Κινοφμενοσ αγωγόσ ςε μαγνητικό πεδίο

Transcript

1 Κινοφμενοσ αγωγόσ ςε μαγνητικό πεδίο Στο άρκρο αυτό κα περιγράψω τθ ςχζςθ ανάμεςα ςτθν θλεκτρεγερτικι δφναμθ Faraday και ςτθ δφναμθ Lorentz που αναπτφςςεται ςτα φορτία ενόσ ευκφγραμμου αγωγοφ που κινείται ςε ομογενζσ μαγνθτικό πεδίο. Δθμοςιεφω αυτό το άρκρο γιατί πιςτεφω ότι θ ςχζςθ αυτι δεν αναπτφςςεται ςωςτά ςτο βιβλίο φυςικισ κατεφκυνςθσ τθσ Βϋ Λυκείου. Ζςτω ςυρμάτινο ορκογϊνιο πλαίςιο με 3 πλευρζσ με το επίπεδό του κάκετο ςε ομογενζσ μαγνθτικό πεδίο B. Θ τζταρτθ πλευρά είναι ζνασ κφλινδροσ που κυλίεται με ταχφτθτα v. Σχθματίηεται ζτςι ζνα μεταβλθτό ορκογϊνιο του οποίου οι πλευρζσ είναι a και b όπωσ φαίνεται ςτο παρακάτω ςχιμα. Στο άρκρο αυτό: Θα υπολογίςω τθν αναπτυςςόμενθ ΘΕΔ ςφμφωνα με το νόμο του Faraday. Θα υπολογίςω τθ δφναμθ Lorentz, το ζργο που παράγει και τθν ΘΕΔ που ορίηεται απϋ αυτό ΗΕΔ Faraday Σφμφωνα με το Νόμο του Faraday E = dφ dt (1) Αλλά Φ = abb (2) Και

2 v = da dt (3) Αντικακιςτϊντασ τισ τελευταίεσ ςχζςεισ ςτθν (1) ζχω (4) Δφναμη Lorentz E = vbb Ασ ςυμβολίςω με e το φορτίο του θλεκτρονίου. Για ζνα θλεκτρόνιο που κινείται ςε μαγνθτικό πεδίο αςκείται δφναμθ Lorentz (5) Στο πρόβλθμά μασ όμωσ: (6) Και (7) Αντικακιςτϊντασ ςτθν (5) ζχω: (8) F = ev B v = vx B = Bz F = evby Ασ υποκζςουμε ότι ζνα θλεκτρόνιο κινείται κατά τθ κετικι κατεφκυνςθ του y-άξονα. Το ζργο τθσ F για να διατρζξει το θλεκτρόνιο το μικοσ b του κινοφμενου αγωγοφ είναι: (9) W = F by = evbb Αν το θλεκτρόνιο ςυνεχίςει τθν κίνθςι του ςτο ακίνθτο ςυρμάτινο πλαίςιο, το ζργο είναι 0 κατά τθν κίνθςθ αυτι, γιατί θ δφναμθ Lorentz που αςκείται ςτο θλεκτρόνιο ςτο ςυρμάτινο πλαίςιο είναι 0. Άρα το ολικό ζργο για μια πλιρθ περιςτροφι του θλεκτρονίου ςτο κλειςτό κφκλωμα είναι (10) W t = W = evbb

3 Αν όμωσ κατά τθ κετικι κατεφκυνςθ του άξονα κινοφνται n θλεκτρόνια που ζχουν φορτίο q, το W t είναι: (11) W t = qvbb Το πρόςθμο του W t αλλάηει, όμωσ, για θλεκτρόνια που κινοφνται αντίκετα. Για να γράψουμε εκφράςεισ που δεν εξαρτϊνται από τθ φορά κίνθςθσ των θλεκτρονίων, ασ κεωριςουμε ςαν κετικι φορά του ρεφματοσ τθν αριςτερόςτροφθ. Στθ (14) q < 0 και θ φορά κίνθςθσ των θλεκτρονίων αντιςτοιχεί ςε I < 0 (δεξιόςτροφο ρεφμα). Άρα (12) q = ne = It Επομζνωσ θ (11) γράφεται: W t = ItvBb (13) και ιςχφει για αριςτερόςτροφα και δεξιόςτροφα ρεφματα (γιατί για αριςτερόςτροφα I > 0 και για δεξιόςτροφα I < 0). Όταν ςϋ ζνα κφκλωμα υπάρχει ΘΕΔ Ε και διαρρζεται από ρεφμα ζνταςθσ I, το ζργο που παρζχει θ ΘΕΔ ςε χρόνο t είναι: (14) W t = ItΕ Συγκρίνοντασ τισ (13) και (14) καταλιγουμε ςτθν: (15) E = vbb Αν ςυγκρίνουμε αυτι με τθν (4) βλζπουμε ότι θ ΘΕΔ που βρικαμε δεν είναι άλλθ από τθν ΘΕΔ Faraday. Καταλιγουμε επομζνωσ ςτο εξισ ςυμπζραςμα: Όταν ζνασ αγωγόσ κινείται ςε ςυρμάτινο πλαίςιο κάθετα ςτισ γραμμζσ ομογενοφσ μαγνητικοφ πεδίου, δημιουργείται μια ΗΕΔ ςτο κφκλωμα που οφείλεται ςτο παραγόμενο από το μαγνητικό πεδίο ζργο λόγω τησ δφναμησ Lorentz ςτα ηλεκτρόνια του αγωγοφ που κινοφνται με την ταχφτητα του αγωγοφ. Θ ιδζα ότι το μαγνθτικό πεδίο παράγει ζργο, ίςωσ να θχεί λίγο παράξενα. Το μαγνθτικό πεδίο δεν παράγει ζργο ςϋ ζνα θλεκτρόνιο που κινείται ελεφκερα μζςα του, γιατί θ κίνθςι του είναι κάκετθ ςτθ δφναμθ Lorentz. Όταν, όμωσ, το θλεκτρόνιο δεςμεφεται να κινθκεί ςε ςυγκεκριμζνθ τροχιά, τότε το παραγόμενο ζργο είναι, εν γζνει, διάφορο του μθδενόσ. Αυτό οφείλεται ςτο γεγονόσ ότι το ςφςτθμα που δεςμεφει τθν κίνθςθ του θλεκτρονίου (ο ευκφγραμμοσ αγωγόσ ςτθ περίπτωςι μασ) αςκεί το ίδιο δφναμθ ςτο θλεκτρόνιο, και ζτςι θ

4 Σσ. 5.5 Ο αγσγόο ΚΛ θηλείηαη κέζα ζε νκνγελέο καγλεηηθό πεδίν. ςυνιςταμζνθ δφναμθ επάνω του δεν είναι κάκετθ ςτθν κίνθςθ. Γι αυτό θ πρωταρχικι πθγι ενζργειασ δεν είναι το μαγνθτικό πεδίο, αλλά θ δφναμθ που κινεί τθ ράβδο. Είναι απαραίτθτθ αυτι θ δφναμθ για να εξουδετερϊςει τθ δφναμθ Laplace που αςκείται ςτον ρευματοφόρο αγωγό. Θ ΘΕΔ δεν προζρχεται από κάποιο θλεκτρικό πεδίο. Αν ςυνδζςουμε ζναν αγωγό ανάμεςα ςτουσ πόλουσ μιασ πθγισ, το θλεκτρικό ρεφμα ςτο κφκλωμα του αγωγοφ ζχει αιτία το θλεκτρικό πεδίο. Θ ΘΕΔ του αγωγοφ, όμωσ, ζχει άλλθ αιτία. Σε μια κοινι μπαταρία, για παράδειγμα, αιτία τθσ ΘΕΔ είναι τα θλεκτροχθμικά φαινόμενα που ςυμβαίνουν ςτο εςωτερικό τθσ. Στθν περίπτωςθ που εξετάςαμε, αιτία τθσ ΘΕΔ είναι το ομογενζσ μαγνθτικό πεδίο μζςα ςτο οποίο κινείται ο αγωγόσ. Αυτό όμωσ είναι αντίκετο με τθν αντίλθψθ του ςυγγραφζα του βιβλίου κατεφκυνςθσ τθσ Βϋ Λυκείου. Το ςχετικό απόςπαςμα του βιβλίου παρατίκεται παρακάτω: 5-3 ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΟ ΑΓΩΓΟ ΚΘΝΟΤΜΕΝΟ Ε ΟΜΟΓΕΝΕ ΜΑΓΝΗΣΘΚΟ ΠΕΔΘΟ Αλ θαη ηα πεηξάκαηα επηβεβαηώλνπλ πιήξσο ην λόκν Faraday απνκέλεη αδηεπθξίληζην ην πώο δεκηνπξγνύληαη ηα επαγσγηθά ξεύκαηα. Σν παξαθάησ παξάδεηγκα θσηίδεη θάπσο ηα πξάγκαηα. Επζύγξακκνο αγσγόο κήθνπο L θηλείηαη κε ζηαζεξή ηαρύηεηα ς θάζεηα ζηηο δπλακηθέο γξακκέο νκνγελνύο καγλεηηθνύ πεδίνπ Β (ζρ. 5.5). Σα ειεύζεξα ειεθηξόληά ηνπ, ζπκκεηέρνληαο ζηελ θίλεζε ηνπ αγσγνύ, θηλνύληαη θαη απηά κε ηαρύηεηα π θάζεηα ζηηο δπλακηθέο γξακκέο ηνπ πεδίνπ. Έλα ειεύζεξν ειεθηξόλην επεηδή θηλείηαη κε ηαρύηεηα ς κέζα ζε καγλεηηθό πεδίν ζα δερηεί δύλακε Lorentz F B q ε θνξά ηεο νπνίαο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Η δύλακε απηή πξνθαιεί ηελ θίλεζε ησλ ειεύζεξσλ ειεθηξνλίσλ πξνο ην άθξν Λ ηνπ αγσγνύ. Έηζη δεκηνπξγείηαη ζπζζώξεπζε αξλεηηθνύ θνξηίνπ ζην άθξν Λ, θαη πιεόλαζκα ζεηηθνύ θνξηίνπ ζην άθξν Κ. Σα θνξηία απηά δεκηνπξγνύλ ζην ρώξν ηνπ αγσγνύ νκνγελέο ειεθηξηθό πεδίν έληαζεο Ε κε θνξά από ην Κ πξνο ην Λ. Σα ειεύζεξα ειεθηξόληα δέρνληαη ηώξα κηα αθόκε δύλακε F qe αληίζεηεο θνξάο από ηε καγλεηηθή. Όζν ε δύλακε Lorentz είλαη κεγαιύηεξε από ηελ ειεθηξηθή, ε ζπζζώξεπζε θνξηίσλ ζπλερίδεηαη, κε όιν θαη κηθξόηεξν ξπζκό. Έηζη, ε έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ απμάλεηαη θαη ζε πνιύ ιίγν ρξόλν ηα κέηξα ησλ δπν δπλάκεσλ γίλνληαη ίζα, δειαδή Eq B q ή E B (5.5) Σόηε παύεη ε κεηαθίλεζε θνξηίνπ θαη ην ζεκείν Κ βξίζθεηαη ζε πςειόηεξν δπλακηθό από ην Λ. Η δηαθνξά δπλακηθνύ V ΚΛ κεηαμύ ησλ άθξσλ ηνπ αγσγνύ Κ θαη Λ ππνινγίδεηαη από ηελ (5.5) αλ ζέζνπκε όπνπ V B L. V E L θαη ιύζνπκε σο πξνο V ΚΛ, νπόηε πξνθύπηεη

5 Σχ. 5.6 Ο αγωγόσ ΚΛ ολιςκαίνει πάνω ςτουσ ακίνθτουσ αγωγοφσ xδηxϋ. Όλο το ςφςτθμα βρίςκεται μζςα ςε ομογενζσ μαγνθτικό πεδίο. Θ ςυςςϊρευςθ φορτίου ςτα άκρα του αγωγοφ ΚΛ, προκαλεί κίνθςθ φορτίου ςτουσ ακίνθτουσ αγωγοφσ. Πξόθεηηαη γηα κηα δηαθνξά δπλακηθνύ πνπ νθείιεηαη ζηε δξάζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ (επάγεηαη από ην καγλεηηθό πεδίν). Αο ζεσξήζνπκε ηνλ ίδην αθξηβώο αγσγό λα θάλεη ηελ ίδηα θίλεζε κέζα ζην ίδην πεδίν. Σώξα όκσο ηα άθξα ηνπ αγσγνύ νιηζζαίλνπλ πάλσ ζηνπο αθίλεηνπο αγσγνύο xδζx (ζρ. 5.6). Η ζπζζώξεπζε θνξηίνπ, ζηα άθξα ηνπ αγσγνύ ΚΛ, πνπ νθείιεηαη ζηελ θίλεζή ηνπ, πξνθαιεί ηελ θίλεζε θνξηίνπ ζην ηκήκα ΚΔΖΛ ησλ αθίλεησλ αγσγώλ. Αο θαληαζηνύκε έλα ειεύζεξν ειεθηξόλην ησλ αγσγώλ ΚΔΖΛ. Σν ειεθηξόλην ζα θηλεζεί πξνο ην ζεκείν Κ, δηαηαξάζζνληαο πξνο ζηηγκήλ ηελ ηζνξξνπία ησλ θνξηίσλ ζηα άθξα Κ θαη Λ. Μηα λέα κεηαθίλεζε θνξηίνπ κέζα ζηνλ αγσγό ΚΛ ζα απνθαηαζηήζεη ηελ ηζνξξνπία. Σν ίδην ζα ζπκβεί κε θάζε ειεθηξόλην πνπ θηάλεη ζην ζεκείν Κ, δειαδή ν αγσγόο ΚΛ, ιεηηνπξγεί σο αληιία θνξηίνπ, σο ειεθηξηθή πεγή, ειεθηξεγεξηηθήο δύλακεο B L. Αν έναρ εςθύγπαμμορ αγωγόρ κινείηαι με ηασύηηηα ς, μέζα ζε ομογενέρ μαγνηηικό πεδίο, έηζι ώζηε ο αγωγόρ, η ηασύηηηα και ηο μαγνηηικό πεδίο να είναι κάθεηα ανά δύο μεηαξύ ηοςρ, ζηον αγωγό αναπηύζζεηαι ηλεκηπεγεπηική δύναμη από επαγωγή E B L ην ίδην απνηέιεζκα θαηαιήγνπκε κε ην λόκν ηνπ Faraday. Αο επαλέιζνπκε ζηνλ αγσγό ΚΛ πνπ νιηζζαίλεη πάλσ ζηνπο αθίλεηνπο αγσγνύο xδζx. Σσ. 5.7 Καζώο ν αγσγόο ΚΛ θηλείηαη, κεηαβάιιεηαη ην εκβαδόλ ηνπ πιαηζίνπ ΚΔΖΛ, κε απνηέιεζκα λα κεηαβάιιεηαη ε καγλεηηθή ξνή πνπ δηέξρεηαη από απηό.