ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ...xi

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (Με * έχουν σημειωθεί ενότητες που μπορούν να παραλειφθούν σε ένα προπτυχιακό επίπεδο σπουδών) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ...xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ... 1 Ενότητα 1 Η ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ 1(α) Βασικοί ορισμοί και συμβολισμός (β) Παρατηρήσεις - Σχόλια - Παραδείγματα... 2 Ενότητα 2 ΟΙ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΙΑΣΤΑΣΗΣ 2(α) Διανυσματικοί Χώροι (Linear Spaces) (β) Γραμμική Ανεξαρτησία Διανυσμάτων και Βάσεις Διανυσματικών Χώρων... 7 Ενότητα 3 ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΩΝ (Α) Εισαγωγικές διευκρινήσεις (Β) Oρθογώνια Διανύσματα και Ορθογώνιοι Πίνακες (ΒI) Καθετότητα εντός Διανυσματικών Χώρων Πεπερασμένης Διάστασης (ΒΙΙ) Η κλάση των Ορθογωνίων και των Ορθομοναδιαίων Πινάκων (Γ) Καθετότητα Υπόχωρων Διανυσματικού Χώρου με Εσωτερικό Γινόμενο (ΓΙ) Γενικά περί καθετότητας εντός (διανυσματικού) χώρου εσωτερικού γινομένου (ΓΙΙ) Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Γραμμικής Άλγεβρας _CONT_A.indd v 20/3/2015 3:05:37 μμ

2 vi ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ενότητα 4 ΝΟΡΜΕΣ (ΣΤΑΘΜΕΣ) ΠΙΝΑΚΩΝ (I) Εισαγωγή (II) Τα κίνητρο κατασκευής νόρμας πίνακα και ένα παράδειγμα (ΙΙΙ) Μερικές συνήθεις νόρμες πινάκων ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΣ GRAM-SCHMIDT Εισαγωγή (Α) H ορθογώνια προβολή ως τελεστής και ως πίνακας (Α1) Μία πρώτη γνωριμία στον χώρο των δύο και τριών διαστάσεων (Α2) H Προβολή ως Τελεστής σε χώρους πεπερασμένης διάστασης (Α3) H Προβολή ως Πίνακας από n -διάστατo σε μονοδιάτατο χώρο (Α4) H Προβολή ως Πίνακας από n -διάστατo σε υποχώρους n διάστατου χώρου (B) O αναδρομικός αλγόριθμος των Gram-Schmidt Εισαγωγή (B1) H κλασσική Διαδικασία Κατασκευής Πεπερασμένης Ορθογώνιας Βάσης (B2) O τροποποιημένος αλγόριθμος των Gram-Schmidt και η ευστάθειά του ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή (Α) Oι Στόχοι της Ανάλυσης Τυχαίου Πίνακα (Α1) Γενικές επισημάνσεις (Α2) Μερικά χρήσιμα είδη παραγοντοποιήσεων (Β) Συνοπτική παρουσίαση των αναλύσεων LU, QR και της Ανάλυσης σε Ιδιάζουσες Τιμές (Β1) Η ανάλυση LU (Β2) Η ανάλυση QR (Β3) Η SVD (Ανάλυση σε Ιδιάζουσες Τιμές) _CONT_A.indd vi 20/3/2015 3:05:37 μμ

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vii ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV ΤΡΙΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Εισαγωγικές Επισημάνσεις Κεφαλαίου ΙV Ενότητα 1 ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗΣ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ (A1) Εισαγωγή (A2) Γενικές Επισημάνσεις για τους ΑΛΕΙ (Α3) Παραδείγματα ΑΛΕΙ Ενότητα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ (Α) Εισαγωγικές έννοιες (B) Η Φύση της Λειτουργίας των ΕΑ (Γ) Ένα Θεωρητικού Παράδειγμα χρήσης ΕΑ Ενότητα 3 O YΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ SVD (Α) Εισαγωγικές επισημάνσεις (Β) Η Διαδικασία Κατασκευής μιας SVD (Β1) H πλήρης κατασκευή της SVD (Β2) H «οικονομική» κατασκευή της SVD (Γ) Οι διάφορες εφαρμογές της SVD (Δ)* Ιστορικά σχόλια και παρατηρήσεις για την SVD Ενότητα 4* Η ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ CHOLESKY Εισαγωγή (Α) Η κατασκευή της ανάλυσης Cholesky (B) Εφαρμογές Ενότητα 5* Η ΑΠΛΗ ΚΑΙ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ SCHUR Εισαγωγή (Α) Το Θεώρημα ύπαρξης και κατασκευής της απλής ανάλυσης Schur (B) Παραδείγματα και περιοχές εφαρμογής (Γ) Η Γενικευμένη Ανάλυση του Schur _CONT_A.indd vii

4 viii ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή Ενότητα 1 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ ΤΩΝ GAUSS-JORDAN (Ι) Βασικές έννοιες για τετραγωνικά (m=n) και για ιδιόμορφα συστήματα (m n) (ΙΙ) Προετοιμασία επίλυσης ενός mxn συστήματος (ΙΙΙ) Η μέθοδος επίλυσης του συστήματος Σ μέσω της μορφής (Σ)' (IV) To υπολογιστικό κόστος της επίλυσης του Σ με χρήση της μεθόδου των Gauss-Jordan Ενότητα 2 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Εισαγωγή (1) Ανάλυση LU (2) Ανάλυση LDU* (3) Ανάλυση QR (4) Ανάλυση SVD (5) Συστήματα και παραγοντοποίηση. Γενικές παρατηρήσεις (6) Συγκριτικός Πίνακα Μεθόδων Επίλυσης των Γραμμικών Συστημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI ΡΥΘΜΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑΣ Εισαγωγή (Α) Βασική θεωρία για την ρύθμιση και την ευστάθεια των αλγόριθμων της ΑΓΑ (Β) Παραδείγματα χρήσης της θεωρίας του (Α) _CONT_A.indd viii

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ix ΚΕΦΑΛΑΙΟ VII EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Εισαγωγή Ενότητα 1* Η ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ARNOLD (Α) Η επαναληπτική μέθοδος των δυνάμεων πίνακα (Β) Από τον αλγόριθμο του Κrylov (1931) στον αλγόριθμο του Arnold (1951) Ενότητα 2* H ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ LANCZOS Εισαγωγή (Α) Βασικές έννοιες για την προετοιμασία του αλγόριθμου του Lanczos (Β) Ο κλασσικός αλγόριθμος του Lanczos (1950) Ενότητα 3 Η ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ GAUSS -SEIDE (Α) Εισαγωγή (Β) Η ιδέα της τριπλής διάσπασης του Α Ενότητα 4* Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ Ι(Σ)ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑΣ (A) Εισαγωγικές επισημάνσεις (Β) Η BLM ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ I ΠΕΡΙ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Η Ορίζουσα ενός Πίνακα και οι Ιδιότητές της (I) Ορισμός Ελάσσονος Πίνακα (II) Kαταληκτικός Oρισμός της Ορίζουσας) (III) Οι σημαντικές) πέντε ιδιότητες των οριζουσών (ΙV) H Ορίζουσα του Αντιστρόφου πίνακα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΜΕΘΟ ΟΙ ΤΗΣ ΑΓΑ ΚΑΙ MATLAB (A) Τo νόημα του Παραρτήματος (Β) Τι είναι το LAPACK (Linear Algebra Package) _CONT_A.indd ix

6 x ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Γ) Matlab και LAPACK (Δ) Θεματικές ενότητες για εργαστηριακές ασκήσεις με Matlab Διάφορα θεμελιώδη προβλήματα της ΓΑ Ι * Διάφορα μεσαίας δυσκολίας προβλήματα ** Πιο προχωρημένα προβλήματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ (ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ι (Ενότητες 3 και 4) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΙΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΙV ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ V (Μέθοδοι Επίλυσης με Παραγοντοποίηση) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ VI (Κατάσταση μιας μοντελοποίησης και Ευστάθεια αλγορίθμων) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ VII (Επαναληπτικές Μέθοδοι Υπολογισμού) ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΑΓΓΛΙΚΩΝ ΟΡΩΝ _CONT_A.indd x