POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti"

Transcript

1 POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za svako a R vaжi: a) P (a) + P ( a) = ; b) P ( + a) + P ( a) = 6 + 6a ; v) Q(a) Q( a) = 0; g) Q( + a) Q( a) = 8a ; d) R(a) R( a) = a ; đ) R( + a) + R( a) =.. Za polinom P (x) = x x odrediti polinom Q(x) = P (x ) + P (x) + P (x + ).. Odrediti zbir P (x) + Q(x), razliku P (x) Q(x), proizvod P (x) Q(x) i linearnu kombinaciju ap (x) + bq(x) polinoma P (x) i Q(x) ako je dato: a) P (x) = x x +, Q(x) = x, a =, b = b) P (x) = x x +, Q(x) = x + x, a =, b = v) P (x) = x 6 x, Q(x) = x 5 + 4x, a =, b = g) P (x) = x + x x, Q(x) = x 4 + x + x + x +, a =, b =. 4. Odrediti zbir koeficijenata polinoma P (x): a) P (x) = (x x + ) 998 (x x + ) 0, b) P (x) = (x x + ) (x 6x + ) 999, v) P (x) = (x 5x + ) 450 (x 5x + 4) 540, g) P (x) = (x + x + ) 00 (x x + ) Dokazati da ne postoji polinom P sa celobrojnim koeficijentima za koji je ispunjeno P () = i P (5) = Dokazati da ne postoji polinom P sa celobrojnim koeficijentima takav da je P () P (7) prost broj. 7. Neka je P polinom sa celobrojnim koeficijentima. Dokazati da je za svako a Z i svako b N izraz P (a + b) + P (a b) ceo broj. 8. Neka su dati polinomi P (x) = x + x x + x 99 + x 00 i Q(x) = + x + x + x + + x 99 + x 00 i neka je P (x) Q(x) = (c 0, c,..., c 00 ). Dokazati da u prizvodu P (x) Q(x) nema qlanova sa neparnim eksponentom, tj. da su svi c k = 0, (k =,,..., 00). 9. U kojem od polinoma P (x) = ( + x x ) 000 i Q(x) = ( x + x ) 000 je koeficijent uz x 0 ve i? (x b)(x v) (x c)(x a) (x a)(x b) 0. Dokazati identitete: a) a + b + c (a b)(a v) (b c)(b a) (c a)(c b) = x ; (x a)(x b)(x v) (x b)(x c)(x g) (x a)(x c)(x g) (x a)(x b)(x g) b) (d a)(d b)(d v) (a b)(a c)(a g) (b a)(b c)(b g) (c a)(c b)(c g) =.. Odrediti polinom drugog stepena P (x) = a x + a x + a 0 takav da je: a) P () = 6, P () =, P ( ) = 8; b) P () = 4, P (0) =, P () = 9; v) P () =, P ( ) = 8, P (0) =.. Dokazati: ako polinom P, n tog stepena uzima vrednost nula za n + razliqitih vrednosti x C, tada je P nula polinom.. Dokazati: ako su P i Q polinomi n tog stepena i postoje kompleksni, međusobno razliqiti brojevi x 0, x,..., x n takvi da vaжi P (x i ) = Q(x i ) (za i = 0,,..., n), tada je P = Q. 4. a) Polinom P (x) = x x + 4x + razvijte po potencijama od x. b) Polinom P (x) = x 4 5x + 5x + x + razvijte po potencijama od x. v) Polinom P (x) = x 5 + x 4 x + x + razvijte po potencijama od x Odrediti polinom P (x) ako je a) P (x + ) = x + x + ; b) P ( x + ) = x x + ; v) P (x ) = x 6x + x Polinom P (x) = x 4 + x + ax + x + b je kvarat nekog polinoma Q(x), tj. vaжi P (x) = Q(x). Odrediti a, b i polinom Q(x). 7. P je polinom qetvrtog stepena takav da je P () = P ( ) i P () = P ( ). Dokazati da je tada P : R R parna funkcija, tj da vaжi P (x) = P ( x)( x R). 8. Odrediti polinom P qetvrtog stepena za koji je P (x) = P ( x). 9. Dat je polinom P (x) = x 4 +x +x +x+. Dokazati da ne postoji polinom Q takav da vaжi P (x) = (Q Q)(x), gde je sa oznaqena kompozicija funkcija. 0. Za linearni polinom (tj. polinom oblika P (x) = ax + b, a, b K) P (x) = x + odrediti sve linearne polinome Q za koje vaжi = (P Q)(x) = (Q P )(x). Za takve polinome kaжemo da komutiraju.. Dokazati da ne postoji polinom P prvog stepena koji komutira sa polinomom Q(x) = x.. a) Odrediti polinome P i Q za koje vaжi: P (x) Q(x) = (P Q)(x)( x); b) Odrediti polinom P za koji vaжi: P (x) P (x) = (P P )(x)( x).. Odrediti zbir koeficijenata polinoma P (x) = (x 5 + x ) 999 uz qlanove sa neparnim izloжiocima (stepenima). 4. Dokazati da ne postoji polinom P sa celobrojnim koeficijentima takav da je P (a) = b, P (b) = c, P (c) = a, gde su a, b, c tri razliqita cela broja.

2 Deljivost polinoma. Hornerova xema. Euklidov algoritam. Bezuov stav.. Odrediti koliqnik i ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x + x + x + polinomom x.. Odrediti koliqnik i ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x 5 + x 4 + x + x + polinomom T (x) = x +, ako su to polinomi nad poljem GF ().. Odrediti a, b R tako da je ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x 4 x ax + b polinomom x + jednak, a polinomom x jednak. 4. Ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom x je, a polinomom x je P (x) deljiv. Koliki je ostatak pri deljenju P (x) sa T (x) = x 5x + 6? 5. Ako polinom pri deljenju polinomom x a daje ostatak r a, a pri deljenju polinomom x b daje ostatak r b, koliki je ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom T (x) = (x a)(x b)? 6. Da li je polinom P (x) = (x + x ) n + (x x + ) n deljiv polinomom Q(x) = x x? 7. Za koje n je polinom P (x) = (x ) n + (x ) n deljiv polinomom Q(x) = x x +? 8. Odrediti a, b R tako da polinom P (x) = x + ax 5x + b bude deljiv polinomom Q(x) = x x. 9. Na i ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x 00 + x 99 + x x + 9 polinomom Q(x) = x + x. 0. Ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x + x je R(x) = x +. Odrediti ostatak pri deljenju P (x) sa x +.. Polinom P (x) = x + ax + bx + c deljiv je sa Q(x) = x x +, a pri deljenju sa T (x) daje ostatak 4. Odrediti koeficijente a, b i c.. Koliki je ostatak pri deljenju polinoma P (x) = 00 x x x + polinomom a) Q(x) = x + ; b) Q(x) = x ; v) Q(x) = x x?. Polinom P (x) pri deljenju polinomom x + daje ostatak 4, a pri deljenju polinomom x + ostatak R(x) = x +. Koliki je ostatak pri deljenju P (x) polinomom Q(x) = x + x + x +? 4. Odrediti ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x 4 +x + ako P (x) pri deljenju polinomom T (x) = x +x+ daje ostatak R (x) = x+, a pri deljenju polinomom T (x) = x x+ daje ostatak R (x) = x Da li je polinom P (x) = x 4n x 4n 4 + x 4n x deljiv polinom Q(x) = x 4? 6. Ako je polinom P (x) = x n + a x n +... a n x + a n deljiv sa x, onda je deljiv i sa x. Dokazati. 7. Zbir svih koeficijenata polinoma P (x) jednak je, a zbir koeficijenata na parnim mestima jednak je. Odrediti ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x. 8. Ako polinomi P ip nisu deljivi polinomom Q, mogu li njihov zbir P + P, proizvod P P i kompozicija P P biti deljivi sa Q? Ako je mogu e dati i primer, a ako nije dokazati da ne moжe. 9. Dokazati: ako polinom P (x) sa celobrojnim koeficijentima za x =,,, 4 uzima istu vrednost p, gde je p prost broj, onda ni za koji ceo broj a ne moжe biti P (a) = p. 0. Odrediti a, b R tako da polinom P (x) = 6x 4 7x + ax + x + bude deljiv polinomom Q(x) = x x + b.. Dokazati da polinom P (x) = x 6 + x + a nije deljiv Q(x) = x + x + a ni za jedno a R.. Korix enjem Hornerove xeme prevesti u dekadni sistem slede e brojeve: a) (0000) ; b) (0) ; v) () 5.. Primenom Hornerove xeme razviti polinom P (x) po potencijama (stepenima) od x a ako je dato: a) P (x) = x x + 4x +, a = ; b) P (x) = x 4 + x 4x + 6x 5, a = ; v) P (x) = x 5 x + 6x 8x 4, a =. 4. Ako su polinomi P (x) i Q(x) takvi da je deg P = n >, deg Q = m >, onda postoje polinomi S(x) (stepena najvixe n ) i T (x) (stepena najvixe m ), takvi da vaжi: P (x)s(x) + Q(x)T (x) = 0 ako i samo ako P i Q nisu uzajamno prosti (tj. NZD(P, Q) ). 5. Odrediti polinome S i T, tako da vaжi P S +QT = NZD(P, Q): a) P (x) = x x +x+, Q(x) = x x+; b) P (x) = x 4 + x x 6x, Q(x) = x x + x + ; v) P (x) = x 5 x 4 + x x 4, Q(x) = x 4 + x + x Za P (x) = nx n+ (n + )x n +, Q(x) = x n nx + n, n N odrediti NZD(P, Q). 7. Dokazati da su polinomi P (x) = nx n + (n )x n x + i Q(x) = x n + x n (n )x + (n ) uzajamno prosti za svako n N, n. 8. Da li je polinom P (x) = nx n+ ( + np)x n + (p )(x n + x n x) = p deljiv polinomom Q(x) = x (p + )x + p, gde je n prirodan, a p realan broj? Posebno ispitati sluqaj kada je p =. 9. Dokazati da je polinom P n+ (x) = (x + a + b) n+ x n+ a n+ b n+ deljiv polinomom P (x). Zatim rexiti jednaqinu P 5 (x) = 0.

3 Nule polinoma. Celobrojne, racionalne i kompleksne nule. Vietova pravila. Ireducibilni polinomi.. Odrediti vixestrukost nule x polinoma P (x): a) x = P (x) = x 4 9x x + 4x ; b) x = P (x) = x 5 + 5x 4 + 6x 4x 8x; v) x = P (x) = 4x + 8x + 5x +.. Odrediti polinom qetvrtog stepena kome su koreni i, a je dvostruki koren.. Odrediti moniqan polinom qetvrtog stepena P (x) ako je poznato da je x = trostruka nula polinoma P (x), a pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x + dobija se ostatak. 4. Odrediti zajedniqke nule polinoma: a) P (x) = x 4 + x + x + x +, Q(x) = x x + x ; b) P (x) = x 4 + 6x + 7x + 4x +, Q(x) = x x x Broj x = a je nula reda k polinoma P i ujedno nula reda l > k polinoma Q. Odrediti vixestrukosti nule x = a polinoma P Q i P + Q. 6. Dat je polinom P (x) = x 4 x + x x +. Neka je α koren jednaqine x x = 0. Izraqunati P (α). 7. Brojevi x = i x = su nule polinoma P, kome je slobodan qlan jednak 4. Na i ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x x + x. 8. Koje uslove je potrebno da ispunjavaju prirodan broj n i realan broj a, da bi polinom P (x) = x n ax n + ax bio deljiv polinomom Q(x) = (x )? 9. Odrediti a i b tako da jedan koren polinoma P (x) = x + 6x + ax + b bude, a ostala dva korena da budu uzastopni celi brojevi. 0. Odrediti a i b tako da je jedan koren polinoma P (x) = x + ax + 4x + b jednak, a i razlika preostala dva korena je jednaka.. Odrediti a i b tako da su koreni polinoma P (x) = x + ax + 6x + b tri uzastopna cela broja.. Dokazati da za neparan ceo broj q jednaqina x + x + q = 0 nema celobrojnih rexenja.. Da bi među korenima polinoma P (x) = x + ax + bx + c bila dva suprotna broja, potreban i dovoljan uslov je ab = c. Dokazati. 4. Dokazati da algebarska jednaqina f(x) = 0 n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima nema celobrojnih rexenja ako su brojevi f(0) i f() neparni. 5. Dokazati da algebarska jednaqina f(x) = 0 n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima nema celobrojnih rexenja ako nijedan od brojeva f(), f(), f() nije deljiv sa. 6. Polinom P n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima za x = 0,,..., n uzima vrednosti razliqite od nule i po apsolutnoj vrednosti manje od n. Dokazati da P nema celobrojnih nula. 7. Neka je P Z[x] i neka su a i b uzajamno prosti celi brojevi. Ako je P (a) deljiv sa b i P (b) deljiv sa a, dokazati da je tada P (a + b) deljiv sa ab. 8. Ako je broj α nula polinoma sa celobrojnim koeficijentima, onda je za sve prirodne m i broj m α takođe nula nekog polinoma sa celobrojnim koeficijentima. 9. Ako je x 0 koren jednaqine oblika ax 4 + bx + cx + bx + a = 0, onda je i x koren iste jednaqine. Dokazati. 0. Odrediti a, b i c tako da jedan koren polinoma P (x) = 6x + ax + bx + c bude, a ostala dva korena da budu suprotni racionalni brojevi.. Dokazati da polinom sa celobrojnim koeficijentima P (x) = px 5 (p )x +, gde je p prost broj, nema racionalnih korena.. Odrediti sve proste brojeve p za koje jednaqina px + x + = 0 ima bar jedan racionalan koren.. Odrediti racionalne nule polinoma P (x) = 6x x + 9x. 4. Rastaviti na qinioce polinom P (x) = x 7x + 4x Ako moniqan polinom P sa celobrojnim koeficijentima nema celobrojnih nula, tada su sve realne nule tog polinoma iracionalni brojevi. 6. Dokazati da za svaki prirodan broj n i prost broj p vaжi da je n p iracionalan broj. 7. Dokazati da ako je p prost broj onda polinom P (x) = x n + x n x + p nema racionalnih korena. 8. Neka je P polinom sa celobrojnim koeficijentima i neka za tri razliqita cela broja a, b i c vaжi P (a) = P (b) = P (c) =. Dokazati da P nema celobrojnih korena. 9. Dat je realni polinom P (x) = a n x n + a n x n a x + a 0. Neka su njegove nule x, x,..., x n. Odrediti nule polinoma: a) Q (x) = P (n) (a) x n + P (n ) (a) x n P (a) x + P (a)x + P (a); n! (n )!! b) Q (x) = a n x n a n x n + a n x n... + ( ) n a 0 ; v) Q (x) = a 0 x n + a x n a n x + a n ; g) Q 4 (x) = a n x n + a n bx n + a n b x n a b n x + a 0 b n, gde su a i b dati realni brojevi. 0. Ako polinom P sa celobrojnim koeficijentima uzima vrednost za tri razliqite celobrojne vrednosti, onda P ni za jedan ceo broj ne uzima vrednost. Dokazati.. Dokazati da se polinom P (x) = (x a )(x a )... (x a n ), gde su a,..., a n razliqiti celi brojevi, ne moжe prikazati u obliku proizvoda dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima.. Dokazati da se polinom P (x) = (x a )(x a )... (x a n ) +, gde su a,..., a n razliqiti celi brojevi, ne moжe prikazati u obliku proizvoda dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima.

4 . Dokazati da se polinom P (x) = (x a ) (x a )... (x a n ) +, gde su a,..., a n razliqiti celi brojevi, ne moжe prikazati u obliku proizvoda dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima. 4. Odrediti sve polinome P za koje vaжi: x P (x ) = (x ) P (x), x R. 5. Odrediti sve polinome P za koje vaжi: (x ) P (x) = (x ) P (x ), x R. 6. Odrediti sve polinome P za koje vaжi: P (x) P (x + ) = P (x + x + ), x R. 7. Neka je P (x) = x n + a n x n a x + realan polinom sa nenegativnim koeficijentima, koji ima n realnih korena. Dokazati da je P () n. 8. Niz polinoma P 0 (x), P (x),... zadat je sa P 0 (x) =, P (x) = x, P k+ (x) = x P k+ (x) P k (x)(k = 0,,...). Dokazati da se sve realne nule polinoma P k (x) nalaze u intervalu (, ). 9. Odrediti sve polinome n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima sa osobinom da u n celobrojnih taqaka imaju vrednost n, a u 0 vrednost Polinom P je sedmog stepena i u sedam razliqitih celobrojnih taqaka uzima vrednost ili. Dokazati da se polinom P ne moжe prikazati kao proizvod dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima. 4. Na i realne nule polinoma P (x) = x Odrediti realne faktore polinoma P (x) = x n +, n N. 4. Faktorisati polinom P (x) = x 4 x + x + x Jednaqina x 5 x + x 4 ima kompleksan koren qiji je argument π 4. Odrediti taj koren. 45. Na i sve realne brojeve p i q takve da polinomi P (x) = x + px + 8 i Q(x) = x + qx + imaju dva zajedniqka korena. Odrediti te korene. 46. Sve su nule polinoma P (x) = x + px + q, q 0 realne. Dokazati da je koeficijent p negativan. 47. Na i polinom tre eg stepena sa vode im koeficijentom takav da njegove nule zadovoljavaju jednakosti x + x + x =, x x + x x + x x = 4, x x x = Neka su x, x, x i x 4 koreni jednaqine x 4 + 5x + ax + x + 5 = 0. Odrediti a R tako da bude x x =. 49. Odrediti a i b tako da P (x) = x 4 + ax + bx 8x + 4 ima dve dvostruke nule. 50. Odrediti a tako da P (x) = x 4 x + ax + 6x 4 ima dva korena qiji je proizvod jednak. 5. Rexiti jednaqinu x 4 + x + x + x + 4 = 0 ako se zna da ona ima jedan kompleksan koren qiji je realan deo jednak imaginarnom delu. 5. Koreni polinoma Q(x) = x + x su kompleksni brojevi a i b i realan broj c. Odrediti polinom drugog stepena P za koji je P (c) = c, P (a) = b, P (b) = a i dokazati da je polinom P (P (x)) x deljiv polinomom Q(x). 5. Dokazati da je polinom P (x) = (x + ) 6m+ (x + ) 6n+ + (x + ) 6p+ (m, n, p N 0 ) deljiv polinomom Q(x) = x + x Neka su P, q i r prirodni brojevi. Pod kojim uslovom je polinom P (x) = x p + ax q+ + x r+ deljiv polinomom Q(x) = x + ax + ako je a) a = ; b) a =? 55. Odrediti dovoljan uslov pod kojim je polinom P (x) = x n +...+x+ deljiv polinomom Q(x) = x m +...+x Dat je polinom P (x) = 4x 5 4x 4 + 5x 6x + ax + b, gde je a, b R. Na i sve nule polinoma P ako se zna da je + i jedna nula i da postoji bar jedna racionalna nula. 57. Ako jednaqina x + ax + b = 0 ima racionalne korene p, q i r, dokazati da jednaqina py + qy + r = 0 takođe ima racionalne korene. 58. Odrediti vixestruke nule polinoma P (x) = x + x x. 59. Odrediti vrednost realnog parametra m tako da zbir dva korena polinoma P (x) = x 4 6x +mx x+6 bude jednak zbiru druga dva korena. 60. Koliko postoji polinoma sa kompleksnim koeficijentima P (x) = x + ax + bx + c qije su nule a, b i c? 6. Poznato je da su nule kompleksnog polinoma P (z) = z n + a n z n + + a z + a 0 kompleksni brojevi α, α,..., α n. Izraqunati proizvod = (α + )(α + )... (α n + ). 6. Dokazati da ni za jedno n N polinom P n (x) = x (n) x (n ) x (n )... + x 4 x + nema realnih nula. 6. Neka su a i b koreni polinoma P (x) = x 4 +x. Dokazati da je ab koren polinoma Q(x) = x 6 +x 4 +x x. 64. Realni polinom P (x) = ax n ax n + c n x n c x n bx + b ima n pozitivnih korena. Dokazati da su svi ti koreni jednaki. 65. Dokazati da je polinom P (x) = x 5 x 4 + 6x x + 9x 6 ireducibilan nad poljem Z. 66. Rastaviti na faktore nad poljem Q polinom P : a) P (x) = x 4 x +x +x 9; b) P (x) = x 4 x +x +x 6; v) P (x) = x 4 + 4x 6x x ; g) P (x) = x 5 + 4x 4 + x x + x Dokazati da su polinomi P (x) = x n ireducibilni nad Q za sve prirodne n. 68. Dokazati da je polinom P (x) = + x + x + + x p ireducibilan nad Q za svaki prost broj p. 69. Na i najmanja tri prirodna broja n za koje je polinom P (x) = + x + x + + x n reducibilan nad Q. 70. Dokazati da je polinom P (x) = x 4 + px + q, p, q Q reducibilan nad Q ako je ispunjen jedan od ova dva uslova: o p 4q je kvadrat racionalnog broja, o q je kvadrat racionalnog broja r, r p je kvadrat racionalnog broja. 7. Pokazati da su polinomi ireducibilni nad Q: a) P (x) = x 4 8x +x 6x+; b) P (x) = x 5 x +6x ; v) P (x) = x 4 x + x + ; g) P (x) = x p px + p, gde je p prost broj. 4

5 4 Analitiqke osobine polinoma. Tejlorov polinom.. Dokazati da polinom P (x) = x 5 + x 0 ima bar jednu iracionalnu nulu.. Rexiti nejednaqinu 6x 7 x +x+ < x.. Odrediti polinom P qetvrtog stepena ako je poznato da je njegov drugi izvod P (x) = x + 6x + 4 i da P (x) P (x). 4. Dokazati da polinom f(x) = + x! + x! + x4! + xn n! nema vixestrukih nula. 5. Ako je a vixestruka nula polinoma P (x), onda je a i vixestruka nula polinoma Q(x) = P (x) + (P (x)). Dokazati. 6. Dokazati da polinom P (x) = x 4x + 7x nema nula u intervalu (0, ). 7. Neka je P polinom stepena n >. Odrediti red nule x = a polinoma Q(x) = (x a)[p (x)+p (a)] P (x)+p (a). 8. Odrediti realan broj a tako da x = bude nula polinoma P (x) = x n ax n+ + (n )x n ax n +, a zatim odrediti red k nule x =. 9. Dokazati da je realan polinom P deljiv svojim izvodnim polinomom, P, ako i samo ako je P (x) = a n (x x 0 ) n, gde su a n, x 0 R. 0. Odrediti polinom sedmog stepena P koji zadovoljava uslove (x ) 4 P (x) + i (x + ) 4 P (x).. Odrediti polinom qetvrtog stepena P koji zadovoljava uslove (x ) P (x) 8 i (x + ) P (x) Realni polinom P qetvrtog stepena ima dvostruku nulu x =, a polinom Q(x) = P (x) + 4 ima dvostruku nulu x =. Odrediti polinom P ako je Q(0) =.. Odrediti broj realnih korena jednaqine P (x) = x 4 4x x + a u zavisnosti od realnog parametra a. 4. Neka je an n+ + an n + + a + a 0 = 0. Dokazati da polinom P (x) = a n x n a x + a 0 ima bar jednu nulu na intervalu [0, ]. 5 Racionalne funkcije.. Razloжiti slede e racionalne funkcije na zbir polinoma i prave racionalne funkcije: a) R(x) = x4 x + 4 ; b) R(x) = x 7x + 6 x + x ; v) R(x) = x5 + 5x 4 + 5x + 5x + 5x + x. x +. Predstaviti prave racionalne funkcije u obliku zbira parcijalnih razlomaka: x + a) R(x) = (x )(x )(x ) ; b) R(x) = x x 4x + ; v) R(x) = x x x + 60 ; g) R(x) = x + x + (x ) ; d) R(x) = 5x4 x 5 (x + 5) ; đ) R(x) = x4 + x + x + 5x + 0 (x + ) (x 4) ; e) R(x) = z) R(x) = x + ; i) R(x) = x4 + 0x 45x + x + 58 (x )(x + ) (x x + ) x + x + x x ; ж) R(x) = x + x + x + 7 (x + ) (x + 4) ; ; j) R(x) = x6 + 8x 4 + 7x 7x + 69x 99 (x ) (x + 9). x +. Racionalnu funkciju R(x) = (x + 4x + 5)(x predstaviti kao zbir: a) parcijalnih razlomaka; + ) b) razlomaka qiji su imenioci polinomi prvog stepena. 4. Dokazati da za date realne brojeve A, a, a,..., a n (brojevi a i su međusobno razliqiti) postoje realni A brojevi A, A,..., A n, takvi da vaжi jednakost: (x + a )(x + a )... (x + a n ) = A x + A + a x A n + a x. + a n 5. Rastaviti na zbir parcijalnih razlomaka slede e funkcije: a) (x + 4)(x + ) ; b) a + b + c (x + a )(x + b )(x + c ), gde su a, b, c R i a, b, c međusobno razliqiti brojevi. 6. Dokazati da za svaki prirodan broj n vaжi n (x + )(x + )... (x + n) = i= ( n i ) ( ) i, gde je x R \ Z. x + i 5

6 6 Rexenja zadataka, uputstva i rezultati.. Svi identiteti vaжe.. Q(x) = x + x.. a) P + Q = x, P Q = x x +, P Q = x 7x + x, P + Q = 9x x ; b) P + Q = x x, P Q = 4x +, P Q = x 4 x x + 4x, P Q = x 9x + 5; v) P + Q = x 6 +x 5 x +4x, P Q = x 6 x 5 x 4x+, P Q = 6x x 7 6x 6 x +9x, P Q = x 6 6x 5 x 8x+6; g) P + Q = x 4 + x x +, P Q = x 4 x x, P Q = x 7 x 5 x 4 x x x, P Q = x 4 + x 5x + 4x..4 Zbir koeficijenata polinoma P (x) = a n x n a x + a 0 jednak je P () = a n... + a + a 0. Stoga imamo: a) = 04; b) ( ) 999 = 0; v) ( ) 450 ( ) 540 = ; g) = 0..5 Ako je P (x) = a n x n a x + a 0, a i Z, onda je razlika P (5) P () deljiva sa 5 =, jer je P (5) P () = a n (5 n n ) + a n (5 n n ) a (5 ). Kako je P (5) P () = 5, xto nije deljivo sa, to dobijamo da takav polinom ne postoji..6 Na osnovu prethodnog zadatka dobijamo da ako postoji polinom sa celobroj- nim koeficijentima tada je P () P (7) uvek deljivo sa 4, pa ne moжe biti prost broj..7 Pokazati matematiqkom indukcijom ili uz pomo binomnomnog obrasca da je (a + b) k + (a b) k ceo broj za svako prirodno k..8 P (x) (x) = [ + x x 00 x( + x x 98 )] [ + x x 00 + x( + x x 98 )] = ( + x x 00 ) x ( + x x 98 ) i sad je oqigledno da ima samo parne stepene..9 Kako polinom P ( x) ima isti koeficijent kao i polinom P (x) uz x 0 i Q( x) kao i Q(x), problem se svodi na posmatranje polinoma P ( x) = ( + x + x ) 000 i Q( x) = ( x x ) 000. Svi qlanovi u P ( x) su pozitivni i sabiraju se, dok su neki qlanovi u Q( x) sa negativnim predznakom, tako da e se neki qlanovi međusobno pokratiti. Stoga je koeficijent uz x 0 ve i u P ( x) nego u Q( x), tj. ve i je u P (x) nego u Q(x)..0 a) Ako x prebacimo na drugu stranu, dobijamo polinom drugog stepena, koji je nula polinom jer uzima vrednost 0 za tri razliqite vrednosti: x = a, x = b, x = c. b) Prebacimo na drugu stranu i dobijamo polinom P tre eg stepena za koji je P (a) = P (b) = P (c) = P (d) = 0, te je nula polinom.. a) P (x) = x x + 5; b) P (x) = x x + 5; v) P (x) = x x Ako traжimo koeficijente polinoma P dobi emo homogen sistem od n + jednaqina sa n + nepoznatih, qija je determinanta sistema razliqita od nule jer je to Vandermondova determinanta za n + razliqitih vrednosti. Stoga sistem ima jedinstveno rexenje. To je trivijalno rexenje, pa je polinom P nula polinom.. Posmatra se novi polinom P Q i primeni se rezultat prethodnog zadatka..4 a) P (x) = (x ) + (x ) + ; b) P (x) = (x ) 4 + (x ) (x ) 7(x ); v) P (x) = (x + ) 5 (x + ) 4 + (x + ) + (x + )..5 a) P (x) = x 4x + 5; b) P (x) = x x + ; v) P (x) = x x + ;.6 a =, b =, P (x) = x + x +..7 Neka je P (x) = ax 4 + bx + cx + dx + e. Iz uslova P () = P ( ) i P () = P ( ) dobijamo sistem b + d = 0, 8b+d = 0, qije je rexenje b = d = 0. Znaqi P (x) = ax 4 +cx +e. Odatle direktno sledi P (x) = P ( x)( x R)..8 Iz P (x) = P ( x) nakon izjednaqavanja koeficijenata i rexavanja homogenog sistema, dobija se P (x) = ax 4 ax + bx + (a b)x + c, a, b, c R, a 0..9 Kada bi postojao Q(x) bi bio polinom drugog stepena Q(x) = ax +bx+c. Odredimo kompoziciju (Q Q)(x) = a(ax + bx + c) + b(ax + bx + c) + c = a x 4 + a bx + (a c + ab + ab)x + (abc + b )x + (ac + bc + c). Izjednaqavanjem koeficijenata dobijamo a =, b =, c = 8 iz koeficijenata najstarija tri qlana, ali to se ne slaжe sa narednim jednaqinama abc + b =, ac + bc + c =, pa ne postoji takav polinom Q..0 Q(x) = ax + a, a R.. Dobije se sistem koji nema rexenja (kao u zadatku.9).. a) Ako je deg P = n, deg Q = m tada mora da vaжi n + m = nm, n, m N 0. Trivijalno rexenje n = m = 0 daje P =, Q = c, c R. Imamo i netrivijalno rexenje ove jednaqine n = m =. Tada su P (x) = ax + bx + c i Q(x) = dx + ex + f. Iz uslova P Q = P Q, kada izjednaqimo koeficijente, dobijamo sistem: ad = ad, ade = ae+bd, ae +df +bd = af +be+cd, aef +be = bf +ce, af +bf +c = cf. Njegovo rexenje je d =, b = ae, f = e, c = 0, tj. traжeni polinomi su P = x + aex, Q = x + ex e, a, e R, a 0. Pored ovih rexenja imamo i rexenje P = 0, Q je proizvoljan polinom. b) Iz a) dobijamo da su rexenja P = Q = x, P = Q = i P = Q = 0. P () P ( ) = Sliqno kao i u zadatku.5 dobijamo a b P (a) P (b) = b c P (b) P (c) = c a P (c) P (a) = a b. Iz ovog niza jednakosti sledi da je a b = ±(b c) i a b = ±(c a). Ako je a b = c b onda je a = c xto daje kontradikciju sa qinjenicom da su brojevi a, b, c razliqiti. Ako je a b = a c onda je b = c xto je opet kontradikcija. Ako je a b = b c i a b = c a onda iz prve jednaqine dobijamo a c = (a b), a iz druge a c = b a odakle je a b = 0, tj. a = b. Kako smo u svim sluqajevima dobili kontradikciju, polazna pretpostavka ne moжe da vaжi, pa ne postoji takav polinom. 6

7 . Koliqnik je Q(x) = x + x + 8, a ostatak je R(x) = 9. Ovaj rezultat moжemo dobiti obiqnim deljenjem polinoma ili primenom Hornerove xeme.. Koliqnik je Q(x) = x + x + x +, a ostatak je R(x) = x +.. Iz jednakosti P (x) = (x + )Q (x) + i P (x) = (x )Q (x) uvrxtanjem x = tj. x = dobijamo sistem + a + b =, 4 a + b =, qija su rexenja a = 4, b =..4 Ostatak je R(x) = x Ostatak je R(x) = x b a b r a + x a b a r b..6 { Po Bezuovom stavu imamo da iz P () = n + n = 0 sledi da x deli P (x). Kako je P (0) = ( ) n + n = 0 za n parno to je za n parno P (x) deljiv sa x, a za n neparno nije. Stoga je i P (x) deljiv polinomom za n neparno Q(x) ako i samo ako je n paran broj..7 Za svako n..8 a =, b =..9 Ostatak je R(x) = 4x Ostatak je r =.. a = 6, b =, c = 6.. a) Na osnovu Bezuovog stava imamo da je ostatak jednak P ( ) = = 0 +. b) Ostatak pri deljenju polinomom Q = x je isti kao i ostatak pri deljenju polinomom Q = x (samo je koliqnik u ovom sluqaju dva puta ve i). Stoga je traжeni ostatak jednak P ( ) = = 0. v) Sliqno kao pod a) i b) ostaci pri deljenju polinoma P sa x i x + jednaki su P () = = 0 i P ( ) = + + =, respektivno. Sada iskoristimo rezultat zadatka.5 i ostatak je R(x) = 0 4 x P (x) = (x + )(x + )Q(x) + ax + bx + c. Odmah imamo da je ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x + jednak P ( ) = 4 = a b+c. Grupisanjem dobijamo P (x) = (x +)[(x+)q(x)+a]+bx+c a, pa je x+ = bx+c a ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x +. Iz ove dve jednaqine se dobija rexenje a =, b =, c = 9, tj. traжeni ostatak je R(x) = x + x R(x) = x + x + x Stavimo smenu x = y. Imamo da je P (x) = y n y n y i Q (y) = y = (y )(y + ). Iz P ( ) = n 0 sledi da Q (y) ne deli P (y), tj. P (y) nije deljiv sa Q(y)..6 Iz deljivosti polinoma P (x) sa x dobijamo da je P () = 0. Kako je P ( x) = P (x) dobijamo P ( ) = 0, pa je P (x) deljiv i sa x +, tj. deljiv je sa (x )(x + ) = x..7 Iz postavke zadatka imamo da je zbir koeficijenata na parnim mestima jednak zbiru koeficijenata na neparnim mestima, a odatle se dobija P ( ) = 0 i P () =. Sada se iz izraza P (x) = (x )Q(x) + R(x), gde je R(x) = ax + b ili direktnom primenom rezultata zadatka.5 dobija R(x) = x +..8 Mogu e je u sva tri sluqaja: P (x) = x + 5, P (x) = x, Q(x) = x + tada Q P + P. P (x) = x, P (x) = x +, Q(x) = x + x tada Q P + P. P (x) = x +, P (x) = x, Q(x) = x tada Q P (P )..9 Uvedimo pomo ni polinom Q(x) = P (x) p. Kako je Q() = Q() = Q() = Q(4) = 0, to je mogu e Q predstaviti u obliku Q(x) = (x )(x )(x )(x 4)T (x). Ako bi bilo P (a) = p Q(a) = p, tj. imali bismo da broj p dele sva qetiri broja a, a, a i a 4 xto je nemogu e jer su { p,,, p} jedini delioci prostog broja p..0 Zadatak ima dva rexenja: a = 7, b = i a =, b =.. Stavivxi (x + x + a)(x + kx + lx + m) = x 6 + x + a, dobijamo kontradiktoran sistem jednaqina.. a) 09; b) 00; v) 66.. a) P (x) = (x ) + (x ) + ; b) P (x) = (x + ) 4 5(x + ) + (x + ) + 6(x + ) 4; v) P (x) = (x ) 5 + 0(x ) (x ) + 59(x ) + 757(x ) a) NZD(P, Q) =, S(x) = x, T (x) = x x + ; b) NZD(P, Q) = x +, S(x) = 8 (x ), T (x) = 8 ( x + x + ); v) NZD(P, Q) = x x +, S(x) = x, T (x) = (x x + )..6 x x +..8 Jeste za svako p..9 Ako je a = b, onda je P n+ = 0. Neka je zato a + b 0. Za n = dobija se da je P (x) = [x +(a+b)x+ab] (a+b) = (a+b)(x+a)(x+b). Dakle nule polinoma P su x = a i x = b. Kako je P n+ ( a) = b n+ + a n+ a n+ b n+ = 0 i P n+ ( b) = a n+ + b n+ a n+ b n+ = 0, vidimo da su x = a i x = b nule i polinoma P n+, pa P (x) P n+ = 0, xto je i trebalo dokazati. Za n = dobija se polinom P 5 (x) = 5(a + b)[x 4 + (a + b)x + (a + b) x + (a + b) x + ab(a + ab + b )]. P 5 : P = 5 [(x + (a + b)x + (a + ab + b )]. Nule ovog koliqnika su x i x 4 xto sa prethodno nađenim nulama daje skup rexenja jednaqine P 5 = 0: x = a, x = b, x,4 = a + b ± i 4 (a + b ) + ab. 7

8 . a) k = ; b) k = ; v) k = ;. P (x) = a(x + )(x )(x + ) = ax 4 + ax ax ax 8a, a R, a 0.. P (x) = x 4 + 0x + 6x + 56x +..4 Zajedniqke nule polinoma P i Q su rexenja jednaqine NZD(P, Q) = 0. a) x, = ±i; b) x =, x =..5 Broj x = a je nula reda kl polinoma P Q i nula reda k polinoma P + Q..6 P (x) = x (x x) x(x x)+(x x)+. Kako je α α =, imamo P (α) = α α + + = (α α)+8 = + 8 = 7..7 R(x) = x 6x Napiximo polinom P u obliku P (x) = x n ax(x n ) = (x )[x n x + ax(x n x + )]. Da bi polinom u uglastoj zagradi bio deljiv sa x, potrebno je i dovoljno (po Bezuovom stavu) da bude n a(n ) = 0. Dakle P (x) je deljiv sa (x ) za proizvoljno n > i a = n n..9 a = 7, b = 60. Koreni polinoma P su x =, x = 4, x = 5..0 Iz jednakosti (x )(x α)(x α+) = x +ax +4x+b se dobija sistem a = α, 4 = α +α 4, b = α +4α. Ovaj sistem ima dva rexenja u skupu Z: α =, a = 4, b = 0 i α = 4, a = 8, b = 48, a odgovaraju i koreni jednaqine su x = 0, x =, x = i x = 6, x = 4, x =.. Ima dva rexenja: a = 9, b = 4 i a = 9, b = 4, a odgovaraju e nule polinoma su x =, x =, x = 4 i x = 4, x =, x =.. Ako je q neparan, neparni su mu i svi delioci, pa bi i rexenje, oznaqimo ga sa x 0 moralo biti neparno. A kako je to koren jednaqine moralo bi da vaжi x 0 + x 0 + q = 0, xto je nemogu e jer suma tri neparna broja ne moжe biti jednaka nuli.. Ako među korenima polinoma P imamo dva suprotna broja λ i λ i preostali koren nek je µ, tada se p moжe predstaviti u obliku P (x) = (x λ)(x + λ)(x µ). Kad izjednaqimo koeficijente dobija se a = µ, b = λ, c = λ µ, a odatle se direktno dobija da je ab = c. Ako je ab = c, tada imamo da je P (x) = (x + b)(x + a), a kako su rrexenja jednaqine x + b = 0 suprotni brojevi, to dobiajmo da među korenima P postoje dva suprotna broja..4 Neka je x Z rexenje. Iz Bezuovog stava imamo f(x) = (x x )q(x). Tada iz uslova da je f(0) = x q(0) neparan dobijamo da je x neparan. Iz uslova da je f() = ( x )q() neparan dobijamo da je x neparan, xto je nemogu e, pa f nema celobrojnih korena..5 Sliqno kao prethodni primer. Neka je x Z rexenje. Tada je f(x) = (x x )q(x). Kad tu zamenimo redom x =,, i izmnoжimo te jednakosti dobija se f() f() f() = ( x )( x )( x )q()q()q(), a ta jednakost nije mogu a jer je taqno jedan od brojeva x, x, x koji javljaju na levoj strani jednakosti deljiv sa, proizvod f() f() f() sa desne strane nije deljiv sa iz uslova zadatka. Kontradikcija..6 Neka je x Z nula polinoma P (x) = a n x n a x + a 0. Prikaжimo je u obliku x = nk + r, k Z, 0 r n. Tada je P (r) = P (r) 0 = P (r) P (x ) = (a n r n a r + a 0 ) [a n (nk + r n a (nk + r) + a 0 ]. Oduzimanjem a 0 se ukida, ponixtavaju se qlanovi oblika a i r i, a od preostalih svaki sadrжi n kao faktor, pa moжemo pisati P (r) = nc, gde je c neki ceo broj razliqit od nule (jer je iz postavke zadatka P (x) 0, za x = 0,,..., n ). Ali tada odbijamo kontradikciju sa drugom polaznom predpostavkom: P (x) < n, za x = 0,,..., n..7 Koristiti binomni obrazac i uslove zadatka..8 Neka je α nula polinoma P (x) = a n x n + a n x n a x + a 0 sa celobrojnim koeficijentima. Tada je m α nula polinoma Q(x) = a n x mn + a n x m(n ) a x m + a 0..9 Iz P (x ) = x 4 P ( x ) direktno sledi da je x 0 koren jednaqine da je tada i x koren te jednaqine..0 a =, b = 4.. Treba proveriti jesu li x = ± ili x = ± p koreni polinoma P. Za x = imamo P () = 0. Za + = 0, odnosno, p 4 p + p + = 0, a ova jednaqina nema celobrojnih korena (jedini kandidati ± se lako odbace). Analogno se pokazuje i da x = p nije koren.. Od kandidata za koren odmah emo odbaciti pola: x =,, p, p jer je za njih f(x) = px + x + > 0. Dalji postupak je potpuno isti kao u prethodnom zadatku i na kraju se dobije da ni za jedan prost brost broj p data jednaqina nema racionalni koren ( nije prost broj!).. x =, x =, x =..4 P (x) = (x )(x )(x 4)..5 Kako je polinom moniqan, to je njegov najstariji koeficijent a n =. Stoga ako bi imao racionalnih nula one bi bile celobrojne, a kako je u postavci dato da P nema celobrojnih nula, to dobijamo da su sve realne nule tog polinoma iracionalni brojevi..6 Neka je x = n p. To je rexenje jednaqine x n p = 0. Racionalni kandidati za koren ove jednaqine su: { ± i ±p. Ali kako je P () = p < 0, P ( ) = ± p < 0, P (p) = p n p > 0 i P ( p) = ( p) n p = p n p > 0 za n parno p n to dobijamo da je x p < 0 za n neparno = n p iracionalan broj. x = imamo P ( ) = p + < 0. Da bi x = p bio koren treba P ( p ) = 0, tj. p 4.7 Isti dokaz kao u prethodnim zadacima..8 Uvedimo pomo ni polinom Q(x) = P (x). Kako su mu nule x = a, x = b i x = c on se moжe predstaviti u obliku Q(x) = (x a)(x b)(x c)r(x). Tada je P (x) = (x a)(x b)(x c)r(x) +. Ako bi P imao celobrojnu p p 8

9 nulu x = d tada bi vaжilo 0 = P (d) = (d a)(d b)(d c)r(d) +. Ali u tom sluqaju dobijamo da postoje razliqita broja d a, d b i d c koji dele xto je kontradikcija..9 a) Nule polinoma Q (x) su x a, x a,..., x n a. b) Nule polinoma Q (x) su x, x,..., x n. v) Nule polinoma Q (x) su x, x,..., x n. g) Nule polinoma Q 4 (x) su bx, bx,..., bx n..0 Neka je P (a) = P (b) = P (c) = za razliqite brojeve a, b, c. Pretpostavimo da je P (d) =, tada je = P (a) P (d) = (a d) m, m Z (vidi zadatak.5). Odatle sledi da je a d = ±. Analogno se dobijaju b d = ± i c d = ±. Odatle se dobija da su bar dva od brojeva a, b, c jednaka xto je u kontradikciji sa pretpostavkom zadatka.. Pretpostavimo da postoje R, S takvi da je P (x) = R(x) S(x). Iz P (a i ) = = R(a i ) S(a i ) dobijamo R(a i ) = S(a i ), tj. R(a i ) + S(a i ) = 0, pa polinom R(x) + S(x) ima n nula (a i ), a stepen mu je manji od n pa po zadatku. dobijamo da je R(x) + S(x) = 0. Tj. dobili smo da je P (x) = R(x), ali to je nemogu e jer smo dobili da je P (x) 0 x, a treba P (x) kad x..4 Ako u datu jednaqinu uvrstimo x = 0 dobijamo P (0) = 0. Ako uvrstimo x = dobijamo P () = 0. Ako uvrstimo x = dobijamo P () = P (0) = 0. P () nije jednoznaqno određen, a od njegovog izbora zavise P (4), P (5),... Na osnovu Bezuovog stava imamo da je P (x) = x(x )(x )Q(x). Kada ovo uvrstimo u uslov zadatka dobijamo x(x )(x )(x )Q(x ) = (x )x(x )(x )Q(x), tj. Q(x ) = Q(x). Na osnovu zadatka. dobijamo da je Q(x) = c. Stoga su sva rexenja polazne jednaqine polinomi P (x) = cx(x )(x ), c R..5 Ako u datu jednaqinu uvrstimo x = dobijamo P (0) = 0. Ako uvrstimo x = dobijamo P () = P () = 0. Ako u datu jednaqinu uvrstimo x = dobijamo P () = 0. Ako uvrstimo x = 4 dobijamo P (4) = P () = 0... Kako je P (n) = n n P (n ) za n 4 to nam P () = 0 P (4) = 0 P (5) = 0... Matematiqkom indukcijom moжemo pokazati da je P (n) = 0, n N. Na osnovu zadatka. dobijamo da je P (x) = 0 i to je jedino rexenje..6 Polinom nema realnih nula (ako bi imao imao bi beskonaqno mnogo realnih nula jer P (x) = 0 povlaqi P (x + x + ) = 0). Ovaj polinom je ili konstanta ili ima kompleksnih nula. Ako je konstanta P (x) = c, onda je c = c, tj. imamo rexenja P (x) = 0, P (x) =. Ako ima kompleksan koren a + bi onda su mu koreni i a bi (zbog osobina kompleksnih korena) i a bi i a + bi (ove dva zbog parnosti funkcije: funkcija je parna jer je P (x) P (x + ) = P (x + x + ) = P ( x) P ( x ) za beskonaqno mnogo vrednosti). Neka je a 0, b > 0 (ako nije zamenimo koren sa nekim od preostala tri korena). Kad zamenimo koren a+bi u x +x+ i izraqunamo kvadrat modula tog kompleksnog broja on je jednak (b 4 b + ) + (a + b ) + (a 4 + a + a + a + a b + ab ) (a + b ). Kako u gornjoj nejednakosti treba da vaжi jednakost (da ne bismo imali beskonaqno kompleksnih korena) to mora da bude ispunjeno b = a = 0. Dobili smo da su jedine nule ±i pa je u ovom sluqaju rexenje P (x) = (x + ) n..7 Svi koreni su negativni jer x 0 P (x) > 0. Oznaqimo te korene sa x, x..., x n. Neka je y k = x k > 0, k =,..., n. Tada je P (x) = (x + y )(x + y )... (x + y n ). Ako primenimo nejednakost aritmetiqke i geometrijske sredine dobijamo + y k = + + y k y k, pa je P () n y y... y n. Iz Vietovih formula imamo da je x i = ( ) n y i =, jer su y k > 0. Kad to uvrstimo u prethodnu nejednakost dobijamo P () n..8 Fiksiramo x = a. Tada rexavamo diferencnu jednaqinu P k+ (a) = a P k+ (a) P k (a), P 0 (a) =, P (a) = a. Njeno rexenje je P k (a) = (a + a ) k + (a a ) k. Za a P k (a) > 0. Za a i k parno P k (a) > 0. Za a P k (a) < 0. Stoga dobijamo da su sve realne nule a <..9 Posmatrati pomo ni polinom Q(x) = P (x) n. Nule su mu razliqiti brojevi x, x..., x n Z. Tada je Q(x) = A(x x )(x x )... (x x n ). Slobodan qlan polinoma Q je Q(0) = n, pa iz Vietovih formula dobijamo x x... x n = ( ) n ( n) A, tj. n = ( )n+ x x... x n = ( ) n+ x x... x n n (jer su najvixe dva korena x k manja od po apsolutnoj vrednosti). n n n 4. Za n = imamo da je Q(x) = x ili Q(x) = x +, tj. rexenja koja odgovaraju su x = i A =, odnosno x = i A =. Za n = imamo da je Q(x) = x + x ili Q(x) = x x ili Q(x) = x + x ili Q(x) = x x rexenja koja odgovaraju x =, x = i A =, tj. x =, x = i A =,tj. x =, x = i A =, tj. x =, x = i A =. Za n = imamo da je Q(x) = x + x x ili Q(x) = x + x + x rexenja koja odgovaraju x =, x =, x = i A =, tj. x =, x =, x = i A =. Za n = 4 imamo da je Q(x) = x 4 + 5x 4 rexenje koje odgovara x =, x =, x =, x 4 = i A =. Rexenja su: P (x) {±x, x ± x, x ± x, ±x + x x, x 4 + 5x }..40 P 7 (x) = Q(x) R(x) i neka je < deg R < 4 deg Q. R(x i ) = ± pa R ima bar u qetiri taqke vrednost (ili i tad razmatranje ide potpuno analogno) pa po zadatku. dobijamo da je R =. Tad je = deg R, pa smo dobili da je polinom P nemogu e rastaviti na proizvod dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima. 9

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA 1. Grupe. Konaqno generisane Abelove grupe. Zoran Petrovi 11. i 18. decembar ρ = 0. nρ = 0

ALGEBRA 1. Grupe. Konaqno generisane Abelove grupe. Zoran Petrovi 11. i 18. decembar ρ = 0. nρ = 0 ALGEBRA 1 Grupe Konaqno generisane Abelove grupe Zoran Petrovi 11 i 18 decembar 2012 Podsetimo se diedarske grupe: Njena abelizacija zadata je sa: D n = σ, ρ σ 2 = ε, ρ n = ε, σρ = ρ n 1 σ D Ab n = σ, ρ,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su Poglavlje 1 Brojevi i brojni sistemi Cvetana Krstev 1.1 O brojevima Prirodni brojevi su brojevi sa kojima se broji, uključujući i nulu: 0, 1, 2, 3,.... Pojam pozitivnih i negativnih brojeva nije definisan

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQENjA SREDNjOXKOLACA 2010/2011. Beograd, 2011.

DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQENjA SREDNjOXKOLACA 2010/2011. Beograd, 2011. DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQENjA SREDNjOXKOLACA 010/011. Beograd, 011. Organizacioni odbor 53. Drжavnog takmiqenja iz matematike 1. Profesor dr Zoran Kadelburg, predsednik DMS. Marko Radovanovi,

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 1. Prvo predavanje - funkcije i prirodni brojevi Cilj predavanja u prvoj sedmici je podsećanje na skupove brojeva koji su se koristili u prethodnom školovanju,

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 1 Realni i kompleksni brojevi Lekcije iz Matematike 1. 1. Realni i kompleksni brojevi I. Naslov i obja²njenje naslova U lekciji se ponavljaju osnovna svojstva

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqke igre pogađanja verzija 1.0:

Matematiqke igre pogađanja verzija 1.0: Matematiqke igre pogađanja verzija 1.0: 24.2.2015. Duxan uki 1. U kraljevstvu ima 100 mudraca. Kralj testira mudrace na slede i naqin: postroji ih u red i svakom stavi na glavu belu ili crnu kapu tako da

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Hijavata 1 Predgovor Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr Lidija Stefanović, mr Marjan Matejić, dr Slad ana Marinković DIFERENCIJALNE

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA. Bihać, 2014.

UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA. Bihać, 2014. UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA Bihać, 014. c prof. dr. sc. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA Recenzenti

Διαβάστε περισσότερα

Projektivna geometrija Milivoje Luki

Projektivna geometrija Milivoje Luki odatna nastava u Matematiqkoj gimnaziji 04.02.2007. Projektivna geometrija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com 1. vorazmera. Harmonijska spregnutost. Perspektivitet. Projektivitet efinicija: Neka su

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994.

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994. Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA Osijek, 994. M. Crnjac, D. Jukić, R. Scitovski Matematika Udžbenik U-6 Recenzenti: Prof.dr.sc. Hrvoje Kraljević Prof.dr.sc. Harry

Διαβάστε περισσότερα

ПРВА ЕКОНОМСКА ШКОЛА Београд Maj, 2010.

ПРВА ЕКОНОМСКА ШКОЛА Београд Maj, 2010. XI РЕПУБЛИЧКОГ ТАКМИЧЕЊА ИЗ МАТЕМАТИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ЕКОНОМСКИХ, ПРАВНО-БИРОТЕХНИЧКИХ ТРГОВИНСКИХ И УГОСТИТЕЉСКО-ТУРИСТИЧКИХ ШКОЛА СРБИЈЕ школске 2009/2010. године ПРВА ЕКОНОМСКА ШКОЛА Београд Maj, 2010.

Διαβάστε περισσότερα

REALNA, KOMPLEKSNA ANALIZA I HILBERTOVI PROSTORI

REALNA, KOMPLEKSNA ANALIZA I HILBERTOVI PROSTORI RALNA, KOMPLKSNA ANALIZA I HILBRTOVI PROSTORI M. MATLJVIĆ Abstract. R R M M Uvod Radna verzija, 26 septembar 2007, 29 maj 2008. Kurs iz Teorije Realnih i Kompleksnih funkcija (TR-KF, popularno TRiK) sastoji

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα