Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας
|
|
- Κόρη Πυλαρινός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4
2 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα 4 Μιγαδικοί αριθµοί 5 Βασικοί τύποι τριγωνοµετρίας Τριγωνοµετρικά ολοκληρώµατα Κεφάλαιο Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Εισαγωγή και βασικές έννοιες Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Θεωρήµατα ύπαρξης και µοναδικότητας για διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθµού Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης 3 Μη Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης 3 ιαφορικές εξισώσεις χωριζοµένων µεταβλητών 3 Οµογενείς διαφορικές εξισώσεις 33 Πλήρεις διαφορικές εξισώσεις 34 Ολοκληρωτικοί παράγοντες 35 ιαφορικές εξισώσεις Beroulli και Rictti 36 ιαφορικές εξισώσεις Lgrge και Clirut 37 Iδιάζουσες λύσεις διαφορικής εξίσωσης 3 ιαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ανώτερου βαθµού Κεφάλαιο 3 Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης 3 Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης µε µεταβλητούς συντελεστές 3 Οµογενείς Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης 3 Μερική λύση της µη οµογενούς γραµµικής δε ης τάξης Η µέθοδος µεταβολής των σταθερών 3 Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές 3 Οµογενείς Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές 3 Μερική λύση µη οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές Η µέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών 33 Η µέθοδος των δυναµοσειρών ιαφορικές εξισώσεις Bessel
3 34 ιαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης 35 Εφαρµογές Κεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή 4 Μέθοδοι επίλυσης 4 Η µέθοδος απαλοιφής 4 Eπίλυση µε χρήση θεµελιώδους πίνακα 4 Οµογενή συστήµατα 4 Μη οµογενή συστήµατα Η µέθοδος µεταβολής των σταθερών 43 Eιδική περίπτωση: Γραµµικά συστήµατα διαφορικών εξισώσεων µε σταθερούς συντελεστές Mέθοδος πινάκων (Euler) Κεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce 5 Εισαγωγή 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce 53 Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Lplce 54 Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce 55 Εφαρµογή του µετασχηµατισµού Lplce στην επίλυση διαφορικών και ολοκληρωτικών εξισώσεων 56 Ο τελεστής Dirc Κεφάλαιο 6 Eισαγωγή στις σειρές Fourier και εφαρµογές στις µερικές διαφορικές εξισώσεις 6 Εισαγωγή 6 Οι σειρές Fourier 63 Εφαρµογές των σειρών Fourier στην επίλυση µερικών διαφορικών εξισώσεων 63 Βασικές έννοιες µερικών διαφορικών εξισώσεων 63 Η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών 3
4 Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Εστω µια ακολουθία = { }, N Μια έκφραση της µορφής καλείται άπειρη σειρά N ιοστό µερικό άθροισµα της σειράς καλούµε την ακολουθία S N N = = Αν η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων S N συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό S όταν N, τότε λέµε ότι η σειρά συγκλίνει στο S και γράφουµε = S = Οταν η σειρά δεν συγκλίνει λέµε ότι αποκλίνει Παράδειγµα (i) Αν r όπου r <, τότε = N+ N+ r r r SN = = r, N r r r r και άρα S = r Αν r, τότε η σειρά αποκλίνει (ii) Αν =( ) +, τότε έχουµε οπότε η σειρά αποκλίνει S N = = ρτιος, = περιττος Υπενθυµίζουµε το ακόλουθο: 4
5 Θεώρηµα Αν <, τότε lim = = Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει Θεώρηµα Αν = <, τότε < = Θεώρηµα 3 (Κριτήριο σύγκρισης) Εστω b > k Τότε: b < < = = = + b = + = = Θεώρηµα 4 (Κριτήριο D Alembert) Εστω > k Tότε: lim = λ < < + + Aν = + Αν lim = λ > =+ + = Για λ = το κριτήριο δεν δίνει συµπέρασµα Θεώρηµα 5 (Κριτήριο ρίζας Cuchy) Εστω > k Tότε: Aν lim = λ < < + = Αν lim = λ > = + = Για λ = το κριτήριο δεν δίνει συµπέρασµα 5
6 Σειρές Συναρτήσεων f, =,,3,, είναι µια ακολουθία συναρτήσεων που ορίζονται σ ένα υποσύνολο E της πραγµατικής ευθείας Αν η ακολουθία πραγµατικών αριθµών { f ( x )} συγκλίνει για κάθε x E, τότε ορίζεται η συνάρτηση Ορισµός Έστω { } f : E : f x = lim f x, () η οποία καλείται οριακή συνάρτηση της ακολουθίας { f } στο E Αν ισχύει η () θα λέµε ότι η ακολουθία { f } συγκλίνει σηµειακά στη συνάρτηση f στο σύνολο E Οµοίως, αν η αριθµητική σειρά f ( x) τότε ορίζεται η συνάρτηση συγκλίνει για κάθε x E = =, g: E : g( x) f ( x), () = = η οποία καλείται άθροισµα της σειράς f ( x) Θα εξετάσουµε ποιες ιδιότητες της ακολουθίας συναρτήσεων { f } «κληρονοµούνται» στην οριακή συνάρτηση f Για παράδειγµα, αν οι συναρτήσεις f είναι συνεχείς, ή παραγωγίσιµες, µπορούµε να πούµε ότι ισχύει το ίδιο και για την οριακή συνάρτηση f ; Επίσης, θα εξετάσουµε πότε ισχύει η σχέση b = lim b lim f x dx f x dx, υπό την προϋπόθεση φυσικά ότι η ακολουθία των συναρτήσεων f είναι ολοκληρώσιµη στο προς ολοκλήρωση σύνολο Παράδειγµα Εστω f x = x x x =,,,,3, 6
7 k Eπειδή ( λ ) lim =, λ <, k =,,, έχουµε Επίσης () ( ] lim f ( x) =, x, f =, άρα lim f ( x), x [,] = Τελικά: lim f x dx= Aπ την άλλη µεριά, χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της αντικατάστασης παίρνουµε οπότε + x( x ) dx= ( x ) d( x ) =, lim f lim x dx= = + Κατά συνέπεια, το όριο του ολοκληρώµατος δεν ισούται πάντα µε το ολοκλήρωµα του ορίου, ακόµα και αν τα δυο όρια είναι πεπερασµένα Ορισµός Θα λέµε ότι µια ακολουθία συναρτήσεων { f }, =,,3, που ορίζονται σ ένα υποσύνολο E της πραγµατικής ευθείας συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια συνάρτηση f στο E, αν για κάθε ε >, υπάρχει φυσικός αριθµός N, τέτοιος ώστε για κάθε N να ισχύει f, x f x < ε x E Οµοίως, θα λέµε ότι η σειρά f ( x) συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια = συνάρτηση g στο σύνολο E, αν η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων N SN( x) = f( x) συγκλίνει οµοιόµορφα στο E = 7
8 Τα ακόλουθα κριτήρια είναι πολύ χρήσιµα για την οµοιόµορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων ή σειρών συναρτήσεων: Θεώρηµα 6 Eστω f x f ( x) lim = σηµειακά στο E Aν M = sup f ( x) f( x), x E τότε lim + f = f οµοιόµορφα στο E αν και µόνον αν lim M = + Θεώρηµα 7 (M-test Weierstrss) Eστω { f } είναι µια ακολουθία πραγµατικών συναρτήσεων που ορίζονται στο σύνολο E Αν και f ( x) M, x E, =,,3,, M <, = τότε η σειρά συναρτήσεων f συγκλίνει οµοιόµορφα στο E = Σηµείωση Το αντίστροφο δεν ισχύει Θεώρηµα 8 Εστω { f } είναι µια ακολουθία συνεχών (παραγωγίσιµων) πραγµατικών συναρτήσεων που ορίζονται στο σύνολο E Αν lim f = f οµοιόµορφα στο E, τότε και η οριακή + συνάρτηση f είναι συνεχής (παραγωγίσιµη) στο E Μάλιστα, αν { f } είναι ακολουθία παραγωγίσιµων συναρτήσεων, τότε lim f x = f x Θεώρηµα 9 Εστω { f } είναι µια ακολουθία ολοκληρώσιµων πραγµατικών συναρτήσεων που ορίζονται σε κλειστό διάστηµα [ b, ] Αν lim f = f οµοιόµορφα στο E, τότε και η οριακή + συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιµη στο E και ισχύει = lim = b b b lim f x dx f x dx f x dx 8
9 3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα Ορισµός 3 Εστω > Θα λέµε ότι µια πραγµατική συνάρτηση, + αν η f είναι ολοκληρώσιµη σε f είναι ολοκληρώσιµη στο [ ) κάθε διάστηµα [ c, ] [, ) ολοκλήρωµα της f + και το γενικευµένο (ή µη γνήσιο) clim c f + xdx υπάρχει ή όπως λέµε συγκλίνει σε κάποιο πραγµατικό αριθµό Τότε γράφουµε + f ( x) dx< + Αν f f στο [, ) x dx= ±, τότε λέµε ότι το γενικευµένο ολοκλήρωµα της + αποκλίνει Ορισµός 4 Θα λέµε ότι η f είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη στο [, + ) αν + f x dx< Για τη µελέτη της σύγκλισης γενικευµένων ολοκληρωµάτων υπενθυµίζουµε το ακόλουθο κριτήριο σύγκρισης: Πρόταση Εστω f, g είναι ολοκληρώσιµες σε κάθε διάστηµα [ c, ] [, + ) Αν f x g x x>, τότε + + g x dx< f x dx< Πόρισµα Αν f είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη στο [, + ) τότε είναι ολοκληρώσιµη στο [, + ) Παρατηρήσεις (α) Ανάλογα αποτελέσµατα ισχύουν και για το,b : γενικευµένο ολοκλήρωµα της f στο ( ] b b =, ( < ) f x dx lim f x dx b c c 9
10 (β) Αν µια πραγµατική συνάρτηση f : είναι ολοκληρώσιµη σε κάθε διάστηµα [ M, N] (, ), όπου NM, είναι τυχαίοι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί και είναι τέτοια ώστε + < και N f x dx M f x dx <, τότε λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη στο και γράφουµε + f x dx< Παράδειγµα Θα υπολογίσουµε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα: dx + x + dx b π dx = = [ τοξεφ x] = τοξεφ ( b) = + x + x + b lim lim lim b + b + b + x edx x x x b edx = lim edx = lim e = e lim e = = b b b b b + + dx x dx b dx b = lim = lim [ l x] = lim lb l =+ =+ x x b + b + b +
11 4 Μιγαδικοί αριθµοί Το σύνολο {( x, y) : x, y } όλων των διατεταγµένων ζευγών πραγµατικών αριθµών στο οποίο έχουν ορισθεί οι πράξεις ( x, y ) + ( x, y ) = ( x + x, y + y ), k ( x, y ) = ( k x, k y ), k, ( x, y ) ( x, y ) = ( x x y y, x y + x y ), καλείται σύνολο των µιγαδικών αριθµών και συµβολίζεται µε Τα στοιχεία του καλούνται µιγαδικοί αριθµοί, συµβολικά = ( x, y) = και = αντιστοιχεί στο άθροισµα των αντιστοίχων x y, ενώ το γινόµενό k αντιστοιχεί στο γινόµενο πραγµατικού αριθµού k µε διάνυσµα που έχει καρτεσιανές συντεταγµένες x, y Αναφέρουµε εδώ ότι στο σύνολο ισχύουν όλες οι Γεωµετρικά το άθροισµα δύο µιγαδικών αριθµών ( x, y) ( x, y) διανυσµάτων µε καρτεσιανές συντεταγµένες ( x, y ) και (, ) γνωστές ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολ/σµού και ορίζονται και οι πράξεις της αφαίρεσης και διαίρεσης Προφανώς υπάρχει µια απεικόνιση του επί του επιπέδου θεωρώντας ότι κάθε µιγαδικός αριθµός έχει καρτεσιανές συντεταγµένες x και y Κάθε µιγαδικός της µορφής ( x,) παριστάνει έναν πραγµατικό αριθµό x, συνεπώς ο οριζόντιος άξονας x x στη γεωµετρική παράσταση του παριστάνει την πραγµατική ευθεία Οσον αφορά τον άξονα yy που παράγεται από το µοναδιαίο διάνυσµα (, ), παρατηρούµε ότι Ο µιγαδικός αριθµός (,) (,) = (,) =, συµβολίζεται µε i, καλείται φανταστική µονάδα και ο άξονας yy καλείται φανταστικός άξονας Κάθε µιγαδικός αριθµός της µορφής
12 (, y) = y (,) = y i καλείται φανταστικός αριθµός Προφανώς ισχύει η σχέση i = (,) (,) = (,) = Με βάση τα παραπάνω κάθε µιγαδικός αριθµός = ( x, y) µπορεί να γραφεί ως = ( x, y) = ( x,) + (, y) = x (,) + y (,) = x + y i= x+ iy Η γραφή = x+ iy, καλείται κανονική ή αλγεβρική γραφή του Η τετµηµένη x καλείται πραγµατικό µέρος του και συµβολίζεται µε Re( ), η τεταγµένη y καλείται φανταστικό µέρος του και συµβολίζεται µε Im( ) και το επίπεδο της γεωµετρικής αναπαράστασης του καλείται µιγαδικό επίπεδο Tο σύνολο των µιγαδικών αριθµών µπορεί να επεκταθεί εισάγοντας το σύµβολο στο µιγαδικό επίπεδο Τότε ορίζουµε το επεκτεταµένο µιγαδικό επίπεδο έτσι ώστε: = { } += ( ) και =, = για κάθε και = = για κάθε Εστω = x+ iy είναι µιγαδικός αριθµός Τότε ο µιγαδικός αριθµός = x iy καλείται συζυγής του
13 Καλούµε µέτρο του µιγαδικού αριθµού = x+ iy τo µη αρνητικό αριθµό = x + y Γεωµετρικά ο αριθµός παριστάνει την απόσταση του = ( x, y) ως σηµείου του µιγαδικού επιπέδου από την αρχή των αξόνων και συµπίπτει µε τη συνήθη απόλυτη τιµή όταν y = Πολική ή Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικού Έστω ρ > και θ είναι οι πολικές συντεταγµένες σηµείου A = ( xy, ) του (µιγαδικού) επιπέδου που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό = x+ iy Επειδή x = ρσυνθ και y = ρηµθ, ο µιγαδικός µπορεί να γραφεί ως = x+ iy= ρ συνθ + iηµθ Είναι γνωστό ότι ρ x y = = + Τότε ( συνθ ηµθ ) = + i και έτσι παίρνουµε την πολική ή τριγωνοµετρική µορφή του Λαµβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα των συναρτήσεων ηµ x και συν x η παραπάνω ισότητα παίρνει τη µορφή ( συν θ π ηµ θ π ) = ( + k ) + i ( + k ), k Για δοθέν θ τέτοιο ώστε = ( συνθ + i ηµθ ), τo σύνολο των γωνιών rg = θ + kπ : k { } καλείται όρισµα του, συµβολικά rg( ) Ορισµα δεν ορίζεται για το µιγαδικό αριθµό = Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων και A είναι εκείνο το σηµείο στο µιγαδικό επίπεδο που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό, γεωµετρικά το rg( ) είναι κάθε γωνία σε ακτίνια την οποία σχηµατίζει ο θετικός ηµιάξονας των πραγµατικών αριθµών µε το τµήµα OA Σηµείωση Στο εξής θα λέµε ότι η γωνία θ διαγράφεται µε τη θετική 3
14 φορά αν η γωνία θ διαγράφεται από το θετικό ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών προς την ηµιευθεία OA αντιωρολογιακά Αν η φορά διαγραφής από το θετικό ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών προς την ηµιευθεία OA είναι η ωρολογιακή, γράφουµε θ Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι το rg( ) παίρνει άπειρες τιµές που όµως διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του π rg υπάρχει Μεταξύ των επιµέρους στοιχείων του συνόλου ακριβώς ένα στοιχείο που ανήκει στο διάστηµα ( π, π ] (ή στο [,π ) ) Αυτό το στοιχείο καλείται πρωτεύουσα τιµή του ορίσµατος ή πρωτεύον όρισµα και συµβολίζεται µε Arg( ) Ο τύπος του Euler x x x x Είναι γνωστό ότι e = Αν δεχθούµε ότι η!!! παραπάνω ισχύει για x = iy, y, όπου i είναι η φανταστική µονάδα, τότε έχουµε: 3 4 iy iy ( iy) ( iy) e = = + iy y i y + y +!!!! 3! 4! y y y y y y = + + i y + +! 4! 6! 3! 5! 7! = συν y+ i ηµ y, όπου τα δεξιά µέλη της προτελευταίας ισότητας είναι τα αναπτύγµατα McLuri των συναρτήσεων συν y και ηµ y αντίστοιχα Οδηγούµαστε λοιπόν στον εξής ορισµό (τύπος Euler): iy Προφανώς e = y iy e = συν y+ i ηµ y, y iy Η γεωµετρική ερµηνεία του y,π iy τότε η e διαγράφει το µοναδιαίο κύκλο µε κέντρο το (,) e είναι προφανής: Αν το [ ) 4
15 στο µιγαδικό επίπεδο κατά τη θετική φορά Για y επαναδιαγράφουµε το µοναδιαίο κύκλο άπειρες φορές Από τον παραπάνω ορισµό γίνεται σαφές ότι κάθε µιγαδικός αριθµός = ( συνφ + i ηµφ) µπορεί να γραφεί ως iφ i = e φ Αν j j = j e, j =, είναι δύο µη µηδενικοί µιγαδικοί αριθµοί, τότε: = = και φ = φ kπ +, k i e φ = Με άλλα λόγια ο συζυγής = x iy ενός µιγαδικού αριθµού = x+ iy παριστάνει στο µιγαδικό επίπεδο το συµµετρικό του = x, y ως προς τον πραγµατικό άξονα Επίσης: σηµείου i = e φ + φ Με άλλα λόγια το γινόµενο δύο µιγαδικών αριθµών, είναι ένας νέος µιγαδικός αριθµός µε µέτρο ίσο µε το γινόµενο των µέτρων των, και όρισµα rg( ) = rg + rg * Για κάθε ορίζουµε τη δύναµη µιγαδικού (µε εκθέτη ακέραιο) ως εξής: = και { } =, -φορές = ( ) Ισχύει ο τύπος του Moivre: ( συν ( φ ) ηµ ( φ )) iφ = e = + i, 5
16 Μιγαδικές συναρτήσεις Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο A και πεδίο τιµών το σύνολο f A = w : w= f { } Συνδυάζοντας τον παραπάνω ορισµό µε τη γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών αριθµών προκύπτει ότι µια µιγαδική συνάρτηση απεικονίζει σηµεία του µιγαδικού επιπέδου σε σηµεία του µιγαδικού επιπέδου w Εφόσον = x+ iy, ( xy, ), είναι φανερό ότι µια µιγαδική συνάρτηση f µπορεί να γραφεί ως όπου f = f( x+ iy) = uxy, + ivxy, = Re f + iim f, uv, : A είναι πραγµατικές συναρτήσεις δυο µεταβλητών Για παράδειγµα αν f =, τότε άρα u( x, y) = x y και v( x y) f = x+ iy = x y + i xy,, = xy Οι πράξεις µε µιγαδικές συναρτήσεις ορίζονται όπως συνήθως Για παράδειγµα αν b, και f : E, g: E, τότε για κάθε E E ορίζουµε ( f ± b g) = f ± b g, ( f g) = f g, ενώ για κάθε E E { E E g } : = ορίζουµε f g = f g 6
17 Μια µιγαδική συνάρτηση f : A B καλείται φραγµένη αν το πεδίο τιµών της f ( A ) είναι φραγµένο σύνολο στο, δηλαδή υπάρχει θετική σταθερά C τέτοια ώστε να ισχύει f Η Εκθετική συνάρτηση C για κάθε A Αν = x+ iy,( x, y ) είναι ένας µιγαδικός αριθµός, ορίζουµε την εκθετική συνάρτηση ως εξής: Τότε: e = e e x iy + (α) e = e e (β) Για κάθε ισχύει e (γ) e = e = + π i, (δηλαδή η περιοδική) e είναι π i - (δ) e = = π i, (ε) (στ) e e = e e = e Αν f : E : f = u( x, y) + iv( x, y), = x + iy είναι σηµείο συσσώρευσης του E και = u + iv, τότε Ειδικά αν =, τότε: lim f = ( xy, ) ( x, y) ( xy, ) ( x, y) lim Re f = u lim Im f = v και lim f = lim f = 7
18 lim f = lim f = Προφανώς αν lim f f ( ) σηµείο =, τότε η f καλείται συνεχής στο Οµοίως, αν g: E : f () t = u() t + iv() t, t είναι σηµείο συσσώρευσης του E και = u + iv, τότε ( ) () limre g t = limu t = u t t t t lim g() t = t t limim( g t ) = limv() t = v t t t t Ειδικά αν t =±, τότε ισχύει: Αν lim g() t g ( t ) t t lim g() t = lim g() t = t ± t ± =, τότε η g καλείται συνεχής στο σηµείο t Αν η g είναι συνεχής σ όλα τα σηµεία το συνόλου E τότε καλείται συνεχής στο E () Re Im( ) Αν Re( g ) και gt = gt + i gt, όπου οι πραγµατικές συναρτήσεις Im g είναι το πραγµατικό και φανταστικό µέρος της g αντιστοίχως, τότε ( ) () () g () t = Re g t + i Im g t, υπό την προϋπόθεση ότι οι Re( g ) και συναρτήσεις στο t Im g είναι παραγωγίσιµες Τέλος, αν η g είναι συνεχής συνάρτηση στο [ b, ], τότε ορίζουµε = Re + Im b b b g t dt g t dt i g t dt 8
19 5 Βασικοί τύποι της τριγωνοµετρίας Tριγωνοµετρικά ολοκληρώµατα Στην παράγραφο αυτή υπενθυµίζουµε µερικούς τύπους τριγωνοµετρίας για την ευκολότερη κατανόηση των εποµένων παραγράφων si x = si x cos x cos x = cos x si x= si x= cos x x + y x y si x+ si y= si cos x y x+ y si x si y= si cos x + y x y cos x+ cos y= cos cos x + y y x cos x cos y= si si Επίσης αν m, είναι φυσικοί αριθµοί, τότε έχουµε: T π x cos dx = T T και T si π x dx = T T T πx mπx m si si dx T = T T T = m T πx mπx m cos cos dx T = T T T = m T πx mπx si cos dx T = T T Οι αποδείξεις είναι εύκολες µε χρήση των τύπων τριγωνοµετρίας 9
Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.
Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές
Διαβάστε περισσότερα3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )
3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.
5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα
Διαβάστε περισσότερα( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a
7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.
5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα
Διαβάστε περισσότερα5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.
5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)
Αριθμός Εξέτασης 7 α.α) ος τρόπος: Έστω z i. Τότε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ z i και Re z. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι z z,ισχύει επίσης ότι. Είναι z z z z z z z z z z z
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότερα6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).
6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα
Διαβάστε περισσότερα1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο
1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών Είναι γνωστό ότι η εξίσωση x δεν έχει λύση στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότερα4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. (0.1) όπου z = x + iy. Όταν z = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή. e dz = (0.3)
4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η εκθετική συνάρτηση Η εκθετική συνάρτηση την σχέση e, ή exp( ) όπως εναλλακτικά συμβολίζεται, ορίζεται από x e = e (os y+ isin y) (0.) όπου = x + iy. Όταν = iy τότε ο ανωτέρω
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...
Διαβάστε περισσότερα(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier
Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.
ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,
Διαβάστε περισσότεραΚαµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως
Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραv y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος
9. Εµαδόν χωρίου Κεφάλαιο 9 Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο είδαµε ότι αν f είναι µια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,] (α
Διαβάστε περισσότεραΌταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.
Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότερα~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
~ ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x iy αν ικανοποιούνται
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: z r(cosϑ + isi ϑ) Τότε z r (cos ϑ + isi ϑ ) Ν-οστή ρίζα µιγαδικού / ϑ + π ϑ+ π z r cos + isi όπου 0,,,, Συνθήκες
Διαβάστε περισσότεραΘωμάς Ραϊκόφτσαλης 01
0 Α. ΕΙΑΓΩΓΗ ΘΕΜΑ Α Γ_Μ_Μ_ΑΘΡ_ΕΙ_Β_ΕΚ_9 Έστω ο μιγαδικός αριθμός i,,. Τι καλούμε:. Πραγματικό μέρος του.. Φανταστικό μέρος του.. υζυγή του. 4. Εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο. 5. Διανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΟι Μιγαδικοί Αριθμοί
Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι μιγαδικοί αριθμοί αρχικά βοήθησαν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων των οποίων η διακρίνουσα είναι αρνητική Το γενικότερο πρόβλημα βέβαια είναι ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός
Διαβάστε περισσότερα4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-
Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότερα() 1 = 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE Ορισµοί
SECTION 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE 7. Ορισµοί Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση Legere ( )y'' y' + ( + )y καλούνται συναρτήσεις Legere τάξης. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης του Legere
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.
Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε ότι ακολουθεί συμβολίζουμε με το σύνολο των φυσικών αριθμών και με και R τα σύνολα των ακεραίων των ρητών και των πραγματικών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 1 - Σημειώσεις 1
Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Σύνολα Πως διαβάζουμε κάποιους συμβολισμούς: ανήκει και η άρνηση, δηλαδή δεν ανήκει υπάρχει για κάθε : τέτοιο ώστε. Επίσης το σύμβολο έχει την ερμηνεία «τέτοιο ώστε» και ή υπονοεί
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε
Διαβάστε περισσότεραL 2 -σύγκλιση σειρών Fourier
Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΑκουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών N = {1, 2,
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά
Διαβάστε περισσότεραΤα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις
Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:
Διαβάστε περισσότεραΌριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότερα1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή
KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότερα~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις συναρτήσεις
Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόµενα. 1 Ολοκληρώµατα ιπλό Ολοκλήρωµα... 1
Περιεχόµενα Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα...................... i Κεφάλαιο Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα Ι. Πάνω σε ορθογώνιο Εστω f : R α, β] γ, δ] R µία ϕραγµένη συνάρτηση στο ορθογώνιο R. Ορίζουµε
Διαβάστε περισσότερα7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z
7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραProapaitoÔmenec gn seic.
ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς
Διαβάστε περισσότερα