a b b < a > < b > < a >.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "a b b < a > < b > < a >."

Transcript

1 Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε ότι στο μάθημα, από τώρα και στο εξής, όταν λέμε «δακτύλιος» εννοούμε «αντιμεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο». Υποδακτύλιοι, παραδείγματα. Η «διαμέριση» ενός δακτυλίου σε τεσσάρων ειδών στοιχεία, πρώτον, το 0, δεύτερον, τις μονάδες, τρίτον, τους διαιρέτες του μηδενός (ΔΜ), και τέταρτον, τα υπόλοιπα στοιχεία. Διάλεξη 2 Ο νόμος της διαγραφής (ΝΔ), ακέραιες περιοχές (ΑΠ), σώματα, ιδιότητες και παραδείγματα. Ομομορφισμοί προσθετικών ομάδων, ομομορφισμοί δακτυλίων. Ενότητα 2. Ιδεώδη: Θεωρήσαμε τα υποσύνολα I ενός δακτυλίου. Είδαμε παραδείγματα των εξής ιδιοτήτων ενός τέτοιου I: Το I ίσως είναι: «κλειστο ως προς το 0», «κλειστο ως προς το», «κλειστο ως προς το +», «κλειστο ως προς το», «κλειστο ως προς πολλαπλάσια». Τα ιδεώδη του δακτυλίου είναι τα I που έχουν όλες αυτές τις ιδιότητες. Διάλεξη 3 Ο πυρήνας ker(f) ενός ομομορφισμού δακτυλίων f είναι ιδεώδες. Άλλες στοιχειώδεις ιδιότητες. Ενότητα 3. Κύρια Ιδεώδη: Αν a R, συμβολίζουμε με < a > (και με R a) το σύνολο των πολλαπλασίων του a στο R. Είδαμε ότι είναι ιδεώδες (του R), ότι περιέχει το a, και ότι είναι έλάχιστο ως προς αυτές τις δυό ιδιότητες. Είδαμε ιδιότητες σχετικές με την ειδική περίπτωση που το a είναι μονάδα. Διάλεξη 4 Σώματα και ιδεώδη. Περιοχές Κυρίων Ιδεωδών (ΠΚΙ). Επανάληψη των «προσθετικών δυνάμεων», του Z a, σύγκριση με το R a, το Z είναι ΠΚΙ. Επανάληψη: Ο δακτύλιος R[x] των πολυωνύμων με συντελεστές στο R, βαθμός, κορυφαίος συντελεστής, R ΑΠ R[x] ΑΠ. R σώμα R[x] ΠΚΙ. Διάλεξη 5 Ενότητα 4. Ομάδες-Πηλίκο: Επανάληψη: Τα σύμπλοκα της υποομάδας H στην G και το σύνολο G/H που σχηματίζουν. Η ειδική περίπτωση G = S 3, H = {e, a} και γιατί τότε η μόνη «προφανής» πράξη συμπλόκων δεν είναι καλώς ορισμένη. Ομως, αν ξεκινήσω με προσθετική ομάδα, είδαμε ότι τέτοια (αντι)παραδείγματα δεν υπάρχουν. Με περισσότερες λεπτομέρειες: Κρατήσαμε σταθερή μια προσθετική ομάδα R και μια υποομάδα I της R. Συμβολίσαμε με a το σύμπλοκο a + I. Αποδείξαμε ότι η «προφανής» πράξη συμπλόκων τώρα είναι καλώς ορισμένη (η «προφανής» πράξη είναι η εξής: το a + b ορίζεται ως a + b). Παρατηρήσαμε ότι κατασκευάσαμε μια νέα προσθετική ομάδα, την R/I. (Για συντομία, συμβολίζω την R/I με R. Τα στοιχεία της R είναι όλα τα a με a R.) Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχει μια «προφανής» συνάρτηση φ : R R: Είναι η συνάρτηση με τύπο φ(a) = a. Παρατηρήσαμε ότι η φ είναι και επί και ομομορφισμός ομάδων. Η συνήθης ορολογία είναι η εξής: Η ομάδα R/I λέγεται ομάδα-πηλίκο, και η φ λέγεται απεικόνιση-πηλίκο. Το R/I διαβάζεται συνήθως «R mod I» ή «R modulo I». Διάλεξη 6 Ενότητα 5. Δακτύλιοι-Πηλίκο: Είδαμε πως αν το R δεν είναι απλώς προσθετική ομάδα αλλά δακτύλιος, και αν το I δεν είναι απλώς υποομάδα αλλά ιδεώδες, τότε και το R/I δεν είναι απλώς προσθετική ομάδα αλλά δακτύλιος. Λέγεται δακτύλιος-πηλίκο, λέγεται πάλι «R modulo I», και η φ είναι τώρα ομομορφισμός δακτυλίων. Ενότητα 6. Ιδιότητες των κλάσεων: Το στοιχείο a = a + I του R/I το ονομάσαμε «κλάση του a». (Αυτό το στοιχείο έχει ήδη ένα όνομα, το λέμε και «σύμπλοκο του a».) Είδαμε τις εξής τέσσερις «σημαντικές ιδιότητες των κλάσεων»: Πρώτον, κάθε στοιχείο του R/I γράφεται ως a με a R. Δεύτερον, a = 0 a I. Τρίτον, a + b = a + b. Και τέταρτον, a b = a b. Λύσαμε ασκήσεις που είναι εφαρμογές του εξής κανόνα: Για να δουλεύουμε αποτελεσματικά με το R/I, δεν χρειάζεται να θυμόμαστε ότι τα στοιχεία του είναι σύνολα, ούτε ότι είναι σύμπλοκα. Αρκεί να θυμόμαστε μόνο

2 τις παραπάνω τέσσερις ιδιότητες. Διάλεξη 7 Ενότητα 7. Το Θεώρημα του Ισομορφισμού: Επανάληψη: Ισομορφισμοί ομάδων και δακτυλίων. Ισόμορφες ομάδες και δακτύλιοι. Το Θεώρημα του Ισομορφισμού, που, εν συντομία, εγγυάται ότι, αν f : R R είναι επί ομομορφισμός, τότε τα R/I και R είναι ισόμορφα, όπου I =ker(f). Διάλεξη 8 Παραδείγματα σχετικά με το Θεώρημα του Ισομορφισμού. Ενότητα 8. Πρώτα Ιδεώδη (ΠΙ) και Μεγιστοτικά Ιδεώδη (ΜΙ): Τι εννοούμε λέγοντας «το I είναι ΠΙ του R» και πως αυτό σχετίζεται με το R/I. Τι εννοούμε λέγοντας «το I είναι ΜΙ του R» και πως αυτό σχετίζεται με το R/I. Διάλεξη 9 Ενότητα 9. Διαιρετότητα σε Αφηρημένους Δακτυλίους: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Λέω «αφηρημένους δακτυλίους» για να μας θυμίζει ότι εδώ η θεωρία είναι λίγο πιο περίπλοκη από την «κλασσική» θεωρία διαιρετότητας (που είναι η ειδική περίπτωση R = Z). Προσοχή λοιπόν να μην κάνετε «τα λάθη του αδιάβαστου» (όπως να πείτε «ένα πρώτο στοιχείο διαιρεί ένα άλλο πρώτο άρα ισούνται»). Μονάδες και διαιρετότητα. Η σχέση «τα a και b είναι συνεταιρικά» (συμβ: a b) (θα λέμε και «τα a και b είναι ισοδύναμα»). Είναι σχέση ισοδυναμίας. Αν a b τότε τα a και b έχουν ίδιους διαιρέτες, και αντιστρόφως αν R είναι ΑΠ. Αν a b τότε a b και b a, και αντιστρόφως αν R είναι ΑΠ. a b b < a > < b > < a >. Αν a b τότε < a >=< b >, και αντιστρόφως αν R είναι ΑΠ. Ενα παράδειγμα που δείχνει ότι ο περιορισμός «R είναι ΑΠ» είναι απαραίτητος. Διάλεξη 10 Ενότητα 10. Ανάγωγα στοιχεία: Ορισμός και παραδείγματα. Αν a και b ανάγωγα, τότε a b a b. Αν R ΠΚΙ, τότε a ανάγωγο < a > μεγιστοτικό. Ενότητα 11. Πρώτα στοιχεία: Ορισμός και παραδείγματα. Αν p 0 τότε p πρώτο στοιχείο < p > πρώτο ιδεώδες. Αν a b τότε a ανάγωγο b ανάγωγο και a πρώτο b πρώτο. Αν R είναι ΑΠ, τότε p πρώτο p ανάγωγο. Ενα παράδειγμα που δείχνει ότι ο περιορισμός «R είναι ΑΠ» είναι απαραίτητος. Ενότητα 12. Δακτύλιοι της Noether (ΔΝ): Αύξουσες και γνησίως αύξουσες ακολουθίες συνόλων. Τελικά σταθερές ακολουθίες συνόλων. Η Συνθήκη Αύξουσας Αλυσίδας (ΣΑΑ) στον R. Ορισμός του τι σημαίνει «ο R είναι ΔΝ» (σημαίνει: ο R ικανοποιεί την ΣΑΑ). Διάλεξη 11 Αν υπάρχει άπειρη ακολουθία a 1, a 2,... στοιχείων του R τέτοια ώστε κάθε a n+1 είναι «γνήσιος διαιρέτης» του a n (δηλαδή a n+1 a n αλλά a n a n+1 ) τότε το R δεν είναι ΔΝ. Παράδειγμα: Ο δακτύλιος όλων των συναρτήσεων a της μορφής a : R R δεν είναι ΔΝ. Αν R είναι ΠΚΙ τότε R είναι ΔΝ. Ενότητα 13. Περιοχές Μονοσήμαντης Ανάλυσης (ΠΜΑ): Τι είναι μια Παραγοντοποίηση σε Ανάγωγους Παράγοντες (ΠΑΠ) στον R. Τι εννοούμε όταν λέμε «δύο ΠΑΠ του ίδιου στοιχείου είναι ισοδύναμες». Τι εννοούμε όταν λέμε «το R είναι ΠΜΑ» (εννοούμε: ύπαρξη ΠΑΠ για κάθε «ενδιαφέρον» στοιχείο, και, μοναδικότητα έως ισοδυναμίας αυτών των ΠΑΠ). Παραδείγματα: το R = Z (βλ. το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής (ΘΘΑ)) και το R = F [x] με F σώμα (βλ. παραγοντοποίηση σε ανάγωγα πολυώνυμα).

3 Ξεκινήσαμε την απόδειξη «ΠΚΙ ΠΜΑ». Διάλεξη 12 Ολοκληρώσαμε την παραπάνω απόδειξη. Αν το R είναι ΠΜΑ, τότε στο R τα πρώτα και τα ανάγωγα στοιχεία ταυτίζονται. Ενα παράδειγμα που δείχνει ότι ο περιορισμός «το R είναι ΠΜΑ» είναι απαραίτητος. Διάλεξη 13 Ενότητα 14. Το Σώμα Κλασμάτων (ΣΚ) μιας ΑΠ: Θεωρήσαμε μόνο τα R που είναι ΑΠ. Ορίσαμε τι είναι κλάσμα με αριθμητή και παρονομαστή στο R, ορίσαμε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων, και αποδείξαμε ότι το σύνολο F όλων αυτών των κλασμάτων είναι σώμα που περιέχει (έως ισομορφισμού) το R. Παραδείγματα: Οι ρητοί και οι ρητές συναρτήσεις. Ενότητα 15. ΜΚΔ σε ΑΠ: Ξεκινάμε, προς το παρόν, με R που είναι ΑΠ. Ορίζουμε τι σημαίνει «το d είναι ΜΚΔ των a, b». Αποδεικνύουμε την μοναδικότητα (έως ισοδυναμίας) του d. Από τώρα και πέρα το R είναι ΠΜΑ. Αποδεικνύουμε την ύπαρξη του ΜΚΔ. Γενικέυουμε για ΜΚΔ των a 1,..., a n. Ορίζουμε και μελετούμε τα λεγόμενα «σχετικά πρώτα στοιχεία» του R. Ενότητα 16. Πολυώνυμα και το Λήμμα του Gauss (ΛG): Σε αυτή την ενότητα, το R είναι μια ΠΜΑ με σώμα κλασμάτων το R, S = R[x], και S = R [x]. Πρωταρχικά πολυώνυμα, ανάγωγο στο S και μη-σταθερό πρωταρχικό στο S, πρωταρχικό στο S και ανάγωγο στο S ανάγωγο στο S. Διάλεξη 14 Υπαρξη και μοναδικότητα ΠΣΠ (Παραγοντοποίησης Σταθερό επί Πρωταρχικό). Το Λήμμα του Gauss. Σχέση ανάγωγων στο S και στο S. Αν το R είναι ΠΜΑ τότε και το R[x] είναι ΠΜΑ. Το Z[x] είναι ΠΜΑ. Διάλεξη 15 Παράδειγμα που δείχνει: Πρώτον, υπάρχουν ιδεώδη που δεν είναι κύρια. Δεύτερον, υπάρχουν ΠΜΑ που δεν είναι ΠΚΙ. Ενότητα 17. Πολυώνυμα πολλών μεταβλητών: Αν S = R[x] τότε S[y] = R[x, y]. Αν το R είναι ΠΜΑ τότε και το R[x 1, x 2,..., x n ] είναι ΠΜΑ. Παράδειγμα που δείχνει ότι το S = R[x 1, x 2,..., x n ] δεν είναι ΠΚΙ αν n 2, ακόμα και αν το R είναι σώμα (παρόλο που, αν το R είναι σώμα, τότε το S είναι ΠΜΑ, και, αν n = 1, είναι ΠΚΙ). Ενότητα 18. Ευκλείδειες Περιοχές (ΕΠ): Ευκλείδειες Εκτιμήσεις, Ευκλείδειες Περιοχές, τα «κλασσικά» παραδείγματα, ΕΠ ΠΚΙ. Διάλεξη 16 Θεωρήσαμε μια Ευκλείδεια Εκτίμηση v για το R, και αποδείξαμε ότι το v(1) είναι η ελάχιστη τιμή της v και ότι το σύνολο που η v παίρνει αυτή την τιμή είναι το R. Ενότητα 19. ΜΚΔ σε ΠΚΙ: Εστω R μια ΠΚΙ και a, b R. Ορίσαμε το σύνολο < a, b > των R-Γραμμικών Συνδυασμών των a και b. Αποδείξαμε τα εξής: Το < a, b > ισούται με < a > + < b >, ειδικότερα είναι ιδεώδες, ειδικότερα γράφεται ως < d >. Αυτο το d είναι ΜΚΔ των a, b. Ενα τυχαίο στοιχείο του R είναι ΜΚΔ των a, b είναι και ΚΔ των a, b και ΓΣ των a, b. Ενότητα 20. ΜΚΔ σε ΕΠ: Εστω R μια ΕΠ και a, b R. Αποδείξαμε ότι ο Ευκλείδειος Αλγόριθμος υπολογίζει έναν ΜΚΔ των a, b.

4 Διάλεξη 17 Αποδείξαμε ότι ο Ευκλείδειος Αλγόριθμος όχι μόνο υπολογίζει έναν ΜΚΔ των a, b αλλά και τον γράφει και ως ΓΣ των a, b. Ενότητα 21. Πολλαπλασιαστικές Στάθμες (ΠΣ): Ξεκινήσαμε με μια ΑΠ R. Είπαμε τι εννοούμε όταν λέμε «η συνάρτηση N : R Z είναι ΠΣ για το R». Αποδείξαμε ορισμένες ιδιότητες που έχει κάθε ΠΣ. Συνεχίσαμε με πιο συγκεκριμμένα παραδείγματα, όπου R = Z[ d] και N(z) = z 2, όπου το z είναι το μέτρο του μιγαδικού αριθμού z. Ακόμα πιο συγκεκριμμένο παράδειγμα: Για d = 5 το R δεν είναι ΠΜΑ. Διάλεξη 18 Ενότητα 22. Οι Ακέραιοι του Gauss: Ο δακτύλιος Z[i] των ακεραίων του Gauss, που είναι η ειδική περίπτωση της προηγούμενης διάλεξης με d = 1. Απόδειξη ότι είναι Ευκλείδεια Περιοχή, γωμετρική σημασία της Ευκλείδειας Διαίρεσης, πως κάνουμε στην πράξη αυτή τη διαίρεση, παράδειγμα του Ευκλειδείου Αλγορίθμου. Διάλεξη 19 Ενότητα 23. Πρώτοι ως αθροίσματα τετραγώνων: Ενα κλασσικό θεώρημα της Θεωρίας Αριθμών, γνωστό (χωρίς απόδειξη) τουλάχιστον από την εποχή του Fermat, είναι το εξής: Ενας πρώτος αριθμός p γράφεται ως άθροισμα δυο ακεραίων τετραγώνων αν και μόνο αν p mod 4 3. Αποδείξεις έδωσαν (μεταξύ άλλων) οι Euler, Gauss, και Dedekind. Είδαμε μια απόδειξη του Dedekind, που στηρίζεται στους ακεραίους του Gauss. Αξίζει να σημειώσουμε το εξής: Το θεώρημα είναι «όσο πιο κλασσικό γίνεται» (θα το θεωρούσαν ενδιαφέρον ακόμη και οι αρχαίοι Ελληνες μαθηματικοί, ειδικότερα δεν έχει, εκ πρώτης όψεως, καμία σχέση με δακτυλίους, ιδεώδη, πηλίκα, ή οποιαδήποτε «αφηρημένη έννοια» μελετήσαμε στο μάθημα), αλλά η απόδειξη χρησιμοποιεί πρακτικά όλη την ύλη που έχουμε καλύψει ως τώρα. Διάλεξη 20 Ενότητα 24. Πρότυπα: Τι σημαίνει ο όρος «δράση ενός δακτυλίου R σε μια προσθετική ομάδα». R-πρότυπα, η σχέση με διανυσματικούς χώρους, στοιχειώδεις ιδιότητες, η ειδική περίπτωση R = Z, άλλα παραδείγματα. Ενότητα 25. Υποπρότυπα: Ορισμός, η σχέση με διανυσματικούς υπόχωρους, η σχέση με «κλειστότητα ως προς τα 0,, +,», αν R = Z τότε «υποπρότυπο» σημαίνει «υποομάδα», παραδείγματα, αθροίσματα υποπροτύπων, τομές υποπροτύπων. Διάλεξη 21 Ενότητα 26. Γραμμικότητα: Ορισμός, στοιχειώδεις ιδιότητες, η σχέση με τη γραμμική άλγεβρα, η ειδική περίπτωση R = Z. Εικόνες και αντίστροφες εικόνες υποπροτύπων, πυρήνας και εικόνα μιας R-γραμμικής συνάρτησης. Πυρήνας και ένα-προς-ένα συναρτήσεις. Ισομορφισμοί, ισόμορφα πρότυπα. Πρότυπα-πηλίκα, το Θεώρημα του Ισομορφισμού για πρότυπα. Ενότητα 27. Διαφορές μεταξύ προτύπων και διανυσματικών χώρων: Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ), διανύσματα που παράγουν, Γραμμικώς Ανεξάρτητα (ΓΑ) διανύσματα. Βάση, διάσταση, το Θεώρημα Αναλλοίωτης Διάστασης (χωρίς απόδειξη: ισχύει για μας, που ασχολούμαστε μόνο με αντιμεταθετικά R). Το Θεώρημα Επέκτασης σε Βάση (ΘΕΒ) της γραμμικής άλγεβρας, και γιατί δεν ισχύει πια. Επίσης, με το ίδιο αντιπαράδειγμα, ούτε το θεώρημα «αν έχω το σωστό πλήθος ΓΑ διανυσμάτων τότε έχω βάση» ισχύει πια. Διάλεξη 22 Το Θεώρημα Περιορισμού σε Βάση (ΘΠΒ) της γραμμικής άλγεβρας, και γιατί δεν ισχύει πια. Επίσης, με το ίδιο αντιπαράδειγμα, ούτε το θεώρημα «κάθε (πεπερασμένα παραγόμενος) διανυσματικός χώρος έχει βάση» ισχύει πια. Ενότητα 28. Το Θεώρημα Κατάταξης Πεπερασμένα Παραγόμενων Διανυσματικών Χώρων (ΘΚΠΠΔΧ): Θεωρούμε ένα δακτύλιο R, ένα πεπερασμένα παραγόμενο R-πρότυπο M, και μια πεπερασμένη ακολουθία (με n όρους) από διανύσματα του M, έστω x 1, x 2,..., x n.

5 Ορίζουμε την ˆx : R n M ως εξής: ˆx(α 1,..., α n ) := α 1 x α n x n. Παρατηρούμε: Οτι η ˆx είναι R-γραμμική. Οτι τα x 1,..., x n παράγουν το M ανν η ˆx είναι επί. Οτι τα x 1,..., x n είναι ΓΑ ανν η ˆx είναι ένα-προς-ένα. Άρα, ότι τα x 1,..., x n είναι βάση του M ανν η ˆx είναι ισομορφισμός (στην οποία περίπτωση η αντίστροφη της ˆx είναι οι συντεταγμένες ως προς αυτή τη βάση). Ορολογία: Λέμε «το M είναι ελεύθερο» και εννοούμε ότι είναι ισόμορφο με κάποιο R n. Παρατηρούμε: Το M είναι ελεύθερο ανν έχει κάποια βάση. Το ΘΚΠΠΔΧ: Εστω R σώμα. Κάθε πεπερασμένα παραγόμενος R-διανυσματικός χώρος είναι ισόμορφος με ένα μοναδικό R n (n = 0, 1, 2,...). Ενότητα 29. Το ΘΚΠ 5 ΚΙ: Εξηγώ τη συντομογραφία «ΘΚΠ 5 ΚΙ»: Σημαίνει «ΘΚΠΠΠΠΠΚΙ», που, με τη σειρά του, σημαίνει: το Θεώρημα Κατάταξης Πεπερασμένα Παραγόμενων Προτύπων Πάνω σε Περιοχές Κυρίων Ιδεωδών. Από τώρα και πέρα θα αναφέρομαι σε αυτό το Θεώρημα ως το «Θεώρημα Κατάταξης» (ή: το ΘΚ). Συμβολισμός: το R/a σημαίνει R /< a >. Πρώτη μορφή του ΘΚ: Εστω R μια ΠΚΙ. Τότε: 1. Κάθε πεπερασμένα παραγόμενο R-πρότυπο M είναι ισόμορφο με κάποιο R-πρότυπο της μορφής R/p m1 1 R/p m2 2 R/p mn n όπου τα p j είναι ή πρώτα ή μηδέν (ισοδύναμα: τα ιδεώδη < p j > είναι πρώτα). 2. Η ακολουθία ιδεωδών < p 1 >,..., < p n > είναι μοναδικά καθορισμένα από το M (αγνοώντας αλλαγές στη σειρά). 3. Αντιστρόφως, αν M 1 και M 2 καθορίζουν ίδιες (αγνοώντας τη σειρά) ακολουθίες ιδεωδών, τότε M 1 = M2. Σχόλιο πάνω στη δυσκολία του ΘΚ: Η «ουσία» είναι το 1., το 2. είναι εύκολο, το 3. πολύ εύκολο. Διαλέξεις 23 και 24 Η συνήθης διατύπωση του ΘΚ στη μορφή ελεύθερης βαθμίδας r και Στοιχειωδών Διαιρετών (ΣΔ) p m11 1, p m12 1,..., p m21 2, p m22 2,... Ασκήσεις πάνω στα πρότυπα, στην απόδειξη του ΘΚ, και, κυρίως, στις εφαρμογές του ΘΚ. Διάλεξη 25 Ενότητα 30. Αναλλοίωτοι Παράγοντες: Η διατύπωση του ΘΚ στη μορφή ελεύθερης βαθμίδας r και Αναλλοιώτων Παραγόντων (ΑΠ). Υπολογισμός των ΣΔ από τους ΑΠ, υπολογισμός των ΑΠ από τους ΣΔ. Ενότητα 31. Το Εσωτερικό Ευθύ Άθροισμα: Ορισμός και παραδείγματα απο (ευθέα και μη-ευθέα) αθροίσματα. Συμβολισμός και ορολογία: M N σημαίνει M N. Το M N το λέμε και «το (εξωτερικό) ευθύ άθροισμα» των M και N. Το Θεώρημα Διάσπασης: Τα εξωτερικά και εσωτερικά ευθέα αθροίσματα είναι ισόμορφα μέσω του ισομορφισμού με τύπο φ(a, b) = a + b. Διάλεξη 26 Ενότητα 32. Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων για ΠΚΙ (ΚΘ): Αποδείξαμε το ΚΘ που λέει, εν συντομία, ότι R/ab = R/a R/b, υπό την προϋπόθεση ότι a και b είναι σχετικά πρώτα στην ΠΚΙ R. Ενότητα 33. Μια Εισαγωγή στα Οχι-Απαραίτητα-Πεπερασμένα-Παραγόμενα Πρότυπα: Σε αυτή την ενότητα το R είναι ΑΠ. Στοιχεία στρέψης, ελεύθερα στρέψης πρότυπα. Οχι απαραίτητα πεπερασμένα σύνολα που παράγουν, είναι ΓΑ, είναι βάση. Οχι απαραίτητα πεπερασμένα παραγόμενα πρότυπα που είναι ελεύθερα. Τα «κλασσικά» παραδείγματα (πολυώνυμα, συναρτήσεις με finite support). Ελεύθερο ελεύθερο στρέψης. Το επόμενο θεώρημα παίζει αξιόλογο ρόλο στην απόδειξη του ΘΚ, και το αναφέρουμε χωρίς απόδειξη: Ελεύθερο

6 στρέψης ελεύθερο, υπό την προϋπόθεση ότι το R είναι ΠΚΙ και το πρότυπο είναι πεπερασμένα παραγόμενο. Παράδειγμα που δείχνει τον σημαντικό ρόλο της προϋπόθεσης ότι το R είναι ΠΚΙ (είναι, ουσιαστικά, όχι μόνο αρκετή αλλά και αναγκαία για να ισχύει το προηγούμενο θεώρημα). Παράδειγμα που δείχνει τον σημαντικό ρόλο της προϋπόθεσης ότι το πρότυπο είναι πεπερασμένα παραγόμενο (το Q είναι ελεύθερο στρέψης Z-πρότυπο που δεν είναι ελεύθερο).

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}.

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 4 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 26/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 4 26/2/2014 1 / 12 Υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου. Πότε είναι ένα υποσύνολο X ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 2 II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 4 1 Μάθημα 1 4 1.1 Πορεία μελέτης............................ 4 1.2 Διάφορα σχόλια............................ 5 1.3 Πορεία μελέτης............................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα

Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 3 1.1 Μάθημα 1..................................... 3 1.1.1 Στοιχεία αλγεβρικής θεωρίας....................... 4 1.2 Μάθημα 2.....................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2015-2016 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2015/ringtheory2015.html 4 εκεµβρίου 2015 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Ι(Μ) Λύσεις Ασκήσεων-Φυλλαδίο 9

Άλγεβρα Ι(Μ) Λύσεις Ασκήσεων-Φυλλαδίο 9 140/140 Άλγεβρα Ι(Μ) Λύσεις Ασκήσεων-Φυλλαδίο 9 Τσάνγκο Ιωσήφ 24 Απριλίου 2017 1. Εχω ότι R δακτύλιος, S υποδακτύλιος και I ιδεώδες του R. (Σχόλιο:Το πλήθος των απαντήσεων μου είναι ίδιο με αυτό των ερωτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία

Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία Κεφάλαιο 9 Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία 9.1 Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε κάποια στοιχεία από Θεωρία Αριθμών και ελάχιστα από Θεωρία Ομάδων. Οι γνώσεις αυτές είναι οι ελάχιστες απαραίτητες για την κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Ανθή Ζερβού Διδάσκων: Ιωάννης Αντωνιάδης 3/02/2015 1 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ορισμός. Εστω Κ σώμα. Χαρακτηριστική του Κ, συμβολίζεται ch(k), είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός n

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2 Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 11 Νοεμβρίου 2014 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ

4.4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ 158 44 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Έστω α, β δύο ακέραιοι Ένας ακέραιος δ λέγεται κοινός διαιρέτης των α και β, όταν είναι διαιρέτης και του α και του

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ

Κρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ Κρυπτογραφία Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα [1, n] που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα