Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι"

Transcript

1 Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Ανάλυση ροής φορτίου Υπεύθυνος μαθήματος Τομέας Ενεργειακών Συστημάτων Εργαστήριο ΣΗΕ

2 Περιεχόμενα Μαθήματος Γενικά Διαμόρφωση μαθηματικού μοντέλου Μέθοδοι επίλυσης του προβλήματος ροής φορτίου Αξιολόγηση μεθόδων Επίλυση του προβλήματος ροής φορτίου Παράδειγμα

3 Γενικά

4 Ροή φορτίου /1 Βασικά κριτήρια λειτουργίας ενός συστήματος ηλεκτρικής ισχύος: - Παραγωγή = Ζήτηση + Απώλειες - Τάσεις και συχνότητα στους ζυγούς κοντά στις ονομαστικές του τιμές (εντός ορίων) - Οι γεννήτριες να λειτουργούν μέσα στα όρια ενεργού και άεργου ισχύος - Pmin P Pmax, Qmin Q Qmax - Οικονομικά βέλτιστη λειτουργία του συστήματος - Οι γραμμές μεταφοράς (ΓΜ) να μην υπερφορτίζονται και να μην λειτουργούν κοντά στο όριο ευστάθειας τους - Οι μετασχηματιστές να μην υπερφορτίζονται. - Να ικανοποιούνται υποχρεώσεις προγραμματισμού ισχύος ως προς τις γραμμές διασύνδεσης με τα γειτονικά συστήματα

5 Ροή φορτίου / Η μέθοδος που χρησιμοποιείται για να υπολογίσουμε και να εξασφαλίσουμε τα προηγούμενα λέγεται ροή ισχύος ή ροή φορτίου (power flow). Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε: - Μέτρο και γωνία τάσης σε κάθε ζυγό - Ενεργό και άεργο ισχύ σε κάθε γραμμή μεταφοράς - Απώλειες - Άλλα (π.χ. tap settings) Το συνολικό πρόβλημα της ροής ισχύος διαιρείται σε δύο επί μέρους προβλήματα: - Διαμόρφωση κατάλληλου μαθηματικού μοντέλου - Επίλυση του προβλήματος με μεθόδους αριθμητικής ανάλυσης

6 Ροή φορτίου /3 Παρόλο που το δίκτυο είναι ένα ηλεκτρικό κύκλωμα, δεν μπορούμε να βρούμε τη λύση του προβλήματος με ανάλυση βρόγχων ή κόμβων. Σε ένα ηλεκτρικό δίκτυο έχουμε ένα μεγάλο αριθμό μη γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων που τις λύνουμε με τη βοήθεια υπολογιστών. Άρα, η ανάλυση ροής φορτίου σε ένα σύστημα είναι πολύ σημαντικό γιατί επιτρέπει: - το σχεδιασμό και λειτουργία του συστήματος - την οικονομική λειτουργία του συστήματος - σχεδιασμό μελλοντικών επεκτάσεων - συνεργασία μεταξύ εταιρειών για ανταλλαγή ισχύος - άλλες σημαντικές εφαρμογές (π.χ. Contingency studies) - καθορισμός βέλτιστου μεγέθους και θέσης πυκνωτών αντιστάθμισης - καθορισμός βέλτιστου μεγέθους και θέσης ΣΠΗΕ, ΔΠ, ΥΣ, ΓΜ

7 Διαμόρφωση μαθηματικού μοντέλου

8 Το πρόβλημα /1 Η ανάλυση ροής φορτίου είναι βασικά μια μέθοδος υπολογισμού του μέτρου της τάσης και της γωνίας σε κάθε ζυγό του συστήματος, κάτω από συμμετρικές τριφασικές συνθήκες σε σταθερή κατάσταση. Δεδομένα εισόδου: - Δεδομένα ζυγών - Δεδομένα γραμμών μεταφοράς και μετασχηματιστών - Μέγεθος, τύπος και τοποθεσία φορτίων

9 Το πρόβλημα / Κάθε ζυγός έχει τέσσερις μεταβλητές συνδεδεμένες με αυτόν: 1) Συνολική ενεργός ισχύς P (active power) ) Συνολική άεργος ισχύς Q (reactive power) 3) Μέτρο φασικής τάσης (voltage magnitude) 4) Γωνία φασικής τάσηςδ (phase angle) Για σύστημα n ζυγών: - n εξισώσεις ροής φορτίου - 4n μεταβλητές Περιορισμός μεταβλητών: - μεταβλητές ανά ζυγό είναι ανεξάρτητες μεταβλητές - Οι υπόλοιπες προκαθορίζονται I = P U * jq

10 Ζυγοί του συστήματος Τύπος ζυγού Γνωστές Μετβαλητές Άγνωστες Μεταβλητές Ταλάντωσης ή αναφοράς (slack bus) Ζυγός ελεγχόμενος από τάση (PV) U=1, θ=0 ο P, Q P, U Q, θ Ζυγός φορτίων (PQ) P, Q U, θ

11 Εξισώσεις δικτύου /1 Έστω ότι έχουμε το πιο κάτω δίκτυο (για ευκολία αγνοούμε τις αντιστάσεις)

12 Εξισώσεις δικτύου / Μετατρέποντας όλες τις αντιδράσεις (impedances) σε σύνθετες αγωγιμότητες (admittances): y ij 1 1 = = z r + jx ij ij ij

13 Εξισώσεις δικτύου /3 Εξισώσεις στους κόμβους του συστήματος: Κόμβος 1 I = y V + y V V + y V V ( ) ( ) Κόμβος ( ) ( ) I = y V + y V V + y V V Κόμβος 3 0 = y V V + y V V + y V V ( ) ( ) ( ) Κόμβος 4 0 = y V V ( )

14 Εξισώσεις δικτύου /4 Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να γραφτούν και ως εξής: ( ) ( ) ( ) I = y + y + y V y V y V I = yv+ y + y + y V yv = yv yv+ y + y + y V yv 0 = y V + y V Γράφοντας τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα: ( ) I1 y10 + y1 + y13 y1 y13 0 V1 I 1 ( ) 3 0 V y y + y + y y = 0 y13 y3 ( y13 + y3 + y34 ) y34 V y y V

15 Εξισώσεις δικτύου /4 Εξισώσεις του δικτύου σε μορφή πίνακα: ( ) I1 y10 + y1 + y13 y1 y13 0 V1 I 1 ( ) 3 0 V y y + y + y y = 0 y13 y3 ( y13 + y3 + y34 ) y34 V y y V

16 Εξισώσεις δικτύου /5 Άρα, μπορούμε να βρούμε τα στοιχεία του πίνακα αγωγιμότητας (bus admittance matrix) χρησιμοποιώντας: n Y = y, j i, self-admittance ii j= 0 ij Y = Y = y, i j, mutual admittance ij ji ij Επομένως, μπορούμε να γράψουμε σε γενική μορφή: I1 Y11 Y 1... Y1 n V1 I Y1 Y... Y n V = => I = YV I Y Y... Y V n n1 n nn n

17 Εξισώσεις δικτύου /6 Το πρόβλημα επομένως για την περίπτωση π.χ. του ζυγού i από τους συνολικά n γράφεται: n I = Y U i im m m= 1 Αλλιώς συναρτήσει της ισχύος: n * i i = i im m m= 1 P jq U Y U - n εξισώσεις που απαρτίζουν ένα γραμμικό αλγεβρικό σύστημα - για την επίλυσή του συστήματος, ανάλογα με τον τύπο του ζυγού, υπολογίζονται οι άγνωστοι με χρήση μια επαναληπτικής μεθόδου αριθμητικής ανάλυσης

18 Μέθοδοι επίλυσης του προβλήματος ροής φορτίου

19 Γενικά Επαναληπτικές μέθοδοι ή μέθοδοι ανακυκλώσεως: - Επαναληπτική μέθοδος Gauss - Gauss-Seidel - Newton-Raphson Επίλυση: - Προτείνεται μια αρχική λύση - Η αρχική λύση δίνει μια κλύτερη νέα λύση χρησιμοποιώντας την - Η δεύτερη λύση χρησιμοποιείται για την έυρεση τρίτης λύσης κ.τ.λ. f( x ) = 0

20 Περιοριστικά όρια: Περιορισμοί (constraints) - Τα μέτρα των τάσεων των ζυγών να βρίσκονται μέσα σε συγκεκριμένα όρια ανοχής - Οι γωνιακές διαφορές ορισμένων ζυγών να παραμένουν κάτω από ορισμένο όριο, το οποίο υπαγορεύεται από λόγους ηλεκτρικής ευστάθειας - Οι ισχείς παραγωγής να βρίσκονται μέσα σε συγκεκριμένα όρια - Πρόσθετοι περιορισμοί ώστε το σύστημα να λειτουργεί κατά το βέλτιστο οικονομικά τρόπο (οικονομικοί περιορισμοί) U < U < U imin i imax δi δ j < δi δj P < P < P max G1,min G1 G1,max Q < Q < Q G1,min G1 G1,max

21 Μέθοδος Jacobi ή Μέθοδος Gauss /1 Έστω ότι θέλουμε να βρούμε μια λύση της εξίσωσης: 3 3 f ( x) = x + x x 1= 0 Γράφουμε την εξίσωση σε μορφή: x = ( ) g x Επομένως: 3 x x x 3 = + 1

22 Μέθοδος Jacobi ή Μέθοδος Gauss / Για να υπολογίσουμε το x χρησιμοποιούμε επαναληπτική διαδικασία (iterative procedure) και υποθέτουμε μια αρχική τιμή x0. Άρα: Και σταματούμε όταν (κριτήριο σύγκλισης): n x n x n+ 1 x n x + x < ε n x = n 1 x + + n xn 1 n Έστω ότι x0=0 και ε=0.01, συνεχίζοντας τη λύση παίρνουμε: x =

23 Μέθοδος Jacobi ή Μέθοδος Gauss /3 Αν τώρα έχουμε ένα σύστημα: x y = 1 x+ 3y z = 8 y+ z = 5 Πρέπει να φέρουμε το σύστημα στη μορφή: yn 1 xn+ 1 = yn+ 1 = xn + zn zn+ 1 = yn

24 Μέθοδος Jacobi ή Μέθοδος Gauss /4 Άρα, αν έχουμε x 0 =y 0 =z 0 =0: n xn yn zn /3-5/ yn 1 xn+ 1 = yn+ 1 = xn + zn zn+ 1 = yn

25 Μέθοδος Gauss-Seidel Παρόμοια με την Gauss, όμως χρησιμοποιεί τις νέες τιμές των αγνώστων σε κάθε επανάληψη (iteration), αν υπάρχουν. Άρα συγκλίνει πιο γρήγορα. Το ίδιο παράδειγμα: yn 1 xn+ 1 = yn+ 1 = xn+ 1+ zn zn+ 1 = yn+ 1 Έστω ότι x0=y0=z0=0 και ε=0.001 n xn yn zn

26 Μέθοδος Newton-Raphson /1 - Χρησιμοποιείται πολύ συχνά λόγω της μη γραμμικότητας του δικτύου. - Βασίζεται σε μια αρχική τιμή κοντά στη ρίζα της συνάρτησης και στη σειρά Taylor (Taylor series). - Έστω ότι έχουμε μια συνάρτηση f(x)=0 και ότι μια από τις ρίζες της είναι η - Έστω ότι υποθέτουμε μια αρχική τιμή για το x, x0, και η διαφορά του x0 από την πραγματική ρίζα είναι Δx: Χρησιμοποιώντας τη σειρά Taylor:

27 Μέθοδος Newton-Raphson / Αν κρατήσουμε μόνο τους δύο πρώτους όρους: Αφού x1=x0+δx, τότε το πραγματική ρίζα. πρέπει να είναι καλύτερη προσέγγιση για την

28 Μέθοδος Newton-Raphson /3

29 Παράδειγμα: Μέθοδος Newton-Raphson /4 n x Αρχική τιμή για n=0

30 Μέθοδος Newton-Raphson /5 Αν αυτή την ιδέα τη γενικεύσουμε για την περίπτωση που έχουμε πέραν του ενός αγνώστου, δηλαδή: και έστω ότι η λύση μας είναι ώστε και τότε μπορούμε να γράψουμε τις ίδιες εξισώσεις με τη σειρά Taylor όπως και προηγουμένως:..

31 Μέθοδος Newton-Raphson /6 J(x0): Jacobian matrix (nxn) (αφού ) Για κάθε επανάληψη δημιουργείται ένας νέος Ιακωβιανός πίνακας Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να πληρωθεί το όριο ανοχής για όλες των x i Οι εκτιμήσεις αν είναι μακρυά από τη λύση μπορεί να οδηγήσουν σε μεγάλο σφάλμα διακοπής σειράς

32 Παράδειγμα με Newton-Raphson /1 Παράδειγμα από προηγούμενο μάθημα: Βρείτε το ούτως ώστε x x 1 = x f ( x ) = 0 όπου ( ) f x = x + x 8= ( ) f x = x x + xx 4= 0 1 1

33 Παράδειγμα με Newton-Raphson / Ο Ιακωβιανός πίνακας γράφεται: ( ) J x ( ) ( ) df1 x df1 x dx1 dx 4x1 x = = df ( ) ( ) x1 x x x 1 x df x + + dx1 dx n+ 1 n n n 1 1 n+ + n n n + n 1n ( x ) n 1 f 1 x1 x1 4x1 x = x x x x x x f x ( ) n

34 Παράδειγμα με Newton-Raphson /3 Έστω ότι (αρχικές συνθήκες): 0 x 1 = 1 x x = 1 = = 13. = και συνεχίζουμε μέχρι τη σύγκλιση

35 Αξιολόγηση μεθόδων

36 Σύγκριση μεθόδων /1 Μειονεκτήματα Newton-Raphson: Πρέπει να βρίσκουμε το Jacobian matrix σε κάθε βήμα (χρονοβόρο) Περισσότερος χώρος μνήμης και χρόνος σε σύγκριση με τη μέθοδο Gauss- Seidel Όμως η Newton-Raphson συνήθως συγκλίνει, σε αντίθεση με την Gauss-Seidel που πολλές φορές αποκλίνει. Η Newton-Raphson προτιμάται στην ανάλυση ροής ισχύος γιατί: συγκλίνει (συνήθως σε λιγότερες από 10 επαναλήψεις) υπάρχουν τρόποι να μειώσουμε το χρόνο σε κάθε επανάληψη και να αποφύγουμε τα matrix iterations.

37 Σύγκριση μεθόδων / Τύπος προβλήματος Gauss-Seidel Newton-Raphson Συστήματα με μεγάλο φορτίο Συστήματα με αρνητικές αντιδράσεις, πχ ΜΣ τριών τυλιγμάτων Συστήματα με ζυγό ταλάντωσης σε συγκεκριμένη θέση Μακριές και κοντές γραμμές που τερματίζουν στους ίδιους ζυγούς Ακτινικό σύστημα μεγάλου μήκους Συνήθως δεν επιλύει συστήματα με διαφορά φάσης μεγαλύτερη των 70 o Ανίκανη να τα επιλύσει Συχνά απαιτούνται δοκιμές trial & error για τον εντοπισμό του slack bus Συνήθως δεν μπορεί να το επιλύσει Δυσκολία επίλυσης Eπιλύει συστήματα με διαφορά φάσης μεγαλύτερη των 70 o Τα επιλύει με ευκολία Περισσότερο ανεκτική στη θέση του slack bus Μπορεί να έπιλύσει τα περισσότερα συστήματα Επιλύει ευρεία περιοχή τέτοιων συστημάτων Συντελεστές επιτάχυνσης Καθοριστική σημασία Δεν απαιτούνται

38 Επίλυση του προβλήματος ροής φορτίου

39 Βήματα Newton-Raphson power flow /1 1. Ορισμός προβλήματος - Slack bus: ορίζουμε τη γωνία της τάσης μηδέν μοίρες και την τάση στην επιθυμητή τάση της γεννήτριας - Ζυγοί γεννητριών: Τάση στην επιθυμητή τάση και γωνία μηδέν μοίρες - Ζυγοί φορτίων: Ισχύς στις επιθυμητές τιμές. Υπολογισμός διαφοράς ισχύος (power mismatches) n n - Ζυγοί φορτίων: Υπολογίζουμε τα P k και Q k από τις εξισώσεις ροής ισχύος χρησιμοποιώντας τις γνωστές και υπολογιζόμενες (estimated) τάσεις n - Ζυγοί γεννητριών: Υπολογίζουμε την P n n k - Υπολογίζουμε τα P και Q σε κάθε ζυγό. 3. Δημιουργούμε την Jacobian από τις διαφορικές εξισώσεις. 4. Επιλύουμε την εξίσωση: P J1 J δ Q = J3 J 4 V Από αυτό τη βήμα υπολογίζονται τα δ και V. Τρόποι επίλυσης: Α) Με την αντιστροφή της Jacobian (αν είναι μικρή) Β) Χρησιμοποιώντας Gaussian elimination Γ) Άλλες τεχνικές (π.χ. Sparsity techniques)

40 Βήματα Newton-Raphson power flow / 5. Υπολογίζουμε τις νέες τιμές για το μέτρο και τη γωνία της τάσης, n + 1 n + 1 V,δ 6. Συνεχίζουμε τη διαδικασία από το βήμα () μέχρις ότου τα mismatches είναι μικρότερα από την προκαθορισμένη ακρίβεια ε. P n k ε Q n k ε 7. Υπολογίζουμε τις ροές σε κάθε μεριά της γραμμής. Άρα: Απώλειες γραμμής= S ij + S ji Επίσης, υπολογίζουμε τα: P και Q στο slack bus Q στα PV buses.

41 Παράδειγμα δικτύου

42 Πίνακες αγωγιμοτήτων Το 1 ο βήμα για το power flow είναι να βρούμε τον πίνακα αγωγιμότητας (Υbus). Άρα, μετατρέπουμε τα impedances σε admittances: y y y = = = 10 j0 p.u. z j = = = 10 j30 p.u. z j = = = 16 j3 p.u. z j Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις στα δεξιά για τα διαγώνια και τα άλλα στοιχεία του πίνακα αγωγιμότητας: n Y = y, j i, self-admittance ii j= 0 ij Y = Y = y, i j, mutual admittance ij ji ij ( ) y13 + y1 y1 y13 0 j j j30 Ybus = y1 ( y1 y3 ) y 3 10 j0 6 j5 16 j3 + = + + y13 y3 ( y13 + y3 ) 10 + j j3 6 j6

43 Είδαμε ότι: I Για το ζυγό k: = YV I Εφαρμογή μεθόδου NR /1 N = YV k kn n n= 1 Η ισχύς που παράγεται από το ζυγό k είναι:

44 Εφαρμογή μεθόδου NR / Αν ξεχωρίσουμε το πραγματικό από το φανταστικό: N ( ) P = V Y V cos δ δ θ k k kn n k n kn n= 1 N ( ) Q = V Y V sin δ δ θ k k kn n k n kn n= 1 Άρα, για κάθε ζυγό έχουμε δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους. Το πρόβλημα είναι ότι έχουμε να λύσουμε ταυτόχρονα ένα μεγάλο αριθμό μη γραμμικών εξισώσεων. Για να το καταφέρουμε αυτό χρησιμοποιούμε μια επαναληπτική μέθοδο, όπως τον αλγόριθμο Newton-Raphson

45 Εφαρμογή μεθόδου NR /3 Έστω ότι το slack bus είναι το bus 1 του οποίου ορίζουμε το μέτρο και τη γωνία τάσης. Άρα, οι άγνωστοι μας είναι τα μέτρα και οι γωνίες της τάσης στους υπόλοιπους ζυγούς.

46 J Εφαρμογή μεθόδου NR /4 dp dp dp dp dδ dδn dv dv n... J J dpn dpn dpn dpn dδ dδ dv dv J J = => = dq dq dq dq dδ dδn dv dv n... J J dqn dqn dqn dq n d δ dδn dv dvn n n 1 J J3 J 4

47 Εφαρμογή μεθόδου NR /5 Πρέπει να βρούμε τα στοιχεία της Jacobian: J1: N ( ) P = V Y V cos δ δ θ k k kn n k n kn n= 1 N ( ) Q = V Y V sin δ δ θ k k kn n k n kn n= 1 J:

48 Εφαρμογή μεθόδου NR /6 J3: J4:

49 P 1 Q = J3 J 4 V Εφαρμογή μεθόδου NR /7 J J δ k k k x = x + x power mismatches n+ 1 n n scheduled n P = P P scheduled n Qk = Qk Qk δ δ δ = + V V V n+ 1 n n δ δ J1 J P => = + V V J3 J 4 Q n+ 1 n 1 n

50 Παράδειγμα

51 Παράδειγμα /1

52 ( ) Παράδειγμα / y13 + y1 y1 y13 0 j j j30 Ybus = y1 ( y1 y3 ) y 3 10 j0 6 j5 16 j3 + = + + y13 y3 ( y13 + y3 ) 10 + j j3 6 j < < < => Y bus =. 4 < < < < < < 1. 17

53 Παράδειγμα /3 Βήμα 1 ο : Ορισμός προβλήματος V =. < V (slack bus) = < (flat start) V =. < (flat start) Επίσης ισχύει: S P P B = 100MVA = 4 p.u. (load) δ sch = p.u. (gen) δ sch 3 3 Q =. 5 p.u. (load) V sch

54 Παράδειγμα /4 Βήμα ο :Yπολογισμός power mismatches Τύποι ροής ισχύος: N ( ) P = V Y V cos δ δ θ k k kn n k n kn n= 1 N ( ) Q = V Y V sin δ δ θ k k kn n k n kn n= 1 - Για τον υπολογισμό των mismatches στο φορτίο (bus ) θα χρειαστούμε τα P και Q. - Για τον υπολογισμό των mismatches στο ζυγό γεννήτριας (bus 3) θα χρειαστούμε τα P3. - Άρα, πρέπει να βρούμε την έκφραση αυτών των ισχύων χρησιμοποιώντας τις πιο πάνω σχέσεις.

55 Οι σχέσεις είναι: Παράδειγμα /4 ( δ ) ( δ δ ) P = 3. 5 V cos V V cos ( δ ) ( δ δ ) Q = 3. 5 V sin V V sin ( δ ) ( δ δ ) P = cos V cos Θα χρησιμοποιήσουμε τις πιο πάνω σχέσεις για να δημιουργήσουμε τον Jacobian πίνακα.

56 Βήμα 3 ο : Δημιουργία Jacobian Παράδειγμα /5 J P P P δ δ V J J P P P = J3 J = 4 δ δ3 V Q Q Q δ δ V 3

57 J1: P δ P 3 δ P δ P δ Παράδειγμα /6 ( δ ) ( δ δ ) = 3. 5 V sin V sin ( δ ) ( δ δ ) = sin V sin ( δ δ ) = V sin ( δ δ ) = V sin. 03 3

58 P Παράδειγμα /7 J: = V cos ( δ. 03) cos ( δ δ. 03) V P V Q 3 3 ( δ δ ) = 37. 3cos J3: = 3. 5 V cos ( δ. 03) V cos ( δ δ3. 03) δ Q δ 3 ( δ δ ) = V cos Q J4: = V sin ( δ. 03) sin ( δ δ3. 03) V

59 Βήμα 4 ο : Επίλυση εξίσωσης Παράδειγμα /8 P J J δ 1 Q = J3 J 4 V S P P B = 100MVA = 4 p.u. (load) δ sch = p.u. (gen) δ sch 3 3 Q =. 5 p.u. (load) V sch sch P P P 4 P sch P 3 P 3 P 3 P = = 3 Q Q Q 5. Q sch n n n Πρώτη επανάληψη: V δ δ = 1p.u. = 0 = 0 από τις εξισώσεις ροής ισχύος P = p.u. 0 Q =. 4 p.u. 0 P = 1. 03p.u. 0 3

60 Παράδειγμα /9 P P = = Q δ J1 J P = V J J Q δ => = = V δ δ δ = + = + = V V V Λύση πρώτης επανάληψης

61 Δεύτερη επανάληψη Παράδειγμα /10 Αντικαθιστώντας τις λύσεις της πρώτης επανάληψης στις εξισώσεις ροής ισχύος Pk και Qk παίρνουμε: ' P = 3. 81p.u. P ' P 3 = p.u. P => = = ' Q =. 43p.u. Q Πρέπει να θέσουμε ένα κριτήριο σύγκλισης (tolerance). Έστω ότι: ε Συνεχίζουμε μέχρι τη σύγκλιση...

62 Παράδειγμα /11 Η ανάλυση ροής ισχύος γίνεται με υπολογιστές και όχι στο χέρι. Επίσης υπάρχουν τεχνικές που κάνουν το πρόβλημα πιο εύκολο να λυθεί. Για παράδειγμα, οι J και J3 είναι συνήθως μικρές, επομένως λέμε ότι είναι μηδέν και το πρόβλημα μας γίνεται μη συζευγμένο (decoupled): P δ = P δ Decoupled power flow 1 Q V = Q V O λόγος που οι J και J3 είναι συνήθως μικρές είναι ότι: το ΔP είναι πιο ευαίσθητο σε αλλαγές της φασικής γωνίας (J1) και λιγότερο σε αλλαγές στο μέτρο της τάσης (J) αντίστοιχα το ΔQ είναι πιο ευαίσθητο σε αλλαγές στο μέτρο της τάσης (J4) και λιγότερο σε αλλαγές της φασικής γωνίας (J3). 1

63 Παράδειγμα /1 Αφού βρούμε τις τάσεις και τις γωνίες σε κάθε ζυγό με τον αλγόριθμο μας, πρέπει να υπολογίσουμε τη ροή ισχύος στην κάθε γραμμή και τις απώλειες στη γραμμή. Έστω ότι έχουμε την πιο κάτω γραμμή: Vi Vj Iij IL Iji Iio yij Ijo yio yjo

64 Παράδειγμα /13 Vi Vj Iij IL Iji Η ροή ισχύος υπολογίζεται σε κάθε Iio yij Ijo άκρο της γραμμής. yio yjo Για τη ροή από το ζυγό i στο ζυγό j: ( ) I = I + I = y V V + yv ij L io ij i j io i * ( ) * * * ij = i ij = i ij + io i ij j S VI V y y VyV Απώλειες: Sloss = Sij + Sji Για τη ροή από το ζυγό j στο ζυγό i: ( ) I = I + I = y V V + y V ji L jo ij j i jo j * ( ) * * * ji = j ji = j ij + jo j ij i S VI V y y VyV

65 Πηγές - Αναφορές Μ. Παντελή, Ανάλυση Συστημάτων Ηλεκτρικής Ισχύος, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Κύπρου Α. Σαφιγιάννη, Σημειώσεις ΣΗΕ, ΤΗΜΜΥ, ΔΠΘ. 65

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Ανάλυση ροής φορτίου Υπεύθυνος μαθήματος thpapad@ee.duth.gr Τομέας Ενεργειακών Συστημάτων Εργαστήριο ΣΗΕ Περιεχόμενα Μαθήματος Γενικά Διαμόρφωση μαθηματικού μοντέλου Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2 (powerworld): ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ & ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 8 ΖΥΓΩΝ ΜΕ ΕΠΙΛΥΣΗ ΡΟΗΣ ΦΟΡΤΙΟΥ.

ΑΣΚΗΣΗ 2 (powerworld): ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ & ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 8 ΖΥΓΩΝ ΜΕ ΕΠΙΛΥΣΗ ΡΟΗΣ ΦΟΡΤΙΟΥ. ΑΣΚΗΣΗ 2 (powerworld): ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ & ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 8 ΖΥΓΩΝ ΜΕ ΕΠΙΛΥΣΗ ΡΟΗΣ ΦΟΡΤΙΟΥ. 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΚΟΠΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΑΣΚΗΣΗΣ Η παρούσα εργαστηριακή άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΣΗΕ Α ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΣΗΕ Α ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΣΗΕ Α ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ασκηση 1 Για το σύστημα δύο ζυγών του Σχήματος 1 δίνονται: ΓΡΑΜΜΗ: αγωγιμότητα σειράς: y12 = g12 + j b12 = 1 j10p. u. εγκάρσια αγωγιμότητα: ys12 = j bs12 = 0 ΖΥΓΟΣ 1 (Αναφοράς)

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Έλεγχος Τάσης & Αντιστάθμιση Υπεύθυνος μαθήματος thpapad@ee.duth.gr Τομέας Ενεργειακών Συστημάτων Εργαστήριο ΣΗΕ Περιεχόμενα Μαθήματος Έλεγχος τάσης Αντιστάθμιση 2 Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Η.Ε. Ενότητα 4: Ανάλυση ροής φορτίου

Ανάλυση Σ.Η.Ε. Ενότητα 4: Ανάλυση ροής φορτίου Ανάλυση ΣΗΕ Ενότητα 4: Ανάλυση ροής φορτίου Νικόλαος Βοβός Γαβριήλ Γιαννακόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αειοότησης Το παρόν υλικό ιατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Σ.Η.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΤΑΛΛΑΓΩΝ ΙΣΧΥΟΣ Ο Μ Α Δ Α :... Ονοματεπώνυμο

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Σ.Η.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΤΑΛΛΑΓΩΝ ΙΣΧΥΟΣ Ο Μ Α Δ Α :... Ονοματεπώνυμο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Σ.Η.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΤΑΛΛΑΓΩΝ ΙΣΧΥΟΣ Ο Μ Α Δ Α :... Ονοματεπώνυμο Α.Ε.Μ........ 2....... ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 Στο Σχήμα 2. φαίνονται 3 διαφορετικές περιοχές (areas) συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Έστω μια ΓΜ η οποία περιγράφεται από ένα δίθυρο κύκλωμα με γενικευμένες παραμέτρους ABCD, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.1. Οι σταθερές ABCD είναι:

Έστω μια ΓΜ η οποία περιγράφεται από ένα δίθυρο κύκλωμα με γενικευμένες παραμέτρους ABCD, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.1. Οι σταθερές ABCD είναι: 5 Κεφάλαιο ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 5.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι βασικές σχέσεις για τον υπολογισμό της ενεργού και άεργου ισχύς στα δύο άκρα μιας γραμμής μεταφοράς (ΓΜ),

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Σ.Η.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΡΟΗ ΦΟΡΤΙΟΥ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ & ΔΙΟΡΘΩΤΙΚΗΣ ΔΡΑΣΗΣ Ο Μ Α Δ Α :... Ονοματεπώνυμο

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Σ.Η.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΡΟΗ ΦΟΡΤΙΟΥ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ & ΔΙΟΡΘΩΤΙΚΗΣ ΔΡΑΣΗΣ Ο Μ Α Δ Α :... Ονοματεπώνυμο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Σ.Η.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΡΟΗ ΦΟΡΤΙΟΥ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ & ΔΙΟΡΘΩΤΙΚΗΣ ΔΡΑΣΗΣ Ο Μ Α Δ Α :... Ονοματεπώνυμο Α.Ε.Μ. 1.............. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Για το σύστημα ζυγών του Σχήματος, τα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία. του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Διπλωματική Εργασία. του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ:ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΕΩΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διπλωματική

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «Συγκριτική ανάλυση μεθόδων επίλυσης του προβλήματος Βέλτιστης Ροής Φορτίου για μεγάλα διασυνδεδεμένα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο : ΤΡΙΦΑΣΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο : ΤΡΙΦΑΣΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο : ΤΡΙΦΑΣΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ 1 Τα τριφασικά δίκτυα χρησιμοποιούνται στην παραγωγή και μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας για τους εξής λόγους: 1. Οικονομία στο αγώγιμο υλικό (25% λιγότερος χαλκός). 2. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα στην επίλυση

Ειδικά θέματα στην επίλυση Ενότητα 5: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Ειδικά Θέματα Αριθμητικής Παραγώγισης Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Αλγεβρικών Εξισώσεων Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ειδικά θέματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα 3 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

Τµήµα Βιοµηχανικής Πληροφορικής Σηµειώσεις Ηλεκτρονικών Ισχύος Παράρτηµα

Τµήµα Βιοµηχανικής Πληροφορικής Σηµειώσεις Ηλεκτρονικών Ισχύος Παράρτηµα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ηµιτονοειδές Ρεύµα και Τάση Τριφασικά Εναλλασσόµενα ρεύµατα Ισχύς και Ενέργεια Ενεργός τιµή περιοδικών µη ηµιτονικών κυµατοµορφών 1. Ηµιτονοειδές Ρεύµα και Τάση Οταν οι νόµοι του Kirchoff εφαρµόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 681 Εκτίμηση κατάστασης II (AC Εκτίμηση κατάστασης)

ΗΜΥ 681 Εκτίμηση κατάστασης II (AC Εκτίμηση κατάστασης) ΗΜΥ 68 Εκτίμηση κατάστασης II AC Εκτίμηση κατάστασης Δρ Ηλίας Κυριακίδης Αναπληρωτής Καηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Ηλίας Κυριακίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 680 Ανάλυση Συστημάτων Ηλεκτρικής Ισχύος Συστήματα ελέγχου

ΗΜΥ 680 Ανάλυση Συστημάτων Ηλεκτρικής Ισχύος Συστήματα ελέγχου ΗΜΥ 680 Ανάλυση Συστημάτων Ηλεκτρικής Ισχύος Συστήματα ελέγχου Δρ. Ηλίας Κυριακίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Ηλίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 13: Ισχύς σε κυκλώματα ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών

Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών 1. Εισαγωγή. Προβλήματα δύο οριακών τιμών 3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών 4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους 5. Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΜΑΘΗΜΑ 2 Ισοδύναμο Ηλεκτρικό Κύκλωμα Σύγχρονων Μηχανών Ουρεϊλίδης Κωνσταντίνος, Υποψ. Διδακτωρ Υπολογισμός Αυτεπαγωγής και αμοιβαίας επαγωγής Πεπλεγμένη μαγνητική ροή συναρτήσει των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Μάθημα ασκήσεων 6: Μακριά γραμμή μεταφοράς -Τετράπολα Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Δούκας Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Τεχνικές επίλυσης μη-γραμμικών συστημάτων

Διάλεξη 4: Τεχνικές επίλυσης μη-γραμμικών συστημάτων EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Διάλεξη 4: Τεχνικές επίλυσης μη-γραμμικών συστημάτων Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Διαβάστε περισσότερα

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Ηλεκτρικά Μοντέλα Γραμμών Μεταφοράς Υπεύθυνος μαθήματος thpapad@ee.duth.gr Τομέας Ενεργειακών Συστημάτων Εργαστήριο ΣΗΕ Περιεχόμενα Μαθήματος Δίθυρα Κυκλώματα Ισοδύναμα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Ευστάθεια Σ.Η.Ε

Έλεγχος και Ευστάθεια Σ.Η.Ε Έλεγχος και Ευστάθεια Σ.Η.Ε Ενότητα 4: Μεταβατική ευστάθεια Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Νικόλαος Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση δικτύων διανοµής

Επίλυση δικτύων διανοµής Επίλυση δικτύων διανοµής Σηµειώσεις στα πλαίσια του µαθήµατος: Τυπικά υδραυλικά έργα Ακαδηµαϊκό έτος 00-06 Ανδρέας Ευστρατιάδης & ηµήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 445 Έλεγχος παραγωγής ΙΙ

ΗΜΥ 445 Έλεγχος παραγωγής ΙΙ ΗΜΥ 445 Έλεγχος παραγωγής ΙΙ Δρ. Ηλίας Κυριακίδης Επίκουρος Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ 007 Ηλίας Κυριακίδης, Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙΙ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Ε.Ρ. 1. Μια σύγχρονη γεννήτρια με ονομαστικά στοιχεία: 2300V, 1000kV, 60Hz, διπολική με συντελεστής ισχύος 0,8 επαγωγικό και σύνδεση σε αστέρα έχει σύγχρονη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 09, 9 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι 2. Θεωρία γενικών επαναληπτικών μεθόδων 3. Σύγκλιση

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Ροή Ισχύος: 2 η Εργασία στο μάθημα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας I

Ροή Ισχύος: 2 η Εργασία στο μάθημα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας I Ροή Ισχύος: 2 η Εργασία στο μάθημα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας I Θεόφιλος Παπαδόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Εργαστήριο Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13 Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης, Καθηγητής Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στο µάθηµα «Ευέλικτα Συστήµατα Μεταφοράς» του 7 ου εξαµήνου

Ασκήσεις στο µάθηµα «Ευέλικτα Συστήµατα Μεταφοράς» του 7 ου εξαµήνου EΘΝΙΚΟ MΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΏΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ Αναπλ. Καθηγητής Γ. Κορρές Άσκηση 1 Ασκήσεις στο µάθηµα «Ευέλικτα Συστήµατα Μεταφοράς» του 7

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΡΙΣΙΜΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΚΑΙ ΖΥΓΩΝ ΣΕ ΔΙΚΤΥΟ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΡΙΣΙΜΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΚΑΙ ΖΥΓΩΝ ΣΕ ΔΙΚΤΥΟ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΡΙΣΙΜΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΚΑΙ ΖΥΓΩΝ ΣΕ ΔΙΚΤΥΟ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Μάθημα ασκήσεων 4: Κοντή γραμμή μεταφοράς Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Δούκας Δημήτριος Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 4: Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13 Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 6 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 4: Μέθοδος Μικρών Μεταβολών Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Ενότητα 5 η : Διδιάστατη και τριδιάστατη αγωγή θερμότητας Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 47 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Ενότητα 8: Ισχύς Εισόδου και Εξόδου ΓΜ, Ευστάθεια ΣΓ Άπειρου Ζυγού, Λειτουργικά Διαγράμματα Μακριών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗΣ Α.1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗ Ο μετασχηματιστής είναι μια ηλεκτρική διάταξη που μετατρέπει εναλλασσόμενη ηλεκτρική ενέργεια ενός επιπέδου τάσης

Διαβάστε περισσότερα

sin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7)

sin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. (αʹ Η ηλεκτρική ϱοή διαµέσου µιας επιφάνειας A είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση δικτύων διανομής

Ανάλυση δικτύων διανομής Υδραυλική & Υδραυλικά Έργα 5 ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Ανάλυση δικτύων διανομής Χρήστος Μακρόπουλος, Ανδρέας Ευστρατιάδης & Παναγιώτης Κοσσιέρης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499

ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499 ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499 ΡΥΘΜΙΣΤΕΣ ΓΩΝΙΑΣ, ΕΝΟΠΟΙΗΜΕΝΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ ΡΟΗΣ ΙΣΧΥΟΣ ρ Ανδρέας Σταύρου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Ηλεκτρικό κύκλωμα ονομάζεται μια διάταξη που αποτελείται από ένα σύνολο ηλεκτρικών στοιχείων στα οποία κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύμα. Τα βασικά ηλεκτρικά στοιχεία είναι οι γεννήτριες,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογή 9.2 Μετατροπή Ασύμμετρης Τριφασικής Κατανάλωσης σε Συμμετρική, με Ανακατανομή των Φορτίων

Εφαρμογή 9.2 Μετατροπή Ασύμμετρης Τριφασικής Κατανάλωσης σε Συμμετρική, με Ανακατανομή των Φορτίων Εφαρμογή 9.2 Μετατροπή Ασύμμετρης Τριφασικής Κατανάλωσης σε Συμμετρική, με Ανακατανομή των Φορτίων Περίληψη Ασύμμετρη Τριφασική Κατανάλωση σε σύνδεση Αστέρα με ουδέτερο αγωγό. Μετατροπή της ασύμμετρης

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) Ηλεκτρική Ισχύς. p t V I t t. cos cos 1 cos cos 2. p t V I t. το στιγμιαίο ρεύμα: όμως: Άρα θα είναι: Επειδή όμως: θα είναι τελικά:

( ) = ( ) Ηλεκτρική Ισχύς. p t V I t t. cos cos 1 cos cos 2. p t V I t. το στιγμιαίο ρεύμα: όμως: Άρα θα είναι: Επειδή όμως: θα είναι τελικά: Η στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς σε οποιοδήποτε σημείο ενός κυκλώματος υπολογίζεται ως το γινόμενο της στιγμιαίας τάσης επί το στιγμιαίο ρεύμα: Σε ένα εναλλασσόμενο σύστημα τάσεων και ρευμάτων θα έχουμε όμως:

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 4: Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 978-960-93-7110-0 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Η.Ε. Ενότητα 7: Ασύμμετρα βραχυκυκλώματα

Ανάλυση Σ.Η.Ε. Ενότητα 7: Ασύμμετρα βραχυκυκλώματα Ανάλυση Σ.Η.Ε Ενότητα 7: Ασύμμετρα βραχυκυκλώματα Νικόλαος Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Γραφικού Περιβάλλοντος για την Ανάλυση Δυναμικής Ευστάθειας Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας. Διπλωματική Εργασία.

Ανάπτυξη Γραφικού Περιβάλλοντος για την Ανάλυση Δυναμικής Ευστάθειας Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας. Διπλωματική Εργασία. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ανάπτυξη Γραφικού Περιβάλλοντος για την Ανάλυση Δυναμικής Ευστάθειας Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Διπλωματική Εργασία Ψύχα Κωνσταντίνου

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Y bus που περιέχει όλη την πληροφορία για τα παθητικά στοιχεία του δικτύου και

Πρόλογος. Y bus που περιέχει όλη την πληροφορία για τα παθητικά στοιχεία του δικτύου και Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό καλύπτει την ύλη του μαθήματος «Ανάλυση Συστημάτων Η- λεκτρικής Ενέργειας» που διδάσκεται στους φοιτητές του Δʹ έτους του κύκλου σπουδών Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας του Τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Ενότητα 4: Άεργη Ισχύς και Αντιστάθμιση Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

6 Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας

6 Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας Πρόλογος Σ το βιβλίο αυτό περιλαμβάνεται η ύλη του μαθήματος «Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας» που διδάσκεται στους φοιτητές του Γ έτους σπουδών του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Ενότητα: Άσκηση 2 Ροή ισχύος και ρύθμιση τάσης σε γραμμές μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας Νικόλαος Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος, Παναγής Βοβός Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 9 Συναρτήσεις στη PASCAL. Η έννοια του κατακερματισμού. Συναρτήσεις. Σκοπός

Εργαστήριο 9 Συναρτήσεις στη PASCAL. Η έννοια του κατακερματισμού. Συναρτήσεις. Σκοπός Εργαστήριο 9 Συναρτήσεις στη PASCAL Η έννοια του κατακερματισμού. Συναρτήσεις. Σκοπός 7.1 ΕΠΙΔΙΩΞΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η έννοια της συνάρτησης ως υποπρογράμματος είναι τόσο βασική σε όλες τις γλώσσες προγραμματισμού,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 1 Ως ισχύς ορίζεται ο ρυθμός παροχής ή κατανάλωσης ενέργειας. Η ηλεκτρική ισχύς ορίζεται ως το γινόμενο της τάσης επί το ρεύμα: p u i Ιδανικό πηνίο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Διάλεξη 3: Βασικές τεχνικές επίλυσης γραμμικών συστημάτων Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

4. Περιγραφή και αιτιολόγηση του επιπλέον εξοπλισμού που χρειάστηκε.

4. Περιγραφή και αιτιολόγηση του επιπλέον εξοπλισμού που χρειάστηκε. ΗΜΥ 442 και ΗΜΥ 680 Ανάλυση Συστημάτων Ηλεκτρικής Ισχύος Χειμερινό Εξάμηνο 2008 Σχεδιασμός και ανάλυση συστήματος μεταφοράς Ημερομηνία Παραδόσεως Εργασίας: Δευτέρα, 8/12/08 Α. Ορισμός προβλήματος Έχετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 03, 12 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι - Γενική θεωρία 2. Η μέθοδος του Newton

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΜΑΘΗΜΑ 3 Μόνιμη κατάσταση λειτουργίας ΣΜ Παράλληλη λειτουργία ΣΜ Ουρεϊλίδης Κωνσταντίνος, Υποψ. Διδακτωρ Σύγχρονη μηχανή κυλινδρικού δρομέα ΜΑΘΗΜΑ 3 Ηλεκτρική ισχύς σε μόνιμη κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

a (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0

a (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0 Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Έστω ότι έχουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n a (x) a (x) a (x)' a (x) f (x) () (n) (n) n n 0 όπου a i(x),i 0,...,n και f(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499

ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499 ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499 ΣΤΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΕΡΓΟΥ ΙΣΧΥΟΣ (S) ρ Ανρέας Σταύρου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τα Θέµατα Βαθµίες

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα