Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

3 Περιεχόµενα ενότητας 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 4 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Cesàro αθροισιµότητα Ο πυρήνας του Fejér Χαρακτηρισµός των τριγωνοµετρικών σειρών που είναι σειρές Fourier Abel αθροισιµότητα και ο πυρήνας του Poisson Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες προκύπτουν από την συνέλιξη της f (6..0.) ( f K δ )(x) = f (x y)k δ (y) dλ(y) µε µια οικογένεια (K δ ) συναρτήσεων οι οποίες ικανοποιούν κατάλληλες συνθήκες. Ορισµός 6.. (οικογένεια καλών πυρήνων). Μια οικογένεια (K δ ) δ>0 συναρτήσεων στο λέγεται οικογένεια καλών πυρήνων, ή πιο απλά πυρήνας, αν ικανοποιεί τα εξής: (i) Για κάθε δ > 0, (6..0.) K δ (y) dλ(y) =. (ii) Υπάρχει σταθερά M > 0 ώστε, για κάθε δ > 0, (6..0.3) K δ (y) dλ(y) M. (iii) Για κάθε η > 0, (6..0.4) lim δ 0 y η K δ (y) dλ(y) = 0. Η συνέλιξη f K δ µιας ϕραγµένης µετρήσιµης συνάρτησης f µε µια οικογένεια καλών πυρήνων (K δ ) δ>0 συγκλίνει στην f σε κάθε σηµείο στο οποίο η f είναι συνεχής: Θεώρηµα 6... Εστω {K δ } δ>0 µια οικογένεια καλών πυρήνων και έστω f : C ϕραγµένη µετρήσιµη συνάρτηση. Τότε, για κάθε x στο οποίο η f είναι συνεχής, έχουµε (6..0.5) lim δ 0 ( f K δ )(x) = f (x). Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι η f είναι συνεχής στο x και ϑεωρούµε τυχόν ε > 0. Από τη συνέχεια της f στο x, υπάρχει δ > 0 ώστε: αν y < η τότε f (x y) f (x) < ε. Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα (i) της (K δ ), γράφουµε ( f K δ )(x) f (x) = K δ (y) f (x y) dλ(y) f (x) = K δ (y)[ f (x y) f (x)] dλ(y). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Συνεπώς, ( f K δ )(x) f (x) = K δ (y)[ f (x y) f (x)] dλ(y) K δ (y) f (x y) f (x) dλ(y) y <η + K δ (y) f (x y) f (x) dλ(y). y η Για το πρώτο ολοκλήρωµα παρατηρούµε ότι: αν y < η τότε f (x y) f (x) < ε. Χρησιµοποιώντας και την ιδιότητα (ii) της (K δ ), παίρνουµε K δ (y) f (x y) f (x) dλ(y) ε K δ (y) dλ(y) Mε. y <η Για το δεύτερο ολοκλήρωµα χρησιµοποιούµε την υπόθεση ότι η f είναι ϕραγµένη και την ιδιότητα (iii) της (K δ ) για το συγκεκριµένο η: έχουµε K δ (y) f (x y) f (x) dλ(y) K δ (y) ( f (x y) + f (x) dλ(y) y η καθώς το δ 0. Συνεπώς, y η f y η (6..0.6) lim sup ( f K δ )(x) f (x) Mε, δ 0 K δ (y) dλ(y) 0 Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, συµπεραίνουµε ότι ( f K δ )(x) f (x) καθώς το δ 0. Ορισµός 6..3 (οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας). Μια οικογένεια (K δ ) δ>0 συναρτήσεων στο λέγεται οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας, ή πιο απλά προσέγγιση της µονάδας, αν ικανοποιεί τα εξής: (i) Για κάθε δ > 0, (6..0.7) K δ (y) dλ(y) =. (ii) Υπάρχει σταθερά M > 0 ώστε, για κάθε δ > 0 και για κάθε y, (6..0.8) K δ (y) M δ και, για κάθε δ > 0 και για κάθε y \ {0}, (6..0.9) K δ (y) Mδ y. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Παρατηρήστε ότι η πρώτη ανισότητα στην (ii) είναι ισχυρότερη από την δεύτερη όταν y δ. Τελείως αντίστοιχα, η δεύτερη ανισότητα στην (ii) είναι ισχυρότερη από την πρώτη όταν y δ. Η επόµενη πρόταση δείχνει ότι οι υποθέσεις του Ορισµού 6..3 είναι ισχυρότερες από αυτές του Ορισµού 6... Πρόταση Κάθε οικογένεια (K δ ) δ>0 προσεγγίσεων της µονάδας είναι οικογένεια καλών πυρήνων. Απόδειξη. είχνουµε πρώτα ότι υπάρχει > 0 ώστε: για κάθε δ > 0, (6..0.0) K δ (y) dλ(y). Εστω δ > 0. Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα (ii) των προσεγγίσεων της µονάδας, γράφουµε K δ (y) dλ(y) = K δ (y) dλ(y) + K δ (y) dλ(y) Αρα, έχουµε το Ϲητούµενο µε = 4M. y <δ M δ = M δ y <δ y <δ dλ(y) + Mδ y δ dλ(y) + Mδ = M δ + Mδ δ δ = 4M. y δ δ dλ(y) y dλ(y) y Για την τρίτη ιδιότητα της οικογένειας καλών πυρήνων, σταθεροποιούµε η > 0 και χρησιµοποιώντας την ιδιότητα (iii) των προσεγγίσεων της µονάδας, γράφουµε dλ(y) (6..0.) K δ (y) dλ(y) Mδ y = M η δ 0 y η y η καθώς το δ 0. Παραδείγµατα (α) Εστω φ : µια µη αρνητική, ϕραγµένη συνάρτηση που µηδενίζεται έξω από το [, ] και έχει ολοκλήρωµα (6..0.) φ(y) dλ(y) =. Για κάθε δ > 0 ορίζουµε K δ (y) = δ φ(δ y). Η (K δ ) δ>0 είναι οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας. (ϐ) Ο πυρήνας της ϑερµότητας H t στο ορίζεται ως εξής: (6..0.3) H t (y) = (4πt) / e y /4t. Η οικογένεια (H δ ) δ>0 είναι οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Το επόµενο ϐασικό ϑεώρηµα «επεκτείνει» το Θεώρηµα 6... Θεώρηµα Εστω (K δ ) δ>0 οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας. Για κάθε f L () ισχύει (6..0.4) lim δ 0 ( f K δ )(x) = f (x) σε κάθε σηµείο Lebesgue x της f. Συνεπώς, f K δ f σχεδόν παντού καθώς το δ 0. Για την απόδειξη του Θεωρήµατος 6..6 ϑα χρησιµοποιήσουµε το ακόλουθο λήµµα. Λήµµα Εστω f L () και έστω f Leb( f ). Ορίζουµε (6..0.5) A(r) = f (x y) f (x) dλ(y), r > 0. r y r Τότε, η συνάρτηση A είναι ϕραγµένη, συνεχής, και (6..0.6) lim r 0 A(r) = 0. Απόδειξη. είχνουµε πρώτα ότι η A(r) είναι συνεχής. Αρκεί να δείξουµε ότι η συνάρτηση r ra(r) είναι συνεχής σε κάθε r > 0. Θα χρησιµοποιήσουµε την απόλυτη συνέχεια του ολοκληρώµατος: αφού f L (), αν ϑεωρήσουµε µια ακολουθία r k r + τότε 0 r k A(r k ) ra(r) = = y r k f (x y) f (x) dλ(y) y r r< y r k f (x y) f (x) dλ(y) 0 f (x y) f (x) dλ(y) καθώς το k, διότι η y f (x y) f (x) είναι τοπικά ολοκληρώσιµη και λ({y : r < y r k }) 0 όταν k. Παρόµοιο επιχείρηµα δείχνει τη συνέχεια από αριστερά. Αφού x Leb( f ) έχουµε (6..0.7) lim λ(i ) 0 x I l(i) I f (z) f (x) dz = 0. Οµως, (6..0.8) A(r) = l(x r, x + r) x+r x r f (z) f (x) dz, άρα είναι ϕανερό ότι A(r) 0 καθώς το r 0. Η A είναι συνεχής και lim r 0 A(r) = 0. Συνεπώς, υπάρχει M > 0 ώστε 0 A(r) M για κάθε r [0, ]. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 Για r > γράφουµε A(r) = f (x y) f (x) dλ(y) r r y r x+r x r x+r x r f (z) dz + f (x) dλ(y) r y r f (z) dz + f (x) r r M := f + f (x). Επεται ότι 0 A(r) max{m, M } για κάθε r > 0. Απόδειξη του Θεωρήµατος Εστω ε > 0. Βρίσκουµε πρώτα N N ώστε (6..0.9) k=n k < ε. Στη συνέχεια, για κάθε δ > 0 γράφουµε ( f K δ )(x) f (x) f (x y) f (x) K δ (y) dλ(y) n y δ M δ + f (x y) f (x) K δ (y) dλ(y) y δ + k δ< y k+ δ f (x y) f (x) dλ(y) Mδ M A(δ) + k δ< y k+ δ Mδ ( k δ) f (x y) f (x) K δ (y) dλ(y) f (x y) f (x) y k+ δ Mδ = M A(δ) + ( k δ) (k+ δ)a( k+ δ) M = M A(δ) + k A(k+ δ) M A(δ) + k A(k+ δ), y dλ(y) f (x y) f (x) dλ(y) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 όπου M = M. Τώρα, χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι A < και το γεγονός ότι lim δ 0 A(δ) = 0. Υπάρχει δ 0 > 0 ώστε για κάθε 0 < δ < δ 0 να έχουµε (6..0.0) A( k δ) < ε, k = 0,,..., N. 3 Τότε, για κάθε 0 < δ < δ 0 παίρνουµε ( f K δ )(x) f (x) M A(δ) + N N k A(k+ δ) + ε M 3 + ε k 3 + A [ ε M 3 + ε ] 3 + A ε = M ( + A )ε. k A(k+ δ) k=n k k=n Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, έπεται ότι lim δ 0 ( f K δ )(x) = f (x). Το τελευταίο ϑεώρηµα αυτής της παραγράφου αναφέρεται στη σύγκλιση της f K δ στην f ως προς την. Θεώρηµα Εστω (K δ ) δ>0 οικογένεια καλών πυρήνων. Για κάθε f L () και για κάθε δ > 0, η συνέλιξη (6..0.) ( f K δ )(x) = f (x y)k δ (y) dλ(y) είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση στον n, και (6..0.) ( f K δ ) f 0 καθώς το δ 0. n Απόδειξη. Εστω ε > 0. Για κάθε δ > 0 γράφουµε ( f K δ ) f = ( f K δ )(x) f (x) dλ(x) = = f (x y) f (x) K δ (y) dλ(y) dλ(x) f (x y) f (x) dλ(x) f y f K δ (y) dλ(y), όπου f y (x) = f (x y). Τώρα, χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι (6..0.3) lim y 0 f y f = 0 (ϐλέπε Κεφάλαιο 4). ηλαδή, υπάρχει η > 0 ώστε (6..0.4) y < η = f y f < ε. K δ (y) dλ(y) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Τότε, χρησιµοποιώντας και την f y f f y + f = f, έχουµε ( f K δ ) f f y f K δ (y) dλ(y) + f y f K δ (y) dλ(y) y <η y η ε K δ (y) dλ(y) + f K δ (y) dλ(y) n y η Mε + f K δ (y) dλ(y), y η όπου M := sup K δ < (αφού η (K δ ) είναι πυρήνας). Αφήνοντας το δ 0 και χρησιµοποιώντας την (6..0.5) lim K δ (y) dλ(y) = 0, παίρνουµε δ 0 y η (6..0.6) lim sup δ 0 ( f K δ ) f Mε, και αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, συµπεραίνουµε ότι ( f K δ ) f 0 καθώς το δ Cesàro αθροισιµότητα Ορισµός 6... Εστω {c k } ακολουθία µιγαδικών αριθµών. Λέµε ότι η {c k } συγκλίνει κατά Cesàro στον l C αν η ακολουθία (6..0.7) C k := c + + c k k καθώς το k. l Πρόταση 6... Αν lim k c k = l τότε η {c k } συγκλίνει κατά Cesàro στον l. Απόδειξη. Κάνουµε πρώτα την επιπλέον υπόθεση ότι c k 0 και δείχνουµε ότι C k 0. Θεωρούµε ε > 0 και ϐρίσκουµε k (ε) N µε την ιδιότητα: για κάθε k k ισχύει c k < ε/. Τότε, για κάθε k > k έχουµε (6..0.8) C k c + + c k k + k k k ε < c + + c k + ε k. Ο A := c + + c k εξαρτάται από το ε. Επιλέγουµε k (A) = k (ε) N µε την ιδιότητα: για κάθε k k, (6..0.9) c + + c k k Αν ϑέσουµε k 0 = max{k, k } τότε, για κάθε k k 0, = A k < ε. ( ) C k A k + ε < ε. Αρα, C k 0. Για τη γενική περίπτωση εφαρµόζουµε το προηγούµενο στην ακολουθία c k := c k l. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 0

11 Παρατήρηση Το αντίστροφο δεν ισχύει. Η ακολουθία c k = + ( ) k αποκλίνει, αλλά συγκλίνει κατά Cesàro στο. Ορισµός Εστω {c k } ακολουθία µιγαδικών αριθµών. Ορίζουµε (6..0.3) s n = n c k και σ n = n k= n s k. k= Λέµε ότι η σειρά k= c k συγκλίνει κατά Cesàro στον s C αν (6..0.3) lim n σ n = s. Παρατήρηση Από την Πρόταση 6.. έπεται ότι: αν lim s n = s τότε lim σ n = s, άρα η σειρά c k n n k= συγκλίνει κατά Cesàro στον s. Από την άλλη πλευρά, αν z, z =, και αν ορίσουµε c k = z k, k 0, τότε η σειρά διότι c k 0, όµως n ( ) lim σ n = lim n n n ηλαδή, η σειρά z k συγκλίνει κατά Cesàro στον z. k s=0 z k = z. c k αποκλίνει 6.3 Ο πυρήνας του Fejér Ορισµός 6.3. (Cesàro µέσοι). Εστω f L (). Το n-οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier της f ορίστηκε ως εξής: ( ) s n ( f, x) = n k= n f (k)e ik x. Ο n-οστός Cesàro µέσος της σειράς Fourier της f ορίζεται από την ( ) σ n ( f, x) = s 0( f, x) + s ( f, x) + + s n ( f, x), n. n Μπορούµε να εκφράσουµε την σ n ( f, t) σε κλειστή µορφή, γράφοντας σ n ( f, x) = n = n = n n m=0 n s m ( f, x) m m=0 k= m n k= (n ) f (k)e ik x n m= k f (k)e ik x Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

12 = n = n k= (n ) n k= (n ) (n k ) f (k)e ik x ( k ) n f (k)e ik x. εδοµένου ότι ( ) s m ( f, x) = ( f D m )(x) όπου D m είναι ο m-οστός πυρήνας του Dirichlet, µπορούµε επίσης να γράψουµε ( ) σ n ( f, x) = n ( f D m )(x) = n m=0 ( f D ) 0 + D + + D n (x). n Ορισµός 6.3. (πυρήνας Fejér). Ο n-οστός πυρήνας του Fejér είναι το τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ( ) F n (x) = n Παρατηρήστε ότι ( ) F n (x) = n n m m=0 k= m e ik x = n m=0 D m (x). n k= (n ) ( k ) e ik x. n Μπορούµε επίσης να εκφράσουµε τον F n σε κλειστή µορφή, χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι ( ) D m (x) = ημ ( ) m + x ημ x. Γράφουµε F n (x) = n = = n m=0 Συνεπώς, έχουµε το εξής: n ημ (x/) ημ ( m + ) x ημ x = n ημ (x/) n m=0 n [συν(mx) συν(m + )x] = m=0 n ημ (x/) ημ (nx/) = n Λήµµα Για κάθε n και για κάθε x, ( ) F n (x) = και n k= (n ) ημ x ( ημ m + ) x ( ημ ) (nx/). ημ(x/) ( k ) e ik x n n ημ [ συν(nx)] (x/) ( ) F n (x) = n ( ) ημ(nx/). ημ(x/) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

13 Παρατηρήσεις Από το Λήµµα είναι ϕανερό ότι ο πυρήνας του Fejér F n είναι µη αρνητική άρτια συνάρτηση. Λόγω της F n ( x) = F n (x), έχουµε ( ) F n (x) dλ(x) = π π 0 F n (x) dλ(x) =. Επίσης, Τέλος, για κάθε 0 < x < π έχουµε 0 F n (x) n n m=0 D m (x) n (m + ) n m=0 = [n(n ) + n] = n. n ( ) 0 F n (x) = n ( ) ημ(nx/) ημ(x/) n (x/π) = π nx. Για τους Cesàro µέσους σ n ( f, x) ϑα χρησιµοποιούµε συχνά την αναπαράσταση ( ) σ n ( f, x) = f (x t)f n (t) dλ(t) = ( ) f (x + t) + f (x t) F n (t) dλ(t) ή την ( ) σ n ( f, x) = π 0 ( f (x + t) + f (x t)) F n (t) dλ(t). Οι σχέσεις αυτές προκύπτουν άµεσα από το γεγονός ότι η F n είναι άρτια συνάρτηση (µε απλές αλλαγές µεταβλητής). Θεώρηµα (Fejér). Εστω f L () και έστω x. Αν τα πλευρικά όρια f (x + 0) και f (x 0) υπάρχουν, τότε ( ) σ n ( f, x) f (x + 0) + f (x 0) καθώς το n. Ειδικότερα, αν η f είναι συνεχής σε κάθε σηµείο ενός κλειστού διαστήµατος I, τότε σ n ( f, x) f (x) οµοιόµορφα στο I. Απόδειξη. Γράφουµε σ n ( f, x) f (x) = π = π π 0 π 0 ( f (x + t) + f (x t) ( f (x + t) f (x + 0) + ) f (x + 0) + f (x 0) ) f (x t) f (x 0) F n (t)dλ(t) F n (t)dλ(t). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

14 Εστω ε > 0. Υπάρχει δ > 0 ώστε f (x + t) f (x + 0) < ε και f (x t) f (x 0) < ε για κάθε t (0, δ). Αρα, π δ 0 Στο (δ, π) έχουµε ( f (x + t) f (x + 0) + π π δ 0 δ 0 ) f (x t) f (x 0) ( f (x + t) f (x + 0) + ε F n (t) dλ(t) ε. ( ) F n (t) π nδ. Συνεπώς, F n (t)dλ(t) ) f (x t) f (x 0) F n (t)dλ(t) π π δ ( f (x + t) f (x + 0) + ) f (x t) f (x 0) π π ( f (x + t) f (x + 0) nδ π δ M( f ) nδ 0 + F n (t)dλ(t) f (x t) f (x 0) ) dλ(t) καθώς το n. Αρα, ( ) lim sup σ n ( f, x) f (x) ε n και έπεται το Ϲητούµενο. Στην περίπτωση που η f είναι συνεχής σε κάθε σηµείο ενός κλειστού διαστήµατος I, από την οµοιόµορφη συνέχεια της f στο I ϐλέπουµε ότι η επιλογή του δ στο παραπάνω επιχείρηµα f (x+0)+ f (x 0) είναι ανεξάρτητη από το x I (εξαρτάται µόνο από το ε), άρα σ n ( f, x) f (x) = οµοιόµορφα στο I. Ενα πόρισµα του Θεωρήµατος είναι η πυκνότητα των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων στον (C(), ) και στον (L (), ) που είχε χρησιµοποιηθεί για την απόδειξη του λήµµατος iemann-lebesgue. Θεώρηµα Για κάθε g C() και για κάθε ε > 0 υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο q ε ώστε ( ) g q ε < ε. Επίσης, για κάθε p <, για κάθε f L p () και για κάθε ε > 0 υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο q ε ώστε ( ) f q ε p < ε. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

15 Απόδειξη. Γνωρίζουµε ότι η σ n (g) = g F n είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο, ως συνέλιξη µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης µε το τριγωνοµετρικό πολυώνυµο F n. Από το προηγούµενο ϑεώρηµα έχουµε ότι σ n (g) g οµοιόµορφα, διότι η g είναι συνεχής. ηλαδή, g σ n (g) 0. Για το τυχόν λοιπόν ε > 0 έχουµε ( ) g σ n (g) < ε αν το n είναι αρκετά µεγάλο. Αυτό αποδεικνύει τον πρώτο ισχυρισµό. Για τον δεύτερο, έστω f L p () και ε > 0. Μπορούµε να ϐρούµε g C() ώστε f g p < ε/. Στη συνέχεια, ϑεωρούµε τριγωνοµετρικό πολυώνυµο q ε ώστε g q ε < ε/. Αφού ( ) g q ε p = g(x) q ε (x) p dλ(x) /p g q ε < ε/, ο ισχυρισµός έπεται από την τριγωνική ανισότητα για την p. Παρατήρηση Για κάθε n ορίζουµε δ n = n και K δ n = F n. Η οικογένεια {K δn } είναι προσέγγιση της µονάδας (στο ). Πράγµατι, για κάθε n ισχύει ( ) K δn (t)dλ(t) = F n (t)dλ(t) =. π Επίσης, ( ) K δn (t) = F n (t) n = δ n και, για κάθε 0 < t < π, έχουµε ( ) K δn (t) = F n (t) π nt = π δ n t. Από τα αποτελέσµατα της Παραγράφου 6. (ή µια απλή παραλλαγή της απόδειξής τους) έχουµε το εξής ϑεώρηµα που «συµπληρώνει» το Θεώρηµα 6.3.5: Θεώρηµα Εστω f L (). Για κάθε x Leb( f ) ισχύει σ n ( f, x) f (x) καθώς το n. Ειδικότερα, σ n ( f, x) f (x) σχεδόν παντού στο. Το επόµενο ϑεώρηµα αναφέρεται στην L p -σύγκλιση των Cesàro µέσων σ n ( f ) στην f. Θεώρηµα Εστω p <. Για κάθε f L ( ) ισχύει ( ) lim n σ n ( f ) f p = 0. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

16 Απόδειξη. Γράφουµε σ n ( f ) f p = = /p σ n ( f, x) f (x) p dx ( f (x + t) f (x))f n (t) dλ(t) π p /p dx. Υπάρχει h L q (), όπου q είναι ο συζυγής εκθέτης του p, τέτοια ώστε h q = και p ( f (x + t) f (x))f n (t) dλ(t) dx = h(x) ( f (x + t) f (x))f n (t) dλ(t) dλ(x) = h(x)( f (x + t) f (x)) dλ(x) F n (t) dλ(t) /p h q f (x + t) f (x) p dλ(x) F n (t) dλ(t) = /p f (x + t) f (x) p dλ(x) /p F n (t) dλ(t) όπου χρησιµοποιήσαµε το ϑεώρηµα Fubini και την ανισότητα Hölder. Αν ϑέσουµε f t (x) = f (x + t), συνδυάζοντας τα παραπάνω έχουµε ( ) σ n ( f ) f p f t f p F n (t) dλ(t). Ορίζουµε A(t) = f t f p. Γνωρίζουµε ότι η A είναι συνεχής στο 0, άρα ( ) σ n (A, 0) A(0) = 0 καθώς το n. Οµως, σ n (A, 0) = = A(t)F n ( t) dλ(t) = f t f p F n (t) dλ(t), A(t)F n (t) dλ(t) άρα ( ) σ n ( f ) f p σ n (A, 0) και έπεται το συµπέρασµα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

17 Παρατηρήστε ότι το Θεώρηµα έχει ως συνέπεια το δεύτερο µέρος του Θεωρήµατος είχνει επίσης ότι η απεικόνιση f { f (k)} k= είναι -. Θεώρηµα (µοναδικότητα). Εστω f L (). Αν f (k) = 0 για κάθε k Z, τότε f 0. Απόδειξη. Αφού f (k) = 0 για κάθε k, έχουµε ( ) σ n ( f, x) = n k= (n ) ( k ) n f (k)e ik x = 0 για κάθε n, δηλαδή σ n ( f ) 0. Από το Θεώρηµα ϐλέπουµε ότι ( ) f p = σ n ( f ) f p 0. Αρα, f p = 0 και αυτό δείχνει ότι f Χαρακτηρισµός των τριγωνοµετρικών σειρών που είναι σειρές Fourier Σε αυτήν την παράγραφο εξετάζουµε αν υπάρχουν κάποια απλά κριτήρια τα οποία να µας επιτρέπουν να δούµε αν κάποια τριγωνοµετρική σειρά είναι η σειρά Fourier µιας συνάρτησης f L p (). Θεωρούµε λοιπόν µια τριγωνοµετρική σειρά ( ) k= c k e ikt και τους Cesàro µέσους ( ) σ n (t) = της σειράς ( ). n k= (n ) ( k ) c k e ikt. n Θεώρηµα Η ( ) είναι η σειρά Fourier µιας συνεχούς συνάρτησης f C() αν και µόνο αν η ακολουθία συναρτήσεων {σ n } των Cesàro µέσων της συγκλίνει οµοιόµορφα στο. Απόδειξη. Υποθέτουµε πρώτα ότι υπάρχει f C() ώστε f (k) = c k για κάθε k Z. Τότε, ( ) σ n (x) = σ n ( f, x). Από το Θεώρηµα συµπεραίνουµε ότι σ n f οµοιόµορφα στο. Αντίστροφα, έστω ότι η {σ n } συγκλίνει οµοιόµορφα σε κάποια συνάρτηση f στο. Η f είναι συνεχής ως οµοιόµορφο όριο τριγωνοµετρικών πολυωνύµων. Παρατηρούµε ότι, για κάθε k Z, αν ϑεωρήσουµε n > k τότε ( ) ( k ) c k = n σ n (x)e ik x dλ(x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

18 Καθώς το n έχουµε ( ) ( k ) c k c k n και, αφού σ n f οµοιόµορφα, ( ) σ n (x)e ik x dλ(x) f (x)e ik x dλ(x) = f (k). Επεται ότι c k = f (k) για κάθε k, δηλαδή η ( ) είναι η σειρά Fourier της f. Στη συνέχεια µελετάµε την περίπτωση < p <. Θεώρηµα Εστω < p <. Η ( ) είναι η σειρά Fourier µιας συνάρτησης f L p () αν και µόνο αν η ακολουθία {σ n } των Cesàro µέσων της είναι ϕραγµένη στον L p (). ηλαδή, αν υπάρχει M > 0 ώστε σ n p M για κάθε n. Απόδειξη. Παρατηρούµε πρώτα ότι σ n ( f ) p = σ n ( f, x) p dλ(x) = p /p f (x + t)f n (t) dλ(t) dλ(x) /p f (x + t) p dλ(x) F n (t) dλ(t) = f t p F n (t) dλ(t), όπου f t (x) = f (x +t), χρησιµοποιώντας τον δυϊσµό όπως και στην απόδειξη του Θεωρήµατος Αφού f t p = f p για κάθε t, συµπεραίνουµε ότι ( ) σ n ( f ) p f p F n (t) dλ(t) = f p για κάθε n N. Για την αντίστροφη κατεύθυνση ϑα χρησιµοποιήσουµε το εξής: αν < p < και { f n } είναι µια ϕραγµένη ακολουθία στον L p () τότε υπάρχει υπακολουθία { f kn } της { f n } η οποία συγκλίνει ασθενώς σε κάποια g L p (): αυτό σηµαίνει ότι ( ) f kn (x)h(x) dλ(x) /p g(x)h(x) dλ(x) για κάθε h L q (), όπου q είναι ο συζυγής εκθέτης του p. Μια άµεση απόδειξη αυτού του ισχυρισµού έχουµε αν σκεφτούµε ότι η µοναδιαία µπάλα B p του L p () είναι ασθενώς συµπαγής (διότι ο L p είναι Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

19 αυτοπαθής χώρος, άρα ισοδύναµα µιλάµε για τη µοναδιαία µπάλα του (L q ()) µε την w -τοπολογία). Επίσης, η ασθενής τοπολογία στην B p είναι µετρικοποιήσιµη διότι αναφερόµαστε σε διαχωρίσιµους χώρους. Εφαρµόζουµε λοιπόν αυτό το αποτέλεσµα για την { f n } η οποία περιέχεται σε κάποιο πολλαπλάσιο της B p. Υποθέτουµε ότι η {σ n ( f )} είναι ϕραγµένη στον L p (). Τότε, υπάρχει υπακολουθία {σ kn ( f )} της {σ n ( f )} η οποία συγκλίνει ασθενώς σε κάποια g L p (): για κάθε h L q (), ( ) σ kn ( f, x)h(x) dλ(x) g(x)h(x) dλ(x). Οπως και στην προηγούµενη απόδειξη, παρατηρούµε ότι, για κάθε m Z, αν ϑεωρήσουµε k n > m τότε ( ) ( m ) c m = k n σ kn ( f, t)e imt dλ(t). Καθώς το n έχουµε ( ) ( m ) c m c m k n + και, αφού η t e imt ανήκει στον L q (), ( ) σ kn ( f, t)e imt dλ(t) g(t)e imt dλ(t) = ĝ(m). Επεται ότι c m = ĝ(m) για κάθε m, δηλαδή η ( ) είναι η σειρά Fourier της g. 6.5 Abel αθροισιµότητα και ο πυρήνας του Poisson Μια σειρά µιγαδικών αριθµών ( ) A(r) = συγκλίνει, και c k λέγεται Abel αθροίσιµη στον s C αν για κάθε 0 r < η σειρά c k r k ( ) lim A(r) = s. r Οι ποσότητες A(r) λέγονται Abel µέσοι της σειράς c k. Αποδεικνύεται ότι αν η σειρά στον s τότε είναι και Abel αθροίσιµη στον s. Αποδεικνύεται επίσης ότι αν η σειρά αθροίσιµη στον s τότε είναι και Abel αθροίσιµη στον s. Το παράδειγµα της σειράς ( ) ( ) k (k + ) = c k συγκλίνει c k είναι Cesàro Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

20 δείχνει ότι µια σειρά µπορεί να είναι Abel αθροίσιµη χωρίς να είναι Cesàro αθροίσιµη. Μπορεί κανείς να ελέγξει ότι ( ) A(r) = ( ) k (k + )r k = ( + r) για κάθε 0 r <, συνεπώς ( ) lim r A(r) = 4. Οµως, η σειρά αυτή δεν είναι Cesàro αθροίσιµη: ϑα έπρεπε να ισχύει lim n (s n /n) = 0. Για αποδείξεις των παραπάνω ισχυρισµών παραπέµπουµε στο Παράρτηµα και τις σχετικές ασκήσεις. Ορισµός 6.5. (πυρήνας του Poisson). Για κάθε 0 r < ϑεωρούµε τη συνάρτηση P r : [ π, π] C που ορίζεται µέσω της ( ) P r (x) = k= r k e ik x. Χρησιµοποιώντας το κριτήριο του Weierstrass ϐλέπουµε ότι η σειρά στο δεξιό µέλος συγκλίνει απολύτως για κάθε x και οµοιόµορφα σαν σειρά συναρτήσεων στο [ π, π]. Η συνάρτηση P r λέγεται r-πυρήνας του Poisson. Από την οµοιόµορφη σύγκλιση της σειράς ( ) έπεται (εξηγήστε γιατί) ότι ( ) P r (k) = r k, k Z. Μπορούµε να δείξουµε ότι ο πυρήνας P r παίρνει µη αρνητικές πραγµατικές τιµές: δίνεται µάλιστα από την ( ) P r (x) = r r συν x + r. Για την απόδειξη της τελευταίας ισότητας ϑέτουµε ω = re ix. Τότε, P r (x) = = r k (e ix ) k + ω k + = ω ω. k= ω s = s= r k (e ix ) k = ω + ω ω (re ix ) k + (re ix ) s s= = ω + ( ω)ω ( ω)( ω) εδοµένου ότι ω = r και ω = re ix = ( r συν x) ir ημ x, καταλήγουµε στην ( ) P r (x) = r ( r συν x) + r ημ x = r r συν x + r. Θα αποδείξουµε ότι η οικογένεια {P r } 0 r είναι οικογένεια καλών πυρήνων. εδοµένου ότι το σύνολο δεικτών είναι τώρα το διάστηµα [0, ), αυτό που χρειάζεται να τροποποιήσουµε είναι η τρίτη συνθήκη του ορισµού. Ουσιαστικά Ϲητάµε το εξής: για κάθε ακολουθία {r n } στο [0, ) µε r n, Ϲητάµε η ακολουθία {P rn } n= να είναι ακολουθία καλών πυρήνων. Η δεύτερη συνθήκη του ορισµού είναι άµεση συνέπεια της πρώτης συνθήκης, διότι οι P r παίρνουν µη αρνητικές πραγµατικές τιµές. Αποδεικνύουµε λοιπόν την εξής πρόταση. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 0

21 Πρόταση Για κάθε 0 r < έχουµε ( ) π π P r (x) dλ(x) =, και για κάθε 0 < δ < π ισχύει ότι ( ) lim r δ x π P r (x) dλ(x) = 0. Απόδειξη. Εστω 0 r <. Αφού η σειρά συναρτήσεων P r (x) = στο [ π, π], έχουµε ( ) π π P r (x) dλ(x) = k= r k π π k= e ik x dλ(x) = r0 r k e ik x συγκλίνει οµοιόµορφα π π e 0 dλ(x) =, π χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι e ik x dλ(x) = 0 αν k 0. Εστω τώρα 0 < δ < π και έστω / r <. π Εχουµε ( ) r συν x + r = ( r) + r( συν x) ( r) + r( συν δ) c δ = συν δ > 0 για κάθε δ x π (διότι συν x συν δ). Συνεπώς, r ( ) 0 P r (x) dλ(x) δ x π δ x π c δ dλ(x) c δ ( r ) 0 όταν r. Επεται το συµπέρασµα της πρότασης. Ορισµός (Abel µέσοι της f ). Εστω f L (). Για κάθε 0 r < ορίζουµε τον r-abel µέσο της f µέσω της ( ) A r ( f )(x) = k= r k f (k)e ik x. Αφού η ακολουθία { f (k) } είναι ϕραγµένη, το κριτήριο του Weierstrass δείχνει ότι η σειρά συναρτήσεων στο δεξιό µέλος συγκλίνει οµοιόµορφα στον. Παρατηρήστε ότι A r ( f )(x) είναι ο r-abel µέσος της σειράς Fourier S( f ) της f. Λόγω της οµοιόµορφης σύγκλισης της σειράς ( ), µπορούµε να γράψουµε A r ( f )(x) = k= r k f (k)e ik x = r k k= = π π f (y) π π k= f (y)e iky dλ(y) e ik x r k e ik(y x) dλ(y) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

22 = π π = ( f P r )(x). f (y)p r (x y) dλ(y) Αφού η {P r } είναι οικογένεια καλών πυρήνων, παίρνουµε αµέσως το εξής. Θεώρηµα Εστω f L (). Τότε, η σειρά Fourier S( f ) της f είναι Abel αθροίσιµη στην f σε κάθε σηµείο συνέχειας της f : αν η f είναι συνεχής στο x, τότε ( ) A r ( f )(x) f (x). Επιπλέον, αν η f είναι συνεχής σε κάθε x, τότε η σειρά Fourier S( f ) της f είναι οµοιόµορφα Abel αθροίσιµη στην f : δηλαδή, ( ) A r ( f ) οµ f. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx. Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωμα Lebesgue (11 1) 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω f, g : T C ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Δείξτε ότι, για κάθε n N, (s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). Υπόδειξη. Θυμηθείτε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov Το ϑεώρηµα του Alexandrov Γιώργος Γιανναράκης και αυιδούλα ηµοπούλου Περίληψη Το 1939, ο Alexandr Alexandrov απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( )

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( ) Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις (205 6) Πρόχειρες Σηµειώσεις Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών 205-6 Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 2 Σύγκλιση ακολουθιών και συνέχεια συναρτήσεων 9 3 Τοπολογία µετρικών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές Fourier. Κεφάλαιο Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. f(x) dλ(x) u(x) dλ(x) + i. (tf(x) + sg(x)) dλ(x) = t. f(x) dλ(x) = Re ix 0

Σειρές Fourier. Κεφάλαιο Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. f(x) dλ(x) u(x) dλ(x) + i. (tf(x) + sg(x)) dλ(x) = t. f(x) dλ(x) = Re ix 0 Κεφάλαιο 5 Σειρές Fourier 5. Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων Σε αυτό το κεφάλαιο ϑεωρούµε συναρτήσεις µε µιγαδικές τιµές. Αν f : [a, b] C είναι οποιαδήποτε συνάρτηση, τότε η f γράφεται στη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων

Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων Βλάσης Μαστραντώνης Περίληψη Το πρόβληµα της µοναδικότητας του αναπτύγµατος µιας συνάρτησης σε τριγωνοµετρική σειρά έχει µεγάλη ιστορία, η

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας Πραγµατική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισµός και παραδείγµατα.......................... 3 1.2 Χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες που γεµίζουν τον χώρο

Καµπύλες που γεµίζουν τον χώρο Καµπύλες που γεµίζουν τον χώρο ήµητρα ιαµαντοπούλου και ήµητρα Πιλίτσου Περίληψη Περιγράφουµε δύο κλασσικές συνεχείς, 1-1 και επί συναρτήσεις f : [0, 1] [0, 1] : την καµπύλη του Peano και την καµπύλη του

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ιαφορισιµότητα στον R n Χρήστος Χατζηφούντας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης

ιαφορισιµότητα στον R n Χρήστος Χατζηφούντας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης ιαφορισιµότητα στον R n Χρήστος Χατζηφούντας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης 2 Περιεχόµενα Εισαγωγή 5 Η µεγιστική συνάρτηση των Hardy & Littlewood 7 2 Η weak type ανισότητα 3 Το ϑεώρηµα διαφορισιµότητας

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Στοιχειώδεις ειδικές συναρτήσεις Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν Ακοουθίες στον.4. Ορισµός Έστω ( ) ακοουθία διανυσµάτων στον 9, θα έµε ότι η ακοουθία ( ) συγκίνει στο θα γράφουµε, li = ή αν η ακοουθία πραγµατικών 0 Ισοδύναµα: li ( ε) + 0 0 : 0 = για κάθε ε > 0 υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Mεγιστικές συναρτήσεις/τεεστές 2 Eισαγωγή Στο κεφάαιο αυτό ορίζουµε την έννοια του µεγιστικού τεεστή και δείχνουµε τη σπουδαιότητά του όσον αφορά την απόδειξη θεωρηµάτων που σχετίζονται µε τη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 5 1.1 Γραµµικοί χώροι......................................

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα