Προφανώς, μια συνάρτηση μπορεί να μην είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Όμως, μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα μιας άρτιας fe

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προφανώς, μια συνάρτηση μπορεί να μην είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Όμως, μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα μιας άρτιας fe"

Ξανθίππη Βαυκις Παπαδάκης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

2 Άρτιο και Περιττό μέρος Συνάρτησης Προφανώς, μια συνάρτηση μπορεί να μην είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Όμως, μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα μιας άρτιας e και μιας περιττής συνάρτησης, ως εξής: Αν e και, τότε με την e να είναι άρτια συνάρτηση γιατί e e και την περιττή γιατί. e να είναι Οι σειρές Furier χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση περιοδικών συναρτήσεων. Για το διάστημα ολοκλήρωσης [-,] (περίοδος Τ=) το ανάπτυγμα της σειράς Furier είναι: a acs bsi, όπου a d και a cs d,,,3,... και b si d,,,3,... Παρατήρηση Ο σταθερός όρος a d παριστάνει τη μέση τιμή της στο διάστημα [-,] και άρα λόγω της ιδιότητας (c) των περιοδικών συναρτήσεων για κάθε διάστημα μήκους. Παρατήρηση (Περιοδικές Συναρτήσεις και Σειρά Furier) Η σειρά Furier μιας περιοδικής συνάρτησης είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο, σαν άθροισμα περιοδικών συναρτήσεων με περίοδο η κάθε μία. Αυτό απορρέει από την ιδιότητα (b) των περιοδικών συναρτήσεων. Στη περίπτωση που το αρχικό διάστημα ορισμού της συνάρτησης είναι της μορφής [, ], τότε πάλι περίοδος Τ= και η σειρά Furier δίνεται ως εξής: a acs bsi με συντελεστές Furier a d και ( )cs d,,3,... και b ( )si d,,3,...

3 Το διάστημα ολοκλήρωσης είναι περιόδου Τ=, οπότε αν το κάτω άκρο του διαστήματος ολοκλήρωσης είναι τότε το πάνω άκρο θα είναι. Συνεπώς, αν το κάτω άκρο του διαστήματος ολοκλήρωσης είναι και το πάνω άκρο είναι π, τότε. Έτσι, στη περίπτωση αυτή θα έχουμε: ( a ( a όπου: a d cs( ) b cs( ) b si( ) si( )) ( a cs( ) b a cs d cs( ) d,,,3,... και b si d si( ) d,,,3,... si( ) Παρατήρηση Στη βιβλιογραφία μερικές φορές το ανάπτυγμα της σειράς Furier είναι: ( a cs( ) b si( ), οπότε τότε : ( ) d, a d cs,,,3,... και b si d,,,3,... 3

4 Οι σειρές Furier για άρτιες και περιττές συναρτήσεις. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή τότε έχει πιο απλοποιημένη σειρά Furier. Αν η είναι άρτια συνάρτηση, δηλαδή ( ) d d (α) και αν η συνάρτηση d είναι περιττή, δηλαδή ( ) (β), τότε:, τότε: Γενικά ισχύει: άρτια άρτια=άρτια περιττή περιττή = άρτια άρτια περιττή = περιττή Επειδή cs =άρτια και si =περιττή, τότε: Αν =άρτια τότε η συνάρτηση ( )cs =άρτια και ( )si Αν =περιττή τότε ( )cs =περιττή και ( )si =άρτια. Οπότε, για,,,3,... λόγω της (α) και (β) θα ισχύει: η σειρά Furier για περιοδικές άρτιες συναρτήσεις =περιττή. αναπτύσσεται μόνο μέσω συνημιτονικών αρμονικών συναρτήσεων και δίνεται από τη σχέση: a a cs, όπου a d και a cs d,,,3,... Η σειρά Furier για περιοδικές περιττές συναρτήσεις θα αναπτύσσεται μόνο μέσω ημιτονικών αρμονικών συναρτήσεων και δίνεται από τη σχέση: b si, όπου b si d,,,3,... Παρατήρηση Για την κατασκευή Σειράς Furier άρτιας ή περιοδικής συνάρτησης είναι αρκετό το διάστημα [, ]. 4

5 Παράδειγμα. Να αναπτυχθεί σε σειρά Furier η συνάρτηση,, Λύση. Το ανάπτυγμα της σειράς Furier είναι:. a acs bsi με a cs d και b si d Η συνάρτηση είναι περιττή γιατί. Άρα το ανάπτυγμα σε σειρά Furier θα περιέχει μόνο τις ημιτονικές αρμονικές. Πράγματι, στον υπολογισμό του a cs d, η ολοκληρωτέα ή ά συνάρτηση είναι άρτια γιατί ( ) ή και cs ά, οπότε η ολοκληρωτέα θα είναι: ή άρτια = περιττή και άρα a cs d ή d, ενώ ή ά b si = ά ά d ( )si d Επειδή το δοθέν διάστημα [, ] αποτελεί μια περίοδο μήκους Τ=, θα έχουμε: b si d si( ) d ( ) dcs( ) d cs( ) cs( ) cs( ) d ( cs( )) cs( ) d cs si( ) cs (si( ) si ) cs( ) ( ) ( )( ) ( ) Έτσι, υπολογίζοντας από τη σχέση () τα b και έχοντας a αντικαταστήσουμε στην () θα προκύψει το ανάπτυγμα Furier της συνάρτησης που είναι: () a acs bsi ( ) si( ) 5

6 Ικανές συνθήκες για ανάπτυξη μιας συνάρτησης σε σειρά Furier Θεώρημα (Dirichlet) Υποθέτουμε ότι a) Η συνάρτηση ορίζεται στο διάστημα, πεπερασμένο αριθμό σημείων αυτού. b) Η ορίζεται εκτός του διαστήματος περιοδική με περίοδο δηλαδή. c) Οι συναρτήσεις και,. εκτός ίσως από έτσι ώστε να είναι είναι κατά τμήματα συνεχείς στο διάστημα Τότε το άθροισμα της σειράς a a cs si είναι. Η συνάρτηση αν το, είναι σημείο συνέχειας της. 3. lim lim lim lim αν το είναι σημείο ασυνέχειας. στα άκρα του διαστήματος,.. Σχόλιο: Οι συνθήκες του Dirichlet είναι ικανές αλλά όχι και αναγκαίες, δηλαδή αν οι συνθήκες ικανοποιούνται, τότε έχουμε σύγκλιση. Εάν όμως δεν ικανοποιούνται, τότε η σειρά μπορεί να συγκλίνει, αλλά μπορεί και να αποκλίνει. Θεώρημα (Parseval) Αν η σειρά Furier μιας συνάρτησης ομοιόμορφα, a., τότε d a συγκλίνει 6

Σχετικά έγγραφα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό