Platonova tela. Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku. Master rad. Mentor: Prof. Dr.

Transcript

1 Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Platonova tela Master rad Mentor: Prof. Dr. Mi a Stankovi Student: Tamara Miloxevi

2

3 SADRЖAJ 1 Uvod 5 2 Istorijat Platonovih tela Platon Nastanak tetraedra - prvog prostornog oblika Nastanak drugog prostornog oblika - oktaedra Nastanak tre eg prostornog oblika - ikosaedara Nastanak qetvrtog oblika - heksaedra (kocke) Euklid Elementi XIII kǌiga Euklidovi Elementi XIV i XV kǌiga on Kepler Leonard Ojler Pravilni poliedri Poliedri Topoloxki pravilni poliedri Simetrije pravilnih poliedara Stelacije pravilnih poliedara Tetraedar Konstrukcija pravilnog tetraedra Formule pravilnog tetraedra Simetrije pravilnog tetraedra Pravilni heksaedar - Kocka Konstrukcija kocke Formule kocke Simetrije kocke Pravilni oktaedar Konstrukcija pravilnog oktaedra Formule pravilnog oktaedra Simetrije pravilnog oktaedra Pravilni dodekaedar

4 4 SADRЖAJ Konstrukcija pravilnog dodekaedra Formule pravilnog dodekaedra Simetrije pravilnog dodekaedra Pravilni ikosaedar Konstrukcija pravilnog ikosaedra Formule pravilnog ikosaedra Simetrije pravilnog ikosaedra Platonova tela oko nas Platonova tela u жivim organizmima Platonova tela u hemiji Platonova tela u umetnosti i arhitekturi Zakǉuqak 61

5 Deo 1 Uvod Platonova tela oduvek su fascinirala ǉude razliqitih profesija, ali pre svega matematiqare i filozofe. U ovom radu prikaza emo ukratko neke od pojedinosti o Platonovim telima. Prvo poglavǉe predstavǉa sam uvod u ovaj rad. Drugo poglavǉe bavi se Platonovim telima kroz istoriju, sve od Platona, preko Euklida, Keplera i na kraju Ojlera. U ovom odeǉku prikazani su odlomci iz razliqitih istorijskih spisa i razmatraǌa ovih poznatih matematiqara i filozofa o pravilnim poliedrima. Tre e poglavǉe bavi se opxtim osobinama pre svega pravilnih poliedara. Definisani su poliedri, a kroz teoreme i dokaze prikazane su osobine pravilnih poliedara. Drugi deo tre eg poglavǉa prikazuje svaki od pravilnih poliedara ponaosob i bavi se ǌihovim specifiqnostima kao i prikazom ǌihovih karakteristiqnih formula. Qetvrto poglavǉe prikazuje Platonova tela u prirodi, umetnosti, arhitekturi. Ciǉ ovog rada jeste da se napravi kratak osvrt na osobine Platonovih tela i da se ukaжe na ǌihovu sveprisutnost kako u matematici tako i u svetu oko nas. 5

6 6 1. Uvod

7 Deo 2 Istorijat Platonovih tela Pravilni poliedri su poznati od davnina. Ukrasni modeli koji se mogu na i među isklesanim kamenim loptama datiraju od doba kasnog neolita Xkotske. Treba uzeti u obzir da se ǌima nije pridavala ve a paжǌa nego maǌe simetriqnim objektima, kao i da nekih pravilnih poliedara uopxte nije bilo u to vreme. Kockice za igru su stare koliko i sama civilizacija i u oblicima su bax tih pravilnih poliedara. Slika 2.1. Stari Grci su se dosta posvetili prouqavaǌu pravilnih poliedara. Neki izvori govore da ih je otkrio Pitagora, dok drugi, ipak, ukazuju da je on znao samo za tetraedar, kocku i dodekaedar, a da se otkri e oktaedra i ikosaedra vezuje za Teeteta Platonovog savremenika. U svakom sluqaju, Teetet je matematiqki opisao svih pet oblika i veruje se da je zasluжan za postavǉaǌe prvog dokaza da ne postoje drugi pravilni poliedri osim ovih pet. Takođe su pronađeni po Evropi, mali, xupǉi, bronzani dodekaedri iz vremena Rima, međutim ǌihova namena ni dan danas nije otkrivena. 7

8 8 2. Istorijat Platonovih tela Platonova tela opisana su u Platonovom Timaju u kom je povezao svaki od qetiri elementa: vatru, vodu, zemǉu i vazduh sa po jednim pravilnim poliedrom. I to redom vatru sa tetraedrom, vodu sa ikosaedrom, zemǉu sa kockom i vazduh oktaedrom, dok je smatrao da je dodekaedar Bog iskoristio za raspore ivaǌe sazve a po nebu. Euklid je postavio matematiqki opis svakog poliedra u XIII kǌizi Elemenata. Tvr eǌa od 13. do 18. stava ove kǌige opisuju konstrukciju svih Platonovih tela i za svako od ǌih Euklid je naxao odnos preqnika opisane sfere i du ine ivice poliedra. U 18. tvr eǌu vodi se rasprava o postojaǌu jox nekog pravilnog poliedra. Za vreme renesanse umetnici su postali zainteresovani za perspektivu i poliedri su postali izazov i za umetnike i za crtaqe. Postoje neki lepi primerci intarzije1 iz ovog perioda koji ukǉuquju poliedre. Neke od najlepxih izradio je fra ovani de Verone. Prve kompletne ilustracije svih pet Platonovih tela dao je Leonardo da Vinqi2 koji je ilustrovao kǌigu Divina Proportione matematiqara fraǌevaqkog reda Luke Paqolija3. Slika 2.2. Da Vinqijevi crte i Platonovih tela Poliedrima se bavio i Kepler koji je Platonova tela iskoristio da poka e solarni sistem do tada poznatih planeta. Konaqnu potvrdu da postoji samo pet pravilnih poliedara dao je u XVII veku Ojler, postavǉaǌem teoreme i davaǌem dokaza za ǌu. 1 Mozaik napravǉen od parqi a drveta. To su ravne ploqe isprepletane tehnikom razliqitih boja, tonova i teksture tako da qine jednu celinu. 2 Leonardo di ser Piero da Vinci( ) jedan je od najve ih nauqnika i pronalazaqa ikada. Bio je svestrani filozof svog vremena, arhitekta, slikar, skulptor, anatomist i in iǌer. 3 Fra Luca Bartolomeo de Pacioli ( ).

9 2.1. Platon 9 U XX veku, hemiqar Robert Mun 4 produbǉuje vezu Platonovog tela i fiziqkog sveta formiraǌem modela ǉuske elektrona. 2.1 Platon Postoje razliqiti podaci o mestu i godini rođeǌa Platona, jednog od najve ih filozofa antiqke Grqke. Opxte je prihva eno da je rođen u Atini 428g. p.n.e. u plemi koj porodici, kojoj je po majci xest generacija unazad pripadao atinski zakonodavac, pesnik i jedan od sedmorice mudraca - Salon. Po oqevoj porodiqnoj liniji, govorilo se da je Platonov daleki predak bio legendarni atiqki kraǉ Kodrus. Poxto se dan Platonovog rođeǌa poklapao sa praznikom rođeǌa Apolona delfijskog, kasnije je stvoren mit da je Platon Apolonov sin. Imao je dug жivot, qak 81 godinu. Slika 2.3. Platon Platon je bio neposredni Sokratov uqenik, a nakon ǌegove smrti putovao je u Egipat i juжnu Italiju gde je prouqavao matematiqko znaǌe pitagorejaca, koje e kasnije imati dubok uticaj na ǌegovu teoriju ideja. 4 Robert James Moon Ameriqki fiziqar, hemiqar i inжiǌer. Zaqetnik je rada na fundamentalnoj strukturi atomskog jezgra, koja je bazirana na Platonovim telima.

10 10 2. Istorijat Platonovih tela Po povratku u Atinu, u jednom gaju, qije je ime bilo Akademija, osnovao je prvu, pravu filozofsku xkolu Stare Grke, Akademiju. Smatra se da je Akademija osnovana po uzoru na pitagorejsko bratstvo. Po predaǌu na ulazu u Akademiju pisalo je Neka ne ulazi ko ne zna geometriju. Ova legenda nastala je verovatno zbog izuzetnog znaqaja koji je, u Platonovo vreme, pridavan istraжivaǌima u geometriji i matematici uopxte. Akademija nije bila obiqan univerzitet. U ǌu su primani u poqetku samo muxkarci razliqite starosti, a kasnije i жene, a izvesno je da je prijem morao biti uslovǉen nekom vrstom testa koji bi proveravao obdarenost za uqeǌe i spremnost da se жivot posveti ǉubavi prema mudrosti, odnosno sklonosti za trajnim istraжivaǌem i sticaǌem znaǌa. Pouzdano se zna da je jedan od prvih, a svakako najpoznatiji, uqenik Akademije, bio Aristotel. Akademija je predstavǉala pravo sveuqilixte sa prostorijama za predavaǌa i razgovore, prostorijama za smextaj gostuju ih prijateǉa Akademije koji su dolazili iz drugih helenskih gradova i biblioteke. Postojaǌe biblioteke omogu ilo je da se u potpunosti saquvaju svi Platonovi zapisi. Bibliotekar aleksandrijske biblioteke Trasil sredio je Platonovu kǌiжevnu zaostavxtinu, podelivxi je na devet tetralogija, po ugledu na ranije (u Platonovo i Sokratovo vreme) uobiqajeno grupisaǌe dela tragiqkih pesnika. Na taj naqin, Trasilovo izdaǌe Platonovih sabranih dela obuhvatilo je ukupno 36 spisa: 35 dijaloga i 13 pisama uvrxtenih u jednu celinu. Kasnije se pokazalo da jedan od dijaloga - Epinomi (Dodatak Zakonima), nije napisao Platon, ve neko od ǌegovih sledbenika. Ostalo je dakle 34 dijaloga, od kojih verovatno jox neki nisu autentiqni. Neizvesno je da li naslovi tih dijaloga potiqu od samog Platona, ili od Trasila, koji je najverovatnije dodao i podnaslove, na primer: Drжava ili O praviqnosti, Fedon ili O duxi, Gozba ili O ǉubavi, i sl. Naslovi su davani preteжno prema imenima liqnosti koje sudeluju u dijalogu (Protagora, Gorgija, Fedon, Timaj, Fedar, i sl.), ali i prema predmetu (Apologija, Drжava, Zakoni), a vrlo retko prema nekom događaju, pa i tada se imao u vidu događaj koji se moжe neograniqeni broj puta ponavǉati (Simposion - Gozba). Diogen Laertije tvrdi da je Platon prvi poqeo da pixe dijaloge, mada su drugi stari pisci to poricali. U svakom sluqaju, Platon je bio i ostao nenadmaxan u toj vrsti filozofskog istraжivaǌa. ǋegovi raniji dijalozi imaju izraжeniju dramsku formu od starijih, a svi su uglavnom sredǌeg ili maǌeg obima, izuzev Drжave i Zakona koji su priliqno obimna dela. Svi su Platonovi dijalozi saquvani u celini, mada su izvorni rukopisi mestimiqno iskvareni ili nejasni. Sadaxǌa izdaǌa i prevodi Platonovih dela po pravilu sadrжe na marginama posebnu paginaciju, koja potiqe od izdaǌa celokupnih Platonovih dela na grqkom jeziku godine u Lionu. Ovo izdaǌe je s velikom akribijom priredio francuski helenista H. Stefanus (Anri Etjen). On je zapravo prvi podelio svaku stranicu na pet pribliжno jednakih odeǉaka, oznaqavaju i svaki ode-

11 2.1. Platon 11 ǉak redom prvim slovima abecede: a, b, c, d, e. Ovo je znatno olakxalo citiraǌe Platonovih dela i pronalaжeǌe citiranih mesta: dovoǉno je staviti naslov dijaloga i stranicu sa slovima koja bliжe pokazuje poqetak citiranog mesta, na primer, Drжava, 526c, ili Resp. 526c, xto je isto (jer Resp. je skra enica od Republika - Drжava). Prvi spisi o Platonovim telima potiqu od Teetet-a uqenika Platonove Akademije koji se bavio pravilnim poliderima ispituju i ǌihova zajedniqka svojstva. Smatra se da je bax on u geometriju uveo pojam pravilnog poliedra jer je on autor svih teorema datih u XIII kǌizi Elemenata koju je napisao Euklid. Slika 2.4. Timaj Platon opisuje pravilne poliedre oslaǌaju i se na Teetet-ova geometrijska istraжivaǌa i u svom delu Timaj pomiǌe pravilne poliedre.

12 12 2. Istorijat Platonovih tela Nastanak tetraedra - prvog prostornog oblika... Poqe emo od prvog oblika (tetraedar), qiji je sastav najjednostavniji i najmaǌi. ǋegov element je trougao qija je hipotenuza dvostruko duжa od kra e stranice (katete). Ako se dva takva trougla spoje svojim hipotenuzama (tako da one predstavǉaju dijagonalu dobijenog qetvorougla), i ako se sve to tri puta ponovi, tako da se i dijagonale i kra e stranice (prvobitnih trouglova) oslaǌaju na istu taqku, kao na centar, dobija se jedan jednakostraniqni trougao, koji postaje od ovih xest (maǌih trouglova). A takva qetiri jednakostraniqna trougla sastave se tako da po tri ǌihova povrxinska ugla qine jedan qvrsti ugao (rogaǉ), qija veliqina neposredno prevazilazi veliqinu najve eg tupog povrxinskog ugla (tj.180 ). Poxto su dovrxena qetiri takva rogǉa, sastavǉen je prvi prostorni oblik, koji moжe deliti na jednake i sliqne delove svaku sferu (u koju je upisan) Nastanak drugog prostornog oblika - oktaedra Drugi je oblik od istih trouglova: osam jednakostraniqnih trouglova je sastavǉeno tako da po qetiri povrxinska ugla obrazuju jedan prostorni. Kada nastane xest takvih uglova, dovrxeno je telo drugog oblika Nastanak tre eg prostornog oblika - ikosaedara Tre i oblik spojen je od stodvadeset osnovnih trouglova i dvanaest prostornih uglova, dok on ima dvadeset jednakostraniqnih uglova za osnove Nastanak qetvrtog oblika - heksaedra (kocke) I poxto su rođena ova tela, jedan od elemenata (osnovnih trouglova) je zavrxio svoje, dok je ravnokraki trougao rodio prirodu qetvrtog oblika. On je sastavǉen tako xto su po qetiri takva trougla, sa svojim pravim uglovima, spojena u centru obrazuju i tako jednakostraniqni qetvorougao (kvadrat). Xest kvadrata spojeno je tako da obrazuju osam prostornih uglova, svaki ograniqen sa po tri ravna ugla. Oblik tako sastavǉenog tela je kocka, koja ima xest qetvorouglih ravnostranih osnova. Konstrukcija za dodekaedar, koji ima dvanaest pǉosni (strana) koje su pravilni petouglovi i ne mogu se konstruisati ni od jednog od pomenuta dva trougla, ne nalazi se u Platonovom Timaju. Ali se dodekaedar ipak pomiǌe. Postoji jox jedan peti sastav: Bog ga je upotrebio za svemir, oslikavaju- i na ǌemu likove (Zodijaka). Dodekaedar je veruje se izabran za svemir, jer po svom obliku najvixe podse a na loptu.

13 Euklid 2.2 Euklid O ivotu Euklida zna se jako malo. Ono xto je poznato jeste da je ro en u Atini 330. godine p.n.e i da je poha ao Platonovu Akademiju gde je geometriju uqio od Eudoksa i Teetet-a. Imao je relativno kratak ivotni vek, iveo je 55 godina. Kraǉ Ptolomej I pozvao ga je u novoosnovanu biblioteku u Alesksandriji gde je Euklid osnovao matematiqku xkolu qiji je jedan od najpoznatijih uqenika Arhimed. Na Euklida i ǌegov rad najve i uticaj su imali Platon i Aristotel. Matematiku je prihvatao kao deo logike, qime se upotreba strogog dokazivaǌa sama nametala. Poznat je kao osnivaq geometrije i filozof, a osim osnovima geometrije bavio se i teorijom brojeva, perspektivom, presecima konusa i sfernom geometrijom. Slika 2.5. Euklid U odnosu na druge nauqne oblasti geometrija je dostigla zavidan nivo oko 300. godine p.n.e. pojavom dela Elementi koje predstavǉa brilijantan i veoma korix en rad na kome se vekovima zasnivala geometrija. Euklid je pokuxao da izlagaǌe bude strogo deduktivno i upravo zbog te doslednosti Elementi su stole ima smatrani najsavrxenijim matematiqkim delom. Mnoge generacije matematiqara i drugih nauqnika su uqili iz ove kǌige kako se logiqki zakǉuquje i novo povezuje s ranije utvr enim qiǌenicama. Kasnije su Elementi analizirani i dopuǌavani. Posebnu pa ǌu su privlaqili aksiomi i postulati. U ovoj kǌizi su sadr ana sva saznaǌa i otkri a do kojih su doxli Euklid, ǌegovi prethodnici i savremenici u geometriji, teoriji brojeva i algebri. Tako e, dokazane su i 464 teoreme na naqin koji je i danas besprekoran.

14 14 2. Istorijat Platonovih tela Elementi XIII kǌiga XIII Euklidova kǌiga Elemenata sadrжi 18 stavova, od kojih je prvih 12 o pravilnim poligonima: jednakostraniqnom trouglu, kvadratu i pravilnom petouglu, dok je posledǌih 6 o pravilnim poliedrima, pri qemu je prvih 12 neophodno za dokazivaǌe posleǌih 6. Sve konstrukcije date su tako da je svaki od poliedara zamixǉen u sferi xto podrazumeva konstruisaǌe opisane sfere i ukǉuquje određivaǌe odnosa između ivice poliedra i polupreqnika sfere. u sluqaju tetraedra, oktaedra i hedsaedra taj odnos je zaista određen, dok se u sluqaju ikosaedra moжe pokazati da da je ivica itacionalna tzv. maǌa, a u sluqaju dodekaedra apotema. Moramo naglasiti da je Euklid pravilni tetraedar nazivao piramidom, iako je u ǌegovim definicijama pojam piramide mnogo xiri. Ovakve nelogiqnosti u primeni terminologije nisu retkost u Euklidovom izlagaǌu. 13. stav - konstrukcija tetraedra Konstruisati piramidu, i obuhvatiti je datom sferom, i dokazati da je kvadrat na preqniku sfere jedan i po puta ve i od kavadrata na ivici piramide. 5 Odmerimo duж AB, jednaku preqniku date sfere, i presecimo je tako taqkom G da AG bude dva puta ve e od GB. Nacrtajmo na AB polukrug ADB, konstruiximo kroz taqku G duж GD upravnu na AB i spojimo A i D pravom AD. Slika Dat je opis konstrukcije bez daǉeg dokazivaǌa.

15 2.2. Euklid 15 Nacrtajmo krug EZH polupreqnika DG, upiximo u krug EZH jednakostrani trougao EZH, uzmimo za centar kruga taqku F i povucimo duжi EF, F Z, F H. Iz taqke F konstruixemo pravu F K normalnu na ravan kruga EZH. Odmerimo na F K duж F K jednaku AG. Povucimo KE, KZ, KH. Poxto je prava KF normalna na ravni kuga EZH, ona obrazuje prave uglove sa svim pravama koje je seku i nalaze se u ravni kruga EZH. No, seqe je svaka od pravih F E, F Z, F H, pa prema tome je F K upravna na svakoj od F E, F Z, F H. Poxto je AG jednako F K, a GD jednako F E i obrazuju prav ugao, bi e i osnovica DA jednaka osnovici KE. Iz tih razloga i svako od KZ i KH jednako je DA. Prema tome su tri duжi KE, KZ, KH jednake među sobom. Poxto je AG dva puta ve e od GB, bi e AB tri puta ve e od BG. No, kako emo to docnije dokazati, AB je prema BG kao kvadrat na AD prema kvadratu na DG. Prema tome je kvadrat na AD triput ve i od kvadrata na DG. I kvadrat na ZE triput ve i od kvadrata na EF, a DG je jednako EF. Dakle, i DA jednako je EZ. Ali, kako je dokazano, i svako od KE, KZ, KH jednako je DA, pa je znaqi, svako od EZ, ZH, HE jednako svakom od KE, KZ, KH. Prema tome su qetiri trougla EZH, KEZ, KZH, KEH jednakostrani. Na ovaj naqin je obrazovana piramida od qetiri jednakostrana trougla qija je osnova trougao EZH, a vrh taqka K stav - konstrukcija oktaedra Konstruisati oktaedar, obuhvatiti ga sferom, kao u predhodnom sluqaju i dokazati da je kvadrat na preqniku sfere dvaput ve i od kvadrata na ivici oktaedra. 6 Odmerimo preqnik date sfere AB, prepolovimo ga taqkom G i nacrtajmo na AB polukrug ADB. Zatim iz taqke G povucimo pravu normalnu na AB, povucimo DB. Uzmimo kvadrat EZHF qije su sve strane jednake DB. Daǉe, povucimo F Z, EH pa iz taqke K povucimo pod pravim uglom prema ravni kvadrata EZHF pravu KL, produжimo je sa druge strane ravni kao KM. Na svakoj od KL i KM odmerimo prave KL, KM jednake jednoj od EK, ZK, HK, F K i nacrtrajmo LE, LZ, LH, LF, ME, MZ, MH, MF. Poxto je KE jednako KF i ugao EKF prav, bi e kvadrat na F E dvaput ve i od kvadrata na EK. Zatim, poxto je LK jednako KE i ugao LKE prav, bi e kvadrat na EL dvaput ve i od kvadrata ne EK. Prema tome je kvadrat na LE jednak kvadratu na EF, dakle i LE jednako EF. Iz istih razloga je i LF jednako F E. Dakle, trougao LEF je jednakostran. Sliqno se dokazuje da je jednakostran i svaki od preostalih trouglova qije su osnovice strane kvadrata EZHF 6 Dat je opis konstrukcije bez daǉeg dokazivaǌa.

16 16 2. Istorijat Platonovih tela Slika 2.7. i vrhovi u taqkama L, M. Na ovaj naqin je konstruisan oktaedar omeđen sa osam jednakostranih trouglova stav - konstrukcija kocke Konstruisati kocku, obuhvatiti je sferom, kao i piramidu i dokazati da je kvadrat na preqniku sfere triput ve i od kvadrata na ivici kocke. 7 Slika Dat je opis konstrukcije bez daǉeg dokazivaǌa.

17 2.2. Euklid 17 Odmerimo AB kao preqnik date sfere podelimo ga taqkom G tako da AG bude dvaput ve e od GB. Daǉe, nacrtajmo na AB polukrug ADB, iz G podignimo normalu GD na AB, povucimo DB. Konstruiximo kvadrat EZHF kome je strana jednaka DB, pa kroz taqke E, Z, H, F u ravni kvadrata EZHF povucimo normale EK, ZL, HM, F N. Odmerimo na svakoj od EK, ZL, HM, F N duжi EK, ZL, HM, F N od kojih je svaka jednaka jednoj od duжi EZ, ZH, HF, F E. Spojimo K sa L, L sa M, M sa N i N sa K. Tako je naqiǌena kocka ZN obuhva ena sa xest jednakih kvadrata stav - konstrukcija ikosaedra Konstruisati ikosaedar, obuhvatiti ga sferom, kao i ranije navedena tela i dokazati da je ivica ikosaedra iracionalna i takozvana maǌa. 8 Odmerimo AB kao preqnik date sfere podelimo ga taqkom G tako da AG bude qetiri puta ve e od GB. Daǉe, nacrtajmo na DB polukrug ADB, iz G podignimo normalu GD na AB, povucimo DB. Slika 2.9. Konstruiximo krug EZHF K polupreqnika DB, pa upixemo u taj krug jedankostrani i jednakougli petougao EZHF K. Prepolovimo lukove EZ, ZH, HF, F K, KE taqkama L, M, N, J, O i nacrtajmo LM, MN, NJ, JO, OL, EO. Bi e tada LMNJO jednakostran i jednakougli petougao i EO strana desetougla. Kroz taqke E, Z, H, F, K u ravni kruga povucimo normale EQ, ZP, HS, F T, KU jednake polupreqniku kruga EZHF K i spojimo QP, P S, 8 Dat je opis konstrukcije bez daǉeg dokazivaǌa.

18 18 2. Istorijat Platonovih tela ST, T U,UQ, QL, LP, P M, MS, SN, NT, T J, JU, UO, OQ. Poxto je svaka od EQ i KU normalna na istoj ravni, bi e EQ paralelno sa KU a one su i jednake. Ali prave koje spajaju sa iste strane krajeve jednakih paralelnih duжi jednake su i paralelene. Prema tome su prave QU i EK jednake i paralelene. No, EK je strana jednakostranog petougla. Znaqi da je i QU strana jednakostranog petougla upisanog u krug EZHF K. Iz istih razloga i svaka od duжi QP, P S, ST, T U je strana jednakostranog petougla upisanog u krug EZHF K. Dakle, petougao QP ST U je jednakostran. Poxto je QE strana xestougla, a EO desetougla i ugao QEO je prav, bi e QO strana petougla, jer je kvadrat strane petougla jednak zbiru kvadrata strane xestougla i strane desetougla upisanih u isti krug. Iz istih razloga i OU je strana petougla. Takođe, i QU je strana petougla. Prema tome je trougao QOU jednakostrani. Iz istih razloga i svaki od trouglova QLP, P MS, SNT, T JU, je jednakostran. Poxto je dokazano da je svaka od duжi el i QO strana petougla, a takođe i LO strana petougla, bi e i trougao QLO jednakostran. Iz istih razloga i svaki od trouglova LP M, MSN, NT J, JUO je jednakostran. Uzmimo za centar kruga EZHF K taqku V. Iz taqke V spustimo normalu V Y na ravan kruga i produжimo kao V X na drugu stranu. Odmerimo stranu xestougla V W i svaku V X, W Y kao strane desetougla i spojimo QY, QW, UY, EV, LV, LX, XM. Poxto je svaka od V W i QE normalna na ravni kruga, onda su V W i QE paralelne a one su jednake. Znaqi, i EV i QW su jednake i paralelne. No, EV je strana xestougla te prema tome, i QV je strana xestougla. Poxto je QV strana xestougla W Y strana desetougla i ugao QW Y prav, bi e QY strana petougla. Iz istih razloga i UV je strana petougla, jer ako povuqemo V K i W U one su jednake i suprotnog poloжaja, a kako je V K, kao polupreqnik, strane xestougla, bi e i W U strana xestougla. No, W X je strana desetougla i ugao UW Y prav, znaqi i UV je strana petougla, a i QU je strana petougla. Prema tome je i trougao QU Y jednakostran. Iz istih razloga i svaki od preostalih trouglova sa osnovicama QP, P S, ST, T U i sa vrhom u taqki Y je jednakostran. Zatim, poxto je V L strana xestougla a V X desetougla, i ugao LV X prav, bi e LX strana petougla. Iz istih razloga, ako uzmemo duж MV, koja je strana xestougla, bi e i MX strana petougla. No, i LM je strana petougla. Prema tome je i trougao LM X jednakostran. Na sliqan naqin se dokazuje da je i svaki od preostalih trouglova sa osnovicama MN, NJ, JO, OL i vrhom u taqki X jednakostran. Na ovaj naqin je konstruisan ikosaedar obuhva en sa dvadeset jednakostranih trouglova...

19 2.2. Euklid stav - konstrukcija dodekaedra Konstruisati dodekaedar, obuhvatiti ga sferom, kao i ranije navedena tela i dokazati da je ivica dodekaedra iracionalna takozvana apotema. 9 Uzmimo dve, jedna na drugoj upravne, ravni ABCD i CBEF, ranije pomenute kocke. Svaku od ivica AB, BC, CD, DA, EF, EB, F C prepolovimo taqkama G, H, K, L, M, N, O spojimo GK, HL, MH, NO i podelimo svaku od NP, P O, HQ neprekidno taqkama R, S, T. I neka su RP, P S, T Q ve i delovi. Pa iz taqaka R, S, T podignemo normale na ravnima kocke sa spoǉaxǌe strane, odmerimo duжi RU, SV, T W jednake duжima RP, P S, P Q i spojimo UB, BW, W C, CV, V U. Tvrdim da je UBW CV jednakostran ravan petougao i da ima jednake uglove. Slika Zaista, uzmimo RB, SB i V B. Poxto je duж NP podeǉena taqkom RR neprekidno, i ve i deo je RP, bi e zbir kvadrata na P N i NR triput ve i od kvadrata RP. No, P N je jednako NB i RP jednako RU. Prema tome je zbir kvadrata na BN i na NR triput ve i od kvadrata na RU. No, zbir kavadrata na BN i na NR jednak je kvadratu BR. znaqi, kvadrat na BR je triput ve i od kvadrata na RU. Tako da je zbir kvadrata na BR i na RU qetiri puta ve i od kvadrata na RU. No, zbir kvadrata na BR i ran RU jednak je kvadratu na BU. Prema tome je kvadrat na BU qetiri puta ve i od kvadrata na UR, dakle, BU je dvaput ve i od RU. No, i V U je dvaput ve e od UR, poxto je SR dvaput ve e od RP tj. od RU. Na ovaj naqin BU je jednako U V. Sliqno se dokazuje da je i svako 9 Dat je opis konstrukcije bez daǉeg dokazivaǌa.

20 20 2. Istorijat Platonovih tela od BW, W C, CV jednako svakom od BU i UV. Dakle, petougao BUV CW je jednakostran. Tvrdim da je i ravan. Zaista, povucimo kroz taqku P sa spoǉaxǌe strane kocke pravu P X paralelnu svakoj od pravih RU i SV i povucimo XH i HW. Tvrdim da je XHW prava. Zaista, poxto je duж podeǉena taqkom T neprekidno i ve i ǌen deo je QT, bi e HQ prema QT kao QT prema T H. No, HQ je jednako HP, a QT svakoj od T W i P X dakle, HP je prema P X kao W T prema T H. I duж T HT je paralelna sa P X, jer je zaista svaka normalna na ravni BF. No, ako su dva trougla XP H i HT W, sa po dve proporcionalne strane, u takvom poloжaju da su dva kratka ugla jednog trougla paralelna sa homolognim kracima ugla drugog trougla, onda su ǌihove preostale strane u istoj pravoj. Prema tome su XH i HW u jednoj ravni. Tvrdim da on ima jednake uglove. Zaista, poxto je duж NP podeǉena taqkom R neprekidno i ve i deo je P R (bi e i zbir NP i P R prema P N kao P N prema P R), a P R je jednako P S (znaqi, SN prema NP kao NP prema P S), prema tome, NS je podeǉeno taqkom P neprekidno i ve i je deo NP. Znaqi, zbir kvadrata na NS i na SP je triput ve i od vadrata na NP. No, NP je jednako NB i P S je jednako SV. Prema tome je zbir kvadrata na NS u na SV triput ve i do kvadrata na NB tako daje zbir kvadrata na V S, SN i NB qetiri puta ve i od kvadrata na NB. No, zbir kvadrata na SN i na NB jednak je kvadratu na SB. Na taj naqin zbir kvadrata na BS i na SV, a to je kvadrat na BV (jer je ugao V SB prav), je qetiri puta ve i od kvadrata na NB. Znaqi, BV je dvaput ve e od NB. Ali, i BC je dvaput ve e od BN. Prema tome je BV jednako BC. I poxto su dve strane BU i UV jednake dvema stranama BW i W C i osnovica BV je jednaka osnovici BC, bi e i ugao BUV jednak uglu BW C. Prema tome su tri ugla BW C, BUV i UV C jednaka među sobom, petougao ima jednake uglove. Jednake uglove ima i petougao BUV CW, a dokazano je da je on i jednakostran. Na taj naqin petougao BU V CW je jednakostran i jednakougli i nalazi se na ivici BC kocke. Prema tome, ako na svakoj od dvanaest ivica kocke izvrximo isto to, dobi emo prostornu figuru obuha enu do dvanaest jednakostranih i jednakokrakih petouglova koja se zove dodekaedar... Kǌiga XIII zavrxava se 18. stavom koja ivice pet pravilnih poliedara upisanih u sferu ređa po veliqini. Euklid dokazuje da se ivice piramide (tetraedra), oktaedra i kocke nalaze među sobom u racionalnim razmerama, a da se ivice ostala dva, ikosaedra i dodekaedra, ne nalaze u racionalnim razmerama, jer su one iracionalne. Vaжi proporcija (2R) 2 : a 2 tetr : a2 okt : a2 koc = 6 : 4 : 3 : 2 i a ikos > a dod a tetr = 2 3 R 6 a okt = R 2 a koc = 2 3 R 3 a ikos = 1 5 R 10(5 5) a dod = 1 3 R( 15 3)

21 2.2. Euklid 21 R je polupreqnik opisane sfere. Nakon 18. stava iznosi se i dokazuje jox jedan stav koji nije numerisan, pa se smatra da je naknadno dodat i on glasi: Tvrdim, da se sem pet pomenutih tela ne moжe konstruisati ni jedno drugo telo, koje bi bilo obuhva eno jednakostranim i jednakouglim mnogouglovima. U prilogu postoji dokaz koji ukratko pokazuje da sem ovih pet ne postoji drugo pravilno geometrijsko telo, jer zbir uglova rogǉa pravilnog poliedra mora biti maǌi od zbira qetiri prava ugla (tj. 360 ). Takođe, minimalan broj uglova rogǉa je tri, jer se od dva ugla ma koje ravne slike ne moжe sastaviti rogaǉ. Ovo kratko rasuđivaǌe je postalo osnovno i ulazi u sve u benike elementarne geometrije Euklidovi Elementi XIV i XV kǌiga Nakon napisanih XIII kǌiga Euklidovim Elementima dodaju se i XIV i XV kǌiga koje se nazivaju takozvane kǌige Euklidovih Elemenata. XIV kǌiga pripada grqkom matematiqaru Hipisklu i dodata je u II veku nove ere, dok je autor XV kǌige nepoznat. 10 U samoj XIV kǌizi, nakon stavova o odnosima povrxina i zapremina nekih pravilnih poliedara, nalazi se zakǉuqak: Ako je AB = a neka duжina podeǉena taqkom G neprekidno i AG = m ve i deo, a GB = n maǌi, i ako imamo kocku, dodekaedar, ikosaedar, upisani u istu sferu, onda je : 1. (ivica kocke) : (ivica ikosaedra) = a 2 + m 2 : a 2 + n 2 2. (povrxina dodekaedra) : (povrxina ikosaedra) = (ivica kocke) : (ivica ikosaedra) 3. (zapremina dodekaedra) : (zapremina ikosaedra) = (povrxina dodekaedra) : (povrxina ikosaedra) 4. (zapremina dodekaedra) : (zapremina ikosaedra) = a 2 + m 2 : a 2 + n 2 XV kǌiga Elemenata napisana je u vidu beleжnice. Poqetak se odnosi na upisivaǌe pravilnih poliedara u druge pravilne poliedre: tetraedar u kocku, oktaedar u tetraedar, oktaedar u kocku, kocku u oktaedar, dodekaedar u ikosaedar. Daǉe slede veoma elementarna rasuđivaǌa o broju strana i broju temena pomenutih poliedara. Kǌiga se zavrxava prouqavaǌem Isidorovog problema koji se sastoji u određivaǌu uglova između ravni strana pet pravilnih poliedara. 10 Po nekim izvorima pripisuje se Damaskiju koji je bio posledǌi upravnik Novoplatonske akademije.

22 22 2. Istorijat Platonovih tela 2.3 on Kepler John Kepler (27. Decembar Novembar 1630) bio je nemaqki matematiqar, astronom i astrolog. Predstavǉao je jednu od kǉuqnih figura u nauqnoj revoluciji XVII veka, a quven je po svojim zakonima kretaǌa planeta datim u delima Astronomianova, M ysterium Cosmographicum, Harmonices M undi i Epitome of Copernican Astronomy. Tokom svoje karijere, Kepler je bio profesor matematike na sveuqilixtu u Gracu (Austija), gde je zapoqeo saradǌu sa princem Hans Ulrihom von Egenbergom. Kasnije je postao asistent astronoma Tiho Brahe, i na kraju carski matematiqar caru Rudolfu II i ǌegovim prestolonaslednicima Matiasu i Ferdinandu II. Takođe je bio nastavnih matematike u Lincu i savetnik Generalu Valenxtajnu. Pored toga, bavio se fundamentalnim radom u oblasti optike, izmislio je i poboǉxao verziju refrakcionog teleskopa i pomenuo teleskopska otkri a svog savremenika Galilea Galileja. Slika Keplerov solarni model Kepler je bio fasciniran pravilnim poliedrima te je razvio svoju teoriju o ǌima. Prihvatio je korespodenciju 5 tela sa 4 elementa postavǉenu u antiqko vreme i prikazuje ih crteжima vatre na tetraedru, oblacima i pticama na oktaedru, drvetom i alatom na heksaedru, ribama i morskim rakom na ikosaedru, mesecom, suncem i zvezdama na dodekaedru. Kepler je u svom delu M ysterium Cosmographicum (1596) napisao detaǉnu studiju o pravilnim telima. Pokuxao je da redukuje rastojaǌe planete Sunqevog sistema na metriqke osobine Platonovih tela. Predstavio je model solarnog sistema u kojem je pet Platonovih tela postavǉeno jedno unutar drugog i odvojeno serijama upisanih i opisanih sfera. xest sfera je u korespodenciji sa jednom od planeta (Merkur, Venera, Zemǉa, Mars, Jupiter i Saturn). Tela su poređana do same unutraxǌosti redom: oktaedar, ikosaedar, dodekaedar, tetraedar i

23 2.4. Leonard Ojler 23 Slika kao posledǌi heksaedar. Na kraju, ova ǌegova teorija je odbaqena. Moramo naglasiti da Kepler u to vreme nije znao za postojaǌe Urana, Neptuna i Plutona koji su otkriveni kasnije. Kao rezultat ǌegovih istraжivaǌa imamo otkri e Keplerovih tela 11, saznaǌe da orbite tela nisu kruжne ve eliptiqne, tri zakona o kretaǌu planeta koji su temeǉi nove astronomije. 2.4 Leonard Ojler Leonard Paul Ojler (Leonhard P aul Euler) rođen je u Bazelu 15. aprila 1707 godine, a umro je u Sankt Petersburgu 18. septembra Bavio se matematikom i fizikom. Smatra se da je Ojler jedan od najznaqajnijih matematiqara XVIII veka i jedan od najve ih matematiqara svih vremena. Takođe spada među najplodnije jer je saquvano preko 900 ǌegovih radova. Ojler se bavio skoro svim oblastima matematike: geometrijom, analizom, trigonometrijom, algebrom, teorijom brojeva kao i fizikom kontinuuma, lunarnom teorijom i drugim oblastima fizike. U matematiqku notaciju uveo je pojam funkcije i prvi je upotrebio oznaku f(x). Pored toga uveo je moderan zapis trigonometrijskih funkcija, slovo e kao oznaku osnove prirodnog logaritma (danas poznatu kao Ojlerov broj), grqko slovo Σ za oznaqavaǌe sumiraǌa i slovo i za oznaqavaǌe imaginarne jedinice. Takođe je koristio grqko slovo π pa oznaqi odnos obima i polupreqnika kruga, mada to izvorno nije bila ǌegova ideja. 11 Kepler-Poisont-ova tela su pravilni poliedri sa podudarnim rogǉevima bez uslova konveksnosti. Ima ih qetiri, mali zvezdasti dodekaedar, veliki zvezdasti dodekaedar, veliki dodekaedar i veliki ikosaedar. Osobina im je da ravni kojima pripadaju ǌihove pǉosni prodiru jedna kroz drugu.

24 24 2. Istorijat Platonovih tela Porodica Bernuli sa kojom je Ojler bio u uskom kontaktu zasluжna je za ve i deo ranih otkri a iz oblasti matematiqke analize. Zahvaǉuju i ǌihovom uticaju, Ojler se fokusirao na izuqavaǌe matematiqke analize. Iako neki ǌegovi dokazi ne zadovoǉavaju standarde danaxǌe matematiqke strogosti, ǌegove ideje utrle su put mnogim znaqajnim dostignu ima. Ojler je poznat po qestoj upotrebi i velikom doprinosu razvoju stepenih redova, prikazivaǌa funkcija u vidu zbira beskonaqno mnogo sabiraka. e x = n=0 = lim n ( 1 0! + x 1! + x2 2! xn n! ) Znaqajno Ojlerovo otkri e je razvoj broja e i inverzne tangensne fukcije u stepeni red, xto mu je na kraju omogu ilo rexavaǌe quvenog Bazelskog problema. lim ( 1 n n ) = π2 2 6 Ojler je u analitiqke dokaze uveo upotrebu eksponencijalne funkcije i logaritama. Proxirio je domen matematiqke primene logaritama time xto je otkrio naqin da razliqite logaritamske funkcije izrazi pomo u stepenih redova, i time je definisao logaritme negativnih i kompleksnih brojeva. Takođe je definisao eskponencijalnu funkciju za kompleksne brojeve i otkrio ǌenu vezu sa trigonometrijskim funkcijama, stoga za proizvoǉan realan broj φ, prema Ojlerovoj formuli vaжi jednakost: e iφ = cos φ + i sin φ Poseban sluqaj te formule koji se dobija za frednost φ = π, poznat je kao Ojlerov identitet e iπ + 1 = 0 Ojler je razradio teoriju vixih transcedentalnih funkcija uvode i gamafunckiju i novu metodu za rexavaǌe jednaqina qetvrtog stepena. Otkrivaǌem naqina da izraquna integral sa kompleksnim granicama nagovestio je razvoj kompleksne analize. Zaqeo je funkcionalnu analizu i dao quvenu

25 2.4. Leonard Ojler 25 Ojler-Lagranжovu teoremu. Koriste i analitiqke metode za rexavaǌe problema teorije brojeva, ujedinio je ove dve grane i uveo novu oblast istraжivaǌa analitiqku teoriju brojeva. U ovom postupku nastale su teorija hipergeometrijskih redova, hiperboliqnih trigonometrijskih funkcija i analitiqka teorija veriжnih razlomaka. Dokazivaǌem, korix eǌem divergentnosti harmonijskog reda, da prostih brojeva ima beskonaqno mnogo omogu io je nastanak Teoreme o prostim brojevima. Doxao je do dokaza da suma reciproqnih vrednosti prostih brojeva divergira, pri qemu je otkrio vezu između Rimanove zeta-funkcije i prostih brojeva, danas poznatu kao Ojlerova formula za Rimanovu zeta - funkciju. Dokazao je ǋutnove identitete, Malu Fermaovu teoremu, Fermaovu teoremu o zbiru dva kvadrata, i dao je znaqajan doprinos Lagranжovoj teoremi o qetiri kvadrata. Uvođeǌem funkcije φ(n), koja daje broj svih pozitivnih celih brojeva maǌih od broja n koji su sa ǌim uzajamno prosti, uopxtio je Malu Fermaovu teoremu, xto je danas poznato kao Ojlerova teorema. Znaqajno je doprineo razumevaǌu savrxenih brojeva i postavio je hipotezu koja je kasnije dokazana kao Zakon kvadratnih reciprociteta. Ojler je rexio problem poznat kao Sedam mostova Kenigsberga. Ovo rexeǌe se smatra prvom teoremom teorije grafova, odnosno teorije planarnih grafova. Ojlerov doprinos analitiqkoj geometriji se sastoji u formulaciji jednaqina koje opisuju kupu, vaǉak, i razliqite rotacione povrxi. Pored toga, pokazao je da se najkra e rastojaǌe između dve taqke na zakrivǉenoj povrxi pretvara u duж ukoliko se ta povrx projektuje na ravan. Prvi je prouqavao sve krive zajedno, bez posebne naklonosti prema konikama i temeǉno se bavio krivama koje generixu transcedentalne funkcije. Napisao je i znaqajan rad o klasifikaciji krivih i povrxi i dao i iscrpnu diskusiju o polarnim koordinatama koje su date u savremenom obliku. Dokazao je i nekoliko teorema opxte geometrije, između ostalih i tvrđeǌe da teжixte, ortocentar i centar opisanog kruga trougla uvek pripadaju jednoj pravoj. ǋemu u qast, ta prava je nazvana Ojlerovom. Naqinio je celinu od Lajbnicovog diferencijalnog raquna i ǋutnove metode fluksija, i razvio je aparat koji je olakxao primenu matematiqke analize na fiziqke probleme. Napravio je velike korake u poboǉxaǌu numeriqke aproksimacije integrala, tako xto je u upotrebu uveo takozvane Ojlerove aproksimacije, među kojima su najznaqajnije Ojlerova metoda i Ojler-Maklorenova formula. Olakxao je upotrebu diferencijalnih jednaqina uvode i takozvanu Ojler-Maskeronijevu konstantu: γ = lim (1 + 1 n ln n) n

26 26 2. Istorijat Platonovih tela Formula koja povezuje broj temena V, ivica E i strana F konveksnog poliedra, takođe je Ojlerova zasluga. V E + F = 2 Iz ove formule kasnije je izvedena teorema sa dokazom o konaqnom broju Platonovih tela. Konstanta koja se pojavǉuje u navedenoj formuli je poznata kao Ojlerova karakteristika grafa ili bilo kog drugog matematiqkog objekta, i u bliskoj je vezi sa ǌegovim rodom. Izuqavaǌe i generalizacija navedene formule koje su obavili Koxi i L Ulije bili su osnova za zasnivaǌe topologije.

27 Deo 3 Pravilni poliedri 3.1 Poliedri Da bi pojasnili xta je to pravilni poliedar i prikazali ǌegove karakteristike, moramo prvo uvesti pojmove poliedarske povrxi i poliedra i pojasniti neke ǌihove karakteristike. Definicija Povezan skup poligonskih povrxi nazivamo poliedarskom povrxi ako su zadovoǉeni slede i uslovi: (1) Svaka duж na stranici neke od poligonskih povrxi datog skupa moжe da pripada rubu jox samo jedne poligonske povrxi tog skupa; (2) Svake dve susedne poligonske povrxi iz tog skupa pripadaju dvema raznim ravnima. Definicija Skup svih taqaka poliedarske povrxi ω, koje se nalaze na granicama ǌenih pǉosni i koje pripadaju granici samo jedne poligonske povrxi iz tog skupa, nazivamo rubom te povrxi. Definicija Poliedarsku povrx koja ima rub nazivamo otvorenom poliedarskom povrxi, a poliedarsku povrx koja nema rub, zatvorenom poliedarskom povrxi. Poligonske povrxi od kojih je sastavǉena jedna poliedarska povrx nazivamo pǉosnima poliedarske povrxi. Stranice tih poligonskih povrxi nazivamo ivicama poliedarske povrxi, a temena tih poligonskih povrxi temenima poliedarske povrxi. Definicija Ako nikoje dve pǉosni poliedarske povrxi nemaju zajedniqkih taqaka sem xto susedne imaju zajedniqku ivicu i pǉosni koje se sustiqu u istom temenu imaju zajedniqko to teme, poliedarsku povrx nazivamo prostom poliedarskom povrxi. U protivnom nazivamo je sloжenom poliedarskom povrxi. 27

28 28 3. Pravilni poliedri U geometriji poliedara razlikujemo topoloxke i metriqke osobine. Prilikom prouqavaǌa topoloxkih osobina poliedara uvode se pomo ne relacije i to: (1) relacija incidentnosti temena, ivica i pǉosni poliedra, (2) relacija izomorfnosti i (3) relacija dualnosti dva poliedra. Definicija Kod nekog poliedra su incidentni: (1) jedno teme i jedna ivica ako se to teme poklapa sa jednim krajem ivice, (2) jedno teme i jedna pǉosan ako se to teme poklapa sa jednim temenom te pǉosni, (3) jedna ivica i jedna pǉosan ako se ta ivica poklapa sa jednom stranicom te pǉosni. Definicija Dva poliedra F i F nazivamo izomorfnim ako između temena, ivica i pǉosni poliedra F i temena, ivica i pǉosni poliedra F postoji takav bijektivni odnos u kome incidentnim temenima, ivicama i pǉosnima poliedra F odgovaraju respektivno incidentna temena, ivice i pǉosni poliedra F. Neposredno moжemo zakǉuqiti da je relacija izomorfnosti poliedara relacija ekvivalencije, stoga se skup svih poliedara prostora S 3 moжe razvrstati u klase ekvivalencije koje su sastavǉene od izomorfnih poliedara. Osobine koje su zajedniqke za sve poliedre iz iste klase nazivamo topoloxkim osobinama proizvoǉnog poliedra razmatrane klase. Osim toga razmatraǌe topoloxkih osobina poliedara iz jedne klase omogu ava upoznavaǌe topoxkih osobina polidara iz dualne klase. Definicija Dva poliedra F i F nazivamo dualnim ako između temena, ivica i pǉosni poliedra F i pǉosni, ivica i temena poliedra F postoji bijektivan odnos u kome incidentnim temenima, ivicama i pǉosnima poliedra F odgovaraju redom incidentne pǉosni, ivice i temena poliedra F.

29 3.2. Topoloxki pravilni poliedri 29 Slika 3.1. Dualnost pravilnih poliedara 3.2 Topoloxki pravilni poliedri Definicija Prost poligon kome su stranice ivice nekog poliedra tj. poliedarske povrxi nazivamo povratnom linijom te poliedarske povrxi. Definicija Maksimalan broj povratnih linija neke poliedarske povrxi koje među sobom nemaju zajedniqkih taqaka i koje ne razlaжu tu poliedarsku povrx na dva ili vixe delova nazivamo rodom te poliedarske povrxi. Teorema (Ojlerova teorema za poliedarske povrxi nultog roda)ukupan broj temena t i pǉosni p bilo koje poliedarske povrxi nultog roda za dva je ve i od broja ǌegovih ivica tj.

30 30 3. Pravilni poliedri t + p = i + 2 Definicija Poliedar Φ prostora E 3 je topoloxki pravilan ako: (1) sve pǉosni poliedra imaju jednak broj stranica i (2) u svakom temenu poliedra sustiqe se jednak broj ivica. Teorema Postoji pet i samo pet razliqitih vrsta topoloxki pravlinih poliedara. Dokaz. Neka je Φ poliedar sa t temena, i ivica i p pǉosni. Neka je daǉe m broj strana svake pǉosni a n broj ivica koje se sustiqu u jednom temenu poliedra Φ. Prema Ojlerovoj teoremi je t + p i = 2. Svaka ivica poliedra je zajedniqka stranica dveju susednih pǉosni poliedra pa vaжi mp = 2i tj. p = 2i. Daǉe svaka ivica poliedra spaja dva razna temena tog poliedra pa m je nt = 2i tj.t = 2i. Ako vrednosti za p i t zamenimo u Ojlerovoj formuli n dobijamo 1 m + 1 n = 1 i Odavde zakǉuqujemo da mora biti > 1. Odavde sledi da je bar m n 2 jedan od brojeva 1 m i 1 n ve i od 1. Znaqi bar jedan od brojeva m i n e biti 4 jednak 3 tj. bar jedan je maǌi od 4. Brojevi m i n ne mogu biti maǌi od 3 jer oznaqavaju broj stranica i broj ivica poliedra. Prema tome jedina rexeǌa nejednaqine > 1 su uređeni parovi (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), m n 2 (5,3). To znaqi da postoji taqno pet razliqitih vrsta topoloxki pravilnih poliedara. (1) Ako je m = 3, n = 3 tada je t = 4, i = 6, p = 4. Takav poliedar naziva se tetraedar. (2) Ako je m = 3, n = 4 tada je t = 6, i = 12, p = 8. Takav poliedar naziva se oktaedar. (3) Ako je m = 3, n = 5 tada je t = 12, i = 30, p = 20. Takav poliedar naziva se ikosaedar. (4) Ako je m = 4, n = 3 tada je t = 8, i = 12, p = 6. Takav poliedar naziva se heksaedar. (5) Ako je m = 5, n = 3 tada je t = 20, i = 30, p = 12. Takav poliedar naziva se dodekaedar. Brojevi t, i i p određeni su iz relacija t + p = i + 2, mp = 2i, nt = 2i. 3.3 Simetrije pravilnih poliedara Radi detaǉnijeg poznavaǌa simetrija, neophodno je dobro poznavati ravansku refleksiju i ǌene osobine jer se sve ostale izometrijske transformacije prostora definixu pomo u ravanske refleksije. Slede e teoreme govore o svim postoje im izometrijskim transformacijama prostora E 3.

31 3.3. Simetrije pravilnih poliedara 31 Teorema Svaka izometrijska transformacija I prostora E 3 moжe se predstaviti kao kompozicija najvixe qetiri ravanske refleksije tog prostora. Dokaz. S obzirom na maksimalan broj linearno nezavisnih taqaka invarijantnih u izometriji I prostora E 3 mogu nastupiti pet razliqitih sluqajeva. (i) Izometrija I ima bar qetiri nekomplanarne invarijantne taqke. Oznaqimo ih sa A, B, C i D. Tada je I(A) = A, I(B) = B, I(C) = C, I(D) = A, I(D) = A. Prema osnovnom stavu o izometrijskim transformacijama prostora E 3, takva izometrijska transformacija predstavǉa koncidenciju prosto-ra E 3 tj. I = ε. Kako je S π involuciona izometrijska transformacija, sledi I = S π tj. u ovom sluqaju I je predstavǉena kao kompozicija dve ravanske refleksije. (ii) Izometrija I raspolaжe sa tri nekolinearne invarijantne taqke, oznaqimo ih sa A, B i C. Van ravni određenoj taqkama A, B i C izometrija I nema invarijantnih taqaka pa je I ε. Prema tome postoji taqka X prostora E 3 takva da je I(X) = X i X. Oznaqimo sa π medijalnu ravan duжi XX. Kako je AX = AX, BX = BX, CX = CX sledi da taqke A, B i C pripadaju ravni π. Kompozicija IS π ima qetiri invarijantne nekomplanarne taqke A, B, C i X pa predstavǉa koincidenciju. Dakle IS π = ε, odakle je I = S π. (iii) Izometrija I raspolaжe sa dve razne ivarijantne taqke oznaqimo ih sa A i B. Van prave određene taqkama A i B izometrija I nema invarijantnih taqaka, pa je I = ε. Prema tome postoji taqka X van prave AB prostora E 3, takva da je I(X) = X i X. Oznaqimo sa π medijalnu ravan duжi XX. Kako je AX = AX i BX = BX sledi da taqke A i B pripadaju ravni π. Kompozicija IS π ima tri invarijantne nekolinearne taqke A, B i X pa prema prethodnom sluqaju predstavǉa neku ravansku refleksiju S π. Dakle IS π = S π, odakle je I = S π S π. (iv) Izometrija I raspolaжe sa jednom invarjantnom taqkom A. Postoji taqka X prostora E 3 razliqita od taqke A takva da je I(X) = X i X. Oznaqimo sa π medijalnu ravan duжi XX. Kako je AX = AX sledi da taqka A pripada ravni π. Kompozicija IS π ima dve razne invarijantne taqke A i X pa prema prethodnom sluqaju predstavǉa kompoziciju tri ravanske refleksije S π i S π. Dakle IS π = S π π odakle je I = S π, S π, S π. (v) Ostaje nam da razmotrimo sluqaj kada izometrija I nema invarijantnih taqaka. Postoji taqka X prostora E 3 takva da je I(X) = X i X. Oznaqimo sa π međalnu ravan duжi XX. Kompozicija IS π ima invarijantnu taqku X pa prema prethodnom sluqaju predstavǉa kompoziciju tri ravanske refleksije S π, S π i S π. Dakle IS π = S π S π S π, odakle je I = S π S π S π S π. Time je dokaz teoreme u potpunosti zavrxen.

32 32 3. Pravilni poliedri Napomena. Vaжi e i generalizacija ovakve teoreme za n-dimenzionalni prostor pri qemu e svaka izometrija I prostora S n mo i da se prikaжe kao kompozicija najvixe n + 1 hiperravanske refleksije, pri qemu pod pojmom hiperravanske refleksije podrazumevamo neidentiqnu izometriju koja quva invarijantnim n 1 dimenzionalni podprostor S n, taqku po taqku. Teorema Svaka direktna izometrijska transformacija I prostora E 3 moжe se predstaviti kao kompozicija dveju osnih simetrija E 3. Dokaz. Ako je I = ε, tada zbog ivolutivnosti osne refleksije za svaku pravu p 3 imamo da je I = S p S p. Ako je I = ϵ, tada postoji taqka X 3 takva da je I(X) = X i X. Oznaqimo sa π međalnu ravan duжi XX. S obzirom da je I direktna i S π1 indirektna izometrijska transformacija prostora E 3, kompozicija S π1 I predstavǉa indirektnu izometrijsku transformaciju tog prostora. Iz relacija I(X) = X i S π1 (X ) = X sledi da je u kompoziciji S π1 I taqka X invarijantna. Ako kompozicija S π1 I sem taqke X poseduje jox neku invarijantnu taqku Y ona predstavǉa neku ravansku refleksiju S π1. U tom sluqaju iz relacije S π1 I = S π2 sledi da je I = S π1 S π2. Ako obeleжimo sa π ravan upravnu obema ravnima π 1 i π 2, a sa m i n prave po kojima ona seqe te ravni, bi e: I = S π1 S π2 = (S π1 S π )(S π S π2 ) == S m S n Ako kompozicija S π1 I sem taqke X nema drugih invarijantnih taqaka, ona predstavǉa neku osnorotacionu refleksiju R π4 ;s,ω kojoj je sredixte taqka X. Obeleжimo sa π 2 ravan koja sadrжi pravu s i koja je upravna na ravni π 1, a sa π 2 daje ravan takvu da je R s,ω = S π2 S π3. U tom sluqaju bi e: S π1 I = S π2 S π3 S π4 tj. I = S π1 S π2 S π3 S π4 Iz relacija π 1 π 2, π 3 π 4 i jednakosti π 1 π 2 = m, π 3 π 4 = n nalazimo da je I = S m S n. Teorema (Xal)Svaka direktna izometrijska transformacija I ravni E 3 predstavǉa koincidenciju, translaciju, osnu rotaciju ili zavojno kretaǌe. Dokaz. S obzirom da je I : E 3 E 3 po pretpostavci direktna izometrijska transformacija prema poznatoj teoremi ona se moжe predstaviti kao kompozicija dveju osnih refleksija, tj. I = S n S m. U zavisnosti od uzajamnog poloжaja osa m i n tih refleksija razlikujemo slede e sluqajeve: (i) Prave m i n se poklapaju tj. m = n. Tada je I = ε.

33 3.3. Simetrije pravilnih poliedara 33 (ii) Prave m i n se su komplanarne i disjunktne. Oznaqimo sa π ravan određenu pravama m i n a sa µ i ν ravni koje sadrжe redom prave m i n i upravne su na ravan π. Tada je:. I = S n S m = S ν S π S π S µ = S ν S µ = τ MM (iii) Prave m i n seku se u nekoj taqki O. Oznaqimo sa π ravan određenu pravama m i n, a sa µ i ν ravni koje sadrжe redom prave m i n i upravne su na ravan π. Tada je: I = S m S n = S ν S π S π S µ = S ν S µ = R s,ω pri qemu je s preseqna prava ravni µ i ν a ω = (µ, ν). (iv) Prave m i n su mimoilazne. Tada postoji prava s koja je zajedniqka normala na prave m i n. Oznaqimo sa M i N preseqne taqke prave s redom sa pravama m i n, a sa π 1 i π 2 ravni koje su u taqkama M i N upravne na pravu s. Prave m i n pripadaju redom ravnima π 1 i π 2. Neka su σ 1 i σ 2 ravni određene redom pravama s, m i s, n. Tada, s obzirom na to da su ravni σ 1 i σ 2 upravne na π 1 i π 2 istovremeno (jer su π 1 i π 2 paralelne), imamo I = S m S n = S π1 S σ1 S π2 S σ2 = S π1 S π2 S σ1 S σ2 = τ R MM s,ω = Z MM,ω tj. I je zavojno kretaǌe. Teorema Svaka indirektna izometrijska transformacija I prostora E 3 predstavǉa ravansku, osnorotacionu ili klizaju u refleksiju. Dokaz. Kako je I indirektna izometrijska transformacija prostora E 3 ǌena optimalna simetrijska reprezentacija sastoji se iz jedne ili tri ravanske refleksije. (i) U prvom sluqaju je I = S π, tj. I je ravanska refleksija prostora E 3. (ii) U drugom sluqaju je I = S α S β S γ, pri qemu ravni α, β i γ ne pripadaju istom pramenu ravni. Naime ako bi ove ravni pripadale istom pramenu onda bi S α S β S γ, predstavǉala ravansku refleksiju, te bi se sluqaj (ii) sveo na sluqaj (i). Tri ravni α, β i γ u prostoru određuju jedan snop u ravni. U prostoru E 3 postoje dve vrste snopova ravni: snop konkurentnih ravni i ortogonalni snop ravni.

34 34 3. Pravilni poliedri (a) Ako ravni α, β i γ pripadaju snopu konkurentnih ravni kome je sredixte taqaka O, tj. zajedniqka taqka ravni α, β i γ, tada je taqka O invarijantna taqka kompozicije S α S β S γ. U tom sluqaju izometrija I kao indirektna izometrijska transformacija sa invarijantnom taqkom O predstavǉa rotacionu refleksiju prostora E 3 tj. I = R π;s,ω. (b) Ako ravni α, β i γ pripadaju ortogonalnom snopu ravni, kompozicija S α S β S γ predstavǉa klizaju u refleksiju prostora E 3 tj. I = G π, MM. Teorema Svaka indirektna izometrijska transformacija I koja ima jedinstvenu invarijantnu taqku O u prostoru E 3 predstavǉa rotacionu refleksiju sa sredixtem O. Dokaz. Kako je I indirektna izometrijska transformacija prostora E 3, a ε direktna izometrijska transformacija tog prostora bi e I = ε zbog toga postoji taqka X prostora S 3 takva da je I(X) = X i X. Neka je π 1 medijalna ravan duжi XX. Kompozicija S π1 I ima dve invarijantne taqke O i X. Kompozicija S π1 I je direktna izometijska transformacija prostora E 3 predstavǉa koincidenciju ili osnu rotaciju qija osa sadrжi taqke O i X. Kompozicija S π1 I nije koincidencija jer ako bi bilo S π1 I = ε onda bi bilo I = S π1 te bi izometrijska transformacija I predstavǉala ravansku refleksiju i posedovala sem taqke O jox invarijantnih taqaka, xto je kontradikcija sa pretpostavkom teoreme. Prema tome S π1 I = R s,ω tj. Ako je prava s upravna na π 1 neposredno zakǉuqujemo da je I rotaciona refleksija. Ako prava s nije upravna na π 1, tada obeleжimo sa π 2 koja sadrжi pravu s i upravna je na ravan π 1, a sa π 3 obeleжimo ravan takvu da je R s,ω = S π2 S π3. U tom sluqaju je I = S π1 S π2 S π3, pri qemu je ravan π 2 upravna na π 1 i seqe je po pravoj s 1. Obeleжimo sa σ 1 ravan koja sadrжi pravu s 1 i upravna je na π 3, a sa σ 2 ravan takvu da je S π1 S π2 = S σ1 S σ2. S obzirom da je S π1 S π2 = R s1,2r, bi e i S σ1 S σ2 = R s1,2r odakle sledi da prava s 1 pripada ravni σ 2 jer je π 1 π 2 = s 1 i da je ravan σ 2 upravna na σ 1 jer uglovi rotacije kod jednakih rotacija moraju biti pođednaki. Prema tome I = S π1 S π2 S π3 = S σ1 S σ2 S π3. Ravni σ 2 i π 3 su upravne na ravan σ 1 i seku se po nekoj pravoj o koja sadrжi taqku O i koja je upravna na σ 1 te kompozicija S σ2 S π3 predstavǉa osnu rotaciju R 0,θ oko prave o pri qemu je θ dvostruki orjentisani ugao između ravni σ 2 i π 3. Prema tome znamo da je I = S σ1 R 0,θ = R σ1;0,θ qime smo dokazali da izometrija I predstavǉa rotacionu refleksiju sa sredixtem O.

35 3.3. Simetrije pravilnih poliedara 35 Prethodne teoreme omogu avaju da klasifikaciju izometrijskih transformacija euklidskog prostora E 3 prikaжemo u obliku slede e xeme: Direktne: Koincidencija Translacija Osna rotacija Zavojna kretaǌa Indirektne: Ravanska refleksija Osnorotaciona refleksija Klizaju a refleksija Razlikujemo sedam vrsta izometrijskih transformacija, pa s obzirom na to razlikujemo i sedam vrsta simetrija i likova u tom prostoru, a to su: Koincidencija, ravanska simetrija, osna simetrija reda n, osnorotaciona simetrija reda n, translaciona simetrija, klizaju a simetrija, zavojna simetrija. Sa ovako utvrđenim postoje im vrstama simetrija likova u prostoru E 3, moжe se pristupiti nalaжeǌu postoje ih grupa simetrija u prostoru E 3. Definicija Simetrijom nekog lika Φ u prostoru E 3 nazivamo svaku izometrijsku transformaciju I tog prostora takvu da je I(Φ) = Φ. Skup svih simetrija lika Φ u E 3 obrazuje grupu, koju zovemo gupom simetrija tog lika i oznaqavamo sa G(I Φ ). U geometriji pravilnih poliedara u prostoru E 3 posebnu paжǌu privlaqe pitaǌa koja se odnose na ǌihove grupe simetrija. Slede im teoremama ustanovi e se sve postoje e simetrije tih poliedara. Dokaza e se tri teoreme; prva - kojom e biti ustanovǉen red grupe simetrija pravilnih poliedara, druga - kojom e biti identifikovane sve postoje e simetrije iz grupe rotacija, i tre a - identifikova e se sve preostale simetrije tih poliedara. Teorema Ukupan broj svih postoje ih simetrija pravilnog poliedra F u prostoru E 3 jednak je dvostrukom broju ǌegovih iviqnih uglova, tj. qetvorostrukom broju ǌegovih ivica. Jednu polovinu tih simetrija qine direktne, a drugu polovi-nu qine indirektne izometrijske transformacije. Dokaz. Neka su ABC i A B C ma koja dva iviqna ugla pravlinog poliedra Φ, i neka je O ǌegovo sredixte. Taqke O, A, B, C i O, A, B, C su nekomplanarne pri qemu je:

36 36 3. Pravilni poliedri (O, A, B, C) = (O, A, B, C ) i (O, A, B, C) = (O, C, B, A ) Stoga postoje I 1 i I2, dve izometrijske transformacije prostora E 3 od kojih prva, preslikava O, A,B, C redom u O, A, B, C, a druga iste taqke O, A, B, C slika O, C, B, A. Budu i da su tetraedri OABC i OC B A suprotno orjenti-sani, jedna od izometrijskih transformacija je direktna, druga indirektna i u odnosu na ǌih lik je invarijantan tj.: I 1 (Φ) = Φ, I 2 (Φ) = Φ Ovo je taqno, jer u transformaciciji I 1 stranici (ABC...H) odgovara stranica (A B C...H ), a iz podudarnosti svih diedara i stranica lika Φ, zakǉuquje se da u transformaciji I 1 susednim stranicama sa (ABC...H) odgovaraju stranice susedne sa (A B C...H ) itd. za sve odgovaraju e susedne stranice qime dolazimo do I 1 (Φ) = Φ. Na potpuno identiqan naqin zakǉuquje se da je I 2 (Φ) = Φ. Svaka od izometrijskih transformacija I 1 i I 2 predstavǉa simetriju poliedra Φ. Svakom iviqnom uglu pridruжuje se jedna direktna i jedna indirektna (izometrijska transformacija) simetrija, zbog qega je ǌihov ukupan broj jednak dvostrukom broju iviqnih uglova tj. qetvorostrukom broju ivica. Sem toga, jednu polovinu tih simetrija qine direktne a drugu indirektne izometrijske transformacije. Teorema Red grupe rotacija pravilnog poliedra, jednak je dvostrukom broju ǌegovih ivica. Simetrije ove grupe sastoje se od osnih rotacija oko pravih koje sadrжe sredixta stranica i upravne su na ǌih; pravih određenih sredixtima naspramnih ivica i pravih koje predstavǉaju ose temena tog poliedra. Dokaz. Neka je req o pravilnom poliedru Φ kome pǉosni imaju po m stranica, rogǉevi po n ivica, koji ima t temena, i ivica i p pǉosni. Zna se da je ukupan broj svih simetrija poliedra Φ jednak 4i, a broj simetrija koje ne meǌaju ǌegovu orijentaciju je 2i. Po Xalovoj teoremi direktne transformacije prostora E 3 su: rotacije, translacije, zavojna kretaǌa i koincidencija. Kako je req o nuldimenzionoj grupi simetrija kojima transformacije imaju zajedniqkih invarijantnih taqaka, moжe se govoriti samo o prvoj i zadǌoj transformaciji- rotaciji i identiqnom preslikavaǌu. Taqnije, grupa direktnih simetrija pravilnog poliedra Φ sastoji se od koincidencije i jedne od slede ih osnih rotacija: (i) Osne rotacije definisane u odnosu na prave koje sadrжe sredixta pǉosni poliedra Φ i upravne su na ǌima. Ove rotacije preslikavaju svako teme neke pǉosni u sva ostala temena iste pǉosni. Znaqi ukupan broj tih rotacija je m 1. Ako pravilan poliedar nema naspramnih pǉosni, a tu je jedini tetraedar, onda su prave upravne na dvema razliqitim pǉosnima u ǌihovim sredixtima razliqite među sobom. Rotacije oko ovih pravih razlikuju se među sobom, pa je ǌihov ukupan broj (m 1)p, tj. za tetraedar osam.

37 3.3. Simetrije pravilnih poliedara 37 Svi ostali pravilni poliedri imaju po p/2 parova naspramnih pǉosni. Ose upravne u sredixtima dveju naspramnih pǉosni su istovetne, te su i rotacije oko ǌih istovetne. Zbog toga je ukupan broj postoje ih rotacija oko pravih upravnih na pǉosni u ǌihovim sredixtima jednak (m 1)p/2 za sve pravilne poliedre sem tetraedra. (ii) Osne rotacije definisane u odnosu na sredixta naspramnih ivica. Svaka takva prava je osa samo jedne rotacije-osne simetrije. Kako svaki pravilan poliedar ima i naspramnih ivica, ukupan broj rotacija oko pravih određenih sredixtima naspramnih ivica je i/2. (iii) Osne rotacije definisane u odnosu na prave koje su ose rogǉeva posmatranog pravilnog poliedra. Rotacija oko svake od ovih pravih prevode jednu pǉosan rogǉa u ma koju drugu pǉosan tog istog rogǉa. Kako tih pǉosni ima n 1, ukupan broj rotacija oko prave koja predstavǉa osu jednog rogǉa pravilnog poliedra je n 1.Ose razliqitih rogǉeva razliqite su među sobom, sem kod pravilnog tetraedra, pa su razliqite i rotacije oko ǌih. Svaki pravilan poliedar, sem naravno tetraedra, ima t/2 parova naspramnih temena. Ose rogǉeva kod tih temena su istovetne, rotacije oko osa istovetne, pa je ukupan broj postoje ih rotacija oko svih mogu ih takvih osa jednak (n 1)t/2. Kod pravilnog tetraedra, ose ma kog rogǉa upravne su na naspramnim pǉosnima u ǌihovim sredixtima, pa se poistove uju sa osama iz sluqaja 1, pa se odgovaraju e rotacije poistove uju. Teorema Ukupan broj simetrija pravilnog poliedra koje meǌaju ǌegovu orijentaciju jednak je dvostrukom broju ivica tog poliedra. Skup svih simetrija sastoji se iskǉuqivo iz rotacionih i ravanskih refleksija. Dokaz. Neka je req o pravilnom poliedru Φ kome pǉosni imaju po m stranica, rogǉevi po n ivica, koji ima t temena, i ivica i p pǉosni.sve (indirektne transformacije) simetrije ovog poliedra koje mu meǌaju orijentaciju iscrpǉene su sa dve vrste ravanskih i tri vrste rotacionih refleksija: (i) Ravanskom refleksijom definisanom bisektralnim ravnima unutraxǌih diedara, poliedra Φ. Simetralne ravni naspramnih unutraxǌih diedara se poklapaju u svim (ostalim) pravilnim poliedrima, samo su razliqite u pravilnom tetraedru. Ukupan broj ovih ravanskih refleksija je kod tetraedra jednak broju ǌegovih ivica, a kod ostalih pravilnih poliedara i/2. Kod pravilnog oktaedra simetralna ravan unutraxǌeg diedra poklapa se ne samo sa istom naspramnog, ve i sa simetralnom ravni onih dvaju diedara kojima ivice pripadaju bisektralnoj ravni polaznog diedra. Zbog toga pravilan oktaedar ima samo i/4 posmatranih ravanskih refleksija, tj. svega 3. (ii) Ravanskom refleksijom definisanom medijalnim ravnima ivica poliedra Φ. Medijalne ravni ivica mogu se preklapati sa bisektralnim ravnima

38 38 3. Pravilni poliedri unutraxǌih diedara, kao na primer u pravilnom tetraedru, dodekaedru i ikosaedru. Kod pravilnog heksaedra i oktaedra to nije sluqaj, ali se kod ǌih medijalne ravni nekih ivica poklapaju među sobom. Pravilan heksaedar ima samo tri medijalne ravni ivica, jer se medijalne ravni ǌegovih naspramnih ivica poklapaju. (iii) Rotacionim refleksijama definisanim u odnosu na prave određene sredixtima naspramnih pǉosni. Ove rotacione refleksije prevode svako teme jedne od dveju naspramnih pǉosni, na primer Ψ, u odgovaraju im temenima druge pǉosni Ψ 1, pa postoji i takva refleksija koja slika svako teme u ǌemu naspramno. Ta rotaciona refleksija predstavǉa centralnu simetriju poliedra. Ako je m paran broj xto je sluqaj jedino kod pravilnog heksaedra, ravanska refleksija definisana u odnosu na zajedniqku osnovu svih tih rotacionih refleksija slika jednu pǉosan Ψ u ǌoj naspramnu Ψ 1. Zbog toga je ukupan broj rotacionih refleksija definisanih u odnosu na prave određene sredixtima dveju naspramnih pǉosni, sem u sluqajevima kada one predstavǉaju centralnu ili ravansku refleksiju, jednak m 1 (m neparno), tj m 2 (m parno). Kako tetraedar uopxte nema naspramnih pǉosni, on uopxte nema rotacionih refleksija. Svi ostali pravilni poliedri imaju p/2 parova naspramnih pǉosni, pa je ukupan broj rotacionih refleksija oko pomenutih osa (opet izuzimaju i sluqaj kada one predstavǉaju centralnu ili ravansku refleksiju) jednak (m 1)p/2, odnosno (m 2)p/2 zavisno od m. (iv) Rotacionim refleksijama definisanim u odnosu na prave koje spajaju sredixta naspramnih ivica. Kod svih pravilnih poliedara, sem tetraedra, naspramne ivice su komplanarne pa se ne mogu definisati rotacione refleksije oko ovih osa koje bi bile razliqite od centralne ili ravanske refleksije. Naspramne ivice pravilnog tetraedra su nekomplanarne, pa postoje dve rotacione refleksije definisane pravom određene ǌihovim sredixtima. Nijedna od ovih rotacionih refleksija ne predstavǉa centralnu ili ravansku refleksiju. Ukupan broj im je xest, jer pravilan tetraedar ima tri para naspramnih ivica. Sredixta svih ovih rotacionih refleksija poklapaju se (sa sredixtem tetraedra). (v) Rotacionim refleksijama definisanim u odnosu na prave određene naspramnim temenima. Ove rotacione refleksije prevode svaku ivicu koja polazi iz jednog (od tih dvaju temena) u svaku ivicu koja polazi iz drugog od tih dvaju temena. Moжe se pritom desiti da se ivice koje polaze iz prvog temena preslikaju u sebi naspramne ivice koje polaze iz drugog temena - tada je req o rotacionoj refleksiji - koja predstavǉa centralnu simetriju. Ili pak, kakav je sluqaj jedino kod pravilnog oktaedra, da ravanska refleksija definisana u odnosu na zajedniqku osnovu svih ovih rotacionih refleksija, prevodi ivice koje polaze iz prvog temena u ivice koje polaze iz drugog temena. Zbog svega ovog, ukupan broj rotacionih refleksija definisanih u odnosu na prave koje spajaju naspramna temena izuzimaju i, nara-

39 3.4. Stelacije pravilnih poliedara 39 vno, sluqajeve centralne i ravanske refleksije jednak je (n 1), n neparno tj (n 2), n je parno. Svi pravilni poliedri (sem tetraedra), imaju t/2 naspramnih temena, pa se ukupan broj pomenutih rotacionih refleksija svodi na (n 1)t/2, za neparno n, tj. (n 2)t/2 za parno n. Pravilan tetraedar uopxte nema naspramnih temena pa se razumǉivo kod ǌega ni ne definixu ove rotacione refleksije. Prethodnim teoremama ustanovǉene su sve postoje e vrste simetrija pravilnih poliedara. Svaki pravilan poliedar ima istu grupu simetrija kao ǌegov dualni poliedar, jer rotacije koje cikliqno permutuju temena neke pǉosni jednog od ovih dvaju poliedara, istovremeno cikliqno permutuju pǉosni oko jednog temena ǌemu dualnog poliedra. 3.4 Stelacije pravilnih poliedara Stelacija poliedara je proces generisaǌa novog poliedra produжavaǌem ǌegovih elemenata, strana i ivica do preseka svakog elementa sa ostalim, odonsno do formiraǌa novog poliedra, poxtuju i pri tome određene tipove simetrije. Stelacijom pravilnih poligona moжemo dobiti pravilne zvezdaste poligone i preklapaǌe ve postoje ih poligona. Oqigledno zvezda je pravilan poligon ukoliko joj dozvolimo da stranice prodiru jedna kroz drugu. U zavisnosti od toga kako ravni kome pripadaju strane datog poliedra dele prostor postoji vixe naqina da se produжe i odaberu delovi koji e biti spojeni. Primetimo da dve ravni koje se sre u u jednoj ivici u stelaciji ne e deliti ivicu u svom unutraxǌem poliedru. Odatle moжemo zakǉuqiti da ne postoji stelacija za kocku jer su joj nesusedne pǉosni paralelne pa se nikad ravni u kojima se nalaze ne mogu se i, kada uzimamo u obzir konaqna tela. Takođe je nemogu a stelacija tetraedra, jer su mu svake dve strane susedne. Stelacija oktaedra sastavǉena je od dva pravilna tetraedra. Ravni kojima pripadaju ǌihove strane su generisane produжenim pǉosnima unutraxǌeg oktaedra. Kepler - Poisotova tela su stelacije pravilnog ikosaedra i dodekaedra, pa je veliki ikosaedar stelacija ikosaedra, dok su ostala tri tela stelacije dodekaedra.

40 40 3. Pravilni poliedri 3.5 Tetraedar U geometriji tetraedar je poliedar sastavǉen od trouglastih povrxi, pri qemu se tri povrxi sre u u jednom temenu ili rogǉu. Tetraedar ima xest ivica i qetiri rogǉa. Tetraedar je najjednostavniji od svih pravilnih konveksnih poliedara i jedini je koji ima maǌe od pet stranica. Tetraedar je trodimenzionalni sluqaj generalizovanog koncepta konveksnog skupa u Euklidskom prostoru. Slika 3.2. Tetraedar Tetraedar je vrsta piramide, koja je poliedar sa ravnom mnogougaonom bazom i trouglastim boqnim stranama koje povezuju bazu sa jednom zajedniqkom taqkom. U sluqaju tetraedra baza je trougao, pa se bilo koja stranica tetraedra moжe smatrati bazom piramide. Takođe, tetraedar se drugaqije moжe nazvati pravilnom trougaonom piramidom. Kao i svi konveksni poliedri, tetraedar moжe biti sklopǉen od jednog lista papira i poseduje dve razliqite mreжe. Za svaki tetraedar postoji opisana sfera u kojoj se sadrжe sva temena, i upisana sfera kojoj su boqne stranice tangente. Kod pravog tetraedra sve stranice su jednakostraniqni trouglovi. Pravilni tetraedar ne moжe zasebno da formira rexetku, ali udruжen sa pravilnim oktaedrom qine izmeǌeno kubno sa e koje formira rexetku. Sve qetiri stranice pravilnog tetraedra su jednakostraniqni trouglovi. Tetraedar je sam sebi dualan, a ako se izgradi sloжena figura od dva dualna tetraedra dobija se stelacioni oktaedar Konstrukcija pravilnog tetraedra Neka je dat D preqnik opisane sfere u koju se upisuje tetraedar. Konstruisati kruжnicu sa polupreqnikom r tako da je r 2 = 1 3 D 2 3 D tj. r = 1 3 2D

41 3.5. Tetraedar 41 i u ǌu upisati jednakostraniqni trougao. Iz centra kruжnice povu i normalu koja je duжine 2 3 D. Duжi koje spajaju krajǌe taqke normale sa temenima jednakostraniqnog trougla određuju tetraedar. Svaka od tih duжi tj. ivica oznaqenih sa a takve su da je Kako je a 2 = r D2 D 2 = 9 2 r2 to je a 2 = 3r Formule pravilnog tetraedra Date koordinate Dekartovog sistema definixu qetiri temena tetraedra sa ivicom duжine 2, pri qemu je tetraedar centriran na koordinatnom poqetku (±1, 0, 1 2 ) (0, ±1, 1 2 ) Za pravilni tetraedar duжine stranice a: Povrxina jedne strane je: Povrxina tetraedra: A 0 = 3 4 a2 A = 4A 0 = 3a 2 Visina tetraedra: H = 6 a = 3 2 a 3 Zapremina: Ugao između dve povrxi: Tetraedarski ugao: V = 1 3 A 0H = 2 12 a3 = a3 6 2 arccos( 1 3 ) = arctan(2 2)

42 42 3. Pravilni poliedri arccos( 1 3 ) = 2 arctan( 2) Polupreqnik opisane sfere: R = 6 a = 4 Polupreqnik upisane sfere (tangenta je stranica tetraedra): 3 a 8 r = 1 3 R = a 24 Polupreqnik sfere kojoj su tangente ivice tetraedra: r M = rr = a 8 Primetimo da je visina stranice (2 2) dva puta ve a od ivice ( 2), xto odgovara qiǌenici da je horizontalna razdaǉina, koja ide od baze ka vrhu duж ivice, duplo duжa od medijane stranice. Drugim reqima ako je C teжixte osnovice, udaǉenost C do nekog temena baze je dvostruko ve a od udaǉenosti C do sredixta ivice baze. Ovo sledi iz qiǌenice da se medijane trougla seku u teжixtu trougla i da ova taqka deli svaku od ǌih u dva segmenta od kojih je jedan dvostruko duжi od drugog Simetrije pravilnog tetraedra Pravilan tetraedar ima 24 simetrije od kojih jedna polovina meǌa ǌegovu orijentaciju, a druga ne. Direktne transformacije bile bi: 1. Identiqko preslikavaǌe; 2. Osam osnih rotacija reda tri u oba smera u odnosu na prave određene visinama tetraedra; 3. Tri osne simetrije reda dva definisane u odnosu na prave određene sedixtima naspramnih ivica. Indirektne transformacije bi bile: 1. Xest ravanskih refleksija definisanih bisektralnim ravnima unutraxǌih diedara; 2. Xest rotacionih refleksija reda qetiri definisanih u oba smera u odnosu na prave određene sredixtima naspramnih ivica i ravni. To je i jedina rotaciona refleksija kojom raspolaжe, jer pravilan tetraedar nema ni naspramnih strana, ni naspramnih temena.

43 3.6. Pravilni heksaedar - Kocka Pravilni heksaedar - Kocka U geometriji kocka je trodimenzionalno telo koje je saqiǌeno od xest kvadratnih povrxina, pri qemu su tri povrxine sastavǉene u jednom temenu. Kocka je jedini pravilni heksaedar, predstavǉa paralelepiped, jednakostraniqni kuboid i pravilni romboid. To je prava kvadratna prizma sa tri orijentacije i trigonalni trapezoid sa qetiri orijentacije. Kocka je dualna sa oktaedrom i poseduje kubiqnu ili oktaedarsku simetriju. Slika 3.3. Kocka Kocka u prostoru R n moжe se definisati pomo u jedne taqke A = (a 1,..., a n ) iz R n. Recimo da je svaka ivica kocke paralelna sa taqno jednim razliqitim vektorom te baze kao i da taqka A predstavǉa poqetak koordinatnog sisitema koga grade ovi vektori. Svaka taqka X = (x 1,..., x n ) onda moжe biti predstavǉena na slede i naqin: X : A + n α k υ k, α k [0, a] k+1 Ukoliko se za vektore v 1,..., v n uzmu vektori koji qine kanonsku bazu R n dobija se X : {X 1 [a i, a i + a], i = 1,..., n}

44 44 3. Pravilni poliedri Konstrukcija kocke Neka je D preqnik opisane sfere u koju treba upisati kocku. konstruixe se kvadrat stranice a takav da je a = 1 3 3D Zatim se konstruixe kocka sa ovim kvadratom kao osnovom Formule kocke Za kocku koja je centrirana u koordinatnom poqetku sa ivicama paralelnim sa osnovama koordinatnog sistema i ivicom duжine 2, koordinate su (±1, ±1, ±1) dok se unutraxǌost sastoji od svih taqaka (x 0, x 1, x 2 ) pri qemu je 1 < x 1 < 1. U analitiqkoj geometriji, povrxina kocke sa centrom (x 0, y 0, z 0 ) i duжinom ivice 2a je geometrijsko mesto taqaka X(x, y, z) takvo da lim [(x x 0) n + (y y 0 ) n + (z z 0 ) n a n ] = 0 n Direktna formula za izraqunavaǌe povrxine bez upotrebe limesa je: max{ x x 0, y y 0, z z 0 } = a Za kocku qija je duжina ivice a vaжe slede i obrasci: Povrxina: Zapremina: Dijagonala stranice: Dijagonala kocke: P = 6a 2 V = a 3 d = a 2 D = a 3

45 3.6. Pravilni heksaedar - Kocka 45 Polupreqnik opisane sfere: R = a 3 2 Polupreqnik sfere qije su tangente ivice kocke: Polupreqnik upisane sfere: Ugao koji zaklapaju stranice: r M = a 2 r = a 2 θ = π 2 Zapremina kocke predstavǉa duжinu stranice na tre i stepen, pa se tako po analogiji sa kvadratom tre i stepen naziva kub 1. Kocka poseduje najve u zapreminu u odnosu na sve ostale kuboide sa jednakom povrxinom. Takođe, kocka poseduje najve u zapreminu o odnosu na sve kuboide sa jednakim totalnim zbirom duжina visine, xirine i duжine Simetrije kocke Kocka poseduje 48 simetrija od kojih jedna polovina meǌa orijentaciju a druga ne. Direktne transformacije bile bi: 1. Identiqko preslikavaǌe 2. Xest osnih simetrija reda qetiri definisanih u odnosu na prave koje spajaju sredixta naspramnih stranica; 3. Osne simetrije reda dva definisane u odnsu na prave koje spajaju sredixta naspramnih stranica; 4. Xest osnih simetrija reda dva definisanih u odnosu na sredixta naspramnih ivica; 5. Osam osnih simetrija reda tri, definisanih u oba smera u odnosu na prave određene naspramnim temenima. Indirektne transformacije bile bi: 1. Xest ravanskih refleksija definisanih u oba smera u odnosu na bisektralne ravni unutraxǌih diedara; 2. Tri ravanske revfleksije zadate medijalnim ravnima ivica; 3. Xest rotacionih refleksija reda qetiri definisanih u oba smera u odnosu na prave određene sredixtima naspramnih stranica; 4. Osam rotacionih simetrija reda xest definisanih u oba smera u odnosu na pravce određene naspramnim temenima; 5. Centralna refleksija. 1 Kocka je na engleskom cube

46 46 3. Pravilni poliedri 3.7 Pravilni oktaedar U geometriji, oktaedar je poliedar sa osam stranica. Pravilni oktaedar sastavǉen je od osam jednakostraniqnih trouglova, od kojih se po qetiri susre u u jednom temenu. Pravilni oktaedar je dualan kocki. Oktaedar se jox moжe opisati i kao jednakoiviqna osmostrana bipiramida. Slika 3.4. Oktaedar Konstrukcija pravilnog oktaedra Neka je D preqnik opisane sfere u koju treba upisati oktaedar. Konstruisati krug sa polupreqnikom r tako da je r = 1 D i upisati kvadrat u 2 taj krug. Iz centra kvadrata povu i normale u oba pravca duжine jednake polupreqniku kruga ili polovini dijagonale kvadrata. Svaka od ivica koje se uzdiжu iznad kvadrata je jednaka stranici kvadrata. Zbog toga je svaka od ivica oktaedra a = 2 1 2D Formule pravilnog oktaedra Oktaedar sa ivicom duжine 2, sa centrom u koordinatnom poqetku i sa temenima na osama koordinatnog sistema ima temena u slede im taqkama: (±1, 0, 0) (0, ±1, 0) (0, 0, ±1) U Oxyz Dekartovom koordinatnom sistemu, oktaedar sa centrom u O(0, 0, 0), kordinatama (a, b, c), i polupreqnikom r sadrжi taqke (x, y, z) x a + y b + z c = r

47 3.7. Pravilni oktaedar 47 Ako je duжina ivice pravilnog oktaedra a onda je Povrxina: Zapremina: Polupreqnik opisane sfere: P = 2a a 2 V = 1 3 a a 3 R = a Polupreqnik upisane sfere (tangenta je stranica oktaedra): r = a Polupreqnik sfere qije su tangente sredine ivica oktaedra: r M = a 2 = 0.5 Zapremina oktaedra qetiri je puta ve a od zapremine tetraedra, dok je povrxina ve a dva puta od povrxine tetraedra sa istom duжinom ivice Simetrije pravilnog oktaedra Pravilan oktaedar ima 48 simetrija od kojih polovina meǌa orijentaciju a druga polovina ne. Direktne transformacije bile bi: 1. Identiqko preslikavaǌe; 2. Xest osnih simetrija reda qetiri definisanih u oba smera odnosu na prave određene naspramnim temenima; 3. Tri osne simetrije reda dva definisane u odnsu na prave određene naspramnim temenima; 4. Xest osnih simetrija reda dva definisanih u odnosu na sredixta naspramnih ivica; 5. Osam osnih simetrija reda tri, definisanih u oba smera u odnosu na prave određene sredixtima naspramnih stranica. Indirektne transformacije bile bi: 1. Xest ravanskih refleksija definisanih medijalnim ravnima i ivicama; 2. Tri ravanske refleksije zadate bisektralnim uglovima; 3. Xest rotacionih simetrija reda qetiri definisanih u oba smera u odnosu na prave određene naspramnim temenima; 4. Osam rotacionih simetrija reda xest definisanih u oba smera u odnosu na prave određene sredixtima naspramnih stranica; 5. Centralna simetrija.

48 48 3. Pravilni poliedri 3.8 Pravilni dodekaedar U geometriji dodekaedar je svaki poliedar sa dvanaest stranica, mada se najqex e pod dodekaedrom podrazumeva pravilni dodekaedar koji se sastoji iz dvanaest stranica koje su pravilni petouglovi, pri qemu se tri stranice susre u u temenu. Ima 20 temena, 30 ivica i 160 dijagonala. Dualni poliedar dodekaedru je ikosaedar. Slika 3.5. Dodekaedar Konstrukcija pravilnog dodekaedra Konstrukcija dodekaedra poqiǌe konstrukcijom kocke upisane u datu sferu preqnika D. Zatim se konstruixu petouglovi kojima su stranice dijagonale kocke. Neka su H,N,M i O sredixne taqke ivica na stranici BEF C, a H,G,L i K sredixne taqke ivica na stranici BCDA. Onda se spoje NO, GK koje su paralelne sa BC i MH i HL koje su ǌihove medijatrise u taqkama P i Q. Zlatnim presekom 2 se podele P N, P Q, i HQ taqkama R, S, T tako da su P R, P S i QT ve i segmenti. RU, P X i SV su upravne na ravan BEF C a T W upravna na ravan BCDA tako da je svaka od ovih normala jednaka P R ili 2 Zlatni presek u matematici i umetnosti je specifiqni odnos između dve veliqine koje zadovoǉavaju slede e pravilo: odnos ǌihovog zbira i ve e veliqine jednak je odnosu ve e veliqine prema maǌoj.

49 3.8. Pravilni dodekaedar 49 P S. Spajaju se UV, V C, CW, W B i BU. One određuju stranice pravilnog petougla UV CW B, a ostali petouglovi se dobijaju na isti naqin. Pri qemu vaжi BU 2 = BR 2 + RU 2 = BN 2 + NR 2 + RP 2 = P N 2 + NR 2 + RP 2 = 4RP 2 = UV 2 Drugi naqin za konstruisaǌe dodekaedra ukǉuquje konstrukciju kocke i zasniva se na tome da sfera preqnika D koja opisuje kocku opisuje i dodekaedar. Neka je a ivica dodekaedra a c ivica kocke onda je a = c = D = 1D( 15 3) Dodeǉivaǌem jednog pravilnog petougla svakoj od 12 ivica kocke dobi e se 12 pravilnih petouglova koji su pǉosni pravilnog dodekaedra Formule pravilnog dodekaedra Date koordinate Dekartovog koordinatnog sistema definixu temena dodekaedra duжine ivice 2/φ centriranog u koordinatnom poqetku i pogodno poravnatog i orijentisanog. (±1, ±1, ±1) (0,±1/φ, ±φ) (±1/φ, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1/φ) Za dodekaedar qija je duжina ivice a vaжe slede i odnosi Povrxina: Zapremina: Polupreqnik opisane sfere: P = a 2 V = 1 4 ( )a 3 R = a 3 4 (1 + 5) = a 3 2 φ Polupreqnik sfere qije su tangente ivice kocke: r M = a 1 4 (3 + 5) = a φ2 2 Polupreqnik upisane sfere: r = a = a φ φ Za dodekaedar duжine ivice 1, R je takođe i polupreqnik opisanog kruga nad kockom ivice φ, takođe r je apotema petougla stranice duжine φ.

50 50 3. Pravilni poliedri Simetrije pravilnog dodekaedra Pravilan dodekaedar ima 120 simetrija od kojih jedna polovina meǌa orijentaciju a druga ne. Direktne transformacije bile bi: 1. Identiqko preslikavaǌe; 2. Dvadeset osnih simetrija reda tri definisanih u oba smera u odnosu na prave određene naspramnim temenima; 3. Petnaest osnih simetrija reda dva definisanih sredixtima naspramnih ivica; 4. Dvanaest osnih simetrija reda pet definisanih u oba smera u odnosu na prave određene sredixtima naspramnih stranica; 5. Dvanaest osnih simetrija reda 5/2 definisanih u oba smera u odnosu na prave određene sredixtima naspramnih stranica. Indirektne transformacije bile bi: 1. Dvadeset rotacionih simetrija reda xest definisanih u oba smera u odnosu na prave određene naspramnim temenima; 2. Petnaest ravanskih refleksija definisanih bisektralnim ravnima unutraxǌih diedara; 3. Dvanaest rotacionih refleksija reda deset definisanih u oba smera u odnosu na prave određene sredixtima naspramnih stranica; 4. Dvanaest rotacionih refleksija simetrije reda 5/ definisanih u oba smera u odnosu na prave određene sredixtima naspramnih stranica; 5. Centralna refleksija. 3.9 Pravilni ikosaedar U geometriji, ikosaedar je poliedar sa dvadeset stranica. Pravilni ikosaedar sastavǉen je od dvadeset jednakostraniqnih trouglova, od kojih se po pet susre u u jednom temenu. Ima dvanaest temena i trideset ivica Konstrukcija pravilnog ikosaedra Neka je D preqnik opisane sfere. Konstruixe se krug polupreqnika r tako da je r 2 = D 1 D i upisuje se pravilan desetougao. Iz temena desetougla 5 povlaqe se normale duжine r. Ovo određuje temena pravilnog desetougla upisanog u jednaki paralelni krug. Spajaǌem svakog drugog temena jednog a onda drugog desetougla dobijaju se pravilni petouglovi u paralelnim krugovima koji ih opisuju ali tako da im temena ne budu naspramna. Spajaǌem temena jednog petougla sa najbliжa dva temena drugog dobija se 10 trouglova. Neka je p stranica svakog petougla a d stranica oba desetougla, onda su stranice

51 3.9. Pravilni ikosaedar 51 Slika 3.6. Ikosaedar koje se uzdiжu iznad trouglova, oznaqene sa x, x 2 = d 2 + r 2 = p 2. Zato je deset konstruisanih trouglova jednakostraniqno. Neka cu C i C centri paralelnih krugova. CC je produжena u oba pravca do X i Z respektivno tako da je CX = C Z = d, gde je d stranica desetougla. Spajaju i X i Z sa temenima dva petougla respektivno dobijaju se ivice ikosaedra duжine a. Odavde sledi da je a = p = 1r = D = 1 10(5 D 5) 10 Sfera preqnika XZ opisuje ikosaedar i XZ = r + 2d = r + r( 5 1) = D Formule pravilnog ikosaedra Za ikosaedar qija je duжina ivice a vaжe slede i odnosi Povrxina: P = 5a 2 3 Zapremina:

52 52 3. Pravilni poliedri V = 5 12 (3 + 5)a 3 Polupreqnik opisane sfere: Polupreqnik upisane sfere: R = a = a sin 2π 5 = a 2 φ 5 r = a = a ( ) 12 Ugao između stranica ikosaedra: ( 5 ) η = arccos 138, Simetrije pravilnog ikosaedra 3 Pravilan ikosaedar ima 120 simetrija od kojih jedna polovina meǌa orijentaciju a druga ne. Direktne transformacije bile bi: 1. Identiqko preslikavaǌe; 2. Dvadeset osnih simetrija reda tri definisanih u oba smera u odnosu na prave određene sredixtima naspramnih stranica; 3. Petnaest osnih simetrija reda dva definisanih sredixtima naspramnih ivica; 4. Dvanaest osnih simetrija reda pet definisanih u oba smera u odnosu na prave određene naspramnim temenima; 5. Dvanaest osnih simetrija reda 5/2 definisanih u oba smera u odnosu na prave određene naspramnim temenima. Indirektne transformacije bile bi: 1. Dvadeset rotacionih refleksija reda tri definisanih u oba smera u odnosu na prave određene sredixtima naspramnih stranica; 2. Petnaest ravanskih refleksija definisanih bisektralnim ravnima unutraxǌih diedara; 3. Dvanaest rotacionih simetrija reda pet definisanih u oba smera u odnosu na prave određene naspramnim temenima; 4. Dvanaest rotacionih simetrija reda 5/2 definisanih u oba smera u odnosu na prave određene naspramnim temenima; 5. Centralna simetrija.

53 Deo 4 Platonova tela oko nas Kako se pravilni poliedri smatraju savrxenim telima priroda je uredila da se mogu na i u жivotiǌskom svetu i ǉudskom telu, da se mnoga hemijska jediǌeǌa i minerali mogu na i u obliku pravilnih poliedara, a da li zbog svoje simetrije ili zbog neke druge osobine koja ih qini ugodnim ǉudskom oku Platonova tela oduvek su bila interesantna umetnicima i arhitektama. 4.1 Platonova tela u жivim organizmima Slika 4.1. Pravilni tetraedri mogu se na i svuda oko nas. Tako su s poqetka veka opisane su protozoe 1 Radiolarie 2 u qijim se skeletima prepoznaju neki od pravilnih poliedara. Pa tako: 1 Protozoe su jedno elijski organizmi, rasprostraǌeni u morima, kopnenim vodama i vlaжnoj zemǉi a mnoge жive na ili u telima drugih organizama. 2 Radiolarie (Radiolaria) su brojna grupa morskih jedno elijskih protista sa mineralnom ǉuxturom. 53

54 54 4. Platonova tela oko nas Circoporus octahedrus - oktaedar Circigonia icosahedra - ikosaedar Lithocumbus geometricus - heksaedar Circorrhegma dodechaedra - dodekaedar Protozoa Callimitra agnesae - tetraedar Skelet Radiolaria iz proteklih geoloxkih perioda je dosta dobro saquvan i zato se i ǌihove ǉuxture upotrebǉavaju za određivaǌe starosti pojedinih slojeva. Mnogi poznati virusi svojom strukturom podse aju na pravilne poliedre. Na primer virus HIV-a inkapsuliran je u pravilni ikosaedar, dok je virus P ariacoto V irus(p av ) sa dodekaedarskim kaveznim obosmernim RN A. Ikosaedar koji je i sam Platon povezao sa vodom najzastupǉeniji je oblik strukturnog uve aǌa vode sa niskim sadrжajem qestica. U neprekidnom nizu ikosaedarskih strukturnih uve aǌa nalaze se dodekaedri. Slika 4.2. Voda ima tendenciju da se grupixe u dodekaedre a zatim u ikosaedarske klastere. Grupisaǌe molekula moжe da bude razliqito, xto izaziva osobene karakteristike. Kada molekuli vode formiraju dodekaedar, to znaqi da voda moжe da uskladixti do sto puta vixe energije, u ǌoj mogu da se stvaraju proteinske forme, i da funkcionixu organele. Kako voda u svom molekulskom obliku ne moжe da prolazi kroz akvaporinske kanale 3, struktuiraǌe u dodekaedre i ikosaedre omogu ava ǌen prolazak kroz ranije pomenute kanale, qime se omogu ava normalno funkcionisaǌe elija. 4.2 Platonova tela u hemiji Ugǉovodonici koji predstavǉaju molekularne prezentacije pravilnih poliedara nazivaju se Platonovi ugǉovodonici. Kod ǌih su temena zameǌena atomima 3 Akvaporinski kanali predstavǉaju pore na elijskoj membrani kroz koje je specijalnim mehanizmima omogu en protok vode.

55 4.2. Platonova tela u hemiji 55 ugǉenika, a ivice hemijskim vezama. Međutim, nemaju svi pravilni poliedri svoje molekulske parove: (1) Qetvorovalentnost ugǉenika 4 iskǉuquje ikosaedar ( pet pǉosni koje se seku u svakom temenu) kao izvodǉivu formu. (2) Ugaoni napon onemogu ava oktaedarsku strukturu. Poxto se qetiri strane seku u svakom uglu, tamo ne bi moglo da bude vodonikovih atoma i ovaj hipotetiqki oktaedar bio bi alotrop 5 C 6 elementa ugǉenika, a ne ugǉovodonika. Uzimaju i u obzir navedene izuzetke sintetisani su slede i Platonovi ugǉovodonici: Tetraedran (C 4 H 4 ) ali samo sa odgovaraju im supstituentima Kuban (C 8 H 8 ) Dodekaedran (C 20 H 20 ) Tetraedran je Platonov ugǉovodonik, hemijske formule (C 4 H 4 ) i tetraedarske strukture. Preveliki ugaoni napon (uglovi između ugǉenika mnogo odstupaju od ugla u tetraedru koji je pribliжno ) spreqava ovaj molekul da nastaje prirodno. Slika 4.3. Tetraedran Kuban (C 8 H 8 ) je sintetiqki ugǉovodoniqni molekul koji se sastoji od osam ugǉenikovih atoma raspoređenih u uglovima kocke sa po jednim atomom vodonika vezanim za svaki atom ugǉenika. Kuban je kristalna supstanca i predstavǉa ugǉovodonik sa najve om gustinom, xto dodatno doprinosi ǌegovoj sposobnosti da sadrжi velike koliqine energije. Iz tog razloga traжi se naqin ǌegove upotrebe u medicini i nanotehnologiji. Pre ǌegove sinteze, istraжivaqi su verovali da ga je nemogu e sintetisati zbog ugla od 90, jer bi pritome ugǉenikovi atomi 4 Ugǉenik ima qetiri elektrona u posledǌem energetskom nivou omotaqa koji sluжe za građeǌe jediǌeǌa. 5 Alotropska modifikacija nekog elementa je pojava koja se dexava kada se neki element javǉa u vixe oblika koji se razlikuju po broju atoma u molekulu ili strukturnoj formuli molekula.

56 56 4. Platonova tela oko nas bili pod prevelikim pritiskom i samim tim bi jediǌeǌe bilo nestabilno. Iznenađuju e, nasuprot tome, kuban je kinetiqki vrlo stabilan zbog nedostatka naqina da se raspadne. Kuban i ǌegovi derivati imaju vaжne osobine. Zbog napetih veza, derivati kubana poseduju veliku reaktivnost xto ih qini veoma korisnim gorivima velike gustine i eksplozivima velikog energetskog sadrжaja kao kod oktanitrokubana i heptanitrokubana. Slika 4.4. Kuban Dodekaedran je hemijsko jediǌeǌe (C 20 H 20 ) koje je sintetisano da bi se dokazalo daje sinteza ovakvog molekula mogu a. U ovom molekulu svako teme je atom ugǉenika koji vezuje tri susedna atoma ugǉenika. Primetno je da je ugao od 108 svakog pravilnog pentagona blizak idealnom uglu veze od koji postoji između sp 3 hibridizovanih ugǉenikovih atoma. Svaki ugǉenikov atom je takođe i vezan i za po jedan vodonikov atom. Slika 4.5. Dodekaedran Sa porastom broja ugǉenikovih atoma u mreжi, geometrija se konaqno

57 4.2. Platonova tela u hemiji 57 pribliжava sferi. Ovo je najzad postignuto kod fularena 6, iako on sam nije pravilan poliedar. Bakminster fularen C 60 ima oblik zaseqenog ikosaedra, Arhimedovog tela. 7 Elementarni bor ima vixe alotropa i jedan od ǌih je α bor, B 12. Ikosaedarska struktura je pronađena kod borovog jediǌeǌa B 12 H12 2. Za ovo se znalo mnogo godina pre pronalaska molekula C 60. Slika 4.6. Alotropska modifikacija bora Alotropske modifikacije ugǉenika su grafit, fulareni i dijamant. Ugǉenikovi atomi u dijamantu zauzimaju tetraedarsku strukturu, a svaki atom ugǉenika ima qetiri σ veze. Dijamant je bezbojna, kristalna supstanca sa velikim indeksom prelamaǌa svetlosti i on je najtvrđi mineral u prirodi. Tri od pet pravilnih poliedara se mogu na i u prirodi kao kristali: tetraedar kao kristal natrijum antimonsulfida (Na 3 SbS 4 9H 2 O), heksaedar kao kristal natrijum hlorida (N acl) oktaedar kao kristal kalijumhrom sulfata (K 2 Cr(SO 4 ) 4 24H 2 O) 6 Fulareni su klasa alotropa ugǉenika koji se sastoje od grafenskih slojeva smotanih u tube ili sfere. U ove strukture spadaju nanotube koje su interesantne zbog svoje mehaniqke qvrsto e kao i zbog svojih elektriqnih osobina 7 Arhimedova tela se mogu posmatrati kao tela nastala zasecaǌem Platonovih tela ili daǉim zasecaǌem tako dobijenih tela. Zaseqeni ikosaedar ima 32 pǉosni (12 petouglova, 20 xestouglova), 90 ivica i 60 temena.

58 58 4. Platonova tela oko nas 4.3 Platonova tela u umetnosti i arhitekturi Pet Platonovih tela su kroz gotovo qitavu istororiju prikazivana kao umetniqki motivi. ǈudi su uvek imali interesovaǌa za ǌih, tako da ǌihve oblike prepoznajemo na mnogim slikama, korix eni su kao igraqke ili kao delovi upotrebnih predmeta i samog dizajna u xirem smislu. Gotovo nijedna druxtvena igra ne moжe se zamisliti bez kockica, koje su najqex e oblika pravilnog heksaedra, mada mogu biti oblika bilo kog od Platonovih tela. Takođe je jedna od IQ puzli Rubikova kocka, moжe se sem u obliku kocke na i i u vidu svih ostalih Platonovih tela. Slika 4.7. Varijante Rubikove kocke U mnogim muzejima prikazivane su kocke perioda raznih dinastija. Mnogi su bili opsednuti ǌima da li zbog ǌihovih matematiqkih osobina kao su simetrija i zlatni presek ili zato xto su im jednostavno privlaqile paжǌu. Jedan primer ovakve opsednutosti jeste umetnik i matematiqar veka Exer, koji je bio obuzet geometrijom, pa je pravio modele Platonovih tela i nije se odvajao od ǌih.

59 4.3. Platonova tela u umetnosti i arhitekturi 59 U Xkotskoj i Irskoj pronađena je grupa kameǌa koja podse a na Platonova tela i potiqu iz perioda kasnog neolita i ranog bronzanog doba. Slika 4.8. U Francuskoj je oblik dodekaedra iskorix en kao kontejner za odlagaǌe komunalnog otpada i reciklaжe. Forme inspirisane pravilnim poliedrima se nalaze u arhitekturi i modernom dizajnu. U arhitekturi 70-tih i 80-tih godina razvio se novi princip gradǌe. Pokuxalo se sa primenama kocki i dodekaedara kao stambenih jedinica. U Holandiji se ovaj dizajn pokazao kao uspexan te se ovakvi stanovi vode kao luksuzni i izuzetno je prijatno boraviti u ǌima. U Izraelu neuobiqajeni projekti izgradǌe stambenog prostora u vidu dodekaedra pokazali su se kako potpuno nefunkcionalni za жivot. Mnoge moderne građevine danas kao osnovu imaju kocku. Slika 4.9.

60 60 4. Platonova tela oko nas Slika Roterdam

Δείτε περισσότερα