Απαντήσεις στα θέματα της Προόδου της ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ (8 Μαΐου 2010)

Transcript

1 στα θέματα της Προόδου της ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ (8 Μαΐου ) Εκδοχή (α) Ι. Να απαντήσετε σύντομα και περιεκτικά στις παρακάτω ερωτήσεις. (Σωστό-Λάθος) α) (Σ/Λ) Μια βάση του χώρου στηλών ενός μητρώου Α R mxn είναι οι στήλες οδηών του κλιμακωτού μητρώου U, που προκύπτει από την απαλοιφή. Απ. Λάθος. Η παραπάνω διατύπωση ισοδυναμεί με το ότι χώρος στηλών του A C(A) χώρος στηλών του U C(U), που δεν ισχύει (το ορθό είναι ότι βάση του C(Α) είναι οι στήλες του Α που αντιστοιχούν στις στήλες οδηών του U): αν nk(a)<m, δηλ. το U έχει m-> μηδενικές ραμμές, τότε θα έπρεπε ια κάθε στήλη ci ( i n) του A να είναι (σημειώνουμε με υπο-δείκτες τις διαστάσεις κάθε μητρώου): N n N N ci U m xn ( m) n ( m) ( m) n άτοπο, αφού οι στήλες του Α δεν καταλήουν κατ ανάκη σε m- μηδενικά. β) (Σ/Λ) Το σύνολο n των τετραωνικών μητρώων Α, με tce(a) nn, αποτελεί διανυσματικό υποχώρο. Απ. Σωστό. Για το ουδέτερο στοιχείο R nxn προφανώς είναι tce(), συνεπώς n. Αν τώρα Α,Β n και c R, τότε tce(αcβ)tce(a)c tce(b), δηλαδή ΑcΒ n. Επομένως το n συνιστά διανυσματικό υποχώρο του διανυσματικού χώρου των τετραωνικών μητρώων R nxn.. Αν Α R mxn, τότε δείξτε ότι ο μηδενοχώρος του Α ισούται με τον μηδενοχώρο του Α Α. Απ. Δείχνουμε πρώτα ότι N(A) N(Α Α) (N(A)μηδενοχώρος του Α). Aν x N(A), τότε Ax ή ισοδύναμα Α AxΑ, δηλαδή x N(Α A). Στη συνέχεια δείχνουμε N(Α A) N(Α). Αν x N(Α A), τότε Α Ax x Α Axx (Αx) Ax Ax Αx x N(A). Συνεπώς N(A)N(Α Α).. Έστω o διαν. υποχώρος V που παράεται από τα διανύσματα (,, ), (,, ), (,, ) (συμβολισμός: Vspn(,, ), δηλαδή το V δίδεται από όλους τους ραμμικούς συνδυασμούς των,,). Αν δοθεί x(,, ), τότε ποια σχέση πρέπει να πληρούν οι παράμετροι και, ώστε x V; Απ. Κατ αρχάς παρατηρούμε ότι τα,, είναι εξαρτημένα (αυτό φαίνεται εύκολα και εκ πρώτης όψεως: -): C [ ] U δηλ. nk(c)nk(u). Συνεπώς Vspn(, ) και dim(v). Τώρα, ια να είναι x V, αρκεί τα,, x να είναι εξαρτημένα, δηλ. nk([,, x]). Εφαρμόζοντας απαλοιφή λαμβάνουμε:

2 x και συνεπώς θα πρέπει - ή. II. Δίνεται το ραμμικό σύστημα Αx, όπου A[ -; - -; - ] και [,, ]. α) Να υπολοίσετε το κλιμακωτό μητρώο U που αντιστοιχεί στο Α, μετά την εφαρμοή απαλοιφής. Ποια είναι η τάξη του A; β) Βρείτε μια βάση ια το μηδενοχώρο του Α. ) Βρείτε ια ποια τιμή του υπάρχει λύση. Στη συνέχεια υπολοίστε συστηματικά τη ενική λύση του συστήματος. α) Εφαρμόζοντας απαλοιφή στον επαυξημένο [Α] έχουμε (με i υποδηλώνεται η ραμμή i) : c U A / / ) ( / / / / / / / () ) ( / ) (/ ) ( / Συνεπώς nk(a)nk(u). β) Αν Ν(Α) ο μηδενοχώρος του A, είναι dim(n(a))n-nk(a)-. Οι ελεύθερες μεταβλητές (στήλες) είναι οι x, x. Θέτοντας τώρα στο σύστημα Ux x και x, λαμβάνουμε με πίσω αντικατάσταση: x-- x και x- x-. Επομένως μια ειδική λύση είναι η s(-,,,). Για x και x παίρνουμε: x-- x-/ και x /- x-/. Η δεύτερη ειδική λύση είναι η s(/,/,,). Συνεπώς μια βάση του N(A) είναι η {s, s}. ) Για να έχει λύση το Αx, αρκεί να έχει λύση το ισοδύναμό του Uxc, δηλαδή c C(U). Συνεπώς (από ερώτημα (α)) θα πρέπει -/, δηλαδή /. Υπολοίζουμε τώρα τη μερική λύση xμ του Αx θέτοντας xx στο Uxc: x-/ x-/ και x-/ x/. Άρα xμ(/,-/,,). Η λύση xε του ομοενούς Ax (ειδική λύση) υπολοίσθηκε στο ερ. (β). Συνεπώς η ενική (πλήρης) λύση xπ δίδεται: xπ xμ xε (/,-/,,) c(-,,,) c(/,/,,), ια c,c R. III. Δίνεται το μητρώο A[,;,], και έστω ότι θέτουμε ΒΑ Τ (δηλ. το ανάστροφο) και CA - (το αντίστροφο). α) Να υπολοίσετε τα ινόμενα () WBA, () YBCA, () VABC, () ZCA(BCA) C (Υπόδειξη: πολλές πράξεις μπορούν να αποφευχθούν) β) Δίνεται το διάνυσμα e[,] και κατασκευάζουμε το σύνθετο μητρώο G[A, e ; e, ]. (i) Αν y είναι το διάνυσμα (στήλη) που είναι η η στήλη του G, να βρείτε το y.

3 (ii) Να υπολοίσετε μητρώο Q τέτοιο ώστε GQ να είναι το μητρώο εκείνο που έχει ια η και η στήλη όπως και του G και η στήλη το άθροισμα των στηλών και του G. (iii) Να βρείτε (χωρίς να κάνετε υπολοισμούς) μητρώο P τέτοιο ώστε [A, e ]PG (προσοχή, το P δεν είναι τετραωνικό). α) ) WBA [, ;, ] [, ;, ] [6, ; ] (προσέξτε είναι συμμετρικό). ) Εξ ορισμού, ACCAI, επομένως YBCAB(CA) B Ι Β [, ;, ]. ) CA - και εύκολα (στην περίπτωση δικαιολοείται και η χρήση οριζουσών λόω μεέθους) C [-/8, / ;/, ] ; ενώ V A Α Τ A - [, ;, 7][-/8, / ;/, ] [/, ; 8 /, /]. ) CA(BCA) C I (B I) C B C (A) ) A - I. β) (i) G [,, ;,, ;,, ] επομένως y[;;]. (ii) Θέλουμε ισοδύναμα το μητρώο (GQ) Q G να έχει ως η ραμμή το άθροισμα των ραμμών και επομένως κατασκευάζουμε όπως κάναμε ια τα μητρώα απαλοιφής και θέτουμε Q [,, ;,, ;,, ] επομένως Q [,, ;,, ;,, ]. (iii) Το P πρέπει να είναι επί και να επιλέει τις πρώτες ραμμές από το G, επομένως P [I, ] όπου το I είναι το ταυτοτικό μητρώο επί και το το μηδενικό διάνυσμα (στήλη) [;]. IV. Δίνονται τα διανύσματα [;-;], [;;]. α) Να βρείτε μητρώο P τέτοιο ώστε αν x είναι οποιδήποτε διάνυσμα στον R, το Px να είναι η ορθοώνια προβολή του x στον υπόχωρο που παράεται από το διάνυσμα [,,-]. β) Αν θέσουμε x P όπου τα,, P είναι όπως παραπάνω, να υπολοίσετε το x. ) Να υπολοίσετε το συνημίτονο της ωνίας μεταξύ των διανυσμάτων -P και και να εξηήσετε το αποτέλεσμα εωμετρικά. α) Είναι P ww /(w w), επομένως : β) x P /6 [,, ] P 6 ) Το διάνυσμα P είναι ιατί τα w και είναι κάθετα μεταξύ τους οπότε -P οπότε η ωνία με το θα είναι και το συνημίτονο ίσο με.

4 Εκδοχή (β) Ι. Να απαντήσετε σύντομα και περιεκτικά στις παρακάτω ερωτήσεις. (Σωστό-Λάθος) α) (Σ/Λ) Αν,u R nx είναι μη μηδενικά διανύσματα, τότε nk(u ). Να δώσετε επίσης ένα παράδειμα που να επαληθεύει τον ισχυρισμό σας. Απ. Σωστό. Το ινόμενο u μπορεί να ραφτεί: u u u L un u u un [ u u, K u ] [ u, u, K u], n Δηλαδή όλες οι ραμμές (αντίστοιχα στήλες) είναι πολλαπλάσια του (αντίστοιχα του u), ή ισοδύναμα: χώρος στηλών C(A) {αu/α R} (χώρος ραμμών C(A ) {α/α R}). Άρα nk(u )dim(c(a)) dim(c(a )). Για παράδειμα ια u[; ], [; ], παίρνουμε: n u ( / ) 8 (/ ) β) (Σ/Λ) Το σύνολο n των άνω (ή κάτω) τριωνικών μητρώων Α R nxn αποτελεί διανυσματικό υποχώρο. Απ. Σωστό. Το ουδέτερο στοιχείο R nxn προφανώς είναι τριωνικό μητρώο, συνεπώς n. Αν τώρα Α,Β n και c R, τότε ΑΒ και ca προφανώς είναι ομοίως τριωνικοί, δηλαδή ΑΒ n και cα n. Επομένως το n συνιστά διανυσματικό υποχώρο του διανυσματικού χώρου των τετραωνικών μητρώων R nxn.. Έστω {,,n} μια βάση του R n (i R n ) και ένα αντιστρέψιμο μητρώο Α R nxn. Να δείξετε ότι τότε και τα διανύσματα {A,,An } αποτελούν βάση του R n. Απ. Αν μορφώσουμε το μητρώο C[A An] θα ισχύει: C[A An]Α[ n]. Το Α δίδεται αντιστρέψιμο, ενώ το ίδιο συμβαίνει και ια το [ n], αφού τα n είναι ανεξάρτητα. Επομένως και το C θα είναι αντιστρέψιμο, ως ινόμενο αντιστρέψιμων μητρώων. Άρα οι στήλες του θα είναι ανεξάρτητες και επειδή είναι ndim(r n ) στο πλήθος, θα αποτελούν βάση του R n.. Έστω o διανυσματικός υποχώρος V που παράεται από τα διανύσματα (,, ), (,, ), (, -, 6) (συμβολισμός: Vspn(,, ), δηλαδή το V δίδεται από όλους τους ραμμικούς συνδυασμούς των,,). Αν δοθεί y(,, ), τότε ποια σχέση πρέπει να πληρούν οι παράμετροι,, ώστε y V; Απ. Κατ αρχάς παρατηρούμε ότι τα,, είναι εξαρτημένα (αυτό φαίνεται εύκολα και εκ πρώτης όψεως: -).: C [ ] 8 U 6 δηλ. nk(c)nk(u). Συνεπώς Vspn(, ) και dim(v). Τώρα, ια να είναι y V, αρκεί τα,, y να είναι εξαρτημένα, δηλ. nk([,, y]). Εφαρμόζοντας απαλοιφή λαμβάνουμε:

5 y και συνεπώς θα πρέπει -(-)/ -. II. Δίνεται το ραμμικό σύστημα Αx, όπου A[ ; - ; - -] και [,, ]. α) Να υπολοίσετε το κλιμακωτό μητρώο U που αντιστοιχεί στο Α, μετά την εφαρμοή απαλοιφής. Ποια είναι η τάξη του A; β) Βρείτε μια βάση ια το μηδενοχώρο του Α. ) Βρείτε ια ποια τιμή του υπάρχει λύση. Στη συνέχεια υπολοίστε συστηματικά τη ενική λύση του συστήματος. α) Εφαρμόζοντας απαλοιφή στον επαυξημένο [Α] έχουμε: c U A ) ( ) ( / 8 / / / ) ( / () ) ( / ) ( / Συνεπώς nk(a)nk(u). β) Αν Ν(Α) ο μηδενοχώρος του A, είναι dim(n(a))n-nk(a)-. Οι ελεύθερες μεταβλητές (στήλες) είναι οι x, x. Θέτοντας τώρα στο σύστημα Ux x και x, λαμβάνουμε με πίσω αντικατάσταση: -x-- x-/ και x (-/) x6. Επομένως μια ειδική λύση είναι η s(6,-/,,). Για x και x παίρνουμε: -x- x/ και x / x-. Η δεύτερη ειδική λύση είναι η s(-,/,,). Συνεπώς μια βάση του N(A) είναι η {s, s}. ) Για να έχει λύση το Αx, αρκεί να έχει λύση το ισοδύναμό του Uxc, δηλαδή c C(U). Συνεπώς (από ερώτημα (α)) θα πρέπει (/)(/)-, από όπου. Υπολοίζουμε τώρα τη μερική λύση xμ του Αx θέτοντας στο Uxc xx. Παίρνουμε: -x- x και x x-. Επομένως xμ(-,,, ). Η λύση xε του ομοενούς Ax (ειδική λύση) υπολοίσθηκε στο ερ. (β). Συνεπώς η ενική (πλήρης) λύση xπ δίδεται: xπ xμ xε (-,,, ) c(6,-/,,) c(-,/,,), ια c,c R. θεμάτων ΙΙΙ, ΙV: Μικρές προφανείες διαφορές από την εκδοχή (α).