Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas)"

Κάδμος Νομική Αθανασιάδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas) Εστω το ακόλουθο n n τριδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα Ax = d A = b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 0 a 3 b 3 c 3 0 a n 1 b n 1 c n 1 a n b n x 1 x 2 x 3 x n 1 x n = d 1 d 2 d 3 d n 1 d n όπου A R n n, και b, x R n Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 1 µέθοδο / 13

2 Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss Ο επαυξηµένος πίνακας του γραµµικού συστήµατος είναι ο : A = b 1 c 1 d1 a 2 b 2 c 2 0 d 2 a 3 b 3 c 3 d3 0 a n 1 b n 1 c n 1 dn 1 a n b n dn Τριγωνοποίηση 1ο ϐήµα i = 1 m 2 = a2 b 1 ( αν b 1 0 ) Ενηµέρωση 2ης γραµµής a 2 = 0 b 2 = b 2 + m 2c 1 d 2 = d 2 + m 2d 1 Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 2 µέθοδο / 13

3 Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο του Gauss 2ο ϐήµα i = 2 m 3 = a 3 b 2 ( αν b 2 0 ) Ενηµέρωση 3ης γραµµής a 3 = 0 b 3 = b 3 + m 3 c 2 d 3 = d 3 + m 3 d 2 i-οστό ϐήµα i = i m i+1 = a i+1 b i ( αν b i 0 ) Ενηµέρωση i+1 γραµµής a i+1 = 0 b i+1 = b i+1 + m i+1 c i d i+1 = d i+1 + m i+1 d i Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 3 µέθοδο / 13

4 Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο του Gauss Μετά από n 1 ϐήµατα προκύπτει το ισοδύναµο άνω τριγωνικό σύστηµα: 2 A = 6 4 Αρα έχουµε τον αλγόριθµο: 1 Τριγωνοποίηση for i = 1 to n 1 do m i+1 = a i+1/b i b i+1 = b i+1 + m i+1c i d i+1 = d i+1 + m i+1d i b 1 c 1 d1 b 2 c 2 0 d 2 b 3 c 3 d3 0 b n 1 c n 1 dn 1 b n dn Υπολογιστική Πολυπλοκότητα : n 1 διαιρέσεις, 2(n 1) πολ/σµοί, 2(n 1) προσθ/αφαιρ Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 4 µέθοδο /

5 Επίλυση ενός άνω διδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Στη συνέχεια επιλύεται το άνω διδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα µε προς τα πίσω αντικατάσταση, οπότε έχουµε τον αλγόριθµο: x n = d n /b n for i = n 1 to 1 do x i = (d i c i x i+1 )/b i Υπολογιστική Πολυπλοκότητα : n 1 διαιρέσεις, n 1 πολ/σµοί, n 1 προσθ/αφαιρ Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 5 µέθοδο / 13

6 Block µορφές αµέσων µεθόδων 11 Ανάλυση της block µορφής KJI-GJ n : τάξη πίνακα Α n = q r Ο πίνακας A διαχωρίζεται σε q 2 υποπίνακες r r Ακολουθιακή block µορφή KJI-GJ for k = 1 to q do for j = k + 1 to q do for i = 1 to q, i k do A ij = A ij A ik A 1 kk A kj Οι αντίστροφοι των διαγώνιων υποπινάκων A kk δεν υπολογίζονται άµεσα, αλλά µε τη λύση r γραµµικών συστηµάτων µε τον ίδιο πίνακα A kk µε εφαρµογή της σηµειακής µεθόδου GJ Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 6 µέθοδο / 13

7 Block µορφή KJI-GJ For k = 1 to q do TB kj : for j = k + 1 to q do A kj = A 1 kk A kj for i := 1 to q, i k do A ij = A ij A ik A kj Ορισµός των εργασιών της block µορφής KJI-GJ Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 7 µέθοδο / 13

8 Πολυπλοκότητα της block µορφής KJI-GJ 1 Υπολογισµός των A kj = A 1 kk A kj είναι ισοδύναµος µε τη λύση r συστηµάτων τάξης r µε τον ίδιο πίνακα, οπότε απαιτούνται 4r 3 /3 αριθµητικές πράξεις 2 Υπολογισµός των A ij = A ik A ik A kj αντιστοιχεί σε q 1 πολλαπλασιασµούς πινάκων και προσθέσεις πινάκων, οπότε απαιτούνται r 3 (q 1) αριθµητικές πράξεις Εποµένως η εκτέλεση της εργασίας TB kj απαιτεί Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο [ 3 Αµεσοι ] Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 8 µέθοδο / 13

9 Block τριδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα 11 Block µορφή της LU παραγοντοποίησης Εστω το ακόλουθο q q block τριδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα Ax = b A = D 1 F 1 E 2 D 2 F 2 0 E 3 D 3 F 3 0 E q 1 D q 1 F q 1 E q D q όπου A R n n, n = qr, D i, E i, F i R r r και b i, x i R r x 1 x 2 x 3 x q 1 x q = b 1 b 2 b 3 b q 1 b q Ο πίνακας A διαχωρίζεται σε 3q 2 υποπίνακες r r και το διάνυσµα στήλη b σε q υποδιανύσµατα στήλες r 1 Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006Block 9 µέθοδο / 13

10 Block µορφή LU Θεωρούµε την block LU παραγοντοποίηση A = LU : D 1 F 1 E 2 D 2 F 2 0 E 3 D 3 F 3 A = I L 2 I 0 L = 3 I 0 L q 1 I L q I 0 E q 1 D q 1 F q 1 E q D q U 1 F 1 = U 2 F 2 0 U 3 F 3 0 U q 1 F q 1 U q οπότε έχουµε τον ακόλουθο αλγόριθµο για την block µορφή της µεθόδου LU Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006 Block 10 µέθοδο / 13

11 Αλγόριθµος της Block µορφής LU /* Παραγοντοποίηση */ U 1 = D 1 For i = 2 to q do /* Επίλυση ως προς L i */ L i U i 1 = E i /* Υπολογισµός U i */ U i = D i L i F i 1 Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006 Block 11 µέθοδο / 13

12 Επίλυση Block τριγωνικών συστηµάτων /* Επίλυση block κάτω τριγωνικού συστήµατος Ly = b */ ϑέσε L 1 y 0 0 For i = 1 to q do y i = b i L i y i 1 /* Επίλυση block άνω τριγωνικού συστήµατος Ux = y */ ϑέσε F q x q+1 0 For i = q to 1 do /* Επίλυση ως προς x i */ U i x i = y i F i x i+1 Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006 Block 12 µέθοδο / 13

13 Αλγόριθµος της block µορφής LU /* Παραγοντοποίηση */ U 1 = D 1 For i = 2 to q do /* Επίλυση ως προς L i */ L iu i 1 = E i /* Υπολογισµός U i */ U i = D i L if i 1 /* Επίλυση Block τριγωνικών συστηµάτων */ /* Επίλυση block κάτω τριγωνικού συστήµατος Ly = b */ ϑέσε L 1y 0 0 For i = 1 to q do y i = b i L iy i 1 /* Επίλυση block άνω τριγωνικού συστήµατος Ux = y */ ϑέσε F qx q+1 0 For i = q to 1 do /* Επίλυση ως προς x i */ U ix i = y i F ix i+1 Φ Τζαφέρης (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 3 Αµεσοι Μέθοδοι (Επίλυση Τριδιαγώνιου 10 Νοεµβρίου συστήµατος, 2006 Block 13 µέθοδο / 13

Σχετικά έγγραφα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού