Fourierova transformacija kontinuiranog aperiodičnog signala. Fourierova transformacija. signala. x(t) aperiodični signal konačnog trajanja

Transcript

1 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog x() aperiodični signal konačnog rajanja kreiramo periodični signal peiroda T p periodičnim ponavljanjem x() A x().8a.6a.4a.a A x p ().8A.6A.4A.A -Tp Tp 3

2 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog vrijedi da je: x ( ) = lim x ( ) Tp p ova inerpreacija kao i prehodni primjer ukazuju da bi spekar x() mogli dobii iz spekra x p ()uz T p 4 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog prikaz x p () uz pomoć Fourierovog reda je: gdje je = = T jπkf xp() cke F k= p Tp / j kf c = k xp() e d T π p Tp / 5 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog budući je x() = x p () za -T p / T p / možemo pisai: Tp / j kf c = π k xe () d T p Tp / vrijedi akođer da je x() = za > T p / granice inegrala mogu bii zamijenjene s - odnosno jπkf ck = xe () d T p 6

3 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog Definiramo funkciju X(F) koju nazivamo Fourierovom ransformacijom x(): jπ F X ( F) = x( ) e d X(F) je funkcija koninuirane varijable F X(F) možemo povezai s prije izvedenim c k na slijedeći način: 7 iz Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog jπ F X ( F) = x( ) e d i jπkf ck = xe () d T p c = X( kf ) T c = X( kf ) k p k Tp prema ome Fourierovi koeficijeni c k su uzorci X(F) uzei na frekvencijama kf e zaim pomnoženi s F ili sa /T p 8 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog Fourierov red za x p () sada možemo pisai jπkf xp() = X( kf) e F = T T p k = prije je kazano da je x () = lim x () T promorimo gornji Fourierov red kada T p j. F p p 9 3

4 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog j kf pišemo xp() = F X( kf) e π k= inerpreirajmo gornju sumaciju grafički j kf X ( kf ) e π ( ) X F e π j kf F dakle, gornja sumacija predsavlja površinu ispod krivulje ( ) j kf X F e π koja može bii izračunaa i pomoću inegrala kf (k+)f Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog prema ome kada T p ada se x p () reducira na x() i slijedi jπ F x () = X( F) e df jπkf ( ) lim x ( ) = x( ) = lim X kf e F p Tp Tp k = gornji izraz se naziva inverzna Fourierova ransformacija Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog konačno pišemo ransformacijski par: jπ F X ( F) x( ) e d = x() X( F) e j π F df = 4

5 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog Uobičajeno je Fourirerovu ransformaciju prikazai preko kružne frekvencije Ω = πf, uz df=d Ω / π jω X ( ) xe ( ) d Ω = jω x() = X( Ω) e dω π 3 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog Fourirerova ransformacija egzisira ako je signal x() konačne energije j. ako je x () d< alernaivni skup uvjea za egzisenciju Fourirerove ransformacije su i ovdje Dirichleovi uvjei: 4 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog Dirichleovi uvjei za egzisenciju Fourirerove ransformacije:. Signal x() ima konačni broj konačnih diskoninuiea. Signal x() ima konačni broj maksimuma i minimuma 3. Signal x() je apsoluno inegrabilan x () d< 5 5

6 Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski koninuiranih energija aperiodičnog koninuiranog x(), čija je Fourierova ransformacija X(F) je: kako je slijedi: Ex = x () d x() = x() x () 6 Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski koninuiranih E = x () d= x () x() d= x jπ F x() X ( F) e df d jπ F X ( FdF ) xe ( ) d = = = = X ( F) df 7 dakle vrijedi: Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski koninuiranih E = x () d= x X ( F) df šo je Parseval-ova relacija za aperiodične koninuirane signale konačne energije i izražava princip očuvanja energije u vremenskoj i frekvencijskoj domeni 8 6

7 Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski koninuiranih spekar X(F) općenio je kompleksna funkcija pa je uobičajen njegov prikaz u polarnom obliku X( F) = X( F) e Θ j ( F ) gdje je X(F) ampliudni spekar a θ(f) fazni spekar s druge srane inegrand X(F) u prehodnom inegralu predsavlja disribuciju energije u signalu kao funkciju frekvencije. 9 zao se S xx (F) Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski koninuiranih Sxx = X( F) naziva gusoća spekra energije x() kako je prije pokazano inegral S xx (F) preko svih frekvencija daje oalnu energiju S xx (F) ne sadrži informaciju o faznom spekru pa nije moguće rekonsruirai signal opisan s S xx (F) Spekar realnih aperiodičnih vremenski koninuiranih za realni signal x() slijedi iz para za Fourierovu ransformaciju: X( F) = X( F) arg ( ) arg ( ) ( X F ) = ( X F ) 7

8 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Zadan je pravokuni signal za koji reba odredii Fourierovu ransformaciju: x() A τ / x () = > τ / Α τ/ τ/ Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Vremenski koninuirani signal x() je aperiodičan i zadovoljava Dirichleove uvjee pa izračunavamo Fourierovu ransformaciju τ / jπ F sinπfτ X( F) = Ae d = Aτ πfτ τ / x() X(F) Α Ατ F τ / τ / /τ /τ /τ 3 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Očigledno je da je X(F) realna (x() je paran) pa je dovoljno crai samo jedan dijagram. Koeficijeni Fourierovog reda (linijski spekar) periodičnog pravokunog akođer su bili oblika sinx/x. X(F) je zapravo dodirnica linijskog spekra periodičnog koji je nasao periodičnim ponavljanjem (s periodom T p ) aperiodičnog x() τ / τ / jπ F sin F X( F) = Ae d = Aτ π τ πfτ 4 8

9 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Drugim riječima Fourierovi koeficijeni c k periodičnog x p () su jednosavno uzorci X(F) na frekvencijama kf = k /T p dakle: k ck = X( kf ) = X Tp T p T p 5 x() X(F) Α Ατ F τ/ τ/ /τ /τ /τ x() X(F) Α Ατ Ατ F τ/ τ/ /τ /τ /τ /τ 6 x() X(F) Α Ατ Ατ F τ/ τ/ /τ /τ /τ /τ x() X(F) Α Ατ Ατ/ Ατ/ F τ/ τ/ /τ /τ /τ /τ 7 9

10 Α Ατ Usporedba Fourierovih ransformacija za različie vrijednosi širine aperiodičnog pravokunog relacija neodređenosi Α Α τ/ τ/ τ/ τ/ 6/τ /τ /τ 6/τ Ατ Ατ 7/τ 5/τ 3/τ /τ /τ 3/τ 5/τ 7/τ 4Ατ Ατ τ/ τ/ 3/τ /τ /τ /τ /τ 3/τ x( ) = Ae a A =, a = Ω π a x( Ω) = A e a A =, a = Ω x( ) = Ae a A =, a = Ω π a x( Ω) = A e a A =, a = Ω 9 Frekvencijska analiza vremenski diskrenih

11 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih aperiodični diskreni signal možemo generirai iz koninuiranog aperiodičnog oipkavanjem posupak uzimanja uzoraka ili oipkavanja koninuiranog možemo maemaički modelirai kao pridruživanje funkciji x() niza impulsa, čiji inenzie je proporcionalan renunim vrijednosima koninuiranog x s ()= S T {x()} 3 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih Možemo o inerpreirai kao modulaciju impulsnog niza δ () = δ( nt) funkcijom x(), j. x () T + n= x () = x() δ ( nt) s + x s() x () xs() δt δ T 3 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih / x( ) x( ) δ(- ) δ () x() + x() za x( ) = x( ) δ ( ) d x () = x () δ () za mali x () = x( ) δ ( ) x( ) δ ( ) x () = x() δ( ) x( ) δ( ) 33

12 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih zbog svojsva dela funkcije da vadi vrijednos koninuirane funkcije x() na mjesu diskoninuiea - nt =, j. n = nt, može se napisai i u obliku: x () = x( nt) δ ( nt) s + n= 34 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih usporedimo spekre ovih za signal x() vrijedi par: jπ F X ( F) x( ) e d = x() X( F) e j π F df = Periodičan niz δ T nasao ponavljanjem dela funkcije svakih T, kao svaka periodična funkcija se dade predsavii Fourierovim redom, gdje su Fourierovi koeficijeni dani s: 35 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih T/ ck = e d F T δ = = T T T/ F s je frekvencija oipkavanja jπ kfs (), s. /T -3T -T -T T T 3T -3/T -/T -/T /T /T 3/T + j kfs δt() = cke π + jπ kfs = e k = T k = slijedi:. F 36

13 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih spekar oipkanog x s () dan je s: + jπ F jπ kf s jπ F X s( F) = xs( ) e d = x() e e d T zamjenom redoslijeda sumacije i inegracije dobivamo: + + j π ( F kfs ) X s ( F) = x( ) e d T k = inegral je spekar x(), ali pomaknu za kf s, pa izlazi: + + X s( F) = X( F kfs) = Fs X( F kfs) T k= k = k= 37 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih pokazano je da je spekar oipkanog dakle diskrenog periodičan pa Fourierovu ransformaciju diskrenog x[n] konačne energije možemo pisai: ( ) ( j ω X ω = X e ) = x[ n] e n= n 38 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih važno je primijeii da je X(e ) periodičan s periodom π j( ω+ πk) j( ω+ πk) n n= n jπkn e n n= X( ω+ πk) = X( e ) = x[ n] e = = xne [ ] n= = xne [ ] = X( e ) = X( ω) ovo je posljedica činjenice da je za diskreni signal frekvencijsko područje limiirano samo na inerval (-π, π) ili (, π) i da su sve frekvencije izvan og inervala ekvivalenne frekvencijama unuar inervala 39 3

14 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih X( e ) = x[ n] e n= n gornji izraz predsavlja prikaz X(e )uz pomoć Foureirovog reda pa uzorci x[n] predsavljaju Foureierove koeficijene izračunavanje x[n] iz X(e ) 4 Fourierova ransformacija diskrenih aperiodičnih X( e ) = x[ n] e n= n izračunavanje x[n] iz X(e ) započinje množenjem obje srane s e m i inegracijom preko inervala (-π, π): π π π = π n= ( j ω ) j ω m X e e d x[ n] e j ω n e j ω ω m dω 4 Fourierova ransformacija diskrenih aperiodičnih π π π = π n= ( j ω ) j ω m X e e d x[ n] e j ω n e j ω ω m dω desna srana se preuređuje i izračunava: n= π ( m n) π x[ m] m= n xn [ ] e dω = m n π pa je konačno: π m x[ m] = X( e ) e dω π π 4 4

15 Fourierova ransformacija diskrenih aperiodičnih zaključno, par za Fourierovu ransformaciju aperiodičnih diskrenih je X( e ) = x[ n] e π n x[ n] = X( e ) e dω π π n= n 43 Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski diskrenih energija aperiodičnog diskrenog x[n], čija je Fourierova ransformacija X(e ), je: uz E x n= = xn [ ] x[ n] = x[ n] x [ n] izrazimo energiju E x pomoću spekralne karakerisike X(e ) 44 Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski diskrenih n Ex = xn [ ] x[ n] = xn [ ] X ( e ) e dω π n= n= π π π n Ex = X ( e ) x[ n] e dω π π n= π π Ex = X ( e ) X( e ) dω X( e ) dω π = π π π 45 5

16 dakle vrijedi: Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski diskrenih Ex = xn [ ] = X( e ) dω π n= π π šo je Parseval-ova relacija za aperidodične diskrene konačne energije 46 Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski diskrenih kao i u slučaju aperiodskih koninuiranih i ovdje je uobičajen prikaz spekra u polarnom obliku: j j j ( ) Xe ( ω ) Xe ( ω Θ = ) e ω a S ( e ) = X( e ) xx predsavlja raspodjelu energije kao funkciju frekvencije i naziva se gusoća spekra energije 47 Spekar realnih aperiodičnih vremenski diskrenih nadalje za realni signal vrijedi: čemu je ekvivalenno Xe ( ) = X( e ) ( j ω ) ( j ω ) i arg ( j ω Xe Xe Xe ) arg Xe ( j ω = = ) odnosno S ( e ) = S ( e ) xx xx 48 6

17 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Zadan je pravokuni signal za koji reba odredii Fourierovu ransformaciju: A n L xn [ ] = za osale n x[n] Ampliuda L=5 A= Korak n 49 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Fourierova ransformacija ovog je: L n n X( e ) = x[ n] e = Ae n= n= L e j( ω /)( L ) A Ae sin( ωl/) = = e sin( ω /) 5 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Ampliudni spekar je: AL ω = X( e ) = sin( ωl / ) A sin( ω / ) za osale ω fazni spekar je: j sin( L / ) arg X( e ω ) = arg A ω ( L ) + arg ω sin( ω /) apomena: faza realne veličine je nula kada je ona poziivna a π kada je veličina negaivna 5 7

18 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog 5 Ampliudni spekar X(e ) Ampliuda ω /π Fazni spekar arg[h(e )] L=5 A= Faza u radijanima ω /π 5 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog 6 Realni dio X(e ) Ampliuda ω /π Imaginarni dio X(e ) L=5 A= Ampliuda ω /π 53 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog 5 Ampliudni spekar X(e ) Ampliuda ω /π Fazni spekar arg[h(e )] L=4 A= Faza u radijanima ω /π 54 8

19 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog 5 Realni dio X(e ) Ampliuda ω /π Imaginarni dio X(e ) L=4 5 Ampliuda ω /π 55 Veza Fourierove ransformacije i z - ransforamcije Z ransformacija je definirana kao X ( z) = x[ n] z n ROC: r < z < r n= kompleksna varijabla z izražena u polarnom obliku: gdje je z = j re ω r = z & ω = arg( z) 56 Veza Fourierove ransformacije i z - ransforamcije Unuar područja konvergencije X(z) možemo supsiuirai z=re u izraz za z ransformaciju pa slijedi: n n X( z) = x[ n] r e z= re n= ovaj izraz možemo inerpreirai kao Fourierovu ransformaciju niza x[n]r n alernaivno ako X(z) konvergira za z = ada je X ( z ) x j n j [ ne ω ] X ( e ω = ) z= e n= Dakle Fourierovu ransformaciju možemo inerpreirai kao z - ransformaciju izračunau na jediničnoj kružnici 57 9

20 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih 58 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih Fourierov red za koninuirani periodični signal x(), perioda T p, je: j kf x () = ce π k k= signal x() može bii prikazan s beskonačnim brojem frekvencijskih komponeni spekar je diskrean pri čemu je razmak između susjednih komponeni /T p 59 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih diskreni periodični signal x[n] ima periodični spekar (zbog diskrenosi u vremenskoj domeni) koji se ponavlja svakih π područje frekvencija (-π, π) ili (,π) diskreni periodični signal x[n] ima diskrean spekar (zbog periodičnosi u vremenskoj domeni) pri čemu je razmak između susjednih frekvencijskih komponeni π/ radijana Fourierov red za periodični diskreni signal sadržavai će najviše frekvencijskih komponeni 6

21 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih Za diskreni periodični signal x[n] perioda vrijedi: x[ n] = x[ n+ ] za svaki n Fourierov red periodičnog sadrži harmonički vezanih kompleksnih eksponencijalnih funkcija: j πkn/ e k =,,..., 6 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih Fourierov red za diskreni periodični signal: [ ] = k j π kn/ =,,..., k= xn ce n izvod izraza za Foureriove koeficijene c k : obje srane se množe s eksponencijalom e -jπ l n/ a zaim se produki zbrajaju od n= do n=- j πln/ j π( k l) n/ xne [ ] = ce k n= n= k= 6 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih zamijenimo redoslijed sumacije: uz sumaciju j πln/ j π( k l) n/ xne [ ] = cke n= k= n= j ( k l) n/ e π n= k l =, ±, ±,... = za osale desna se srana reducira na c l pa slijedi: 63

22 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih cl = x ne l = j πln/ [ ],,..., n= šo je izraz za Fourierove koeficijene x[n] 64 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih zaključno, par za Fourierovu ransformaciju periodičnih diskrenih je ck = x ne k = j π kn/ [ ],,..., n= [ ] = k j π kn/ =,,..., k= xn ce n 65 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih jednadžba j π kn/ xn [ ] = ce n=,,..., k k= se u engleskoj erminologiji naziva discree-ime Fourier series (DTFS) Fourierovi koeficijeni c k, k =,,,...,-, omogućavaju prikaz x[n] u frekvencijskoj domeni, ako da c k predsavljaju ampliudu i fazu vezanu uz j kn/ j kn frekvencijske komponene e π = e ω gdje je ω = πk/ k 66

23 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih slijedi važno svojsvo periodičnosi c k j π( k+ ) n/ j πkn/ ck + = xne [ ] = xne [ ] = c n= n= prema ome {c k } je periodični niz s osnovnim periodom prema ome: k 67 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih spekar x[n], koji je periodičan s periodom, je periodičan niz s periodom bilo kojih susjednih uzoraka ili njegova spekra su dovoljni za popuni opis u vremenskoj ili frekvencijskoj domeni 68 Gusoća spekra snage vremenski diskrenih periodičnih za periodični diskreni signal x[n], perioda, srednja snaga je definirana kao: Px = xn [ ] n= i ovdje će srednja snaga bii prikazana pomoću Fourierovih koeficijenaa 69 3

24 Gusoća spekra snage vremenski diskrenih periodičnih j πkn/ Px = x[ n] x [ n] = x[ n] cke n= = n= k= j πkn/ Px = ck x[ ne ] k= n= pa finalno zaključujemo: x = k k = k k= k= P c c c 7 Gusoća spekra snage vremenski diskrenih periodičnih Px = xn = c [ ] k n= k= predsavlja Parseval-ovu relaciju za diskrene periodične signale Parseval-ova relacija pokazuje da je za diskrene periodične signale srednja snaga jednaka sumi snaga svake pojedine frekvencijske komponene niz c k za k=,,..., - predsavlja disribuciju snage kao funkciju frekvencije i naziva se gusoća spekra snage 7 Spekar realnog periodičnog diskrenog za realni periodični x[n] koeficijeni Fourierovog reda {c k }zadovoljavaju slijedeći uvje: iz čega slijedi: c k c = k c = c i arg( c ) = arg( c ) k k k k a zbog c k = c k+ slijedi c = c i arg( c ) = arg( c ) k k k k 7 4

25 Primjer Fourierove ransformacije periodičnog pravokunog zadan je periodični pravokuni diskreni signal kao na slici: x[n] L=5 = korak n - L +L 73 Primjer Fourierove ransformacije periodičnog pravokunog izračunavaju se c k L j πkn/ j πkn/ ck = x[ ne ] = Ae k =,,..., n= n= AL k L A = j πk/ n ck = ( e ) = j π kl/ n= A e k =,,..., j πk/ e 74 c k Primjer Fourierove ransformacije periodičnog pravokunog AL k =, ±, ±,... A jπ k( L )/ sin( πkl/ ) za osale k e sin( πk/ ) = primjeri: 75 5

26 x[n] korak n ampliudni spekar c[k] korak k fazni spekar c[k] 3 L=4 =6 A= korak k 76 x[n] korak n ampliudni spekar c[k] korak k fazni spekar c[k] 3 L=6 =6 A= korak k 77 x[n] korak n ampliudni spekar c[k] korak k fazni spekar c[k] 3 L= =6 A= korak k 78 6

27 5 Ampliudni spekar X(e ) Ampliuda Faza u radijanima ω /π Fazni spekar arg[h(e )] ω /π L=5 aperiodični signal x[n] 5 ampliudni spekar c[k] korak k fazni spekar c[k] 3 - L=5 periodični signal x[n] korak k 79 aperiodičan periodičan koninuirani jω X ( ) xe ( ) d Ω = jω x() = X( Ω) e dω π = jπkf ck xe () d T Tp p j kf x () = ce π k k= diskreni X( e ) = x[ n] e n= π n n x[ n] = X( e ) e dω π π ck = x[ ne ] n= k= j πkn/ xn [ ] = ce π k j kn/ 8 7