MATEMATIČNO-FIZIKALNI PRAKTIKUM 1. naloga: Izračun Gaußovega integrala

Transcript

1 MATEMATIČNO-FIZIKALNI PRAKTIKUM 1 naloga: Izračun Gaußovega integrala Marko Petrič markopetric@guestarnessi Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani (Dated: 18 februar 2007) Prva domača naloga za matematično-fizikalni praktikum je sestavljena iz analize različnih numeričnih metod računanja error funkcije - erf(x) ; x R Pod drobnogled smo vzeli potenčno vrsto, asimptotsko vrsto, racionalno aproksimacijo, ter Simpsonovo 3 integracijsko pravilo V nadaljnji 8 analizi smo pokazali, kako so se posamezne metode razlikovale v časovnem smislu in prav tako kolikšno natačnost lahko z njimi dosežemo Na osnovi dognanj iz sledeče analize smo skonstruirali algoritem, ki na celotnem definicijskim območju izračuna erf(x) Kot zaključek smo se še posvetili inverzu funkcije in smo ga skonstruirali s pomočjo bisekcije in prej dobljene funkcije za celotno območje I UVOD Naloga zahteva, da izračunamo integral Gaußove porazdelitve, ki je podana z w (x 0, σ, x) = 1 e (x x 0 ) 2 2πσ 2σ 2 Ta integral proglasimo za novo funkcijo - error funkcijo, ki je definirana kot erf (x) = 2 x e t2 dt π Za izračun bomo uporabili različne numerične metode, ter jih primerjali po uporabnosti glede na natančnost in časovno zahtevnost Prav tako se bomo ukvarjali s konvergenčnim obnašanjem vrst II 0 TEORIJA A Potenčna metoda Vrednost nepatoloških funkcij se da dokaj z lahkoto dobiti z potenčnimi vrstami Pri uporabi te metode moramo paziti na konvergenčno območje ter na napako, ki jo naredimo, saj če vrsta konvergira, bi morali sešteti neskončno členov Tega nas odreši računalnik, saj le-ta zna računati v prvem približku na 16 mest Potenčno vrsto za error funkcijo lahko zapišemo kot erf (x) = 2 ( 1) n x 2n+1 π n! (2n + 1) n=0 Radi bi ocenili napako, ki bi jo naredili, če bi sešteli nekaj členov te vrste Za trenutek odmislimo, da je ta vrsta alternirajoča, po kvocientnem kriterju vidimo, da je tudi vrsta absolutno konvergentna a n+1 lim = lim n a n n x 2n+3 (n+1)!(2n+3) x 2n+1 n!(2n+1) = lim n x2 2n + 1 (n + 1) (2n + 3) = 0 Tako vemo, da potenčna vrsta za erf(x) tudi absolutno konvergira in lahko omejimo napako, ki jo naredimo pri seštevanju z vrednostjo naslednjega člena Formalno zapišemo kot ɛ > 0 N, n > N, a n a n+1 > ɛ erf (x) = 2 X N ( 1) n x 2n+1 π n! (2n + 1) + O n=0 x 2N+3 (N + 1)! (2N + 3) O računalniški smiselnosti te izjave se bomo spraševali v naslednjem poglavju Omenimo le še, da se da člene vrste lepo zapisati z zaporedjem, a n+1 = x 2 2n + 1 a n (n + 1) (2n + 3) a 0 = x Ta zveza nam bo zelo priročna pri pri pisanju programa B Asimptotska vrsta Asimptotska vrsta je klasičen potenčni razvoj okoli neskončnosti Za naše potrebe je znana lepa zveza x πe x2 erfc (x) = 1 + m=1 erfc(x) = 1 erf(x) (2m 1)!! ( 2x 2 ) m, Zvezo med posameznimi členi zaporedja lahko zapišemo kot, «

2 2 a n+1 a n = 2n + 1 2z 2, a 1 = 1 2z 2 Problem, ki nastopi, je da vrsta ne konvergira za nobeno končno vrednost argumenta x C Racionalna aproksimacija Z malo navadiha so strokovnjaki ugotovili, da bi bil dober približek se izognemu problemu, da bi nam imenovalec in števec zbezljala Ta funkcija je v programu poimenovana erf2 Edini problem, ki nam še ostane, je kdaj nehamo seštevati vrsto, da bi dobili maksimalno natančnost Če pogledamo nazaj v poglavje s teorijo, ugotovimo, da je napaka, ki jo naredimo, reda velikosti zadnjega člena A problem, ki se pojavi pri nas, je da se lahko zgodi, da bo vrsta nekaj časa padala, nato pričela naraščati in nato pričela padati proti nič V področju, kjer so členi zavzemali velike vrednosti, je bila decimalna natančnost zmanjšana za velikostni red števila Tega problema ne moremo zlahka odpraviti, ne da bi definirali nove strukture, ki bi pomnile več decimalnih mest erf (x) = 1 (at + bt 2 + ct 3 + dt 4 + et 5 )e x2 + ɛ (x), 1 t = 1 + px Pri čemer so a, b, c, d, e, p določene numerične vrednosti Sledeča enačba je natančna na ɛ (x) = 10 7 Zveza velja zgolj za pozitivne vrednosti, a ta problem lahko odpravimo z lihostjo erf(x) D Simpsonovo 3 8 integracijsko pravilo Simpsonovo 3 8 integracijsko pravilo je definirano kot Z x4 x 0 f (x) dx = 3 8 h f (x 0 ) + 3f x 0 + h 3 «+ O h 5 f (6) (ξ)! + 3f x «! h + f (x 4 ) + 3 Slika 1: Primerjalni graf spreminjanja absolutne vrednosti velikostnega reda členov vrste za erf(x) Vidimo, da je napaka reda h 5, torej če želimo izračunati na 16 decimalnih mest natančno moramo uporabiti korak h = Torej, če bi nato želeli izračunati erf(5) bi porabili 7900 iteracij Simpsonovega pravila III IMPLEMENTACIJA TEORIJE A Potenčna vrsta Kot prvo metodo smo preizkusili bolj naiven pristop k računanju erf(x), to je tako, da smo šli vsak člen vrste izračunati posebej Prvi problem, ki se pojavi ob tem, je da dobimo kvocient dveh velikih računalniških števil Z računanjem vsakega števila posebej porabimo kar veliko število ciklov, a še bolj problematično, je da če želimo doseči dobro natančnost nam vrednosti imenovalca in števca hitro narastejo preko vseh meja in dobimo nesmisel Izkaže se, da je sledeča metoda uporabna samo do x = 15 Ta funkcija je v programu poimenovana erf1 Metoda se izboljša tako, da uporabimo rekurzivno zvezo za računanje členov S tem zmanjšamo število ciklov, potrebnih, da dobimo naslednji člen in prav tako Da bi dobili čim boljšo natančnost, bi si želeli, da v našem zaporedju ni področja, kjer bi členi naraščali, saj imajo ti členi manjšo decimalno natančnost Zadovoljimo se s pogojem za prekinitev seštevanja, mora vsota naslednjih dveh členov biti manjša od računalniške natančnosti B Asimptotska vrsta Pri tej metodi niti ne poizkušamo napisati programa, ki bi vsak člen posebej računal, ampak kar direktno uporabimo rekurzivno enačbo Ta funkcija je v programu poimenovana erfc1 Tukaj nastopi problem, saj nimamo nikakršne teoretske podlage, zato moramo pri uvedbi pogoja za terminacijo biti iznajdljivi Iz grafa obnašanja členov asimptotske vrste se vidi, da bi bilo smiselno seštevati člene dokler se le-ti manjšajo, saj domnevamo, da do takrat vrsta "konvergira"proti pravi vrednosti Drugi smiselni pogoj, ki smo ga dodali, je da seštevamo dokler kvocient naslednjega člena in vsote ni manjši od 10 16, saj naslednji členi ne prinesejo nič k končni natančnosti S tem seveda maksimiziramo natančnost, a nikakor ne vemo, na koliko mest je naš re-

3 situacije bistveno spremenila, stvari bi seveda lahko še malo pohitrili, ampak ne bi bilo nobenih bistvenih izboljšav Ta funkcija je v programu poimenovana simpson 3 IV PRIMERJAVA METOD Slika 2: Primerjalni graf spreminjanja absolutne vrednosti velikostnega reda členov asimptotske vrste za erfc(x) zultat zanesljiv Tukaj lahko opazimo ravno obratno konvergenčno obnašanje kakor pri potenčni vrsti Saj najprej členi padajo in nato pričnejo divergirati Odziv oblike na spreminjanje je prav tako obrnjen Če pri asimptotstki vrsti vzamemo večji argument, dobimo daljše konvergentno območje, a pri potenčni vrsti dobimo območje, kjer členi zelo narastejo Kot smo že skozi prejšnja dva poglavja omenili vse omejitve posameznih metod, jih dajmo še zdaj primerjati V ta namen smo generirali vrednosti funkcije erf(x) za večje območje in jih primerjali z točnimi vrednostmi Točne vrednosti smo dobili iz programa Mathematica 52, saj nam le ta izpiše vrednost funkcije na poljubno število mest natančno Nesmiselno bi bilo primerjati razlike med pravilno vrednostjo in od nas dobljeno, saj se vrednosti raztezajo preko več velikostnih redov Zato primerjamo relativne napake r = f (x) f (x) = erf Math (x) erf nas (x) erf Math (x) Tako definirano vrednost lahko primerjamo čez celotno definicijsko območje Iz slike je vidno, da metoda z upo- C Racionalna aproksimacija S stališča implementacije je racionalna metoda najenostavnejša, saj zgolj prepišemo funkcijo v C++ brez velikih pomislekov V mislih moramo imeti vedno v prejšnjem poglavju omenjeno natančnost, to je 10 7 Ta funkcija je v programu poimenovana erf3 D Simpsonovo 3 8 integracijsko pravilo Pri tej metodi ne uporabimo direktno nobenega terminacijskega pravila S pomočjo teorije izračunamo iz željene natančnosti število korakov, ki jo moramo uporabiti v integracijski metodi To storimo takole ( ) O h 5 f (6) (ξ) = 10 16, h 4 = 10 16, n = x up x down h Tukaj smo naredili približek f (6) (ξ) 1 h Seveda se zavedamo, da je takšna aproksimacija velika, ampak s tem bo pogojem zagotovo zadovoljeno Seveda bo to imelo vpliv na časovno zahtevnost, a o tem več v poglavju o časovni zahtevnosti Obstaja malo morje različnih numeričnih metod za integracijo, izbira katere druge ne bi Slika 3: Primerjalni graf relativne napake od nas napisane funkcije erf(x) glede na pravilno vrednost rabo potenčne vrste lepo deluje na intervalu od 0 do 2, a nato se ji prične natančnost manjšati To se zgodi zaradi tega, ker se pri seštevanju pričenjajo pojavljati členi, ki so veliki in s tem izgubljamo decimalno natančnost Delno bi bila metoda uporabna še do vrednosti argumenta 4 Za racionalno aproksimacijo vidimo, da je polovica območja napaka reda velikosti 10 7 Prav tako opazimo, da se nato napaka prične manjšati, to je posledica tega, da ima racionalna funkcija limito za velike x pri 1 in tako dobimo dve vrednosti, ki sta za manj kot razmaknjeni Ugotovimo lahko tudi, da je racionalna aproksimacija najslabša metoda, seveda je asimptotska metoda še slabša na tistem področju, ampak jo tam niti ne poskusimo uporabljati

4 4 Naslednja metoda, ki je narisana na grafu je Simpsonova Metoda ima konstantno natančnost, kar bi pričakovali tudi iz teorije Majhne fluktuacije se lahko pojavijo zaradi odvisnosti napake od šestega odvoda integranda Zanimivo je omeniti, da obstaja območje, kjer je Simpsonova metoda najuspešnejša metoda izmed vseh od nas testiranih metod To dejstvo bo pomembno, ko bomo pisali funkcijo za izračun erf(x) za celotno definicijsko območje Za večje vrednosti argumenta error funkcije se je izkazala kot najboljša asimptotska metoda Razlog, zakaj smo lahko pridelali boljšo natančnost kot 10 16, je to, da računamo razliko med 1 in funkcijske vrednosti S tem še avtomatsko pridelamo dodatno natančnost, saj vemo iz vrednosti erfc(x), koliko devetk je spredaj, preden se prično pojavljati od nas izračunane vrednosti Slika 5: Graf povprečnega časa za izračun error funkcije po različnih metodah Slika 4: Graf relativne napake od nas napisane funkcije ercf(x) glede na pravilno vrednost Če bi si ogledali natančnost same asimptostske metode za izračun erfc(x), bi ugotovili, da pričnemo z manjšo natančnostjo in se nato proti večjim argumentom natančnost približuje Od tod naprej je natančnost konstantna V ČASOVNA ZAHTEVNOST Za preverjanje časovne zahtevnosti smo uporabili knižnjico timeh, ter funkcijo clock() Časovna zahtevnost je bila merjena na računalniku z procesorjem ppc7450@15 GHz, ter compiler gcc 4 Za čim natančnejšo meritev časov smo večkrat zaporedoma ponovili račun pri istem argumentu in nato delili s številom ponovitev Že pri samem testiranju so se pojavile bistvene razlike med algoritmi, saj smo morali za dobro meritev Simpsonove metode narediti 100 ponovitev, za dobro meritev asimptotske metode pa milijon ponovitev Vidimo, da je racionalna aproksimacija najhitrejša metoda Bistveno hitreje skoraj ne bi mogli izračunati re- zultata, saj nismo tako daleč od procesorske meje Torej lahko rečemo, da je ta metoda časovno učinkovita, če želimo imeti rezultat zgolj na 7 mest natančno Red velikosti povprečnega časa za izračun funkcijske vrednosti error funkcije je 10 8 s Naslednjo mesto po hitrosti zavzemata dve metodi, asimptotska in potenčna Časovna zahtevnost potenčne vrste je dokaj konstantna, saj se v celem območju, kjer jo je smiselno uporabljati, spremeni za manj kot faktor 10 Povprečni čas za izračun funkcijske vrednosti error funkcije je 10 5 s Funkcija monotono narašča in v primeru da bi imeli bolj natančen računalnik, bi tako naraščala naprej asimptotska vrsta se prav tako giblje v enakih časovnih mejah kakor potenčna vrsta Zelo zanimiv efekt, ki ga opazim pri asimptotstki vrsti, je da do vrednosti argumenta 6 časovna zahtevnost narašča, nato pa prične padati To je enaka ločnica kakor pri natančnosti asimptotske vrste (do 6 narašča natančnost, nato je konstantna) Ali je kakšna globlja povezava med tema dvema fenomenoma ne moremo pojasniti, saj ne poznamo nobene dobre matematične podlage za sledeč efekt Kot najpočasnejša metoda se izkaže Simpsonova integracijska metoda Povprečni čas izračuna je 10 2 s Kot je že iz kode razvidno, se časovna zahtevnost linearno veča s časom Če le ni nujno ne bi uporabili te metode To seveda ne predstavlja nobenega problema, če to metodo uporabimo enkrat Pri kontinuirani uporabi in dejstvu, da je razlika med to metodo in vrstnima metodama 10 3, bi porabili bistveno več časa, da bi se dokopali do našega željenega rezultata VI PRIMERJALNA TABELA S pomočjo naših funkcij smo izdelali primerjalno tabelo in jo primerjali z natančnimi vrednostmi, dobljenimi iz programa Mathematica 52

5 5 Tabela I: Primerjalna tabela za različne metode računanja funkcije erf(x) na intervalu od 0 do 3 x Potenčna vrsta Racionalna aproksimacija Simpsonova metoda Asimptotska vrsta Točna vrednost , , , , , , , , , , , , , , , Tabela II: Primerjalna tabela za različne metode računanja funkcije erfc(x) na intervalu od 3 do 8 x Racionalna aproksimacija Simpsonova metoda Asimptotska vrsta Točna vrednost V primerjalni tabeli za erfc(x) ni potenčne metode, saj je iz prejšnih poglavij razvidno, da je le-to metodo nesmiselno uporabljati na tem področju VII FUNKCIJA ZA CELO OBMOČJE Iz spoznanj, pridobljenih iz poglavja o časovni zahtevnosti in primerjave metod, lahko predlagamo dve funkciji Prva, ki je natančnostno orientirana, v tem primeru uporabimo na intervalu od 0 do 25 potenčno vrsto od 25 do 4 Simpsonovo metodo in od 4 dalje asimptotsko vrsto S takšno postavitvijo mej je zagotovljena maksimalna natančnost, ki jo je možno dobiti z kompozicijo naših metod Druga funkcija je orientirana časovno, zato uporabimo na intervalu od 0 do 36 potenčno metodo in od tod naprej asimptotično S tem je zagotovljena maksimalna hitrost, a je interval od 25 do 4 manj natančen Zaradi natančnosti vrača funkcija na intervalu od 0 do 4 funkcijo erf(x), od tod dalje pa funkcijo ercf(x) Ta funkcija je v programu poimenovana erff A Inverzna funkcija Na najbolj preprost način lahko s pomočjo bisekcije skonstruiramo inverz funkcije Smiselno bi bilo sestaviti dve funkciji Inverz na intervalu od 0 do 4 funkcije od erf(x), ter na intervalu večjem od 4 inverz funkcije erfc(x) Ko napišemo algoritem za en inverz, se da z nekaj spremembami dobiti tudi inverz druge funkcije Slika 6: Graf funkcije erf 1 (x), pridobljen s pomočjo našega algoritma

6 6 VIII ZAKLJUČEK Ta sestavek je lepo prikazal lastnosti štirih preprostih numeričnih metod za računanje error funkcije Ugotovili smo, da je na intervalu od 0 do 25 najbolj uporabna potenčna vrsta, od 25 do 4 Simpsonova integracija, ter za večje argumente asimptotična vrsta Če postopamo po takšnem pravilu, nam je zagotovljena natančnost na najmanj Prav tako smo s kreacijo takšne učinkovite funkcije naredili dobro osnovo za računanje inverzne funkcije Seveda, če se zadovoljimo z natančnostjo na sedem mest, lahko tudi uporabimo racionalno aproksimacijo Preostala je edino skrivnost, ali je povezava med ekstremom časovne zahtevnosti asimptotske vrste in pričetkom konstante natančnosti konvergence Na to vprašanje lahko edino odgovorimo s hypotheses non fingo