ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I

Transcript

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana,

2 množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica B (A B), če je za vsak x A tudi x B. Množici A in B sta enaki (A = B) natanko tedaj, ko je A B in B A. Moč množice A ( A = m(a)) je enaka številu elementov v množici. Unija množic: A B = {x; x A x B}. Presek množic: A B = {x; x A x B}. Množici A in B sta disjunktni, če je A B =. Razlika množic: A B = {x; x A x / B}. Komplement množice: A C = A = U A = {x U; x / A}. Simetrična razlika množic: A B := (A B) (B A) = (A B) (A B). Potenčna množica: P(A) = {X; X A}. Če je A = n, potem je P(A) = n. Kartezični produkt množic: A B = {(x, y); x A, y B}. a U A B c U d U A B A B Slika : a) Unija množic A B. b) Presek množic A B. c) Razlika množic A B. d) Simetrična razlika množic A B. Lastnosti unije in preseka: Komutativnost preseka in unije: A B = B A, A B = B A. Asociativnost preseka in unije: A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C. Distributivnost: (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C). DeMorganova zakona: (A B) C = A C B C, (A B) C = A C B C. Veljajo enakosti: A B = A B C, (A C ) C = A, A A C =, A A C = U, A =, A = A, A U = A, A U = U.

3 . Dana je univerzalna množica U = N ter množice A = {n; n N, n 4}, B = {n; n N, n praštevilo, n < 7} in C = {n; n N, n liho, n < }. Določite elemente množic A B, B C, B C, A B in P(B). Elementi množic: A = {, 4, 6, 8}, B = {,, 5} in C = {,, 5, 7, 9}. Iskane množice: A B = {}, B C = {,,, 5, 7, 9}, B C = {}, A B = {(, ), (, ), (, 5), (4, ), (4, ), (4, 5), (6, ), (6, ), (6, 5), (8, ), (8, ), (8, 5)}, P(B) = {, {}, {}, {5}, {, }, {, 5}, {, 5}, {,, 5}}.. Dana je univerzalna množica U = N ter množice A = {n; n N}, B = {n; n N, 5 n 5}, C = {,, }, D = {n; n N, n praštevilo, n < } in E = {a, b}. Določite elemente množic A C, A B, C D, D C, C E in P(C). Ali je D B? Elementi množic: A vsa soda števila, B = {5, 6, 7, 8, 9,,,,, 4, 5} in D = {,, 5, 7, }. Iskane množice: A C = {n ; n N}, A B = {6, 8,,, 4}, C D = {,,, 5, 7, }, D C = {5, 7, }, C E = {(, a), (, a), (, a), (, b), (, b), (, b)}, P(C) = {, {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {,, }}. Množica D ni podmnožica množice B.. Dokažite DeMorganov zakon (A B) C = A C B C. Vzamemo poljuben element x iz množice (A B) C. Ker velja x (A B) C x / A B x / A x / B x A C B C, je element x tudi v množici A C B C in zato je (A B) C A C B C. Ker veljajo ekvivalence in ne samo implikacije, je tudi A C B C (A B) C, zato velja (A B) C = A C B C. 4. Dokažite distributivnostni zakon (A B) C = (A C) (B C). Vzamemo poljuben element x (A B) C. Ker velja x (A B) C x A B x C (x A x B) x C x A C x B C x (A C) (B C), je (A B) C (A C) (B C). Zaradi ekvivalenc na vseh korakih velja tudi obratna vsebovanost, zato sta množici enaki. 5. Poenostavite izraze A (A B), (A B) (A B C ) in (A C) (B C). a) A (A B) = A (A B C ) C = A (A C B) = (A A C ) (A B) = A B b) (A B) (A B C ) = A (B B C ) = A c) (A C) (B C) = (A C C ) (B C C ) = (A B) C C = (A B) C 6. Določite potenčne množice za množice {a, b, c}, P( ) in {, {, }, {}}. a) P({a, b, c}) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} b) P(P( )) = P({ }) = {, { }} c) P({, {, }, {}}) = {, {}, {{, }}, {{}}, {, {, }}, {, {}}, {{, }, {}}, {, {, }, {}}}

4 7. ( ) Dokažite, da velja enakost (A B) C = (A C) (B C). Najprej dokažemo vsebovanost : Nato dokažemo še vsebovanost : x (A B) C x = (u, v), u A B, v C u A, u / B, v C x = (u, v) A C, x / B C x (A C) (B C) x (A C) (B C) x A C, x / B C x = (u, v), u A, v C, u / B u A B, v C x = (u, v) (A B) C 8. Naj bodo U = R univerzalna množica, f, g : R R preslikavi in A = {x R; f(x) = }, B = {x R; g(x) = }. Izrazite z množicama A in B množice rešitev enačb f(x) g(x) =, f (x) + g (x) = in g (x) f (x) + g (x) =. a) C = {x; f(x) g(x) = } = {x; f(x) = g(x) = } = A B b) D = {x; f (x) + g (x) = } = {x; f(x) = g(x) = } = A B c) E = {x; g (x) f (x) + g (x) = } = {x; g (x)(f (x) + ) = } = {x; g(x) = } = B 9. Naj bo U = [, π) univerzalna množica. Dane množice A = {x; sin x < }, B = {x; cos x < } in C = {x; tgx > } zapišite kot intervale oz. unijo intervalov ter določite A B, A C C in B C C. Množice kot intervali Sledi A = (π, π), B = ( π, π ) ( 5π, π), C = (, π ) (π, π ) (π, 5π ). A B = (π, π ), AC C = (, π ) (π, 5π ), BC C = [, π ] (π, 5π ]. Π Π Π Π 5 Π Π x Slika : Grafi funkcij sin x, cos x in tgx na intervalu [, π]. 4

5 realna števila Pravila za razstavljanje izrazov: Razlika kvadratov: a b = (a b)(a + b). Vsota, razlika kubov: a ± b = (a ± b)(a ab + b ). Kvadrat vsote, razlike: (a ± b) = a ± ab + b. Kub vsote, razlike: (a ± b) = a ± a b + ab ± b. Pravila za računanje s potencami: Pravila za računanje s koreni: x n x m = x n+m, x n x m = xn m, (x n ) m = x nm, n x n y = n x y, n x x = n y y, n x n = x n, (xy) n = x n y n, ( ) x n = xn y y n. n m x = n m x, nr x mr = n x m. Kvadratna enačba: Absolutna vrednost: ax + bx + c =, x, = b ± b 4ac. a x = { x, x, x, x <, x = x, x = x. Pravila za računanje z logaritmi: Vsota logaritmov: log a x + log a y = log a xy. Razlika logaritmov: log a x log a y = log a x y. Logaritem potence: log a x r = rlog a x. Krivulje drugega reda: Krožnica: (x p) + (y q) = r. Elipsa: (x p) a + (y q) b =. Hiperbola: (x p) a Parabola: y = px. (y q) b = ±. 5

6 . Rešite naslednje kvadratne enačbe. a) x + 7x 5 = enačbe in neenačbe To je kvadratna enačba, ki ima dve rešitvi Torej: x = 5 in x =. b) x x + = x, = 7 ± = 7 ±. 4 Enačba ima dve konjugirano kompleksni rešitvi: x, = ± i.. Rešite naslednje enačbe s koreni. a) x 7x + = x Enačbo kvadriramo in dobimo kvadratno enačbo x 5x + =, ki ima dve rešitvi: x = in x =. Le prva je tudi rešitev prvotne enačbe. b) 5x + x + = 7x Enačbo najprej dvakrat kvadriramo. 5x + (5x + )(x + ) + x + = 7x x + 7x + = x + 7x 4 = Dobljena kvadratna enačba ima rešitvi x = in x = 47, vendar je samo prva rešitev dobra tudi za prvotno enačbo, saj pri drugi dobimo koren iz negativnega števila. c) x + x + x x = Enačbo kvadriramo in uredimo. x + x + x x + + x x = (x ) = x x = x x Pogoj, da je koren definiran, je x oz. x. Rešitev je torej zaprt interval [, ].. Rešite enačbe z absolutno vrednostjo. a) x + x + = Ločimo dva primera. x + oz. x x + x + =, rešitev je x =. x + < oz. x < x x =, ni rešitve. Skupna rešitev je unija rešitev obeh primerov: x {}. b) x + + x = Ločimo tri primere. x < x x + =, oz. x =, ni rešitve. x < x + x + =, oz. =, rešitev je [, ). Skupna rešitev: x [, ]. x x + + x =, oz. x =, rešitev je x =. 6

7 4. Poiščite množico rešitev naslednjih neenačb. a) {x; x < x + < x } To je sistem dveh neenačb. Prva neenačba x < x + ima rešitev x <, druga neenačba x + < x pa x >. Presek teh dveh rešitev je prazen, zato sistem nima rešitve, oz. rešitev je. b) {x; x 5 < x x + } Prva neenačba x 5 < x ima rešitev x >, druga neenačba x x + pa x 5. Rešitev sistema je presek teh dveh rešitev, torej interval x (, 5]. c) {x; x(x 5) < 6} Po ureditvi dobimo kvadratno neenačbo x 5x + 6 = (x )(x ) <, ki ima za rešitev interval x (, ). Pri reševanju kvadratnih neenačb si lahko pomagamo grafično tako, da skiciramo parabolo. d) {x; x+ x > } Nenenačbo najprej množimo z (x ), kar je vedno pozitivno, zato se znak neenakosti ne spremeni. Seveda mora biti x, da ne deo z. Dobimo kvadratno neenačbo (x )(x + ) >, ki ima za rešitev unijo intervalov x (, ) (, ). 5. Rešite naslednje neenačbe. a) x + x + > Neenačbo dvakrat kvadriramo in uredimo. Upoštevamo pogoja x in x +. x + x(x + ) + x + > 9 x + x > 4 x x + x > 6 8x + x x > 6 9 b) 9 x x + > Neenačbo dvakrat kvadriramo in uredimo. 9 x + (9 x)(x + ) + x + > 4 x + 8x + 9 < 8 x 8x + 45 > (x )(x 5) > Rešitev kvadratne neenačbe je unija intervalov x (, ) (5, ). Z upoštevanjem pogojev x 9, x, in 9 x > x +, oz. x < 9, dobimo rešitev prvotne neenačbe: x [, ). c) x x Neenačbo množimo z (x ) in uredimo. (x )(x ) (x ) x 7x + 6 x x + x 5x + 6 (x )(x ) Rešitev je unija intervalov x (, ) [, ). Opazimo, da x = ni rešitev, saj bi sicer delili z. 7

8 6. Rešite naslednje neenačbe z absolutno vrednostjo. a) x + 4x Ločimo tri primere. x < x 4x +, oz. x, rešitev je (, ). x < 4 x + 4x +, oz. x, rešitev je [, ]. x 4 x + 4x, oz. x, rešitev je [, ). Skupna rešitev: x (, ] [, ). b) x x < x + 5 Ločimo tri primere. x < 5 x + x < x 5, oz. x < 6, rešitev je (, 6). 5 x < x + x < x + 5, oz. x < 8, ni rešitve. x x x < x + 5, oz. x > 8, rešitev je (8, ). Skupna rešitev: x (, 6) (8, ). c) x + x < Neenačbo zapišemo kot sistem dveh neenačb: < x + x <. Prva neenačba x + x > x + x + = (x + )(x + ) > ima rešitev x (, ) (, ). Druga neenačba x + x < x + x 4 = (x )(x + 4) > pa ima rešitev x ( 4, ). Rešitev sistema dobimo kot presek gornjih rešitev in jo zapišemo kot unijo intervalov x ( 4, ) (, ). d) ( ) x 4 < V tem primeru imamo dve gnezdeni absolutni vrednosti. Najprej ločimo dva primera za notranjo absolutno vrednost. I x : Neenačba se glasi x 4 <. Ločimo dva podprimera. I.i x 4 oz. x Tedaj je x 4 <, torej x < in dobimo rešitev x [, ). I.ii x 4 < oz. x < Tedaj je x + 4 <, torej x > in dobimo rešitev x (, ). Rešitev tega primera je interval (, ). II x < : Neenačba se glasi x 4 <. Ločimo dva podprimera. II.i x 4 oz. x Tedaj je x 4 <, torej x > in dobimo rešitev x (, ]. II.ii x 4 < oz. x > Tedaj je x + 4 <, torej x < in dobimo rešitev x (, ). Rešitev tega primera je interval (, ). Skupna rešitev prvotne neenačbe je unija obeh rešitev: x (, ) (, ). 8

9 7. Narišite podmnožice v ravnini. a) {(x, y); x + y < 9} x + y = r : enačba krožnice z radijem r x + y < r : enačba notranjosti kroga z radijem r x + y > r : enačba zunanjosti kroga z radijem r Množica predstavlja kolobar med koncentričnima krožnicama z radijema in in središčem v izhodišču. Notranja krožnica je vključena, zunanja pa ne. b) {(x, y); x 4 + y 9, y x } x + y a = : enačba elipse z glavnima polosema a in b. b Množica predstavlja unijo območij znotraj elipse s polosema in nad hiperbolo. c) {(x, y); y x 4, (x ) + (y + ) 4} (x a) + (y b) = r : enačba krožnice z radijem r in središčem v točki (a, b) Množica predstavlja območje znotraj krožnice z radijem in središčem (, ) nad parabolo. d) {(x, y); x y + 4, x + y + 6, y +, y, x 5 } Množica predstavlja presek petih polravnin, ki so omejene s premicami y = x +, y = x, y =, y = in x = 5. e) {(x, y); + x x x y, y x + } Množica predstavlja dve območji, ki ležita nad premico in pod grafom polinoma. f) {(x, y); x + y } Neenačbo z absolutnimi vrednostmi rešimo na vsakem kvadrantu posebej. I x, y : x + y oz. y x + II x <, y : x + y oz. y x + III x <, y < : x y oz. y x IV x, y < : x y oz. y x Množica predstavlja območje, ki je omejeno s štirimi premicami. d 4 5 b e 4 c f Slika : Slike območij. 9

10 Princip matematične indukcije: matematična indukcija Če trditev velja za naravno število, ter če ob predpostavki, da velja za naravno število n, velja tudi za naravno število n +, potem trditev velja za vsa naravna števila. 8. Z matematično indukcijo dokažite naslednje enakosti. a) n (n + ) = n(n+)(n+) Baza indukcije za n =. Leva stran ( = ) je enaka desni ( = ), zato enakost za n = velja. Indukcijski korak n n +. Za indukcijsko predpostavko vzemimo, da enakost velja za naravno število n n (n + ) = Dokazujemo, da enakost velja tudi za naravno število n n (n + ) + (n + ) (n + ) = n(n + )(n + ). Z uporabo indukcijske predpostavke na prvem koraku dobimo (n + )(n + )(n + ) n (n + ) + (n + ) (n + ) = = Enakost je s tem dokazana za vsa naravna števila. b) n = n n(n + )(n + ) + (n + )(n + ) (n + )(n + )(n + ). n = : =. n n + : Indukcijska predpostavka: n = n. Velja n + n = n + n = n = n+. c) n = n(n+)(n+) 6 n = : = 6 =. n n + : Indukcijska predpostavka: n = n(n+)(n+) 6. Velja n + (n + ) n(n + )(n + ) = + (n + ) 6 = (n + )(n + 7n + 6) 6 (n + )(n + )(n + ) = Z indukcijo pokažite, da število deli dan izraz. a) 9 n + (n + ) + (n + ) Pri n = je vrednost izraza enaka + + = 6, torej deljiva z 9. Indukcijsko predpostavko zapišemo v ekvivalentni obliki n + (n + ) + (n + ) = 9k.

11 Dokazujemo, da je tudi izraz za n + oblike (n + ) + (n + ) + (n + ) = 9k. Velja (n + ) + (n + ) + (n + ) = (n + ) + (n + ) + n + 9n + 7n + 7 = 9k + 9n + 7n + 7 = 9(k + n + n + ) = 9k. Indukcijsko predpostavko smo uporabili na drugem koraku. b) ( ) n+ + n Pri n = je vrednost izraza enaka + =, torej deljiva z. Indukcijsko predpostavko zapišemo v ekvivalentni obliki n+ + n = k. Dokazujemo, da je tudi izraz za n + oblike n+ + n+ = k. Velja n+ + n+ = n+ + n = ( n+ + n ) + n }{{} k = (k + n ) = k. Indukcijsko predpostavko smo uporabili na drugem koraku. c) ( ) n 5 5n + 4n, n Pri n = je vrednost izraza enaka 4 5+ =. Indukcijsko predpostavko zapišemo v ekvivalentni obliki n 5 5n + 4n = k. Dokazujemo, da je tudi izraz za n + oblike (n + ) 5 5(n + ) + 4(n + ) = k. Velja (n + ) 5 5(n + ) + 4(n + ) = } n 5 5n {{ + 4n } +5n 4 + n 5n n k = k + 5(n )n(n + )(n + ) = k. Indukcijsko predpostavko smo uporabili na prvem koraku. Poleg tega smo v zadnjem koraku upoštevali dejstvo, da je produkt štirih zaporednih naravnih števil deljiv s 4.. Z matematično indukcijo dokažite neenakost n < n. n = : <. n n + : Indukcijska predpostavka n < n. Velja n + < n + n = n = n+.. Pokažite, da ima končna množica z n elementi n podmnožic. Množica z enim elementom ima natanko = podmnožici: prazno in samo sebe. Privzemimo, da ima množica z n elementi n podmnožic. Vse te podmnožice so tudi podmnožice množice z n + elementi. Poleg teh pa še vse te podmnožice z dodanim (n + )-im elementom. Vseh je torej n = n+. Trditev je s tem dokazana.

12 kompleksna števila C = {x + iy; x, y R}, i =, i = imaginarna enota z = x + iy x = Rz realna komponenta y = Iz imaginarna komponenta w = u + iv Računske operacije s kompleksnimi števili: Seštevanje, odštevanje in množenje: z ± w = (x ± u) + i(y ± v), z w = (xu yv) + i(xv + yu). Konjugirana vrednost: z = x iy. Absolutna vrednost: z = z z = x + y. Obratna vrednost: z = z = x iy. z x +y Deljenje: z w = z w. Polarni zapis kompleksnega števila (z = x + iy): z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Zveze med obema zapisoma: x = r cos ϕ, r = x + y, y = r sin ϕ, ϕ = arctg y x. Tabela: π x 6 sin x cos x tgx Operacije s polarnim zapisom: π 4 π π π π 5π 4 6 π z = z (cos ϕ + i sin ϕ), w = w (cos ψ + i sin ψ), z w = z w (cos (ϕ + ψ) + i sin (ϕ + ψ)), z = z (cos ϕ + i sin ϕ), z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ), Enačbe oblike z n = w : w = r(cos ϕ + i sin ϕ), z k = n ( r cos ϕ+kπ n + i sin ϕ+kπ n DeMoivreova formula. ), k =,,..., n.

13 . Poenostavite naslednje izraze in določite Rw, Iw, w in w. a) w = ( + i) = + 6i + i + 8i = + 6i 8i = i Sledi: Rw =, Iw =, w = + i in w = 5 5. b) w = 5 +4i = 5( 4i) ( +4i)( 4i) = 5( 4i) 5 = i Sledi: Rw = 5, Iw = 4 5, w = i in w =. c) w = i i 4+i +i = ( i)(+i) (4+i)( i) ( i)(+i) = 5 5 i Sledi: Rw = 5, Iw = 5, w = i in w = 5. d) w = (+i)(+i) ( i) = (+4i)(+i) 5 = i Sledi: Rw =, Iw =, w = i in w =. e) w = ( + i) + +i 4 i + i = 4i i+i i = + i Sledi: Rw =, Iw =, w = i in w = 5. f) w = z z = x+iy x+iy = iy Vzamemo z = x + iy. Sledi: Rw =, Iw = y, w = iy in w = y.. Poenostavite naslednje izraze. ( ) ( ) a) ( + i) i + + i i i 7 = + 4i 4 + 5( 4i) i = + i b) ( + i) + +i i5 = + i + ( i) + i = + i. Poenostavite naslednje izraze. Namig: z = x + iy. a) w = zz w = (x + iy)(x iy) = (x + iy)(x y xyi) = (x + xy ) + i( x y y ) b) w = z iz w = (x iy) i(x + iy) = x iy ix + iy + xy = x( + y) + i(y y x ) c) w = zi z + z z w = y+ix x+iy + x+iy x iy = (y+ix)(x iy)+(x+iy) (x+iy)(x iy) = x +xy y +ix +ixy iy x +y = x +xy y x +y ( + i) 4. Zapišite naslednja kompleksna števila v polarni obliki. a) z = + i Ker je x = in y =, sledi r = + = in ϕ = arctg = π 4. Polarna oblika: z = (cos π 4 + i sin π 4 ) = e i π 4. b) z = i Ker je x = in y =, sledi r = 4 = in ϕ = arctg = π + π = 4π. Kotu prištejemo π, ker število leži v tretjem kvadrantu. Pri tem upoštevamo, da je funkcija tg periodična s periodo π. Polarna oblika: z = (cos 4π + i sin 4π ) = ei 4π. c) z = + i Ker je x = in y =, sledi r = in ϕ = arctg( ) = π 4. Polarna oblika: z = (cos π 4 + i sin π 4 ) = ei π 4.

14 5. Izračunajte vrednost izraza z uporabo DeMoivreove formule. a) ( + i) 7 Število najprej zapišemo v polarni obliki +i = (cos π +i sin π ) in nato uporabimo DeMoivreovo formulo ( + i) 7 = ( ) 7 ( cos ( 7 π ) ( )) + i sin 7 π = 8 7 ( cos 4π ) 4π + i sin = 456 ( cos π + i sin π ) = 78 ( + i ). Na predzadnjem koraku upoštevamo periodičnost funkcij sin in cos (perioda π). b) ( i) 7 = ( ) 7 ( cos ( ) ( 7π 6 i sin 7π )) 6 = 78 ( + i) c) ( + i ) 8 = 8 ( cos ( ) ( 54π 4 + i sin 54π )) 4 = 8 ( cos π + i sin π ) = 644i d) ( i ) = 4 ( cos ( ) ( π i sin π )) = 4 ( cos π i sin π ) = 5 ( i ) 6. Rešite naslednje enačbe. Namig: polarna oblika. a) z = Levo in desno stran enačbe zapišemo v polarni obliki z (cos ϕ + i sin ϕ) = (cos + i sin ). Dve kompleksni števili sta enaki, ko imata enak radij in enak kot. Zato rešimo enačbi z = in cos ϕ = cos. Prva ima rešitev z =, druga pa ϕ = + kπ, k Z, torej ϕ k = kπ, k =,,. Tako dobimo tri kote ϕ =, ϕ = π in ϕ = 4π, ki nam dajo tri rešitve po formuli z k = z (cos ϕ k + i sin ϕ k ), k =,, : b) z = i z = (cos + i sin ) =, z = ( cos π + i sin π ) = + i, z = ( cos 4π + i sin 4π ) = i. Rešitve enačbe ležijo na krožnici z radijem in so enakomerno razporejene. Levo in desno stran enačbe zapišemo v polarni obliki z (cos ϕ + i sin ϕ) = ( cos π + i sin π ). Enačimo radija in kota: z = in cos ϕ = cos π. Prva enačba ima rešitev z =, druga pa ϕ = π + kπ, k Z, torej ϕ k = π 6 + kπ, k =,,. Tako dobimo tri kote: ϕ = π 6, ϕ = 5π 6 in ϕ = π, ki nam dajo tri rešitve z = ( cos π 6 + i sin π ) 6 = + i, z = ( cos 5π 6 + i sin 5π ) 6 = + i, z = ( cos π + i sin π ) = i. Rešitve enačbe ležijo na krožnici z radijem in so enakomerno razporejene. 4

15 c) z 4 = + i Število + i zapišemo v polarni obliki + i = ( cos 5π 6 + i sin 5π 6 izračunamo po formuli z k = n r(cos ϕ+kπ n + i sin ϕ+kπ n ), k =,,..., n : d) z 4 = + i z = 4 ( cos 5π ) 5π 4 + i sin 4, z = 4 ( cos 7π 4 z = 4 ( cos 9π 4 z = 4 ( cos 4π 4 + i sin 7π 4 + i sin 9π 4 + i sin 4π 4 Število + i zapišemo v polarni obliki + i = 4 ( cos π + i sin π štiri rešitve z = 4 4 ( cos π 6 + i sin π ) ( ) 6 = + i, z = 4 4 ( cos π + i sin π ) ( ) = + i, z = 4 4 ( cos 7π 6 + i sin 7π ) ( ) 6 = i, z = 4 4 ( cos 5π + i sin 5π ) ( ) = i. 7. Rešite naslednje enačbe. Namig: polarna oblika. a) ( + i )z 4 + = Enačbo najprej zapišemo v obliki z 4 = + i = 8 + 8i. Levo in desno stran enačbe nato zapišemo v polarni obliki z 4 (cos 4ϕ + i sin 4ϕ) = 6 ( cos π + i sin π ), ), ). ). ), rešitve pa ) in dobimo Enačimo radija in kota: z 4 = 6 in cos 4ϕ = cos π. Prva enačba ima rešitev z =, druga pa 4ϕ = π + kπ, k Z, torej ϕ k = π 6 + kπ, k =,,,. Dobimo štiri rešitve z = ( cos π 6 + i sin π ) 6 = + i, z = ( cos π + i sin π ) = + i, z = ( cos 7π 6 + i sin 7π ) 6 = i, z = ( cos 5π + i sin 5π ) = i. Rešitve enačbe ležijo na krožnici z radijem in so enakomerno razporejene. b) z 4i = ( + i) 4 Enačbo najprej zapišemo v obliki z = 4i + ( + i) 4 = 4 + 4i. Število 4 + 4i zapišemo v polarni obliki 4 + 4i = ( cos π 4 + i sin π 4 rešitve z = 6 ( cos π 4 + i sin π ) ( ) 6 4 = + i, ), z = 6 ( cos π z = 6 ( cos 9π 5 + i sin π + i sin 9π ). ) in dobimo tri

16 8. Rešite naslednje enačbe. a) z + z = + i Zapišemo z = x + iy in dobimo: x + y + x + iy = + i. Dve kompleksni števili sta enaki, ko imata enaki realni in imaginarni komponenti. Dobimo sistem dveh enačb x + y + x = in y =. Ko drugo vstavimo v prvo in kvadriramo, dobimo Rešitev enačbe je število z = 4 + i. b) z z = i Zapišemo z = x + iy in dobimo x + = x x + = 4 4x + x x = 4 (x + iy) (x iy) = i x + y + xyi = i Enačimo realni in imaginarni komponenti: y x = in xy =. Iz prve enačbe dobimo y = x oz. y = ±x. To vstavimo v drugo enačbo in dobimo x =, torej x = ± in zato y = ±. Ker morata biti x in y hkrati pozitivna ali negativna, dobimo dve rešitvi enačbe z = + i in z = i. c) (z + z)(z + z) = Zapišemo z = x + iy in dobimo Enačba nima rešitve. d) z = + 4i (5x iy)(5x + iy) = 5x + y = Zapišemo z = x + iy in dobimo x ixy y = + 4i. Dobimo sistem dveh realnih enačb x y = in xy = 4, ki ima dve rešitvi: x =, y = in x =, y =. Prvotna enačba ima tako rešitvi z = + i in z = i. e) z = (z ) Zapišemo z = x + iy in dobimo x x y + + i(xy y) =. Dobimo sistem dveh realnih enačb x x y + = in xy y =. Iz druge enačbe dobimo bodisi y =, bodisi x =. Ko to vstavimo v prvo enačbo, dobimo v prvem primeru x = in x =, v drugem primeru pa y, = ± z,4 = ± i Rešite naslednje sisteme enačb. a) z =, z + = Vzamemo z = x + iy. Iz prve enačbe dobimo Iz druge enačbe pa 4. Prvotna enačba ima tako štiri rešitve: z =, z = in x + iy = (x ) + y = 9 x + iy + = (x + ) + y = 9 6

17 b) Odštejemo in dobimo enačbo 6x =, ki ima rešitev x =. To rešitev vstavimo v enačbo y = 9 (x + ) in dobimo y = 7 4, torej y, = ±. Rešitvi sistema sta kompleksni števili z = + i in z = i. =, z z = i z z+ Vzamemo z = x + iy. Rešimo najprej drugo enačbo in dobimo x + iy x iy = i x + ixy y x + y = i x y x + y + i xy x + y = i Primerjava realnih komponent nam da x y =, oz. x = y, primerjava imaginarnih komponent pa xy =, od koder sledi xy =, torej y = x. Iz prve enačbe dobimo x +y x z = z + x + y = (x + ) + y x = x + x + x = Sledi y =, zato je edina rešitev sistema z = i. c) z i = 5, z(4 i) z(4 + i) = 6i Vzamemo z = x + iy. Iz druge enačbe dobimo To vstavimo v prvo enačbo in dobimo (8y 6x)i = 6i 4y x = x = 4 y (x ) + (y ) = 5 ( 4 y 4) + (y ) = 5 5y 5y 9 = 5y(y 6) = Sledi y =, x = in y = 6, x = 7. Rešitvi sistema sta z = in z = 7 + 6i. d) ( ) zz + ( + i)z + ( i)z + 4 =, ( i)z + ( + i)z + 4 = Vzamemo z = x + iy. Iz druge enačbe dobimo ( i)(x + iy) + ( + i)(x iy) + 4 = x + iy ix + y + x iy + ix + y + 4 = x + y + 4 = y = x 7

18 Iz prve enačbe ob upoštevanju gornjega rezultata dobimo (x + iy)(x iy) + ( + i)(x + iy) + ( i)(x iy) + 4 = x + y + x + ix + ix y + x ix iy y + 4 = x + 4x + y y + 4 = x + 4x + ( x ) ( x ) + 4 = x + x + = (x + )(x + ) = Sledi x = in x =, ter y = in y =. Rešitvi sistema sta z = in z = + i.. Rešite naslednje sisteme enačb. a) z z =, z z = i Vzamemo z = x + iy in z = x + iy. Rešimo najprej drugo enačbo in dobimo x + iy = i (x iy ) x + iy = y + x i Primerjava realnih komponent nam da x = y, primerjava imaginarnih komponent pa y = x. Iz prve enačbe pa dobimo (x + iy )(x iy ) = (x x + y y ) + i(y x x y ) = Ob upoštevanju rezultatov druge enačbe nam primerjava realnih komponent da x y =, torej x y =, primerjava imaginarnih komponent pa x y =, torej x = y. Edina možna rešitev je y = x = ±, zato ima sistem štiri rešitve z = + i, z = + i, z = i, z = i. b) ( + i)z + ( i)z = 6, ( + i)z + ( i)z = 8 To je sistem linearnih enačb, ki ga rešimo z Gaussovo einacijo tako, da prvo enačbo množimo s faktorjem ( i), drugo pa s faktorjem ( i) in odštejemo, da odstranimo neznanko z. Dobimo ( + i)( i)z ( + i)( i)z = 6( i) 8( i) iz = 4i z = + i Ta rezultat vstavimo v prvo ali drugo enačbo in izračunamo še z = 6 ( + i) i = i. c) (8 + 4i)z + (6 i)z = + i, ( i)z + ( 6 + 6i)z = 6 + i To je sistem linearnih enačb, ki ga rešimo z Gaussovo einacijo tako, da prvo enačbo množimo s faktorjem ( 6 + 6i), drugo pa s faktorjem (6 i) in odštejemo, da odstranimo neznanko z. Dobimo (8 + 4i)( 6 + 6i)z ( i)(6 i)z = ( + i)( 6 + 6i) (6 + i)(6 i) ( 8 + 6i)z = 6 6i z = 7 + 9i 8

19 Ta rezultat vstavimo v prvo ali drugo enačbo in izračunamo še z = + i (8 + 4i)(7 + 9i) 6 i = 5 i.. Narišite naslednje podmnožice kompleksne ravnine. a) {z C; R(z ) = 4} Vzamemo z = x + iy in dobimo R((x iy) ) = 4 R(x ixy y ) = 4 x y = 4 x 4 y 4 = To je enačba hiperbole z glavnima polosema a = in b =. b) {z C; I(z) < } Če vzamemo z = x + iy, dobimo enačbo y <, kar predstavlja pas med premicama y = in y =, kjer druge premice ni zraven, prva pa je. c) {z C; z i < } Enačba z z = r predstavlja krožnico s središčem v točki z in radijem r. Gornji sistem neenačb tako predstavlja kolobar s središčem v točki + i, kjer je notranja krožnica z radijem r = zraven, zunanja z radijem r = pa ne. d) {z C; π 4 < arg (z) < π, z > } Prvi neenačbi zadoščajo vsa kompleksna števila z argumentom strogo med π 4 in π, drugi pa vsa kompleksna števila, ki so za več kot oddaljena od izhodišča. c d 4 Slika 4: Slike območij. 9

20 zaporedja Zaporedje je predpis, ki vsakemu n N priredi a n R. Monotonost zaporedij: Zaporedje {a n } je naraščajoče, če je a n+ a n za vsak n. Zaporedje {a n } je strogo naraščajoče, če je a n+ > a n za vsak n. Zaporedje {a n } je padajoče, če je a n+ a n za vsak n. Zaporedje {a n } je strogo padajoče, če je a n+ < a n za vsak n. Kriterija za monotonost: i) a n+ a n zaporedje je naraščajoče a n+ a n zaporedje je padajoče ii) a n+ a n a n+ a n zaporedje je naraščajoče zaporedje je padajoče Omejenost zaporedij: Zgornja meja zaporedja {a n } je vsako število M, da velja a n M za vsak n. Spodnja meja zaporedja {a n } je vsako število m, da velja a n m za vsak n. Supremum ali natančna zgornja meja je najmanjša izmed vseh zgornjih mej. Infimum ali natančna spodnja meja je največja izmed vseh spodnjih mej. Supremum in infimum vedno obstajata. Zaporedje {a n } je navzgor omejeno, če ima končno zgornjo mejo. Zaporedje {a n } je navzdol omejeno, če ima končno spodnjo mejo. Zaporedje {a n } je omejeno, če je navzgor in navzdol omejeno. Maksimum je največji člen zaporedja {a n }, minimum pa najmanjši člen zaporedja {a n }. Maksimum in minimum ne obstajata vedno. supremumu oz. infimumu. Če maksimum oz. minimum obstaja, potem je enak Supremum in infimum nista nujno člena zaporedja, maksimum in minimum pa sta. Stekališča in ite: Število a je stekališče zaporedja {a n }, če je v vsaki ε-okolici števila a neskončno členov tega zaporedja. Število a je ita zaporedja {a n }, če je v vsaki ε-okolici števila a neskončno členov tega zaporedja, izven te okolice pa le končno mnogo. Limito označimo z a = n a n. Zaporedje, ki ima ito, se imenuje konvergentno, sicer pa divergentno. Vsaka ita je stekališče, obratno pa ni nujno res. Stekališče je ita, ko je edino stekališče. Vsako stekališče je ita nekega podzaporedja. Omejeno zaporedje z enim samim stekališčem je konver- Vsako omejeno zaporedje ima stekališče. gentno. Zaporedje je konvergentno, če je naraščajoče in navzgor omejeno. Zaporedje je konvergentno, če je padajoče in navzdol omejeno.

21 . Določite monotonost naslednjih zaporedij. a) a n = n+ Uporabimo drugi kriterij za monotonost Zaporedje je strogo padajoče. b) a n = n a n+ a n = Uporabimo prvi kriterij za monotonost n+ n+ = n + n + <. a n+ a n = (n + ) n = n + n + n = n + >. Zaporedje je strogo naraščajoče. c) a n = n n! Uporabimo drugi kriterij za monotonost a n+ a n = n+ (n+)! n n! = n n! (n + ) n! n =, n. n + Zaporedje je padajoče za n. Upoštevamo n! = n in zvezo (n + )! = (n + )n!. d) a n = sin (nπ) Zaporedje je konstantno enako.. Določite največji in najmanjši člen zaporedja (če obstajata) ter supremum in infimum. a) a n = n n+ Najprej preverimo monotonost a n+ a n = (n + ) n(n + ) = n + n + n >. + n Ker je zaporedje strogo naraščajoče, je prvi člen minimalen min a n = a = n = inf a n. n Infimum je seveda enak minimumu. Maksimalen člen ne obstaja. Supremum pa je enak sup n a n =, saj so vsi členi zaporedja strogo manjši od, vendar se poljubno približajo. b) a n = n n! Najprej preverimo monotonost a n+ a n = n+ n! (n + )! n = n +. Ker je zaporedje padajoče, je prvi člen maksimalen max n a n = a = = sup a n. n Supremum je seveda enak maksimumu. Minimalen člen ne obstaja. Infimum pa je enak inf n a n =, saj eksponentna funkcija narašča počasneje kot fakulteta.

22 c) a n = ( n )( )n To je primer alternirajočega zaporedja. Prvih nekaj členov:,,, 4, 4 5, 5 6,.... Zaporedje razdeo na dve podzaporedji: v prvem podzaporedju so členi z lihim indeksom, v drugem pa členi s sodim indeksom. Opazimo, da je prvo podzaporedje padajoče in pada od proti (a k ), drugo podzaporedje pa je naraščajoče in narašča od proti (a k ). in nista člena zaporedja, zato maksimum in minimum ne obstajata, obstajata pa supremum in infimum sup a n =, n inf n a n =.. Določite monotonost in omejenost naslednjih zaporedij. a) a n = n ( 95 ) n Najprej preverimo monotonost a n+ 95(n + ) =, a n n ko je n 9. Od tod sledi, da je zaporedje najprej naraščajoče, od dvajsetega člena dalje pa je padajoče. Sledi max a n = a 9 = a = sup a n. n n Minimalen člen ne obstaja. Infimum pa je enak inf n a n =. b) a n = n 9n Najprej preverimo monotonost a n+ a n = n 8, ko je n 4. Od tod sledi, da je zaporedje najprej padajoče, od petega člena dalje pa je naraščajoče. Sledi min a n = a 4 = a 5 = = inf a n n. n Maksimalen člen ne obstaja. Supremum pa je enak sup n a n =. 4. Zapišite splošni člen zaporedja. a),, 4, 5, 6,... To je zaporedje naravnih števil, ki se začne z, zato je splošni člen a n = n +. b), 4, 9, 6, 5,... To je alternirajoče zaporedje kvadratov naravnih števil, zato je splošni člen a n = ( ) n+ n. Potenca n + je zato, ker se alternirajoče zaporedje začne s pozitivnim členom. 5. Določite stekališča naslednjih zaporedij. Ali je zaporedje konvergentno? a) a n = n Zaporedje ima eno samo stekališče, saj se vsi členi približujejo k, torej je konvergentno. b) a n = sin ( nπ ) Prvih nekaj členov zaporedja:,,,,,,.... Členi se ponavljajo, ker je sin periodična funkcija. Zaporedje ima tri stekališča,, zato ni konvergentno (je divergentno). in

23 c),, 4, 4, 8, 7 8,... Zaporedje razdeo na dve podzaporedji: členi z lihimi indeksi se približujejo, členi s sodimi indeksi pa k, stekališči sta dve: in, zato zaporedje ni konvergentno. 6. Izračunajte naslednje ite. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 8n + 9n 6 n n + n + = n 8 n + 9 n 6 n + n + n = Limite takega tipa rešujemo tako, da deo števec in imenovalec z najvišjo potenco, v tem primeru z n. Velja: n r, ko gre n za vsak r. n 7n + n + n = 7 Če sta stopnji polinomov v števcu in imenovalcu enaki, je ita enaka kvocientu vodilnih koeficientov. n 5n 7n + n n = + n + n + + n = n + = n Pri določanju najvišje potence je potrebno upoštevati tudi korene. ( n + ( n + n)( n + + n) n + n n) = = = n n n + + n n n + + n Limite takega tipa rešujemo tako, da izraz v števcu in imenovalcu pomnožimo s podobnim izrazom, le da je namesto minusa v izrazu plus. n n n + n + n = (n + )( n + + n) n n = + n n n n n + n = + + n = n n n( n + n) = n n+ + n+ n n + n = n n + + n n(n + n) = ( ) n+ + ( ) n + = Velja: a n, ko gre n za a <. V tem primeru je a = <. 7. Izračunajte naslednji iti. a) n ( n ) n (k ) k= n(n ) = n n = Upoštevamo enakost n = n(n+), ki jo dokažemo z indukcijo.

24 b) n ( n k= ) k n n k = n n = Upoštevamo enakost n, ki jo dokažemo z indukcijo. n ( 8. Z uporabo enakosti + n = e izračunajte naslednje ite. n n) n = n n a) b) c) d) e) n ( ) n + 5 n ( = + ) ( n = n + n n + n n ( ) ( n n = n n + n n+ n ( n ) 6n ( n = n ( n ) n ( n = + n + n + (n + )(ln (n + ) ln n) = ln n n + n+ ) n n+ n+ ) (6n +)(n +5) n +5 n + 5 ) (n +7) n + n + ( n + n ) n n+ n+ n n = e n+ = e = ( e ) n 6n n+ = e 6 = e = e 6n + n n +4 n n +5 = e n + = e ) n+ ( = ln + n+ = ln e = n n) Najprej upoštevamo lastnosti logaritemske funkcije: ln a + ln b = ln (ab) in r ln a = ln a r. Nato upoštevamo še, da lahko zamenjamo vrstni red itiranja in logaritmiranja, saj je ln zvezna funkcija. 9. Ugotovite od katerega člena dalje se vsi členi zaporedja a n razlikujejo od ite za manj kot ε. a) a n = n n+, ε = Rešiti je potrebno neenačbo a n a < ε, kjer je a = a n =. n n n + < 4 < n + n > 99 Od dvestotega člena dalje so vsi členi zaporedja v dani okolici. b) a n = n +n n +, ε = Limita je enaka a = n a n =. n + n n + < n n + < n n + > 4

25 Enačba n n + = ima dve rešitvi n, = 5 ± 4, kjer je n = = 8.74 in n = 5 4. =.5. Gornja neenakost velja za vse n > n in n < n, torej so od devetega člena dalje vsi členi zaporedja v tej okolici. Zanimajo nas le naravna števila n. c) a n = 5n 5 n, ε = 5 5 Limita je enaka a = n a n =. 5 n 5 n < n < 5 5 n > 5 Od enainpetdesetega člena dalje so vsi členi zaporedja v dani okolici. d) a n = n +n n +n+, ε = Limita je enaka a = n a n =. n + n n + n + < 5(n + ) (n + ) < n > 49 Od petdesetega člena dalje so vsi členi zaporedja v dani okolici.. Dokažite, da je zaporedje konvergentno, in izračunajte ito. a) a n = 5n n! Ker je a n+ n+ < za n > 4, je zaporedje od četrtega člena dalje padajoče. Ker so vsi členi očitno pozitivni, je zaporedje navzdol omejeno z in zato konvergentno. b) a n = n a n = 5n+ n! 5 n (n+)! = 5 a 5 n n = n n n! = Ker je a n+ a n = + n+ = > za vsak n, je zaporedje naraščajoče. Ker n n+ so vsi členi očitno manjši od, je zaporedje navzgor omejeno z in zato konvergentno. ( a n = ) n n n =. Dokažite, da je rekurzivno podano zaporedje konvergentno, in izračunajte ito. a) a =, a n+ = an Prvih nekaj členov zaporedja:,, 8,... pada, zato je za dokaz konvergence dovolj dokazati, da je zaporedje padajoče in navzdol omejeno. i Pokažimo, da je zaporedje navzdol omejeno. Uporabimo indukcijo za dokaz a n > za vsak n N. Za n = je a = >, torej baza indukcije drži. Za dokaz indukcijskega koraka vzamemo za indukcijsko predpostavko, da je a n > in dokazujemo, da je tudi a n+ >. Torej a n+ = a n > =. 5

26 ii Pokažimo, da je zaporedje padajoče a n+ a n = a n a n = a n ( ) < =. Ker je zaporedje padajoče in navzdol omejeno, je konvergentno. Izračunajmo še ito, kjer označimo a = n a n. a n+ = a n a n+ = n n a = a a = ( an ) Velja: n a n+ = n a n, ker se zaporedji a n+ in a n razlikujeta samo v prvem členu, kar pa ne vpliva na ito. b) a =, a n+ = an + Prvih nekaj členov zaporedja:,, 7 4,... narašča, zato je za dokaz konvergence dovolj dokazati, da je zaporedje naraščajoče in navzgor omejeno. i Pokažimo, da je zaporedje navzgor omejeno. Uporabimo indukcijo za dokaz a n < za vsak n N. Za n = je a = <, torej baza indukcije drži. Za dokaz indukcijskega koraka vzamemo za indukcijsko predpostavko, da je a n < in dokazujemo, da je tudi a n+ <. Torej a n+ = a n + < + =. ii Pokažimo, da je zaporedje naraščajoče a n+ a n = a n + a n = a n + > + =. Ker je zaporedje naraščajoče in navzgor omejeno, je konvergentno. Izračunajmo še ito. c) a =, a n+ = an 4 + a n+ = a n + a n+ = n n a = a + a = ( an + ) Prvih nekaj členov zaporedja:, 7 4, 6,... pada, zato je dovolj dokazati, da je zaporedje padajoče in navzdol omejeno. i Z indukcijo pokažemo, da je zaporedje navzdol omejeno z a n > 4. Za n = je a = > 4 in trditev velja. Indukcijski korak ii Pokažimo, da je zaporedje padajoče a n+ = a n 4 + > 4. a n+ a n = a n 4 + a n = a n 4 + <. 6

27 Ker je zaporedje padajoče in navzdol omejeno, je konvergentno. Izračunajmo še ito. a n+ = a n 4 + a n+ = n n a = 4 ( an 4 + ). ( ) Dokažite, da je zaporedje a =, a n+ = 5 a n + konvergentno, in izračunajte ito. Prvih nekaj členov zaporedja: a =, a = 6 5, a = 6 5,.... Očitno velja: a n >. i Pokažimo, da je zaporedje navzgor omejeno. Z indukcijo pokažemo, da je a n < za vsak n N. Za n = je a = <, torej baza indukcije drži. Za dokaz indukcijskega koraka vzamemo za indukcijsko predpostavko, da je a n <, in dokazujemo, da je tudi a n+ <. Torej a n+ = 5 a n + < 5 + = 9 5 <. ii Pokažimo, da je zaporedje naraščajoče. Tudi tu si pomagamo z indukcijo, da dokažemo a n+ a n >. Za n = je a a = 5 >. Za indukcijski korak vzamemo indukcijsko predpostavko a n a n > in dokazujemo a n+ a n >. Torej a n+ a n = 5 a n + 5 a n = 5 (a n a n ) = 5 (a n a n )(a n + a n ) Ker je a n + a n >, je a n+ a n > natanko tedaj, ko je a n a n >. Sledi, da je zaporedje naraščajoče. Ker je zaporedje naraščajoče in navzgor omejeno, je konvergentno. Za izračun ite označimo a = n a n. a n+ = 5 a n + a ( n+ = n n 5 a n + ) a = 5 a + Dobimo kvadratno enačbo a 5a + 5 =, ki ima dve rešitvi: a = 5+ 5 in a = 5 5. Prva rešitev ni ita, ker je večja od, zato je a n = 5 5. n. Izračunajte prvi člen in razliko aritmetičnega zaporedja, če je a 4 = 4 in a 4 = 6. Splošni člen aritmetičnega zaporedja je a n = a + (n )d. Od tod sledi sistem enačb a 4 = a + d = 4 in a 4 = a + 9d = 6, ki ima rešitev a = in d =. 4. Določite parameter x tako, da bo zaporedje a = x 5, a = x 9, a = x geometrijsko. Splošni člen geometrijskega zaporedja je a n = a q n. Da bo zaporedje geometrijsko mora biti a a = a a. Sledi Dobimo a =, a = 8, a = 7 in q =. x 9 x = x 5 x 9 (x 9) = x(x 5) x = 7 7

28 Številsko vrsto številske vrste a n seštejemo tako, da najprej izračunamo N-to delno vsoto s N = a +a + +a N. n= To nam da zaporedje delnih vsot, ko gre N. Če to zaporedje konvergira, ito označimo z s = s N. Vsota vrste je tedaj enaka iti delnih vsot a n = s. Pravimo, da vrsta konvergira, N če konvergira zaporedje delnih vsot, sicer vrsta divergira. Geometrijska vrsta: n= a q n = n= a, q <. q Kriteriji za konvergenco številskih vrst s pozitivnimi členi. a n+ I Kvocientni kriterij. Dana je vrsta a n. Izračunamo q =. n a n n= i Če je q <, vrsta n= a n konvergira. ii Če je q >, vrsta n= a n divergira. iii Če je q =, kriterij odpove. II Korenski kriterij. Dana je vrsta n= i Če je q <, vrsta n= a n konvergira. ii Če je q >, vrsta n= a n divergira. iii Če je q =, kriterij odpove. a n. Izračunamo q = n III Primerjalni kriterij. Naj bo a n b n za vsak n n. n an. i Če vrsta n= b n konvergira, konvergira tudi vrsta n= a n. ii Če vrsta n= a n divergira, divergira tudi vrsta n= b n. Kriterij za konvergenco alternirajočih vrst. Alternirajoča vrsta ( ) n a n konvergira, če zaporedje a n od nekje dalje monotono pada proti. n=. Seštejte naslednje vrste tako, da izračunate ito delnih vsot. a) n= n(n+) Splošni člen vrste je a n = n(n+), ki ga zapišemo v obliki parcialnih ulomkov n(n + ) = A n + B n + (A + B)n + A =. n(n + ) Primerjamo števca in dobimo sistem dveh enačb za dve neznanki A + B =, A =, od koder sledi, da je B =. Torej je a n = n n+. N-ta delna vsota vrste je s N = a + a + + a N = ( ( ( ) ) + ) + + N N+ = N+. Opazimo, da se vsi vmesni členi odštejejo. Vsota vrste je enaka iti zaporedja delnih vsot ( s = s N = ) =. N N N + Torej je n(n + ) =. n= 8

29 b) n= 4n Splošni člen vrste je a n =, ki ga zapišemo v obliki parcialnih ulomkov 4n 4n = (n )(n + ) = A n + B n + (A + B)n + (A B) = 4n. Primerjava števcev da sistem A + B =, A B =, ki ima rešitev A = in B =. Torej je a n = (n ) (n+). Sedaj izračunamo N-to delno vsoto vrste s N = a + a + + a N = ( ) ( ) ( ) + + 4N 4N+ = 4N+. Vsota vrste je tedaj enaka iti zaporedja delnih vsot ( ) s = s N = N N 4N + Torej je c) n= n= (n )(n+) 4n =. =. Splošni člen vrste je a n = (n )(n+), ki ga zapišemo v obliki parcialnih ulomkov (n )(n + ) = A n + B n + (A + B)n + (A B) =. (n )(n + ) Primerjava števcev da sistem A + B =, A B =, ki ima rešitev A = in B =. Torej je a n = (n ) (n+). Sedaj izračunamo N-to delno vsoto vrste s N = ( ) ( + ) ( ) + + Vsota vrste je tedaj enaka iti zaporedja delnih vsot Torej je n= (n )(n + ) =. (N ) (N+) ( ) s = s N = N N (N+) =.. Izračunajte vsote naslednjih geometrijskih vrst. 7 a) n = ( ) 7 n 7 = = 7 99 n= n= Opazimo: a = 7, q =, q <. b) 4 n = ( ) n = 4 = 4 4 n= n= Opazimo: a =, q = 4, q <. = (N+). c) n+ n = 4 n= n= ( ) n = 4 = Opazimo: a = a = 4, q = a a =, q <. 9

30 . Z uporabo geometrijske vrste zapišite decimalno število,... v obliki ulomka.,... = ( ) n ( ) n = = = n= Opazimo: a =, q =, q <. 4. S pomočjo kvocientnega kriterija določite konvergenco naslednjih vrst. a) n= n! b) n= Splošni člen: a n = n!. Vrsta je konvergentna. (n)! (n)! Splošni člen: a n = (n)! (n)!. a n+ q = n a n a n+ q = n a n = n (n + )!(n)! = n (n)!(n + )! n= n! (n + )! = n n + = < = 99 (n + )(n + )(n + )(n)!(n)! 7n + 54n + n + 6 = = n (n)!(n + )(n + )(n)! n 4n = > + 6n + Vrsta je divergentna. c) n= n n+ a n+ Ker je q = n a n primeru odpove. d) n= n! e n a n+ Ker je q = n a n (n + ) = n n(n + ) = n + n + n n =, kvocientni kriterij v tem + n n + = = >, je vrsta divergentna. n e 5. S pomočjo korenskega kriterija določite konvergenco naslednjih vrst. a) n= ( n n+ ) n(n+) Splošni člen: a n = ( n n+) n(n+). q = n n an = n (n n n + Vrsta je konvergentna. Upoštevamo, da je n b) n= n+ n 5 n Splošni člen: a n = n+ n 5 n. q = n n an = n Vrsta je divergentna. Velja: n ) n(n+) ( = n n n+ n 5 n = n n + ( n) n = e. 9 n n n n = in n n 5 n = 9 5 n n c =, c = konst. ) n+ = e < n n n = 9 5 >

31 c) n= n n+ Ker je q = n odpove. d) n= ( n n+ ) n+ n an = n n n n + = n n n n n n + =, korenski kriterij v tem primeru Ker je q = n ( ) n+ n n n an = n n + = <, je vrsta konvergentna ( ) S pomočjo minorante ali majorante določite konvergenco naslednjih vrst. a) n= log n n < log n. Harmonična vrsta n= n= n= divergentna, zato je po primerjalnem kriteriju divergentna tudi dana vrsta. b) n= Ker je log n < n, je n < log n in zato n(n +) n je Vrsta n α je konvergentna, če je α >, in divergentna, če je α. Ker je n(n +) > n, n= je < in zato n(n +) n / n= n(n + ) < n /. Ker je α = >, je vrsta n / n= n= konvergentna, zato je po primerjalnem kriteriju konvergentna tudi dana vrsta. c) n= n n +n+ Ker je n + n + n n, sledi n +n+ n in zato n n + n + n. Vrsta n n= n= n= je divergentna, zato je po primerjalnem kriteriju divergentna tudi dana vrsta. 7. Določite konvergenco vrste (n+) n=. (n +) p(n) Za vrste oblike, kjer sta p in q polinoma, velja, da vrsta konvergira, če je st(q) st(p), q(n) n= in divergira, če je st(q) st(p) <. V danem primeru je razlika stopenj st(q) st(p) = 6 = >, zato vrsta konvergira. 8. Določite konvergenco naslednjih alternirajočih vrst. a) n= ( ) n n(n+) Preveriti moramo, da je zaporedje a n = n(n+) Ker je a n+ a n = padajoče ter da ima ito. n(n + ) (n + )(n + ) = n <, je zaporedje padajoče z ito n + a n = n n n(n + ) =, zato vrsta konvergira. b) ( ) n n= n Ker je a n+ = n a n n+ = vrsta konvergira. <, je zaporedje padajoče z ito n a n = n =, zato n

32 Funkcija je predpis f : D R, D R. funkcije D f : definicijsko območje, Z f = {f(x); x D}: zaloga vrednosti funkcije f. Funkcija f je soda, če je f( x) = f(x). Funkcija f je liha, če je f( x) = f(x). Funkcija f : D Z je injektivna, če za x, y D, x y, velja f(x) f(y) (oz. f(x) = f(y) x = y). Funkcija f : D Z je surjektivna, če za vsak y Z obstaja x D, da velja y = f(x) (oz. Z f = Z). Funkcija f : D Z je bijektivna, če je injektivna in surjektivna. Kompozitum funkcij: (f g)(x) = f(g(x)). Inverz funkcije: (f f )(x) = x. Limite funkcij: sin x i) x x = ii) iii) x ( + x) x = e P x (x)e x =, P (x) polinom. Določite definicijsko območje naslednjih funkcij. a) f(x) = 4 x + x Ker ne smemo deliti z, mora biti x. Vemo, da je korenska funkcija definirana samo za nenegativna števila, torej mora veljati 4 x. Od tu sledi x 4, torej x oz. x. Definicijsko območje: D f = [, ) (, ]. b) f(x) = x + ln x x+ Ker ne smemo deliti z, mora biti x. Vemo, da je logaritemska funkcija definirana x samo za pozitivna števila, torej mora veljati x+ >. Množimo z (x + ) in dobimo kvadratno neenačbo (x )(x + ) >. Od tod sledi x >, torej x > oz. x < ali x >. Definicijsko območje: D f = (, ) (, ). c) f(x) = ln ( x + x + ) Iščemo rešitev neenačbe x + x + >. reševanje neenačbe razdeo na tri podprimere. Da odpravimo absolutno vrednost, i) Ko je x <, neenačba nima rešitev. ii) Ko je x <, se neenačba prevede na x >, od koder dobimo za rešitev interval (, ). iii) Ko je x, je neenačba vedno izpolnjena, od koder dobimo za rešitev interval [, ). Definicijsko območje: D f = (, ). d) f(x) = arcsin x +x Ker ne smemo deliti z, mora biti x. Vemo, da je funkcija arkus sinus definirana za števila med vključno in, torej mora veljati x +x. To je sistem dveh neenačb x +x ( + x) x +x ( + x) x x x + x x + x + x + x x + 4x + x (x + )(x + ), (x + )(x ). Rešitev prve neenačbe je (, ] [, ), rešitev druge pa [, ], definicijsko območje je presek obeh rešitev: D f = [, ].

33 . Določite definicijsko območje in zalogo vrednosti naslednjih funkcij. a) f(x) = x Ker je to kvadratna funkcija, torej poseben primer polinomov, je definirana povsod: D f = R. Ničli ima v točkah x = in x =, največjo vrednost pa v točki x =, kjer je enaka f() =. Zato je zaloga vrednosti Z f = (, ]. b) f(x) = e x Ker ne smemo deliti z, mora biti x. Zato je D f = R {} = (, ) (, ). Graf funkcije je simetričen glede na ordinatno os, zato se lahko brez škode za splošnost omejimo na pozitivna števila. Oglejmo si itne vrednosti funkcije x f(x) = e x x, x f(x) = e x x. Torej je Z f = (, ), ker je funkcija f strogo naraščajoča na (, ).. Preverite sodost/lihost naslednjih funkcij. a) f(x) = x +x f( x) = b) f(x) = sin x x f( x) = x + ( x) = x = f(x) liha. + x sin ( x) ( x) = sin x x = f(x) soda. c) f(x) = x + x 4 + x 6 f( x) = x + x 4 + x 6 ne soda ne liha. d) f(x) = cos x x 4 +x f( x) = cos x x 4 = f(x) soda. + x e) f(x) = ex +e x e x e x f) f(x) = cos x + sin x f( x) = e x + e x e x = f(x) liha. ex f( x) = cos x sin x ne soda ne liha. 4. Preverite injektivnost, surjektivnost in bijektivnost naslednjih funkcij. a) f(x) = e x Definicijsko območje funkcije je D f = R, zaloga vrednosti pa Z f = (, ) = R +. Funkcija f : R R je injektivna, ker je strogo naraščajoča, toda ni surjektivna, ker zaloga vrednosti funkcije ni enaka kodomeni. Funkcija f : R R + je še vedno injektivna, poleg tega pa tudi surjektivna, saj smo zmanjšali kodomeno na zalogo vrednosti. Torej je funkcija bijektivna. b) f(x) = 8x x Funkcija f(x) = 8x x = x(x 4) je kvadratna funkcija z ničlama v x = in x = 4. Največjo vrednost zavzame v točki x =, in sicer f() = 8. Torej je definicijsko območje D f = R, zaloga vrednosti pa Z f = (, 8]. Funkcija f : R R ni injektivna, ker so vse vrednosti na intervalu (, 8) zavzete v dveh različnih točkah. Prav tako ni surjektivna, saj zaloga vrednosti ni enaka kodomeni. Funkcija f : [, ) R je injektivna, ker je na tem intervalu strogo padajoča, ni pa surjektivna iz istega razloga kot prej. Funkcija f : [, ) (, 8] je injektivna in surjektivna, torej bijektivna.

34 5. Določite kompozituma f g in g f za naslednje funkcije. a) f(x) = x, g(x) = e x (f g)(x) = f(g(x)) = f(e x ) = (e x ) = e x Opazimo, da velja: f g g f! b) f(x) = +x, g(x) = + x (g f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = e x (f g)(x) = f(g(x)) = f( + x ) = + x ( ) ( (g f)(x) = g(f(x)) = g = + + x + x c) f(x) = x, g(x) = +x x ( ) x (f g)(x) = f x = x (g f)(x) = g ( +x ) = x ) = + x + x + x + x 6. Določite kompozitume f f, g g, f g in g f za funkciji f(x) = + x in g(x) = x. (f f)(x) = f(f(x)) = f( + x) = + ( + x) = + 4x (g g)(x) = g(g(x)) = g( x) = ( x) = 4 + 9x (f g)(x) = f(g(x)) = f( x) = + ( x) = 6x (g f)(x) = g(f(x)) = g( + x) = ( + x) = 5 6x 7. Poiščite inverzno funkcijo f (x) k naslednjim funkcijam f(x). a) f(x) = + arctg(x) Pišemo y = + arctg(x) in zamenjamo vlogi x in y. Nato izrazimo y b) f(x) = x+ x Po zamenjavi vlog x in y dobimo c) f(x) = x +x x = + arctg(y) arctg(y) = x f (x) = y = tg(x ). x = y + y x(y ) = y + f (x) = y = x + x = f(x). Po zamenjavi vlog x in y dobimo x = y + y x ( + y ) = y f (x) = y = x x = x x. 4

35 8. Dani sta funkciji f(x) = ex +e x e x in g(x) = Najprej izračunamo inverzno funkcijo f (x) Nato izračunamo inverzno funkcijo g (x) Nazadnje izračunamo kompozitum 9. Izračunajte naslednje ite. a) b) c) ( ) d) e) f) g) ln (x ). Določite kompozitum ( g f ) (x). x = + e y y = ln (x ). x = ln (y ) y = e x +. ( g f ) ln (x ) (x) = e + = x + = x x. sin x sin y = = x x y y Substitucija y = x, x = y sin ax, x y. Splošneje: = a. x x x π sin ax x sin bx = x sin ax x sin bx x sin ax x sin bx x x = x = a b sin x sin ( π ( π = y) cos y x) y y = y y = y cos y = y ( sin y y + sin y cos y + sin y y ) ( sin y = y y ) = Substitucija y = π x, x = π y. Ko gre x π, gre y. Upoštevamo enačbe iz trigonometrije: sin ( π α) = cos α, cos α + sin α = in cos (α) = cos α sin α. x x ( ) x + x ( = + ) (x+) x x+ x = e x x+ = e x + x x + ( x ) x ( + x = x x + x ) x x x 5x x + 5 x x x = + x + x + = 5 x x + x + 4 x x 4 + = x + x + x 4 5 Ulomek zgoraj in spodaj deo z najvišjo potenco x-a, to je z x. 5 4 x x = e x = e x + x = x + x 5

36 h) i) ( x x x x) = x x x + x = ( ) x x + x x = = x x x + + x j) x ( (x + ) ) (x ) = x = x (x + ) (x ) (x + ) 4 + (x + ) (x ) + (x ) 4 4x (x + ) 4 + (x + ) (x ) + (x ) = 4 k) l) m) n) Uporabimo enakost a b = (a b)(a + ab + b ). x x (x ) x x x x = x x + = x x + x = (x )(x + x + ) = x (x )(x + ) x x 5x = x x( 4 + 5x + ) = 5 8 x 4 + x ( + x )( + x + )( x + ) = x x 4 ( x )( x + )( + x + ) x + ) ( + x 9)( = x 4 (x 4)( + x + ) = x 4 ( x + ) ( + x + ) = 4 o) p) r) s) x x x( x ) = = x x x x x m x x n = (x )(x m + x m + + x + ) x (x )(x n + x n + + x + ) = m n x ln x = x y ( y)e y = Substitucija x = e y, ln x = y, y = ln x. Ko gre x, gre y. x xx = e x ln x = e x x ln x = e y ( y)e y = e = x Uporabimo enakost x = e ln x in substitucijo x = e y, y = ln x. Ko gre x, gre y.. Določite f(x), če je f( + x) = x + x. Uvedemo substitucijo y = + x oz. x = y f(y) = (y ) + (y ) = y 5y + 6. Torej je f(x) = x 5x

37 . Določite vrednost parametra a tako, da bo dana funkcija zvezna. { e a) f(x) = x, x <, x + a, x. Edina možna točka nezveznosti je v točki x =. Da bo funkcija zvezna, mora biti leva ita enaka desni: f(x) = f(x). Ker je x x mora biti a =, da bo funkcija zvezna. { sin x b) f(x) = x, x >, a( x + ), x. f(x) x = e x =, x f(x) x = (x + a) = a, x Edina možna točka nezveznosti je v točki x =. Ker je mora biti a =, da bo funkcija zvezna. { x sin c) f(x) = x, x, a, x =. f(x) = a( x + ) = a, x x sin x f(x) = =, x x x Edina možna točka nezveznosti je x =. Da bo funkcija zvezna, mora biti ita funkcije enaka vrednosti funkcije v točki x = : x f(x) = f(). Velja f(x) = x sin x x x = sin y y y Uporabimo substitucijo y = x, x = y. Ko gre x, gre y. Upoštevamo še, da je funkcija sinus omejena. Ker je f() = a, bo funkcija zvezna, ko bo a =.. Tam, kjer funkcija f(x) = =. x, x <, 4 x, x < 5, x 7, 5 x 4 ni zvezna, določite levo in desno ito. Možni točki nezveznosti sta v x = in x = 5, kjer izračunamo levo in desno ito. f(x) x = x = x f(x) x = (4 x) = x Ker sta iti enaki, je v točki x = funkcija zvezna. x 5 x 5 f(x) = (4 x) = x 5 f(x) = (x 7) = x 5 Limiti nista enaki, torej funkcija v točki x = 5 ni zvezna.. Narišite grafe naslednjih funkcij. a) f(x) = x Funkcijo zapišemo brez absolutnih vrednosti f(x) = { + x, x <, x, x, in narišemo. 7

38 b) f(x) = x + x To je kvadratna funkcija z ničlama x = in x =, začetno vrednostjo v točki (, ) ter temenom v točki (, 4 ). c) f(x) = 4x x+ To je racionalna funkcija z ničlo x = 4, polom v točki x =, vodoravno asimptoto y = 4 ter začetno vrednostjo f() =. d) f(x) = e x Najprej narišemo kvadratno funkcijo x, nato pa z uporabo lastnosti eksponentne funkcije (e =, x e x = ) narišemo še funkcijo f(x). e) f(x) = x + arctan x Graf funkcije je omejen z asimptotama y = x ± π. a) f(x) = x b) f(x) = x + x 4 4 c) f(x) = 4x x+ d) f(x) = e x Π Π Π Π e) f(x) = x + arctan x 8