x k+1 = x k + α k (x k ) ώστε f(x k+1 ) < f(x k ),

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x k+1 = x k + α k (x k ) ώστε f(x k+1 ) < f(x k ),"

Transcript

1 KΕΦΑΛΑΙΟ 5 Υπολογιστικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Χωρίς Περιορισµούς 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση min f(x) x R n x Στα περισσότερα πρακτικά προβλήµατα η αντικειµενική συνάρτηση έχει πολύπλοκη µορφή γεγονός που καθιστά προβληµατική την εφαρµογή των αναλυτικών µεθόδων που ήδη αναπτύχθηκαν. Στο παρόν Κεφάλαιο 5 η παρουσίαση υπολογιστικών µεθόδων θα περιοριστεί στο πρόβληµα χωρίς περιορισµούς, αν και είναι αληθές ότι σπάνια στην πράξη οι µεταβλητές απόφασης είναι αδέσµευτες. Όµως η περίπτωση χωρίς περιορισµούς είναι σηµαντική για τους εξής λόγους: (1) στην περιοχή του ακρότατου πολλά προβλήµατα µπορεί να αντιµετωπιστούν χωρίς περιορισµούς, () πολλά προβλήµατα µε περιορισµούς µετασχηµατίζονται σε άλλα χωρίς περιορισµούς, (3) η κατανόηση των υπολογιστικών µεθόδων χωρίς περιορισµούς είναι απαραίτητη για τη γενίκευση τους σε προβλήµατα µε περιορισµούς. Οι υπολογιστικές τεχνικές βελτιστοποίησης χωρίς περιορισµούς µπορεί να καταταγούν σε δύο κατηγορίες: µέθοδοι άµεσης αναζήτησης και µέθοδοι καθόδου. Οι µέθοδοι άµεσης αναζήτησης απαιτούν µόνο τον υπολογισµό της αντικειµενικής συνάρτησης και δε χρησιµοποιούν τις µερικές παραγώγους της για τον εντοπισµό του ακρότατου. Γι αυτό συχνά ονοµάζονται και µέθοδοι χωρίς κλίση (κατεύθυνση) και είναι λιγότερο αποτελεσµατικές. Οι µέθοδοι καθόδου (ή µέθοδοι κλίσης) απαιτούν υπολογισµό της συνάρτησης αλλά και των παραγώγων της (πρώτης και πιθανώς ανώτερης τάξης). Επειδή χρησιµοποιούν περισσότερες πληροφορίες εντοπίζουν ταχύτερα τα ακρότατα. Όλες οι υπολογιστικές τεχνικές είναι από τη φύση τους επαναληπτικές, δηλαδή εκκινούν από µια αρχική λύση (σηµείο) και διαδοχικά προχωρούν προς το σηµείο ακρότατου µε δοκιµές. Οι διαφορές ανάµεσα στις διάφορες µεθόδους

2 έγκεινται στο πως επιλέγουν σε ποια κατεύθυνση θα συνεχίσει η έρευνα και πόσο θα είναι το βήµα σε αυτή την κατεύθυνση. 5. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η γενική ιδέα είναι το νέο σηµείο ελέγχου για ακρότατο να προκύπτει από την επαναληπτική σχέση x k+1 = x k + α k (x k ) ώστε f(x k+1 ) < f(x k ), όπου α k είναι το βήµα. Ορισµένες ειδικές περιπτώσεις είναι: 5..1 Ανοικτή αναζήτηση Παράδειγµα 5.1 x/ x Ζητείται να µεγιστοποιηθεί η συνάρτηση f(x) = - x + 3 x > χωρίς περιορισµούς αρχίζοντας τις επαναλήψεις από το σηµείο x 0 = -1 Η συνάρτηση απεικονίζεται στο Σχήµα 5.1 και είναι φανερό ότι δεν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο του ακροτάτου. Εποµένως το ακρότατο δεν µπορεί να εντοπιστεί µε αναλυτική διαδικασία και πρέπει να χρησιµοποιηθούν αριθµητικές µέθοδοι. Σταθερό βήµα s = 0.4 x k+1 = x k k x k f(x k ) Η κατεύθυνση αναζήτησης προσδιορίζεται για k = 1 προς µεγαλύτερες τιµές του x. Η συνάρτηση διαρκώς βελτιώνεται (αυξάνει) µέχρι το k = 8. Εντοπίζεται η θέση του µεγίστου στο διάστηµα (1.8,.) όπου απαιτείται λεπτοµερέστερη έρευνα µε µικρότερο βήµα. Επιταχυνόµενο βήµα s 0 = 0. x k+1 = x k + s k s k+1 = s k k s k x k f(x k ) Η συνάρτηση διαρκώς βελτιώνεται (αυξάνει) µέχρι το k = 4. Εντοπίζεται η θέση του µεγίστου στο διάστηµα (.0, 5.) όπου απαιτείται λεπτοµερέστερη έρευνα.

3 Σχήµα 5.1. Μεγιστοποίηση µη παραγωγίσιµης συνάρτησης 5.. Εξαντλητική αναζήτηση Παράδειγµα 5. Ζητείται να µεγιστοποιηθεί η συνάρτηση f(x) = x (1.5 x) χωρίς περιορισµούς στο διάστηµα [0,1] µε ακρίβεια ενός δεκαδικού για το διάστηµα. s = (1 0)/10 = 0.1 k x k f(x k ) Εντοπίζεται η θέση του µεγίστου στο διάστηµα (0.6, 0.9) όπου απαιτείται λεπτοµερέστερη έρευνα Αναζήτηση µε διαίρεση του διαστήµατος Η τεχνική αυτή βασίζεται στον υπολογισµό των τιµών της συνάρτησης στα άκρα του διαστήµατος ορισµού και σε δύο ενδιάµεσα σηµεία. Ανάλογα µε τις τιµές αυτές επιλέγεται ένα µικρότερο διάστηµα στο οποίο τεκµηριωµένα υπάρχει το ακρότατο της συνάρτησης. Στο διάγραµµα απεικονίζονται οι τιµές της f(x) στα ακραία σηµεία x 1 και x 3 και στο ενδιάµεσο σηµείο x. Προκειµένου το ελάχιστο της f(x) να είναι στο διάστηµα [x 1, x 3 ], πρέπει να ισχύει για τις τιµές της συνάρτησης f(x): f 1 > f και f 3 > f. Εξετάζεται τώρα ένα ακόµη ενδιάµεσο σηµείο x 4 και υπάρχουν δύο περιπτώσεις: α) f 4α > f οπότε το ελάχιστο κείται στο διάστηµα [x 1, x 4 ] (Σχήµα 5. αριστερά) και β) f 4β < f οπότε το ελάχιστο κείται στο διάστηµα [x, x 3 ] (Σχήµα 5. δεξιά) Σε κάθε περίπτωση εντοπίζεται ένα µικρότερο διάστηµα που περιέχει το σηµείο που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση και συνεχίζεται η διαδικασία.

4 Ανάλογα µε τον τρόπο επιλογής των ενδιάµεσων σηµείων x και x 4, παρουσιάζονται οι εξής δύο µέθοδοι: 1) µέθοδος διχοτόµησης του διαστήµατος ) µέθοδος της χρυσής τοµής Για µεγιστοποίηση της συνάρτησης f(x) τα ανωτέρω προσαρµόζονται αντίστοιχα. f 1 f f 3 f 4α f 1 f f 3 f 4β X 1 X X 4 X 3 X 1 X X 4 X 3 Σχήµα 5.. Αναζήτηση µε διαίρεση του διαστήµατος Μέθοδος διχοτόµησης του διαστήµατος Παράδειγµα 5.3α Ζητείται να µεγιστοποιηθεί η συνάρτηση f(x) = x (1.5 x) χωρίς περιορισµούς στο διάστηµα [0, 1] µε έλεγχο των σηµείων s/ ± δ (µέσο διαστήµατος ± δ), όπου δ = Στα ακραία σηµεία οι τιµές της f(x) είναι: f(0) = 0, f(1) = 0.5. k = 1 s/ = (1-0)/ = 0.5 x 1- = = f = x 1+ = = f = η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα [0.4995, 1] k = s/ = ( )/ = x - = = f = x + = = f = η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα [0.7495, 1] k = 3 s/ = ( )/ = x - = = f =

5 x + = = f = η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα [0.7495, ] 5 k = 4 s/ = ( )/ = x - = = f = x + = = f = η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα [0.7495, ] k = 5 s/ = ( )/ = x - = = f = x + = = f = η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα [0.7495, ] εδοµένου ότι το απόλυτο µέγιστο για τη συνάρτηση υπολογίζεται αναλυτικά ότι είναι στο σηµείο x = 0.75 και έχει τιµή f * = 0.565, η διαδικασία προχωρά στη σωστή κατεύθυνση και για k = 10 εντοπίζει το ακρότατο µε ακρίβεια τέταρτου δεκαδικού ψηφίου (x = , f * = ) Μέθοδος της χρυσής τοµής Όπως φαίνεται στο Σχήµα 5. το νέο διάστηµα αναζήτησης θα είναι είτε το [x 1, x 4 ] µήκους a+c είτε το [x, x 3 ] µήκους b. Η µέθοδος της χρυσής τοµής απαιτεί τα διαστήµατα αυτά να είναι ίσα, ώστε η ταχύτητα σύγκλισης να παραµένει ίδια ανεξάρτητα από το διάστηµα που θα επιλεγεί. εδοµένου ότι a = x x 1, b = x 3 x και c = x 4 x η συνθήκη a+c = b ισοδυναµεί µε x x 1 + x 4 x = x 3 x ή x 4 = x 1 x + x 3 (5.1) Με τον τύπο αυτόν υπολογίζεται το σηµείο x 4. Για το σηµείο x η µέθοδος απαιτεί το διάστηµα ελέγχου της συνάρτησης να µικραίνει µε την ίδια σταθερή αναλογία σε κάθε επανάληψη. Εάν το διάστηµα αυτό είναι το [x 1, x 4 ] πρέπει ο λόγος των αποστάσεων του x από τα x 1 και x 4 και από τα x 1 και x 3 να είναι σταθερός, δηλαδή c / a = a / b (5.) Εάν το διάστηµα είναι το [x, x 3 ] πρέπει ο λόγος των αποστάσεων του x 4 από τα x και x 3 και από τα x 1 και x 3 να είναι σταθερός, δηλαδή c / (b - c) = a / b (5.3) Έστω φ = b / a, τότε αντικαθιστώντας c = a / φ στην (5.3): (a / φ) / (b (a / φ)) = 1/ φ a / φ = 1/φ (b - (a / φ)) 1 = (φ - 1/φ) φ - φ - 1 = 0 (5.4) Η θετική λύση της (5.4) είναι η «χρυσή αναλογία» φ = / / = Το x υπολογίζεται από τη φ = b / a = (x 3 - x )/ (x x 1 ) φ (x x 1 ) = (x 3 - x ) (1+φ) x = x 3 + φ x 1

6 x = φ/(1+φ) x 1 + 1/(1+φ) x 3 (5.5) και το x 4 αντικαθιστώντας τη (5.5) στη (5.1) x 4 = x 1 x + x 3 = x 1 φ/(1+φ) x 1-1/(1+φ) x 3 + x 3 x 4 = 1/(1+φ) x 1 + φ/(1+φ) x 3 (5.6) Εάν ε είναι η παράµετρος ανοχής, ως συνθήκη τερµατισµού του αλγορίθµου συνιστάται η εξής: x 4 - x 1 < ε ( x + x 3 ) Παράδειγµα 5.3β Ζητείται να µεγιστοποιηθεί η συνάρτηση f(x) = x (1.5 x) χωρίς περιορισµούς στο διάστηµα [0, 1] µε τη µέθοδο της χρυσής τοµής και παράµετρο ανοχής ε = Στα ακραία σηµεία οι τιµές της f(x) είναι: f(0) = 0, f(1) = 0.5. k = 1 x = f = x 4 = f = η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα [ , 1] k = x = f = x 4 = f = η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα [ , 1] k = 3 x = f = x 4 = f = η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα [ , ] k = 4 x = f = x 4 = f = η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα [0.7080, ] Έλεγχος συνθήκης τερµατισµού: x 4 - x 1 < ε ( x + x 3 ) = > ( ) = Συνεπώς η διαδικασία συνεχίζεται όπως φαίνεται στον πίνακα. k=1 k= k=3 k=4 k=5 k=1 k=13 k=14 x x x x συνθ OK f(x 1 ) f(x 3 ) f(x ) f(x 4 ) 0, ,5631 0, ,5631 0, ,565 0,565 0,565

7 7 Έλεγχος συνθήκης τερµατισµού στη 14 η επανάληψη: x 4 - x 1 < ε ( x + x 3 ) = < 0.001( ) = Συνεπώς η διαδικασία τερµατίζεται Αναζήτηση µε τετραγωνική παρεµβολή Η συνάρτηση f(x) που απαιτείται να ελαχιστοποιηθεί προσεγγίζεται µε µια τετραγωνική συνάρτηση (παραβολή) της µορφής h(x) = a + b x + c x για την οποία είναι γνωστό ότι 1) η αναγκαία συνθήκη για ελάχιστο είναι d h b = b + cx = 0 x * = και c d h ) η ικανή συνθήκη για ελάχιστο είναι = c > 0 Για τον υπολογισµό των σταθερών a, b, και c χρειάζεται να υπολογιστεί η συνάρτηση σε τρία σηµεία. Έστω Α, Β, και C τα σηµεία στα οποία η f(x) παίρνει τις τιµές f A, f B, και f C. Αντικαθιστώντας στην h(x): f A = a + b A + c A f B = a + b B + c B f C = a + b C + c C Η επίλυση αυτού του συστήµατος δίνει: f ABC(C B) + f BCA(C A) + fcab(b A) a = (A B)(B C)(C A) f + + A (B C ) f B(C A ) fc (A - B ) b = (A B)(B C)(C A) fa (B C) + f B(C A) + fc(a - B) c = (A B)(B C)(C A) Το ελάχιστο της h(x) προκύπτει (εφόσον c > 0) στη θέση * b 1 f + + A (B C ) f B(C A ) fc(a - B ) x = = c f A (B C) + f B(C A) + fc(a - B) Για να εφαρµοστεί η µέθοδος τα σηµεία Α, Β, και C λαµβάνονται σαν 0, t, και t αντίστοιχα όπου t είναι το προεπιλεγµένο βήµα δοκιµών. Συνήθως το Α λαµβάνεται καταρχήν ίσο µε 0. Οι τιµές της συνάρτησης f(x) πρέπει να είναι f A > f B και f C > f B ώστε το ελάχιστο της h(x) να είναι στο διάστηµα [Α, C].

8 Παράδειγµα 5.4 Ζητείται να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση min f(x) = x 5-5x 3-0x + 5, µε αναζήτηση µε τετραγωνική παρεµβολή χρησιµοποιώντας βήµα δοκιµών t = 0.5 και Α = 0 Επανάληψη 1 f A = f(0) = 5 f B = f(t) = f(0.5) = < f Α ΟΚ f C = f(t) = f(1) = < f B δεν ικανοποιεί Θέτουµε f A = f(0) = 5 f B = f(t) = f(1) = < f Α ΟΚ f C = f(4t) = f() = -43.0< f B δεν ικανοποιεί Θέτουµε f A = f(0) = 5 f B = f(4t) = f() = < f Α ΟΚ f C = f(8t) = f(4) = 69 > f B ΟΚ Η τετραγωνική προσέγγιση της f(x) έχει ελάχιστο στο σηµείο 5( 4 ) + ( 43)(4 0 ) + 69(0 - ) 1 * x = = ( 4) + ( 43)(4 0) + 69(0 - ) Οι τιµές των συντελεστών υπολογίζονται σαν a = 5, b = -04, c = 90 >0 ενώ h(x * ) = h(1.1333) = Η τιµή της συνάρτησης f(x * ) = f(1.1333) = Έλεγχος (h(x * ) - f(x * ))/ f(x * ) = ( (-3.07))/(-3.07) = 4.04 η προσέγγιση δεν είναι αρκετά ακριβής. Επανάληψη Επειδή x * < Β λαµβάνουµε Α = x * = Θέτουµε f A = f(1.1333) = f B = f(4t) = f() = < f Α ΟΚ f C = f(8t) = f(4) = 69 > f B ΟΚ * 1 (-3.07)( 4 ) + ( 43)( ) + 69( x = (-3.07)( 4) + ( 43)( ) + 69( ) Οι τιµές των συντελεστών υπολογίζονται σαν a = 88, b = -417, c = 15.3 >0 ενώ h(x * ) = h(1.658) = Η τιµή της συνάρτησης f(x * ) = f(1.658) = ) = 1.658

9 Έλεγχος (h(x * ) - f(x * ))/ f(x * ) = ( (-38.37))/(-38.37) = η προσέγγιση δεν είναι αρκετά ακριβής. 9 Επανάληψη 3 Επειδή x * < Β λαµβάνουµε Α = x * = Θέτουµε f A = f(1.658) = f B = f(4t) = f() = < f Α ΟΚ f C = f(8t) = f(4) = 69 > f B ΟΚ * 1 (-38.37)( 4 ) + ( 43)( ) + 69( ) x = = (-38.37)( 4) ( 43)( ) 69( ) + + Οι τιµές των συντελεστών υπολογίζονται σαν a = 484, b = -561, c = >0 ενώ h(x * ) = h(1.874) = Η τιµή της συνάρτησης f(x * ) = f(1.874) = -4.3 Έλεγχος (h(x * ) - f(x * ))/ f(x * ) = ( (-4.3))/(-4.3) = η προσέγγιση θεωρείται αρκετά ακριβής Αναζήτηση µε τη µέθοδο Newton Η θεωρητική βάση των µεθόδων Newton προκύπτει από την ανάπτυξη της συνάρτησης σε σειρά Taylor διατηρώντας τους όρους µέχρι δεύτερης τάξης: f(x k+1 ) = f(x k ) + d f x k (x k+1 - x k ) + ½ d f x k (x k+1 - x k ) + στην περιοχή του στάσιµου σηµείου (πιθανό ακρότατο) f(x k+1 ) f(x k ) d f x k (x k+1 - x k ) + ½ x k+1 = x k - d f x k / d f d f x k x k (x k+1 - x k ) = 0 x k+1 = x k - d f x k 1 d f x k + ½ d f x k d f x k (x k+1 - x k ) = 0 Είναι προφανές ότι για την εφαρµογή της µεθόδου αναζήτησης Newton απαιτούνται οι παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης της συνάρτησης, πράγµα που περιορίζει τη χρήση της όταν ο υπολογισµός των παραγώγων αυτών είναι δύσκολος. Ένα άλλο πρόβληµα είναι ότι µπορεί να παρατηρηθεί συνεχής εναλλαγή µεταξύ δύο τιµών µε αποτέλεσµα τη µη σύγκλιση ή την πολύ αργή σύγκλιση. Αυτό µπορεί να θεραπευτεί µε την εφαρµογή ενός συντελεστή βήµατος.

10 Παράδειγµα 5.5 Ζητείται να µεγιστοποιηθεί η συνάρτηση f(x) = x (1.5 x) χωρίς περιορισµούς στο διάστηµα [0, 1] µε τη µέθοδο αναζήτησης Newton. f'(x) = -x f''(x) = - Η µέθοδος Newton γράφεται x k+1 = x k - (- x k + 1.5)/(-) = x k - x k x k+1 = x k. Για x 0 = 0 x 1 = 1.5 x = 0 Η συνάρτηση παλινδροµεί για οποιαδήποτε αρχική τιµή x 0 = χ, µεταξύ των τιµών χ και χ. Αν χρησιµοποιηθεί βήµα α: x k+1 = x k α (- x k + 1.5)/(-) = x k α x k + 1.5α x k+1 = 1.5α + (1 - α) x k. Για x 0 = 0, α = 0.8 x 1 = 1. x = 0.48 x 3 = 0.91 x 4 = Η µέθοδος ταχύτατα εντοπίζει το σηµείο µεγίστου x = 0.75 µε την επιθυµητή ακρίβεια. Παράδειγµα 5.6 Ζητείται να προσδιοριστούν τα ακρότατα της συνάρτησης του Παραδείγµατος 5.4 f(x) = x 5 5 x 3 0x + 5 µε τη µέθοδο αναζήτησης Newton. f'(x) = 5x 4 15 x 0 έχει τις πραγµατικές λύσεις x = και x = - f''(x) = 0x 3 30 x για x = f''(x) > 0 τοπικό ελάχιστο f() = -43 για x = - f''(x) < 0 τοπικό µέγιστο f(-) = Σχήµα 5.3. Γράφηµα της συνάρτησης του Παραδείγµατος 5.6 Η µέθοδος Newton γράφεται x k+1 = x k (5x k 4 15 x k 0)/(0x k 3 30 x k ) k x k x k f(x k )

11 k x k x k f(x k ) Η επαναληπτική µέθοδος Newton που αναπτύχθηκε παραπάνω αποτελεί εφαρµογή σε προβλήµατα βελτιστοποίησης της µεθόδου Newton-Raphson για τον προσδιορισµό των λύσεων της εξίσωσης f(x) = 0. Πράγµατι, αυτό είναι απαραίτητο όταν εφαρµόζεται η αναγκαία συνθήκη για ακρότατο, δηλαδή η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης να µηδενίζεται. Ιδιαίτερα όταν η µορφή της πρώτης παραγώγου είναι περίπλοκη, η αναλυτική λύση της εξίσωσης f (x) = h(x) = 0 ενδέχεται να µην είναι εύκολη ή δυνατή. Εάν η τιµή x k+1 είναι λύση, τότε h(x k+1 ) = 0 οπότε, διατηρώντας µόνο τον πρώτο όρο στην ανάπτυξη κατά Taylor: 0 = h(x k ) + d h x k (x k+1 - x k ) x k+1 = x k - h(x k ) / d h x k x k+1 = x k - 1 h d x k 11 h(x k ) Ο τύπος αυτός είναι ίδιος µε τον τύπο για τη µέθοδο αναζήτησης Newton (µε µόνη διαφορά τον συντελεστή ). Μεγάλη σηµασία για την επιτυχία της επαναληπτικής µεθόδου Newton-Raphson έχει η εκτίµηση της αρχικής τιµής. Αν είναι εκτός µιας συγκεκριµένης περιοχής από τη λύση της εξίσωσης, η µέθοδος ενδεχοµένως να αποτύχει. Επίσης πολύ κοντά σε ένα στάσιµο σηµείο η πρώτη παράγωγος της h(x) είναι περίπου µηδέν και η επόµενη τιµή δοκιµής θα πλησιάζει το άπειρο. Τέλος µπορεί να παρατηρηθεί συνεχής εναλλαγή µεταξύ δύο τιµών µε αποτέλεσµα τη µη σύγκλιση ή την πολύ αργή σύγκλιση. Συνιστάται η γραφική απεικόνιση τόσο της f(x) όσο και της h(x) για την επιλογή του κατάλληλου αρχικού σηµείου. Παράδειγµα 5.7 (Ossenbruggen) - ικτύωµα ελάχιστου βάρους Θεωρείστε το δικτύωµα της Εικόνας. Προσδιορίστε τη γωνία α και τα εµβαδά των διατοµών των στοιχείων 1,, και 3 ώστε το δικτύωµα να έχει ελάχιστο βάρος. Υποθέστε ότι τα στοιχεία σε θλίψη (1 και ) έχουν ίδια διατοµή και µήκος. Η κρίσιµη επιτρεπόµενη θλιπτική ή εφελκυστική τάση για τα στοιχεία του δικτυώµατος είναι 0 ksi. (α) ιαµορφώστε το µαθηµατικό πρόβληµα. (β) Χρησιµοποιείστε γραφική µέθοδο για να βρείτε τη βέλτιστη λύση. (γ) Χρησιµοποιείστε την επαναληπτική µέθοδο Newton για να βρείτε τη βέλτιστη λύση.

12 P=10 kips C 1 A α 3 B 10 ft 10 ft Σχήµα 5.4. ικτύωµα του Παραδείγµατος 5.7 Επίλυση Ως µεταβλητές απόφασης ορίζονται οι ως A 1 = εµβαδόν διατοµής στοιχείων 1 και (in ) A 3 = εµβαδόν διατοµής στοιχείου 3 (in ) Αντιδράσεις. Οι αντιδράσεις στα σηµεία στήριξης Α και Β προσδιορίζονται µε την εξίσωση στατικής ισορροπίας για όλο το δικτύωµα. F = 0 Η Α = 0 x Fy = 0 - V Α + V Β 10 = 0 V A = 5 kips A M = 0 0 V Β = 0 V Β = 5 kips υνάµεις και τάσεις στοιχείων. Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των κόµβων υπολογίζουµε τις δυνάµεις σε κάθε στοιχείο. Για τον κόµβο C γράφουµε (προσοχή στα πρόσηµα): x F = 0 AC sin a + CB sin a 10 = 0 AC = 5/sin a (θλίψη) Fy = 0 AC cos a + CB cos a = 0 CB = AC = 5/sin a (θλίψη) Για τον κόµβο Β γράφουµε (προσοχή στα πρόσηµα): F = 0 ΑΒ - CB cos a = 0 AB = 5cos a /sin a (εφελκυσµός) x Περιορισµοί. Οι τάσεις των στοιχείων αυτών είναι: σ CB = σ ΑC = 5/ sin a A 1 0 ή A 1 1 /4sin a σ AB = 5cos a /sin a A 3 0 ή A 3 cos a /4sin a

13 Το βάρος κάθε στοιχείου είναι ίσο µε το ειδικό βάρος του χάλυβα επί τον όγκο του στοιχείου. Άρα ελάχιστο βάρος ισοδυναµεί µε ελάχιστο όγκο. Ο συνολικός όγκος του δικτυώµατος είναι το άθροισµα των όγκων των στοιχείων που το αποτελούν, δηλαδή z = (V ΑΒ + V ΑC + V ΒC ) όπου V = όγκος κάθε στοιχείου = µήκος του στοιχείου επί το εµβαδόν της διατοµής του. z = (0 Α / cos a Α 1 ) ή z = 0 ( Α 3 + Α 1 /cos a ) Μαθηµατικό υπόδειγµα. Η κατάστρωση του προβλήµατος έχει ολοκληρωθεί. Συνοψίζοντας έχουµε: min z = 0 ( Α 3 + Α 1 /cos a ) κάτω από τους περιορισµούς A 1 1 /4sin a A 3 cos a /4sin a A 1, A 3 0 (β) Για ελάχιστο βάρος και οι δύο περιορισµοί πρέπει να είναι ενεργοί. Αντικαθιστώντας στην αντικειµενική συνάρτηση έχουµε: min z = 0 cos a /4sin a + 0 /(4sin a cos a) = 5/sin a (cos a + 1/cos a) Εφαρµόζοντας την αναγκαία συνθήκη έχουµε: dz/dα = - 5cos a /sin a (cos a + 1/cos a) + 5/sin a (- sin a + sin a/cos a) = 0 dz/dα = - cos a (cos a + 1/cos a) + (-sin a + sin a /cos a) = 0 dz/dα = - cos a (-sin a + tan a) = 0 tan a - sin a = 1 + cos a Η γραφική επίλυση αυτής της εξίσωσης δίνει a 55, οπότε A 1 = A = 0.31 in, A 3 = 0.35 in tan α - sin α cos α Σχήµα 5.5. Γραφική επίλυση εξίσωσης του Παραδείγµατος 5.7

14 (γ) Για να εφαρµοστεί η επαναληπτική µέθοδος Newton γράφουµε: dz/dα = h(α) = - cos a (-sin a + tan a) = - cos a - sin a tan a = - + tan a h (α) = tana d(tana)/dα = tana (1/cos a) α k+1 = α k tan αk tan αk /cos αk k 0 1 α k (rad) α k h(α k ) E-08 Ο πίνακας δείχνει ότι πολύ γρήγορα η µέθοδος εντόπισε τη λύση σαν α = rad = Η αναλυτική λύση βρίσκεται εύκολα από την h(α) = 0 = - + tan a tan a = a = tan -1 () 1/ = Επειδή h (α) = tana /cos a > 0 για (0 α π/) το σηµείο αυτό είναι τοπικό ελάχιστο. Η επιλογή του αρχικού σηµείου είναι σηµαντική, όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγµα: k α k (rad) α k h(α k ) E E- 13 Η µέθοδος συγκλίνει γρήγορα στη λύση α = rad = η οποία όµως είναι εκτός του διαστήµατος [0, 90 ]. Το γράφηµα της συνάρτησης z(a) = 5/sin a (cos a + 1/cos a) δείχνει ότι έχει πολλά σηµεία τοπικού ακρότατου (για το γράφηµα η συνάρτηση δεν υπολογίζεται σε τιµές της α, όπου γίνεται άπειρη, π.χ. α = κ π/, κ = 0, 1,, ). Αν το αρχικό σηµείο επιλεγεί κοντά σε κάποιο από αυτά, τότε η µέθοδος θα συγκλίνει σε αυτό το ακρότατο Σχήµα 5.6. Γράφηµα της συνάρτησης του Παραδείγµατος 5.8

15 5..6 Αναζήτηση µε τη µέθοδο της τέµνουσας Η µέθοδος της τέµνουσας χρησιµοποιεί το πρόσηµο και το µέγεθος της παραγώγου της συνάρτησης για να µικραίνει το διάστηµα αναζήτησης σε κάθε επανάληψη. Έστω δύο σηµεία a και b για τα οποία ισχύει f (a).f (b) < 0, δηλαδή η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσηµο από το a στο b, άρα µηδενίζεται σε κάποιο σηµείο x * στο εσωτερικό του διαστήµατος (a, b) (Σχήµα 5.8). 15 Σχήµα 5.7. Η µέθοδος της τέµνουσας Προκειµένου να προσδιοριστεί το σηµείο x * η παράγωγος f (x) προσεγγίζεται µε την τέµνουσα ως ευθεία γραµµή f (x) = m x + p, όπου f (a) = m a + p και f (b) = m b + p. f' (a) - f'(b) Από τις συνθήκες αυτές προκύπτει m = και a - b (a) - f' (b) p = f (a) - f' a. a - b f' (a) (a - b) Το σηµείο όπου η f (x) µηδενίζεται είναι το x new = - p/m = a -. f'(a) - f'(b)

16 Στη συνέχεια ελέγχεται η τιµή της f (x new ) και η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα (a, x new ) ή στο διάστηµα (x new, b) εξασφαλίζοντας ότι η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσηµο από το δεξιό στο αριστερό άκρο του διαστήµατος. Παράδειγµα 5.8 Ζητείται να προσδιοριστούν τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 1/9 x 3 /3 x στο διάστηµα (1.5, 6) µε τη µέθοδο της τέµνουσας. Υπολογίζονται οι τιµές της παραγώγου f'(x) = 1/3 x 4/3 x στα άκρα του διαστήµατος: f (1.5) = -1.5 και f (6) = 4. Επειδή f (a).f (b) < 0 (η παράγωγος από αρνητική γίνεται θετική, άρα υπάρχει τοπικό ελάχιστο στο διάστηµα (1.5, 6)), υπολογίζεται το σηµείο f' (a) (a - b) x new = a - = (-1.5) (1.5-6)/(-1.5-4) =.5714 f'(a) - f'(b) µε f (x new ) = Συνεπώς η αναζήτηση συνεχίζεται στο διάστηµα (.5714, 6), όπως φαίνεται στον πίνακα, και εντοπίζεται το ελάχιστο στο σηµείο x = 4. k=1 k= k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9 a b f'(a) f'(b) x new f'(x new ) k=10 k=11 k=1 a b f'(a) E-05 f'(b) x new f'(x new )

17 5.3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Επαναληπτικές µέθοδοι καθόδου Η γενική ιδέα είναι το νέο σηµείο ελέγχου για ακρότατο να προκύπτει από την επαναληπτική σχέση x k+1 = x k + α k d k ώστε f(x k+1 ) < f(x k ) όπου α k είναι το βήµα και d k είναι η κατεύθυνση αναζήτησης που επιλέγεται µε έναν συνδυασµό των τιµών της συνάρτησης f(x k ) και των πρώτων και δεύτερων παραγώγων της f(x k ), f(x k ). Γράφοντας d k = - D k f(x k ), όπου D k είναι ένας θετικά ορισµένος πίνακας (n,n), διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: (α) D k = Ι nn d k = - f(x k ) µέθοδος επικλινέστερης καθόδου (µέθοδος κλίσης) Όπως αποδείχθηκε στο Κεφάλαιο, η κατεύθυνση στην οποία µια συνάρτηση έχει τη µεγαλύτερη µεταβολή της είναι η κατεύθυνση του διανύσµατος κλίσης. Η µέθοδος είναι απλή στην εφαρµογή της, επειδή απαιτεί τον υπολογισµό µόνο των πρώτων παραγώγων. Όµως, έχει προβλήµατα σε στενές κοιλάδες της συνάρτησης, αν υπερεκτιµηθεί το βήµα µπορεί να πηγαίνει µπρος-πίσω συνεχώς και να συγκλίνει πολύ αργά. (β) D k = f(x k ) -1 d k = - f(x k ) -1 f(x k ) µέθοδος Newton Είναι η γενίκευση της µεθόδου µιας µεταβλητής 3..5 για την περίπτωση πολλών µεταβλητών. Για ελαχιστοποίηση κυρτής συνάρτησης ( f(x k ) > 0), όταν βρεθεί κοντά στο ακρότατο εστιάζει ταχύτατα. Πράγµατι από την ανάπτυξη σε σειρά Taylor f(x k+1 ) = f(x k ) + f(x k ) T (x k+1 - x k ) + ½ (x k+1 - x k ) T f(x k ) (x k+1 - x k ) + όταν f(x k+1 ) f(x k ) f(x k ) T + ½ (x k+1 - x k ) T f(x k ) = 0 x k+1 = x k - [ f(x k )] -1 f(x k ) (γ) D k = D 0 = f(x 0 ) -1 d k = - f(x 0 ) -1 f(x k ) τροποποιηµένη µέθοδος Newton Είναι υπολογιστικά απλούστερη από την (β) γιατί ο πίνακας Hess υπολογίζεται µόνο µια φορά στο αρχικό σηµείο (ή κάποιο άλλο σηµείο). 17 (δ) οτιδήποτε συνδυασµός των (α) και (β) υβριδικές µέθοδοι Κανόνες επιλογής βήµατος (α) α k = α > 0 k σταθερό βήµα Μπορεί να είναι µεγάλο ή µικρό χωρίς να µπορεί να γίνει διόρθωση

18 m k (β) α k = s β β [0, 1] κανόνας διχοτόµησης Το βήµα s µειώνεται σε κάθε επανάληψη κατά τον παράγοντα µείωσης β. Ο εκθέτης m k µπορεί να καθορίζεται κάθε φορά σαν ο µικρότερος ακέραιος ώστε m 0: f(x k ) - f(x k + s β m d k ) > 0. (γ) α k = arg { min f(x k + α d k ) } κανόνας ελαχιστοποίησης α > 0 Ίσως είναι δυνατό να επιλυθεί αυτό το νέο πρόβληµα ελαχιστοποίησης µιας µεταβλητής, οπότε η επιλογή του βήµατος είναι βέλτιστη. Ο αλγόριθµος για τη µέθοδο κλίσης συνοψίζεται ως εξής: 1) εκκίνηση στο σηµείο x 0 k = 0 ) εύρεση της κατεύθυνσης αναζήτησης d k 3) εύρεση του βήµατος ώστε η τιµή f(x k + α k d k ) να είναι ελάχιστο ή απλά να βελτιώνει την αντικειµενική συνάρτηση α k * 4) εύρεση του x k+1 = x k + α k * d k 5) έλεγχος αν x k+1 - x k < ε, όπου ε είναι το επιθυµητό όριο ακρίβειας 6) επιστροφή στο Βήµα αν παραβιάζεται το επιθυµητό όριο ακρίβειας. Παράδειγµα 5.9 min f (x 1, x ) = x 1 - x + x 1 + x 1 x + x χωρίς περιορισµούς αρχίζοντας από το σηµείο x 1 = x = 0 Χρησιµοποιείται η µέθοδος επικλινέστερης καθόδου και ο κανόνας ελαχιστοποίησης για την επιλογή βήµατος x k+1 = x k +α k d k = x k - α k f(x k ) f = [1 + 4 x 1 + x -1 + x 1 + x ] T Επανάληψη 1 d 1 = - f(x 1 ) = [-1 1] T x = x 1 + α 1 d 1 = [ α 1 α 1 ] T f(x ) = f(x 1 + α 1 d 1 ) = α 1 - α 1 + α 1 - α 1 α 1 + α 1 = - α 1 + α 1 f = - + α 1 = 0 α 1 = 1 x = [0 + 1 (-1) ] T = [-1 1] T x 1 α 1 Επανάληψη d = - f(x ) = - [1 + 4 (-1) (-1) +. 1] T = [1 1] T x 3 = x + α d = [-1 + α α 1 ] T = [-1 + α 1 + α ] T f(x 3 ) = f(x + α d ) = (-1 + α ) (1 + α ) + (-1 + α ) + (-1 + α ) (1 + α ) + (1 + α ) = 5 α - α - 1

19 f = 10 α - = 0 α = 0. x 3 = [ (1) ] T = [ ] T x α Επανάληψη 3 d 3 = - f(x 3 ) = - [1 + 4 (-0.8) (-0.8) + 1.] = [-0. 0.] T x 4 = x 3 + α 3 d 3 = [ α 3 (-0.) 1. + α 3 0.] T = [ α α 3 ] T f(x 4 ) = f(x 3 + α 3 d 3 ) = ( α 3 ) ( α 3 ) + ( α 3 ) + ( α 3 ) ( α 3 ) + ( α 3 ) = 0.04 α α f = 0.08 α = 0 α 3 = 1 x 4 = [ (-0.) ] T = [-1 1.4] T α 3 Συνεχίζοντας τις επαναλήψεις µέχρι x k+1 x k και f(x k ) 0 (Σχήµα προκύπτει x * = [-1 1.5] T Σχήµα 5.8. Απεικόνιση των επαναλήψεων του Παραδείγµατος 5.9 Παράδειγµα 5.10 (Bertsekas) Μεγιστοποίηση των εσόδων µιας επιχείρησης Θεωρούµε το πρόβληµα εύρεσης της βέλτιστης τιµής πώλησης µιας µονάδας y και του δαπάνης για διαφήµιση z µιας επιχείρησης που επιθυµεί να µεγιστοποιήσει τα έσοδά της Ε. ίδονται οι εξής σχέσεις: Ε = yx [z +g (x)] x = g 1 (y,z) = a 1 + a y +a 3 z +a 4 yz + a 5 z g (x) = e 1 + e x όπου Ε έσοδα x αριθµός των µονάδων που θα πωληθούν

20 y τιµή πώλησης µονάδας z δαπάνη διαφήµισης g 1 (y,z) προβλεπόµενος αριθµός των µονάδων που θα πωληθούν όταν η τιµή πώλησης µονάδας είναι y και η δαπάνη διαφήµισης είναι z g (x) κόστος παραγωγής x µονάδων Άρα τα έσοδα µπορεί να εκφραστούν σαν ένα πολυώνυµο τρίτου βαθµού δύο µεταβλητών y και z. Υποθέτουµε ότι οι παράµετροι έχουν τις ακόλουθες τιµές: a 1 = 50,000 a = -5,000 a 3 = 40 a 4 = -1 a 5 = e 1 = 100,000 e = Να βρεθούν οι τιµές των y και z που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση Ε (ή ισοδύναµα να µεγιστοποιήσουν τα έσοδα Ε της επιχείρησης) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της επικλινέστερης καθόδου και τη µέθοδο Newton χωρίς περιορισµούς. Να δοκιµαστούν τουλάχιστον δύο σηµεία εκκίνησης και διάφορες τεχνικές επιλογής του βήµατος. Αντικαθιστώντας τις τιµές των παραµέτρων προκύπτει η συνάρτηση των εσόδων Ε(y, z) = -81 z + 60,000 y 5,000 y +4 yz z y z 0.00 y z 00,000 Το γράφηµα της συνάρτησης δίδεται µε διαφορετικές κλίµακες στους άξονες y, z. Πρόκειται για πολύ δύσκολη περίπτωση, διότι η συνάρτηση µοιάζει µε µια πολύ στενή λωρίδα κατά µήκος του άξονα z. Η µέγιστη τιµή είναι f * = 796,000 στο σηµείο y * = και z * = 7, Ο πίνακας Hessian στο ακρότατο σηµείο είναι f(x * ) = x k+1 = x k - α k D k f(x k ) Μέθοδος επικλινέστερης Μέθοδος επικλινέστερης Mέθοδος Newton Τροποποιηµένη µέθοδος Newton καθόδου µε σταθερά καθόδου µε κλίµακα κλίµακα δευτέρας παραγώγου 4 4, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,33

21 Στην εφαρµογή της µεθόδου επικλινέστερης καθόδου προσαρµόζεται το διάνυσµα κλίσης µε διαφορετικές κλίµακες στους άξονες y, z. Χρησιµοποιούνται δύο πίνακες προσαρµογής που επιχειρούν να προσεγγίσουν τον πίνακα Hess µε έναν διαγώνιο πίνακα (1) Σταθεροί παράγοντες κλίµακας D k =. () Χρήση δεύτερων παραγώγων D k = f 1 ( ) y f 1 ( ) z Η προσαρµογή της κλίµακας των αξόνων είναι αποτελεσµατική όταν τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Hess είναι σχεδόν παράλληλα µε τους άξονες (ο πίνακας είναι σχεδόν διαγώνιος). Παρατηρούµε ότι µερικές από τις µεθόδους αποκλίνουν και δεν είναι δυνατόν να εντοπίσουν το ακρότατο σηµείο Επαναληπτική µέθοδος στην κατεύθυνση των αξόνων Στη µέθοδο αυτή αναζήτηση γίνεται εναλλάξ στην κατεύθυνση των αξόνων, δηλαδή χρησιµοποιείται η επαναληπτική σχέση x k+1 = x k +α k d k ώστε f(x k+1 ) < f(x k ) όπου α k είναι το βήµα και d k είναι η κατεύθυνση αναζήτησης που επιλέγεται να είναι το µοναδιαίο διάνυσµα κατά µήκος του k-στου άξονα, ή d k = [ ] Τ. Το βήµα προσδιορίζεται µε τον κανόνα της ελαχιστοποίησης. Παράδειγµα 5.11 Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση του Παραδείγµατος 5.9 min f (x 1, x ) = x 1 - x + x 1 + x 1 x + x χωρίς περιορισµούς αρχίζοντας από το σηµείο x 1 = x = 0 Χρησιµοποιείται η µέθοδος της αναζήτησης στην κατεύθυνση των αξόνων και ο κανόνας ελαχιστοποίησης για την επιλογή βήµατος. Επανάληψη 1 d 1 = [1 0] T x = x 1 + α 1 d 1 = [α 1 0] T f(x ) = f(x 1 + α 1 d 1 ) = α α 1 + α = α 1 + α 1 = α 1 + α 1 f = α 1 = 0 α 1 = -0.5 x = [-0.5 0] T x 1 α 1 Επανάληψη d = [0 1] T x 3 = x + α d = [ α ] T = [-0.5 α ] T f(x 3 )= f(x + α d ) = α + (-0.5) + (-0.5) α + α = -1.5 α +α + c f α = α = 0 α = 0.75 x 3 = [ ] T x. 1

22 Επανάληψη 3 d 3 = [1 0] T x 4 = x 3 + α 3 d 3 = [ -0.5+α ] T f(x 4 )=f(x 3 + α 3 d 3 )= (-0.5+α 3 ) (-0.5+α 3 ) + (-0.5+α 3 ) = α (0.5 +α α 3 ) α = α α 3 + c f α 3 = α 3 = 0 α 3 = x 4 = [ ] T x 3 Επανάληψη 4 d 4 = [0 1] T x 5 = x 4 + α 4 d 4 = [ α 4 ] T f(x 5 ) = f(x 4 + α 4 d 4 ) = (-0.65) α 4 + (-0.65) + (-0.65) ( α 4 ) + ( α 4 ) = α 4 +α 4 + c f α 4 = α 4 = 0 α 4 = x 5 = [ ] T x 4 Επανάληψη 5 d 5 = [1 0] T x 6 = x 5 + α 5 d 5 = [ α ] T f(x 6 ) = f(x 5 + α 5 d 5 ) = (-0.65+α 5 ) (-0.65+α 5 ) + (-0.65+α 5 ) = α (0.65 +α α 5 ) α = α α 5 + c f α 5 = α 5 = 0 α 5 = x 6 = [ ] T x 5 Επανάληψη 6 d 6 = [0 1] T x 7 = x 6 + α 6 d 6 = [ α 6 ] T f(x 7 ) = f(x 6 + α 6 d 6 ) = (-0.815) α 6 + (-0.815) + (-0.815) (1.15+α 6 ) + (1.15+α 6 ) = α 6 +α 6 + c f α 6 = α 6 = 0 α 6 = x 7 = [ ] T x 6 Επανάληψη 7 d 7 = [1 0] T x 8 = x 7 + α 7 d 7 = [ α ] T f(x 8 ) = f(x 7 + α 7 d 7 ) = ( α 7 ) ( α 7 ) + ( α 7 ) = α ( α α 7 ) α = α α 7 + c f α 7 = α 7 = 0 α 7 = x 8 = [ ] T x 6 Επανάληψη 8 d 8 = [0 1] T x 9 = x 8 + α 8 d 8 = [ α 8 ] T f(x 9 ) = f(x 8 + α 8 d 8 ) = ( ) α 8 + ( ) + ( ) ( α 8 ) + ( α 8 ) = α 8 +α 8 + c f α 8 = α 8 = 0 α 8 = x 9 = [ ] T x 8

23 Επανάληψη 9 d 9 = [1 0] T x 10 = x 9 + α 9 d 9 = [ α ] T f(x 10 ) = f(x 9 + α 9 d 9 ) = ( α 9 ) ( α 9 ) + ( α 9 ) = α ( α α 9 ) α = α α 9 + c f α 9 = α 9 = 0 α 7 = x 8 = [ ] T x 6 Επανάληψη 10 d 10 = [0 1] T x 11 = x 10 + α 10 d 10 = [ α 10 ] T f(x 11 ) = f(x 10 + α 10 d 10 ) = ( ) α 10 + ( ) + ( ) ( α 10 ) + ( α 10 ) = α 10 +α 10 + c f α 10 = α 10 = 0 α 10 = x 11 = [ ] T x 10 Η διαδικασία συγκλίνει στη βέλτιστη λύση x * = [-1 1.5] T, όπου η τιµή της συνάρτησης είναι f(x * ) = ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ 5.1 Ζητείται να µεγιστοποιηθεί η συνάρτηση f(x) = x (1.5 x) χωρίς περιορισµούς αρχίζοντας τις επαναλήψεις µε επιταχυνόµενο βήµα από το σηµείο x 0 = 0, s 0 = 0.05 µε s k+1 = s k και x k+1 = x 0 + s k k s k x k f(x k ) Η κατεύθυνση αναζήτησης προσδιορίζεται για k = 1 προς µεγαλύτερες τιµές του x. H συνάρτηση διαρκώς βελτιώνεται (αυξάνει) µέχρι το k = 6. Εντοπίζεται η θέση του µεγίστου στο διάστηµα (0.8, 1.6) όπου απαιτείται λεπτοµερέστερη έρευνα. 5. (Ossenbruggen) Μέγιστη παροχή σε αγωγό κυκλικής διατοµής Η παροχή της ροής µε ελεύθερη επιφάνεια σε αγωγό υπολογίζεται µε τον τύπο του Manning Q = (1.49/n) A R /3 S 0 1/ όπου Q είναι η παροχή σε ft 3 /sec, n είναι ο συντελεστής τραχύτητας, A είναι το εµβαδόν της βρεχόµενης διατοµής σε ft, R είναι η υδραυλική ακτίνα ίση µε A/P σε ft, P είναι η βρεχόµενη περίµετρος σε ft, και S 0 είναι η κλίση του αγωγού.

24 Θεωρείστε έναν αγωγό κυκλικής διατοµής από σκυρόδεµα (n = 0.013) µε κλίση (α) ιαµορφώστε το µαθηµατικό πρόβληµα. (β) Χρησιµοποιείστε την επαναληπτική µέθοδο Newton για να βρείτε τη βέλτιστη λύση. α r Επίλυση P = π r + α r A = ½ π r + π r α/π + ½ r cos α r sin α = ½ π r + r α + ½ r sin α max Q = (1.49/n) A 5/3 P -/3 S 0 1/ max Q = (1.49/n) S 0 1/ (½ π r + r α + ½ r sin α) 5/3 (π r + α r) -/3 κάτω από 0 α π/ (β) Αναγκαία συνθήκη ακροτάτου dq/dα = (1.49/n) S 0 1/ 5/3 (½ π r + r α + ½ r sin α) /3 (r + r cos α) (π r + α r) -/3 + (1.49/n) S 0 1/ (½ π r + r α + ½ r sin α) 5/3 (-/3) (π r + α r) -5/3 ( r) Με απλοποίηση η παράγωγος γράφεται (σηµειώστε ότι οι τιµές των n, S 0, και r δεν επηρεάζουν): dq/dα = 0 (1.49/n) S 0 1/ r 5/3 (½ π r + r α + ½ r sin α) /3 (1+ cos α) (π r + α r) -/3 + (1.49/n) S 0 1/ (½ π r + r α + ½ r sin α) 5/3 (-/3) (π r + α r) -5/3 ( r) = r 5/3 (1+ cos α) + (½ π r + r α + ½ r sin α) (-/3) (π r + α r) -1 ( r) = 5 (1+ cos α) + (½ π + α + ½ sin α) (-4) (π + α) -1 = 5 (π + α) (1+ cos α) + (π + α + sin α) (-) = 5 (π + α) +5 (π + α) cos α (π + α) - sin α = 3 (π + α) +5 (π + α) cos α - sin α

25 5 dq/dα = h(α) = (π + α) (3+ 5 cos α) - sin α = 0 h (α) = (3+ 5 cos α) +(π + α) (-10 sin α) - 4 cos α = 6+ 6 cos α +(π + α) (-10 sin α) α k+1 = α k - (π + αk ) (3 + 4 cos αk ) - sin α 6 + cosα + (π + α )(-10sinα ) k k k 0 1 α k (rad) α k h(α k ) Ο πίνακας δείχνει ότι πολύ γρήγορα η µέθοδος εντόπισε τη λύση σαν α = rad = 61.1 για την οποία αντιστοιχεί παροχή Q = 7.19 ft 3 /sec. Η δεύτερη παράγωγος h (α) = < 0, άρα το σηµείο είναι τοπικό µέγιστο. Η επιλογή του αρχικού σηµείου είναι σηµαντική, όπως φαίνεται στα παρακάτω παραδείγµατα: k α k (rad) α k h(α k ) k α k (rad) α k h(α k ) Με αλλαγή του αρχικού σηµείου από 0.5 σε 0.4 η µέθοδος συγκλίνει στη λύση α =.0071 rad = που δεν είναι αποδεκτή γιατί είναι εκτός του διαστήµατος [0, 90 ]. Η γραφική απεικόνιση της συνάρτησης είναι µια καλή πρακτική για την επιλογή του αρχικού σηµείου. k k.5 Q/(1.49/n)So 1/ r 8/ α

26 5.3 Να µεγιστοποιηθεί η f (x 1, x ) = 4 x x - x 1 - x 1 x x χωρίς περιορισµούς αρχίζοντας από το σηµείο x 1 = x = 1. Χρησιµοποιείστε τη µέθοδο της επικλινέστερης καθόδου και το κανόνα ελαχιστοποίησης για την επιλογή βήµατος Επίλυση Η διαδικασία δίνει διαδοχικά k f(x k ) (-, 0) (0, 1) (-0.5,0) (0, 0.5) (-0.15, 0) (0, 0.065) α k x 1k x k Το ακριβές µέγιστο είναι x * = (0.3333, ). 5.4 Επιλύστε τα παρακάτω δύο προβλήµατα µε την υπολογιστική µέθοδο Newton. Χρησιµοποιείστε τον κανόνα ελαχιστοποίησης για την επιλογή βήµατος. (α) min f(x 1, x, x 3 ) = x 1 + x + x 3 + x 1 - x - x 3 χωρίς περιορισµούς αρχίζοντας από το σηµείο x 1 = x = x 3 = 0 (β) min f(x 1, x, x 3 ) = f(x 1,x,x 3 ) = x 1 + x 6 x 1 - e x 3 + x 3 χωρίς περιορισµούς, αρχίζοντας από το σηµείο x 1 = x =, x 3 = 0.

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 6 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n (1) x g (2)

min f(x) x R n (1) x g (2) KΕΦΑΛΑΙΟ Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ισότητες. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Επίλυση ασκήσεων - Αλγόριθμοι αναζήτησης - Επαναληπτική κάθοδος ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΑΞΗΣ Θα επιλυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ή J (u * ) = 0 (2) J(u) = u 3 στο σηµείο u * = 0 J (1) = 3 u 2 = 0 J (2) = 6 u = 0 J (3) = 6 > 0

ή J (u * ) = 0 (2) J(u) = u 3 στο σηµείο u * = 0 J (1) = 3 u 2 = 0 J (2) = 6 u = 0 J (3) = 6 > 0 KΕΦΑΛΑΙΟ Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Χωρίς Περιορισµούς. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το γενικό πρόβληµα βελτιστοποίησης διατυπώνεται ως εξής: Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης u που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

(S k R n ) (C k R m )

(S k R n ) (C k R m ) KΕΦΑΛΑΙΟ 7 υναµικός Προγραµµατισµός 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η θεωρία αποφάσεων διακρίνεται σε δύο µεγάλες κατηγορίες, µε βάση το αν ο υπεύθυνος απόφασης είναι µοναδικός φορέας ή πολλοί φορείς. Μέχρι τώρα αναπτύχθηκαν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 7-8 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. Αριθμητικές μέθοδοι ελαχιστοποίησης ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ

ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. Αριθμητικές μέθοδοι ελαχιστοποίησης ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Πρόβλημα Βελτιστοποίησης: Μεγιστοποίηση ή Ελαχιστοποίηση συνάρτησης στόχου: f(,..., N ) Καθορισμός του διανύσματος = [,..., N ], που καταλήγει σε μέγιστη ή ελάχιστη τιμή της

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι

Επαναληπτικές μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Ιανουάριος-Φεβρουάριος 7 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον.

Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον. Μέθοδοι που απαιτούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 2: Γραφική επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο Μάθημα 2 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη γραμμικές) Μέθοδοι με διαδοχικές δοκιμές σε διάστημα (Διχοτόμησης, Regula-Falsi) Μέθοδοι με επαναληπτικούς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 9 Νοεµβρίου 6. α. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = i + j k και b = 6 i j + k. β. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα a, b, c είναι ορθογώνια και µοναδιαία. a = ( i

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων

Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1 Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 47 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2ο. Άσκηση εφαρµογής της µεθόδου Newton Raphson

ΘΕΜΑ 2ο. Άσκηση εφαρµογής της µεθόδου Newton Raphson ΘΕΜΑ 2ο Άσκηση εφαρµογής της µεθόδου Newton Raphson Θέµα 2: Η ακόλουθη αντίδραση πραγµατοποιείται σε έναν αντιδραστήρα αέριας φάσης: H 2 S+O 2 H 2 +SO 2 Όταν το σύστηµα φτάσει σε ισορροπία στους 600Κ και

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 02, 09 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Μη γραμμικές εξισώσεις 2. Η μέθοδος της διχοτόμησης 1 Μη γραμμικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ, --6 Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος Άσκηση [] Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 18 Φεβρουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

β) Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος. x x = x

β) Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος. x x = x ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Φεβρουάριος 5 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε τη µέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,

Διαβάστε περισσότερα

2 3 4 v. Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση :

2 3 4 v. Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση : ίνεται η εξίσωση : ν v 1... = 0, v Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση : Με την βοήθεια του λογισµικού mathcad, κατασκευάζω τις συναρτήσεις f ν ()=

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 4 Νοεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) 4

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα Υπολογιστικές μέθοδοι πολύπλοκων συστημάτων

Σημειώσεις για το μάθημα Υπολογιστικές μέθοδοι πολύπλοκων συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα Υπολογιστικές μέθοδοι πολύπλοκων συστημάτων Δ. Γ. Παπαγεωργίου ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2016 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 1.1 Ιστορική αναδρομή.....................................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΛΥΣΕΩΝ

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΛΥΣΕΩΝ 6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΛΥΣΕΩΝ 0 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ: εισαγωγικά θέματα και παραδείγματα 6. Εισαγωγή Μια επαναληπτική μέθοδος παράγει μια ακολουθία στοιχείων με επανάληψη μιας της ίδιας κατά

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

α β. M x f x. f x x x = = =.

α β. M x f x. f x x x = = =. Κυρτές συναρτήσεις σηµεία καµπής, Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ α β ] και παραγωγίσιµη στο ( α, β ) (α) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β ), τότε η fείναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα πάνω στο [ α,

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα