Nastavna jedinica: Odziv LTI sustava. Prof.dr.sc. Zoran Vukić.

Transcript

1 Nasavna jedinica: Odziv LTI susava Prof.dr.sc. Zoran Vukić

2 Odziv LTI susava Cilj Naučii posupke za određivanje odziva LTI susava (konvolucijom, L-ransformacijom, rješavanjem ODE) Razlikovai vrse odziva LTI susava (slobodan, prinudan, prirodan, forsiran, prolazan, usaljen) Definicija linearnog susava, ežinska funkcija, prijelazna karakerisika, prirodni modovi Funkcija prijenosa, razvoj u parcijalne razlomke

3 3 Pregled prehodnog predavanja Topologija SAU je vrlo važna Posoje dvije emeljne srukure OL i CL CL srukura je emeljna u auomaici Svaka srukura ima svojih prednosi i nedosaaka. Projekan ovisno o zadaku odlučuje kakvu će srukuru korisii Vodeća (posavna) veličina Vodeća ve ličina REGULATOR REGULATOR AR A/D A/D Selekor reference Kore kor vode će ve ličine + Upravljačka veličina r Sa Sa + Algoriam upravljanja Algoriam upravljanja + AKTUATOR AKTUATOR Komp. porem. Digialno računalo - ε D/A D/A Regulaor Izvršna veličina Senzor porem. Unaprijedna pelja Deekor u c u c Senzor Senzor OBJEKT OBJEKT v Akuaor + Objek Izlazna (regulacijska) veličina w Pelja povrane veze u Kond.sig. Kond.sig. + akuaor + akuaor y Objek Objek y

4 4 Posupci dobivanja odziva Primjenom konvolucijskog inegrala Primjenom Laplaceove ransformacije Rješavanjem diferencijalne jednadžbe

5 Primjena konvolucijskog inegrala za dobivanje odziva LTI susava 5 U obradi signala česo se korise dvije osnovne vrse množenja - konvolucijsko i obično: Konvolucijsko svojsvo: Modulacijsko svojsvo: F y () = g () u () Y( ω) = G( ω) U( ω) F y () = gu () () Y( ω) = G( ω) U( ω)

6 6 Svojsva konvolucijskog množenja Konvolucija neke funkcije s dela (Dirac) funkcijom ne mijenja u funkciju: Zakon komuaivnosi: Zakon disribuivnosi: g() u () + u () = g() u () + g() u () [ ] Zakon asocijaivnosi: g () δ () = g () g() u() = u() g() [ ] [ ] g () u () x () = g () u () x ()

7 7 Tabela konvolucijskog množenja dviju funkcija f₁() f₂() f₁()*f₂()=f₂()*f₁() f() δ() f() e λ S() S() -(/λ)(-e λ )S() S() S() S() e λ₁ S() e λ₂ S() [/(λ₂-λ₁)](e λ₂ -e λ₁ )S(); λ₁ λ₂ m S() n S() [(m!n!)/(m+n+)!] m+n+ S()

8 8 Odziv LTI susava - konvolucijom u() Regulaor g() y() def y () g () u () g ( τ ) u( τ) dτ g( τ) u ( τ) dτ = = = Analizom konvolucijskog inegrala slijedi da dag(-τ) predsavlja ežinski fakor koji opisuje s kolikom ežinom prošle pobude u(τ), - - < τ <uječu na na sadašnji odziv susava y()

9 9 Težinska funkcija δ () = za = δ() Regulaor g() y()=g() def y () g () δ() g ( τ) δ( τ) dτ g( τ) δ( τ) dτ g () = = = = Težinska funkcija susava definirana je kao odziv LTI susava na dela (Dirac) pobudu

10 δ() impuls g() y() odziv Odziv () = () = ( ) ( ) y g g τ δ τ dτ y() Odziv na impuls = ežinska funkcija Vrijeme

11 Svojsvo uzorkovanja f() f(a) + δ() d= δ() d= + Svojsvo uzorkovanja: + δ( a) f( τ) dτ = f( a) a

12 Primjer u() = S() y() =? Regulaor g() a) a g ( ) = e S ( ) gdje je a> u().75 Kauzalan susav jer je je g() = za za < [s] b) a e za < g ( ) = gdje je a> a e za > Nekauzalan susav jer je: g ( ) za < u() [s]

13 3 def y () = g () u () = g( τ ) u ( τ) dτ u(τ) g(τ) τ τ a) g(τ)u(-τ) = za < g( τ) u( τ) aτ e za < τ < = za osale τ u(-τ) τ g(τ)u(-τ) τ def aτ aτ () ( ) ( ) ( a y = gτ u τ dτ = e dτ = e = e ) S () a a y zs Odziv za slučaj a= y() [s] 4 5 Prof.dr.sc. Zoran Vukić

14 def y () = g () u () = g( τ ) u ( τ) dτ b) g( τ) u( τ) def aτ g( τ) u ( τ) = e za < aτ aτ aτ aτ a τ τ a a a a ( ) y () = e d + e d = e e = + e S () y zi aτ e za < τ < = za τ > y zs u(τ) u(-τ) τ τ g(τ) g(τ)u(-τ) 4 τ τ Odziv za a =.8.6 y() [s] Ukupan odziv: y( ) = g( τ ) u( τ) dτ + g( τ) u( τ) dτ slobodan odziv y ( ) prinudan odziv y ( ) zi Prof.dr.sc. Zoran Vukić zs

15 Slobodan odziv y zi i yzi () g( τ) u ( τ) dτ Ce λ i i= = = slobodan odziv y ( ) zi n zi() Odziv LTI susava za > 5 Sadrži samo prirodne modove e λ kada nema pobude u() = ; > na pobudu koja je na susav djelovala do renuka (u() ; < ) ili na počene uvjee uz u() = ; > Slobodan odziv pokazuje kako će susav rošii u prošlosi sakupljenu energiju kada je prepušen sam sebi

16 Prinudan odziv y zs zs() = = + p i q yzs () g( τ) u ( τ) dτ be i Gq ( ) e i= prinudan odziv y ( ) zs G(q) = G(s) za s = q n pobuda odziv susava na pobudu u() ; > uz preposavku da je susav pokrenu s praznim skladišima energije (nuli počeni uvjei) 6 Sadrži pored prirodnih modova e λ i komponenu oblika pobude

17 7 Definicija linearnog susava Susav je linearan ako vrijedi: adiivnos slobodnog i prinudnog odziva susava y() = y zi () + y zs () princip superpozicije (svojsvo adiivnosi i homogenosi) za slobodan odziv princip superpozicije za prinudan odziv

18 8 Laplaceova ransformacija { } def s X + ( s) = L+ x () = xe () d + U slučaju da funkcija ima diskoninuie u ishodišu ada jednosrana Laplaceova ransformacija L + ne može dai očan rezula. Primjer: { δ } def s + () s = L+ () = δ() e d = +

19 9 Jednosrana Laplaceova ransformacija { } def s X () s = L x() = x() e d Primjer: { δ } def s ( s) = L () = δ() e d = Ako x( - )=x( + )ada je X - (s) = X + (s) Ako x( - )#x( + )ada je X - (s) # X + (s)

20 Laplaceova ransformacija acija s X s x e d = ( ) ( ) Original s-funkcija ( ) Dirac impuls δ Skok Rampa Eksponenc. Sinusoida e -a sinω s s s+ a ω s + ω Prof.dr.sc. Zoran Vukić

21 Svojsva Laplaceove ransformacije acije Superpozicija Skaliranje { α ( ) + β ( )} = α ( ) + β ( ) L f f F s F s { α ( )} = α ( ) L f F s Vremensko kašnjenje Derivacija { ( )} λs λ = ( ) L f e F s df L = sf s f d ( ) ( ) d f = ( ) ( ) ( ) L s F s sf f d = Inegracija L f ( ξ) dξ F( s) s

22 Primjer: Neka je original x() koninuirana funkcija po vremenu za > +, sa skokoviim diskoninuieom u ishodišu,, x( - ) x( + ) e sa X - (s) koja je racionalna funkcija po kompleksnoj varijabli s.tada će eorem o počenoj vrijednosi dai: lim sx ( s) = x( + ) x( ) s Teorem o počenoj vrijednosi daje iznos funkcije u + bez obzira na o koju jednosranu Laplaceouvu ransformaciju korisili!! A za u () = AS () = U() s = AS() e d A e za < = = s s s A + A u( ) = lim su( s) = lim s = A u( ) = s s s s

23 3 Konvolucija { ( )} = ( ) () = L f F s { } ( ) L f F s { () ()} = ( ) ( ) L f f F s F s u() g() y() y() = u( ) g( ) L U(s) G(s) Y(s) Y( s) = G( s) U( s)

24 u() inpu h(,τ) y() response 4 z s τ τ τ ( ) = ( ) b g b g b g y = u h d Laplace Y s y e d U(s) H(s) Y(s) Y( s) = H( s) U( s)

25 Rješavanje ODE pomoću 5 Laplaceove ransformacijeacije sy(s) - y() = sy(s) - y() = F(s,Y) F(s,Y) Y(s) = H(s) Y(s) = H(s) Laplaceova Domena Vremenska Domena dy/d = f(,y) dy/d = f(,y) y() = h() y() = h()

26 Laplaceova ransformacija acija s X s x e d ( ) ( ) = 6 U(s) G(s) Y(s) Dinamički susav y + a y = u ( ) ( ) ( ) Akko je y( - ) = Funkcija prijenosa sy s y( ) + ay s = U s ( ) ( ) ( ) G s ( ) Yzs () s = = U() s s + a

27 Razvoj u parcijalne razlomke 7 G s ( ) Y () s Bs () b s + b s + + b = = = U s A s s a s a ( ) G s m m zs m m n n () () + n + + Bs () = = K As () G s m i= n i= ( s z ) i ( s p ) a) Polovi jednosruki, realni i različii Gdje je reziduum dan sa: Kp Kp K p = n s p s p s p ( ) i ( ) ( ) K = s p G s p i i z i nula p i polova s= p i n Dok je original:

28 Original: 8 g K e K e K e za -p -p - p n () = p + p + + p n Primjer (polovi jednosruki različii i realni) K K 3 Gs () 4s+ 9 4s+ 9 K K 3 s + 5s+ 6 s+ s+ 3 s+ s+ 3 = = = + ( )( ) 4s + 9 ( )( ) ( ) 4( ) 9 s s+ s+ 3 ( + 3) + = + = = s= = + 3 = = 3 4s + 9 ( )( ) ( ) ( ) s s+ s+ 3 ( 3+ ) s=3 Reziduumi Original: g () = K e + K e = e + 3 e ; 3 3 3

29 Primjer (polovi jednosruki, realni i različii ali n < m 9 Gs () = 3 s s s ( s+ )( s+ ) Zbog n < m nužno je podijelii polinome B(s) i A(s) kako bi se dobila pravilna racionalna funkcija koja se onda može rasavii na parcijalne razlomke. G () s Gs () = s+ + s+ s+ 3 s 5s 9s 7 s 3 Gs () = = s+ + + s + 3s+ s + 3s+ G ( s) s+ 3 K K s + 3s+ s+ s+ s+ s+ = = + = d g e e d δ δ () = () + () + ; Jedinična duble funkcija: d S () S ( ) + S ( ) δ () = lim d

30 b) G(s) pored jednosrukih i različiih polova na realnoj osi ima i konjugirano kompleksne polove p, =-σ ±jω Gs () Bs () α s+ α Kp K 3 p n A() s ( s+ p)( s+ p) s+ p3 s+ pn = = Posupak određivanja α i α :. Odrede se reziduumi K p3 do K pn po: K = ( s p ) G( s). Odredi se razlika G(s) G(s) p i G(s) i s= p 3 i 3. Izjednačavanjem lijeve i desne srane odrede se α i α Gs () K K α s+ α α s+ α p p s+ p3 s+ pn s + ζωns+ ωn ( s + ζωn) + ωn ( ζ ) 3 n + + = = G(s) ω d

31 Original: p 3 p n n ζ n n g () Kp e K 3 p e e ζω cos sin sin n d e ζω = α ω + ωd + α e ζω ωd ζ od realnih i različiih polova od konjugirano-kompleksnog para polova 3 c) Polovi su višesruki i realni Bs () Bs () Gs () = = As () s p s p s p ν ( + ) ( + ) ( + ) ν K K K Kp Kp n ν ν ( s+ p) ( s+ p ) s+ p s+ pν + s+ p n ν ν ν + = Reziduumi na višesrukim polovima su dani s: ν članova od višesrukih polova n nν članova od jednosrukih polova j d B( s) ν Kν j = ( s p ) gdje j,,, ν j j ds + = A() s s= p

32 K K = ( ν! ) ( ν! ) ν ν ν ν p ν + g() K K e Kp e K p e ν + n 3 p p n

33 Razvoj u parcijalne razlomke kompleksni korjeni 33 K = Primjer: ( ) Y s = s + ( + s+ ) s s K αs + α Y( s) = + s s + s+ s+ s = = s s + s+ s s + s+ s αs+ α = α = ; α = s + s+ s + s+ ( ) Y s ζ =.5;ω n = [s - ] i ω d = ω n (-ζ²) =.866 [s - ] ().5.5 Polovi su: p p, 3 3 = ± j = y = e cos e sin.866 ;

34 Razvoj u parcijalne razlomke --višesruki korjeni 34 Primjer: ( ) G s ( ) G s ( ) G s = s + 3 ( s+ )( s+ ) K K K = + + s+ s+ s + ( ) = s+ s+ s + ( ) K ( ) + 3 K = = K ( + ) ( ) + 3 = = ( + ) d s+ 3 = = ds ( s + ) s = g = e e e ( )

35 Teorem konačne vrijednosi 35 Primjer: lim b g y = lim s b g sys Y b s s g 3 b + g = ss d + s+ i Iznos u usaljenom sanju: b g b g y = sy s = s 6.

36 Pojačanje susava Primjer: ( ) G s ( ) s ( s ) b g DC gain = lim sg s = s s 3 + 3s + 6 = = s s s s DC gain = G s = G() =.6 Prijelazna karakerisika s Prof.dr.sc. Zoran Vukić b g limgs m Bs () bs m + b s + + bs+ b Gs () = = n A() s a s + a s + + as+ a B() b G() = = A() a Vrijeme n m m n n Primjer: 36 b b + s bs b b st Gs () = = = K as+ a a + st a + s a + +

37 Teorem počene vrijednosi lim sg s s 37 ( ) ( + = g ) Primjer: ( ) G s = s + 3 ( s+ )( s+ ) + s + 3 g( ) = lim sg( s) = lim s = s s s s ( + )( + ) g() Prof.dr.sc. Zoran Vukić

38 Laplaceova ransformacija u rješavanju diferencijalne jednadžbe () ( ) ( uz ) i ( α ) y + y = y = y = β 38 ( ) α β ( ) sy s s Y s ( ) ( ) Y s + Y s = αs+ β zi ( s) + = αs β = + s + s + y zi ( ) = [ αcos + β sin ]

39 Pobuđen LTI susav 39 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ; ) i ( α ) y + y + y = S uz y = y = β ( ) ( ) ( ) α β 5 [ ( ) α] 4 ( ) sy s s sy s Y s Y s Y s + + = 3 ( αs+ β + 5α) 3 ( + )( + 4) ( + )( + 4) s = + s s s s s s Y ( s) Y ( s) zi 3β4α 34α4β 4 3 = + s s+ s+ 4 Y p Y h zs 3 s b g = β 4α 3 4α 4β y e e 4 3 4

40 Pobuđen LTI susav pobuda se prigušuje () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y + 5y + 4y = u uz y =, y = () = pobuda: u e S( ) 4 ( ) 5 ( ) 4 ( ) sy s sy s Y s Y Y zs zs ( s) ( s) + + = s + = ( s+ )( s+ )( s+ 4) 3 3 = + + s+ s+ s+ 4 od pobude prirodni modovi prirodni modovi od pobude 4 yzs () = e + e + e 3 3 prolazan (ranzijenni) odzv i

41 b g = u e s+ s+ 4 b g Us = s + b gb g Ys b g = b s gb + s+ gb s+ 4 g 4..5 u()*. b g = + + y e e e y() ime

42 Pobuđen LTI susav pobuda rajna () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y + 5y + 4y = u uz y =, y = () = pobuda: u e S( ) ( ) 5 ( ) 4 ( ) sy s sy s Y s Y Y zs zs ( s) ( s) + + = s = ( s )( s+ )( s+ 4) = + s s+ s+ 4 od pobude prirodni modovi 4 od pobude prirodni modovi 4 yzs () = e e + e usaljeni odziv prolazan (renzijenni) odziv

43 43 Prolazan i usaljeni odziv Prolazan (ranzijenni) odziv onaj dio odziva koji se s vremenom prigušuje i nesaje Usaljeni odziv onaj dio odziva koji preosane nakon šo je prolazan odziv isčeznuo i koji salno posoji od pobude () usaljeni odziv prirodni modovi yzs =.5.5 e ; prolazan (renzijenni) odziv.6.5 y() [s]

44 44 Prirodan i forsiran odziv Dobije se rješavanjem ODE općeg oblika: n a i m j d y() d u() = bj j d i i i= d j= Karakerisična jednadžba je dana sa: a n λⁿ+a n- λ n a λ+a = Homogeno rješenje raži se u obliku: Prirodan odziv n λi λ λ λn yh() = Ce i = Ce + C e + + C ne i= prirodni mod prirodni mod prirodni mod

45 45 Parikularno rješenje y p () poprima oblik pobude koja djeluje na susav. Prof.dr.sc. Zoran Vukić Ukupan odziv: y () = y() () h + yp prirodan odziv forsirani odziv y() = y () () () () zi + y zs = y h + y p slobodan odziv prinudan odziv prirodan odziv forsirani odziv Općenio vrijedi: - slobodan i prirodan odziv nisu idenični - prinudan i forsiran odziv nisu idenični

46 Primjer odziv LTI susava na eksponencijalnu pobudu 46 y() = g()*u() ; u() = e q Za slučaj jednosrukih realnih i različiih polova vrijedi: e je: n Bs () K { ()} pi L g = G( s) = = A() s s p n i g () = Kp e i= i p i= i Odziv je: n n p i i= i= y Ce K e e i q i () = + p i p Iz abele konvolucije s eksponencijalnom pobudom slijedi

47 p n n K n n p () ( ) i pi q p i p i p i q y = Ce i + e e = Ce i + be i + Gqe ( ) i= i= s pi i= i= y zs y 47 Slobodan odziv Prirodan odziv U abeli L{.} predsavlja linearnu operaciju nad funkcijom po kompleksnoj varijabli s. u() u() = L{e s } y p () = L{G(s)e s } ke q kl{e s } s=q =ke q G(q)ke q k kl{e s } s= =ke G()k = k(b /a ) k k(de s /ds) s= K[(b₁/a )-(ba₁)/(a )] +k(b /a ) Tabela forsiranih odziva za eksponenc. pobude

48 48 Zaključak - Primjena konvolucije daje slobodan (y zi ) i prinudan odziv (y zs ) Primjena L-ransformacije akođer daje slobodan i prinudan odziv Rješavanjem ODE dobii će se prirodan (y h ) i forsiran odziv (y p ) - ovi odzivi ne mogu se dobii eksperimenalno! Počeni uvjei za konvoluciju i L-ransformaciju su s lijeva ( - ), dok su počeni uvjei za rješavanje ODE s desna ( + ) i u slučaju diskoniuiea pobude moraju se prebacii u počene uvjee s lijeva!

49 49 Zaključak -- Dinamika sabilnog rajno pobuđenog LTI susava ogleda se u prolaznom odzivu, dok se njegova svojsva u usaljenom sanju ogledaju u njegovom usaljenom odzivu Definicija linearnog susava, ežinska funkcija, prijelazna karakerisika, prirodni modovi