2. H έννοια της δύναµης

Transcript

1

2 . Eισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζονται οι κινήσεις των σωµάτων σε συνδυασµό µε τις αιτί ες που διαµορφώνουν τις κινήσεις αυτές, δηλαδή τις δυνάµεις. Συγκεκριµένα εξε τάζεται το εξής γενικό πρόβληµα. Δίνονται οι αρχικές συνθήκες κίνησης ενός σώµατος, δηλαδή η αρχική του θέση και η αρχική του ταχύτητα και ζητείται το είδος της κίνησης που θα εκτελέσει, κάτω από την επίδραση δεδοµένων δυνάµεων. Για την λύση του προβλήµατος αυτού χρησιµοποιούνται οι τρεις νόµοι* της κίνη σης, όπως αυτοί διαµορφώθηκαν από τον Issac Newton, σε συνδυασµό µε τους νόµους των δυνάµεων. Oι νόµοι της κίνησης χαρακτηρίζονται για την απλότητά τους και εµπεριέχουν δύο κυρίαρχες έννοιες, την έννοια της δύναµης και την έν νοια της µάζας. H δύναµη χρησιµοποιείται για να καθορίσει ποσοτικά, πως επιδρά σ ένα σώµα το άµεσο περιβάλλον του, ενώ η µάζα χρησιµοποιείται για να καθορί σει την αδράνεια του σώµατος, δηλαδή το τρόπο µε τον οποίο αυτό αποκρίνεται στην δράση δυνάµεων. Eξάλλου, οι νόµοι των δυνάµεων µας επιτρέπουν να καθο ρίσουµε µε ποιό τρόπο εξασκούνται οι δυνάµεις σ ένα σώµα, δηλαδή ποιος είναι ο ποιοτικός και ποσοτικός χαρακτήρας των δυνάµεων, όπως αυτός απορρέει από συγκεκριµένες ιδιότητες του σώµατος και του περιβάλλοντός του. Tέτοιοι λογου χάρη νόµοι είναι, ο νόµος της παγκόσµιας έλξης του Nεύτωνα, ο νόµος της ελαστι κότητας του Hooke, ο νόµος του Coulomb, ο νόµος της στατικής τριβής και της τριβής ολίσθησης, ο νόµος του Aρχιµήδη για την άνωση που δέχεται ένα στερεό σώµα, όταν είναι σ επαφή µε ένα υγρό κ.λ.π. Σε πρώτο στάδιο η µελέτη µας θα περιοριστεί στο µοντέλο του υλικού σηµείου, οπότε οι κινήσεις που θα µελετήσου µε θα αφορούν σώµατα πολύ µικρών διαστάσεων και εποµένως δεν θα µας απασχο λήσει καθόλου η περιστροφική τους κίνηση * Πρέπει να τονίσουµε ότι, ο Nεύτωνας κατέληξε στην µορφή που έχουν σήµερα οι τρεις νόµοι της κίνησης στηριζόµενος στην αναµφισβήτητη µεγαλοφυϊα του αλλά και στις πειραµατικές µαρτυρίες πολλών προηγουµένων του ερευνητών, όπως του Kοπέρ νικου, του Kέπλερ, του Γαλλιλαίου και άλλων. Oι νόµοι αυτοί δεν µπορούν να αποδειχθούν θεωρητικά µε την βοήθεια άλλων φυσικών νόµων, δηλαδή έχουν αξιωµα τικό χαρακτήρα και για τον λόγο αυτό είναι γνωστοί και ως αξιώµατα του Nεύτωνα.

3 2. H έννοια της δύναµης H πρώτη αντίληψη που έχουµε σχηµατίσει για την έννοια της δύναµης είναι έµ φυτη και απορρέει από την µυϊκή προσπάθεια που καταβάλουµε για να µετατοπί σουµε ένα σώµα ή να το σταµατήσουµε όταν αυτό κινείται ή να του αλλάξουµε την διεύθυνση κίνησής του ή τέλος να το παραµορφώσουµε. Όµως πιο προσεχτι κές παρατηρήσεις µας αναγκάζουν να γενικεύσουµε την αντίληψή µας για την δύναµη, διότι υπάρχουν και µη µυϊκές επιδράσεις, που µπορούν να αλλάξουν την ταχύτητα ενός σώµατος ή να το παραµορφώσουν. Tέτοιες π.χ. δυνάµεις είναι η έλξη που ασκεί ένας µαγνήτης πάνω σ ένα σιδερένιο σώµα, η οποία µπορεί να το θέσει σε κίνηση προς το µέρος του µαγνήτη, η έλξη που εξασκεί η Γη σε κάθε σώµα και το µετακινεί κατακόρυφα προς τα κάτω, όταν αυτό αφήνεται σε κάποιο ύψος από την επιφάνεια της, η ισχυρή άπωση που δέχεται ένα όχηµα, όταν προσπίπτει βίαια πάνω σ ένα τοίχο, η οποία είναι δυνατόν να το παραµορφώσει κ.λ.π.. Θεωρώντας λοιπόν όλες τις επιδράσεις που δέχεται ένα σώµα από το άµεσο περιβάλλον του, δηλαδή από τα πιο κοντινά προς αυτό σώµατα, έχουµε διαµορφώ σει για την δύναµη τον εξής ορισµό. Oνοµάζουµε δύναµη, κάθε αιτία που µπορεί να µεταβάλλει την ταχύτητα ενός σώµα τος ή να του προκαλέσει παραµόρφωση. Aπό τον παραπάνω ορισµό συνάγεται άµεσα ο διανυσµατικός χαρακτήρας της δύ ναµης, δηλαδή η δύναµη αποτελεί διανυσµατικό φυσικό µέγεθος και ως εκ τούτου χαρακτηρίζεται από διεύθυνση, φορά και µέτρο. Aν λοιπόν πάνω σ ένα σώµα ενεργούν πολλές δυνάµεις F, F 2,... F n µπορούµε να τις αθροίσουµε διανυσµατικά, οπότε το αποτέλεσµα αυτής της άθροισης θα είναι µια δύναµη F, που ονοµάζεται συνισταµένη των θεωρούµενων δυνάµεων, οπότε θα ισχύει: F = F + F F n () Eάν οι δυνάµεις είναι συνεπίπεδες, δηλαδή οι φορείς τους βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τότε οι προβολές τους σε δύο ορθογώνιους άξονες Ox και Oy του επιπέ δου αυτού, θα ικανοποιούν τις σχέσεις: F (x) = F x + F 2x F (y) = F y + F 2y F nx F ny όπου F (x), F (y) οι προβολές της συνισταµένης F στους άξονες Ox και Oy αν τιστοίχως. Eξάλλου, εάν i, j είναι οι διανυσµατικές µονάδες των αξόνων Ox και Oy, τότε οι σχέσεις (2) γράφονται: F (x) i = F x i + F 2x i F nx i F (y) j = Fy j +F2y j Fny j (2)

4 F (x) = F x + F 2x F nx F (y) = F y +F 2y F ny ή F (x) = (F x ) F (y) = (F y ) $ (3) Oι σχέσεις (3) αναφέρονται στις αλγεβρικές τιµές των προβολών των θεωρούµενων δυνάµεων στους άξονες Ox, Oy καθώς και στις αντίστοιχες αλγεβρικές τιµές των προβολών της συνισταµένης τους στους άξονες αυτούς. Kλείνοντας την σηµαντική αυτή παράγραφο πρέπει να επισηµάνουµε ότι, η εµπειρία που έχουµε αποκτήσει από την µακροσκοπική εξέταση των δυνάµεων µας επιτρέπει να τις ταξινοµήσουµε σε δύο κατηγορίες. α) Σε δυνάµεις επαφής, οι οποίες εκδηλώνονται κάθε φορά που ένα σώµα έρχε ται σ επαφή µε άλλα σώµατα. Tέτοιες λογουχάρη είναι οι δυνάµεις κρούσης ανά µεσα σε δύο σώµατα, η δύναµη που εξασκεί ένα παραµορφωµένο ελατήριο σε σώµα που έχει στερεωθεί στο άκρο του, η δύναµη που εξασκεί ένα τεντωµένο νήµα σε σώµα που έχει δεθεί στο ένα του άκρο κ.λ.π. β) Σε δυνάµεις πεδίων, οι οποίες εκδηλώνονται πάνω σε ορισµένα σώµατα, όταν αυτά βρεθούν µέσα σε κατάλληλους χώρους, χωρίς να υπάρχει µακροσκοπική επα φή των σωµάτων αυτών µε άλλα σώµατα. Tέτοιες λογουχάρη είναι οι βαρυτικές δυνάµεις που εκδηλώνονται ανάµεσα σε δύο µάζες, οι ηλεκτρικές δυνάµεις ανάµε σα σε δύο ηλεκτρισµένα σώµατα και οι µαγνητικές δυνάµεις ανάµεσα σε δύο ηλεκ τρικά ρεύµατα. 3. Πρώτος νόµος της κίνησης του Nεύτωνα ή αρχή της αδράνειας Mέχρι την εποχή του Γαλιλαίου η αναζήτηση της αλήθειας για την κατανόηση της έννοιας της κίνησης, στηριζόταν στην Aριστοτελική αντίληψη ότι, η ακινησία είναι η φυσική κατάσταση όλων των σωµάτων, ενώ για να υπάρξει κίνηση ενός σώµατος χρειάζεται απαραίτητα η συνεχής δράση κάποιας εξωτερικής δύναµης πάνω σ αυτό. H αντίληψη αυτή αµφισβητήθηκε ριζικά από τον Γαλιλαίο µε το επιχείρηµα ότι, αν ένα σώµα αποµονωθεί από οποιαδήποτε εξωτερική αιτία είναι δυνατόν να κινείται ευθύγραµµα και οµαλά, δηλαδή µε σταθερή ταχύτητα. H ιδέα αυτή του Γαλιλαίου γίνεται κατανοητή µε διάφορα νοητικά πειράµατα, που στην πράξη µπορούµε να τα προσεγγίσουµε µε µεγάλη επιτυχία. Έτσι, εάν εκτοξευθεί ένα σώµα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο µε µια ορισµένη ταχύτητα, θα διαπιστώσουµε ότι, όσο πιο λείο είναι το επίπεδο, τόσο αργότερα αυτό θα σταµατήσει εξ αιτίας της τριβής που δέχεται από το επίπεδο. Aν µπορούσαµε να εκµηδενίσουµε την τριβή λιπαίνοντας συνεχώς το οριζόντιο επίπεδο, τότε το σώµα δεν θα σταµατούσε ποτέ, αν βέβαια το οριζόντιο επίπεδο ήταν απεριόριστης έκτασης και δεν υπήρχε η αντίσ ταση του ατµοσφαιρικού αέρα. H νέα αυτή άποψη του Γαλιλαίου θεωρεί την ακινη σία και την ευθύγραµµη οµαλή κίνηση ενός σώµατος, ως ισοδύναµες καταστάσεις, οι οποίες χαρακτηρίζουν κάθε αδιατάρακτο σώµα δηλαδή κάθε σώµα που δεν δέ χεται καµιά εξωτερική δύναµη από το περιβάλλον του, ή ακριβέστερα κάθε σώµα που η συνισταµένη των δυνάµεων που δέχεται είναι ίση µε µηδέν. O Nεύτωνας, που γεννήθηκε τον ίδιο χρόνο που πέθανε ο Γαλιλαίος (642 µ.χ.) όχι µόνο υιοθέ τησε την άποψη αυτή του Γαλιλαίου, αλλά την γενίκευσε, θεωρώντας ότι ισχύει, όχι µόνο για τις επίγειες κινήσεις, αλλά και για τις κινήσεις των ουρανίων σωµά

5 των στο Σύµπαν. Έτσι ο Nεύτωνας ανέδειξε την άποψη αυτή σε παγκόσµια αρχή την οποία χαρακτήρισε ως πρώτο νόµο της κίνησης και την διατύπωσε ως εξής: Kάθε σώµα διατηρεί την κατάσταση ηρεµίας ή ευθύγραµµης οµαλής κίνησης, εφό σον είναι αδιατάρακτο, δηλαδή δεν δέχεται από το περιβάλλον δυνάµεις ή δέχεται δυνάµεις που η συνισταµένη τους είναι µηδενική. Mπορούµε να ισχυριστούµε ότι, ο πρώτος νόµος της κίνησης εκφράζει µια ξεχωρι στή ιδιότητα που έχουν όλα τα υλικά σώµατα να διατηρούν την κατάσταση ηρε µίας ή ευθύγραµµης οµαλής κίνησης, όταν δεν δέχονται συνολική επίδραση από το περιβάλλον τους. H ιδιότητα αυτή ονοµάζεται αδράνεια της ύλης και για τον λόγο αυτό ο πρώτος νόµος του Nεύτωνα ονοµάζεται συχνά και αρχή της αδρά νειας. Aς υποθέσουµε τώρα ότι, υπάρχει τουλάχιστον ένα σύστηµα αναφοράς A, ως προς το οποίο ισχύει ο πρώτος νόµος του Nεύτωνα για όλα τα υλικά σώµατα. Tο σύστηµα αυτό θα το ονοµάζουµε αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Aν τώρα θεωρήσουµε και ένα άλλο σύστηµα αναφοράς B, που κινείται ως προς το A ευθύγ ραµµα και οµαλά, τότε κάθε σώµα ως προς το B ή θα ηρεµεί ή θα κινείται ευθύγ ραµµα και οµαλά, οπότε για το σύστηµα B θα ισχύει ο πρώτος νόµος της κίνησης, δηλαδή το B θα είναι επίσης αδρανειακό σύστηµα. Kαταλήγουµε λοιπόν µε βάση τον πρώτο νόµο της κίνησης στην εξής σπουδαία πρόταση: Όλα τα συστήµατα αναφοράς, που κινούνται ευθύγραµµα και οµαλά ως προς το αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς, είναι επίσης αδρανειακά συστήµατα. Όπως θα δούµε παρακάτω όλοι οι νόµοι των κινήσεων, αλλά και οι νόµοι των δυνάµεων, παραµένουν αναλλοίωτοι ως προς τα διάφορα αδρανειακά συστήµατα. 4. Δεύτερος νόµος της κίνησης του Nεύτωνα ή θεµελιώδης νόµος της Mηχανικής Tο συµπέρασµα που βγήκε από τον πρώτο νόµο της κίνησης είναι ότι, κάθε σώµα παρουσιάζει µια εσωτερική τάση να διατηρεί την κατάσταση ηρεµίας ή ευθύγραµ µης και ισοταχούς κίνησης, όταν δεν δέχεται εξωτερικές δυνάµεις ή ακριβέστερα όταν η συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται είναι µηδενική. Aυτή ακριβώς η ιδιότητα ονοµάστηκε αδράνεια του σώµατος. Aς δούµε όµως τι συµβαί νει, όταν το σώµα δέχεται δυνάµεις που η συνισταµένη τους δεν είναι µηδέν. Στην περίπτωση αυτή, σύµφωνα µε τον ορισµό που δώσαµε για την δύναµη, µεταβάλ λεται η κινητική του κατάσταση, δηλαδή το σώµα αποκτά επιτάχυνση, που σηµαί νει ότι παύει να κινείται ευθύγραµµα και οµαλά. Tο ερώτηµα που τίθεται τώρα είναι αν, το σώµα στην διάρκεια που επιταχύνεται διατηρεί ή όχι την αδράνειά του. H απάντηση είναι ότι, το σώµα εξακολουθεί να παρουσιάζει αδράνεια, αλλά τώρα αυτή εκδηλώνεται ως εσωτερική τάση του σώµατος να αντιστέκεται στην απόκτηση επιτάχυνσης, αφού αυτό απαιτεί την δράση συνισταµένης δύναµης για να επιταχύνεται. O Nεύτωνας αξιοποιώντας όλες τις πειραµατικές µαρτυρίες της εποχής του διακύρηξε ότι, η επιτάχυνση που αποκτά ένα σώµα διαµορφώνεται αποφασιστικά από την αδράνειά του και από την συνισταµένη των δυνάµεων, που

6 δέχεται από το περιβάλλον του. Συγκεκριµένα ο Nεύτωνας διατύπωσε την ακόλου θη πρόταση, η οποία αποτελεί τον δεύτερο νόµο της κίνησης. H επιτάχυνση που αποκτά ένα σώµα, έχει την ίδια διεύθυνση και φορά µε την συνι σταµένη δύναµη που την προκαλεί και µάλιστα είναι ανάλογη αυτής. Έτσι, εάν F είναι η συνισταµένη δύναµη που ενεργεί σ ένα σώµα και a είναι η αντίστοιχη επιτάχυνση που αυτό αποκτά, τότε ο δεύτερος νόµος της κίνησης εκφ ράζεται µε την διανυσµατική σχέση: F = m a όπου m θετικός συντελεστής αναλογίας, χαρακτηριστικός του σώµατος, ο οποίος ονοµάζεται µάζα αδράνειας ή απλώς µάζα αυτού. H µάζα αδράνειας εκφράζει ποσοτικά την αδράνεια του σώµατος, δηλαδή όσο πιο µεγάλη είναι η µάζα αδράνει ας του σώµατος τόσο ποιο µικρό είναι το µέτρο της επιτάχυνσης, που αυτό αποκτά υπό την επίδραση µιας ορισµένης δύναµης, που σηµαίνει ότι το σώµα αντιδρά περισσότερο στην µεταβολή της κινητικής του κατάστασης. Eξάλλου, σύµφωνα µε την σχέση () η αδράνεια του σώµατος καθορίζει µόνο το µέτρο της επιτάχυνσής του, ενώ η συνισταµένη δύναµη F διαµορφώνει την διεύθυνση, την φορά και το µέτρο της επιτάχυνσης του σώµατος. Πρέπει να τονίσουµε ότι, ο δεύτερος νόµος της κίνησης, που συχνά ονοµάζεται και θεµελιώδης νόµος της Mηχανικής, ισχύει σε κάθε αδρανειακό σύστηµα αναφοράς και καλύπτει όχι µόνο της επίγειες κινή σεις αλλά και τις κινήσεις όλων των ουρανίων σωµάτων του Σύµπαντος, δηλαδή είναι ένας νόµος µε παγκόσµιο χαρακτήρα. Aς εξετάσουµε τώρα την περίπτωση που το σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση στο επίπεδο των ορθογώνιων αξόνων Ox, Oy δεχόµενο τις επί µέρους δυνάµεις F, F 2,... F n. Eάν a x, a y είναι οι προβολές της επιτάχυνσης a του σώµατος στου άξονες αυτούς, τότε ο δεύτερος νόµος της κίνη σης εφαρµοζόµενος κατά την διεύθυνση των δύο αυτών αξόνων δίνει: () F x + F 2x F nx = m a x F y + F 2y F ny = m a y F x + F 2x F nx = ma x F y +F 2y F ny = ma y (F x ) = ma x (F y ) = ma y $ (2) Oι σχέσεις (2) αναφέρονται στις αλγεβρικές τιµές των προβολών των δυνάµεων στους άξονες Ox, Oy καθώς και στις αντίστοιχες αλγεβρικές τιµές των προβολών a x, a y της επιτάχυνσης a του σώµατος. Παρατηρήσεις: i) Εάν x=x(t) και y=y(t) είναι οι παραµετρικές εξισώσεις της επίπεδης τροχιάς που διαγράφει το σώµα, µε παράµετρο τον χρόνο t, τότε οι σχέσεις (2) µπορούν να πάρουν τηn µορφή των εξής δύο διαφορικών εξισώσεων:

7 m(d 2 x/dt 2 ) = (F x ) m(d 2 y/dt 2 ) = (F y ) $ (3) Εάν γνωρίζουµε τους νόµους που χαρακτηρίζουν τις δυνάµεις, κάθως και τις άρχικές συνθήκες κίνησης του σώµατος, δηλαδή την θέση του Α 0 (x 0, y 0 ) και την ταχύτητά του v 0 (v 0x, v 0y ) την χρονική στιγµή t=0, είναι εν γένει δυνατή η λύση του συστήµατος των διαφορικών εξισώσεων (3), οπότε προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης x=x(t) και y=y(t) του σώµατος και από αυτές µε απαλοιφή του χρόνου t αποκαλύπτεται η µορφή της τροχιάς του, δηλαδή η συνάρτηση y=f(x). ii) Eάν a, a 2,... a n είναι οι επιταχύνσεις που αποκτά ένα σώµα, αδρανειακής µάζας m, όταν σ αυτό ενεργούν διαδοχικά οι δυνάµεις F, F 2,... F n αντιστοίχως, τότε, σύµφωνα µε τον δευτερο νόµο της κίνησης θα ισχύουν οι σχέσεις: F = m a F 2 = m a 2... F n = m $ a n (+) F + F F n = m( a + a a n ) (3) Aς υποθέσουµε τώρα ότι οι δυνάµεις ενεργούν ταυτόχρονα πάνω στο σώµα και ας ονοµάσουµε F την συνισταµένη τους και a την επιτάχυνση του σώµατος. Tότε θα ισχύει: F = m a F + F F n = m a (3) m( a + a a n ) = m a a = a + a a n (4) H σχέση (4) εκφράζει την αρχή της επαλληλίας, σύµφωνα µε την οποία η επιτά χυνση που αποκτά ένα σώµα, υπό την επίδραση πολλών δυνάµεων, είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα των επιµέρους επιταχύνσεών του, όταν κάθε δύναµη επιδ ράσει χωριστά από τις άλλες. 5. Bάρος σώµατος-mάζα βαρύτητας Mέχρι την εποχή του Nεύτωνα (τέλη του 7ου αιώνα) η κίνηση ενός σώµατος προς την επιφάνεια της Γης εθεωρείτο ως έµφυτη τάση αυτού και δεν απαιτούσε καµιά φυσική εξήγηση. Πρώτος ο Nεύτωνας εγκατέλειψε την άποψη αυτή και δέχθηκε ότι, η πτώση κάθε σώµατος προς την Γη, οφείλεται στο γεγονός ότι η Γη εξασκεί στο σώµα µια ελκτική δύναµη, η οποία το επιταχύνει προς την επιφάνεια της. Tην ελκτική δύναµη που εξασκεί η Γη σε κάθε σώµα, την ονοµάζουµε βάρος του σώµα τος. Eίναι πειραµατικά βεβαιωµένο ότι, όταν δύο σώµατα βρεθούν στην ίδια από σταση από την επιφάνεια της Γης έλκονται από αυτήν µε διαφορετικές δυνάµεις, δηλαδή έχουν διαφορετικά βάρη. Όταν όµως τα σώµατα αυτά αφεθούν ελεύθερα,

8 τότε, µε την προϋπόθεση ότι οι µονές δυνάµεις που δέχονται είναι τα βάρη τους, αυτά φθάνουν στην επιφάνεια της Γης ταυτόχρονα, γεγονός που σηµαίνει ότι κινούνται µε την ίδια επιτάχυνση προς την Γη. Tο σπουδαίο αυτό πειραµατικό γε γονός µας αναγκάζει να δεχθούµε ότι, το βάρος ενός σώµατος δεν γνωρίζει τίποτε, για την µάζα αδράνειας αυτού, αφού η επιτάχυνση όλων των σωµάτων εξ αιτίας µόνο του βάρους τους είναι η ίδια. Eξάλλου το ίδιο γεγονός µας πείθει ότι, κάθε σώµα παρουσιάζει µια ξεχωριστή φυσική ποσότητα που την αναγνωρίζει µόνο η Γη, µε αποτέλεσµα να στέλνει προς το σώµα ένα σήµα, που δεν είναι τίποτε άλλο παρά το βάρος του σώµατος. H φυσική αυτή ποσότητα, διαµορφώνει το βάρος του σώµατος, όταν αυτό βρεθεί σε κάποια θέση υπέρ την επιφάνεια της Γης και ονοµά ζεται µάζα βαρύτητας του σώµατος. Έτσι εάν w είναι το βάρος του σώµατος σε µια ορισµένη θέση και m η µάζα βαρύτητας αυτού, τότε σύµφωνα µε τα παραπάνω µπορούµε να γράψουµε την διανυσµατική σχέση: w = m' g όπου g ένα διανυσµατικό µέγεθος* που χαρακτηρίζει την θέση στην οποία αφήνε ται το σώµα και δεν έχει απολύτως καµιά σχέση µε αυτό. Όλα τα πειράµατα έδει ξαν αποφασιστικά ότι, το διάνυσµα g είναι ίσο µε την επιτάχυνση που αποκτά το σώµα, όταν σ αυτό επιδρά µόνο το βάρος του που σηµαίνει ότι, η µάζα βαρύτητας και η µάζα αδράνειας ενός σώµατος είναι ίσες. Στο σηµείο αυτό θα χρησιµοποι ήσουµε τα ίδια τα λόγια του A. Einstein παρµένα από το βιβλίο του H εξέλιξη των ιδεών στη Φυσική... Mια ερώτηση παρουσιάζεται άµεσα. H ισότητα της µάζας βαρύτητας και της µάζας αδράνειας ενός σώµατος είναι συµπτωµατική και δεν πρέπει να της δοθεί κα µιά εξήγηση; H απάντηση από την άποψη της κλασσικής Φυσικής είναι ότι, η ισό τητα των δύο µαζών είναι συµπτωµατική και καµιά βαθύτερη εξήγηση δεν οφείλει να αποδοθεί. Aλλά η εξήγηση της σύγχρονης Φυσικής είναι εντελώς αντίθετη, δηλαδή η ισότητα των δύο µαζών είναι θεµελιώδης και συνιστά ένα µέσο για να εισχωρήσει κανείς βαθύτερα στην αλήθεια. Aυτό αποτέλεσε το σηµαντικότερο σηµείο εκκίνησης για την ανάπτυξη της θεωρίας της γενικής Σχετικότητας. 6. Tρίτος νόµος της κίνησης του Nεύτωνα ή νόµος ισότητας δράσης-αντίδρασης Έχουµε ήδη επισηµάνει ότι, οι δυνάµεις που δέχεται ένα σώµα εκφράζουν την επίδραση του περιβάλλοντος πάνω σ αυτό, προέρχονται δε από κάποια σώµατα που αποτελούν το περιβάλλον του. Όµως είναι πειραµατικά βεβαιωµένο ότι, κατά το χρόνο που το σώµα δέχεται δυνάµεις από το περιβάλλον του εξασκεί και αυτό µε την σειρά του δυνάµεις πάνω στα σώµατα που συνιστούν το περιβάλλον του, δη λαδή υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ του σώµατος και των σωµάτων του περιβάλ * Tο διανυσµατικό µέγεθος g ονοµάζεται ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης, στην θέση όπου αφήνεται το σώµα. (βλέπε πεδίο βαρύτητας της Γης).

9 λοντός του. Έτσι κάθε δύναµη που δέχεται το σώµα, αποτελεί µόνο την µία όψη της αλληλεπίδρασης, ενώ η αντίστοιχη δύναµη που εξασκεί το σώµα αποτελεί την άλλη όψη της αλληλεπίδρασης. Mπορούµε λοιπόν να ισχυριστούµε ότι, οι δυνάµεις στην φύση παρουσιάζονται κατά ζεύγη και ποτέ µόνη της µία µόνο δύναµη. O Nεύ τωνας ονόµασε δράση την µία δύναµη και αντίδραση την άλλη δύναµη της αλ ληλεπίδρασης δύο σωµάτων και εξετάζοντας σε κάθε περίπτωση τα χαρατκηριστι κά των δύο αυτών δυνάµεων βρήκε ότι, η δράση και η αντίδραση έχουν τον ίδιο φορέα αντίθετη φορά και ίδιο µέτρο. Έτσι διατύπωσε την ακόλουθη γενική πρότα ση, η οποία αποτελεί τον τρίτο νόµο της κίνησης ή τον νόµο της ισότητας µεταξύ δράσης και αντίδρασης: H δράση και η αντίδραση μιας αλληλεπίδρασης δύο σωμάτων, αποτελούν δύο δυνάμεις που έχουν τον ίδιο φορέα, αντίθετη φορά και ίδιο μέτρο. Eάν λοιπόν F A, F B είναι οι δυνάµεις που εµφανίζονται επί των σωµάτων A και B αντιστοίχως κατά την αµοιβαία τους επίδραση, τότε θα ισχύει η διανυσµατική σχέ ση: F A = - F B F A + F B = 0 () Πρέπει να τονίσουµε ότι, µολόνοτι το διανυσµατι κό άθροισµα των δυνάµεων F A και F B είναι µη δέν, δεν µπορούµε να ισχυρισθούµε ότι οι δύο δυ νάµεις αλληλοεξουδετερώνονται, διότι ενεργούν πάνω σε δύο διαφορετικά σώµατα. Έτσι, εάν ενδι αφερόµαστε να εξετάσουµε το σώµα A παίρνουµε υπ όψη µας µόνο την δύναµη F A, ενώ θεωρούµε µόνο την δύναµη F B, όταν εξετάζουµε το σώµα B. Για παράδειγµα ας θεωρήσουµε ένα κατακόρυφο ελατήριο, του οποίου το ένα άκρο είναι στερεωµέ νο σε µια οροφή, ενώ το άλλο άκρο του έλκεται κατακόρυφα από ένα παιδί, που πατάει πάνω σε οριζόντιο έδαφος (σχ. ). Aν εξετάσουµε το παιδί, παρατηρούµε ότι, αυτό δέχεται το βάρος του w από την Γη, την δύναµη F από το τεντωµένο ελατήριο και την δύναµη επαφής F 2 από το έδα φος. Eάν οι τρεις αυτές δυνάµεις χαρακτηρισθούν ως δράσεις πάνω στο παιδί, τότε οι αντίστοιχες αντιδράσεις τους θα είναι η w, η οποία ενεργεί Σχήµα στο κέντρο της Γης, η F που ενεργεί πάνω στο ελατήριο και η δύναµη F 2 η οποία ενεργεί πάνω στο έδαφος. Σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο της κίνησης οι δυνάµεις αυτές έχουν τον ίδιο φορέα αντίθετη φορά και ίδιο µέτρο µε τις αντίστοιχες δράσεις w F και F 2. Eξάλλου, εξετάζοντας µόνο το ελατήριο παρατηρούµε ότι, αυτό δέχεται το βάρος του w από την Γη, την δύναµη F από το παιδί και την δύναµη F 0 από την ορο φή. Aν οι τρεις αυτές δυνάµεις χαρακτηρισθούν ως δράσεις επί του ελατηρίου,

10 τότε οι αντίστοιχες αντιδράσεις τους θα είναι η δύναµη w η οποία εξασκείται στο κέντρο της Γης, η δύναµη F που ενεργεί πάνω στο παιδί και η δύναµη F 0, η οποία εξασκείται στην οροφή. Σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο της κίνησης, οι τρεις αυτές δυνάµεις πρέπει να έχουν τον ίδιο φορέα, την ίδια φορά και ίδιο µέτρο µε τις αντίστοιχες δράσεις w, F και F Nόµοι των δυνάµεων Oι τρεις νόµοι της κίνησης του Nεύτωνα δίνουν λύση στο πρόβληµα καθορισµού της κίνησης ενός σώµατος, µε την προϋπόθεση ότι είναι γνωστές οι δυνάµεις που δέχεται το σώµα. Eίναι λοιπόν απαραίτητο να γνωρίζουµε την προέλευση των δυνάµεων που ασκούνται στο εξεταζόµενο σώµα, καθώς και τις ποσοτικές σχέσεις που καθορίζουν τις δυνάµεις αυτές κατά τον χρόνο της δράσης τους. Για να υπάρ ξει λοιπόν ολοκληρωµένο πρόγραµµα µελέτης της κίνησης ενός σώµατος, πρέπει να γνωρίζουµε τους νόµους που ακολουθούν οι δυνάµεις. Tέτοιοι νόµοι λογου χάρη είναι ο νόµος της στατικής τριβής και της τριβής ολίσθησης, ο νόµος της ελα στικότητας του Hοοke, ο νόµος του Aρχιµήδη για την άνωση που δέχεται ένα στερεό σώµα, όταν είναι βαπτισµένο µέσα σε υγρό, ο νόµος της παγκόσµιας έλξης του Nεύτωνα, ο νόµος του Coulomb για τις ηλεκτρικές δυνάµεις ανάµεσα σε δύο ηλεκτρισµένα σώµατα κ.λ.π. Στα επόµενα θα εξετάσουµε µερικούς χαρακτηριστι κούς νόµους δυνάµεων, οι οποίες εµφανίζονται συχνότατα στην φύση. α. Nόµος της στατικής τριβής και της τριβής ολίσθησης Θεωρούµε πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο ένα κιβώτιο και υποθέτουµε ότι ένας εργάτης εξασκεί σ αυτό µια οριζόντια δύναµη F, µε σκοπό να το µετακινήσει (σχ. 2). Eάν το µέτρο της δύναµης F έχει µικρή τιµή θα διαπιστώσουµε ότι, το σώµα Σχήµα 2 δεν µετακινείται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. H εξήγηση που δίνουµε για την µη µετακίνηση του σώµατος είναι η εξής. Tο σώµα εκτός από την δύναµη F, δέχεται το βάρος του w και µια δύναµη A από το τραχύ οριζόντιο επίπεδο, η οποία είναι πλάγια ως προς αυτό και αναλύεται σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες T και N. H συνιστώσα T είναι παράλληλη προς το οριζόντιο έδαφος και εξουδετερώνει την F, δηλαδή έχει φορά αντίθετη εκείνης προς την οποία τείνει να µετατοπιστεί στο σώµα, ενώ η N είναι κάθετη στο οριζόντιο έδαφος και εξουδετερώνει το βάρος w

11 του κιβωτίου. H δύναµη T ονοµάζεται στατική τριβή, ενώ η N κάθετη αντίδ ραση του εδάφους. Tο µέτρο της T εξαρτάται από το µέτρο της F και εφ όσον το σώµα δεν µετακινείται στο οριζόντιο έδαφος θα ισχύει T=F. Aν εποµένως ο εργά της παύει να σπρώχνει το κιβώτιο, η T θα µηδενιστεί, ενώ αν εξασκήσει σηµαν τική δύναµη το κιβώτιο θα ετοιµάζεται να γλυστρίσει πάνω στο οριζόντιο έδαφος και τότε η στατική τριβή θα λάβει την µεγαλύτερη τιµή της T, που ονοµάζεται οριακή τριβή. Άρα το µέτρο της στατικής τριβής T ικανοποιεί την σχέση: 0 T T ορ Πειραµατικά έχει βρεθεί ότι το µέτρο της οριακής τριβής είναι ανάλογο προς το µέτρο της κάθετης αντίδρασης N, δηλαδή ισχύει η σχέση: T ορ = n ορ N Tο n ορ είναι ένα καθαρός αριθµός, που ονοµάζεται συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ σώµατος και οριζόντιου εδάφους, η δε τιµή του εξαρτάται από την φύση των εµπλεκοµένων ανωµαλιών µεταξύ του κιβωτίου και του εδάφους. Eάν µεταξύ του σώµατος και του εδάφους παρεµβληθεί λιπαντική ουσία, η τιµή του n ορ µειώνε ται σηµαντικά. Με βάση τα προηγούµενα µπορούµε να διατυπώσουµε την ακόλου θη πρόταση, η οποία µπορεί να θεωρηθεί και ως νόµος της στατικής τριβής. H στατική τριβή είναι δύναµη επαφής, που εµφανίζεται σ ένα σώµα όταν αυτό τείνει να ολισθήσει πάνω σε µια επιφάνεια. O φορέας της στατικής τριβής είναι παράλ ληλος προς την επιφάνεια, η φορά της είναι αντίθετη της φοράς προς την οποία τείνει να ολισθήσει το σώµα σε σχέση µε την επιφάνεια, το δε µέτρο της µεταβάλλεται µεταξύ µιας ελάχιστης τιµής, που είναι µηδέν και µιας µέγιστης τιµής, που αντιστοι χεί στην περίπτωση που επίκειται η ολίσθηση του σώµατος πάνω στην επιφάνεια. Aς υποθέσουµε τώρα ότι, το µέτρο της οριζόντιας δύναµης F που εξασκεί ο εργάτης στο σώµα είναι τέτοιο, ώστε το σώµα να µετακινείται ολισθαίνοντας πάνω στο οριζόντιο έδαφος. Tότε η δύναµη T θα εξακολουθεί να ενεργεί πάνω στο κιβώ τιο, αλλά τώρα αυτή ονοµάζεται τριβή ολίσθησης και προφανώς ο φορέας της είναι παράλληλος προς το οριζόντιο έδαφος, η δε φορά της αντίθετη της φοράς ολίσθησης του σώµατος. Όσον αφορά το µέτρο της τριβής ολίσθησης έχει βρεθεί πειραµατικά ότι, είναι ανεξάρτητο από το εµβαδόν της επιφάνειας συνεπαφής σώµατος και οριζοντίου εδάφους και από την ταχύτητα του σώµατος, ενώ είναι ανάλογο προς το µέτρο της κάθετης αντίδρασης, δηλαδή ισχύει η σχέση: T = n ολ N O συντελεστής αναλογίας n ολ είναι καθαρός αριθµός, που ονοµάζεται συντελεστής τριβής ολίσθησης η δε τιµή του εξαρτάται από την φύση των ανωµαλιών που εµπλέκονται στην επιφάνεια συνεπαφής σώµατος και εδάφους. Mε βάση τα παρα πάνω µπορούµε να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρόταση, η οποία µπορεί να θεω ρηθεί και ως νόµος της τριβής ολίσθησης:

12 H τριβή ολίσθησης είναι δύναµη επαφής, η οποία εµφανίζεται σ ένα σώµα όταν αυτό ολισθαίνει πάνω σε µια τραχεία επιφάνεια. O φορέας της τριβής ολίσθησης είναι παράλληλος προς την επιφάνεια αυτή, η φορά της είναι αντίθετη προς την φορά της σχετικής ταχύτητας του σώµατος ως προς την επιφάνεια, το δε µέτρο της είναι ανάλο γο προς το µέτρο της κάθετης αντίδρασης, που δέχεται το σώµα από την επιφάνεια. Παρατήρηση: Aς θεωρήσουµε την περίπτωση που το κιβώτιο ετοιµάζεται να ολισθήσει πάνω στο οριζόντιο έδαφος. Tότε το µέτρο της οριζόντιας δύναµης που εξασκεί ο εργάτης στο κιβώτιο θα είναι: F = n ορ N = n ορ w () Έστω τώρα ότι ο εργάτης εξασφαλίζει ισοταχή ολίσθηση του κιβωτίου πάνω στο οριζόντιο έδαφος. Tοτε το µέτρο της οριζόντιας δύναµης, που αυτός ασκεί στο κιβώτιο θα είναι: F 2 = n ολ N = n ολ w (2) Όµως, όταν επίκειται η ολίσθηση του κιβωτίου οι ανωµαλίες µεταξύ σώµατος και εδάφους είναι συγκολληµένες, ενώ όταν το σώµα ολισθαίνει αυτές έχουν αποκολ ληθεί, γεγονός που σηµαίνει ότι F >F 2 και λόγω των () και (2) θα συµβαίνει: n ορ w > n ολ w n ορ > n ολ Στην πράξη η διαφορά n ορ -n ολ είναι πολύ µικρή, οπότε δεχόµαστε ότι n ορ n ολ. β. Nόµος ελαστικότητας του Hοοke Θεωρούµε ένα σπειροειδές ελατήριο ασήµαντου βάρους, του οποίου το ένα άκρο είναι στερεωµένο σε µια οροφή, ενώ στο άλλο του άκρο εξασκούµε µια δύναµη F κατά την διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου. H δύναµη F θα παραµορφώνει το ελατήριο και µάλιστα θα το συµπιέζει, όταν έχει φορά προς το άκρο στήριξής του, ενώ θα το επιµηκύνει όταν έχει την αντίθετη φορά. Aς υποθέσουµε ότι η παραµόρ φωση του ελατηρίου είναι ελαστική, δηλαδή αυτό επανέρχεται στην φυσική του κατάσταση, όταν πάψει να ενεργεί σ αυτό η δύναµη F. O R. Hooke βρήκε πειρα µατικά ότι, το µέτρο της δύναµης F και η επιµήκυνση ή η συσπείρωση x του ελα τηρίου είναι µεταξύ τους ανάλογα, δηλαδή ισχύει η σχέση: F = kx () όπου k συντελεστής αναλογίας, εξαρτώµενος από την φύση του υλικού του ελατη ρίου, από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά των σπειρών του (πάχος και ακτίνα των σπειρών) καθώς και από το φυσικό του µήκος. O συντελεστής k ονοµάζεται σταθε ρά του ελατηρίου και στο S.I. µετράται σε Nt/m. H σχέση () αποτελεί την µαθηµα τική διατύπωση του νόµου του Hooke, ο οποίος συνοψίζεται στην πρόταση:

13 Tο µέτρο της δύναµης που προκαλεί ελαστική παραµόρφωση αβαρούς ελατηρίου, κατά την διεύθυνση του γεωµετρικού του άξονα, είναι ανάλογο προς το µήκος της παραµόρφωσής του. γ. Nόµος της παγκόσµιας έλξης του Nεύτωνα Tην εποχή του Nεύτωνα ήταν γνωστοί οι νόµοι της πτώσης των σωµάτων προς την επιφάνεια της Γης, καθώς και οι νόµοι του Kepler που αφορούσαν τις κινήσεις των πλανητών γύρω από το Ήλιο. Tο πρόβληµα όµως που απασχολούσε τον Nεύ τωνα, όταν ακόµη ήταν φοιτητής στο Kολλέγιο του Cabridge, συνοψιζόταν στο ερώτηµα, αν οι επίγειες κινήσεις των σωµάτων και οι ουράνιες κινήσεις των πλα νητών ακολουθούσαν τους ίδιους ή διαφορετικούς νόµους. O Nεύτωνας υποψιαζό ταν ότι, η επιτάχυνση της πτώσης ενός σώµατος προς την Γη και η επιτάχυνση της Σελήνης στην τροχιά της γύρω από την Γη είχαν την ίδια προέλευση. Ύστερα από υπολογισµούς, οι οποίοι βασίζονταν στο πειραµατικό υλικό που είχε στην διά θεσή του, κατέληξε στο συµπέρασµα ότι, οι δύο αυτές επιταχύνσεις οφείλονται σε µια ελκτική δύναµη που εξασκεί η Γη πάνω στην Σελήνη, αλλά και σε κάθε σώµα που βρίσκεται πάνω στην επιφάνειά της. Στην συνέχεια βρήκε ότι, για να είναι συ νεπής η δύναµη αυτή προς τους ισχύοντες νόµους, έπρεπε ο φορέας της να διέρ χεται από το κέντρο της Γης το δε µέτρο της να είναι ανάλογο προς το γινόµενο της µάζας της Γης και της µάζας του σώµατος που δέχεται την έλξη της και τέλος αντιστρόφως ανάλογο προς το τετράγωνο της απόστασης του σώµατος από το κέν τρο της Γης. Tο λαµπρό αυτό συµπέρασµα τον οδήγησε να εµπνευστεί την ακόλου θη πρόταση, η οποία είναι γνωστή ως νόµος της παγκόσµιας έλξης του Nεύτωνα: Δύο υλικά σηµεία έλκονται αµοιβαία µε δυνάµεις, οι οποίες έχουν φορέα την ευθεία που τα συνδέει και κοινό µέτρο F που είναι ανάλογο του γινοµένου των µαζών τους m, m 2 και αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της απόστασης r που τα χωρίζει. Δηλαδή ισχύει η σχέση: F = Gm m 2 /r 2 () Στην σχέση () το G είναι ένας συντελεστής αναλογίας, του οποίου η τιµή εξαρτά ται µόνο από το σύστηµα µονάδων που χρησιµοποιούµε, ονοµάζεται δε παγκόσ µια σταθερά της βαρύτητας. H τιµή της βρέθηκε πολύ αργότερα από τον Caven dish, σήµερα δε είναι αποδεκτή η τιµή G=6, Ntm 2 /kg 2. Πρέπει να τονίσου µε ότι, ο νόµος της παγκόσµιας έλξης σε συνδυασµό µε τους τρεις νόµους της κίνησης του Nεύτωνα επέτρεψαν την ενοποίηση των νόµων της ουράνιας Mηχα νικής µε τους νόµους των επίγειων κινήσεων, δηλαδή επέτρεψαν την δηµιουργία της επιστήµης, που είναι γνωστή σήµερα ως κλασσική Mηχανική του Nεύτωνα. 8. Kεντροµόλος και επιτρόχια δύναµη Θεωρούµε µικρό σώµα (υλικό σηµείο), το οποίο εκτελεί επίπεδή καµπυλόγραµµη κίνηση διαγράφοντας, ως προς κάποιο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, την καµπύ

14 λη γραµµή (C) του σχήµατος (3). Tο σώµα σε κάθε θέση M της τροχιάς του έχει επι τάχυνση a η οποία αναλύεται στην επιτρόχια επιτάχυνση a, η οποία είναι συγ γραµµική της ταχύτητάς του v (εφαπτοµενική επιτάχυνση) και την κεντροµόλο επιτάχυνση a, η οποία είναι κάθετη στην ταχύτητα του σώµατος και έχει φορά προς το κοίλο µέρος της τροχιάς (ακτινική επιτάχυνση). Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο της κίνησης του Nεύτωνα, η συνισταµένη F όλων των δυνάµεων που δέχε ται το σώµα από το περιβάλλον του, οι οποίες το αναγκάζουν να διαγράφει την τροχιά (C), πρέπει κάθε στιγµή να έχει την ίδια διεύθυνση και φορά µε την a (σχ. 4) και να ισχύει η διανυσµατική σχέση: F = m a όπου m η µάζα του σώµατος. H F αναλύεται σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες F και F, εκ των οποίων η F είναι εφαπτοµενική της τροχιάς του σώµατος και ονο µάζεται επιτρόχια δύναµη, ενώ η F έχει φορέα κάθετο επί την εφαπτοµένη της Σχήµα 3 Σχήµα 4 τροχιάς και φορά προς το κοίλο µέρος αυτής, ονοµάζεται δε κέντροµολος δύνα µη. H επιτρόχια δύναµη F είναι εκείνη που προσδίδει στο σώµα την επιτρόχια επιτάχυνση a που ρυθµίζει την µεταβολή του µέτρου της ταχύτητάς του, οπότε θα ισχύει η διανυσµατική σχέση: F = m a Eξάλλου, η κεντροµόλος δύναµη F είναι εκείνη που προσδίνει στο σώµα την κεν τροµόλο επιτάχυνση a, η οποία ρυθµίζει την µεταβολή της διεύθυνσης της ταχύ τητάς του, οπότε θα ισχύει η διανυσµατική σχέση: F = m a Aπό όσα αναφέρθηκαν πιο πάνω προκύπτει ότι, η επιτρόχια και η κεντροµόλος δύναµη επί του σώµατος δεν αποτελούν δύο ιδιαίτερες δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα, αλλά προέρχονται από όλες τις επί µέρους δυνάµεις που αυτό δέχεται στην διάρκεια της επίπεδης καµπυλόγραµµης κίνησής του. Συγκεκριµένα, αν οι επί µέρους δυνάµεις αναλυθούν κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης και της ακτίνας της τροχιάς (C), θα προκύψουν επί του σώµατος δύο σύνολα δυνάµεων. Tο ένα σύνολο θα αποτελείται από δυνάµεις, οι οποίες έχουν εφαπτοµενική διεύ

15 θυνση και η συνισταµένη τους θα είναι η επιτρόχια δύναµη επί του σώµατος. Tο άλλο σύνολο θα αποτελείται από δυνάµεις, που έχουν ακτινική διεύθυνση, η δε συνισταµένη τους αποτελεί την κεντροµόλο δύναµη επί του σώµατος. Συνοψίζον τας µπορούµε να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρόταση: H επιτρόχια δύναµη επί ενός σώµατος, που εκτελεί επίπεδη καµπυλόγραµµη κίνηση, είναι η συνισταµένη των εφαπτοµενικών δυνάµεων, ενώ η κεντροµόλος δύναµη επί του σώµατος είναι η συνισταµένη των ακτινικών δυνάµεων. Aς ασχοληθούµε ιδιαίτερα µε την περίπτωση, που το σώµα εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση. Tότε το µέτρο της ταχύτητάς του θα παραµένει σταθερό, που σηµαίνει ότι, η επιτρόχια επιτάχυνσή του θα είναι µηδενική, οπότε µηδενική θα είναι και η επιτ ρόχια δύναµη επί του σώµατος. Στην περίπτωση αυτή η συνισταµένη F όλων Σχήµα 5 των δυνάµεων που ενεργούν πάνω στο σώµα και το εξαναγκάζουν σε οµαλή κυκ λική κίνηση, θα αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για το σώµα, οπότε το µέτρο της θα είναι: F ολ =F κ F ολ =ma κ F ολ =mv 2 /r () όπου v το σταθερό µέτρο της ταχύτητας του σώµατος και r η σταθερή ακτίνα της κυκλικής του τροχιάς. Aπό την σχέση () παρατηρούµε ότι, το µέτρο της F δεν µεταβάλλεται µε τον χρόνο. Έτσι µπορούµε να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρότα ση, η οποία αποτελεί την αναγκαία συνθήκη, ώστε ένα σώµα να εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση: Aν ένα σώµα εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση, τότε η συνισταµένη όλων των δυνάµεων που ενεργούν πάνω σ αυτό αποτελεί για το σώµα κεντροµόλο δύναµη, το δε µέτρο της διατηρείται σταθερό. Aποδεικνύεται ότι ισχύει και η αντίστροφη πρόταση, η οποία αποτελεί την ικανή συνθήκη, ώστε ένα σώµα να εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση, δηλαδή: Aν η συνισταµένη όλων των δυνάµεων που δέχεται ένα σώµα είναι διαρκώς κάθετη

16 στην ταχύτητά του, έχει φορά προς το κοίλο µέρος της τροχιάς του και σταθερό µέτ ρο, τότε το σώµα εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση. 9. Δυνάµεις αδράνειας ή ψευδοδυνάµεις Oι τρείς νόµοι της κίνησης του Nεύτωνα που γνωρίσαµε στα προηγούµενα εδάφια, ισχύουν µόνο για τα αδρανεικά συστήµατα αναφοράς, δηλαδή για τα συστήµατα εκείνα που είναι συµβατά µε την αρχή της αδράνειας. Ένας παρατηρητής που έχει εγκατασταθεί σ ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς αναγνωρίζει σε κάθε σώµα δύο είδη δυνάµεων, τις δυνάµεις επαφής καί τις δυνάµεις πεδίων (βαρυτικές δυνά µεις, ηλεκτρικές δυνάµεις, µαγνητικές δυνάµεις). Oι δυνάµεις αυτές είναι µακρο σκοπικά αισθητές, δηλαδή είναι αντιληπτές µέσω των αισθήσεών µας καί προέρ χονται από το περιβάλλον του σώµατος, δηλαδή από τα σώµατα εκείνα µε τα οποία το θεωρούµενο σώµα βρίσκεται σε άµεση αλληλεπίδραση. Tο πρόβληµα που τίθεται τώρα είναι το εξής: Oι νόµοι της κίνησης του Nεύτωνα ισχύουν γιά ένα µη αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς, λογουχάρη γιά ένα σύστηµα αναφοράς που επιτα χύνεται ευθύγραµµα ή περιστρέφεται ως προς το ακίνητο σύστηµα αναφοράς; H προκαταβολική απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι η εξής: Oι νόµοι της κίνησης του Nεύτωνα ισχύουν για ένα µη αδρανειακό σύστηµα αναφο ράς, αν δεχθούµε ότι σε κάθε σώµα που εξετάζεται από ένα τέτοιο σύστηµα ενεργούν εκτός από τις πραγµατικές δυνάµεις που προέρχονται από το περιβάλλον του καί κάποιες υποθετικές δυνάµεις, που ονοµάζονται δυνάµεις αδράνειας ή ψευδοδυνάµεις. Γιά να κατανοηθεί η αναγκαιότητα των αδρανειακών δυνάµεων όταν εφαρµόζον ται οι νόµοι του Nεύτωνα, ως προς ένα µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς και γιά να καθοριστεί ο χαρακτήρας των δυνάµεων αυτών, θα εξετάσουµε κάποιες ενδιαφέ ρουσες περιπτώσεις. Α. Το σύστηµα αναφοράς εκτελεί µεταφορική κίνηση (ευθύγραµ- µη ή καµπυλόγραµµη), ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα Τέτοιο σύστηµα αναφοράς είναι κάθε σώµα που οποιαδήποτε στιγµή όλα του τα σηµεία έχουν την ίδια ταχύτητα και την ίδια επιτάχυνση ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα. Θεωρούµε λοιπόν ένα τέτοιο σύστηµα αναφοράς (Σ ) που είναι ακλόνητα συνδεδεµένο µε τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων O x y z', του οποίου η αρχή Ο διαγράφει την καµπύλη γραµµή (τ), όπως αυτή αναγνωρίζεται από ένα παρατηρη τή που έχει εγκατασταθεί στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς (Σ), µε ορθογώνιο σύστηµα αξόνων το Οxyz (σχ. 6). Έστω ότι εξετάζεται η κίνηση ενός υλικού σηµεί ου Μ από τα δύο αυτά συστήµατα και r, r ' είναι τα διανύσµατα θέσεως του Μ ως προς τις αρχές Ο και Ο αντιστοίχως, κατά την χρονική στιγµή t. Τότε θα ισχύει η διανυσµατική σχέση: r = r '+ R όπου R το αντίστοιχο διάνυσµα θέσεως της αρχής Ο ως προς την Ο. Παραγω γίζοντας την () ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: ()

17 d r dt = d r ' dt + d R dt Στην σχέση (2) το διάνυσµα d r /dt εκφράζει την ταχύτητα v του υλικού σηµείου στο αδρανειακό σύστηµα (Σ) κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή t, το διάνυσµα d r '/dt εκφράζει την αντίστοιχη ταχύτητα v ' του Μ στο σύστηµα αναφοράς (Σ ) και τέλος το διάνυσµα d R /dt εκφράζει την ταχύτητα V της µεταφορικής κίνησης του (Σ ) ως προς το (Σ) την ίδια στιγµή. Έτσι η σχέση (2) παίρνει την µορφή: v = v '+ V (2) (3) Σχήµα 6 Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε τη σχέση: d v dt = d v ' dt + d V dt Όµως τα διανύσµατα d v /dt και d v '/dt εκφράζουν τις επιταχύνσεις a και a ' του υλικού σηµείου στα συστήµατα (Σ) και (Σ ) αντιστοίχως κατά την χρονική στιγµή t, ενώ το διάνυσµα d V /dt εκφράζει την αντίστοιχη επιτάχυνση A της µεταφορι κής κίνησης του (Σ ) ως προς το (Σ). Έτσι η σχέση (3) γράφεται: a = a '+ A a '= a - A (5) Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της (4) µε την µάζα m του υλικού σηµείου έχουµε την σχέση: m a '= m a - m A Όµως η διανυσµατική ποσότητα m a αποτελεί την συνισταµένη δύναµη, που δέχεται το υλικό σηµείο, όταν εξετάζεται από το αδρανειακό σύστηµα (Σ), δηλαδή η ποσότητα αυτή εµπεριέχει όλες τις πραγµατικές δυνάµεις που αντιλαµβάνεται για το σηµείο ο αδρανειακός παρατηρητής (α) που έχει εγκατασταθεί στο (Σ). Aν ο µη αδρανειακός παρατηρητής (β) που µετέχει της µεταφορικής κίνησης του (Σ ) δεχθεί επί του υλικού σηµείου τις δυνάµεις αυτές και επί πλέον την υποθετική (4) (6)

18 δύναµη -m A, τότε σύµφωνα µε την σχέση (6) µπορεί να εφαρµόζει γιά το υλικό σηµείο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα και να υπολογίζει επακριβώς την επιτάχυνσή του a '. H δύναµη -m A αποτελεί µια υποθετική δύναµη ή το ίδιο µια ψευδοδύναµη, διότι δέν ασκείται πάνω στο σηµείο από το περιβάλλον του. Aπλώς την δύναµη αυτή οφείλει να επινοήσει ο επιταχυνόµενος παρατηρητής του συστή µατος (Σ ), αν θέλει να καταλήξει σε σωστά συµπεράσµατα όταν εξετάζει την κίνη ση του υλικού σηµείου. H ψευδοδύναµη -m A ονοµάζεται αδρανειακή δύναµη D'Alempert και είναι αντίρροπη της επιτάχυνσης A του µη αδρανειακού συστήµατος (Σ ), το δε µέτρο της είναι ίσο µε ma. Aπό όσα αναφέρθηκαν πιο πάνω προκύπτει η εξής πρόταση: O δεύτερος νόµος κίνησης του Nεύτωνα ισχύει γιά σύστηµα αναφοράς που επιταχύ νεται, εκτελώντας ευθύγραµµη ή καµµυλόγραµµη µεταφορική κίνηση ως πρός ένα αδρανειακό σύστηµα, αν για κάθε σώµα που εξετάζεται από το σύστηµα αυτό ληφ θούν υπ όψη οι πραγµατικές δυνάµεις που προέρχονται από το περιβάλλον του και επί πλέον η αδρανειακή ψευδοδύναµη D' Alempert. Για να κατανοηθεί η παραπάνω πρόταση θα εξετάσουµε τα εξής δύο παραδείγµατα. Aπό την οροφή ενός οχήµατος, που κινείται πάνω σε οριζόντιο δρόµο ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a, αποσπάται κά ποια στιγµή ένα µικρό σώµα και φθάνει στό δάπεδο του οχήµατος. Eάν h είναι το ύψος του οχήµατος, να βρεθεί η οριζόντια απόσταση του σηµεί ου πτώσεως του σώµατος από το σηµείο, όπου αυτό αποσπάσθηκε. Δίνε ται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH η: O επιταχυνόµενος επί του οχήµατος παρατηρητής (µη αδρανειακός παρατηρητής) µπορεί να εφαρµόζει για το σώµα τον δεύτερο νόµο του Nεύτωνα, αν δεχθεί ότι, αυτό εκτός από το βάρος του m g δέχεται καί την αδρανειακή δύνα µη (ψευδοδύναµη) -m a, οπου m η µάζα του σώµατος. Eάν a x, a y είναι οι επιτα χύνσεις που αντιλαµβάνεται για το σώµα ο επιταχυνόµενος παρατηρητής κατά τις διευθύνσεις των αξόνων Ox, Oy, αντιστοίχως, τότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο της κίνησης του Nεύτωνα, θα ισχύουν οι σχέσεις: -m a = m a x m g = m a y a x = - a a y = g () δηλαδή το σώµα εκτελεί κατά τις διευθύνσεις Ox, Oy, οµαλά επιταχυνόµενη κίνη ση µε µηδενική αρχική ταχύτητα ως πρός το όχηµα, οπότε οι αντίστοιχες µετατο πίσεις του x, y σε χρόνο t αφότου αποσπάσθηκε, υπολογίζονται από τις σχέσεις: x = a x t 2 /2 y = a y t 2 /2 () x = at2 /2 y = gt 2 /2 (:) x y = a g y = gx a (2)

19 H σχέση (2) εκφράζει ότι, η τροχιά που αντιλαµβάνεται γιά το σώµα ο επιταχυ νόµενος επί του σχήµατος παρατηρητής είναι ευθεία γραµµή (σχ. 7.α). H σχέση (2) εφαρµοζόµενη όταν το σώµα φθάσει στο δάπεδο του σχήµατος δίνει: h = gs/a s = ha/g Σχήµα 7.α ΛYΣH 2η: O ακίνητος επί του εδάφους παρατηρητής (αδρανειακός παρατηρητής) αναγνωρίζει ότι, το σώµα δέχεται µόνο το βάρος του m g και ότι τη στιγµή που αποσπάται από την οροφή του οχήµατος στο σηµείο O, έχει οριζόντια ταχύτητα ίση µε την αντίστοιχη ταχύτητα v 0 του οχήµατος. Έτσι γιά τον παρατηρητή αυτόν το σώµα, ως πρός τον οριζόντιο άξονα Ox εκτελεί οµαλή κίνηση µε ταχύτητα v 0, ως πρός δε τον κατακόρυφο άξονα Oy εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε επιτά χυνση g καί µηδενική αρχική ταχύτητα. Eάν t είναι ο χρόνος που χρειάζεται το σώµα να φθάσει στό δάπεδο του οχήµατος θα ισχύουν οι σχέσεις: s = v 0 t h = gt 2 /2 s = v 0 t t = 2h/g (3) Σχήµα 7.β όπου s, η οριζόντια µετατόπιση του σώµατος ως πρός το ακίνητο έδαφος τη στιγ µή που το σώµα φθάνει στο δάπεδο του οχήµατος. Όµως στό χρόνο t το όχηµα έχει µετατοπιστεί οριζοντίως κατά το διάνυσµα s, για το οποίο ισχύει η σχέση:

20 s = v 0 t + a t 2 /2 s - s = a t 2 /2 - s '= a (3) t 2 /2 s'= a(2h/g)/2 = ha/g όπου s ' η οριζόντια µετατόπιση του µικρού σώµατος ως πρός το όχηµα, µε µέτρο s. Eίναι προφανές ότι, η τροχιά που αντιλαµβάνεται γιά το σώµα ο ακίνητος επί του εδάφους παρατηρητής είναι καµπύλη γραµµή καί µάλιστα αυτή έχει τη µορφή παραβολής (σχ. 7.β) Aπό την οροφή του θαλάµου ενός ανελκυστήρα, ο οποίος ανέρχεται µε σταθερή επιτάχυνση a, αποσπάται κάποια στιγµή ένα σώµα. Eάν h είναι το ύψος του θαλάµου και g η επιτάχυνση της βαρύτητας, να υπολογιστεί ο χρόνος που χρειάζεται για να συναντήσει το σώµα το δάπεδο του θαλάµου. ΛYΣH η: O επιταχυνόµενος επί του ανελκυστήρα παρατηρητής (µη αδρανειακός παρατηρητής) για να εφαρµόσει στο σώµα τον δεύτερο νόµο του Nεύτωνα πρέπει να δεχθεί ότι, πάνω σ αυτό επιδρά εκτός από το βάρος του m g καί η αδρανειακή δύναµη (ψευδοδύναµη) -m a (σχ. 8), όπου m η µάζα του σώµατος. Eάν a είναι η επιτάχυνση που αντιλαµβάνεται για το σώµα ο παρατηρητής αυτός, τότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Nεύτωνα θα ισχύει η σχέση: m g + (-m a ) = m a g - a = a () Σχήµα 8 Eπειδή τα διανύσµατα - a καί g είναι οµόρροπα, τα µέτρα των διανυσµάτων της () ικανοποιούν την σχέση: a = g +a (2)

21 Tο σώµα, ως προς τον ανελκυστήρα, εκτελεί κατακόρυφη κίνηση µε µηδενική αρ χική ταχύτητα και σταθερή επιτάχυνση a, οπότε στον χρόνο t που χρειάζεται να φθάσει στο δάπεδο του θαλάµου θα έχει µετατοπιστεί ως προς τον ανελκυστήρα κατά h και θα ισχύει η σχέση: (2) h = a t 2 /2 2h = (a + g)t 2 t 2 = 2h/(a + g) t = 2h/(a + g) (3) ΛYΣH 2η: O ακίνητος επί του εδάφους παρατηρητής (αδρανειακός παρατηρητής), αναγνωρίζει ότι, το σώµα που αποσπάται από την οροφή του ανελκυστήρα δέχεται µόνο το βάρος του m g κατά δε την στιγµή της απόσπασής του έχει ταχύτητα ίση µε την ταχύτητα v 0 του ανελκυστήρα. Έτσι το σώµα, ως προς το ακίνητο έδαφος, εκτελεί οµαλά µεταβαλλόµενη κατακόρυφη κίνηση µε αρχική ταχύτητα v 0 και επιτάχυνση g. Eάν y είναι η µετατόπιση του σώµατος, ως πρός το σηµείο O από το οποίο αποσπάται (σχ. 9), κατά την χρονική στιγµή t που συναντά το δάπεδο του θαλάµου του ανελκυστήρα, θα ισχύει η σχέση: Σχήµα 9 y = -v 0 t+gt 2 /2 (4) Eξάλλου, την ίδια στιγµή η µετατόπιση του δαπέδου ως προς το O είναι επίσης y, αλλά επειδή ο θάλαµος κινείται ως πρός το ακίνητο έδαφος µε σταθερή επιτά χυνση a και αρχική ταχύτητα v 0, θα ισχύει και η σχέση: y = h -v 0 t+at 2 /2 (5)

22 (θετική φορά επί της κατακόρυφης διεύθυνσης θεωρείται η προς τα κάτω). Συνδυ άζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε: -v 0 t+gt 2 /2= h -v 0 t+at 2 /2 (a + g)t 2 /2 = h t 2 = 2h/(a + g) t = 2h/(a + g) B. Tο σύστηµα αναφοράς στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα, το δε σώµα είναι ακίνητο σε σχέση µε το στρεφόµενο σύστηµα. Θεωρούµε ένα σύστηµα αναφοράς O'x'y'z' το οποίο στρέφεται µε σταθερή γωνι ακή ταχύτητα, ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα Oxyz. Ένα µικρό σώµα, που ηρεµεί σε σχέση µε το στρεφόµενο σύστηµα αναφοράς θα κινείται ως πρός το αδρα Σχήµα 0 νειακό σύστηµα εκτελώντας οµαλή κυκλική κίνηση κατά µήκος µιας περιφέρειας, που έχει το κέντρο της στον άξονα περιστροφής του στρεφόµενου συστήµατος το δε επίπεδο της είναι κάθετο στον άξονα αυτόν (σχ. 0). Ένας λοιπόν παρατηρητής που είναι άρρηκτα συνδεδεµένος µε το αδρανειακό σύστηµα αντιλαµβάνεται ότι, η συνισταµένη F όλων των πραγµατικών δυνάµεων που δέχεται το σώµα από το περιβάλλον του, ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη και του προσδίνει κεντροµόλο επιτάχυνση a µε σταθερό µέτρο ω 2 r, όπου r η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει το σώµα. Έτσι ο παρατηρητής αυτός µπορεί να γράφει την σχέση: F = m a () Ένας όµως παρατηρητης, που είναι άρρηκτα συνδεδεµένος µε το στρεφόµενο σύσ τηµα αναφοράς (µη αδρανειακός παρατηρητής) αντιλαµβάνεται το σώµα να ηρεµεί, οπότε για να µπορεί αυτός να εφαρµόσει τον πρώτο νόµο του Nεύτωνα (νόµος αδ

23 ράνειας) πρέπει να δεχτεί ότι, στο σώµα, εκτός από τις πραγµατικές δυνάµεις, ενερ γεί και µια υποθετική δύναµη (ψευδοδύναµη) F, τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση: F + F = 0 () m a + F = 0 F = - m a (2) Tην ψευδοδύναµη F που είναι υποχρεωµένος να δεχθεί ο στρεφόµενος παρατηρη τής, αν θέλει να εφαρµόζει σωστά το νόµο της αδράνειας για κάθε σώµα που ισορ ροπεί ως προς αυτόν, την ονοµάζουµε φυγόκεντρο δύναµη, έχει δε τα εξής χαρα κτηριστικά: O φορέας της διέρχεται από το σώµα και είναι κάθετος στον άξονα περιστροφής του στρεφόµενου συστήµατος αναφοράς, η φορά της είναι από τον άξονα περιστροφής προς το σώµα και τέλος το µέτρο της είναι ίσο µε mω 2 r. Mε βάση τα παραπάνω µπορούµε να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρόταση: O πρώτος νόµος της κίνησης του Nεύτωνα ισχύει για σύστηµα αναφοράς που στρέφε ται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα, αν σε κάθε σώ µα που ηρεµεί ως πρός το σύστηµα αυτό δεχθούµε ότι, ενεργούν οι πραγµατικές δυνά µεις που προέρχονται από το περιβάλλον του και η αδρανειακή φυγόκεντρος δύναµη. Γ. Tο σύστηµα αναφοράς στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ως προς το αδρανειακό σύστηµα, το δε σώµα κινείται σε σχέση µε το στρεφόµενο σύστηµα. Θεωρούµε ένα σύστηµα αναφοράς, που στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ως πρός ένα αδρανειακό σύστηµα Oxyz. Yποθέτουµε ότι, ένα µικρό σώµα µάζας m, κινείται ως πρός το στρεφόµενο σύστηµα και κάποια στιγµή έχει σχετική ταχύ Σχήµα τητα v ως προς αυτό. Tο ερώτηµα που προκύπτει είναι, εάν ένας παρατηρητής, άρρηκτα συνδεδεµένος µε το στρεφόµενο σύστηµα αναφοράς (µη αδρανειακός παρατηρητής) µπορεί να εφαρµόσει για το σώµα τον δεύτερο νόµο της κίνησης του Nεύτωνα. H απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι η εξής: O στρεφόµενος µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα παρατηρητής µπορεί να εφαρµόζει

24 γιά το σώµα τον δεύτερο νόµο του Nεύτωνα, αν δεχθεί ότι στο σώµα ενεργούν εκτός από τις πραγµατικές δυνάµεις που προέρχονται από το περιβάλλον του και οι εξής δύο υποθετικές δυνάµεις (ψευδοδυνάµεις) i) H αδρανειακή φυγόκεντρος δύναµη F = - m a, όπου a η κεντροµόλος επιτά χυνση του σώµατος, ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. ii) H αδρανειακή δύναµη F C = -2m( v ), που ονοµάζεται δύναµη Coriolis και έχει τα εξής χαρακτηριστικά. O φορέας της είναι κάθε στιγµή κάθετος στο επί πεδο των διανυσµάτων και v, η φορά της ανταποκρίνεται στον κανόνα * των τριών δακτύλων του δεξιού χεριού, το δε µέτρο της δίνεται από την σχέση: F C = 2mv µ$ (3) όπου φ η γωνία των διανυσµάτων και v. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, εάν a είναι η σχετική επιτάχυνση του σώµατος ως πρός το στρεφόµενο σύστηµα αναφο ράς, τότε ο δεύτερος νόµος του Nεύτωνα εφαρµοζόµενος για το σώµα από τον στρε φόµενο παρατηρητή, δίνει την διανυσµατική σχέση: F + F + F C = m a $ F - m a - 2m( $ v % ) = m a % (4) όπου F η συνισταµένη των πραγµατικών δυνάµεων πού ενεργούν στο σώµα. H απόδειξη της σχέσεως (4) στην γενική περίπτωση παρουσιάζει δυσκολία, βρίσκεται δε έξω από τα πλαίσια αυτής της εργασίας. Eξάλλου γιά να κατανοηθεί πως χρησι µοποιούνται στην λύση προβληµάτων οι ψευδοδυνάµεις, φυγόκεντρος δύναµη και δύναµη Coriolis παραθέτουµε τα εξής παραδείγµατα: Ένα λεπτό µεταλλικό στέλεχος µπορεί να στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, περί σταθερό κατακόρυφο άξονα, που διέρχεται από το ένα άκρο του O. Kατά µήκος του στελέχους µπορούν να ολισθαίνουν χωρίς τριβή δύο µεταλλικοί δακτύλιοι Δ καί Δ 2 της ίδιας µάζας m, οι οποίοι είναι στερεωµένοι στις άκρες δύο όµοιων ιδανικών ελατηρίων, (σχ. 3). Eάν L 0 είναι το φυσικό µήκος των δύο ελατηρίων καί k η σταθερά τους, να βρεθούν οι επιµηκύνσεις τους. ΛYΣH η: O στρεφόµενός επί του στελέχους παρατηρητής (µη αδρανειακός παρα τηρητής) αντιλαµβάνεται τους δύο δακτύλιους σε ισορροπία, οπότε για να εφαρµό σει σε κάθε δακτύλιο τον πρώτο νόµο του Nεύτωνα, πρέπει να δεχθεί εκτός από τις πραγµατικές δυνάµεις που εξασκούνται στον δακτύλιο και την αδρανειακή * Tο ότι η φορά της F C ανταποκρίνεται στον κανόνα των τριών δακτύλων του δεξιού χεριού οφείλεται στο γεγονός ότι η F C εκφραζεται µέσω του εξωτερικού γινοµένου ( v ) των διανυσµάτων και v.

25 φυγόκεντρη δύναµη. Συγκεκριµένα για τον δακτύλιο Δ, που βρίσκεται πλησιέσ τερα προς τον άξονα περιστροφής, ο στρεφόµενος παρατηρητής δέχεται το βάρος του m g, την δύναµη T από το αριστερό ελατήριο, την κάθετη αντίδραση N του µεταλλικού στελέχους, την δύναµη T 2 από το δεξιό ελατήριο και την αδρανειακή φυγόκεντρο δύναµη. Για τον δακτύλιο Δ 2 δέχεται το βάρος του m g, την δύναµη T ' 2 από το δεξιό ελατήριο, την κάθετη αντίδραση N 2 του µεταλλικού στε λέχους και την αδρανειακή φυγόκεντρο δύναµη 2. Eπειδή οι δύο δακτύλιοι ηρεµούν ως προς τον περιστρεφόµενο παρατηρητή, ισχύουν οι σχέσεις: Δακτύλιος Δ : T - - T 2 = 0 T - T 2 = kx - kx 2 = m 2 (L 0 + x ) (k - m 2 )x - kx 2 = m 2 L 0 () Δακτύλιος Δ 2 : T 2-2 = 0 T 2 = 2 kx 2 = m 2 (2L 0 +x +x 2 ) -m 2 x + (k -m 2 )x 2 = 2m 2 L 0 (2) Σχήµα 2 όπου x, x 2 οι ζητούµενες επιµηκύνσεις των δύο ελατηρίων. Oι σχέσεις () καί (2) αποτελούν ένα σύστηµα πρώτου βαθµού µε αγνώστους x, x 2, του οποίου η λύση προκύπτει εύκολα, λογουχάρη µε την µέθοδο των οριζουσών. ΛYΣH 2η: O ακίνητος επί του εδάφους παρατηρητής (αδρανειακός παρατηρητής) αντιλαµβάνεται ότι, κάθε δακτύλιος εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση επί οριζοντίου επιπέδου, υπό την επίδραση των πραγµατικών δυνάµεων πού δέχεται από το περι βάλλον του. Έτσι ο παρατηρητής αυτός µπορεί να ισχυριστεί ότι, η συνισταµένη δύναµη πού δέχεται κάθε δακτύλιος κατά την διεύθυνση του µεταλλικού στελέ