ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ. Αναγνώριση Προτύπων. Ομαδοποίηση δεδομένων ΑΣΚΗΣΕΙΣ (K-means and ISODATA Clustering) Χριστόδουλος Χαμζάς
|
|
- Ιδουμα Κορνάρος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αναγνώριση Προτύπων Ομαδοποίηση δεδομένων ΑΣΚΗΣΕΙΣ (K-means and ISODATA Clustering) Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο αυτής της παρουσίασης βασίζεται στην παρουσίαση του αντίστοιχου διδακτέου μαθήματος του καθ. Kumar, University of Minessota. Βασίζεται στo Kef.8 &9 του βιβλίου: Introduction to Data Mining, Chpt 8, Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kumar, Addison-Wesley, 2006 Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών 1
2 Επιβλεπόμενη vs Μη-Επιβλεπόμενη Μάθηση Μέχρι τώρα θεωρήσαμε μεθόδους αναγνώρισης με classification όπου το πρότυπο χαρακτηρίζεται από τα μεγέθη {x,ω} Αυτά τα προβλήματα αναγνώρισης ονομάζονται Επιβλεπόμενα (supervised) αφού διατίθενται και το χαρακτηριστικό διάνυσμα και η σωστή απάντηση. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις όπου δίνεται το χαρακτηριστικό διάνυσμα χωρίς την κλάση. Αυτές οι μέθοδοι καλούνται Μη-Επιβλεπόμενες (unsupervised) λόγω του ότι δεν χρησιμοποιούν τη σωστή απάντηση.
3 Επιβλεπόμενη vs Μη-Επιβλεπόμενη Μάθηση Αν και οι μέθοδοι μη επιβλεπόμενης μάθηση φαίνονται περιορισμένων δυνατοτήτων υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που επιβάλλεται η χρήση τους: Ο χαρακτηρισμός πολλών δεδομένων μπορεί να αποβεί δαπανηρός (π.χ. αναγνώριση ομιλίας) Το είδος της κλάσης μπορεί να μην είναι γνωστό εξ αρχής.
4 Είδη αλγορίθμων ομαδοποίησης Ο K means και οι παραλλαγές του Παράγουν σετ ανεξάρτητων clusters Οι πιο γνωστοί είναι οι k-means και ISODATA Ιεραρχικοί αλγόριθμοι Το αποτέλεσμα είναι μια ιεραρχία εμφωλιασμένων clusters Χωρίζονται στους ενωτικούς (agglomerative) και διαχωριστικούς (divisive) Πυκνωτικοί αλγόριθμοι
5 K-means Clustering ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Αλγόριθμος διαχωρισμού Κάθε ομάδα συνδέεται με ένα centroid (κέντρο) Κάθε σημείο αποδίδεται στην ομάδα με το πιο κοντινό κέντρο Ο αριθμός των ομάδων, K, πρέπει να καθοριστεί Πολύ απλός αλγόριθμος
6 Αξιολόγηση των ομάδων του K means Η πιο κλασική μετρική είναι άθροισμα του τετραγώνου σφαλμάτων (Sum of Squared Error SSE) Για κάθε σημείο, το σφάλμα είναι η απόσταση από το κέντρο της κοντινότερης ομάδας Το SSE είναι το άθροισμα του τετραγώνου σφαλμάτων αυτών:. SSE K i 1 x C όπου x είναι ένα σημείο στην ομάδα C i και m i είναι το αντιπροσωπευτικό σημείο (το κέντρο) για την ομάδα C i εδομένων δυο ομάδων, μπορούμε να επιλέξουμε αυτήν με το μικρότερο σφάλμα Ένας εύκολος τρόπος για τη μείωση του SSE είναι η αύξηση του Κ, του αριθμού των ομάδων i dist ( m, x) Μια καλή ομαδοποίηση με μικρότερο Κ μπορεί να έχει μικρότερο SSE από μια κακή ομαδοποίηση με μεγαλύτερο Κ 2 i
7 K-means Το MatLab έχει μια δική του υλοποίηση του αλγορίθμου Kmeans. Για λεπτομέρειες χρησιμοποίησε το help kmeans Μία πιο απλή υλοποίηση είναι αυτή που δίνεται στο Πικράκη %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % FUNCTION [theta,bel,j]=k_means(x,theta) % This function implements the k-means algorithm, which requires % as input the number of clusters underlying the data set. The algorithm % starts with an initial estimation of the cluster representatives and % iteratively tries to move them into regions that are "dense" in data % vectors, so that a suitable cost function is minimized. This is % achieved by performing (usually) a few passes on the data set. The % algorithm terminates when the values of the cluster representatives % remain unaltered between two successive iterations. % % INPUT ARGUMENTS: % X: lxn matrix, each column of which corresponds to % an l-dimensional data vector. % theta: a matrix, whose columns contain the l-dimensional (mean) % representatives of the clusters. % % OUTPUT ARGUMENTS: % theta: a matrix, whose columns contain the final estimations of % the representatives of the clusters. % bel: N-dimensional vector, whose i-th element contains the % cluster label for the i-th data vector. % J: the value of the cost function (sum of squared Euclidean % distances of each data vector from its closest parameter % vector) that corresponds to the estimated clustering. % % (c) 2010 S. Theodoridis, A. Pikrakis, K. Koutroumbas, D. Cavouras %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [theta,bel,j]=k_means(x,theta) [l,n]=size(x); [l,m]=size(theta); e=1; iter=0; while(e~=0) iter=iter+1; theta_old=theta; dist_all=[]; for j=1:m dist=sum(((ones(n,1)*theta(:,j)'-x').^2)'); dist_all=[dist_all; dist]; end % dist_all Νxm έχει τις αποστάσεις των Ν σημειων από τα m κέντρα των clusters [q1,bel]=min(dist_all); J=sum(min(dist_all)); for j=1:m if(sum(bel==j)~=0) theta(:,j)=sum(x'.*((bel==j)'*ones(1,l))) / sum(bel==j); end end e=sum(sum(abs(theta-theta_old))); end Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών 7
8 K-means clustering example
9 Παράδειγμα K-means % Example example_kmeans_isodata_cc % for data clustering C. Chamzas 15/6/2012 close('all'); clear; format compact ; % 1. To generate the first N1 points of X1, m=[1 1 ; 5 10 ; 10 4; 10 10]'; [l,c]=size(m); S1=[ ; ]; S2=[ ; ]; S3=[ ; ]; S4=[ ; ]; S(:,:,1)=S1; S(:,:,2)=S2; S(:,:,3)=S3; S(:,:,4)=S4; P=[1/4 1/4 1/4 1/4]; % 1. Generate X1 the data set N1=10000; randn('seed',0) [X1,y1]=generate_gauss_classes(m,S,P,N1); [l,n1]=size(x1); X1=4*X1; % Plot the data set figure(1), hold on plot(x1(1,:),x1(2,:),'.y') figure(1), axis equal % To apply the k-means algorithm for m = 4, work as in step 2 of Example Pikrakis Attention data are given in rows m=4; [l,n]=size(x1); % places the initial centers randomly in the range of X1 theta_ini=rand(l,m); X1_max=max(X1'); X1_min=min(X1'); for j=1:l theta_ini(j,:)=theta_ini(j,:)*(x1_max(j)- X1_min(j))+X1_min(j); end [theta,bel,j]=k_means(x1,theta_ini); SSE_pikrakis=J theta k-means from Introduction to Pattern Recognition: A MATLAB Approach The 4 centers SSE = Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών 9
10 .. %Matlab. Attention data are given in columns K=4; [IDX, C, SUMD] = kmeans(x1', K, 'Replicates',5); SSE_matlab=sum(SUMD) C=C' % plots the segmented data figure(3), hold on figure(3), plot(x1(1,idx==1),x1(2,idx==1),'r.',... X1(1,IDX==2),X1(2,IDX==2),'g*',X1(1,IDX==3),X1(2, IDX==3),'bo',... X1(1,IDX==4),X1(2,IDX==4),'cx',X1(1,IDX==5),X1(2, IDX==5),'md',... X1(1,IDX==6),X1(2,IDX==6),'yp',X1(1,IDX==7),X1(2, IDX==7),'ks') figure(3), plot(c(1,:),c(2,:),'ko','markerfacecolor','r') title('kmeans from Matlab'); figure(3), axis equal kmeans from Matlab iterations, total sum of distances = iterations, total sum of distances = iterations, total sum of distances = iterations, total sum of distances = iterations, total sum of distances = opts = statset('display','final'); [IDX, C, SUMD] = kmeans(x1', K, 'Replicates',5, 'Replicates',5, 'Options',opts); Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών 10
11 ISODATA ISODATA είναι συντομογραφία του Iterative Self-Organizing Data Analysis Technique Algorithm Είναι επέκταση του k-means που εμπεριέχει ευριστικούς τρόπους για την αυτόματη επιλογή του πλήθους των κλάσεων Ο χρήστης επιλέγει τις παραμέτρους (Παράμετροι προγράμματος): NMIN_EX ελάχιστο πλήθος δειγμάτων ανά cluster ( OΝ ) ND επιθυμητό μέγιστο πλήθος cluster ( Κ ) σ S 2 μέγιστη διασπορά για διαχωρισμό clusters ( OS ) DMERGE μέγιστη απόσταση για ένωση clusters ( OC ) NMERGE μέγιστο πλήθος clusters που μπορούν να ενωθούν (L)
12 How ISODATA Works: 1. Cluster centers are randomly placed and pixels are assigned based on the shortest distance to center method 2. The standard deviation within each cluster, and the distance between cluster centers is calculated Clusters are split if one or more standard deviation is greater than the userdefined threshold Clusters are merged if the distance between them is less than the user-defined threshold 3. A second iteration is performed with the new cluster centers 4. Further iterations are performed until: the average inter-center distance falls below the user-defined threshold, the average change in the inter-center distance between iterations is less than a threshold, or the maximum number of iterations is reached Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών 12
13 %ISODATA ON=15; % threshold number of elements for the elimination of a cluster. OC=5; % threshold distance for the union of clusters. OS=7; % deviation typical threshold for the division of a cluster. k=7; % number (maximum) cluster. L=2; % maximum number of clusters that can be mixed in a single iteration. I=10; % maximum number of iterations allowed. NO=1; % extra parameter to automatically answer no to the request of cambial any parameter. min_dist=50; % Minimum distance a point must be in each center. If you want to delete any point % Give a high value. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Function ISODATA % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% [C_ISO, Xcluster, A, clustering]=isodata_nd(x1', k, L, I, ON, OC, OS, NO, min_dist); C_ISO=C_ISO'; IDX_ISO=clustering'; % Evaluation the SSE error ISODATA [l,m]=size(c_iso); 50 dist_all=[]; 45 for j=1:m 40 dist=sum(((ones(n,1)*c_iso(:,j)'-x1').^2)'); 35 dist_all=[dist_all; dist]; 30 end 25 SSE_ISODATA=sum(min(dist_all)) 20 fprintf('number of Clusters: %d\n',a); C_ISO Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών 13
14 K-means Image Segmentation An image (I) Three-cluster image (J) on gray values of I Matlab code: I = double(imread( ')); Note that K-means result is noisy J = reshape(kmeans(i(:),3),size(i));
15 Παράδειγματα για Εικόνες % Example "example_kmeans_images_cc.m" % kmeans for image segnentation % C. Chamzas 15/6/2012 close('all'); clear; format compact ; Im = imread('trees.tif'); imshow(im); I = double(im); % segments it in 3 gray level colors [IDX, C, SUMD]=kmeans(I(:),3,'Replicates',5); J = reshape(idx,size(i)); mapgray=[c';c';c']'/max(i(:)); figure(2); imshow(j,mapgray); % segments it in 5 gray level colors [IDX, C, SUMD]=kmeans(I(:),5,'Replicates',5); J = reshape(idx,size(i)); mapgray=[c';c';c']'/max(i(:)); figure(3); imshow(j,mapgray); load mri I = D(:,:,8); figure(6); imshow(i,map); title('mri image_num = 8'); axis image MRI image num = 8 % segments it in 4 level colors I=double(I); [IDX, C, SUMD]=kmeans(I(:),4,'Start','uniform','Replicates',5,'EmptyAction','singleton'); J = reshape(idx,size(i)); maprgb=[ 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1; 1 1 0; 1 0 1; 0 1 1]; mapgray=[c';c';c']'/max(i(:)); figure(7); imshow(j,maprgb); title('4 colors'); figure(8); imshow(j,mapgray);title('4 gray levels'); 4 gray levels 4 colors Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών 15
1η εργασία για το μάθημα «Αναγνώριση προτύπων»
1η εργασία για το μάθημα «Αναγνώριση προτύπων» Σημειώσεις: 1. Η παρούσα εργασία είναι η πρώτη από 2 συνολικά εργασίες, η κάθε μια από τις οποίες θα βαθμολογηθεί με 0.4 μονάδες του τελικού βαθμού του μαθήματος.
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Μη παραμετρικές τεχνικές Αριθμητικά. (Non Parametric Techniques)
Αναγνώριση Προτύπων Μη παραμετρικές τεχνικές Αριθμητικά Παραδείγματα (Non Parametric Techniques) Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής
Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους
Διαβάστε περισσότεραMath 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme
Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΗ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ
ΔΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΗ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ Εισαγωγή Τεχνικές διαχωριστικής ομαδοποίησης: Ν πρότυπα k ομάδες Ν>>k Συνήθως k καθορίζεται από χρήστη Διαχωριστικές τεχνικές: επιτρέπουν πρότυπα να μετακινούνται από ομάδα σε
Διαβάστε περισσότεραApproximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth
Διαβάστε περισσότεραInstruction Execution Times
1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables
Διαβάστε περισσότεραAssalamu `alaikum wr. wb.
LUMP SUM Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. LUMP SUM Lump sum lump sum lump sum. lump sum fixed price lump sum lump
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότερα6.3 Forecasting ARMA processes
122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear
Διαβάστε περισσότερα3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Διαβάστε περισσότεραNumerical Analysis FMN011
Numerical Analysis FMN011 Carmen Arévalo Lund University carmen@maths.lth.se Lecture 12 Periodic data A function g has period P if g(x + P ) = g(x) Model: Trigonometric polynomial of order M T M (x) =
Διαβάστε περισσότεραOther Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests
Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
Διαβάστε περισσότεραDESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0.
DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL -7-1! PROBLEM -7 Statement: Design a double-dwell cam to move a follower from to 25 6, dwell for 12, fall 25 and dwell for the remader The total cycle must take 4 sec
Διαβάστε περισσότεραSecond Order RLC Filters
ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor
Διαβάστε περισσότεραPhysical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible.
B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible 3 rd -level index 2 nd -level index 1 st -level index Main file 1 The 1 st -level index consists of pairs
Διαβάστε περισσότεραPg The perimeter is P = 3x The area of a triangle is. where b is the base, h is the height. In our case b = x, then the area is
Pg. 9. The perimeter is P = The area of a triangle is A = bh where b is the base, h is the height 0 h= btan 60 = b = b In our case b =, then the area is A = = 0. By Pythagorean theorem a + a = d a a =
Διαβάστε περισσότεραES440/ES911: CFD. Chapter 5. Solution of Linear Equation Systems
ES440/ES911: CFD Chapter 5. Solution of Linear Equation Systems Dr Yongmann M. Chung http://www.eng.warwick.ac.uk/staff/ymc/es440.html Y.M.Chung@warwick.ac.uk School of Engineering & Centre for Scientific
Διαβάστε περισσότεραdepartment listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι
She selects the option. Jenny starts with the al listing. This has employees listed within She drills down through the employee. The inferred ER sttricture relates this to the redcords in the databasee
Διαβάστε περισσότεραEE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Διαβάστε περισσότεραEPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING. Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE)
EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE) Performing Static Analysis 1 Class Name: The fully qualified name of the specific class Type: The type of the class
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται
Διαβάστε περισσότεραReminders: linear functions
Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U
Διαβάστε περισσότεραw o = R 1 p. (1) R = p =. = 1
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 205 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Τριτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 3. 5.2 (a) From the Wiener-Hopf equation we have:
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραSection 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Διαβάστε περισσότεραQueensland University of Technology Transport Data Analysis and Modeling Methodologies
Queensland University of Technology Transport Data Analysis and Modeling Methodologies Lab Session #7 Example 5.2 (with 3SLS Extensions) Seemingly Unrelated Regression Estimation and 3SLS A survey of 206
Διαβάστε περισσότεραPartial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013
The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 101 FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD
CHAPTER FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD EXERCISE 36 Page 66. Determine the Fourier series for the periodic function: f(x), when x +, when x which is periodic outside this rge of period.
Διαβάστε περισσότεραderivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used
Διαβάστε περισσότερα[1] P Q. Fig. 3.1
1 (a) Define resistance....... [1] (b) The smallest conductor within a computer processing chip can be represented as a rectangular block that is one atom high, four atoms wide and twenty atoms long. One
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 10η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 0η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Best Response Curves Used to solve for equilibria in games
Διαβάστε περισσότεραTMA4115 Matematikk 3
TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet
Διαβάστε περισσότεραBayesian statistics. DS GA 1002 Probability and Statistics for Data Science.
Bayesian statistics DS GA 1002 Probability and Statistics for Data Science http://www.cims.nyu.edu/~cfgranda/pages/dsga1002_fall17 Carlos Fernandez-Granda Frequentist vs Bayesian statistics In frequentist
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011
Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων. Εξάμηνο 7 ο
Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων Εξάμηνο 7 ο Procedures and Functions Stored procedures and functions are named blocks of code that enable you to group and organize a series of SQL and PL/SQL
Διαβάστε περισσότεραInverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin
Διαβάστε περισσότεραThe challenges of non-stable predicates
The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική Μάθηση Hypothesis Testing
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 12: Συνοπτική Παρουσίαση Ανάπτυξης Κώδικα με το Matlab Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Άσκηση αυτοαξιολόγησης 4 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών CS-593 Game Theory 1. For the game depicted below, find the mixed strategy
Διαβάστε περισσότερα2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits.
EAMCET-. THEORY OF EQUATIONS PREVIOUS EAMCET Bits. Each of the roots of the equation x 6x + 6x 5= are increased by k so that the new transformed equation does not contain term. Then k =... - 4. - Sol.
Διαβάστε περισσότεραPotential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11
Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and
Διαβάστε περισσότερα5.4 The Poisson Distribution.
The worst thing you can do about a situation is nothing. Sr. O Shea Jackson 5.4 The Poisson Distribution. Description of the Poisson Distribution Discrete probability distribution. The random variable
Διαβάστε περισσότεραNotes on the Open Economy
Notes on the Open Econom Ben J. Heijdra Universit of Groningen April 24 Introduction In this note we stud the two-countr model of Table.4 in more detail. restated here for convenience. The model is Table.4.
Διαβάστε περισσότεραΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Χειµερινό Εξάµηνο ΔΙΑΛΕΞΗ 3: Αλγοριθµική Ελαχιστοποίηση (Quine-McCluskey, tabular method)
ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 3: Αλγοριθµική Ελαχιστοποίηση (Quine-McCluskey, tabular method) ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ (ttheocharides@ucy.ac.cy)
Διαβάστε περισσότεραFractional Colorings and Zykov Products of graphs
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is
Διαβάστε περισσότεραMean bond enthalpy Standard enthalpy of formation Bond N H N N N N H O O O
Q1. (a) Explain the meaning of the terms mean bond enthalpy and standard enthalpy of formation. Mean bond enthalpy... Standard enthalpy of formation... (5) (b) Some mean bond enthalpies are given below.
Διαβάστε περισσότερα1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα
IPHO_42_2011_EXP1.DO Experimental ompetition: 14 July 2011 Problem 1 Page 1 of 5 1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα Για ένα πυκνωτή χωρητικότητας ο οποίος είναι μέρος
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότεραLecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3
Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all
Διαβάστε περισσότεραthe total number of electrons passing through the lamp.
1. A 12 V 36 W lamp is lit to normal brightness using a 12 V car battery of negligible internal resistance. The lamp is switched on for one hour (3600 s). For the time of 1 hour, calculate (i) the energy
Διαβάστε περισσότεραPARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities
PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot
Διαβάστε περισσότεραSpherical Coordinates
Spherical Coordinates MATH 311, Calculus III J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2011 Spherical Coordinates Another means of locating points in three-dimensional space is known as the spherical
Διαβάστε περισσότεραSCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions
SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)
Διαβάστε περισσότεραCRASH COURSE IN PRECALCULUS
CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter
Διαβάστε περισσότεραHY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems
HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems Ημερομηνία Παράδοσης: 0/1/017 την ώρα του μαθήματος ή με email: mkarabin@csd.uoc.gr Γενικές Οδηγίες α) Επιτρέπεται η αναζήτηση στο Internet και στην βιβλιοθήκη
Διαβάστε περισσότεραHomework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑ: Ανάλυση Πολυδιάστατων (Πολυμεταβλητών) Δεδομένων και Συστήματα Εξόρυξης Δεδομένων (Multivariate Data
Διαβάστε περισσότερα4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)
84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this
Διαβάστε περισσότεραHOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:
HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying
Διαβάστε περισσότεραHISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram?
HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? The point on the horizontal axis such that of the area under the histogram lies to the left of that point (and to the right) What
Διαβάστε περισσότεραΤελική Εξέταση =1 = 0. a b c. Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. HMY 626 Επεξεργασία Εικόνας
Τελική Εξέταση. Logic Operations () In the grid areas provided below, draw the results of the following binary operations a. NOT(NOT() OR ) (4) b. ( OR ) XOR ( ND ) (4) c. (( ND ) XOR ) XOR (NOT()) (4)
Διαβάστε περισσότεραMain source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1
Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a
Διαβάστε περισσότεραΑποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων:
Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων: Oμαδοποίηση: Μέρος Α http://delab.csd.auth.gr/~gounaris/courses/dwdm/ gounaris/courses/dwdm/ Ευχαριστίες Οι διαφάνειες του μαθήματος σε γενικές γραμμές ακολουθούν
Διαβάστε περισσότεραThe Simply Typed Lambda Calculus
Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and
Διαβάστε περισσότεραExercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.
Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given
Διαβάστε περισσότεραDynamic types, Lambda calculus machines Section and Practice Problems Apr 21 22, 2016
Harvard School of Engineering and Applied Sciences CS 152: Programming Languages Dynamic types, Lambda calculus machines Apr 21 22, 2016 1 Dynamic types and contracts (a) To make sure you understand the
Διαβάστε περισσότεραΝευρωνικά ίκτυα και Εξελικτικός
Νευρωνικά ίκτυα και Εξελικτικός Προγραµµατισµός Σηµερινό Μάθηµα RBF (Radial Basis Functions) δίκτυα Παρεµβολή συνάρτησης Θεώρηµα Cover ιαχωρισµός προτύπων Υβριδική Εκµάθηση Σύγκριση µε MLP Εφαρµογή: Αναγνώριση
Διαβάστε περισσότερα1. Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του διαιρούνται με όλους τους μονοψήφιους αριθμούς;
ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΤΙΡΙ ΠΡΧΙΚΟΣ ΙΩΝΙΣΜΟΣ 7//2009 ΩΡ 0:00-2:00 ΟΗΙΣ. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (επιτρέπεται η χρήση μολυβιού για τα
Διαβάστε περισσότερα( ) 2 and compare to M.
Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8
Διαβάστε περισσότεραΜορφοποίηση υπό όρους : Μορφή > Μορφοποίηση υπό όρους/γραμμές δεδομένων/μορφοποίηση μόο των κελιών που περιέχουν/
Μορφοποίηση υπό όρους : Μορφή > Μορφοποίηση υπό όρους/γραμμές δεδομένων/μορφοποίηση μόο των κελιών που περιέχουν/ Συνάρτηση round() Περιγραφή Η συνάρτηση ROUND στρογγυλοποιεί έναν αριθμό στον δεδομένο
Διαβάστε περισσότεραSCOPE OF ACCREDITATION TO ISO 17025:2005
SCOPE OF ACCREDITATION TO ISO 17025:2005 TFF CORPORATION TEKTRONIX COMPANY 1-14-1 Midorigaoka, Naka-gun, Ninomiya-machi, Kanagawa Pref. 259-0132 JAPAN Hideki Yuyama Phone: 81 463 70 5634 CALIBRATION Valid
Διαβάστε περισσότεραGalatia SIL Keyboard Information
Galatia SIL Keyboard Information Keyboard ssignments The main purpose of the keyboards is to provide a wide range of keying options, so many characters can be entered in multiple ways. If you are typing
Διαβάστε περισσότερα1 String with massive end-points
1 String with massive end-points Πρόβλημα 5.11:Θεωρείστε μια χορδή μήκους, τάσης T, με δύο σημειακά σωματίδια στα άκρα της, το ένα μάζας m, και το άλλο μάζας m. α) Μελετώντας την κίνηση των άκρων βρείτε
Διαβάστε περισσότεραReview Test 3. MULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question.
Review Test MULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question. Find the exact value of the expression. 1) sin - 11π 1 1) + - + - - ) sin 11π 1 ) ( -
Διαβάστε περισσότεραVBA Microsoft Excel. J. Comput. Chem. Jpn., Vol. 5, No. 1, pp (2006)
J. Comput. Chem. Jpn., Vol. 5, No. 1, pp. 29 38 (2006) Microsoft Excel, 184-8588 2-24-16 e-mail: yosimura@cc.tuat.ac.jp (Received: July 28, 2005; Accepted for publication: October 24, 2005; Published on
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί
Διαβάστε περισσότεραNov Journal of Zhengzhou University Engineering Science Vol. 36 No FCM. A doi /j. issn
2015 11 Nov 2015 36 6 Journal of Zhengzhou University Engineering Science Vol 36 No 6 1671-6833 2015 06-0056 - 05 C 1 1 2 2 1 450001 2 461000 C FCM FCM MIA MDC MDC MIA I FCM c FCM m FCM C TP18 A doi 10
Διαβάστε περισσότεραSection 7.6 Double and Half Angle Formulas
09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)
Διαβάστε περισσότεραElements of Information Theory
Elements of Information Theory Model of Digital Communications System A Logarithmic Measure for Information Mutual Information Units of Information Self-Information News... Example Information Measure
Διαβάστε περισσότεραPractice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1
Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS
CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3
Διαβάστε περισσότεραSecond Order Partial Differential Equations
Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y
Διαβάστε περισσότερα- 1+x 2 - x 3 + 7x4. 40 + 127x8. 12 - x5 4 + 31x6. 360 - x 7. - 1+x 2 - x 3 - -
a.bergara@ehu.es - 1 x 2 - - - - - - - Ο - 1x 2 - x 3 - - - - - - 1 x 2 - x 3 7 x4 12-1x 2 - x 3 7x4 12 - x5 4 31x6 360 - x 7 40 127x8 20160 - - - Ο clear; % Coefficients of the equation: a x'b x c
Διαβάστε περισσότεραA Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics
A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions
Διαβάστε περισσότερα1η προαιρετική εργαςία για το μάθημα «Αναγνώριςη προτύπων»
1η προαιρετική εργαςία για το μάθημα «Αναγνώριςη προτύπων» Σημειώςεισ: 1. Η παροφςα εργαςία είναι θ πρϊτθ από 2 ςυνολικά εργαςίεσ, οι οποίεσ είναι προαιρετικζσ και κα βακμολογθκοφν (και οι δφο) με μία
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραUDZ Swirl diffuser. Product facts. Quick-selection. Swirl diffuser UDZ. Product code example:
UDZ Swirl diffuser Swirl diffuser UDZ, which is intended for installation in a ventilation duct, can be used in premises with a large volume, for example factory premises, storage areas, superstores, halls,
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότεραSOAP API. https://bulksmsn.gr. Table of Contents
SOAP API https://bulksmsn.gr Table of Contents Send SMS...2 Query SMS...3 Multiple Query SMS...4 Credits...5 Save Contact...5 Delete Contact...7 Delete Message...8 Email: sales@bulksmsn.gr, Τηλ: 211 850
Διαβάστε περισσότεραOrdinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal
Διαβάστε περισσότεραSection 9.2 Polar Equations and Graphs
180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify
Διαβάστε περισσότεραSurface Mount Multilayer Chip Capacitors for Commodity Solutions
Surface Mount Multilayer Chip Capacitors for Commodity Solutions Below tables are test procedures and requirements unless specified in detail datasheet. 1) Visual and mechanical 2) Capacitance 3) Q/DF
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΓΚΡΑΤΗΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΠΡΟΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότερα