ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 Φ1 : ΠIΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 Περιεχόμενα Φυλλαδίου 1 Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ. 1 ο : Πιθανότητες 1.1 Δειγματικός Χώρος-Ενδεχόμενα 1.2 Έννοια της Πιθανότητας εκτός της υποπαραγράφου «Αξιωματικός Ορισμός Πιθανότητας» v Οι Πιθανότητες- Στατιστική είναι σημαντικός κλάδος των μαθηματικών, απαραίτητος σήμερα για όλους τους επιστημονικούς τομείς ακόμη και για αυτούς που ονομάζονται θεωρητικοί. Οι γνώσεις που θα αποκτηθούν φέτος θα είναι μια βάση για τις επόμενες τάξεις και ιδιαίτερα για την Γ τάξη που αναμένεται η θέση των Πιθανοτήτων να είναι πιο σημαντική από ότι είναι σήμερα. v Όταν κάνουμε μαθηματικά είμαστε συνηθισμένοι σε ακριβείς απαντήσεις. Ωστόσο τα Μαθηματικά δεν αντιμετωπίζουν μόνο μετρήσεις, υπολογισμούς και ακριβείς συλλογισμούς. Αντιμετωπίζουν και το Τυχαίο αναπτύσσοντας μεθόδους για να το κάνουν πιο κατανοητό. v Μια μικρή ιστορική αναδρομή. Η Θεωρία Πιθανοτήτων, ένας καθόλα αξιοσέβαστος κλάδος των Μαθηματικών, ξεκίνησε από τα τυχερά παιγνίδια. Η προσπάθεια του ανθρώπου να κατανοήσει και να τιθασεύσει το τυχαίο ξεκινάει από πολύ παλιά. Υπάρχει όμως γενική συμφωνία ότι η σύγχρονη θεωρία πιθανοτήτων γεννήθηκε το 1654 οπότε κάποιος διάσημος παίκτης της εποχής έθεσε στον Γάλλο μαθηματικό και φιλόσοφο laise Pascal ένα ερώτημα σχετικό με το πως θα έπρεπε να μοιραστούν τα χρήματα μίας παρτίδας χαρτοπαιγνίου που διακόπηκε. Ο Pascal ασχολήθηκε με το θέμα και συγχρόνως αντάλλαξε απόψεις αλληλογραφώντας με τον επίσης Γάλλο μαθηματικό και νομικό Pierre de Fermat. Άρχισε έτσι να δημιουργείται ένας νέος κλάδος των Μαθηματικών που αρχικά ονομάσθηκε από τον Pascal Γεωμετρία της Τύχης. Η θεμελίωση της θεωρίας των πιθανοτήτων προχώρησε με αρκετές δυσκολίες και σε αυτή την μακρά πορεία συνέβαλαν πολλοί μαθηματικοί. Στα επόμενα θα ασχοληθούμε με την κλασική προσέγγιση της θεωρίας των πιθανοτήτων δηλαδή όπως αυτή διαμορφώθηκε στο ξεκίνημα της. Δεν μπορεί να καλύψει όλα τα πειράματα τύχης αλλά μόνο εκείνα όπου τα αποτελέσματα τους θεωρούνται ισοπίθανα. Με τέτοια πειράματα θα ασχοληθούμε στα επόμενα. v Λέμε πιθανότητα του ενδεχομένου Α και γράφουμε P,το P από το αρχικό του Probability=Πιθανότητα. Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 2 από 40

3 ΘΕΜΑ Α-ΘΕΩΡΙΑ 1. Τι ονομάζουμε σύνολο και τι στοιχεία ή μέλη του συνόλου; Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα αντικείμενα αυτά, που αποτελούν το σύνολο, ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. 2. Πως συμβολίζουμε ένα σύνολο στα Μαθηματικά και πως τα στοιχεία του; Δώστε παράδειγμα συμβολίζοντας το σύνολο των φυσικών, ακεραίων, ρητών και πραγματικών αριθμών. Για να συμβολίσουμε ένα σύνολο στα Μαθηματικά, χρησιμοποιούμε ένα από τα κεφαλαία γράμματα του Ελληνικού ή του Λατινικού αλφαβήτου, ενώ για τα στοιχεία του χρησιμοποιούμε τα μικρά γράμματα αυτών. Για παράδειγμα: ü με Ν συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, ü με Ζ το σύνολο των ακεραίων αριθμών, ü με Q το σύνολο των ρητών αριθμών και ü με R το σύνολο των πραγματικών αριθμών. 3. Πότε δυο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα; Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. 4. Πότε ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β; Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. 5. Ποιο σύνολο είναι το κενό; Κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν έχει στοιχεία. 6. Τι ονομάζουμε ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω; Ένωση δύο υποσυνόλων Α,Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με Α U Β. Δηλαδή είναι: { x / x ή x } È= ÎW Î Î. Α Β Ω Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 3 από 40

4 7. Τι ονομάζουμε τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω; Τομή δύο υποσυνόλων Α,Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν και στα δύο σύνολα Α,Β και συμβολίζεται με Α Β. Δηλαδή είναι: { x / x kai x } Ç= ÎW Î Î. Α Β Ω 8. Τι ονομάζουμε συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω; Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α, ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με. Δηλαδή είναι: { x / x } = ÎW Ï. Α Α Ω 9. Ποιό πείραμα ονομάζεται αιτιοκρατικό; Να αναφέρετε δύο παραδείγματα. Ένα πείραμα ονομάζεται αιτιοκρατικό όταν η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα. Αιτιοκρατικά πειράματα είναι τα παρακάτω: Αφήνω ένα βαρύ σώμα να πέσει και καταγράφω τη φορά της κίνησής του. To πείραμα αυτό είναι αιτιοκρατικό γιατί, αφήνοντας το βαρύ σώμα να πέσει μπορούμε να προβλέψουμε ότι η φορά της κίνησής του θα είναι κατακόρυφη προς τα κάτω, λόγω του βάρους του. Από τη χημεία γνωρίζουμε ότι ένα οξύ και μια βάση όταν ενώνονται σχηματίζουν άλας και νερό. Εφόσον γνωρίζουμε τις αρχικές ποσότητες των δύο αυτών ενώσεων μπορούμε να προσδιορίσουμε ακριβώς πόσο νερό και πόσο αλάτι θα προκύψει κάθε φορά που αυτές ενώνονται. Άρα το πείραμα αυτό είναι αιτιοκρατικό. 10. Ποιό πείραμα ονομάζεται πείραμα τύχης; Να αναφέρετε τρία παραδείγματα. Ένα πείραμα ονομάζεται πείραμα τύχης όταν δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι το πείραμα αυτό επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Πειράματα τύχης είναι τα παρακάτω: Η ρίψη ενός ζαριού και η ανάγνωση της ένδειξης της άνω έδρας του είναι πείραμα τύχης γιατί, παρόλο που ξέρουμε ότι το αποτέλεσμα θα είναι 1 ή 2 ή 3,... ή 6, δεν μπορούμε να προβλέψουμε ποιος από τους αριθμούς αυτούς θα προκύψει κάθε φορά που ρίχνουμε το ζάρι. Η καταγραφή του τελευταίου ψηφίου της πινακίδας των αυτοκινήτων που διέρχονται στο δρόμο μπροστά από την είσοδο του σπιτιού μας είναι πείραμα τύχης αφού δεν μπορούμε να προβλέψουμε αν το ψηφίο θα είναι 0, 1, 2, 3,...9. Επιλέγεται τυχαία μια οικογένεια με τρία παιδιά και εξετάζουμε τα παιδιά ως προς το φύλο και ως προς τη σειρά γέννησής τους. Το πείραμα αυτό είναι πείραμα τύχης αφού δεν μπορούμε να προβλέψουμε αν θα είναι αγόρι ή κορίτσι. Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 4 από 40

5 11. Τι λέγεται δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης; Πως συμβολίζεται; Να αναφέρετε ένα παράδειγμα. Δειγματικός χώρος λέγεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος τύχης. Συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω. Στην περίπτωση της ρίψης ενός ζαριού ο δειγματικός χώρος είναι: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 12. Τι λέγεται ενδεχόμενο; Να αναφέρετε ένα παράδειγμα. Ενδεχόμενο λέγεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης. Στην περίπτωση της ρίψης ενός ζαριού ο δειγματικός χώρος είναι: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ενδεχόμενα του πειράματος αυτού είναι για παράδειγμα τα σύνολα: Α = {2, 4, 6}, Β = {1, 3, 5}, Γ = {5, 6}, Δ = {6} 13. Ποιοι ενδεχόμενο λέγεται απλό; Να αναφέρετε ένα παράδειγμα. Ένα ενδεχόμενο λέγεται απλό όταν έχει ένα μόνο στοιχείο. Στην περίπτωση της ρίψης ενός κέρματος ο δειγματικός χώρος είναι: Ω = {Κ, Γ}. Ένα ενδεχόμενο είναι Α = {Κ} ενώ ένα άλλο είναι Β = {Γ}. Καθένα από τα ενδεχόμενα αυτά λέγεται απλό ενδεχόμενο επειδή έχει ένα μόνο στοιχείο. 14. Ποιοι ενδεχόμενο λέγεται σύνθετο; Να αναφέρετε ένα παράδειγμα. Ένα ενδεχόμενο λέγεται σύνθετο όταν έχει περισσότερα από ένα στοιχεία. Στην περίπτωση της ρίψης ενός ζαριού ο δειγματικός χώρος είναι: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ενδεχόμενα του πειράματος αυτού είναι για παράδειγμα τα σύνολα: Α = {2, 4, 6}, Β = {1, 2, 3, 4, 5}, Γ = {5, 6}. Tα ενδεχόμενα αυτά λέγονται σύνθετα επειδή έχουν περισσότερα από ένα στοιχεία. 15. Πότε ένα ενδεχόμενο λέγεται βέβαιο και πότε αδύνατο; Ένα ενδεχόμενο λέγεται βέβαιο όταν πραγματοποιείται πάντοτε. Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος θεωρείται ότι είναι ενδεχόμενο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάντοτε αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει στο Ω. Γι' αυτό το Ω είναι βέβαιο ενδεχόμενο. Ένα ενδεχόμενο λέγεται αδύνατο όταν δεν πραγματοποιείται ποτέ. Αδύνατο ενδεχόμενο είναι το κενό σύνολο, το οποίο δεν πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης. 16. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Ποιο σύνολο αντιστοιχεί στη φράση: «Πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β» Η έκφραση «πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β» είναι ισοδύναμη με την έκφραση: «πραγματοποιείται και το Α και το Β» και είναι το σύνολο με τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β, δηλαδή η τομή τους Ç. Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 5 από 40

6 17. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Ποιο σύνολο αντιστοιχεί στη φράση: «Πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β» Η φράση «πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β» είναι ισοδύναμη με τη φράση «πραγματοποιείται είτε το Α είτε το Β είτε και τα δύο» και αντιστοιχεί στο σύνολο της ένωσης των δύο συνόλων Α, Β, δηλαδή È. 18. Έστω Α το ενδεχόμενο ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Ποιο σύνολο αντιστοιχεί στη φράση: «Πραγματοποιείται το συμπληρωματικό του Α» Η φράση «πραγματοποιείται το συμπληρωματικό του Α» είναι ισοδύναμη με τη φράση «δεν πραγματοποιείται το Α» και πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το Α. Το συμπληρωματικό του Α συμβολίζεται με και λέγεται αντίθετο του Α. 19. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Ποιο σύνολο αντιστοιχεί στη φράση: «Πραγματοποιείται μόνο το ενδεχόμενο Α» Επειδή θέλουμε να πραγματοποιείται μόνο το Α και όχι το Β, τότε το σύνολο που αντιστοιχεί στη φράση αυτή θα περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α και δεν ανήκουν στο Β ή μ' άλλα λόγια θα περιέχει όσα στοιχεία του Α δεν είναι ταυτόχρονα και στοιχεία του Β. Το σύνολο αυτό συμβολίζεται με -. Για να παραστήσουμε το σύνολο - μ' ένα διάγραμμα Venn γραμμοσκιάζουμε την επιφάνεια του Α εκτός από το τμήμα της που ανήκει στην τομή των δύο συνόλων, δηλαδή την κοινή επιφάνεια των δύο συνόλων. Το ζητούμενο σύνολο είναι το - ή ισοδύναμα Ç. 20. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Ποιο ενδεχόμενο σύνολο αντιστοιχεί στη φράση: «Πραγματοποιείται ένα μόνο από τα ενδεχόμενα Α και Β» Επειδή θέλουμε να πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β τότε το σύνολο που αντιστοιχεί στη φράση αυτή θα περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α και δεν ανήκουν στο Β καθώς και τα στοιχεία που ανήκουν στο Β και δεν ανήκουν στο Α. Το σύνολο αυτό συμβολίζεται με - È -. Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 6 από 40

7 Για να παραστήσουμε το σύνολο - È - μ' ένα διάγραμμα Venn γραμμοσκιάζουμε τις επιφάνειες των Α και Β με εξαίρεση την τομή τους, δηλαδή την κοινή τους επιφάνεια. Ç È Ç. Το ζητούμενο σύνολο είναι το - È - ή ισοδύναμα το 21. Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συμβολίζουν ενδεχόμενα ενός πειράματος και το ω ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού. Αν στην αριστερή στήλη του πίνακα αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωμένες στην κοινή γλώσσα τότε να συμπληρώσετε την δεξιά στήλη, αν σε αυτήν αναγράφονται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωμένες στη γλώσσα των συνόλων. Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται Πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β Πραγματοποιείται μόνο το Α Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β 22. Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συμβολίζουν ενδεχόμενα ενός πειράματος και το ω ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού. Αν στη δεξιά στήλη αναγράφονται διάφορες σχέσεις διατυπωμένες στη γλώσσα των συνόλων να συμπληρώσετε την αριστερή στήλη του πίνακα αναγράφονται τις ίδιες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωμένες στην κοινή γλώσσα. Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 7 από 40

8 23. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Πότε τα δύο αυτά ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα; Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, όταν η τομή τους είναι το κενό σύνολο, δηλαδή Ç=Æ. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα. 24. Τι ονομάζουμε σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου Α του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης; Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος τύχης, ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές, τότε ο λόγος k n ονομάζεται σχετική συχνότητα του Α και συμβολίζεται με f. 25. Αν ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος είναι το πεπερασμένο σύνολο ω, ω,..., ω } Ω = και σε ν { 1 2 λ εκτελέσεις του πειράματος αυτού τα απλά ενδεχόμενα ω }, { ω },...,{ ω πραγματοποιούνται κ 1, κ 2,..., κ λ φορές αντιστοίχως, τότε: { 1 2 λ i να βρείτε τις σχετικές συχνότητες f1, f2,..., f l των απλών ενδεχομένων { ω 1}, { ω2},...,{ ωλ ii να δείξετε ότι η σχετική συχνότητα για κάθε απλό ενδεχόμενο είναι μη αρνητικός πραγματικός αριθμός μικρότερος ή ίσος του 1 iii Το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων των απλών ενδεχομένων δειγματικού χώρου πειράματος τύχης ισούται με τη μονάδα. i Έχουμε f = κ1 κ f f v, = 2 2 v,..., λ 1 λ =. κ i ii Για κάθε i = 1,2,..., l είναι: 0 k n Û 0 1Û 0 f 1 iii k1 k 2 kl k1+ k kl v f1+ f fl = = = = 1. v v v v v v i k n i 26. Τι ονομάζουμε στατιστική ομαλότητα ή νόμο των μεγάλων αριθμών; Ο νόμος των μεγάλων αριθμών μας λέει ότι: << Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος τύχης σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς όχι κατ ανάγκην ίδιους καθώς οι δοκιμές του πειράματος επαναλαμβάνονται απεριόριστα >>. Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 8 από 40

9 27. Να διατυπώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας για ένα ενδεχόμενο Α, ενός πειράματος με ισοπίθανα αποτελέσματα. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα ορίζουμε ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α τον αριθμό: Πλήθος Ευνοϊκών Περιπτώσεων N P = =. Πλήθος Δυνατών Περιπτώσεων N Ω 28. Αν Α ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι: 1. P W = 1 2. P Æ = 0 3. Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 P 1. Από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α προκύπτει άμεσα ότι: N W 1. P W = = 1 N W 0 2. P Æ = = 0 N W 3. Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 P 1, αφού το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου είναι ίσο ή μικρότερο από το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου. 29. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: Απόδειξη: P = P + P È. Αν N = κ και N = λ, τότε το È έχει κ + λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β δε θα ήταν ασυμβίβαστα. Δηλαδή, έχουμε N È = κ + λ = N + N. Επομένως: N È N + N P È = = N W N W = N N P P N W + N W = +. Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος. 30. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα και ισχύει: P = 1- P Απόδειξη: Επειδή Ç = Æ, δηλαδή τα Α και είναι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχικά, σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο: P È = P + P P W = P + P 1 = P + P. Οπότε P = 1- P.. Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 9 από 40

10 Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 10 από Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P P P P Ç - + = È. Απόδειξη: Για δυο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε N N N N Ç - + = È, 1 αφού στο άθροισμα N N + το πλήθος των στοιχείων του Ç υπολογίζεται δυο φορές. Αν διαιρέσουμε τα μέλη της 1 με 0 N W ¹ έχουμε: W W W W N N N N N N N N Ç - + = È και επομένως P P P P Ç - + = È. Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόμος. 32. Να αποδείξετε ότι αν Í, τότε P P Απόδειξη: Επειδή Í έχουμε διαδοχικά: N N W W N N N N οπότε P P. 33. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P P P Ç - = -. Απόδειξη: Επειδή τα ενδεχόμενα - και Ç είναι ασυμβίβαστα και = Ç È -, έχουμε: P P P Ç + - =. Άρα P P P Ç - = -.

11 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Γράφουμε ή συμβολίζουμε Þ υπόθεση συμπέρασμα απλή συνεπαγωγή Þ ή Ü Û Διπλή συνεπαγωγή ή ισοδυναμία Ú Σύμβολο διάζευξης Ù Σύμβολο σύζευξης Διαβάζουμε Εννοούμε ότι Σχόλια Παράδειγμα Α συνεπάγεται Β ή Αν Α τότε Β Β συνεπάγεται Α ή Αν Β τότε Α αρκεί Α ισοδυναμεί Β ή Α αν και μόνο αν Β Α συνεπάγεται Β και αντίστροφα ή Β Α και Β Αν αληθεύει ο ισχυρισμός Α τότε αληθεύει ο ισχυρισμός Β Αν αληθεύει ο ισχυρισμός Β τότε αληθεύει ο ισχυρισμός Α Ισχύουν ταυτόχρονα οι: Þ και Þ Αληθεύει όταν αληθεύει ένα τουλάχιστον από τα Α,Β Αληθεύει όταν είναι αληθείς και οι δύο ταυτόχρονα Η αλήθεια του ισχυρισμού Α είναι ικανή για να συμπεράνουμε την αλήθεια του ισχυρισμού Β Για να αληθεύει ο ισχυρισμός Α αρκεί να αληθεύει ο Β Η Ü είναι το αντίστροφο της Þ η υπόθεση γίνεται συμπέρασμα και το συμπέρασμα υπόθεση Προσοχή! Αν αληθεύει η «Þ» δεν ισχύει πάντα η αντίστροφη της «Þ» αλλά ισχύει πάντα η αντιθετο-αντίστροφή της : «όχι όχι Α» - Ο ισχυρισμός Α είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ισχύει ο ισχυρισμός Β - Ο ισχυρισμός Α πρέπει να ισχύει και αρκεί να ισχύει για να ισχύει ο ισχυρισμός Β Προσοχή! στην καθημερινή γλώσσα : Θα πάμε Κρήτη ή Μυτιλήνη εννοούμε σ ένα από τα δύο νησιά στα μαθηματικά : Κρήτη ή Μυτιλήνη σημαίνει Κρήτη ή Μυτιλήνη ή και στα δύο νησιά Η άρνηση του «Α ή Β» είναι «κανένα από τα Α, Β» Η άρνηση του «Α και Β» είναι «το πολύ ένα από τα Α, Β» - Αν είναι μέρα τότε έχει φως - Αν ένα τρίγωνο είναι ισογώνιο είναι και ισόπλευρο - a=2 a2 =4 - a<b a b<0 - Αν ένας αριθμός διαιρείται με το 4 τότε θα διαιρείται με το 2 2 a= 2Ü a = 4για κάθε α Ψ ψευδής x= 3Üx - 3= 0Α αληθής a<bûa- b<0 a bû a= 0 ή b= 0 a b¹ 0Û a ¹ 0 καιb¹ 0 Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 11 από 40

12 Γράφουμε Διαβάζουμε Εννοούμε Παραδείγματα xî xï Α=Β Α¹ Í È Ç ' - Το x ανήκει στο Α Το x ΔΕΝ ανήκει στο Α Α σύνολο ίσο με Β σύνολο Α σύνολο διαφορετικό του Β υποσύνολο Β Α ένωση Β Α τομή Β Το x είναι ένα από τα στοιχεία 1Î { 1,2,3,4} του Α Το x ΔΕΝ είναι ένα από τα 0Ï { 1,2,3,4} στοιχεία του Α Τα στοιχεία του ενός συνόλου ταυτίζονται με τα στοιχεία του άλλου ένα προς ένα Υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του ενός συνόλου το οποίο δεν ανήκει στο άλλο Κάθε στοιχείο του Α ανήκει και στο Β {x Ω : x ήx } Ένα στοιχείο που ανήκει στο Α ή στο Β {x Ω : x ΚΑΙx } Ένα στοιχείο που ανήκει στο Α και στο Β Συμπλήρωμα του Α { x Ω : x } Διαφορά του Β από το Α [α, β] Κλειστό α, β κλειστό ή κλειστό α,β α, β Ανοικτό α, β ανοικτό ή ανοικτό α,β α,β] a,+ -,a] Î Ï Τα στοιχεία του βασικού συνόλου Ω που ΔΕΝ ανήκουν στο Α { x Ω: x kai } Î Î xï =Ç' Τα στοιχεία που ανήκουν στο Α και δεν ανήκουν στο Β. Δηλαδή από τα στοιχεία του Α «βγάζουμε» όσα στοιχεία ανήκουν στο Β { 1,2,3,4, ¼} =όλοιοι { φυσικοί αριθμοί } { 0,± 1,± 2, ¼ } ¹ { 0, ± 2,± 4, ¼ } { 1,2,3} Í { 1,2,3,5,4,7,65}, Í Í Í, ÆÍ { 1,2,3} È =, {1,2} {1,3}={1,2,3} ÆÇ= Æ, {1,2} {1,3}={1} Æ '=Ω, Ω'=Æ { 1,2} { 1,3} = { 2} Α -Æ =, -Ω= Æ -, x Î ώστε α x β [ 2,3 ] x Î ώστε α<x<β Όλοι οι αριθμοί από το 2 έως και το 3 2,3 Όλοι οι αριθμοί από το 2 έως το 3 όχι 2 ή 3 Ανοικτό α, β κλειστό xî ώστε α<x β 2,3] Όλοι οι αριθμοί από το έως το 3 όχι 2 ναι το 3. Ανοικτό α, + άπειρο x Î ώστε x>α 2,+ Όλοι οι αριθμοί μεγαλύτεροι του 2 Ανοικτό -άπειρο, α κλειστό x Î ώστε x α -,2] Όλοι οι αριθμοί μικρότεροι ή ίσοι του 2 Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 12 από 40

13 v Οι πίνακες που ακολουθούν μας θυμίζουν τις συχνότερες αντιστοιχίσεις. Συμβολισμός Πιθανότητας Καθομιλούμενη γλώσσα Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α Η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α και Β Η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β Η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν τα Α και Β συγχρόνως Η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β ή Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα Α και Β Σχέσεις για τα Α και Β διατυπωμένες στην κοινή γλώσσα Σχέσεις για τα Α και Β διατυπωμένες στη γλώσσα των συνόλων Συμβολισμός Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται Πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β Ç È Πραγματοποιείται μόνο το Α - ή Ç Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β - È - Σχέσεις για τα Α και Β διατυπωμένες στην κοινή γλώσσα Σχέσεις για τα Α και Β διατυπωμένες στη γλώσσα των συνόλων Συμβολισμός Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β Πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α και Β È Ç Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 13 από 40

14 ΓΛΩΣΣΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩ Ν ΓΛΩΣΣΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Venn ΚΑΝΟΝΑΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β Α ή Β ΓΛΩΣΣΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΛΩΣΣΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Venn ΚΑΝΟΝΑΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β ούτε το Α ούτε το Β ΓΛΩΣΣΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩ Ν ΓΛΩΣΣΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Venn ΚΑΝΟΝΑΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β μόνο το Α ΓΛΩΣΣΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩ Ν ΓΛΩΣΣΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Venn ΚΑΝΟΝΑΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β ή Α ή Β Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 14 από 40

15 v Έστω Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω 1. Ισχύουν οι σχέσεις Ιδιότητες συνόλων: α ÇÍÍ È ÇÍ Í È β -ÍÍ È -Í Í È γ - Ç Ç = O - Ç Ç = O - Ç - = O ü ï ý Û -, -, Ç ï þ ανά δύο ξένα μεταξύ τους. δ ε È =W Ç =Æ 2. Ο συμβολισμός Í σημαίνει ότι τα στοιχεία του ενδεχομένου Α είναι και στοιχεία του ενδεχομένου Β. Άρα ισχύουν: α Ç =. β È =. γ Í. δ - =Æ. ε È =W. στ N N. 3. Για να αποδείξουμε ότι Í αρκεί να δείξουμε μια από τις επόμενες σχέσεις: Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 15 από 40

16 α Ç =. β È =. γ Í. δ - =Æ. ε È =W. Προσοχή: Αν Παράδειγμα: N N δεν σημαίνει ότι Í. Δηλαδή N N Þ Για τα σύνολα = { 3,5,7,9 }, = { 1,2,3,4,5,6} ισχύει είναι υποσύνολο του συνόλου Β αφού για παράδειγμα 7 Í. N = 4 N = 6 αλλά το σύνολο Α δεν Î αλλά 7 Ï. 4. Για να αποδείξουμε ότι = αρκεί να δείξουμε ότι: α Í και Í, ή β Í και N N γ =, ή Í και N N =. 5. α N N N + = W. β N + N = N È Û, ασυμβίβαστα ενδεχόμενα. γ N Ç = N Û Ç = Û Í. δ N È = N Û È = Û Í. 6. Για να αποδείξουμε ανισοτικές σχέσεις στις πιθανότητες, χρησιμοποιούμε τις παρακάτω προτάσεις: 1. Αν Í τότε P P. 2. Είναι ÇÍ και Ç Í οπότε P Ç P και P P 3. Είναι Í È και Í È οπότε P P È και P P È 4. Είναι -Í και -Í οπότε P - P και P - P. 5. Είναι ÇÍ È οπότε P Ç P È. Ç. 7. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν = τότε ισχύει P P = ενώ αν P P = δεν είναι απαραίτητο ότι =. Πράγματι, αν θεωρήσουμε ως δειγματικό χώρο τα δυνατά αποτελέσματα της ρίψης ενός ζαριού Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} και τα ενδεχόμενα Α: Το αποτέλεσμα ρίψης είναι άρτιος αριθμός, Α = {2, 4, 6} Β: Το αποτέλεσμα ρίψης είναι περιττός αριθμός, Β = {1, 3, 5} Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 16 από 40

17 Τότε είναι φανερό ότι P P 50% = = ενώ τα δύο ενδεχόμενα είναι διαφορετικά. 8. Όταν ορίζουμε τα ενδεχόμενα είναι προτιμότερο να μη χρησιμοποιούμε άρνηση. Για παράδειγμα ορίζουμε Α: το ενδεχόμενο ο τυχαίος μαθητής της Α Λυκείου να ξέρει Γερμανικά αντί του Β: το ενδεχόμενο ο τυχαίος μαθητής της Α Λυκείου δεν ξέρει Γερμανικά. ΘΕΜΑ Α - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και αντιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α. 2. Í, για κάθε σύνολο Α. 3. Αν Íκαι ÍG, τότε ÍG. 4. Αν Íκαι Í, τότε =. 5. Δειγματικός χώρος λέγεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. 6. Ένα αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης είναι απλό ενδεχόμενο. 7. Ασυμβίβαστα λέγονται δύο ενδεχόμενα όταν η ένωσή τους είναι το κενό σύνολο. 8. Το συμπλήρωμα Α ενός οποιουδήποτε ενδεχομένου Α ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω είναι επίσης ενδεχόμενο αυτού του πειράματος. 9. Αν Α είναι ένα αδύνατο ενδεχόμενο ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω, τότε =Æ. 10. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Οι εκφράσεις «πραγματοποιείται είτε το ενδεχόμενο Α είτε το ενδεχόμενο Β» και «πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α και Β» είναι ισοδύναμες. 11. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Το ενδεχόμενο - πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Β και δεν πραγματοποιείται το Α. 12. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Το ενδεχόμενο - πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Α και δεν πραγματοποιείται το Β. 13. Αν δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου είναι ξένα μεταξύ τους τότε τα συμπληρωματικά τους Α και Β είναι ξένα μεταξύ τους. 14. Πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α, ονομάζεται ένας αριθμός που δείχνει το μέτρο της «προσδοκίας» με την οποία αναμένουμε την πραγματοποίηση του ενδεχομένου. 15. Αν f1, f2,..., f n είναι αντίστοιχα οι σχετικές συχνότητες των απλών ενδεχομένων { w1}, { w2},...,{ w n } w w w n ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο το πεπερασμένο σύνολο W= { 1, 2,..., }, τότε 0 f 1, i = 1,2,..., n. i Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 17 από 40

18 16. Αν f1, f2,..., f n είναι αντίστοιχα οι σχετικές συχνότητες των απλών ενδεχομένων { w1},{ w2},...,{ w n } W= { w, w,..., w n }, ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο το πεπερασμένο σύνολο 1 2 τότε f1+ f2 + f f n = Αν τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης είναι ισοπίθανα, τότε ονομάζουμε πιθανότητα οποιουδήποτε ενδεχομένου Α τον αριθμό: 18. Για κάθε ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει P 0< < Η πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου O ενός δειγματικού χώρου Ω είναι P O = Η πιθανότητα του βέβαιου ενδεχομένου ενός δειγματικού χώρου Ω είναι P W = Αν για δύο ενδεχόμενα, ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει P = P τότε =. 22. Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και ÍW, τότε ισχύει η ισοδυναμία: P = 0Û =Æ. 23. Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και ÍW, τότε ισχύει η ισοδυναμία: P = 1Û =W. 24. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P È = P + P 25. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P È = P + P - P Ç 26. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P È -P Ç = P + P 27. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P È = P + P 28. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P Ç = P + P -P È 29. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P Ç = P -P Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P Ç = P + P -P È Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 18 από 40

19 31. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P È = P + P Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P È = P + P Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P È = P + P Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P Ç = P -- P 35. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P - = P -P Ç 36. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P Ç + P Ç = P 37. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P È -P Ç = P 38. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P È -P Ç = P 39. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P Ç + P Ç = P 40. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P Ç + P Ç = P 41. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P + P = Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Í, τότε ισχύει: P P. 43. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P P, τότε ισχύει: 44. Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ανά δύο ασυμβίβαστα, τότε ισχύει: P ÈÈG = P + P + P G. 45. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P -È - = P + P -P Ç. 46. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P È = P - + P Ç + P -. Í. Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 19 από 40

20 47. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P Ç P. 48. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P Ç P. 49. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P P È. 50. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P P È. 51. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P Ç P È. 52. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P - P. 53. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P - P. 54. Αν το Α={1, 2, 3} είναι ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω = {1, 2, 3, 4} τότε ΝΑ=4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β1. Με βασικό σύνολο το Ω= { 1,2,3,4,5,6} και τα σύνολα Α= { 1,2,4,5} και { 2,46} στο ίδιο διάγραμμα Venn και να προσδιοριστούν τα σύνολα : α. È β. Β=,. Να παρασταθούν Ç γ. ' δ. Β' ε. ΑÈ ' στ. Ç Β2. Δίνονται δύο σύνολα : Α= { αθλητές στίβου }, Β = { φοιτητές Πανεπιστημίου }. Τι συμπέρασμα εξάγεται για κάποιον, ο οποίος ανήκει στο σύνολο : α. È β. Ç γ. ' δ. ' ε. Ç ' στ. ' Ç ζ. ' ' ' Ç η. È '. Β3. Να βρεθούν οι σχέσεις που έχουν τα σύνολα σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις : α. Í και Í Γ τότε ¼ Γ β. Í και Í τότε Α¼ γ. Ƽ 34. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Ποιο ενδεχόμενο σύνολο αντιστοιχεί στη φράση: «Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β» Β4. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω να παραστήσετε μ' ένα διάγραμμα Venn τα ενδεχόμενα α β Ç È. Β5. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω να δικαιολογήσετε με ένα διάγραμμα Venn ότι τα ενδεχόμενα α Ç Ç Ç =Æ β Ç È Ç = Β6. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης τέτοια ώστε Í, τότε Ç =. Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 20 από 40

21 Β7. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης τέτοια ώστε Í, τότε È =. Β8. Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, να παρασταθούν με διαγράμματα Venn και να γραφούν με τη βοήθεια των συνόλων τα ενδεχόμενα που ορίζονται από τις εκφράσεις: α «Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β». β «Πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α και Β». Β9. Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, να παρασταθούν με διαγράμματα Venn και να γραφούν με τη βοήθεια των συνόλων τα ενδεχόμενα που ορίζονται από τις εκφράσεις: α Α: «πραγματοποιείται μόνο το Α». β Β: «πραγματοποιείται μόνο το Β». γ Γ: «πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β» Β10. Ένα κουτί περιέχει μπάλες: 4 άσπρες, 6 γαλάζιες, 8 κίτρινες και 7 πράσινες. Παίρνουμε τυχαία μια μπάλα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων η μπάλα να είναι: α γαλάζια β κίτρινη ή πράσινη γ ούτε γαλάζια ούτε πράσινη. Β11. Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι. I Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Α: «η ένδειξη του ζαριού είναι αριθμός μικρότερος του 4» Β: «η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2» Γ: «η ένδειξη του ζαριού είναι διαιρέτης του αριθμού 6 ή αριθμός μεγαλύτερος του 4». II Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα. Β12. Σε έναν ποδοσφαιρικό αγώνα η πιθανότητα να κερδίσει η ομάδα Α είναι 40% ενώ η πιθανότητα να κερδίσει η ομάδα Β είναι 25%. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει τον αγώνα μία από τις δυο ομάδες; Β13. Σε ένα κτίριο συστεγάζονται τα σχολεία Α και Β. Μια ηλιόλουστη μέρα οι μαθητές των δύο σχολείων ζητούν εκδρομή. Η πιθανότητα να πάνε και τα δύο σχολειά εκδρομή είναι 20%, η πιθανότητα να πάει εκδρομή το σχολείο Α είναι 50% ενώ η πιθανότητα να πάει εκδρομή το σχολείο Β είναι 40%. Ποια είναι η πιθανότητα ένα τουλάχιστον από τα δύο σχολεία να πάει εκδρομή; Β14. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, να παρασταθούν με διαγράμματα Venn και να εκφραστούν με τη βοήθεια συνόλων τα ενδεχόμενα: α Πραγματοποιείται το Β αλλά όχι το Α. β Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β. Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 21 από 40

22 γ Πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α και Β. Β15. Αν Α = {2, 3, 5}, Β = {1, 3, 5, 6} δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} να βρεθούν: α Τα ενδεχόμενα β Τα ενδεχόμενα È και Ç Ç και È Γ να δείξετε ότι - È Ç =.. Τι παρατηρείτε;. Τι παρατηρείτε; Β16. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι τα και Ç είναι ασυμβίβαστα. Β17. Σε ένα Γυμνάσιο υπάρχουν ελλείψεις στα βιβλία των Αρχαίων και της Βιολογίας. Το 20% των μαθητών έχουν βιβλίο Αρχαίων ενώ το 70% των μαθητών δεν έχουν βιβλίο Βιολογίας. Αν το 15% των μαθητών έχουν και τα δύο βιβλία να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέγεται τυχαία να μην έχει κανένα από τα δύο βιβλία. Β18. Ρίχνουμε δύο ζάρια και καταγράφουμε την ένδειξη της άνω έδρας κάθε ζαριού. α Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης. β Να παρασταθούν με αναγραφή τα ενδεχόμενα: Α: "Και τα δύο ζάρια έχουν την ίδια ένδειξη" Β: "Οι δύο ενδείξεις να έχουν διαφορά τουλάχιστον ίση με τρία" Γ: "Το άθροισμα των ενδείξεων είναι άρτιος αριθμός" Β19. Μια εταιρεία διανομής φαγητού ζητά προσωπικό. Από τα 50 άτομα που έκαναν αίτηση τα 30 είχαν πανεπιστημιακή εκπαίδευση ενώ τα 10 είχαν ανάλογη προϋπηρεσία. Από αυτούς που είχαν προϋπηρεσία, οι μισοί είχαν και πανεπιστημιακή εκπαίδευση. Αν επιλέξουμε τυχαία μια από τις 50 αιτήσεις, τότε: α Ποια η πιθανότητα να επιλέξουμε άτομο μόνο με πανεπιστημιακή εκπαίδευση ή μόνο με προϋπηρεσία; β Ποια η πιθανότητα να επιλέξουμε άτομο χωρίς πανεπιστημιακή εκπαίδευση και χωρίς προϋπηρεσία; Β20. Ένα Γενικό Λύκειο έχει 250 μαθητές, από τους οποίους οι 85 είναι μαθητές της Β' Λυκείου. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα μαθητή η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ' Λυκείου είναι 30%. I Να βρείτε πόσους μαθητές έχει η Γ' Λυκείου. II Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Α: «να είναι μαθητής της Α' Λυκείου» Β: «να είναι μαθητής της Β' Λυκείου Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 22 από 40

23 Β21. Ένας δημόσιος υπάλληλος κατέθεσε αίτηση μετάθεσης. Έχοντας ως επιλογές τους νομούς Αχαΐας Α, Ηλείας Η και Κορινθίας Κ συμπλήρωσε έντυπη αίτηση με τη σειρά προτίμησης των τριών νομών. α Με τη βοήθεια ενός δεντροδιαγράμματος να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. β Να γράψετε με αναγραφή τα ενδεχόμενα: Β: "Η πρώτη επιλογή είναι ο νομός Κορινθίας" Γ: "Τελευταία του επιλογή είναι ο νομός Ηλείας" Δ: "Προηγείται στη σειρά προτίμησης ο νομός Αχαΐας από το νομό Κορινθίας" Β22. Σε ένα κουτί υπάρχουν συνολικά 10 ίδιου μεγέθους μπάλες, Μαύρες, Κόκκινες και Άσπρες, εκ των οποίων οι 3 είναι Μαύρες. Επιλέγουμε τυχαία μία μπάλα και καταγράφουμε το χρώμα της. Αν η πιθανότητα του ενδεχομένου «επιλέχθηκε Άσπρη μπάλα» είναι 0,50 να υπολογίσετε: α Πόσες είναι οι Κόκκινες και πόσες οι Άσπρες μπάλες β Την πιθανότητα του ενδεχομένου «επιλέχθηκε μπάλα μαύρη» γ Την πιθανότητα του ενδεχομένου «επιλέχθηκε μπάλα κόκκινη» δ Την πιθανότητα του ενδεχομένου «επιλέχθηκε μπάλα μαύρη ή κόκκινη» Β23. Προκειμένου να οριστεί η σειρά των μαθημάτων με την οποία θα διαγωνισθούν στις πανελλαδικές εξετάσεις οι μαθητές της Θετικής Κατεύθυνσης τις δύο πρώτες ημέρες εξέτασης, ο υπεύθυνος προγραμματισμού, επιλέγει τυχαία δύο από τα τέσσερα συνολικά μαθήματα : Μαθηματικά Μ, Φυσική Φ, Χημεία Χ, Νεοελληνική Γλώσσα Ν. α Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος β Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου, «Οι μαθητές, την πρώτη ημέρα, διαγωνίζονται στη Φυσική» γ Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου, «Οι μαθητές, την πρώτη ημέρα, διαγωνίζονται στη Νεοελληνική Γλώσσα ή στη Χημεία» δ Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου, «Οι μαθητές, την πρώτη ημέρα, δεν διαγωνίζονται στα Μαθηματικά ή στη Φυσική» Β24. Η Μαρία για να ντυθεί έχει τη δυνατότητα να φορέσει φούστα Φ ή σορτς Σ, από πάνω μπλούζα Μ ή πουκάμισο Π και για παπούτσια να βάλει αθλητικά α ή πέδιλα π. i. Να κατασκευάσετε ένα δενδροδιάγραμμα και να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. ii. Να βρεθεί το ενδεχόμενο Α : «η Μαρία να φοράει πουκάμισο» Β25. Διαθέτουμε πέντε κάρτες αριθμημένες από το 1 έως το 5. Τοποθετούμε στη σειρά τυχαία μια-μια τις κάρτες και σταματάμε όταν εμφανιστούν δυο ζυγές ή δυο μονές ενδείξεις. Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 23 από 40

24 i. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης. ii. Να βρεθεί το ενδεχόμενο Α: «το είδος των ενδείξεων να εμφανίζεται εναλλάξ μονό ή ζυγό». Β26. Σ' ένα κλειστό κουτί έχουμε πέντε μπάλες αριθμημένες από το 1 έως το 5. Επιλέγουμε τυχαία μια μπάλα διαβάζουμε τον αριθμό της και την ξαναβάζουμε στο κουτί. Στη συνέχεια επιλέγουμε τυχαία μια δεύτερη μπάλα και διαβάζουμε τον αριθμό της. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. Β27. Σ έναν διαγωνισμό χορού συμμετέχουν 4 γυναίκες Άννα, Βάσω, Γιάννα, Δόμνα και 4 άνδρες Κώστας, Λάμπρος, Μανώλης, Νίκος. Αν με κλήρωση επιλεγούν τα ζευγάρια για να διαγωνιστούν, να προσδιορίσετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. Β28. Σ' ένα πείραμα τύχης δίνεται ο δειγματικός χώρος W= { 1, 2, 3,..., 10} και τα ενδεχόμενα = { 1, 3, 5, 7, 8}, { 2, 4, 6, 8} =. α Να βρείτε τα ενδεχόμενα:,, È, Ç, -, -. β Να υπολογίσετε τα N, N, N È, N N + N = N È + N Ç Ç και να δείξετε ότι: Β29. Από το σύνολο {2,5} επιλέγουμε τυχαία ψηφία και σχηματίζουμε έναν τριψήφιο αριθμό. Να βρεθούν: α ο δειγματικός χώρος του πειράματος β τα ενδεχόμενα Α: «δύο τουλάχιστον ψηφία του αριθμού να είναι 2» Β: «ένα το πολύ ψηφίο του αριθμού να είναι 2» γ τα ενδεχόμενα: Ç, Ç, - È - Β30. Από μια τάξη του Λυκείου επιλέγουμε τυχαία μια μαθήτρια και θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: «Η μαθήτρια παίζει μπάσκετ» Β: «Η μαθήτρια παίζει βόλεϊ». Να παρασταθούν με διαγράμματα Venn και να γραφούν με τη βοήθεια των συνόλων τα ενδεχόμενα που ορίζονται από τις εκφράσεις: 1. η μαθήτρια να μην παίζει μπάσκετ 2. η μαθήτρια να παίζει τουλάχιστον ένα από τα δύο αθλήματα 3. η μαθήτρια να παίζει και τα δύο αθλήματα Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 24 από 40

25 4. η μαθήτρια να παίζει μπάσκετ αλλά όχι βόλεϊ 5. η μαθήτρια να παίζει μόνο ένα από τα δύο αθλήματα Β31. Σ' ένα πείραμα τύχης δίνεται ο δειγματικός χώρος W= {-3, -2, - 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9} και τα ενδεχόμενα = = {- 2, 3, 4, 5} {-2, -1, 2, 5}, Ç Í È β α. Να δείξετε ότι: È = Ç Β32. Σ ένα πείραμα τύχης δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} και τα ενδεχόμενα Α = {-1, 2, 3, 4}, Β = {-1, 0, 2, 5}. Να δείξετε ότι: α - = Ç και β - = Ç Β33. Σ ένα πείραμα τύχης δίνεται ο δειγματικός χώρος W= {-3, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 6} και τα ενδεχόμενα = {- 1, 2, 3, 4}, { 3, 1, 0, 2} α = - -. Να δείξετε ότι: - = - β - = È Β34. Τρία άτομα ένας άνδρας μια γυναίκα και ένα παιδί κάθονται σε τρία συνεχόμενα καθίσματα. α Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. β Να βρεθεί το ενδεχόμενο : «Ο άνδρας να κάθεται δίπλα στη γυναίκα». γ Να βρεθεί το ενδεχόμενο Β: «Το παιδί δεν κάθεται δίπλα στον άνδρα». Β35. Δύο παίκτες πριν παίξουν ένα παιχνίδι συμφωνούν ότι νικητής θα είναι αυτός που θα κερδίσει πρώτος δύο παιχνίδια. Αν α είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης και β να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης ένα παιχνίδι. α Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. β Να βρεθεί το ενδεχόμενο Α: «ο παίκτης να κερδίσει δύο συνεχόμενα παιχνίδια». Β36. Ρίχνουμε ένα νόμισμα και σταματάμε όταν έρθουν 2 Γράμματα Γ ή 3 κεφαλές Κ. α Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. β Να βρεθεί το ενδεχόμενο Α: «ο αριθμός των Κ να υπερβαίνει τον αριθμό των Γ» Β37. Μια βιοτεχνία ρούχων ελέγχει αν το ράψιμο είναι κανονικό K ή ελαττωματικό E. Ο έλεγχος σταματά αν βρεθεί ρούχο ελαττωματικό ή όταν κάνει τρεις ελέγχους. α Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος. β Να βρεθεί το ενδεχόμενο Α: «ένα ρούχο είναι ελαττωματικό». Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 25 από 40

26 Β38. Ρίχνουμε διαδοχικά ένα νόμισμα και ένα ζάρι. α Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος β Να βρεθεί το ενδεχόμενο Α: «η ένδειξη του νομίσματος να είναι Γ και ο αριθμός του ζαριού να είναι μεγαλύτερος από 3». Β39. Σε ένα κλειστό κουτί τοποθετούμε 5 κόκκινες Κ, 5 πράσινεςπ, 5 μαύρες Μ και 5 άσπρες Α μπάλες αριθμημένες από το 1 έως το 5. Παίρνουμε από το κουτί μια μπάλα και καταγράφουμε πρώτα το χρώμα της και μετά τον αριθμό της και την ξαναβάζουμε στο κουτί. α Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. β Να βρεθεί το ενδεχόμενο Α: «η μπάλα να είναι πράσινη ή μαύρη και ο αριθμός της να είναι μικρότερος του 4». γ Να βρεθεί το ενδεχόμενο Β: «η μπάλα να έχει ζυγό αριθμό». Β40. Σ ένα πείραμα τύχης δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} και τα ενδεχόμενα Α = {1, 2, 3, 4, 6}, Β = {0, 2, 3}. Να βρεθούν τα ενδεχόμενα:, È, È, Ç, Ç, Ç Ç. Β41. Σ ένα πείραμα τύχης δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} και τα ενδεχόμενα Α = {-1, 2, 3, 4}, Β = {-1, 3, 5}. α Να βρεθούν τα ενδεχόμενα È και Ç και να δείξετε ότι β Να βρεθεί το ενδεχόμενο È - και να δείξετε ότι È - = È. È = Ç. Β42. Σ ένα πείραμα τύχης δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 5, 6} και τα ενδεχόμενα Α = {-1, 2, 3}, Β = {-2, 2, 0, 3, 5}. Να βρεθούν τα ενδεχόμενα,, È,, Ç, Ç, È. Β43. Ρίχνουμε ένα ζάρι. Αν Α είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αριθμό και Β το ενδεχόμενο να φέρουμε αριθμό μεγαλύτερο από 2, α Να βρεθούν τα ενδεχόμενα:,, Ç, β Να υπολογιστούν τα N και N Ç. Ç, -, - Ç, Β44. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις διαδοχικές φορές. Να βρείτε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου Ω, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 26 από 40

27 i. Α: Ο αριθμός των Γ υπερβαίνει τον αριθμό των Κ ii. Β: Ο αριθμός των Κ είναι ακριβώς 2 iii. Γ: Ο αριθμός των Γ είναι τουλάχιστον 2 iv. Δ: Ίδια όψη και στις τρεις ρίψεις Β45. Ρίχνουμε δύο "αμερόληπτα" ζάρια. Ι Να βρείτε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος. ΙΙ Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου Ω, να υπολογίσετε την πιθανότητα να φέρουμε ως αποτέλεσμα δύο διαδοχικούς περιττούς αριθμούς. Β46. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις διαδοχικές φορές. Ι Να βρείτε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος. ΙΙ Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου Ω, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α Α: Ο αριθμός των Γ είναι το πολύ 1 β Β: Ο αριθμός των Γ είναι ακριβώς 1 γ Γ: Ο αριθμός των Κ είναι τουλάχιστον 2 δ Δ: Ίδια όψη και στις τρεις ρίψεις ε Ε: Να μην υπάρχουν δύο συνεχόμενες ρίψεις με το ίδιο αποτέλεσμα Β47. Ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια. i. Να βρείτε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος. ii. Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου Ω, να υπολογίσετε την πιθανότητα να φέρουμε ως αποτέλεσμα δύο άρτιους αριθμούς. Β48. Ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια. i. Να βρείτε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος. ii. Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου Ω, να υπολογίσετε την πιθανότητα να φέρουμε ως αποτέλεσμα δύο αριθμούς που να έχουν άθροισμα 6. Β49. Μια κάλπη έχει τέσσερεις μπάλες: μια άσπρη Α, μια κίτρινη Κ, μια μαύρη Μ και μια πράσινη Π Κάνουμε το εξής πείραμα: Παίρνουμε τυχαία από το κουτί μια μπάλα, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε στο κουτί. Στη συνέχεια παίρνουμε τυχαία και μια δεύτερη μπάλα και καταγράφουμε επίσης το χρώμα της. Δηλαδή παίρνουμε διαδοχικά στην τύχη δύο μπάλες με επανατοποθέτηση. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α Α: η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 27 από 40

28 β Β: να εξαχθεί και τις δυο φορές μπάλα με το ίδιο χρώμα γ Γ: να εξαχθεί μια τουλάχιστον κίτρινη μπάλα Β50. Μια κάλπη έχει τέσσερεις μπάλες: μια άσπρη Α, μια κίτρινη Κ, μια μαύρη Μ και μια πράσινη Π Κάνουμε το εξής πείραμα: Παίρνουμε τυχαία από το κουτί μια μπάλα, καταγράφουμε το χρώμα της και δεν την ξαναβάζουμε στο κουτί. Στη συνέχεια παίρνουμε τυχαία και μια δεύτερη μπάλα και καταγράφουμε επίσης το χρώμα της. Δηλαδή παίρνουμε διαδοχικά στην τύχη δύο μπάλες χωρίς επανατοποθέτηση. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α Α: η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη β Β: να εξαχθεί και τις δυο φορές μπάλα με το ίδιο χρώμα γ Γ: να εξαχθεί μια τουλάχιστον κίτρινη μπάλα Β51. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν R =, 1 R Ç =. Να βρείτε τις πιθανότητες: 8 και α R β R γ R Ç δ R - È R È = 5 8 Β52. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν R =, 3 R Ç =. Να βρείτε τις πιθανότητες: 10 και α R β R Ç γ R δ R - È Β53. R - = και 7 R - È - =. Να βρείτε τις πιθανότητες: 12 α R β R È γ R Ç δ R- 1 2 R È = 9 10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ Γ1. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και R =, R =, βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: i. «να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β» ii. «να μην πραγματοποιηθεί το Β» iii. «να μην πραγματοποιηθεί κανένα εκ των Α και Β» iv. «να μην πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β» v. «να πραγματοποιηθεί μόνο το Α» vi. «να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α, Β» R Ç =, να 8 Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 28 από 40

29 Γ2. Σ ένα πείραμα τύχης δίνεται ο δειγματικός χώρος W= { 0, 1, 2, 3, 4, 6} και τα ενδεχόμενα = { 1, 2, 3, 4}, { 0, 2, 3} =. Να δείξετε ότι: α = - È Ç = Ç È Ç β = - È Ç = Ç È Ç Γ3. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης να δικαιολογήσετε με ένα διάγραμμα Venn ότι: = - È Ç = Ç È Ç α β = - È Ç = Ç È Ç Γ4. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω να δικαιολογήσετε με ένα διάγραμμα Venn ότι τα È = Ç È Ç È Ç. ενδεχόμενα Γ5. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν NW= 40, N = 20, 12 N = και το ενδεχόμενο «να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α και Β» έχει 27 στοιχεία, τότε: α Να χωρίσετε το Ω σε τέσσερα ασυμβίβαστα ανά δύο ενδεχόμενα. β Να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων καθενός από τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα στα οποία χωρίσατε το Ω. Γ6. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι: 2 R - È - =R +R - R Ç α β P R - R W R Ç -. Γ7. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν R = 0,45, 0,35 R Ç = 0,15. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: α Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α και Β. β Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. γ Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α. δ Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β. Γ8. ν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με R =, R = και 3 R È = και 4 R Ç =, να βρείτε τις πιθανότητες: α R β R γ R Ç δ R -. Γ9. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν τα ενδεχόμενα, Ç και È ανά δύο δεν είναι ισοπίθανα και οι πιθανότητές τους R, R Ç και R È είναι στοιχεία του συνόλου S= x/ x rίza thv exίswshv 2x-1 3x-1 4x- 1 = 0, να βρείτε την πιθανότητα { } R. Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 29 από 40

30 Γ10. ν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με R - =, R - = και R È = να βρείτε τις πιθανότητες ενδεχομένων: α β Ç γ Γ11. Σε ένα πολυκατάστημα εργάζονται άνδρες και γυναίκες. Το 60% των υπαλλήλων είναι γυναίκες, το 45% των υπαλλήλων είναι παντρεμένοι και το 35% είναι γυναίκες παντρεμένες. Επιλέγουμε τυχαία έναν υπάλληλο. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο υπάλληλος να είναι: α Γυναίκα ή παντρεμένη β Γυναίκα και όχι παντρεμένη γ Άνδρας παντρεμένος δ Άνδρας ή παντρεμένος Γ12. Ένας άνεργος υποβάλλει αίτηση για να προσληφθεί σε δύο εργοστάσια Α και Β. Αν η πιθανότητα να προσληφθεί στο εργοστάσιο Β είναι 40%, η πιθανότητα να προσληφθεί μόνο στο εργοστάσιο Β είναι 28% και η πιθανότητα να μην προσληφθεί σε κανένα εργοστάσιο είναι 16%, να βρείτε την πιθανότητα να προσληφθεί: α Σε ένα τουλάχιστον εργοστάσιο. β Στο εργοστάσιο Α. γ Σε ένα μόνο εργοστάσιο. δ Το πολύ σε ένα εργοστάσιο. Γ13. Από τους 25 μαθητές ενός τμήματος της Γ τάξης ενός Λυκείου, 8 μαθητές αρίστευσαν στο μάθημα των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας, 6 μαθητές αρίστευσαν στο μάθημα της Νεοελληνικής Γλώσσας και 9 μαθητές αρίστευσαν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο αυτά μαθήματα Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής: α Να αρίστευσε και στα δύο αυτά μαθήματα. β Να αρίστευσε μόνο στο μάθημα των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας. γ Να αρίστευσε μόνο σε ένα από τα δύο αυτά μαθήματα. δ Να αρίστευσε το πολύ ένα από τα δύο αυτά μαθήματα. ε Να μην αρίστευσε σε κανένα από τα δύο αυτά μαθήματα. Γ14. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν R =, R Ç = και 8 R È =. Να βρείτε τις πιθανότητες: α R È β R Ç γ R δ R -. Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 30 από 40

31 Γ15. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν R =, 7 R - È - =. Να βρείτε τις πιθανότητες: 12 α R β R È γ R Ç δ R R - = και 4 Γ16. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν R = 0,50, 0,40 R Ç = 0,18. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α και Β. β Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. γ Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α. δ Να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α και Β. ε Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β. R = και Γ17. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β είναι 13, ενώ η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από 20 αυτά είναι 17, να βρείτε: 20 α Την πιθανότητα να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α και Β. β Αν επιπλέον η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το Α είναι 2, να βρείτε την πιθανότητα: 5 i. Να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α. ii. Να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β. iii. Να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β. iv. Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β. Γ18. ν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με R =, 2 R - =, να βρείτε τις πιθανότητες: 15 α R Ç β R È γ R δ R Ç ε 7 15 R -. 2 R - = και 15 Γ19. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α είναι 3 8, η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Β είναι 1 4, ενώ η Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 31 από 40

32 πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από Α και Β είναι 3, να βρείτε τις πιθανότητες των 4 ενδεχομένων: α Να πραγματοποιηθεί το Α. β Να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β. γ Να πραγματοποιηθεί το Β. δ Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. ε Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β. Γ20. Σε μια επιχείρηση το 45% των εργαζομένων είναι γυναίκες, το 55% είναι πτυχιούχοι και το 25% είναι γυναίκες πτυχιούχοι. Επιλέγουμε τυχαία έναν εργαζόμενο. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο εργαζόμενος να είναι: α γυναίκα ή πτυχιούχος β γυναίκα και όχι πτυχιούχος γ άνδρας πτυχιούχος δ άνδρας ή πτυχιούχος. Γ21. Από τους 216 μαθητές ενός Λυκείου, 27 μαθητές μαθαίνουν μόνο Γερμανικά, 54 μαθητές μαθαίνουν μόνο Γαλλικά και 108 μαθητές δεν μαθαίνουν ούτε Γερμανικά ούτε Γαλλικά. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής: α Να μαθαίνει μία τουλάχιστον από τις δύο αυτές γλώσσες. β Να μαθαίνει Γερμανικά. γ Να μαθαίνει Γαλλικά. δ Να μαθαίνει Γερμανικά και Γαλλικά. ε Να μαθαίνει μόνο μία από τις δύο αυτές γλώσσες. στ Να μαθαίνει το πολύ μία από τις δύο αυτές γλώσσες. Γ22. Έστω, δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με 2 α Να αποδείξετε ότι: R - R - R Ç R R R È R È R R R Ç. β Αν R =, R = και R Ç =, να βρείτε τις πιθανότητες R -, R - και ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ Δ1. Οι καθηγητές ενός Λυκείου λίγο πριν την έναρξη των πανελλαδικών εξετάσεων, εκτιμούν ότι από τους πολύ καλά προετοιμασμένους μαθητές τους το 82% θα έχει επιτυχία, το 8% θα αποτύχει λόγω Φ1:ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Σελ. 32 από 40