POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti"

Transcript

1 POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za svako a R vaжi: a) P (a) + P ( a) = ; b) P ( + a) + P ( a) = 6 + 6a ; v) Q(a) Q( a) = 0; g) Q( + a) Q( a) = 8a ; d) R(a) R( a) = a ; đ) R( + a) + R( a) =.. Za polinom P (x) = x x odrediti polinom Q(x) = P (x ) + P (x) + P (x + ).. Odrediti zbir P (x) + Q(x), razliku P (x) Q(x), proizvod P (x) Q(x) i linearnu kombinaciju ap (x) + bq(x) polinoma P (x) i Q(x) ako je dato: a) P (x) = x x +, Q(x) = x, a =, b = b) P (x) = x x +, Q(x) = x + x, a =, b = v) P (x) = x 6 x, Q(x) = x 5 + 4x, a =, b = g) P (x) = x + x x, Q(x) = x 4 + x + x + x +, a =, b =. 4. Odrediti zbir koeficijenata polinoma P (x): a) P (x) = (x x + ) 998 (x x + ) 0, b) P (x) = (x x + ) (x 6x + ) 999, v) P (x) = (x 5x + ) 450 (x 5x + 4) 540, g) P (x) = (x + x + ) 00 (x x + ) Dokazati da ne postoji polinom P sa celobrojnim koeficijentima za koji je ispunjeno P () = i P (5) = Dokazati da ne postoji polinom P sa celobrojnim koeficijentima takav da je P () P (7) prost broj. 7. Neka je P polinom sa celobrojnim koeficijentima. Dokazati da je za svako a Z i svako b N izraz P (a + b) + P (a b) ceo broj. 8. Neka su dati polinomi P (x) = x + x x + x 99 + x 00 i Q(x) = + x + x + x + + x 99 + x 00 i neka je P (x) Q(x) = (c 0, c,..., c 00 ). Dokazati da u prizvodu P (x) Q(x) nema qlanova sa neparnim eksponentom, tj. da su svi c k = 0, (k =,,..., 00). 9. U kojem od polinoma P (x) = ( + x x ) 000 i Q(x) = ( x + x ) 000 je koeficijent uz x 0 ve i? (x b)(x v) (x c)(x a) (x a)(x b) 0. Dokazati identitete: a) a + b + c (a b)(a v) (b c)(b a) (c a)(c b) = x ; (x a)(x b)(x v) (x b)(x c)(x g) (x a)(x c)(x g) (x a)(x b)(x g) b) (d a)(d b)(d v) (a b)(a c)(a g) (b a)(b c)(b g) (c a)(c b)(c g) =.. Odrediti polinom drugog stepena P (x) = a x + a x + a 0 takav da je: a) P () = 6, P () =, P ( ) = 8; b) P () = 4, P (0) =, P () = 9; v) P () =, P ( ) = 8, P (0) =.. Dokazati: ako polinom P, n tog stepena uzima vrednost nula za n + razliqitih vrednosti x C, tada je P nula polinom.. Dokazati: ako su P i Q polinomi n tog stepena i postoje kompleksni, međusobno razliqiti brojevi x 0, x,..., x n takvi da vaжi P (x i ) = Q(x i ) (za i = 0,,..., n), tada je P = Q. 4. a) Polinom P (x) = x x + 4x + razvijte po potencijama od x. b) Polinom P (x) = x 4 5x + 5x + x + razvijte po potencijama od x. v) Polinom P (x) = x 5 + x 4 x + x + razvijte po potencijama od x Odrediti polinom P (x) ako je a) P (x + ) = x + x + ; b) P ( x + ) = x x + ; v) P (x ) = x 6x + x Polinom P (x) = x 4 + x + ax + x + b je kvarat nekog polinoma Q(x), tj. vaжi P (x) = Q(x). Odrediti a, b i polinom Q(x). 7. P je polinom qetvrtog stepena takav da je P () = P ( ) i P () = P ( ). Dokazati da je tada P : R R parna funkcija, tj da vaжi P (x) = P ( x)( x R). 8. Odrediti polinom P qetvrtog stepena za koji je P (x) = P ( x). 9. Dat je polinom P (x) = x 4 +x +x +x+. Dokazati da ne postoji polinom Q takav da vaжi P (x) = (Q Q)(x), gde je sa oznaqena kompozicija funkcija. 0. Za linearni polinom (tj. polinom oblika P (x) = ax + b, a, b K) P (x) = x + odrediti sve linearne polinome Q za koje vaжi = (P Q)(x) = (Q P )(x). Za takve polinome kaжemo da komutiraju.. Dokazati da ne postoji polinom P prvog stepena koji komutira sa polinomom Q(x) = x.. a) Odrediti polinome P i Q za koje vaжi: P (x) Q(x) = (P Q)(x)( x); b) Odrediti polinom P za koji vaжi: P (x) P (x) = (P P )(x)( x).. Odrediti zbir koeficijenata polinoma P (x) = (x 5 + x ) 999 uz qlanove sa neparnim izloжiocima (stepenima). 4. Dokazati da ne postoji polinom P sa celobrojnim koeficijentima takav da je P (a) = b, P (b) = c, P (c) = a, gde su a, b, c tri razliqita cela broja.

2 Deljivost polinoma. Hornerova xema. Euklidov algoritam. Bezuov stav.. Odrediti koliqnik i ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x + x + x + polinomom x.. Odrediti koliqnik i ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x 5 + x 4 + x + x + polinomom T (x) = x +, ako su to polinomi nad poljem GF ().. Odrediti a, b R tako da je ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x 4 x ax + b polinomom x + jednak, a polinomom x jednak. 4. Ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom x je, a polinomom x je P (x) deljiv. Koliki je ostatak pri deljenju P (x) sa T (x) = x 5x + 6? 5. Ako polinom pri deljenju polinomom x a daje ostatak r a, a pri deljenju polinomom x b daje ostatak r b, koliki je ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom T (x) = (x a)(x b)? 6. Da li je polinom P (x) = (x + x ) n + (x x + ) n deljiv polinomom Q(x) = x x? 7. Za koje n je polinom P (x) = (x ) n + (x ) n deljiv polinomom Q(x) = x x +? 8. Odrediti a, b R tako da polinom P (x) = x + ax 5x + b bude deljiv polinomom Q(x) = x x. 9. Na i ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x 00 + x 99 + x x + 9 polinomom Q(x) = x + x. 0. Ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x + x je R(x) = x +. Odrediti ostatak pri deljenju P (x) sa x +.. Polinom P (x) = x + ax + bx + c deljiv je sa Q(x) = x x +, a pri deljenju sa T (x) daje ostatak 4. Odrediti koeficijente a, b i c.. Koliki je ostatak pri deljenju polinoma P (x) = 00 x x x + polinomom a) Q(x) = x + ; b) Q(x) = x ; v) Q(x) = x x?. Polinom P (x) pri deljenju polinomom x + daje ostatak 4, a pri deljenju polinomom x + ostatak R(x) = x +. Koliki je ostatak pri deljenju P (x) polinomom Q(x) = x + x + x +? 4. Odrediti ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x 4 +x + ako P (x) pri deljenju polinomom T (x) = x +x+ daje ostatak R (x) = x+, a pri deljenju polinomom T (x) = x x+ daje ostatak R (x) = x Da li je polinom P (x) = x 4n x 4n 4 + x 4n x deljiv polinom Q(x) = x 4? 6. Ako je polinom P (x) = x n + a x n +... a n x + a n deljiv sa x, onda je deljiv i sa x. Dokazati. 7. Zbir svih koeficijenata polinoma P (x) jednak je, a zbir koeficijenata na parnim mestima jednak je. Odrediti ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x. 8. Ako polinomi P ip nisu deljivi polinomom Q, mogu li njihov zbir P + P, proizvod P P i kompozicija P P biti deljivi sa Q? Ako je mogu e dati i primer, a ako nije dokazati da ne moжe. 9. Dokazati: ako polinom P (x) sa celobrojnim koeficijentima za x =,,, 4 uzima istu vrednost p, gde je p prost broj, onda ni za koji ceo broj a ne moжe biti P (a) = p. 0. Odrediti a, b R tako da polinom P (x) = 6x 4 7x + ax + x + bude deljiv polinomom Q(x) = x x + b.. Dokazati da polinom P (x) = x 6 + x + a nije deljiv Q(x) = x + x + a ni za jedno a R.. Korix enjem Hornerove xeme prevesti u dekadni sistem slede e brojeve: a) (0000) ; b) (0) ; v) () 5.. Primenom Hornerove xeme razviti polinom P (x) po potencijama (stepenima) od x a ako je dato: a) P (x) = x x + 4x +, a = ; b) P (x) = x 4 + x 4x + 6x 5, a = ; v) P (x) = x 5 x + 6x 8x 4, a =. 4. Ako su polinomi P (x) i Q(x) takvi da je deg P = n >, deg Q = m >, onda postoje polinomi S(x) (stepena najvixe n ) i T (x) (stepena najvixe m ), takvi da vaжi: P (x)s(x) + Q(x)T (x) = 0 ako i samo ako P i Q nisu uzajamno prosti (tj. NZD(P, Q) ). 5. Odrediti polinome S i T, tako da vaжi P S +QT = NZD(P, Q): a) P (x) = x x +x+, Q(x) = x x+; b) P (x) = x 4 + x x 6x, Q(x) = x x + x + ; v) P (x) = x 5 x 4 + x x 4, Q(x) = x 4 + x + x Za P (x) = nx n+ (n + )x n +, Q(x) = x n nx + n, n N odrediti NZD(P, Q). 7. Dokazati da su polinomi P (x) = nx n + (n )x n x + i Q(x) = x n + x n (n )x + (n ) uzajamno prosti za svako n N, n. 8. Da li je polinom P (x) = nx n+ ( + np)x n + (p )(x n + x n x) = p deljiv polinomom Q(x) = x (p + )x + p, gde je n prirodan, a p realan broj? Posebno ispitati sluqaj kada je p =. 9. Dokazati da je polinom P n+ (x) = (x + a + b) n+ x n+ a n+ b n+ deljiv polinomom P (x). Zatim rexiti jednaqinu P 5 (x) = 0.

3 Nule polinoma. Celobrojne, racionalne i kompleksne nule. Vietova pravila. Ireducibilni polinomi.. Odrediti vixestrukost nule x polinoma P (x): a) x = P (x) = x 4 9x x + 4x ; b) x = P (x) = x 5 + 5x 4 + 6x 4x 8x; v) x = P (x) = 4x + 8x + 5x +.. Odrediti polinom qetvrtog stepena kome su koreni i, a je dvostruki koren.. Odrediti moniqan polinom qetvrtog stepena P (x) ako je poznato da je x = trostruka nula polinoma P (x), a pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x + dobija se ostatak. 4. Odrediti zajedniqke nule polinoma: a) P (x) = x 4 + x + x + x +, Q(x) = x x + x ; b) P (x) = x 4 + 6x + 7x + 4x +, Q(x) = x x x Broj x = a je nula reda k polinoma P i ujedno nula reda l > k polinoma Q. Odrediti vixestrukosti nule x = a polinoma P Q i P + Q. 6. Dat je polinom P (x) = x 4 x + x x +. Neka je α koren jednaqine x x = 0. Izraqunati P (α). 7. Brojevi x = i x = su nule polinoma P, kome je slobodan qlan jednak 4. Na i ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x x + x. 8. Koje uslove je potrebno da ispunjavaju prirodan broj n i realan broj a, da bi polinom P (x) = x n ax n + ax bio deljiv polinomom Q(x) = (x )? 9. Odrediti a i b tako da jedan koren polinoma P (x) = x + 6x + ax + b bude, a ostala dva korena da budu uzastopni celi brojevi. 0. Odrediti a i b tako da je jedan koren polinoma P (x) = x + ax + 4x + b jednak, a i razlika preostala dva korena je jednaka.. Odrediti a i b tako da su koreni polinoma P (x) = x + ax + 6x + b tri uzastopna cela broja.. Dokazati da za neparan ceo broj q jednaqina x + x + q = 0 nema celobrojnih rexenja.. Da bi među korenima polinoma P (x) = x + ax + bx + c bila dva suprotna broja, potreban i dovoljan uslov je ab = c. Dokazati. 4. Dokazati da algebarska jednaqina f(x) = 0 n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima nema celobrojnih rexenja ako su brojevi f(0) i f() neparni. 5. Dokazati da algebarska jednaqina f(x) = 0 n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima nema celobrojnih rexenja ako nijedan od brojeva f(), f(), f() nije deljiv sa. 6. Polinom P n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima za x = 0,,..., n uzima vrednosti razliqite od nule i po apsolutnoj vrednosti manje od n. Dokazati da P nema celobrojnih nula. 7. Neka je P Z[x] i neka su a i b uzajamno prosti celi brojevi. Ako je P (a) deljiv sa b i P (b) deljiv sa a, dokazati da je tada P (a + b) deljiv sa ab. 8. Ako je broj α nula polinoma sa celobrojnim koeficijentima, onda je za sve prirodne m i broj m α takođe nula nekog polinoma sa celobrojnim koeficijentima. 9. Ako je x 0 koren jednaqine oblika ax 4 + bx + cx + bx + a = 0, onda je i x koren iste jednaqine. Dokazati. 0. Odrediti a, b i c tako da jedan koren polinoma P (x) = 6x + ax + bx + c bude, a ostala dva korena da budu suprotni racionalni brojevi.. Dokazati da polinom sa celobrojnim koeficijentima P (x) = px 5 (p )x +, gde je p prost broj, nema racionalnih korena.. Odrediti sve proste brojeve p za koje jednaqina px + x + = 0 ima bar jedan racionalan koren.. Odrediti racionalne nule polinoma P (x) = 6x x + 9x. 4. Rastaviti na qinioce polinom P (x) = x 7x + 4x Ako moniqan polinom P sa celobrojnim koeficijentima nema celobrojnih nula, tada su sve realne nule tog polinoma iracionalni brojevi. 6. Dokazati da za svaki prirodan broj n i prost broj p vaжi da je n p iracionalan broj. 7. Dokazati da ako je p prost broj onda polinom P (x) = x n + x n x + p nema racionalnih korena. 8. Neka je P polinom sa celobrojnim koeficijentima i neka za tri razliqita cela broja a, b i c vaжi P (a) = P (b) = P (c) =. Dokazati da P nema celobrojnih korena. 9. Dat je realni polinom P (x) = a n x n + a n x n a x + a 0. Neka su njegove nule x, x,..., x n. Odrediti nule polinoma: a) Q (x) = P (n) (a) x n + P (n ) (a) x n P (a) x + P (a)x + P (a); n! (n )!! b) Q (x) = a n x n a n x n + a n x n... + ( ) n a 0 ; v) Q (x) = a 0 x n + a x n a n x + a n ; g) Q 4 (x) = a n x n + a n bx n + a n b x n a b n x + a 0 b n, gde su a i b dati realni brojevi. 0. Ako polinom P sa celobrojnim koeficijentima uzima vrednost za tri razliqite celobrojne vrednosti, onda P ni za jedan ceo broj ne uzima vrednost. Dokazati.. Dokazati da se polinom P (x) = (x a )(x a )... (x a n ), gde su a,..., a n razliqiti celi brojevi, ne moжe prikazati u obliku proizvoda dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima.. Dokazati da se polinom P (x) = (x a )(x a )... (x a n ) +, gde su a,..., a n razliqiti celi brojevi, ne moжe prikazati u obliku proizvoda dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima.

4 . Dokazati da se polinom P (x) = (x a ) (x a )... (x a n ) +, gde su a,..., a n razliqiti celi brojevi, ne moжe prikazati u obliku proizvoda dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima. 4. Odrediti sve polinome P za koje vaжi: x P (x ) = (x ) P (x), x R. 5. Odrediti sve polinome P za koje vaжi: (x ) P (x) = (x ) P (x ), x R. 6. Odrediti sve polinome P za koje vaжi: P (x) P (x + ) = P (x + x + ), x R. 7. Neka je P (x) = x n + a n x n a x + realan polinom sa nenegativnim koeficijentima, koji ima n realnih korena. Dokazati da je P () n. 8. Niz polinoma P 0 (x), P (x),... zadat je sa P 0 (x) =, P (x) = x, P k+ (x) = x P k+ (x) P k (x)(k = 0,,...). Dokazati da se sve realne nule polinoma P k (x) nalaze u intervalu (, ). 9. Odrediti sve polinome n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima sa osobinom da u n celobrojnih taqaka imaju vrednost n, a u 0 vrednost Polinom P je sedmog stepena i u sedam razliqitih celobrojnih taqaka uzima vrednost ili. Dokazati da se polinom P ne moжe prikazati kao proizvod dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima. 4. Na i realne nule polinoma P (x) = x Odrediti realne faktore polinoma P (x) = x n +, n N. 4. Faktorisati polinom P (x) = x 4 x + x + x Jednaqina x 5 x + x 4 ima kompleksan koren qiji je argument π 4. Odrediti taj koren. 45. Na i sve realne brojeve p i q takve da polinomi P (x) = x + px + 8 i Q(x) = x + qx + imaju dva zajedniqka korena. Odrediti te korene. 46. Sve su nule polinoma P (x) = x + px + q, q 0 realne. Dokazati da je koeficijent p negativan. 47. Na i polinom tre eg stepena sa vode im koeficijentom takav da njegove nule zadovoljavaju jednakosti x + x + x =, x x + x x + x x = 4, x x x = Neka su x, x, x i x 4 koreni jednaqine x 4 + 5x + ax + x + 5 = 0. Odrediti a R tako da bude x x =. 49. Odrediti a i b tako da P (x) = x 4 + ax + bx 8x + 4 ima dve dvostruke nule. 50. Odrediti a tako da P (x) = x 4 x + ax + 6x 4 ima dva korena qiji je proizvod jednak. 5. Rexiti jednaqinu x 4 + x + x + x + 4 = 0 ako se zna da ona ima jedan kompleksan koren qiji je realan deo jednak imaginarnom delu. 5. Koreni polinoma Q(x) = x + x su kompleksni brojevi a i b i realan broj c. Odrediti polinom drugog stepena P za koji je P (c) = c, P (a) = b, P (b) = a i dokazati da je polinom P (P (x)) x deljiv polinomom Q(x). 5. Dokazati da je polinom P (x) = (x + ) 6m+ (x + ) 6n+ + (x + ) 6p+ (m, n, p N 0 ) deljiv polinomom Q(x) = x + x Neka su P, q i r prirodni brojevi. Pod kojim uslovom je polinom P (x) = x p + ax q+ + x r+ deljiv polinomom Q(x) = x + ax + ako je a) a = ; b) a =? 55. Odrediti dovoljan uslov pod kojim je polinom P (x) = x n +...+x+ deljiv polinomom Q(x) = x m +...+x Dat je polinom P (x) = 4x 5 4x 4 + 5x 6x + ax + b, gde je a, b R. Na i sve nule polinoma P ako se zna da je + i jedna nula i da postoji bar jedna racionalna nula. 57. Ako jednaqina x + ax + b = 0 ima racionalne korene p, q i r, dokazati da jednaqina py + qy + r = 0 takođe ima racionalne korene. 58. Odrediti vixestruke nule polinoma P (x) = x + x x. 59. Odrediti vrednost realnog parametra m tako da zbir dva korena polinoma P (x) = x 4 6x +mx x+6 bude jednak zbiru druga dva korena. 60. Koliko postoji polinoma sa kompleksnim koeficijentima P (x) = x + ax + bx + c qije su nule a, b i c? 6. Poznato je da su nule kompleksnog polinoma P (z) = z n + a n z n + + a z + a 0 kompleksni brojevi α, α,..., α n. Izraqunati proizvod = (α + )(α + )... (α n + ). 6. Dokazati da ni za jedno n N polinom P n (x) = x (n) x (n ) x (n )... + x 4 x + nema realnih nula. 6. Neka su a i b koreni polinoma P (x) = x 4 +x. Dokazati da je ab koren polinoma Q(x) = x 6 +x 4 +x x. 64. Realni polinom P (x) = ax n ax n + c n x n c x n bx + b ima n pozitivnih korena. Dokazati da su svi ti koreni jednaki. 65. Dokazati da je polinom P (x) = x 5 x 4 + 6x x + 9x 6 ireducibilan nad poljem Z. 66. Rastaviti na faktore nad poljem Q polinom P : a) P (x) = x 4 x +x +x 9; b) P (x) = x 4 x +x +x 6; v) P (x) = x 4 + 4x 6x x ; g) P (x) = x 5 + 4x 4 + x x + x Dokazati da su polinomi P (x) = x n ireducibilni nad Q za sve prirodne n. 68. Dokazati da je polinom P (x) = + x + x + + x p ireducibilan nad Q za svaki prost broj p. 69. Na i najmanja tri prirodna broja n za koje je polinom P (x) = + x + x + + x n reducibilan nad Q. 70. Dokazati da je polinom P (x) = x 4 + px + q, p, q Q reducibilan nad Q ako je ispunjen jedan od ova dva uslova: o p 4q je kvadrat racionalnog broja, o q je kvadrat racionalnog broja r, r p je kvadrat racionalnog broja. 7. Pokazati da su polinomi ireducibilni nad Q: a) P (x) = x 4 8x +x 6x+; b) P (x) = x 5 x +6x ; v) P (x) = x 4 x + x + ; g) P (x) = x p px + p, gde je p prost broj. 4

5 4 Analitiqke osobine polinoma. Tejlorov polinom.. Dokazati da polinom P (x) = x 5 + x 0 ima bar jednu iracionalnu nulu.. Rexiti nejednaqinu 6x 7 x +x+ < x.. Odrediti polinom P qetvrtog stepena ako je poznato da je njegov drugi izvod P (x) = x + 6x + 4 i da P (x) P (x). 4. Dokazati da polinom f(x) = + x! + x! + x4! + xn n! nema vixestrukih nula. 5. Ako je a vixestruka nula polinoma P (x), onda je a i vixestruka nula polinoma Q(x) = P (x) + (P (x)). Dokazati. 6. Dokazati da polinom P (x) = x 4x + 7x nema nula u intervalu (0, ). 7. Neka je P polinom stepena n >. Odrediti red nule x = a polinoma Q(x) = (x a)[p (x)+p (a)] P (x)+p (a). 8. Odrediti realan broj a tako da x = bude nula polinoma P (x) = x n ax n+ + (n )x n ax n +, a zatim odrediti red k nule x =. 9. Dokazati da je realan polinom P deljiv svojim izvodnim polinomom, P, ako i samo ako je P (x) = a n (x x 0 ) n, gde su a n, x 0 R. 0. Odrediti polinom sedmog stepena P koji zadovoljava uslove (x ) 4 P (x) + i (x + ) 4 P (x).. Odrediti polinom qetvrtog stepena P koji zadovoljava uslove (x ) P (x) 8 i (x + ) P (x) Realni polinom P qetvrtog stepena ima dvostruku nulu x =, a polinom Q(x) = P (x) + 4 ima dvostruku nulu x =. Odrediti polinom P ako je Q(0) =.. Odrediti broj realnih korena jednaqine P (x) = x 4 4x x + a u zavisnosti od realnog parametra a. 4. Neka je an n+ + an n + + a + a 0 = 0. Dokazati da polinom P (x) = a n x n a x + a 0 ima bar jednu nulu na intervalu [0, ]. 5 Racionalne funkcije.. Razloжiti slede e racionalne funkcije na zbir polinoma i prave racionalne funkcije: a) R(x) = x4 x + 4 ; b) R(x) = x 7x + 6 x + x ; v) R(x) = x5 + 5x 4 + 5x + 5x + 5x + x. x +. Predstaviti prave racionalne funkcije u obliku zbira parcijalnih razlomaka: x + a) R(x) = (x )(x )(x ) ; b) R(x) = x x 4x + ; v) R(x) = x x x + 60 ; g) R(x) = x + x + (x ) ; d) R(x) = 5x4 x 5 (x + 5) ; đ) R(x) = x4 + x + x + 5x + 0 (x + ) (x 4) ; e) R(x) = z) R(x) = x + ; i) R(x) = x4 + 0x 45x + x + 58 (x )(x + ) (x x + ) x + x + x x ; ж) R(x) = x + x + x + 7 (x + ) (x + 4) ; ; j) R(x) = x6 + 8x 4 + 7x 7x + 69x 99 (x ) (x + 9). x +. Racionalnu funkciju R(x) = (x + 4x + 5)(x predstaviti kao zbir: a) parcijalnih razlomaka; + ) b) razlomaka qiji su imenioci polinomi prvog stepena. 4. Dokazati da za date realne brojeve A, a, a,..., a n (brojevi a i su međusobno razliqiti) postoje realni A brojevi A, A,..., A n, takvi da vaжi jednakost: (x + a )(x + a )... (x + a n ) = A x + A + a x A n + a x. + a n 5. Rastaviti na zbir parcijalnih razlomaka slede e funkcije: a) (x + 4)(x + ) ; b) a + b + c (x + a )(x + b )(x + c ), gde su a, b, c R i a, b, c međusobno razliqiti brojevi. 6. Dokazati da za svaki prirodan broj n vaжi n (x + )(x + )... (x + n) = i= ( n i ) ( ) i, gde je x R \ Z. x + i 5

6 6 Rexenja zadataka, uputstva i rezultati.. Svi identiteti vaжe.. Q(x) = x + x.. a) P + Q = x, P Q = x x +, P Q = x 7x + x, P + Q = 9x x ; b) P + Q = x x, P Q = 4x +, P Q = x 4 x x + 4x, P Q = x 9x + 5; v) P + Q = x 6 +x 5 x +4x, P Q = x 6 x 5 x 4x+, P Q = 6x x 7 6x 6 x +9x, P Q = x 6 6x 5 x 8x+6; g) P + Q = x 4 + x x +, P Q = x 4 x x, P Q = x 7 x 5 x 4 x x x, P Q = x 4 + x 5x + 4x..4 Zbir koeficijenata polinoma P (x) = a n x n a x + a 0 jednak je P () = a n... + a + a 0. Stoga imamo: a) = 04; b) ( ) 999 = 0; v) ( ) 450 ( ) 540 = ; g) = 0..5 Ako je P (x) = a n x n a x + a 0, a i Z, onda je razlika P (5) P () deljiva sa 5 =, jer je P (5) P () = a n (5 n n ) + a n (5 n n ) a (5 ). Kako je P (5) P () = 5, xto nije deljivo sa, to dobijamo da takav polinom ne postoji..6 Na osnovu prethodnog zadatka dobijamo da ako postoji polinom sa celobroj- nim koeficijentima tada je P () P (7) uvek deljivo sa 4, pa ne moжe biti prost broj..7 Pokazati matematiqkom indukcijom ili uz pomo binomnomnog obrasca da je (a + b) k + (a b) k ceo broj za svako prirodno k..8 P (x) (x) = [ + x x 00 x( + x x 98 )] [ + x x 00 + x( + x x 98 )] = ( + x x 00 ) x ( + x x 98 ) i sad je oqigledno da ima samo parne stepene..9 Kako polinom P ( x) ima isti koeficijent kao i polinom P (x) uz x 0 i Q( x) kao i Q(x), problem se svodi na posmatranje polinoma P ( x) = ( + x + x ) 000 i Q( x) = ( x x ) 000. Svi qlanovi u P ( x) su pozitivni i sabiraju se, dok su neki qlanovi u Q( x) sa negativnim predznakom, tako da e se neki qlanovi međusobno pokratiti. Stoga je koeficijent uz x 0 ve i u P ( x) nego u Q( x), tj. ve i je u P (x) nego u Q(x)..0 a) Ako x prebacimo na drugu stranu, dobijamo polinom drugog stepena, koji je nula polinom jer uzima vrednost 0 za tri razliqite vrednosti: x = a, x = b, x = c. b) Prebacimo na drugu stranu i dobijamo polinom P tre eg stepena za koji je P (a) = P (b) = P (c) = P (d) = 0, te je nula polinom.. a) P (x) = x x + 5; b) P (x) = x x + 5; v) P (x) = x x Ako traжimo koeficijente polinoma P dobi emo homogen sistem od n + jednaqina sa n + nepoznatih, qija je determinanta sistema razliqita od nule jer je to Vandermondova determinanta za n + razliqitih vrednosti. Stoga sistem ima jedinstveno rexenje. To je trivijalno rexenje, pa je polinom P nula polinom.. Posmatra se novi polinom P Q i primeni se rezultat prethodnog zadatka..4 a) P (x) = (x ) + (x ) + ; b) P (x) = (x ) 4 + (x ) (x ) 7(x ); v) P (x) = (x + ) 5 (x + ) 4 + (x + ) + (x + )..5 a) P (x) = x 4x + 5; b) P (x) = x x + ; v) P (x) = x x + ;.6 a =, b =, P (x) = x + x +..7 Neka je P (x) = ax 4 + bx + cx + dx + e. Iz uslova P () = P ( ) i P () = P ( ) dobijamo sistem b + d = 0, 8b+d = 0, qije je rexenje b = d = 0. Znaqi P (x) = ax 4 +cx +e. Odatle direktno sledi P (x) = P ( x)( x R)..8 Iz P (x) = P ( x) nakon izjednaqavanja koeficijenata i rexavanja homogenog sistema, dobija se P (x) = ax 4 ax + bx + (a b)x + c, a, b, c R, a 0..9 Kada bi postojao Q(x) bi bio polinom drugog stepena Q(x) = ax +bx+c. Odredimo kompoziciju (Q Q)(x) = a(ax + bx + c) + b(ax + bx + c) + c = a x 4 + a bx + (a c + ab + ab)x + (abc + b )x + (ac + bc + c). Izjednaqavanjem koeficijenata dobijamo a =, b =, c = 8 iz koeficijenata najstarija tri qlana, ali to se ne slaжe sa narednim jednaqinama abc + b =, ac + bc + c =, pa ne postoji takav polinom Q..0 Q(x) = ax + a, a R.. Dobije se sistem koji nema rexenja (kao u zadatku.9).. a) Ako je deg P = n, deg Q = m tada mora da vaжi n + m = nm, n, m N 0. Trivijalno rexenje n = m = 0 daje P =, Q = c, c R. Imamo i netrivijalno rexenje ove jednaqine n = m =. Tada su P (x) = ax + bx + c i Q(x) = dx + ex + f. Iz uslova P Q = P Q, kada izjednaqimo koeficijente, dobijamo sistem: ad = ad, ade = ae+bd, ae +df +bd = af +be+cd, aef +be = bf +ce, af +bf +c = cf. Njegovo rexenje je d =, b = ae, f = e, c = 0, tj. traжeni polinomi su P = x + aex, Q = x + ex e, a, e R, a 0. Pored ovih rexenja imamo i rexenje P = 0, Q je proizvoljan polinom. b) Iz a) dobijamo da su rexenja P = Q = x, P = Q = i P = Q = 0. P () P ( ) = Sliqno kao i u zadatku.5 dobijamo a b P (a) P (b) = b c P (b) P (c) = c a P (c) P (a) = a b. Iz ovog niza jednakosti sledi da je a b = ±(b c) i a b = ±(c a). Ako je a b = c b onda je a = c xto daje kontradikciju sa qinjenicom da su brojevi a, b, c razliqiti. Ako je a b = a c onda je b = c xto je opet kontradikcija. Ako je a b = b c i a b = c a onda iz prve jednaqine dobijamo a c = (a b), a iz druge a c = b a odakle je a b = 0, tj. a = b. Kako smo u svim sluqajevima dobili kontradikciju, polazna pretpostavka ne moжe da vaжi, pa ne postoji takav polinom. 6

7 . Koliqnik je Q(x) = x + x + 8, a ostatak je R(x) = 9. Ovaj rezultat moжemo dobiti obiqnim deljenjem polinoma ili primenom Hornerove xeme.. Koliqnik je Q(x) = x + x + x +, a ostatak je R(x) = x +.. Iz jednakosti P (x) = (x + )Q (x) + i P (x) = (x )Q (x) uvrxtanjem x = tj. x = dobijamo sistem + a + b =, 4 a + b =, qija su rexenja a = 4, b =..4 Ostatak je R(x) = x Ostatak je R(x) = x b a b r a + x a b a r b..6 { Po Bezuovom stavu imamo da iz P () = n + n = 0 sledi da x deli P (x). Kako je P (0) = ( ) n + n = 0 za n parno to je za n parno P (x) deljiv sa x, a za n neparno nije. Stoga je i P (x) deljiv polinomom za n neparno Q(x) ako i samo ako je n paran broj..7 Za svako n..8 a =, b =..9 Ostatak je R(x) = 4x Ostatak je r =.. a = 6, b =, c = 6.. a) Na osnovu Bezuovog stava imamo da je ostatak jednak P ( ) = = 0 +. b) Ostatak pri deljenju polinomom Q = x je isti kao i ostatak pri deljenju polinomom Q = x (samo je koliqnik u ovom sluqaju dva puta ve i). Stoga je traжeni ostatak jednak P ( ) = = 0. v) Sliqno kao pod a) i b) ostaci pri deljenju polinoma P sa x i x + jednaki su P () = = 0 i P ( ) = + + =, respektivno. Sada iskoristimo rezultat zadatka.5 i ostatak je R(x) = 0 4 x P (x) = (x + )(x + )Q(x) + ax + bx + c. Odmah imamo da je ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x + jednak P ( ) = 4 = a b+c. Grupisanjem dobijamo P (x) = (x +)[(x+)q(x)+a]+bx+c a, pa je x+ = bx+c a ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x +. Iz ove dve jednaqine se dobija rexenje a =, b =, c = 9, tj. traжeni ostatak je R(x) = x + x R(x) = x + x + x Stavimo smenu x = y. Imamo da je P (x) = y n y n y i Q (y) = y = (y )(y + ). Iz P ( ) = n 0 sledi da Q (y) ne deli P (y), tj. P (y) nije deljiv sa Q(y)..6 Iz deljivosti polinoma P (x) sa x dobijamo da je P () = 0. Kako je P ( x) = P (x) dobijamo P ( ) = 0, pa je P (x) deljiv i sa x +, tj. deljiv je sa (x )(x + ) = x..7 Iz postavke zadatka imamo da je zbir koeficijenata na parnim mestima jednak zbiru koeficijenata na neparnim mestima, a odatle se dobija P ( ) = 0 i P () =. Sada se iz izraza P (x) = (x )Q(x) + R(x), gde je R(x) = ax + b ili direktnom primenom rezultata zadatka.5 dobija R(x) = x +..8 Mogu e je u sva tri sluqaja: P (x) = x + 5, P (x) = x, Q(x) = x + tada Q P + P. P (x) = x, P (x) = x +, Q(x) = x + x tada Q P + P. P (x) = x +, P (x) = x, Q(x) = x tada Q P (P )..9 Uvedimo pomo ni polinom Q(x) = P (x) p. Kako je Q() = Q() = Q() = Q(4) = 0, to je mogu e Q predstaviti u obliku Q(x) = (x )(x )(x )(x 4)T (x). Ako bi bilo P (a) = p Q(a) = p, tj. imali bismo da broj p dele sva qetiri broja a, a, a i a 4 xto je nemogu e jer su { p,,, p} jedini delioci prostog broja p..0 Zadatak ima dva rexenja: a = 7, b = i a =, b =.. Stavivxi (x + x + a)(x + kx + lx + m) = x 6 + x + a, dobijamo kontradiktoran sistem jednaqina.. a) 09; b) 00; v) 66.. a) P (x) = (x ) + (x ) + ; b) P (x) = (x + ) 4 5(x + ) + (x + ) + 6(x + ) 4; v) P (x) = (x ) 5 + 0(x ) (x ) + 59(x ) + 757(x ) a) NZD(P, Q) =, S(x) = x, T (x) = x x + ; b) NZD(P, Q) = x +, S(x) = 8 (x ), T (x) = 8 ( x + x + ); v) NZD(P, Q) = x x +, S(x) = x, T (x) = (x x + )..6 x x +..8 Jeste za svako p..9 Ako je a = b, onda je P n+ = 0. Neka je zato a + b 0. Za n = dobija se da je P (x) = [x +(a+b)x+ab] (a+b) = (a+b)(x+a)(x+b). Dakle nule polinoma P su x = a i x = b. Kako je P n+ ( a) = b n+ + a n+ a n+ b n+ = 0 i P n+ ( b) = a n+ + b n+ a n+ b n+ = 0, vidimo da su x = a i x = b nule i polinoma P n+, pa P (x) P n+ = 0, xto je i trebalo dokazati. Za n = dobija se polinom P 5 (x) = 5(a + b)[x 4 + (a + b)x + (a + b) x + (a + b) x + ab(a + ab + b )]. P 5 : P = 5 [(x + (a + b)x + (a + ab + b )]. Nule ovog koliqnika su x i x 4 xto sa prethodno nađenim nulama daje skup rexenja jednaqine P 5 = 0: x = a, x = b, x,4 = a + b ± i 4 (a + b ) + ab. 7

8 . a) k = ; b) k = ; v) k = ;. P (x) = a(x + )(x )(x + ) = ax 4 + ax ax ax 8a, a R, a 0.. P (x) = x 4 + 0x + 6x + 56x +..4 Zajedniqke nule polinoma P i Q su rexenja jednaqine NZD(P, Q) = 0. a) x, = ±i; b) x =, x =..5 Broj x = a je nula reda kl polinoma P Q i nula reda k polinoma P + Q..6 P (x) = x (x x) x(x x)+(x x)+. Kako je α α =, imamo P (α) = α α + + = (α α)+8 = + 8 = 7..7 R(x) = x 6x Napiximo polinom P u obliku P (x) = x n ax(x n ) = (x )[x n x + ax(x n x + )]. Da bi polinom u uglastoj zagradi bio deljiv sa x, potrebno je i dovoljno (po Bezuovom stavu) da bude n a(n ) = 0. Dakle P (x) je deljiv sa (x ) za proizvoljno n > i a = n n..9 a = 7, b = 60. Koreni polinoma P su x =, x = 4, x = 5..0 Iz jednakosti (x )(x α)(x α+) = x +ax +4x+b se dobija sistem a = α, 4 = α +α 4, b = α +4α. Ovaj sistem ima dva rexenja u skupu Z: α =, a = 4, b = 0 i α = 4, a = 8, b = 48, a odgovaraju i koreni jednaqine su x = 0, x =, x = i x = 6, x = 4, x =.. Ima dva rexenja: a = 9, b = 4 i a = 9, b = 4, a odgovaraju e nule polinoma su x =, x =, x = 4 i x = 4, x =, x =.. Ako je q neparan, neparni su mu i svi delioci, pa bi i rexenje, oznaqimo ga sa x 0 moralo biti neparno. A kako je to koren jednaqine moralo bi da vaжi x 0 + x 0 + q = 0, xto je nemogu e jer suma tri neparna broja ne moжe biti jednaka nuli.. Ako među korenima polinoma P imamo dva suprotna broja λ i λ i preostali koren nek je µ, tada se p moжe predstaviti u obliku P (x) = (x λ)(x + λ)(x µ). Kad izjednaqimo koeficijente dobija se a = µ, b = λ, c = λ µ, a odatle se direktno dobija da je ab = c. Ako je ab = c, tada imamo da je P (x) = (x + b)(x + a), a kako su rrexenja jednaqine x + b = 0 suprotni brojevi, to dobiajmo da među korenima P postoje dva suprotna broja..4 Neka je x Z rexenje. Iz Bezuovog stava imamo f(x) = (x x )q(x). Tada iz uslova da je f(0) = x q(0) neparan dobijamo da je x neparan. Iz uslova da je f() = ( x )q() neparan dobijamo da je x neparan, xto je nemogu e, pa f nema celobrojnih korena..5 Sliqno kao prethodni primer. Neka je x Z rexenje. Tada je f(x) = (x x )q(x). Kad tu zamenimo redom x =,, i izmnoжimo te jednakosti dobija se f() f() f() = ( x )( x )( x )q()q()q(), a ta jednakost nije mogu a jer je taqno jedan od brojeva x, x, x koji javljaju na levoj strani jednakosti deljiv sa, proizvod f() f() f() sa desne strane nije deljiv sa iz uslova zadatka. Kontradikcija..6 Neka je x Z nula polinoma P (x) = a n x n a x + a 0. Prikaжimo je u obliku x = nk + r, k Z, 0 r n. Tada je P (r) = P (r) 0 = P (r) P (x ) = (a n r n a r + a 0 ) [a n (nk + r n a (nk + r) + a 0 ]. Oduzimanjem a 0 se ukida, ponixtavaju se qlanovi oblika a i r i, a od preostalih svaki sadrжi n kao faktor, pa moжemo pisati P (r) = nc, gde je c neki ceo broj razliqit od nule (jer je iz postavke zadatka P (x) 0, za x = 0,,..., n ). Ali tada odbijamo kontradikciju sa drugom polaznom predpostavkom: P (x) < n, za x = 0,,..., n..7 Koristiti binomni obrazac i uslove zadatka..8 Neka je α nula polinoma P (x) = a n x n + a n x n a x + a 0 sa celobrojnim koeficijentima. Tada je m α nula polinoma Q(x) = a n x mn + a n x m(n ) a x m + a 0..9 Iz P (x ) = x 4 P ( x ) direktno sledi da je x 0 koren jednaqine da je tada i x koren te jednaqine..0 a =, b = 4.. Treba proveriti jesu li x = ± ili x = ± p koreni polinoma P. Za x = imamo P () = 0. Za + = 0, odnosno, p 4 p + p + = 0, a ova jednaqina nema celobrojnih korena (jedini kandidati ± se lako odbace). Analogno se pokazuje i da x = p nije koren.. Od kandidata za koren odmah emo odbaciti pola: x =,, p, p jer je za njih f(x) = px + x + > 0. Dalji postupak je potpuno isti kao u prethodnom zadatku i na kraju se dobije da ni za jedan prost brost broj p data jednaqina nema racionalni koren ( nije prost broj!).. x =, x =, x =..4 P (x) = (x )(x )(x 4)..5 Kako je polinom moniqan, to je njegov najstariji koeficijent a n =. Stoga ako bi imao racionalnih nula one bi bile celobrojne, a kako je u postavci dato da P nema celobrojnih nula, to dobijamo da su sve realne nule tog polinoma iracionalni brojevi..6 Neka je x = n p. To je rexenje jednaqine x n p = 0. Racionalni kandidati za koren ove jednaqine su: { ± i ±p. Ali kako je P () = p < 0, P ( ) = ± p < 0, P (p) = p n p > 0 i P ( p) = ( p) n p = p n p > 0 za n parno p n to dobijamo da je x p < 0 za n neparno = n p iracionalan broj. x = imamo P ( ) = p + < 0. Da bi x = p bio koren treba P ( p ) = 0, tj. p 4.7 Isti dokaz kao u prethodnim zadacima..8 Uvedimo pomo ni polinom Q(x) = P (x). Kako su mu nule x = a, x = b i x = c on se moжe predstaviti u obliku Q(x) = (x a)(x b)(x c)r(x). Tada je P (x) = (x a)(x b)(x c)r(x) +. Ako bi P imao celobrojnu p p 8

9 nulu x = d tada bi vaжilo 0 = P (d) = (d a)(d b)(d c)r(d) +. Ali u tom sluqaju dobijamo da postoje razliqita broja d a, d b i d c koji dele xto je kontradikcija..9 a) Nule polinoma Q (x) su x a, x a,..., x n a. b) Nule polinoma Q (x) su x, x,..., x n. v) Nule polinoma Q (x) su x, x,..., x n. g) Nule polinoma Q 4 (x) su bx, bx,..., bx n..0 Neka je P (a) = P (b) = P (c) = za razliqite brojeve a, b, c. Pretpostavimo da je P (d) =, tada je = P (a) P (d) = (a d) m, m Z (vidi zadatak.5). Odatle sledi da je a d = ±. Analogno se dobijaju b d = ± i c d = ±. Odatle se dobija da su bar dva od brojeva a, b, c jednaka xto je u kontradikciji sa pretpostavkom zadatka.. Pretpostavimo da postoje R, S takvi da je P (x) = R(x) S(x). Iz P (a i ) = = R(a i ) S(a i ) dobijamo R(a i ) = S(a i ), tj. R(a i ) + S(a i ) = 0, pa polinom R(x) + S(x) ima n nula (a i ), a stepen mu je manji od n pa po zadatku. dobijamo da je R(x) + S(x) = 0. Tj. dobili smo da je P (x) = R(x), ali to je nemogu e jer smo dobili da je P (x) 0 x, a treba P (x) kad x..4 Ako u datu jednaqinu uvrstimo x = 0 dobijamo P (0) = 0. Ako uvrstimo x = dobijamo P () = 0. Ako uvrstimo x = dobijamo P () = P (0) = 0. P () nije jednoznaqno određen, a od njegovog izbora zavise P (4), P (5),... Na osnovu Bezuovog stava imamo da je P (x) = x(x )(x )Q(x). Kada ovo uvrstimo u uslov zadatka dobijamo x(x )(x )(x )Q(x ) = (x )x(x )(x )Q(x), tj. Q(x ) = Q(x). Na osnovu zadatka. dobijamo da je Q(x) = c. Stoga su sva rexenja polazne jednaqine polinomi P (x) = cx(x )(x ), c R..5 Ako u datu jednaqinu uvrstimo x = dobijamo P (0) = 0. Ako uvrstimo x = dobijamo P () = P () = 0. Ako u datu jednaqinu uvrstimo x = dobijamo P () = 0. Ako uvrstimo x = 4 dobijamo P (4) = P () = 0... Kako je P (n) = n n P (n ) za n 4 to nam P () = 0 P (4) = 0 P (5) = 0... Matematiqkom indukcijom moжemo pokazati da je P (n) = 0, n N. Na osnovu zadatka. dobijamo da je P (x) = 0 i to je jedino rexenje..6 Polinom nema realnih nula (ako bi imao imao bi beskonaqno mnogo realnih nula jer P (x) = 0 povlaqi P (x + x + ) = 0). Ovaj polinom je ili konstanta ili ima kompleksnih nula. Ako je konstanta P (x) = c, onda je c = c, tj. imamo rexenja P (x) = 0, P (x) =. Ako ima kompleksan koren a + bi onda su mu koreni i a bi (zbog osobina kompleksnih korena) i a bi i a + bi (ove dva zbog parnosti funkcije: funkcija je parna jer je P (x) P (x + ) = P (x + x + ) = P ( x) P ( x ) za beskonaqno mnogo vrednosti). Neka je a 0, b > 0 (ako nije zamenimo koren sa nekim od preostala tri korena). Kad zamenimo koren a+bi u x +x+ i izraqunamo kvadrat modula tog kompleksnog broja on je jednak (b 4 b + ) + (a + b ) + (a 4 + a + a + a + a b + ab ) (a + b ). Kako u gornjoj nejednakosti treba da vaжi jednakost (da ne bismo imali beskonaqno kompleksnih korena) to mora da bude ispunjeno b = a = 0. Dobili smo da su jedine nule ±i pa je u ovom sluqaju rexenje P (x) = (x + ) n..7 Svi koreni su negativni jer x 0 P (x) > 0. Oznaqimo te korene sa x, x..., x n. Neka je y k = x k > 0, k =,..., n. Tada je P (x) = (x + y )(x + y )... (x + y n ). Ako primenimo nejednakost aritmetiqke i geometrijske sredine dobijamo + y k = + + y k y k, pa je P () n y y... y n. Iz Vietovih formula imamo da je x i = ( ) n y i =, jer su y k > 0. Kad to uvrstimo u prethodnu nejednakost dobijamo P () n..8 Fiksiramo x = a. Tada rexavamo diferencnu jednaqinu P k+ (a) = a P k+ (a) P k (a), P 0 (a) =, P (a) = a. Njeno rexenje je P k (a) = (a + a ) k + (a a ) k. Za a P k (a) > 0. Za a i k parno P k (a) > 0. Za a P k (a) < 0. Stoga dobijamo da su sve realne nule a <..9 Posmatrati pomo ni polinom Q(x) = P (x) n. Nule su mu razliqiti brojevi x, x..., x n Z. Tada je Q(x) = A(x x )(x x )... (x x n ). Slobodan qlan polinoma Q je Q(0) = n, pa iz Vietovih formula dobijamo x x... x n = ( ) n ( n) A, tj. n = ( )n+ x x... x n = ( ) n+ x x... x n n (jer su najvixe dva korena x k manja od po apsolutnoj vrednosti). n n n 4. Za n = imamo da je Q(x) = x ili Q(x) = x +, tj. rexenja koja odgovaraju su x = i A =, odnosno x = i A =. Za n = imamo da je Q(x) = x + x ili Q(x) = x x ili Q(x) = x + x ili Q(x) = x x rexenja koja odgovaraju x =, x = i A =, tj. x =, x = i A =,tj. x =, x = i A =, tj. x =, x = i A =. Za n = imamo da je Q(x) = x + x x ili Q(x) = x + x + x rexenja koja odgovaraju x =, x =, x = i A =, tj. x =, x =, x = i A =. Za n = 4 imamo da je Q(x) = x 4 + 5x 4 rexenje koje odgovara x =, x =, x =, x 4 = i A =. Rexenja su: P (x) {±x, x ± x, x ± x, ±x + x x, x 4 + 5x }..40 P 7 (x) = Q(x) R(x) i neka je < deg R < 4 deg Q. R(x i ) = ± pa R ima bar u qetiri taqke vrednost (ili i tad razmatranje ide potpuno analogno) pa po zadatku. dobijamo da je R =. Tad je = deg R, pa smo dobili da je polinom P nemogu e rastaviti na proizvod dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima. 9

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija. Teorijski uvod

IspitivaƬe funkcija. Teorijski uvod IspitivaƬe funkcija Teorijski uvod IspitivaƬe funkcija je centralni i svakako najbitniji deo svakog kursa matematike. On daje matematiqku osnovu za skiciraƭe grafika na osnovu matematiqke formule određenih

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA 1. Grupe. Konaqno generisane Abelove grupe. Zoran Petrovi 11. i 18. decembar ρ = 0. nρ = 0

ALGEBRA 1. Grupe. Konaqno generisane Abelove grupe. Zoran Petrovi 11. i 18. decembar ρ = 0. nρ = 0 ALGEBRA 1 Grupe Konaqno generisane Abelove grupe Zoran Petrovi 11 i 18 decembar 2012 Podsetimo se diedarske grupe: Njena abelizacija zadata je sa: D n = σ, ρ σ 2 = ε, ρ n = ε, σρ = ρ n 1 σ D Ab n = σ, ρ,

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016.

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016. Prvi razred A kategorija 1. Neka je operacija,, na skupu G = {1, 2, 3,..., 2016} zadata donjom tablicom. 1 2 3 4 2016 1 5 5 5 5 5 2 1 2 5 5 5 3 4 3 5 5 5 4 5 5 5 5 5......... 2016 5 5 5 5 5 (Unutar tablice

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Tejlorova formula i primene

Tejlorova formula i primene MATEMATIQKA GIMNAZIJA Maturski rad iz matematike Tejlorova formula i primene Uqenik Benjamin Linus Mentor mr Srđan OgƬanovi Beograd, 007 Sadrжaj Uvod 3 Tejlorova formula 4 Tejlorova formula za polinome

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2 Mr VENE T BOGOSLAVOV ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 5 ispravljeno izdanje ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija

REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija . REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA,.0.009. Prvi razred, A kategorija Kako je A sredite duжi MN, sledi da je XA = XM + XN. Analogno je XB = XR + XS. XP + XQ i XC

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka zadataka iz Matematike I

Zbirka zadataka iz Matematike I UNIVERITET U NOVOM SADU TEHNOLOŠKI FAKULTET Tatjana Došenović Dušan Rakić Aleksandar Takači Mirjana Brdar birka zadataka iz Matematike I - za studente Tehnološkog fakulteta - Novi Sad, 008. UNIVERITET

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

uniformno konvergira na [ 2, 2]?

uniformno konvergira na [ 2, 2]? Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 27.6.2015. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati diferencijabilnost funkcije u = u(x, y, z) u taqki (0, 1, 2). 2. Definisati

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Topologije A

Zadaci iz Topologije A Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Živinice 1.4.014. ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

SADRŽAJ 8. LITERATURA...

SADRŽAJ 8. LITERATURA... SADRŽAJ 1. UVOD 2. Polinomi. 3. Racionalne funkcije. 4. Stepene funkcije... 5. Logaritamske funkcije... 6. Trigonometrijske funkcije.. 7. Inverzne fukcije. 8. LITERATURA... 1 UVOD Elementarne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Prosti brojevi. Uvod

Prosti brojevi. Uvod MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Projektivna geometrija

Projektivna geometrija Projektivna geometrija Autor: Vladica Andreji Zbirka zadataka baziranih na veжbama drжanih sezone 2004/05 Analitiqki pristup. Osnovna teorema, dvorazmera 27. mart 2005. Zadatak. Taqke 0, i afinog sistema

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su Poglavlje 1 Brojevi i brojni sistemi Cvetana Krstev 1.1 O brojevima Prirodni brojevi su brojevi sa kojima se broji, uključujući i nulu: 0, 1, 2, 3,.... Pojam pozitivnih i negativnih brojeva nije definisan

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα