Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές

Transcript

1 Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Ανδρέας Καβατζικλής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου 57 8 Αθήνα kaviros@ceral.ua.gr 3 Ιουλίου 9 Περίληψη Επεχειρούμε μια γενίκευση του Λήμματος του Fejér βλέπε [4] και αποδεικνύουμε ως πόρισμα το κλασσικό Λήμμα των iema-lebesgue. Επίσης δίνουμε μερικές ενδιαφέρουσες εφαρμογές. Τέλος εξετάζουμε την ισχύ του αντιστρόφου τουλήμματος των iema-lebesgue. Εισαγωγή Έστω η συνάρτηση f είναι iema ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα του και το γενικευμένο ολοκλήρωμα f x υπάρχει. Χρησιμοποιώντας τη θεωρία ολοκλήρωσης iema παραπέμπουμε στο [5 Chaper 3 P Problem 8] μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι ενώ lim f x si x () lim f x si x f x () Επειδή η f L η () είναι άμεση συνέπεια του λήμματος των iema- Lebesgue. Η () είναι ειδική περίπτωση ενός πιο γενικού αποτελέσματος γνωστού και σαν λήμμα του Fejér [4]. Στην επόμενη παράγραφο θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε αυτά τα κλασσικά αποτελέσματα της Αρμονικής Ανάλυσης. Μάλιστα θα αποδείξουμε ότι το λήμμα των iema-lebesgue είναι ένα πόρισμα του λήμματος Fejér. Για τη συνέχεια χρειαζόμαστε μερικούς ορισμούς και συμβολισμούς. Έστω είναι ο zc : z.η σύναρτηση μοναδιαίος κύκλος στο μιγαδικό επίπεδο δηλαδή i i e απεικονίζει το επί του. Αν F : C τότε η : f F e είναι - περιοδική σύναρτηση. Αντίστροφα αν η f : C είναι περιοδική με περίοδο τότε υπάρχει

2 i F : C τέτοια ώστε F e f. Επομένως μπορούμε να ταυτίσουμε συναρτήσεις που ορίζονται στον με -περιοδικές συναρτήσεις στον.ο χώρος L p είναι η κλάση όλων των μιγαδικών Lebesgue μετρήσιμων - p περιοδικών συναρτήσεων F : C με νόρμα / p p P f P p f d < p < και P f P esssup [ ] f. Επίσης γράφουμε / p p P f P p f d p < όπου d d δηλαδή το είναι μέτρο Lebesgue στον που διαιρείται με. Το C( ) είναι ο χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων f : C με τη supremum νόρμα P f P sup f. Ορισμός Αν f L τότε το i f : f e d Z είναι ο -οστός συντελεστής Fourier της f. Η εκθετική (ή μιγαδική) μορφή της σειράς Fourier της f είναι η σειρά i f e (3) και τα μερικά αθροίσματά της είναι τα ik. k S f f k e Η τριγωνομετρική μορφή της σειράς Fourier της f είναι η σειρά όπου και Ως γνωστόν αν F L a a Επομένως αν η αν η a a b cos si a f cos d {} b f si d. a > τότε a a F x a F x f L είναι άρτια f L a f cos d F ί ά F ί ή. {} είναι περιττή a {} Συμβολισμός. Αν f L με και και b b f cos d.

3 f : f e εκφράζουμε τη σχέση που συνδέει τη συνάρτηση f με τη σειρά Fourier της f.χρησιμοποιείται αυτός ο συμβολισμός για συντομία αντί να γράφουμε τις εξισώσεις i f f e d Z. Ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο είναι ένα πεπερασμένο άθροισμα της μορφής f a a cos k b si k k k k όπου a a και b b είναι μιγαδικοί αριθμοί. Ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο γράφεται και στην μορφή ik f c e k k i όπου ck. Τα τριγωνομετρικά πολυώνυμα είναι -περιοδικές συναρτήσεις. Απόδειξη του Λήμματος Fejér-Εφαρμογές Θεώρημα (Λήμμα του Fejér) Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση g : (ή g : C) είναι Lebesgue μετρήσιμη φραγμένη και περιοδική με περίοδο >. Αν f L όπου είναι ένα διάστημα του τότε lim f x g x g x f x. (4) Απόδειξη. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι g x. Πράγματι αν θεωρούμε τη συνάρτηση h x : g x g x. Η h είναι Lebesgue μετρήσιμη φραγμένη περιοδική με περίοδο > και h x g x g x g x g x g x. Αν αποδείξουμε ότι απόδειξη της (4). Υποθέτουμε λοιπόν ότι lim f x h x από τον ορισμό της h προκύπτει η lim f x g x. Έστω Αν x g x. Πρέπει να δείξουμε ότι G x : x g d. k k Z επειδή η g είναι -περιοδική έχουμε Αν < < k x k k Z τότε k G k : g d k g d. 3

4 k x G x g d g d k g d x k k g d g d x k k g d (η g είναι -περιοδική) x k g d k k g d g d. (η g είναι -περιοδική) Επομένως για κάθε x G x g d δηλαδή η G είναι ομοιόμορφα φραγμένη στο. Αν είναι ένα οποιοδήποτε a b τότε φραγμένο διάστημα έστω Επομένως και κατά συνέπεια g b x g d G b G a. a g x g d lim g x. Αν είναι μία κλιμακωτή συνάρτηση δηλαδή γραμμικός συνδυασμός χαρακτηριστικών συναρτήσεων φραγμένων διαστημάτων τότε lim x g x. (5) Έστω τώρα η συνάρτηση f : (ή f : C ) είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη στο διάστημα του. Τότε για κάθε > υπάρχει ολοκληρώσιμη κλιμακωτή συνάρτηση ορισμένη στο με f x x < / g. Επομένως f x g x f x x g x x g x x g x. Άρα χρησιμοποιώντας τη (5) τελικά έχουμε Παρατήρηση Για lim f x g x. g x si x ή g x cos x το λήμμα του Fejér συνεπάγεται το λήμμα των iema-lebesgue. Πράγματι αν είναι ένα διάστημα του από τη (4) έχουμε lim f x cos x lim f x si x Παράδειγμα Να υπολογιστεί το. 4

5 Λύση. Η συνάρτηση g x si x lim. 3cos x / 3cos x είναι συνεχής φραγμένη και περιοδική με περίοδο. Από το λήμμα Fejér έχουμε si lim x si x 3 cos x 3cos x 3cos x 4 / 3cos x 4 4 d (αντικατάσταση a x) lim arca. Παράδειγμα Έστω το E είναι Lebesgue μετρήσιμο σύνολο με me <. Αν k είναι μία γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών και οποιαδήποτε πραγματική ακολουθία τότε k x a me a είναι μια lim cos. E Απόδειξη. Για τον υπολογισμό του ορίου θα χρησιμοποιήσουμε το λήμμα των iema-lebesgue. Πράγματι επειδή cos E cos k x a k x a x E cos E x kx a E x cos a si a me E xcos kx E xsi kx από το λήμμα των iema-lebesgue έχουμε k x a me cos E E xcos kx E xsi kx. Δίνουμε τώρα μια άλλη εφαρμογή του λήμματος Fejér. Παράδειγμα 3 Έστω οι συναρτήσεις f g είναι Lebesgue μετρήσιμες και - περιοδικές με πραγματικές ή μιγαδικές τιμές. Αν f L φραγμένης κύμανσης έστω f a acos bsi και η g είναι : και g c c cos d si Θα αποδείξουμε ότι b ( ) bk k ak lim lim lim ( ) k k k :.. (6) 5

6 Πράγματι επειδή η g είναι φραγμένης κύμανσης από το θεώρημα irichle-jorda (βλέπε [4page 74]) g c ccos dsi σχεδόν παντού. Επομένως f g k f c cf cos k df si k σχεδόν παντού. Επειδή η συνάρτηση f είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη χρησιμοποιώντας το κλασσικό θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue μπορούμε να ολοκληρώσουμε κάθε όρο της παραπάνω σειράς χωριστά οπότε f g k d ac akc bkd. Όμως από το λήμμα του Fejér έχουμε lim f g k d ac k. Επομένως Θεωρούμε τώρα τις σειρές lim k k k a c b d. (7) cos si x si x x και οι οποίες είναι σειρές Fourier συναρτήσεων φραγμένης κύμανσης. Τότε από την (7) προκύπτει η απόδειξη της (6). Ισχύει το αντίστροφο του Λήμματος iema-lebesgue; Δηλαδή αν c είναι ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε lim c ώστε υπάρχει f L τέτοια c f για κάθε Z ; Αποδεικνύουμε στη συνέχεια ότι η απάντηση είναι αρνητική. Ως γνωστόν ο πυρήνας του irichle είναι η ακολουθία Είναι οπότε για Δηλαδή ik : e k. όπου i i( k ) ik i( ) i e e e e e k k i i i( ) i i / si e e e e e. e e e e si i i/ i/ i/ 6

7 Λήμμα Αν ακολουθίας Απόδειξη. Η L si si. είναι ο πυρήνας irichle τότε L είναι τελικά μηδέν με P P lim P P. και οι όροι της. Είναι είναι συνεχής -περιοδική συνάρτηση δηλαδή. Εύκολα φαίνεται ότι Επομένως οι όροι της ακολουθίας. είναι τελικά μηδέν με P P. Είναι / / si d si si x si x x / si x / si x si x si x / si d si / si d. si Όμως ( ) si si d / ( ) d ( ) ( ) ( ) si x ( ) si d ά x / si x. 7

8 Επομένως Άρα lim. Έστω c ( ) Z είναι ο χώρος των μιγαδικών συναρτήσεων : Z C με lim Ο c. Ορίζουμε Z είναι χώρος Baach. Θεώρημα 3 Η απεικόνιση PP sup ( ) : Z. Z με f : L c : : f είναι ένας και φραγμένος τελεστής που δεν είναι επί. Επομένως υπάρχει ακολουθία μιγαδικών αριθμών c με lim c για την οποία δεν ισχύει f c για κάθε Z και για κάποια f L. Απόδειξη. Η είναι γραμμική απεικόνιση. Από το λήμμα iema-lebesgue είναι lim f και κατά συνέπεια f f c Z. Από τον ορισμό του συντελεστή Fourier είναι προφανές ότι f ( ) P f P οπότε P f P P f P. Δηλαδή PP. Αν f( ) τότε f f. Δηλαδή P f P P f P. Επομένως P P. Θα αποδείξουμε ότι η είναι. Αρκεί να αποδείξουμε ότι f( ) για κάθε Z συνεπάγεται ότι f σχεδόν παντού. Αυτό όμως ισχύει και μάλιστα είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος Fejér- Lebesgue (βλέπε Θεώρημα στο σύγγραμμα []). : L c Z είναι επί. Τότε από το Υποθέτουμε τώρα ότι η απεικόνιση θεώρημα ανοικτής απεικόνισης ( ope mappig heorem ) ο c Z : L( ) είναι συνεχής (φραγμένος) τελεστής. Δηλαδή υπάρχει > τέτοιο ώστε f f f L. Επομένως P f P P f P f L. Θεωρούμε τον πυρήνα irichle. Από το Λήμμα Άρα δεν υπάρχει > τέτοιο ώστε άτοπο. L και lim. 8

9 Αναφορές [] G. Bachma L. arici ad E. Beckesei Fourier ad Wavele Aalysis (d priig) Spriger-Verlag (Series: Uiversiex). []. E. Edwards Fourier Series vol. (d ediio) Spriger-Verlag 979. [3]. E. Edwards Fourier Series vol. (d ediio) Spriger--Verlag 98. [4] Y. Kazelso A roducio o Harmoic Aalysis (3rd ediio) Cambridge Uiversiy Press 4. [5] G. Pόlya G. Szegö Problems ad heorems i Aalysis Spriger--Verlag Berli Heidelberg ew York 998. [6] W. udi eal ad Complex Aalysis (3rd ed.) McGraw-Hill 987. [7] W. udi Fucioal Aalysis (d ed.) McGraw-Hill 99. [8] A. Zygmud rigoomeric series (3rd ed.)(volumes & combied) Cambridge Uiversiy Press 3. Absrac We discuss a geeralizaio of Fejér s Lemma see [4] ad we prove iema- Lebesgue s Lemma as a Corollary. We also give some iersig applicaios ad fially we examie he validiy of iema-lebesgue s Lemma opposie. 9