Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 5 : Ορίζουσες. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
|
|
- Ισοκράτης Ελευθερίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 5 : Ορίζουσες Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. 1 / 33
3 Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Πατρών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. 2 / 33
4 Σκοπός Ενότητας Υπολογισµός Ορίζουσας και Ιχνους Μητρώου Ιδιότητες Οριζουσών Μεταθέσεις και Αλγεβρικά Συµπληρώµατα Κανόνας Cramer, Αντίστροφοι και Ογκοι 3 / 33
5 Περιεχόµενα 1 Υπενθύµιση 2 Εισαγωγή Ιχνος Ορίζουσα Τύποι υπολογισµού ορίζουσας Ορίζουσες µητρώων µε ειδική δοµή Κανόνας Cramer Από τις ορίζουσες στις permanents 4 / 33
6 Υπενθύµιση Συστάσεις - Υπενθύµιση 1 Θεώρηµα προβολής 2 Γραµµικό πρόβληµα ελαχίστων τετραγώνων. Γεωµετρική ϑεώρηση και αλγεβρική επίλυση. Κανονικές εξισώσεις. 3 Εφαρµογές 4 Προσέγγιση ελαχίστων τετραγώνων σε χώρους συναρτήσεων. 5 / 33
7 Υπενθύµιση Υπενθύµιση και πρόγραµµα διάλεξης 1 Παραδείγµατα προσεγγίσεων ελαχίστων τετραγώνων. 2 Ελάχιστα τετράγωνα µέσω διαφορικού λογισµού. 3 Ελάχιστα τετράγωνα σε διανυσµατικούς χώρους συναρτήσεων. Σήµερα ϑα συζητήσουµε: 1 Ορισµένες ενδιαφέρουσες ϐαθµωτές συναρτήσεις µητρώων, 2 όπως το ίχνος 3 µε έµφαση στην ορίζουσα, 4 αξιωµατικό ορισµό της, 5 τρόπους υπολογισµούς της, 6 ιδιότητες, 7 εεπίλυση συστήµατος και αντιστροφή µητρώου µέσω οριζουσών. 6 / 33
8 Υπενθύµιση Υπό συζήτηση ενότητες 7 / 33
9 Εισαγωγή Ειδικές τιµές µητρώων Παρόλο που ένα µητρώο A R m n περιέχει m n αριθµούς, σε αυτό αντιστοιχούν επίσης ορισµένες ειδικές τιµές συνδεδεµένες µε αυτό. Αυτές είναι ϐαθµωτές συναρτήσεις µητρώου (f : R n n R), και αποκαλύπτουν σηµαντικές πληροφορίες για το µητρώο. είδος συµβολισµός παρατηρήσεις διαστάσεις m, n αριθµ. γραµµών και αριθµ. στηλών αραιότητα nnz(a) πλήθος µη µηδενικών τάξη rank(a) µέγιστος αριθµ. γ.α. γραµµών (ή στηλών) Ax νόρµα A µετρική «ϐάρους», π.χ. sup x 0 x ίχνος trace(a) (m = n)??? ορίζουσα det(a) (m = n)??? ιδιοτιµές??? (m = n)??? ιδιάζουσες τιµές?????? 8 / 33
10 Ιχνος Ιχνος τετραγωνικού µητρώου Χαρακτηριστική τιµή για κάθε τετραγωνικό µητρώο ίση µε το άθροισµα των διαγώνιων στοιχείων του. Βαθµωτή συνάρτηση τέτοια ώστε trace : R n n R trace(a) := α 1,1 + α 2,2 + + α n,n Ιδιότητες 1 trace(γa + δb) = γtrace(a) + δtrace(b) 2 trace(ab) = trace(ba) Σηµαντικό επακόλουθο: trace(q 1 AQ) = trace(a) 9 / 33
11 Ορίζουσα Ορίζουσα τετραγωνικού µητρώου Μοναδικό χαρακτηριστικό µέγεθος (ϐαθµωτός) που υπάρχει για κάθε τετραγωνικό µητρώο. det : R n n R «Συµπυκνώνει» πληροφορίες σχετικά µε το µητρώο. Η πιο γνωστή: Ενα µητρώο A είναι αντιστρέψιµο αν και µόνον αν det(a) 0. Υπολογιστικά ϑέµατα: Ο πιο πρακτικός τρόπος υπολογισµού του για µέτριο ή µεγάλο n είναι ως παραπροϊόν της παραγοντοποίησης LU µε το αντίστοιχο κόστος. Εχει χρήσιµη γεωµετρική ερµηνεία ως «όγκος» στο n-διάστατο χώρο. 10 / 33
12 Ορίζουσα Ιστορικά Η µελέτη των οριζουσών προηγήθηκε της Γραµµικής Αλγεβρας: Ο Gauss (1801) χρησιµοποίησε τον όρο εννοώντας την διακρίνουσα πολυωνύµων 4ου ϐαθµού. Ο όρος µε τη σηµερινή έννοια εισήχθη από τον Cauchy (1812). Ο Sylvester «ϐάπτισε» τις µήτρες για να αναδείξει ότι «γεννούν» ορίζουσες. 11 / 33
13 Ορίζουσα Τύπος ορίζουσας όταν n = 2 n = 2 A = ( α11 α 12 α 21 α 22 ) det(a) = α 11 α 12 α 21 α 22 := α 11α 22 α 21 α 12. Στη συνέχεια ϑα χρησιµοποιήσουµε έναν αξιωµατικό ορισµό της ορίζουσας από τον οποίο ϑα προκύψει αυτός και άλλο τύποι υπολογισµού. Παρατήρηση: Να επαληθεύσετε την παρακάτω παραγοντοποίηση. ( α11 α 12 α 21 α 22 ) = ( 1 0 α 21 α ) ( α11 α 12 0 α 22 α 21 α 1 11 α 12 ) 12 / 33
14 Ορίζουσα Βοηθητικοί ορισµοί Εστω δ.χ. U 1,..., U n και W επί του ιδίου σώµατος F και έστω η απεικόνιση f : U 1 U 2 U n W ότε η απεικόνιση ονοµάζεται πλειογραµµική (ή n-γραµµική) αν είναι γραµµική ως πρός κάθε όρισµα αν τα υπόλοιπα ορίσµατα µείνουν αµετάβλητα, π.χ. αν για i = 1,..., n, και u j U j, η απεικόνιση x f(u 1,..., u i 1, x, u i+1,..., u n ) είναι γραµµική. Εστω µια µετάθεση π = (π 1,..., π n ) των αριθµών 1 ως n. Ονοµάζουµε ϕυσική διάταξη την n-άδα (1, 2,..., n). Τότε πρόσηµο της µετάθεσης ονοµάζεται ο αριθµός +1 αν η π επανέρχεται στη ϕυσική διάταξη σ(π) = 1 µε άρτιο πλήθος εναλλαγών αν η π επανέρχεται στη ϕυσική διάταξη µε περιττό πλήθος εναλλαγών. 13 / 33
15 1 Αναφερόµαστε στις στήλες, αντίστοιχες διατυπώσεις υπάρχουν και ως προς τις γραµµές). 14 / 33 Ορίζουσα Ορίζοντας την ορίζουσα (αξιωµατικά) Η ορίζουσα det(a) ενός τετραγωνικού µητρώου A R n n είναι µία συνάρτηση det : R n n R που έχει τις εξής 3 ιδιότητες για ένα µητρώο 1 A = [a 1,, a n ] R n n : 1 Αν a i = a j για i j τότε det([a 1,..., a n ]) = 0 (εκφυλισµός). 2 det([e 1,..., e n ]) = 1 (κανονικότητα). 3 Η συνάρτηση είναι γραµµική ως προς τις n στήλες: det([a 1,..., a j 1, γa + δb, a j+1,..., a n]) = γdet([a 1,..., a j 1, a, a j+1,..., a n]) + δdet([a 1,..., a j 1, b, a j+1,..., a n]) Συναρτήσεις µε αυτή την ιδιότητα λέγονται πλειογραµµικές.
16 Ορίζουσα Σηµαντικά επακόλουθα Εστω το µητρώο (σε µορφή στηλών) A = [a 1,, a n ] R n n. Αν εναλλάξουµε 2 στήλες ενός µητρώου, η ορίζουσα του νέου µητρώου έχει ίδιο µέτρο αλλά αντίθετο πρόσηµο. Γι αυτό η ορίζουσα χαρακτηρίζεται ως εναλλασσόµενη απεικόνιση (alternating map). 15 / 33
17 Ορίζουσα Σηµαντικά επακόλουθα Εστω το µητρώο (σε µορφή στηλών) A = [a 1,, a n ] R n n. Αν εναλλάξουµε 2 στήλες ενός µητρώου, η ορίζουσα του νέου µητρώου έχει ίδιο µέτρο αλλά αντίθετο πρόσηµο. Γι αυτό η ορίζουσα χαρακτηρίζεται ως εναλλασσόµενη απεικόνιση (alternating map). δείγµα απόδειξης 0 = det([a 1 + a 2, a 1 + a 2]) = det([a 1, a 1]) + det([a 1, a 2]) + det([a 2, a 1]) + det([a 2, a 2]) 0 = det([a 1, a 2]) + det([a 2, a 1]) 15 / 33
18 Ορίζουσα Σηµαντικά επακόλουθα Εστω το µητρώο (σε µορφή στηλών) A = [a 1,, a n ] R n n. Αν εναλλάξουµε 2 στήλες ενός µητρώου, η ορίζουσα του νέου µητρώου έχει ίδιο µέτρο αλλά αντίθετο πρόσηµο. Γι αυτό η ορίζουσα χαρακτηρίζεται ως εναλλασσόµενη απεικόνιση (alternating map). δείγµα απόδειξης 0 = det([a 1 + a 2, a 1 + a 2]) = det([a 1, a 1]) + det([a 1, a 2]) + det([a 2, a 1]) + det([a 2, a 2]) 0 = det([a 1, a 2]) + det([a 2, a 1]) Αν οι στήλες µητρώου είναι γραµµικά εξαρτηµένες, η ορίζουσα είναι / 33
19 Ορίζουσα Σηµαντικά επακόλουθα Εστω το µητρώο (σε µορφή στηλών) A = [a 1,, a n ] R n n. Αν εναλλάξουµε 2 στήλες ενός µητρώου, η ορίζουσα του νέου µητρώου έχει ίδιο µέτρο αλλά αντίθετο πρόσηµο. Γι αυτό η ορίζουσα χαρακτηρίζεται ως εναλλασσόµενη απεικόνιση (alternating map). δείγµα απόδειξης 0 = det([a 1 + a 2, a 1 + a 2]) = det([a 1, a 1]) + det([a 1, a 2]) + det([a 2, a 1]) + det([a 2, a 2]) 0 = det([a 1, a 2]) + det([a 2, a 1]) Αν οι στήλες µητρώου είναι γραµµικά εξαρτηµένες, η ορίζουσα είναι 0. δείγµα απόδειξης det([a 1, a 2, γa 1 + δa 2]) = γdet([a 1, a 2, a 1]) + δdet([a 1, a 2, a 2]) = 0 15 / 33
20 Ορίζουσα Σηµαντικά επακόλουθα Εστω το µητρώο (σε µορφή στηλών) A = [a 1,, a n ] R n n. Αν εναλλάξουµε 2 στήλες ενός µητρώου, η ορίζουσα του νέου µητρώου έχει ίδιο µέτρο αλλά αντίθετο πρόσηµο. Γι αυτό η ορίζουσα χαρακτηρίζεται ως εναλλασσόµενη απεικόνιση (alternating map). δείγµα απόδειξης 0 = det([a 1 + a 2, a 1 + a 2]) = det([a 1, a 1]) + det([a 1, a 2]) + det([a 2, a 1]) + det([a 2, a 2]) 0 = det([a 1, a 2]) + det([a 2, a 1]) Αν οι στήλες µητρώου είναι γραµµικά εξαρτηµένες, η ορίζουσα είναι 0. δείγµα απόδειξης det([a 1, a 2, γa 1 + δa 2]) = γdet([a 1, a 2, a 1]) + δdet([a 1, a 2, a 2]) = 0 Αν προσθέσουµε δύο στήλες η ορίζουσα παραµένει αµετάβλητη. 15 / 33
21 Ορίζουσα Σηµαντικά επακόλουθα Εστω το µητρώο (σε µορφή στηλών) A = [a 1,, a n ] R n n. Αν εναλλάξουµε 2 στήλες ενός µητρώου, η ορίζουσα του νέου µητρώου έχει ίδιο µέτρο αλλά αντίθετο πρόσηµο. Γι αυτό η ορίζουσα χαρακτηρίζεται ως εναλλασσόµενη απεικόνιση (alternating map). δείγµα απόδειξης 0 = det([a 1 + a 2, a 1 + a 2]) = det([a 1, a 1]) + det([a 1, a 2]) + det([a 2, a 1]) + det([a 2, a 2]) 0 = det([a 1, a 2]) + det([a 2, a 1]) Αν οι στήλες µητρώου είναι γραµµικά εξαρτηµένες, η ορίζουσα είναι 0. δείγµα απόδειξης det([a 1, a 2, γa 1 + δa 2]) = γdet([a 1, a 2, a 1]) + δdet([a 1, a 2, a 2]) = 0 Αν προσθέσουµε δύο στήλες η ορίζουσα παραµένει αµετάβλητη. δείγµα απόδειξης det([a 1, a 1 + a 2]) = det([a 1, a 1]) + det([a 1, a 2]) = det([a 1, a 2]) 15 / 33
22 Ορίζουσα Ορίζουσα µητρώου 2 2 (Ποιά είναι επιτέλους;;;) Μπορούµε να την υπολογίσουµε ϐάσει των παραπάνω ιδιοτήτων: det([a 1, a 2]) = det([α 11e 1 + α 21e 2, α 12e 1 + α 22e 2]) = α 11det([e 1, α 12e 1 + α 22e 2]) + α 21det([e 2, α 12e 1 + α 22e 2]) = α 11α 12det([e 1, e 1]) + α 11α 22det([e 1, e 2]) + α 21α 12det([e 2, e 1]) + α 21α 22det([e 2, e 2]) det([a 1, a 2 ]) = α 11 α 22 + α 21 α 12 det([e 2, e 1 ]) = α 11 α 22 α 21 α 12 Προσοχή: πολλοί όροι µηδενίζονται (λόγω «εκφυλισµού»). Οταν n = 2, αντί για 4 = 2 2 όρους, έχουµε µόνον 2. µε n = 3, αντί για 27 = 3 3 όρους έχουµε γενικά, αντί για για n n όρους, έχουµε n!. 16 / 33
23 Τύποι υπολογισµού ορίζουσας Υπολογισµός ορίζουσας από αλγεβρικά συµπληρώµατα Ανάπτυγµα Laplace det(a) = α 11 det(a 11 ) + ( 1) 1+2 α 12 det(a 12 ) + + ( 1) 1+n α 1n det(a 1n ) Προσωρινός συµβολισµός Με A ij R (n 1) (n 1) συµβολίζεται το µητρώο που προκύπτει αν διαγράψουµε από το A τη γραµµή i και τη στήλη j. Αποκαλείται ελάσσον (minor) του στοιχείου α ij. Το ψ i,j := ( 1) i+j det(a ij ) λέγεται αλγεβρικό συµπλήρωµα του στοιχείου στη ϑέση (i, j). Γενικά ισχύει ότι µπορούµε να εκφράσουµε την ορίζουσα ως προς οποιαδήποτε γραµµή (ή στήλη): det(a) = α i,1 ψ i,1 + α i,2 ψ i,2 + + α i,n ψ i,n Προσοχή: Στον παραπάνω τύπο εκφράσαµε την ορίζουσα ϐάσει οριζουσών µεγέθους (n 1) (n 1). Σύσταση: Στην εφαρµογή του τύπου, αξίζει να επιλέγουµε τη γραµµή ή στήλη µε τα περισσότερα µηδενικά! 17 / 33
24 Τύποι υπολογισµού ορίζουσας Τύπος για n = 3 α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 Αρα := α 11 α 22 α 23 α α 32 α α 21 α 23 α α 31 α + α 21 α α 31 α / 33
25 Τύποι υπολογισµού ορίζουσας Τύπος για n = 3 α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 Αρα := α 11 α 22 α 23 α α 32 α α 21 α 23 α α 31 α + α 21 α α 31 α 32 det(a) = α 11α 22α 33 α 11α 23α 32 α 12α 21α 33 + α 12α 23α 31 + α 13α 21α 32 α 13α 22α / 33
26 Τύποι υπολογισµού ορίζουσας Τύπος για n = 3 α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 Αρα := α 11 α 22 α 23 α α 32 α α 21 α 23 α α 31 α + α 21 α α 31 α 32 det(a) = α 11α 22α 33 α 11α 23α 32 α 12α 21α 33 + α 12α 23α 31 + α 13α 21α 32 α 13α 22α 31 Προσέξτε: det(a) = α 11α 22α 33 α 11α 23α 32 α 12α 21α 33 + α 12α 23α 31 + α 13α 21α 32 α 13α 22α / 33
27 Τύποι υπολογισµού ορίζουσας Μεγάλος τύπος ορίζουσας... και πρόσηµο µετάθεσης Προσοχή: Για µία µετάθεση π των στοιχείων (1,..., n), δηλ. (π(1),..., π(n)), ορίζουµε ως πρόσηµο της µετάθεσης, σ(π), µία τιµή ±1. Η τιµή ϑα είναι +1 αν η µετάθεση π προέρχεται από άρτιο αριθµό εναλλαγών ή 1 αν προέρχεται από περιττό αριθµό εναλλαγών. Το αντίστοιχο 1 2 π(1) µητρώο µετάθεσης P π ϑα είναι εκείνο για το οποίο P π = π(2). Παρατηρήστε ότι το. π(n) n P π είναι µετάθεση του ταυτοτικού, εποµένως det(p π) = ±1. Η τιµή του συµπίπτει µε το πρόσηµο της µετάθεσης. Μεγάλος τύπος (γιατί έχει n! όρους) det(a) = π S σ(π)α 1π(1) α nπ(n) όπου S είναι το σύνολο των n! µεταθέσεων των στοιχείων (1,..., n) και σ(π) είναι το πρόσηµο της µετάθεσης π. 19 / 33
28 Ορίζουσες µητρώων µε ειδική δοµή Ορίζουσες µητρώων µε ειδική δοµή Τριγωνικά: Η ορίζουσα κάθε τριγωνικού µητρώου είναι ίση µε το γινόµενο όλων των στοιχείων της διαγωνίου του. Κατά πλοκάδες τριγωνικά Αν A, D τετραγωνικά µητρώα, τότε ( ) A B det = det(a)det(d) 0 D Ειδική περίπτωση αν Â R (n 1) (n 1), ( ) 1 det 0 n 1,1 Â Προσοχή: Γενικά ( ) A B det C D = det(â) det(a)det(d) καθώς επίσης det(a)det(d) det(b)det(c) 20 / 33
29 Ορίζουσες µητρώων µε ειδική δοµή Αλλες χρήσιµες ιδιότητες Το A είναι αντιστρέψιµο αν και µόνον αν det(a) 0. det(a 1 ) = 1/det(A ) αν det(a) 0. det(a) = det(a ) det(ab) = det(a)det(b) ΠΡΟΣΟΧΗ Η τελευταία ιδιότητα αποκαλύπτει έναν τρόπο υπολογισµού του det(a) που έχει περίπου όσες πράξεις χρειάζεται η παραγοντοποίηση LU. Πώς; Αν A = PLU τότε det(a) = det(p) det(l) det(u) }{{} =1 = ( 1) κ det(u) = ( 1) κ υ 11 υ 22 υ nn. όπου κ είναι ο αριθµός των εναλλαγών που µετατρέπουν το I σε P. Το ( 1) κ ϑα είναι το πρόσηµο της αντίστοιχης µετάθεσης. 21 / 33
30 Ορίζουσες µητρώων µε ειδική δοµή Κριτική Γιατί δεν λύνουµε µε Cramer; Ο υπολογισµός της ορίζουσας µε τους παραπάνω τύπους είναι ακριβός... εκτός αν την υπολογίσουµε µέσω LU... οπότε δεν υπάρχει λόγος να χρησιµοποιήσουµε τον κανόνα... γιατί από την LU ϐρίσκουµε τη λύση µε µπρος και πίσω αντικατάσταση, πιο ϕθηνά! Εκτός αν επικρατούν ειδικές συνθήκες! (π.χ. κάτω τριγωνικό µητρώο) 22 / 33
31 Ορίζουσες µητρώων µε ειδική δοµή Ορίζουσες και τάξη µητρώου Ενδιαφέρον: Ενα µητρώο A R m n έχει τάξη ακριβώς r ανν και µόνον αν το µεγαλύτερο τετραγωνικό (υπο)µητρώο µε µη µηδενική ορίζουσα είναι r r. 23 / 33
32 Κανόνας Cramer Κανόνας Cramer και επίλυση γραµµικών συστηµάτων Αν Ax = b τότε κάθε στοιχείο του x µπορεί να υπολογιστεί µε τον κανόνα Cramer που εκφράζεται ως εξής: Εστω οι στήλες a 1,..., a n τ.ώ. det([a 1,..., a n ]) 0. Εστω επίσης ϐαθµωτοί ξ 1,..., ξ n τ.ώ. b = ξ 1 e ξ n e n. Τότε για κάθε j = 1,..., n ισχύει ότι ξ j = det([a 1,..., a j 1, b, a j+1,..., a n ]) det([a 1,..., a n ]) 24 / 33
33 Κανόνας Cramer Τύπος αντιστρόφου Θεώρηµα Αν το A είναι αντιστρέψιµο, τότε (A 1 ) i,j = ( 1) i+j det(a j,i) det(a) = ψ j,i det(a) 25 / 33
34 Κανόνας Cramer Παραδείγµατα οριζουσών εµφανίζονται συχνά στις εφαρµογές Μητρώο τάξης 1 Εστω ότι από τα διανύσµατα (στήλες) u, v κατασκευάζουµε το µητρώο A = uv R n n. Ποιά ϑα είναι η ορίζουσα; 26 / 33
35 Κανόνας Cramer Παραδείγµατα οριζουσών εµφανίζονται συχνά στις εφαρµογές Μητρώο τάξης 1 Εστω ότι από τα διανύσµατα (στήλες) u, v κατασκευάζουµε το µητρώο A = uv R n n. Ποιά ϑα είναι η ορίζουσα; Απάντηση: 0 (γιατί;) 26 / 33
36 Κανόνας Cramer Παραδείγµατα οριζουσών εµφανίζονται συχνά στις εφαρµογές Μητρώο τάξης 1 Εστω ότι από τα διανύσµατα (στήλες) u, v κατασκευάζουµε το µητρώο A = uv R n n. Ποιά ϑα είναι η ορίζουσα; Απάντηση: 0 (γιατί;) Μητρώο προβολής σε (γνήσιο) υπόχωρο; Απάντηση: 0 (γιατί;) 26 / 33
37 Κανόνας Cramer Παραδείγµατα οριζουσών εµφανίζονται συχνά στις εφαρµογές Μητρώο τάξης 1 Εστω ότι από τα διανύσµατα (στήλες) u, v κατασκευάζουµε το µητρώο A = uv R n n. Ποιά ϑα είναι η ορίζουσα; Απάντηση: 0 (γιατί;) Μητρώο προβολής σε (γνήσιο) υπόχωρο; Απάντηση: 0 (γιατί;) Ορθογώνιο µητρώο; Απάντηση: det(a) = ±1 (γιατί;) 26 / 33
38 Κανόνας Cramer Παραδείγµατα οριζουσών εµφανίζονται συχνά στις εφαρµογές Μητρώο τάξης 1 Εστω ότι από τα διανύσµατα (στήλες) u, v κατασκευάζουµε το µητρώο A = uv R n n. Ποιά ϑα είναι η ορίζουσα; Απάντηση: 0 (γιατί;) Μητρώο προβολής σε (γνήσιο) υπόχωρο; Απάντηση: 0 (γιατί;) Ορθογώνιο µητρώο; Απάντηση: det(a) = ±1 (γιατί;) Ταυτοτικό συν µητρώο τάξης-1 A = I + uv. Ποιά ϑα είναι η ορίζουσα; 26 / 33
39 Κανόνας Cramer Παραδείγµατα οριζουσών εµφανίζονται συχνά στις εφαρµογές Μητρώο τάξης 1 Εστω ότι από τα διανύσµατα (στήλες) u, v κατασκευάζουµε το µητρώο A = uv R n n. Ποιά ϑα είναι η ορίζουσα; Απάντηση: 0 (γιατί;) Μητρώο προβολής σε (γνήσιο) υπόχωρο; Απάντηση: 0 (γιατί;) Ορθογώνιο µητρώο; Απάντηση: det(a) = ±1 (γιατί;) Ταυτοτικό συν µητρώο τάξης-1 A = I + uv. Ποιά ϑα είναι η ορίζουσα; Απάντηση: det(a) = 1 + v u. (γιατί;) 26 / 33
40 Κανόνας Cramer Παραδείγµατα οριζουσών εµφανίζονται συχνά στις εφαρµογές Μητρώο τάξης 1 Εστω ότι από τα διανύσµατα (στήλες) u, v κατασκευάζουµε το µητρώο A = uv R n n. Ποιά ϑα είναι η ορίζουσα; Απάντηση: 0 (γιατί;) Μητρώο προβολής σε (γνήσιο) υπόχωρο; Απάντηση: 0 (γιατί;) Ορθογώνιο µητρώο; Απάντηση: det(a) = ±1 (γιατί;) Ταυτοτικό συν µητρώο τάξης-1 A = I + uv. Ποιά ϑα είναι η ορίζουσα; Απάντηση: det(a) = 1 + v u. (γιατί;) ( ) ( ) ( B = 1 v v = u I u I 0 I + uv ), και C = ( ) I u v = 1 ( ) ( ) I 0 I u v v u ( ) 01,n 1 και αν P = I n 0 τότε det(p) = ( 1) n+2 και P BP = C άρα det(p BP) = det(b) = det(c). n,1 Από τις παραγοντοποιήσεις, det(i + uv ) = 1 + v u. 26 / 33
41 Κανόνας Cramer Γενίκευση και παράδειγµα Ταυτότητα Sylvester Γενικότερα ισχύει ότι αν C R m n, D R n m Συνιστάται να την αποδείξετε! det(i m + CD) = det(i n + DC) Παράδειγµα: Να υπολογίσετε την ορίζουσα του A = Επίλυση: Παρατηρούµε ότι το µητρώο µπορεί να γραφτεί ως A = 2I + 2ee όπου e = (1, 1, 1, 1). Εποµένως det(a) = det(2(i + ee )) = 2 4 det(i + ee ) = 2 4 (1 + e e) = 16 5 = 80. Θα ήταν αρκετά πιο χρονοβόρο αν δουλεύατε απευθείας µε το A. 27 / 33
42 Κανόνας Cramer Οι ορίζουσες στη σύγχρονη έρευνα 28 / 33
43 Από τις ορίζουσες στις permanents Από τις ορίζουσες στις permanents Για ϕανατικούς! perm(a) := π S α 1π(1) α nπ(n) όπου S είναι το σύνολο των n! µεταθέσεων των στοιχείων (1,..., n). Ενώ η ορίζουσα µπορεί να υπολογιστεί µε O(n 3 ) πράξεις, µέσω της παραγοντοποίησης LU, ο υπολογισµός της perm(a) απαιτεί πολύ µεγάλο πλήθος πράξεων (µεγαλύτερο από πολυωνυµικό)! Ο πιο γνωστός αλγόριθµος (Ryser) για τον ακριβή υπολογισµό απαιτεί O(n2 n ) πράξεις!!! Ερευνητικό πρόβληµα: Επινόηση γρήγορων αλγορίθµου για την αποτελεσµατική προσέγγιση της permanent σε πολυωνυµικό χρόνο. 29 / 33
44 Από τις ορίζουσες στις permanents Βιβλιογραφία I G. Strang. Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Εκδόσεις Πανεπιστηµιου Πατρών, / 33
45 Από τις ορίζουσες στις permanents Χρήση Εργου Τρίτων I 1 The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester (ϐλ. σελ 11) 2 How to find a good submatrix (ϐλ. σελ 28) 31 / 33
46 Από τις ορίζουσες στις permanents Σηµείωµα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήµιο Πατρών - Ευστράτιος Γαλλόπουλος 2015 Γραµµική Αλγεβρα, Εκδοση: 1.0, Πάτρα ιαθέσιµο από τη δικτυακή διεύθυνση: 32 / 33
47 Από τις ορίζουσες στις permanents Τέλος Ενότητας 33 / 33
Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ.
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 11/5/2012 Σηµαντικό χαρακτηριστικό µέγεθος (ϐαθµωτός) για κάθε τετραγωνικό
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 7 : Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι
Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 5 : Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 7 : Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 13: Η ορίζουσα και το ίχνος μιας μήτρας (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 5 - Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος
Ενότητα 5 - Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Ασκηση 1 Εστω ένα µητρώο A το οποίο χρησιµοποιούµε και µητρώο συντελεστών κάποιου γραµµικού συστήµατος A x = b 1.Πώς ϑα λύνατε το γραµµικό
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα Ενότητα 4: Ορίζουσες
Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 4: Ορίζουσες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 23 Μάθημα 23 Παρασκευή 30 Νοεμβρίου 2012 23.1 Ορίζουσες 1. Οι ορίζουσες εκτός των άλλων εφαρμογών, βοηθούν και στην εύρεση λύσεων
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές
Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ορίζουσες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορίζουσα H Ορίζουσα είναι ένας αριθμός και ορίζεται μόνον για τετραγωνικούς
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραx 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση LU Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότερα[A I 3 ] [I 3 A 1 ].
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΚ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές
Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσµατα στο επίπεδο
Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 1 - Εισαγωγή. Ευστράτιος Γαλλόπουλος
Ενότητα 1 - Εισαγωγή Ευστράτιος Γαλλόπουλος c Ε. Γαλλόπουλος 201-2015 Ασκηση 1 Τι ονοµάζουµε υπολογιστικούς πυρήνες ; πυρήνων. Να δώσετε 3 παραδείγµατα τέτοιων Απάντηση ιαδικασίες (που µπορεί να είναι
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων
Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότερατέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή
Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν
Διαβάστε περισσότεραΕάν A = τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό. det( A) = = ( 2)4 3 1 = 8 3 = 11. τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με
Κεφάλαιο Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί a b Εάν A τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό a b ad bc Συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα και ως A Εάν A τότε ( ) 8 Εάν a a a A a a a a a a τότε η
Διαβάστε περισσότερα1 Ορίζουσες. Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα. 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 A =
1 Ορίζουσες Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1, όπου x είναι τυχόν στοιχείο του σώματος R. Να βρεθούν όλες οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιμος.
Διαβάστε περισσότερα2. Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας. Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός,
. Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός, που λέγεται Ορίζουσα (Determinant) του Α, και παριστάνεται με τα σύμβολα: D(A), ή
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (2 Ιουλίου 2009) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( Ιουλίου 009 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ I. (εκδχ. Α. Σωστό ή Λάθος: α Αν A,B R n n είναι αντιστρέψιµα, τότε το ίδιο ισχύει και για το AB. ϐ Αν A R n n, τότε A AA. γ Αν A R και συµµετρικό
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Διαβάστε περισσότερα7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)
77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα
Διαβάστε περισσότερα= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις
1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότερα1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης
ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι
Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 6 : Παραγοντοποίηση QR και Ελάχιστα Τετράγωνα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΜεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων
Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 4:Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων-ιδιότητες της συνέχειας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4:Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων-ιδιότητες της συνέχειας. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017
ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση SVD Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ
Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 27/3/13 Μέθοδος ελαχίστου υπολοίπου (Minimum residual) Θέµα:
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι
Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότεραA = c d. [a b] = [a 0] + [0 b].
ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 42 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Δεκ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-42 Δεκ 2014 1 / 12 Υπολογισμός με απαλοιφή Κάθε μη ιδιόμορφος n n
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότερα