Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής

Transcript

1 Τροχιακή Στροφορμή

2 Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L 2 και L z : Σφαιρικές Αρμονικές Σύνοψη Ασκήσεις

3 Τελεστής Στροφορμής Κλασικός ορισμός στροφορμής: Συνιστώσες: +3a Ποσότητα που διατηρείται στην κλασική μηχανική όταν V=V(r) L r p F Κβαντομηχανική: Η στροφορμή είναι ερμητιανός τελεστής. +3b Σχέσεις Μετάθεσης: +3c αφού: Επομένως:

4 Τετράγωνο Στροφορμής Τετράγωνο στροφορμής: Σχέσεις Μετάθεσης: Ταυτόχρονη μέτρηση L 2 και L z.

5 Αναπαράσταση θέσης r Σφαιρικές Συντεταγμένες r, θ, : Αντίστροφος μετασχηματισμός: Σχέση διαφορικών τελεστών: +3d

6 Αναπαράσταση θέσης Σχέση διαφορικών τελεστών: Τελεστές στροφορμής σε σφαιρικές συν/νες: +3f

7 Αναπαράσταση θέσης Τελεστές στροφορμής σε σφαιρικές συν/νες: +3g Οι τελεστές (συνιστώσες) της στροφορμής αναπαρίστανται σε σφαιρικές συν/νες στον χώρο των θέσεων συναρτήσει μόνο των συν/νων θ και και όχι της ακτίνας r.

8 Τελεστές Δημιουργίας και Καταστροφής Ορίζουμε: Έυρεση [L +,L - ]: Όμοια δείχνουμε ότι +3h Έυρεση [L +,L z ]: Όμοια για [L -,L z ]:

9 Τελεστές Δημιουργίας και Καταστροφής στον χώρο θέσεων Ορίζουμε: +3i

10 Ιδιοκαταστάσεις Στροφορμής Εξισώσεις Ιδιοτιμών: παραμετροποιημένες ιδιοτιμές (l 0) ιδιοκατάσταση Ορθοκανονικές Ιδιοκαταστάσεις: Δημιουργία Ιδιοκαταστάσεων με τον L + : L Y l m ~ Y l m 1

11 Ιδιοκαταστάσεις Στροφορμής Δημιουργία Ιδιοκαταστάσεων με τον L + (αύξηση ιδιοτιμών): L Y l m ~ Y l m 1 Καταστροφή Ιδιοκαταστάσεων με τον L + (μείωση ιδιοτιμών): L Y l m ~ Y +3i l m 1

12 Εύρεση Σταθερών Αναλογίας L Y l m ~ Y l m 1 L Y l m ~ Y l m 1

13 Εύρεση Σταθερών Αναλογίας Εύρεση σταθερών c +, c - : lm L L lm c c * lm lm lm L L lm c c * lm lm Επομένως: και

14 Ιδιοτιμές του L z Δοκιμαστική μορφή ιδιοκατάστασης L 2, L z : Ορθοκανονικότητα: m 0, 1, 2, 3... Κανονικοποίηση: +3i

15 Ιδιοτιμές του L 2 Έστω η κυματοσυνάρτηση Προφανώς ισχύει: Επομένως:

16 Ιδιοτιμές του L 2 Όμοια, από την σχέση: έχουμε: +3j 1 1 4l 4l 0,( 1) m m l l m l l 2 2 m m l l 0 l 1 m l 1 1 4l 4l 0,( 1) m m l l m l l 2 2 m m l l l m l

17 Ιδιοτιμές του L 2 Έχουμε δείξει ότι: και m 0, 1, 2, 3... Έστω m - η ελάχιστη τιμή του m. Ισχύει: Ακόμα ισχύει: Έπομένως +3k m 0

18 Ιδιοτιμές του L 2 Έχουμε δείξει: m 0 Όμοια δείχνουμε για την μέγιστη τιμή του m (m + ): +3l Άρα ο κβαντικός αριθμός m παίρνει τις ακέραιες τιμές: Ενώ ο κβαντικός αριθμός l είναι μη αρνητικός παίρνει τις ακέραιες τιμές:

19 Ιδιοτιμές του L 2 Αβεβαιότητα L x, L y : Δυνατές τιμές του L z για l=3

20 Ιδιοκαταστάσεις των L 2, L z Σφαιρικές Αρμονικές Έχουμε δείξει ότι η μέγιοτη τιμή του m είναι +l. Άρα: Δοκιμαστική λύση: +3m Όμοια δείχνουμε ότι: +3n

21 Ιδιοκαταστάσεις των L 2, L z Σφαιρικές Αρμονικές Ξεκινόντας από την Υ ll βρίσκουμε με δράση του L - τις ιδιοκαταστάσεις με μικρότερο m: Γενικά ισχύει: +3o Όμοια δείχνουμε ότι: +3p

22 Ιδιοκαταστάσεις των L 2, L z Σφαιρικές Αρμονικές Συνεχίζοντας από την Υ l l-1 βρίσκουμε με δράση του L - τις ιδιοκαταστάσεις με μικρότερο m: l 1 +3q Όμοια δείχνουμε ότι: +3r Γενικεύοντας έχουμε:

23 Ιδιοκαταστάσεις των L 2, L z Σφαιρικές Αρμονικές Αντίστοιχα έχουμε: Γενικεύοντας έχουμε (m 0): m 0

24 Ιδιοκαταστάσεις των L 2, L z Σφαιρικές Αρμονικές Σφαιρική συμμετρία για (l,m)=(0,0) (l,m)=(1,0) (l,m)=(1,±1) (l,m)=(0,0)

25 Ιδιοκαταστάσεις των L 2, L z Σφαιρικές Αρμονικές Γωνιακή Πυκνότητα Πιθανότητας

26 Κανονικοποίηση Σφαιρικών Αρμονικών Για κανονικοποίηση απαιτούμε: Μετά από πράξεις βρίσκουμε: όπου (m 0): και (m 0): Επομένως; Ορθοκανονική βάση;

27 Σύνοψη Ο κβαντομηχανικός τελεστής της στροφορμής προκύπτει από την αντίστοιχη κλασική ποσότητα και θα παίξει σημαντικό ρόλο στην λύση της εξίσωσης του Schrodinger για κεντρικά δυναμικά V(r) σε 3D. Οι συνιστώσες της στροφορμής δεν μετατίθενται μεταξύ τους και επομένως δεν έχουν κοινή βάση ιδιοκαταστάσεων. Το τετράγωνο της στροφορμής L 2 μετατίθεται με κάθε συνιστώσα και επομένως υπάρχει κοινή βάση ιδιοκαταστάσεων μεταξύ L 2 και L z. Οι ιδιοτιμές των L 2 και L z έχουν την μορφή l(l+1)ћ 2 και mћ αντίστοιχα όπου l είναι μη αρνητικός ακέραιος και για κάθε l o m παιρνει τις τιμές l, -l+1, -1,0,1, l-1,l. Οι ιδιοκαταστάσεις στον χώρο των θέσεων των L 2 και L z λέγονται Σφαιρικές Αρμονικές Υ lm (θ,φ) και αποτελούν ορθοκανονική βάση.

28 Άσκηση 1 Δείξτε ότι Από τον ορισμό της στροφορμής έχουμε: Επομένως: Χρησιμοποιούμε τις γνωστές σχέσεις μετάθεσης:

29 Άσκηση 2 Δείξτε ότι Για κάθε συνιστώσα έχουμε: Επομένως

30 Άσκηση 3 Θεωρήστε σύστημα με l=1 βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών L x, L y, L z και L 2 στην βάση των ιδιοκαταστάσεων των L z και L 2. Συμβολίζουμε τις ιδιοκαταστάσεις ως: Η δράση του L x στην βάση αυτή είναι: Επομένως:

31 Άσκηση 3 Θεωρήστε σύστημα με l=1 βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών L x, L y, L z και L 2 στην βάση των ιδιοκαταστάσεων των L z και L 2. Αντίστοιχα για την L y έχουμε: Επίσης για την L z έχουμε: L z

32 Άσκηση 3 Θεωρήστε σύστημα με l=1 βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών L x, L y, L z και L 2 στην βάση των ιδιοκαταστάσεων των L z και L 2. Τέλος για την L 2 έχουμε: Συγκεντρωτικά:

33 Άσκηση 4 Θεωρήστε σύστημα με l=1 βρείτε πιθανότητα να δώσει μια μέτρηση της L x τιμή ίση με 0 αν η κατάσταση του συστήματος στην βάση των L z και L 2 είναι Θα βρούμε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές του L x και μετά θα προβάλουμε την κατάσταση που δίνεται στην ιδιοκατάσταση με L x =0. Σύμφωνα με την προηγούμενη άσκηση, αναπαράσταση του L x είναι: Έστω ότι οι ιδιοτιμές του L x είναι της μορφής H ιδιοτιμή λ είναι λύση της

34 Άσκηση 4 Έστω ότι οι ιδιοτιμές του L x είναι της μορφής H ιδιοτιμή λ είναι λύση της Με λύσεις Επομένως οι ιδιοτιμές της L x είναι ±ћ και 0. Έστω το ιδιοδιάνυσμα της L x που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή +ћ: με συνθήκη κανονικοποίησης:

35 Άσκηση 4 Έστω το ιδιοδιάνυσμα της L x που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή +ћ: με συνθήκη κανονικοποίησης: Η εξίσωση ιδιοτιμών είναι: που οδηγεί σε

36 Άσκηση 4 Έστω το ιδιοδιάνυσμα της L x που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0: με συνθήκη κανονικοποίησης: Η εξίσωση ιδιοτιμών είναι: που οδηγεί σε Όμοια βρίσκουμε: +3s

37 Άσκηση 4 Η κατάσταση του συστήματος γράφεται: Επομένως: Άρα η πιθανότητα να δώσει η μέτρηση την τιμή L x = 0 είναι

38 Άσκηση 5 Έστω σωμάτιο με κυματοσυνάρτηση: Βρείτε την πιθανότητα μέτρηση των L z και L 2 να δώσει τις τιμές L z = 0 και L 2 = 2 ћ 2. Δίνονται οι γνωστές σχέσεις: Εκφράζουμε την κυματοσυνάρτηση σε σφαιρικές συν/νες όπου Έχουμε:

39 Άσκηση 5 Από την μορφή των σφαιρικών αρμονικών που δίνονται, εύκολα προκύπτει ότι: +3t Έστω η κανονικοποιημένη γωνιακή κυματοσυνάρτηση Έχουμε: +3u

40 Άσκηση 5 Άρα η πιθανότητα να δώσει η μέτρηση L z = 0 και L 2 = 2 ћ 2 είναι Όμοια έχουμε:

41 Άλυτες Ασκήσεις 1. Συμμετρική σβούρα έχει ενέργεια της μορφής Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές της Χαμιλτονιανής Βρείτε την αναμενόμενη (μέση) τιμή του τελεστή L x + L y + L z σε μια από τις ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτονιανής. Την t=0 το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση l,m>= 3,0>. Ποια μέτρηση θα προκύψει για την L z σε μια επόμενη χρονική στιγμή; 2. Σύστημα βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση l,m>. Βρείτε το άθροισμα των αβεβαιοτήτων ΔL x2 + ΔL y Δείξτε ότι

42 Άλυτες Ασκήσεις 4. Αποδείξτε τις σχέσεις που δεν αποδείχτηκαν στην διάλεξη. Συγκεκριμένα: L Y l m ~ Y l m 1