. α) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και εν έχει κανένα μερικό παιί κενοί πλήρεις...
73 PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. β) Ο v εν είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και εν έχει κανένα μερικό παιί κενοί πλήρεις......
74 PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. ) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς ένα μερικό παιί
75 PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. ) Ο v εν είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς ένα μερικό παιί
76 PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. ε) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς ύο μερικά παιιά
77 PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. Ανάλοοι μετασχηματισμοί ορίζονται και ια τους Q-κόμβους.
78 PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. ) Ο v έχει ακριβώς ένα μερικό παιί
79 PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. ) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς ύο μερικά παιιά
80 PQ-ένρα Παράειμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-ένρο. α β ε ζ η θ κ λ ι
81 PQ-ένρα Παράειμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-ένρο. α β ε (β) ζ η θ κ λ ι
82 PQ-ένρα Παράειμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-ένρο. α β ε ζ η θ κ λ ι
83 PQ-ένρα Παράειμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-ένρο. α β ζ ε ι κ λ η θ
84 PQ-ένρα Παράειμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-ένρο. α β ζ ε ι κ λ η θ ( )
85 PQ-ένρα Παράειμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-ένρο. α β ζ ε ι κ λ η θ
86 PQ-ένρα Η αποοτική υλοποίηση των μετασχηματισμών του PQ-ένρου απαιτεί προσοχή! Ένα PQ-ένρο μπορεί να υπολοίσει τις μεταθέσεις ενός συνόλου U με m στοιχεία έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισμοί n υποσυνόλων S 1, S 2,..., S n σε συνολικό χρόνο
87 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Έστω G ένα απλό, ισυνεκτικό ράφημα με n 5 κόμβους και m 3n-6 ακμές. Υπολοίζουμε μια st-αρίθμηση του G. Επεξεραζόμαστε τους κόμβους του G σε αύξουσα st-αρίθμηση ως εξής : Έστω G i το υποράφημα του G που περιλαμβάνει τους κόμβους 1, 2,,i και τις μεταξύ τους ακμές. 6 t s 1 3
88 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Έστω G ένα απλό, ισυνεκτικό ράφημα με n 5 κόμβους και m 3n-6 ακμές. Υπολοίζουμε μια st-αρίθμηση του G. Επεξεραζόμαστε τους κόμβους του G σε αύξουσα st-αρίθμηση ως εξής : Έστω G i το υποράφημα του G που περιλαμβάνει τους κόμβους 1, 2,,i και τις μεταξύ τους ακμές. 6 t s 1 G 3 3
89 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Έστω G ένα απλό, ισυνεκτικό ράφημα με n 5 κόμβους και m 3n-6 ακμές. Υπολοίζουμε μια st-αρίθμηση του G. Επεξεραζόμαστε τους κόμβους του G σε αύξουσα st-αρίθμηση ως εξής : Έστω G i το υποράφημα του G που περιλαμβάνει τους κόμβους 1, 2,,i και τις μεταξύ τους ακμές. Για i=2,,n-1, έχουμε μια (έμμεση) αναπαράσταση του G i στο επίπεο την οποία επεκτείνουμε με την προσθήκη του κόμβου i+1.
90 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Θεωρούμε ένα σχέιο του G στο επίπεο όπου η ακμή (1,n) βρίσκεται στην εξωτερική όψη. n Στο αντίστοιχο σχέιο του G i, ο κόμβος n βρίσκεται στην εξωτερική όψη. G i
91 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Θεωρούμε ένα σχέιο του G στο επίπεο όπου η ακμή (1,n) βρίσκεται στην εξωτερική όψη. Στο αντίστοιχο σχέιο του G i, ο κόμβος n βρίσκεται στην εξωτερική όψη. G i j n Επιπλέον, ια κάθε κόμβο j>i, υπάρχει μονοπάτι από τον j στον n το οποίο εν περιέχει κόμβους του G i (συνεπάεται από την st-αρίθμηση). Άρα όλοι οι κόμβοι j>i πρέπει να βρίσκονται στην εξωτερική όψη του G i.
92 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Αρκεί να ελέξουμε αν το G i μπορεί να σχειαστεί έτσι ώστε οι κόμβοι i+1,,n να βρίσκονται στην εξωτερική του όψη. Ορίζουμε ένα βοηθητικό ράφημα B i το οποίο προκύπτει από το G i με την προσθήκη κόμβων και ακμών ως εξής: Για κάθε ακμή (k,j) του G με k i και j>i προσθέτουμε ένα νέο αντίραφο του κόμβου j μαζί με την ακμή (k,j). 6 t s 1 G 3 1 B 3
93 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Αρκεί να ελέξουμε αν το G i μπορεί να σχειαστεί έτσι ώστε οι κόμβοι i+1,,n να βρίσκονται στην εξωτερική του όψη. Ορίζουμε ένα βοηθητικό ράφημα B i το οποίο προκύπτει από το G i με την προσθήκη κόμβων και ακμών ως εξής: Για κάθε ακμή (k,j) του G με k i και j>i προσθέτουμε ένα νέο αντίραφο του κόμβου j μαζί με την ακμή (k,j). Τώρα πρέπει να ελέξουμε αν οι νέοι κόμβοι μπορούν να τοποθετηθούν στην εξωτερική όψη : Για το B 1 προφανώς ισχύει. i Έστω ότι ισχύει ια το B i-1. Αρκεί να εξετάσουμε αν υπάρχει αναπαράσταση του B i i όπου οι νέοι ειτονικοί κόμβοι του i μπορούν να τοποθετηθούν σε συνεχόμενες θέσεις.
94 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα
95 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 3 (1,2) (1,3) (1,5) 1 B 1 2 Εισάουμε P-κόμβο ια τις ακμές (1,j) με j>1.
96 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 3 (1,2) (1,3) (1,5) 1 2 Ομαοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 2. Υπάρχει μόνο η (1,2) οπότε εν αλλάζει κάτι.
97 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα (1,3) (1,5) 1 2 (2,3) (2,4) (2,5) B 2 Εισάουμε στη θέση της ακμής (1,2) ένα P-κόμβο ια τις ακμές (2,j) με j>2.
98 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα (1,3) (1,5) 1 2 (2,3) (2,4) (2,5) Ομαοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 3.
99 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα (1,5) (2,3) (1,3) 1 2 (2,4) (2,5) Ομαοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 3.
100 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα (1,5) (2,3) (1,3) 1 2 (2,4) (2,5) B 3
101 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα (1,5) 1 2 (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) B 3 Εισάουμε στη θέση των ακμών(1,3) και (2,3) ένα P-κόμβο ια τις ακμές (3,j) με j>3.
102 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα (1,5) 1 2 (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) Ομαοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 4.
103 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα (1,5) (2,5) (2,4) (3,4) (3,5) 1 2
104 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα (1,5) 1 B 4 2 (2,5) (4,5) (3,5) Εισάουμε στη θέση των ακμών(3,4) και (3,5) ένα φύλλο ια την ακμή (4,5).
105 Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 3 (1,5) (2,5) (4,5) (3,5) 1 2 Ομαοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 5. Είναι ήη σε συνεχόμενη ιάταξη.
Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)
Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΠΕΔΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7
Επίπεδα Γραφήματα 197 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΠΙΠΕΔΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 7.1 Εισαγωγή 7.2 Τύπος του Euler 7.3 Αναπαράσταση Επίπεδου Γραφήματος 7.4 Δυϊκό Γράφημα ενός Επίπεδου Γραφήματος 7.5 Εξωεπίπεδο Γράφημα 7.6 Έλεγχος Επιπεδότητας
Διαβάστε περισσότεραe 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Λίβανος & Σ. Κ. 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (edge-separator) ενός γραφήματος =
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα
Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017
Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων
Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Περιεχόμενα 11.1 Εισαγωγή... 227 11.2 Εφαρμογή στο Πρόβλημα της Συνεκτικότητας... 228 11.3 Δομή Ξένων Συνόλων με Συνδεδεμένες Λίστες... 229 11.4 Δομή Ξένων Συνόλων με Ανοδικά
Διαβάστε περισσότεραd(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες
Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΔιερεύνηση γραφήματος
Διερεύνηση γραφήματος Διερεύνηση γραφήματος Ένας αλγόριθμος διερεύνησης γραφήματος επισκέπτεται τους κόμβους του γραφήματος με μια καθορισμένη στρατηγική, π.χ. κατά εύρος ή κατά βάθος. Καθοδική διερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες
Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k
Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017
Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Όλα τα γραφήματα είναι μη-κατευθυνόμενα, αν δεν αναφέρεται κάτι άλλο. ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις».
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Βασίλης Λίβανος Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (Edge-eparator) ενός γραφήματος G = (V, E)
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων
Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις
Διαβάστε περισσότεραq(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
Διαβάστε περισσότερα6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων
ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 6 η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων Αλγόριθμος αναζήτησης σε Βαθος Αλγόριθμος αναζήτησης κατά Πλάτος Αλγόριθμοι για Δένδρα Εύρεση ελαχίστων Γεννητορικών (Επικαλύπτοντα) Δένδρων Διάσχιση
Διαβάστε περισσότεραE(G) 2(k 1) = 2k 3.
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραz 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό
Διαβάστε περισσότεραΔιαχρονικές δομές δεδομένων
Διαχρονικές δομές δεδομένων Μια τυπική δομή δεδομένων μεταβάλλεται με πράξεις εισαγωγής ή διαγραφής Π.χ. κοκκινόμαυρο δένδρο εισαγωγή 0 18 0 5 39 73 1 46 6 80 Αποκατάσταση ισορροπίας 5 39 73 0 46 6 80
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
ιάλεξη : λάχιστα εννητορικά ένδρα Αλγόριθμος Prim Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: λάχιστα εννητορικά ένδρα () Minimum Spanning Trees Ο αλγόριθμος του Prim για εύρεση σε γράφους
Διαβάστε περισσότεραΣυνεκτικότητα Γραφήματος
Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης έννοια στη Θεωρία Γραφημάτων. Πληθώρα πρακτικών εφαρμογών, όπως: Αξιόπιστη και ασφαλής επικοινωνία. Δρομολόγηση σε δίκτυα. Πλοήγηση. Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης
Διαβάστε περισσότεραέντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Βιβλιοραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο : Ενότητες.-.3 Παρασκευόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση 1 ης Εργασίας. Παραδόθηκαν: 11/12 15%
Επίλυση 1 ης Εργασίας Παραδόθηκαν: 11/12 15% ΘΕΜΑ 1 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α) Συνθήκη συντήρησης της αρχικής ροής Το φορτίο που μεταφέρεται από τον r είναι 3 (r->1=1) + (r->3=0) + (r- >4=2) Το φορτίο που φθάνει στον
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι;
Άπληστοι Αλγόριθμοι ΙΙI Αλγόριθμοι γραφημάτων Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο Παράδειγμα Κατασκευή δικτύων Οδικά, επικοινωνίας Έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα (V,E) και ένας βάρος we σε κάθε ακμή e. Να βρεθεί υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 5 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Συνεκτικότητα Έννοια της συνδεσμικότητας: «Ποσότητα συνδεσμικότητας»...
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα
Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ
Διάλεξη 3: 25..26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Καλλιόπη Πατερομιχελάκη 3. Εναγόμενοι κύκλοι Ορισμός 3. Ενας κύκλος του γραφήματος G = (V, E), καλείται εναγόμενος αν = G[V ()].
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 9 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ
ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Υπεύθυνος: Επικ. Καθηητής Δρ. Α. ΦΑΤΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαιο 7 ιασκοντες: Ν. Μαρµαρίης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ. Ψαρουάκης Ιστοσελια Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii.html - - Ασκηση.
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός προγραμματισμός για δέντρα
ΘΕ5 Ιδιότητες Δέντρων και Αναδρομή για Δέντρα Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα Έστω ότι, για k=1,..., m, το γράφημα Γ k = (V k, E k ) είναι δέντρο. Έστω w V 1... V m, z k V k, για k=1,..., m. Συμβολίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)
Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
Διάλεξη 9: Εισαγωγή στους Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Γράφοι - ορισμοί και υλοποίηση Διάσχιση Γράφων Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;
ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστα Γεννητορικά ένδρα
λάχιστα Γεννητορικά ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος του Prim και ο αλγόριθµος του Kruskal για εύρεση λάχιστων Γεννητορικών ένδρων ΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.
Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΕπαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα
ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις στα θέματα της Προόδου της ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ (8 Μαΐου 2010)
στα θέματα της Προόδου της ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ (8 Μαΐου ) Εκδοχή (α) Ι. Να απαντήσετε σύντομα και περιεκτικά στις παρακάτω ερωτήσεις. (Σωστό-Λάθος) α) (Σ/Λ) Μια βάση του χώρου στηλών ενός μητρώου Α R mxn
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΜη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων. Γραφήματα. Αναπαράσταση Γραφημάτων 3. Διερεύνηση σε Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Γράφημα Ορισμός: Ένα γράφημα G είναι το διατεταγμένο ζεύγος
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την
Διαβάστε περισσότεραP = (J, B) T = (I, A) P = (J, B) G = (V, E) i 1 i i + 1
Θεωρία Γραφημάτων Διάλεξη 19: 14.12.2016 και 15.12.2016 Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Αγγελική Χαντζηθάνου & Σ. Κ. 19.1 Σχέση πλάτους μονοπατιού και δενδροπλάτους Πρόταση 19.1 Το πλέγμα Γ n n
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 231 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι 11-1
Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Γράφοι - ορισµοί και υλοποίηση Διάσχιση Γράφων Τοπολογική Ταξινόµηση ΕΠΛ 23 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Γράφοι Η πιο γενική µορφή δοµής
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Minimum Spanning Trees 2. Αλγόριθμος Prim 3. Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Minimum Spanning Tree Πρόβλημα: Για δοσμένο συνεκτικό, μη προσανατολισμένο,
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
Διαβάστε περισσότεραX i, i I Y j, j J. X i. Z j P = (J, B) G T = (I, J) 1 2 i i + 1 n. 1 i V
Θεωρία Γραφημάτων Διάλεξη 19: 14.12.2016 και 15.12.2016 Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Αγγελική Χαντζηθάνου 19.1 Σχέση πλάτους μονοπατιού και δενδροπλάτους Πρόταση 19.1 Το πλέγμα Γ n n έχει πλάτος
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 8 η Διάλεξη Επιπεδότητα (ή επιπεδικότητα γράφων) Βασικές εννοιες και ιδιότητες Θεώρημα Kuratowski Δυαδικότητα (Δυϊκότητα) επίπεδων γράφων Αλγόριθμοι
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 13: D Σχήμα 13.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 13.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων πο
Διάλεξη 13: 25.11.26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Καλλιόπη Πατερομιχελάκη & Σ. Κ. 13.1 Εναγόμενοι κύκλοι Ορισμός 13.1 Ενας κύκλος του γραφήματος G = (V, E), καλείται εναγόμενος
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 2 Η ΔΙΑΛΕΞΗ Βασικές Έννοιες Γράφων - Ορισμοί (συνέχεια) - Ισομορφισμοί-Ομοιομορφισμοί Γράφων - Πράξεις - Αναπαράσταση Γράφων (Πίνακες
Διαβάστε περισσότεραΤεχνική Οδηγία 5 Ανάλυση συµπαγών πλακών
CSI Hellas, εκέµβριος 2003 Τεχνική Οδηία 5 Ανάλυση συµπαών πλακών Η τεχνική οδηία 5 παρέχει βασικές πληροφορίες ια την πλακών. ανάλυση Γενικά. Το Adaptor αναλύει µόνο συµπαείς ορθοωνικές πλάκες, συνεχείς
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήµατα Μοντελοποίηση πολλών σηµαντικών προβληµάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΟυρά Προτεραιότητας (priority queue)
Ουρά Προτεραιότητας (priority queue) Δομή δεδομένων που υποστηρίζει τις ακόλουθες λειτουργίες PQinsert : εισαγωγή στοιχείου PQdelmax : επιστροφή του στοιχείου με το μεγαλύτερο* κλειδί και διαγραφή του
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου,
Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Γράφοι - ορισµοί και υλοποίηση Τοπολογική Ταξινόµηση ιάσχιση Γράφων ΕΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, 26 - Γράφοι Ηπιο
Διαβάστε περισσότεραΔιαπεράσεις Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Διαπεράσεις Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων Κάθε διαδικασία συστηματικής και εξαντλητικής εξερευνήσεως ενός γραφήματος, με την εξέταση των κορυφών και ακμών του Παρ όλη την απλότητά τους, οι διαπεράσεις είναι
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Άσκηση 1 Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) {0 n 1 n n > 0} {0 n 1 2n n > 0} (β) {w {a,b} * η w ξεκινά και τελειώνει με το ίδιο σύμβολο
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό έντρο
Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Διαβάστε περισσότεραΕπαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα
ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη προτασιακή
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότερα4.3 Ορθότητα και Πληρότητα
4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΚατ οίκον Εργασία 5 Σκελετοί Λύσεων
Κατ οίκον Εργασία 5 Σκελετοί Λύσεων Άσκηση 1 Χρησιμοποιούμε τις δομές: struct hashtable { struct node array[maxsize]; int maxsize; int size; struct node{ int data; int status; Στο πεδίο status σημειώνουμε
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)
Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0
Διαβάστε περισσότεραOutline 1 Άσκηση 1 2 Άσκηση 2 3 Άσκηση 3 4 Άσκηση 4 5 Άσκηση 5 6 Προγραμματιστική Άσκηση 1 7 Προγραμματιστική Άσκηση 2 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 3η Σειρά Γραπτών και Προγραμματιστικών Ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Ιανουάριος 2019 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3η σειρά ασκήσεων Ιανουάριος 2019 1 / 54 Outline 1 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραGraph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια
Graph Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Περιεχόμενα Μεταβατικό Κλείσιμο Συνεκτικές συνιστώσες Συντομότερα μονοπάτια Breadth First Spanning
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Διαβάστε περισσότεραΕλαφρύτατες διαδρομές
Ελαφρύτατες διαδρομές Ελαφρύτατες διαδρομές Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση βάρους Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος s 3 t 7 x 5 3 y z Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής εάν
Διαβάστε περισσότεραΟι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι:
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μια δομή δεδομένων στην πληροφορική, συχνά αναπαριστά οντότητες του φυσικού κόσμου στον υπολογιστή. Για την αναπαράσταση αυτή, δημιουργούμε πρώτα ένα αφηρημένο μοντέλο στο οποίο προσδιορίζονται
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότερα